II. Klein–Gordon

N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
II. Klein–Gordon-Gleichung
Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen,
für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 12 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In jedem dieser Fälle
lässt sich ein solcher Wellenfunktion-basierter Formalismus sinnvoll nur auf wechselwirkungsfreie
(oder kurz: freie) Teilchen anwenden — in Anwesenheit von Wechselwirkungen können Teilchen im
relativistischen Regime leicht erzeugt werden, oder sie können zerfallen, was mit Wellenfunktionen
nicht beschrieben werden kann.
Hier wird zunächst in Abschn. II.1 die freie Klein–Gordon-Gleichung eingeführt, deren Lösungen in Abschn. II.2 diskutiert werden. Die physikalische Deutung einiger dieser Lösungen führt
zu Schwierigkeiten, die sich am besten im Rahmen einer quantenfeldtheoretischen Beschreibung
vermeiden lassen. Somit werden in Abschn. II.3 einige Elemente der zweiten Quantisierung der
Klein–Gordon-Wellenfunktion kurz dargestellt.
II.1 Heuristische Herleitung
Bekannterweise lautet die Schrödinger-Wellengleichung in Ortsdarstellung für ein nicht-relativistisches freies Teilchen mit der Masse m
~2
∂ψ(t, ~x)
=−
4ψ(t, ~x),
(II.1)
i~
∂t
2m
~ 2 dem Laplace-Operator. Diese Gleichung folgt aus der nicht-relativistischen Energie–
mit 4 = ∇
Impuls-Beziehung E = p~ 2 /2m, indem die Energie E bzw. der Impuls p~ durch den auf Wellenfunk~ ersetzt wird.
tionen wirkenden Differentialoperator i~∂/∂t bzw. −i~ ∇
Wendet man jetzt — nach Schrödinger, vgl. [9], Gl. (34)–(36) — diese Korrespondenz auf die
relativistische Energie–Impuls-Relation E 2 − p~ 2 c2 = m2 c4 an, so ergibt sich die Wellengleichung
2
2∂
2 2
−~ 2 + ~ c 4 φ(t, ~x) = m2 c4 φ(t, ~x).
(II.2)
∂t
Diese Gleichung wird (wechselwirkungsfreie) Klein–Gordon-Gleichung genannt [10, 11].
In relativistischer Notation gilt
1 ∂2
− 4 = ∂0 ∂ 0 + ∂i ∂ i = ∂µ ∂ µ ≡ ,
(II.3)
c2 ∂t2
mit dem d’Alembert-Operator , der offenbar relativistisch kovariant ist, denn es handelt sich um
einen Lorentz-Quadrat. Dann lautet die Klein–Gordon-Gleichung (II.2) in kovarianter Schreibweise
m2 c2
+ 2 φ(x) = 0.
(II.4)
~
Dank der relativistischen Kovarianz des d’Alembert-Operators ist das Verhalten dieser Gleichung
unter einer Lorentz-Transformation x → x0 völlig durch das Verhalten der Wellenfunktion φ(x) unter
der Transformation bestimmt. Falls die Letztere sich gemäß φ(x) → φ0 (x0 ) = φ(x) transformiert,
stellt die Klein–Gordon-Gleichung auch eine skalare Gleichung dar. In diesem Fall ist φ(x) ein
Lorentz-Skalar, entsprechend einem Teilchen mit Spin 0.
Bemerkungen:
~ lässt sich kurz als
∗ Die Korrespondenz E → i~∂/∂t, p~ → −i~ ∇
pµ → i~∂ µ
(II.5)
umschreiben. Wird dies in pµ pµ = m2 c2 eingesetzt, so folgt Gl. (II.4) sofort.
II. Klein–Gordon-Gleichung
21
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Elementarteilchenphysik
2
2 2
2 4
∗ Statt von der Beziehung
p E = p~ c + m c auszugehen, könnte man die Korrespondenz in die
genauere Gleichung E = p~ 2 c2 + m2 c4 einsetzen, da die Energie eines Teilchens
p positiv sein soll.
Wendet man aber den auf der rechten Seite resultierenden Differentialoperator m2 c4 − ~2 c2 4 auf
Wellenfunktionen an, so ergeben sich Ortsableitungen der Letzteren beliebiger Ordnung, entsprechend einer nicht-lokalen Gleichung, was unbefriedigend ist.
∗ Eine Lösung φ(x) der Klein–Gordon-Gleichung kann entweder reell- oder komplexwertig sein. Die
Möglichkeiten werden im nächsten Abschnitt anhand der allgemeinen Lösung der Gleichung (II.4)
noch diskutiert.
II. Klein–Gordon-Gleichung
22
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III. Dirac-Gleichung
Historisch wurde die Existenz der Lösungen der Klein–Gordon-Gleichung mit negativer Energie als
einen Beweis der Irrelevanz der Gleichung für Physik angesehen, bevor die Stückelberg–FeynmanInterpretation und die zweite Quantisierung eingeführt wurden. Da diese damals unerwünschten
Lösungen daraus folgen, dass die Klein–Gordon-Gleichung (II.4) zweiter Ordnung in der Zeit t
ist, wurde nach einer relativistischen Wellengleichung gesucht. Eine solche Gleichung wurde durch
P. A. M. Dirac gefunden [14] und wird in Abschn. III.1 für den Fall eines freies Teilchen hergeleitet.
Diese Gleichung nutzt Matrizen, deren Eigenschaften in Abschn. III.2 dargestellt sind. Schließlich
befasst sich Abschn. III.3 mit den Lösungen der Gleichung sowie mit deren physikalischen Deutung.
III.1 Heuristische Herleitung
Die ursprüngliche Idee von Dirac bestand darin, die linke Seite der quadratischen relativistischen
Energie–Impuls-Beziehung p2 − m2 c2 = 0 als Produkt von zwei linearen Beiträgen zu faktorisieren
pµ pµ − m2 c2 ≡ (γ ν pν + mc)(β λ pλ − mc)
wobei β λ , γ ν acht zu bestimmenden Koeffizienten sind. Dann gewährleistet das Verschwinden eines
der Multiplikanden des rechten Glieds, dass die Beziehung erfüllt wird. Berechnet man das Produkt
auf der rechten Seite, so ergibt sich durch Gleichsetzung der quadratischen und linearen Terme in p
η µν pµ pν = β λ γ ν pλ pν
und mc(β λ − γ λ )pλ = 0.
Die zweite Gleichung liefert β λ = γ λ für λ = 0, . . . , 3. Ersetzt man dann β λ in der ersten Gleichung, so lautet die Letztere (hier wird die Einstein’sche Summenkonvention ausnahmsweise nicht
verwendet!)
3
3
3
X
X
X
(γ µ )2 (pµ )2 +
(γ µ γ ν + γ ν γ µ )pµ pν =
η µµ (pµ )2 .
µ=0
µ,ν=0
µ6=ν
µ=0
Der Vergleich der Koeffizienten der Bilinearformen in p0 , p1 , p2 , p3 auf den beiden Seiten dieser
Gleichung führt zu
(γ 0 )2 = +1,
(γ 1 )2 = −1,
(γ 2 )2 = −1,
(γ 3 )2 = −1,
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 0 für µ 6= ν.
(III.1)
Mit Zahlen können diese Beziehungen nicht erfüllt werden — die Wahlen γ 0 = ±1, γ k = ±i genügen
ja den vier ersten Relationen, nicht aber der letzten.
Um mögliche Lösungen des Systems (III.1) zu finden, soll man somit nicht nach Zahlen, sondern
nach N ×N -Matrizen suchen. Mittels des Antikommutators zweier Matrizen {A, B} ≡ AB − BA
lassen sich die Beziehungen als
µ ν
γ , γ = 2η µν 1N
(III.2)
umschreiben, mit 1N der N×N -Identitätsmatrix und η µν den Komponenten des inversen metrischen
Tensors.
Die Matrizen kleinster Dimension, die den Beziehungen (III.2) genügen, sind 4×4-Matrizen.
Der Fall N = 1 entspricht Zahlen und wurde schon diskutiert.
Für N = 2 existieren ja drei linear unabhängige 2 × 2-Matrizen, die Pauli-Matrizen σk , die
tatsächlich miteinander antikommutieren: {σj , σk } = 2δjk . Die einzigen noch bleibenden linear
unabhängigen Matrizen sind proportional zur Identität 12 , die aber nicht mit den Pauli-Matrizen
anitkommutiert: {12 , σk } = 2σk , so dass Beziehung (III.2) nicht erfüllt werden kann.
III. Dirac-Gleichung
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Elementarteilchenphysik
Für N = 3 führt die Gleichung γ µ γ ν = −γ ν γ µ für µ 6= ν zu (det γ µ )(det γ ν ) = −(det γ µ )(det γ ν ),
d.h. eine der Determinanten muss gleich 0 sein, was vermeidet sein soll, damit das Produkt einer
γ µ -Matrix mit einem nicht-verschwindenden D-komponentigen Vektor nicht Null ist.
Eine mögliche Wahl, gennant Standard- oder Dirac-Darstellung, besteht aus den Matrizen
12
0
0
σk
0
k
γ =
,
γ =
,
(III.3)
0 −12
−σk 0
mit σk für k = 1, 2, 3 den üblichen Pauli-Matrizen
0 1
0 −i
σ1 =
, σ2 =
,
1 0
i 0
1 0
σ3 =
.
0 −1
(III.4)
Die Matrizen γ µ werden als Dirac-Gamma-Matrizen oder kurz Dirac-Matrizen bezeichnet.
Zusammen bilden die vier Dirac-Matrizen γ µ eine Größe, die sich unter der Lorentz-Gruppe wie
ein kontravarianter Vektor — dessen Komponenten 4×4-Matrizen sind — transformieren. Dementsprechend stellen die Beziehungen (III.2) die Komponenten einer Gleichung zwischen zwei LorentzTensoren zweiter Stufe dar, wobei eine Komponente schon eine 4×4-Matrix ist.
Sei aµ ein aus vier Zahlen bestehender kovarianter Vektor. Dann bezeichnet das „Skalarprodukt“
aµ γ µ eine Lorentz-invariante 4 × 4-Matrix. Diese lässt sich auch kompakt in der durch Feynman
eingeführten Slash-Notation als
6 a ≡ aµ γ µ .
(III.5)
Die relativistische Energie–Impuls-Beziehung pµ pµ − m2 c2 = 0 für ein Teilchen der Masse m
kann jetzt erfüllt werden, indem wir das Teilchen durch eine Größe ψ(x) beschreiben, auf das die
Wirkung der Matrix γ µ pµ − mc14 Null gibt: (γ µ pµ − mc14 )ψ(x) = 0, wobei wir im Folgenden
die 4-dimensionale Identität 14 weglassen können. Unter Verwendung der Korrespondenz (II.5) zur
Ortsdarstellung ergibt sich dann die Dirac-Gleichung (in Ortsdarstellung)
mc
µ
iγ ∂µ −
ψ(x) = 0.
(III.6a)
~
Unter Verwendung der Slash-Notation lautet dies auch
mc
i6 ∂ −
ψ(x) = 0.
~
(III.6b)
Da die Dirac-Matrizen der Dimension 4 sind, ist ψ(x) ein vierkomponentiger Spaltenvektor, der
auch Dirac-Spinor oder 4-Spinor genannt wird. Unter Lorentz-Transformationen transformiert sich
der Letztere aber nicht wie ein Vierervektor — seine Komponenten sollten deshalb nicht mit einem
Lorentz-Index µ = 0, 1, 2, 3 bezeichnet werden.
Die Anwesenheit der Pauli-Matrizen in den Dirac-Matrizen deutet darauf hin, dass die DiracSpinoren freie Teilchen mit dem Spin 12 beschreiben. Solche Teilchen besitzen aber nur zwei Freiheitsgrade, während ein Dirac-Spinor vier Freiheitsgrade hat. Tatsächlich werden wir im Folgenden
sehen, dass ein Dirac-Spinor ein Spin- 21 -Teilchen und sein Antiteilchen auf einmal beschreiben.
Bemerkungen:
∗ Mittels des metrischen Tensors definiert man auch Matrizen γµ .
∗ Andere Darstellungen der Dirac-Matrizen sind auch möglich, und lassen sich durch Basistransformationen im vierdimensionalen Vektorraum, auf welchen die γ µ -Matrizen wirken, erhalten. Zum
Beispiel ist es manchmal bequemer, mit der folgenden sog. chiralen Darstellung zu arbeiten
0 12
0
σk
0
k
γ =
,
γ =
.
(III.7)
12 0
−σk 0
III. Dirac-Gleichung
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IV. Maxwell-Gleichungen
Dieses Kapitel geht auf die relativistische Wellengleichung für ein wechselwirkungsfreies masseloses
Teilchen mit Spin 1 ein. Dabei handelt es sich tatsächlich um die Maxwell-Gleichungen des freien
elektromagnetischen Feldes, die in einem ersten Schritt in kovarianter Schreibweise geschrieben
werden (Abschn. IV.1). Dann werden die Lösungen zu diesen Gleichungen in Abschn. IV.2 diskutiert,
wobei die wichtige Rolle der Eichinvarianz offenbar wird.
IV.1 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Die Maxwell-Gleichungen der klassischen Elektrodynamik sind (fast definitionsgemäß) Lorentz~ ~x) einen Viererkovariant. Somit bilden das Skalarpotential Φ(t, ~x) und das Vektorpotential A(t,
vektor, das Viererpotential A(x), mit den kontravarianten Komponenten
!
Φ(x)/c
Aµ (x) =
.
(IV.1)
~
A(x)
Ausgehend vom Viererpotential definiert man einen zweimal kontravarianten Lorentz-Tensor
F µν (x), den elektromagnetischen Feldstärketensor , als
F µν (x) = ∂ µ Aν (x) − ∂ ν Aµ (x).
(IV.2)
Unter Nutzung der Beziehungen
~ ~x)
∂ A(t,
~ ~x) = ∇
~ × A(t,
~ ~x)
~
,
B(t,
(IV.3)
E~ (t, ~x) = −∇φ(t,
~r) −
∂t
prüft man nach, dass die Komponenten des Feldstärketensors einfach mit den Komponenten der
~ verknüpft sind:
elektrischen und magnetischen Felder E~ , B
Ei
F i0 = ∂ i A0 − ∂ 0 Ai = −∂i A0 − ∂0 Ai =
,
c
F ij = ∂ i Aj − ∂ j Ai = −∂i Aj + ∂j Ai = −ijk B k
Diese Relationen lassen sich mithilfe der Matrixform des Feldstärketensors zusammenfassen


Ey
Ex
Ez
0 −
−
−

c
c
c 
 Ex


0
−Bz By 


c
,
F µν = 
(IV.4)
 Ey



B
0
−B
z
x
 c


Ez
−By Bx
0
c
wobei die x-Abhängigkeit der Felder der Kürze halber nicht geschrieben wurde.
Durch den elektromagnetischen Feldstärketensor können die Maxwell-Gleichungen in Abwesenheit äußerer Quellen durch22
∂µ F µν (x) = 0 ∀ν
(IV.5a)
und
∂ µ F νρ (x) + ∂ ν F ρµ (x) + ∂ ρ F µν (x) = 0 ∀µ, ν, ρ.
(IV.5b)
~ = 0 und
~ ·B
ausgedrückt werden. Die Letztere — entsprechend der Maxwell–Thomson-Gleichung ∇
22
In Anwesenheit einer äußeren Ladungsdichte ρ(t, ~
x) bzw. einer Ladungsstromdichte ~(t, ~
x) bilden die beiden einen
Viererstrom mit kontravarianten Komponenten j µ = (ρc, ~)T und die Maxwell-Gleichung wird ∂µ F µν = µ0 j ν .
IV. Maxwell-Gleichungen
42
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Elementarteilchenphysik
~
~ × E~ + ∂ B/∂t
der Maxwell–Faraday-Gleichung ∇
= ~0 — enthält keine Dynamik und folgt sofort aus
der Antisymmetrie des Feldstärketensors (IV.2).
Dagegen bestimmt Gl. (IV.5a) die Dynamik der elektrischen und magnetischen Felder — die
~ · E~ = 0, während die räumlichen
ν = 0-Komponente entspricht der Maxwell–Gauß-Gleichung ∇
−2
~
~
Komponenten die Maxwell–Ampère-Gleichung ∇ × B + c ∂ E~ /∂t = ~0 darstellen. Mit Gl. (IV.2)
ergibt sich
∂µ F µν (x) = ∂µ ∂ µ Aν (x) − ∂µ ∂ ν Aµ (x) = Aν (x) − ∂ ν ∂µ Aµ (x) .
~ und somit A, nicht eindeutig definiert, sondern
Bekannterweise sind die Potentiale Φ und A,
können gemäß sogenannter Eichtransformationen
µ
Aµ (x) → A0 (x) = Aµ (x) + ∂ µ χ(x)
(IV.6)
~ bzw.
mit χ(x) einer skalaren Funktion transformiert werden, ohne die physikalischen Felder E~ und B
µν
den elektromagnetischen Feldstärketensor F zu ändern. Diese Eichfreiheit kann benutzt werden,
um Gleichungen zu vereinfachen.
Zum Beispiel kann man erfordern, dass das Viererpotential der Lorenz-Eichung-Bedingung
∂µ Aµ (x) = 0
(IV.7)
genügt. Unter dieser Forderung lauten die freien Maxwell-Gleichungen (IV.5a) einfach
Aν (x) = 0.
(IV.8)
Somit sind die Maxwell-Gleichungen ziemlich ähnlich der Klein–Gordon-Gleichung (II.4), für
den Fall masseloser Teilchen. Da Aµ (x) sich wie ein (kontravarianter) Vierervektor transformiert,
handelt es sich um Teilchen mit dem Spin 1.
Bemerkungen:
∗ Für massive Teilchen mit dem Spin 1, beschrieben durch ein Vektorfeld V µ (x), heißt die relativistische Wellengleichung
m2 c2
+ 2 V µ (x) = 0
(IV.9)
~
Proca-Gleichung, wobei m die Teilchenmasse bezeichnet. Wegen des Massenterms besitzt aber das
Vektorfeld V µ (x) keine Eichfreiheit mehr.
∗ Die Lorenz-Eichung-Bedingung (IV.7) bestimmt noch nicht das Viererpotential eindeutig. Es
gibt noch eine Eichfreiheit um einen Vierergradienten ∂ µ χ(x) mit χ(x) Lösung von χ(x) = 0. In
Abwesenheit äußerer Quellen kann diese Freiheit benutzt werden, um die temporale Weyl-EichungBedingung
A0 (x) = 0
(IV.10)
zu erfordern. Dann wird die Lorenz-Eichung äquivalent zur Coulomb-Eichung
~ · A(t,
~ ~x) = 0.
∇
IV. Maxwell-Gleichungen
(IV.11)
43