Die geradlinig gleichförmige Bewegung
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12-1-1-5 Keplersche Gesetze Wie hat sich unser Weltbild von Sonne und Erde verändert? 80-82/Kapitel 3.1.1-3.1.2 Formeln auf S.99: Keplersche Gesetze Geozentrisches Weltbild Im geozentrischen Weltbild (griechisch γεοκεντρικό geokentrikó „erdzentriert“) steht die Erde im Zentrum des Universums. Das geozentrische Weltbild ist nicht identisch mit dem Konzept einer flachen Erde. Seit Aristoteles wurde überwiegend eine Kugelform der Erde im Rahmen eines geozentrischen Weltbildes vertreten. Das geozentrische Weltbild wurde im klassischen Altertum in Griechenland eingeführt und setzte sich gegen frühe Meinungen z.B. des Aristarchos von Samos durch, der meinte, nicht die Erde, sondern die Sonne stehe im Mittelpunkt des Kosmos. Bis zum Ende des Mittelalters war das geozentrische Weltbild in Europa allgemein verbreitet. Auch im alten China und in der islamischen Welt wurde es gelehrt. Das geozentrische Weltbild basiert auf der Annahme, dass die Erde und damit mittelbar auch der Mensch im Zentrum des Universums sei, und dass alle Bewegungen des Mondes, der Sonne und der Planeten geometrisch auf Kurvenbewegungen abliefen um die als ruhend oder um ihre Achse rotierend gedachte Erde. Die wichtigste Begründung für die Annahme des geozentrischen Weltbildes war die Beobachtung der Schwerkraft, die sich damit erklären ließ, dass alles Schwere seinem natürlichen Ort, dem Mittelpunkt der Welt, zustrebe. Das Werk des griechischen Mathematikers und Astronoms Claudius Ptolemäus (etwa 100 n. Chr.) Mathematices syntaxeos biblia XIII hat das geozentrische Weltbild für fast 1500 Jahre festgeschrieben. Insoweit wird dann auch vom Ptolemäischen Weltbild gesprochen. Eine Herausforderung für das geozentrische Weltbild war die plötzliche scheinbar rückwärtige Bewegung der äußeren Planeten, beispielsweise des Jupiters, gegen den Sternenhintergrund. Um die astronomischen Beobachtungen mit dem geozentrischen Weltbild in Einklang zu bringen, wurde es notwendig, einen Teil der Himmelskörper auf ihren Bahnen weitere Kreise um diese Bahn ziehen zu lassen. Dies sind die sogenannten Epizykel. Das geozentrische Weltbild war nahe an der alltäglichen Erfahrung des Beobachters und widersprach nicht der Bibel. Die christlichen Kirchen übernahmen und verteidigten es entschieden. Das geozentrische Weltbild wurde im Mittelalter und auch in der beginnenden Renaissance nicht hinterfragt. Nachhaltige Zweifel daran kamen erst mit Nikolaus Kopernikus auf. Heliozentrische Weltbild Das heliozentrische Weltbild (altgriechisch ἥλιος helios ‚Sonne‘ und κέντρον kentron ‚Mittelpunkt‘), auch kopernikanisches Weltbild genannt, basiert auf der Annahme, dass sich die Planeten um die Sonne bewegen. Der preußische Domherr Nicolaus Kopernikus (1473 – 1543) veröffentlichte 1543 die endgültige Aussage über sein System in De Revolutionibus Orbium Coelestium. Er arbeitete an diesem Werk von 1506 bis 1530, publizierte es aber erst im Jahr seines Todes. Ein bedeutender Befürworter des heliozentrischen Weltbild war der italienische Philosoph, Mathematiker, Physiker und Astronom Galileo Galilei (1564 – 1642). Als Galilei Anfang Januar 1610 als erster mit dem Fernrohr die vier größten Monde des Planeten Jupiter entdeckte, fand er darin einen Widerspruch zu der Vorstellung, die Erde sei der Mittelpunkt aller Himmelsbewegungen. Die Inquisition zwang Galilei allerdings zum Widerruf seiner Thesen. Die Tragik von Galileis Wirken liegt darin, dass er als ein zeitlebens tiefgläubiges Mitglied der Kirche den Versuch unternahm, ebendiese Kirche vor einem verhängnisvollen Irrtum zu bewahren. Seine Intention war es nicht, die Kirche zu widerlegen oder zu spalten, vielmehr war ihm an einer Reform der Weltsicht der Kirche gelegen. Galileo gilt als einer der Begründer der modernen Naturwissenschaft, die sich auf Beobachtung, Messung, Hinterfragung und Erklärung von Naturphänomen stützt. Die Schüler sehen einen Film zum Glauben: http://www.kunischschule.com/12-1-1-5-Disput_Berlin_Philipp_Moeller.mp4 Die Schüler sehen einen Film zu den Keplerschen Gesetzen: http://www.kunischschule.com/12-1-1-5%20Keplersche%20Gesetze.swf Keplersche Gesetze Ein Zeitgenosse von Galilei war der deutsche Astronom und Naturphilosoph Johannes Kepler (1571 - 1630). Er fand fundamentale Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne: 1. Kepler-Gesetz Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Kepler-Gesetz Ein von der Sonne zum Planeten gezogener „Fahrstrahl“ überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. 3. Kepler-Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Bahnhalbachsen. 2 3 TPlanet a Planet 1 1 2 3 TPlanet a 2 Planet 2 Grafische Zusammenfassung der drei Keplergesetze: 1. Zwei ellipsenförmige Umlaufbahnen, Brennpunkte ƒ1 und ƒ2 für Planet 1, ƒ1 und ƒ3 für Planet 2. Die Sonne (sun) in ƒ1. 2. Die beiden grauen Sektoren A1 und A2, die in derselben Zeit überstrichen werden, haben dieselbe Fläche. 3. Große Halbachsen a1 und a2. Sie werden auch mittlere Bahnradien oder mittlere Sonnenabstände genannt. Kepler formulierte die Gesetze für die Planeten um unsere Sonne. Die Gesetze sind aber überall im Universum gültig und können direkt aus den Newtonschen Gesetzen abgeleitet werden, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung des Trabanten auf den Zentralkörper vernachlässigt werden kann. Aus dem 3. Keplerschen Gesetz Der Quotient 2 3 3 3 TPlanet a Planet a Planet a Planet 1 1 1 2 ergibt sich durch Umstellung . 2 3 2 2 TPlanet2 a Planet2 TPlanet1 TPlanet2 3 a Planet ist also eine Konstante in unserem Sonnensystem. Man nennt sie die 2 TPlanet 3 a Planet . Für andere Zentralkörperkonstellationen hat die 2 TPlanet Keplerkonstante einen anderen Wert. Keplerkonstante C K , Sonne Moderne Sicht Uns ist mittlerweile bekannt, dass die Sonne nicht die Mitte des Universums, sondern einer von unzählbaren Sternen ist. Selbst wenn die Diskussion auf das Solarsystem begrenzt wird, steht die Sonne nicht in der geometrischen Mitte der Planetenbahnen. Auch die Planeten ziehen sich in einem sehr geringen Maße gegenseitig an und verursachen dadurch gegenseitige Bahnstörungen. Die Massen dieser Himmelskörper sind zwar bei weitem kleiner als die Masse der Sonne (zum Beispiel besitzt der Jupiter als größter Planet im Sonnensystem nur 0,14 Prozent der Masse der Sonne), verursachen aber eine Verlagerung des gemeinsamen Massenschwerpunkts (Baryzentrum) aus dem Mittelpunkt der Sonne. Infolgedessen bewegen sich die Planeten auf ihren elliptischen Bahnen nur ungefähr „um die Sonne“, in Wirklichkeit aber – wie auch die Sonne selbst – um das Baryzentrum des Sonnensystems. Das Relativitätsprinzip, das heute im Rahmen der Relativitätstheorie etabliert ist, geht davon aus, dass es prinzipiell keinen Punkt gibt, der vor anderen ausgezeichnet ist. Die Formelsätze für die Bewegungsgleichungen der Himmelskörper des Sonnensystems wie z.B. die Keplerschen Gesetze sind aber in ihrer heliozentrischen Fassung wesentlich leichter zu handhaben, als dies aus einem in Bezug zur Sonne rotierenden Bezugssystem möglich wäre. 1. Lies S. 81, blauer Kasten 2. Die große Halbachse des Saturn hat die Länge 143410 6 km , die der Erde 149,6 10 6 km . Wie viele Tage benötigt der Saturn für einen Umlauf um die Sonnen. 3. Berechne die Keplerkonstante C K , Sonne 3 a Planet . 2 TPlanet 4. Ein Satellit bewegt sich auf einer Ellipsenbahn um die Erde. Sein Abstand im erdnächsten Punkt beträgt 300 km, sein größter Abstand 2000km. Bestimme mit Hilfe des 2. Keplerschen Gesetzes das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten an diesen Stellen. 1. 2. 3 2 3 3 rSaturn TErde rErde rSaturn 2 2 T T T T Saturn Erde Saturn Erde 3 2 3 3 rErde TSaturn rSaturn rErde TSaturn 365d 1434 10 km 149,6 10 km 6 3 6 3 10800d 3. Wir verwenden die bekannten Parameter für die Erde: 3 a Planet 149,6 106 km 25,1 1018 km3 C K , Sonne 2 TPlanet d2 365d 2 3 4. 300 km ∆s2 ∆s1 2000 km Wir betrachten eine sehr kleine Zeitspanne t . Wenn der Satellit den größten Abstand von der Erde hat, legt er in der sehr kurzen Zeitspanne t näherungsweise den Weg s1 zurück. Wenn der Satellit den kleinsten Abstand von der Erde hat, legt er in der sehr kurzen Zeitspanne t näherungsweise den Weg s 2 zurück. Dann ist die Fläche, die der Satellit im größten Abstand von der Erde überstreicht, etwa der Dreiecksfläche 2000km s1 A1 . Im kleinsten Abstand überstreicht der Satellit in der gleichen Zeit 2 300km s 2 etwa die Dreiecksfläche A2 . 2 Nach dem 2. Keplerschen Gesetz gilt: 2000km s1 300km s 2 2000km s1 300km s2 A1 A2 2 2 Wir teilen die letzte Gleichung durch t : s s 2000km 1 300km 2 t t Weg Nach der Beziehung Geschwindigkeit erhalten wir also Zeit v 300km 2000km v1 300km v2 1 v 2 2000km Die Geschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt proportional zu den Abständen.
