Spieltheorie -- Teil 3 - Universität des Saarlandes

Spieltheorie – Teil 3
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
20. März 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Spieltheorie – Teil 3
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Spiele mit unvollständiger Information
Bisher wurde immer angenommen, dass allen Spielern die
vollständige Beschreibung des Spiels vorliegt, d.h. es wurde von vollständiger (wenn auch nicht von vollkommener)
Information seitens aller Spieler ausgegangen.
Ohne vollständige Information kann keine beste Antwort auf
eine Strategie abgeleitet werden!
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Unvollständige Information
Die Annahme vollständiger Information ist sehr restriktiv.
Im Normalfall liegt unvollständige Information vor, z. B.über
die Gewinnsituation einer Konkurrenzfirma, oder über deren Handlungsmöglichkeiten (ihre Strategiemenge).
Wir betrachten den Fall, dass sich die unvollständige Information nur auf die Auszahlungen bezieht. Unvollständige
Information über andere Parameter kann auf analoge Weise behandelt werden.
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Beispiel
Eine Firma (1) will in einen Markt eintreten, in dem sich ein
Monopolist (2) befindet.
Ohne Markteintritt erhält der Monopolist einen Gewinn
von 3.
Tritt Firma 1 in den Markt ein, so gibt es zwei mögliche
Reaktionen seitens der Firma 2:
Sie lässt den Eintritt zu. In diesem Fall erhalten beide
Firmen einen Gewinn von 1.
Firma 2 kämpft. In diesem Fall macht die eintretende
Firma 1 einen Verlust von 1. Firma 2 erhält die
Auszahlung k, die der Firma 1 nicht bekannt ist.
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Unvollständige Information
Die entscheidende Frage für die eintretende Firma ist, ob
der Monopolist den Eintritt bekämpfen wird oder nicht. Das
hängt natürlich von der Auszahlung ab, die der Monopolist
in diesem Fall erhält:
Wüsste die Firma 1, dass dem Monopolisten grosse
Verluste entstehen, dann würde sie wahrscheinlich in
den Markt eintreten.
Hätte der Monopolist jedoch nur einen geringen oder
gar keinen Verlust, dann würde er einen Preiskampf
riskieren und ein Markteintritt wäre nicht lohnend.
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Normalform des Spiels
E
N
Z |E
1, 1
0, 3
K |E
−1, k
0, 3
Wenn die Firma 1 den Parameter k nicht kennt, dann
kann sie nicht vorhersagen, wie der Monopolist
reagieren wird.
Also kann Firma 1 auch ihre eigene optimale
Strategie nicht bestimmen.
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John Harsanyi
Dieses Problem wurde von John Harsanyi in mehreren Artikeln diskutiert.
Idee: Ein Spiel mit unvollständiger Information wird in ein
Spiel mit unvollkommener Information transformiert.
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Harsanyi Transformation
Der Parameter k wird als Typ der Firma 2 interpretiert.
Unterschiedliche Auszahlungen der Firma 2 werden
als unterschiedliche Typen von Firma 2 interpretiert.
Beispiel: Es gibt zwei mögliche Auszahlungen für
Firma 2: k1 = 2 und k2 = −1. Dann sind k1 und k2 die
beiden Typen der Firma 2.
Firma 2 kennt ihren Typ, aber Firma 1 ist unvollständig
über den Typ der Firma 2 informiert.
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Harsanyi Transformation
Annahme: Es gibt eine allgemein bekannte, objektive
Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen
Typen der Firma 2.
Diese Verteilung ist Common Knowledge, d. h. jede
Firma kennt diese Verteilung und weiss, dass auch
die jeweils andere Firma diese Verteilung kennt. Und:
Jede Firma weiss, dass die jeweils andere Firma
weiss, dass die Firma die Verteilung kennt. Etc.
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Neuer Spieler: Natur
Nun wird ein zusätzlicher, imaginärer Spieler, die
“Natur”, eingeführt. Die Natur wählt nun gemäss der
gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung den Typ der
Firma 2 aus.
Firma 2 selbst kennt natürlich ihren Typ, sie kann also
den Zug der Natur beobachten. Firma 1 kann den Zug
der Natur nicht beobachten — sie hat unvollkommene
(aber vollständige) Information.
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Harsanyi Transformation
Mit Hilfe der Harsanyi Transformation wird die
Unvollständigkeit der Information transformiert
in die Unvollkommenheit der Information über
den Zug der Natur.
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Beispiel
Annahme: Es gibt zwei mögliche Typen des
Monopolisten (Firma 2), k1 = 2 und k2 = −1.
Firma 2 kennt ihren Typ, Firma 1 kennt nur die
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Die Natur wählt den Typen k1 mit der
Wahrscheinlichkeit p und den Typen k2 mit der
Wahrscheinlichkeit (1 − p).
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Spielzug der Natur
Die Natur (i.e. der Zufall) entscheidet also, welches Spiel
gespielt werden wird:
Mit Wahrscheinlichkeit p
Z |E
E 1, 1
N 0, 3
K |E
−1, k1
0, 3
und mit Wahrscheinlichkeit (1 − p)
Z |E
E 1, 1
N 0, 3
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K |E
−1, k2
0, 3
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Extensivform
Natur
•
pk1
¨
•
§
N
(1 − p)k2
¥
•¦
Fa. 1
E
E
•
(0, 3)
K
(−1, 2)
Fa. 2
Z
N
•
K
(0, 3)
Z
(1, 1) (−1, −1) (1, 1)
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Harsanyi Transformation
Wichtige Annahme
Jeder Spieler kennt alle möglichen Typen des Gegners
sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilung, gemäss der die
Natur die Typen zieht. Diese sind Common Knowledge.
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Beispiel: Beidseitige unvollkommene Info
Wir betrachten zwei preisetzende Firmen, 1 und 2, die
ohne Kosten produzieren können.
Die Nachfragefunktionen sind
p2
− p1 ,
2p1
d2 (p1 , p2 ) = b + 0.5p1 − p2 .
d1 (p1 , p2 ) = a +
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Zwei mögliche Typen
Angenommen, jede der beiden Firmen kann zwei mögliche Typen annehmen, gekennzeichnet durch verschiedene
Nachfrageparameter:
T1 = {ah , al } und T2 = {bh , bl }.
Dabei gilt ah > al und bh > bl .
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Beschreibung des Spiels in Normalform
Spielermenge: {1, 2}.
Die Mengen der möglichen Typen der Spieler sind
T1 = {ah , al } und T2 = {bh , bl }.
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Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung µ ist
µ(ah , bh ) = 0.5 µ(ah , bl ) = µ(al , bh ) = 0.125,
µ(al , bl ) = 0.25.
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Strategienmengen (mögl. Preise): S1 = S2 = R+ .
Auszahlungsfunktionen (Gewinne):
π1 (s, t) = (ai + 0.5p1 /p2 − p1 )p1
π2 (s, t) = (bj + 0.5p1 − p2 )p2
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Ablauf des Spiels
1
Zu Beginn des Spiels wählt die Natur eine bestimmte
Typenkombination und jeder Spieler erfährt seinen
eigenen Typ, nicht jedoch den des anderen Spielers.
2
Die Spieler wählen ihre Strategien in Kenntnis ihres
Typs und der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
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Bayesian Updating
Abhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung µ kann der
Fall eintreten, dass ein Spieler aufgrund der Information
über seinen eigenen Typ Information über den Typ des anderen Spielers erhält. Er kann also aus seinem eignen Typ
etwas über die anderen Typen lernen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird sich durch diese neue Information ändern.
Dieses Lernen (updating) ist als Bayesian Updating in der
Literatur bekannt. Es folgt den Regeln der statistischen Entscheidungstheorie.
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Beispiel
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Typen:
µ(ah , bh ) = 0.5 µ(ah , bl ) = µ(al , bh ) = 0.125,
µ(al , bl ) = 0.25.
Firma 1 erfährt, dass ihr Typ ah ist. Sie berechnet die
bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass Firma 2 vom Typ
bh ist (bedingt auf das Ereignis, dass Firma 1 ah ist).
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
prob(bh |ah ) =
=
µ(ah , bh )
prob(ah )
0.5
µ(ah , bh )
=
= 0.8.
µ(ah , bh ) + µ(ah , bl )
0.5 + 0.125
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Satz von Bayes
µ(x, y )
prob(x|y ) = Pn
.
i=1 µ(xi , y )
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten werden Vermutungen
(Beliefs) der Spieler genannt. Jeder hat also Vermutungen
über den Typ des anderen.
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Vermutungen der Firma 1
Angenommen, Firma 1 erfährt, dass ihr Typ ah ist.
µ1 (bh |ah ) =
µ(ah , bh )
0.5
4
=
=
µ(ah , bl ) + µ(ah , bh )
0.5 + 0.125
5
µ1 (bl |ah ) =
0.125
1
µ(ah , bl )
=
=
µ(ah , bl ) + µ(ah , bh )
0.5 + 0.125
5
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In diesem Beispiel können die Spieler aus ihrem eigenen
Typ zusätzliche Information über den Typ des Gegners erhalten:
Ohne die Information über den eigenen Typ wäre die
Vermutung von Firma 1, dass sie es mit der Firma bh
zu tun hat, gegeben durch
µ(ah , bh ) + µ(al , bh ) = 0.625.
Nach Kenntnis ihres eigenen Typs (ah ) ändern sich
die Vermutungender Firma 1 zu
µ1 (bh |ah ) = 0.8.
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Interpretation
Die Nachfrageparameter sind positiv korreliert. Hat die Firma 1 einen hohen Nachfrageparameter, i. e. ah , so steigt
die Wahrscheinlichkeit, dass Firma 2 ebenfalls den hohen
Nachfrageparameter hat.
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Bayesianische Entscheidungsfunktion
Hat ein Spieler Information über seinen Typ erhalten, dann
wählt er eine Strategie, die seine erwartete Auszahlung maximiert, gegeben seine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung (seine Vermutungen) über die Typen der anderen
Spieler.
Die Strategie eines Spielers ist dann eine Funktion des
Typs des Spielers: si (ti ). Eine solche Strategie heisst
Bayesianische Entscheidungsfunktion.
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Das Bayesianische Nash Gleichgewicht
Definition 1
Ein Bayesianisches Nash Gleichgewicht ist eine
Kombination von Bayesianischen Entscheidungsfunktionen, die gegenseitig beste Antworten sind.
Beste Antwort heisst, dass die Strategie die erwartete Auszahlung des Spielers maximiert, gegeben
die Strategien der anderen Spieler sowie
seine Vermutungen über die Typen der anderen
Spieler.
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Die Entscheidungsfunktionen si∗ (ti ) ordnet jedem Spielertyp (nicht nur jedem Spieler!) eine Strategie zu.
Diese Strategie maximiert seine erwartete Auszahlung, vorausgesetzt
1
die anderen Spieler verwenden ihre
∗ (t ) und
Entscheidungsfunktionen s−i
−i
2
die bedingten Wahrscheinlichkeiten µi (t−i |ti ) geben
die Information der Spielers i wieder.
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Das Markteintrittsspiel
Extensivform
Natur
•
pk1
¨
•
§
N
(1 − p)k2
¥
•¦
Fa. 1
E
E
•
(0, 3)
K
(−1, 2)
Fa. 2
Z
N
•
K
(0, 3)
Z
(1, 1) (−1, −1) (1, 1)
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Auszahlungen
Die (typenabhängigen) Auszahlungsmatrizen für dieses
Spiel sind mit Wahrscheinlichkeit p
Z |E
E 1, 1
N 0, 3
K |E
−1, k1
0, 3
und mit Wahrscheinlichkeit (1 − p).
E
N
Z |E
1, 1
0, 3
K |E
−1, k2
0, 3
Annahme k1 = 2, k2 = −1.
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Da es nur einen Typ von Firma 1 gibt, lernt Firma 1 nichts
neues über den Typ der Firma 2. Ihre Entscheidungsfunktion ist identisch mit einer Strategienwahl s1 . Diese Strategie
muss ihre erwartete Auszahlung maximieren, gegeben
die typenabhängige Strategie von Firma 2,
(s2 (k1 ), s2 (k2 )), und
die Vermutung der Firma 1 (µ(k1 ) = p, µ(k2 ) = 1 − p).
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Firma 2 hat vier mögliche Entscheidungsfunktionen:
(s2 (k1 ), s2 (k2 )) : ZZ , ZK , KZ , KK .
Erwartete Auszahlung der Firma 1:
Eπ1 = pπ1 (s1 , s2 (k1 ), k1 ) + (1 − p)π1 (s1 , s2 (k2 ), k2 ).
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35 / 70
Auszahlungen von Firma 1
(N, ·): Firma 1 tritt nicht ein ⇒ π1 = 0.
(E, ZZ ): Firma 1 tritt ein, beide Typen von Firma 2
lassen Eintritt zu
⇒ π1 = p · 1 + (1 − p) · 1 = 1.
(E, ZK ): Firma 1 tritt ein, Typ k1 lasst Eintritt zu, k2
kämpft
⇒ Eπ1 = p · 1 + (1 − p) · (−1) = 2p − 1.
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(E, KZ ): Firma 1 tritt ein, k1 kämpft, k2 lässt Eintritt zu
⇒ Eπ1 = p · (−1) + (1 − p) · 1 = 1 − 2p.
(E, KK ): Firma 1 tritt ein, beide Typen von Firma 2
kämpfen
⇒ π1 = −1.
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37 / 70
Erwartete Auszahlungen von Firma 1
für die vier möglichen Entscheidungsfunktionen der Firma 2
ZZ
ZK
KZ
KK
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E
N
1
0
2p − 1 0
1 − 2p 0
−1
0
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38 / 70
Beste Antwort der Firma 1
(s2 (k1 ), s2 (k2 ))
s1
ZZ
E
ZK
N für p ≤ 0, 5,
E für p > 0, 5
KZ
E für p ≤ 0, 5,
N für p > 0, 5
KK
N
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39 / 70
Auszahlungen der Firma 2
Für Typ k1 :
Z |E
E
1
N
3
K |E
2
3
Z |E
1
3
K |E
−1
3
für Typ k2 :
E
N
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Das BNG
Typ k1 hat die dominante Strategie K und Typ k2 hat die
dominante Strategie Z .
Das Bayesianische Nash Gleichgewicht lautet
(N, KZ ) für p > 0, 5,
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(E, KZ ) für p ≤ 0.5
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41 / 70
Das BNG
Dies ist das einzige Nash Gleichgewicht.
Typ k1 wird immer kämpfen, wenn Firma 1 in den
Markt eintritt, und Typ k2 wird einen Eintritt immer
zulassen.
Als beste Antwort wird Firma 1 nicht in den Markt
eintreten, wenn die Wahrscheinlichkeit für Typ k1 hoch
ist (p > 0, 5), und Firma 1 wird eintreten, falls p ≤ 0, 5.
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42 / 70
Dieses Ergebnis ist einfach zu ermitteln, da
1
eine dominante Strategie für jeden Typen des
Monopolisten existiert;
2
und die unvollständige Information nur einseitig ist.
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43 / 70
Beispiel: Preissetzendes Duopol
Normalform des Spiels
Spielermenge: {1, 2}.
Die Mengen der möglichen Typen der Spieler sind die
Nachfrageparameter T1 = {ah , al }, T2 = {bh , bl }.
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung µ ist
µ(ah , bh ) = 0.5 µ(ah , bl ) = µ(al , bh ) = 0.125,
µ(al , bl ) = 0.25.
Strategienmengen: S1 = S2 = R+ .
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44 / 70
Normalform
Auszahlungsfunktionen:
π1 (s, t) = (ai + 0.5p1 /p2 − p1 )p1 ,
π2 (s, t) = (bj + 0.5p1 − p2 )p2 .
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45 / 70
Angenommen, Firma 1 hat erfahren, dass sie vom Typ ah
ist. Ihre Vermutungen sind dann
µ1 (bh |ah ) =
4
= 0.8,
5
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µ1 (bl |ah ) =
Spieltheorie – Teil 3
1
= 0.2.
5
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46 / 70
Die erwartete Auszahlung für Firma 1 wenn sie den Preis
p1 setzt und Firma 2 die Strategie (p2 (bh ), p2 (bl )) spielt ist
·µ
¶ ¸
p2 (bh )
=
(ah + 0.5
− p1 p1 0.8
p1
¶ ¸
·µ
p2 (bl )
− p1 p1 0.2
+ (ah + 0.5
p1
= ah p1 + 0.4p2 (bh ) + 0.1p2 (bl ) − p12 .
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47 / 70
Aus der Bedingung erster Ordnung des Maximierungsproblems ergibt sich als Reaktionsfunktion, bzw. beste–
Antwort–Funktion
p1 (ah ) = 0.5ah .
Analog kann man auch für den Typ al seine Reaktionsfunktion bestimmen:
p1 (al ) = 0.5al .
Die Strategie der Firma 1 hängt also nicht von der typenabhängigen Strategie der Firma 2 ab: Firma 1 hat eine dominante Strategie.
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48 / 70
Vermutungen der Firma 2
Betrachten wir nun Firma 2. Angenommen, sie ist vom Typ
bl .
Ihre Vermutung über den Typ von Firma 1 ist gegeben
durch:
2
1
µ2 (ah |bl ) = , µ2 (al |bl ) = .
3
3
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49 / 70
Erwartete Auszahlung für Firma 2
Eπ2 = [(bl + 0.5p1 (ah ) − p2 ) p2 ] 1/3
+ [(bl + 0.5p1 (al ) − p2 ) p2 ] 2/3
= bl p2 + [1/6p1 (ah ) + 2/6p1 (al )]p2 − p22 .
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50 / 70
Reaktionsfunktion
Aus der Bedingung erster Ordnung des Maximierungsproblems ergibt sich die Reaktionsfunktion für Firma 2 vom Typ
bl :
p2 (bl ) = 0.5(bl + [1/6p1 (ah ) + 1/3p1 (al )]).
Analog ergibt sich Reaktionsfunktion für Firma 2 vom Typ
bh :
p2 (bh ) = 0.5(bh + [0.4p1 (ah ) + 0.1p1 (al )]).
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51 / 70
Bestimmung des Bayesianischen Nash
Gleichgewichts
Firma 1 hat die dominante Strategie pi (ai ) = 0.5ai für i =
h, l. Daraus folgt
p1∗ (ah ) = 0.5ah ,
p1∗ (al ) = 0.5al .
Diese Preise werden nun in die Reaktionsfunktion der Firma 2 eingesetzt. Daraus ergibt sich
p2∗ (bh ) = 0.1ah + 0.25al + 0.5bh ,
p2∗ (bl ) = 1/24ah + 1/12al + 0.5bl .
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52 / 70
Auktionstheorie
Eine Auktion
Zwei potenzielle Käufer möchten ein Gebäude kaufen.
First–price, sealed–bid auction (Ausschreibung) Jeder
gibt ein Gebot in einem verschlossenen Umschlag ab.
Das höchste Gebot gewinnt. Der Gewinner zahlt den
Preis, den er geboten hat.
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53 / 70
Eine Auktion
Information: Jeder Bieter kennt seine eigene
Zahlungsbereitschaft (seinen Typ) vi , aber nicht die
ZB des anderen Bieters.
(Würden die Bieter die Zahlungsbereitschaft der
anderen kennen, dann könnte sich der mit der
höchsten Zahlungsbereitschaft den Zuschlag sichern,
wenn er etwas mehr als die zweithöchste
Zahlungsbereitschaft bieten würde.)
Die Zahlungsbereitschaften (Typen) vi sind
gleichverteilt im Intervall [0, 1].
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54 / 70
Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Typenkombinationen wird durch eine Verteilungsfunktion µ(·) mit der Dichte µ′ (·) dargestellt.
Achtung: µ(t1 , t2 ) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine
Typenkombination (v1 , v2 ) mit vi ≤ ti für i = 1, 2 auftritt,
nicht die Wahrscheinlichkeit der Typenkombination t1 , t2 .
Beispiel: µ(0.5, 0.7) ist die W., dass v1 ≤ 0.5 und v2 ≤ 0.7
ist.
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55 / 70
Verteilungsfunktion
µ(t)
1
¡
¡
¡
¡
¡
¡
v
1
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56 / 70
Beschreibung des Spiels in Normalform
Strategien Jeder Spieler gibt ein Gebot bi ∈ [0, 1] ab,
das von seinem Typ abhängt. Das Gebot eines
Spielers ist also eine Funktion seines Typs (i.e. eine
Bayesianische Entscheidungsfunktion): bi (vi ).
Typenmengen Intervall der möglichen
Zahlungsbereitschaften T = [0, 1].
Auszahlungen Die Auszahlung des Spielers i bei der
Strategienkombination (bi , bj ) ist

für bi > bj
 vi − bi
(vi − bi )/2 für bi = bj .
ui (b1 , b2 ; v1 , v2 ) =

0
für bi < bj
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57 / 70
Optimierungsproblem
Das Strategienpaar (b1 (v1 ), b2 (v2 )) ist ein Bayesianisches
Nash Gleichgewicht (BNG), wenn bi (vi ) eine Lösung des
folgenden Optimierungsproblems ist:
max (vi − bi ) prob{bi > bj (vj )}
bi
+1/2(vi − bi ) prob{bi = bj (vj )}.
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58 / 70
Lineare Bietfunktionen
Wir beschränken uns auf den Fall, dass die Gebote lineare
Funktionen der Typen sind:
bi (vi ) = ai + ci vi
mit 0 ≤ ci ≤ 1,
i = 1, 2.
(Achtung: die Strategienmengen werden dadurch nicht eingeschränkt – es wird nur untersucht, ob es ein Gleichgewicht in linearen Strategien gibt.)
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59 / 70
Eine Auktion
Für den Fall linearer Strategien ergibt sich das Optimierungsproblem:
max(vi − bi )prob{bi > aj + cj vj )}.
bi
(Die Wahrscheinlichkeit für bi = bj ist gleich null.)
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Spieltheorie – Teil 3
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Frage: In welchem Bereich liegt das Gebot des Spielers i in
einem BNG?
Natürlich wird kein Spieler mehr bieten als seine eigene
Zahlungsbereitschaft, i. e. bi ∈ [0, vi ].
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
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Eine Auktion
Aber die optimale Strategie lässt sich noch weiter eingrenzen. Gegeben die Strategie
bj (vj ) = aj + cj vj
des Spielers j muss für i gelten:
Das kleinstmögliche Gebot des Spielers j wäre bj = aj
(falls vj = 0). Damit Spieler i überhaupt eine Chance
hat, muss er dieses Mindestgebot von j überbieten:
bi ≥ a j .
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Eine Auktion
Das höchstmögliche Gebot des Spielers j wäre
bj = aj + cj (falls vj = 1). Es lohnt sich nicht für Spieler
i, dieses Höchstgebot des Spielers j zu überbieten, da
er sonst seine eigene maximale ZB überbieten
müsste. Daher gilt
b i ≤ a j + cj .
Es gilt also:
aj ≤ bi ≤ aj + cj .
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Eine Auktion
Bei Gleichverteilung der Typen gilt prob(x ≤ a) = a, also
prob{bi > aj + cj vj )} = prob{vj < (bi − aj )/cj )}
= (bi − aj )/cj .
Das Maximierungsproblem lautet dann
max(vi − bi )(bi − aj )/cj .
bi
Die Bedingung erster Ordnung ist
vi − 2bi + aj = 0.
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Eine Auktion
Die Reaktionsfunktion des Bieters i lautet also
½
(vi + aj )/2 für vi ≥ aj
bi (vi ) =
.
aj
für vi < aj
Im Fall vi < aj kann Bieter i nicht gewinnen, da j mindestens aj bietet.
(Wir werden später sehen, dass aj = 0.)
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Eine Auktion
Überlegung: Wie gross ist aj ?
Wenn 0 < aj < 1, dann gibt es Werte von vi , so dass vi <
aj , und andere Werte, so dass vi ≥ aj . In diesem Fall ist
bi (vi ) nicht linear:
bi
aj
¡
¡
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¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
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Eine Auktion
Da wir uns auf lineare Strategien beschränken, können wir
den Fall 0 < aj < 1 ausschliessen.
Der Fall aj ≥ 1 kann im Gleichgewicht nicht auftreten: Da
cj ≥ 0, impliziert aj ≥ 1 dass bj (vj ) = aj + cj vj ≥ vj . Es
kann aber nicht optimal sein, mehr als seine eigene ZB zu
bieten.
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Eine Auktion
Es bleibt der Fall aj ≤ 0, so dass bi (vi ) = (vi + aj )/2. Aus
bi (vi ) = (vi + aj )/2 =
aj
v
+ i = ai + ci vi
2
2
folgt ai = aj /2 und ci = 1/2.
Analog dazu giltz für Spieler j: aj = ai /2 und cj = 1/2.
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Eine Auktion
Daraus folgt ai = aj = 0, ci = cj = 1/2. Das impliziert
bi (vi ) = vi /2.
Die optimale Strategie lautet also: Biete die Hälfte deiner
ZB.
Trade off: Ein höheres Gebot erhöht zwar die Wahrscheinlichkeit, den Zuschlag zu bekommen, schmälert aber
gleichzeitig den Gewinn für den Fall, dass der Spieler den
Zuschlag bekommt.
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Optimale Strategie bei n Bietern
bi (vi ) =
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n−1
vi .
n
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