Probeklausur - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Priv.-Doz. Dr. P. Quast
Differentialgeometrie
WS 10/11
Probeklausur
1. Februar 2011
Name:
Aufgabe
Punkte
1
2
3
4
Gesamtpunktzahl:
Gesamturteil:
• Schreiben Sie unbedingt auf jedes Blatt Ihren Namen und lösen Sie jede Aufgabe nur auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Sollte Ihnen der Platz nicht reichen, fügen Sie an der entsprechenden Stelle ein zusätzliches
Blatt mit Ihrem Namen ein.
• Arbeitszeit: 180 Minuten.
• Hilfsmittel sind nicht erlaubt.
• Alle Antworten sind sorgfältig zu begründen.
Name:
(10)
Aufgabe 1
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Kreuzen Sie Ihre Antwort an.
Jede richtige Antwort ergibt einen Pluspunkt, jede falsche einen Minuspunkt. Enthaltungen werden nicht gewertet.
Für die Bewertung dieser Aufgabe nehmen wir das Maximum Ihrer Gesamtpunktzahl und 0.
Eine genaue Begründung Ihrer Antwort wird in dieser Frage nicht verlangt.
Aussage
wahr
Die Mannigfaltigkeit S 2 ist parallelisierbar.
Jede Frenetkurve mit konstanter Krümmung verläuft in einer Ebene.
Jede glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist lokal diffeomorph zu Rn .
Die zweite Fundamentalform (hij (u)) einer eingebetteten Fläche ist an
jedem Punkt u positiv definit.
Jede glatte Abbildung S n → R kann zu einer glatten Abbildung
Rn+1 → R fortgesetzt werden.
Jede reguläre Kurve (a, b) → R3 definiert eine Immersion (a, b) → R3 .
Die Kegelfäche S ⊂ R3 hat überall verschwindende mittlere Krümmung.
Ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und p ∈ M , so ist Derp (M )
ein n-dimensionaler reeller Vektorraum.
X 2011 − 30X 17 + X + 3 ∈ C[X] hat keine Nullstelle.
Die Menge der Vektorfelder Γ(T S 3 ) ist ein endlichdimensionaler, reeller
Vektorraum.
2
falsch
Name:
(2+2+2+2+2)
Aufgabe 2
Wir betrachten die Zykloide
c : [0, 2π] → R2 , t 7→
t − sin(t)
1 − cos(t))
.
(a) Skizzieren Sie die Kurve c.
(b) Berechnen Sie für s ∈ [0, 2π] die Länge L(c|[0,s] ). Hinweis: cos(2x) = 1 − 2 sin2 (x).
(c) Berechnen Sie eine orientierungserhaltende Parametertransformation φ : [0, 8] → [0, 2π], so dass die Kurve
d := c ◦ φ : [0, 8] → R2 nach Bogenlänge parametrisiert ist.
(d) Berechnen Sie die orientierte Krümmung κc (t) für t ∈ [0, 2π].
(e) Definieren Sie für eine geschlossene reguläre Raumkurve c : [a, b] → R3 die Totalkrümmung κ(c) ∈ R und
formulieren Sie den Satz von Fenchel.
3
Name:
(3+2+2+3)
Aufgabe 3
Wir betrachten die glatte Funktion
f : Rn+1
→ R,
(x1 , . . . , xn+1 ) 7→ x21 + . . . + x2n − x2n+1
und für c ∈ R die Teilmenge
Mc := {x ∈ Rn+1 | f (x) = c} ⊂ Rn+1 .
(a) Man zeige, dass für c 6= 0 die Teilmenge Mc ⊂ Rn+1 eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. Welche Dimension
hat Mc ?
(b) Skizzieren Sie für den Fall n = 1 die Teilmenge M1 ⊂ R2 .
(c) Begründen Sie, warum M0 für n ∈ N keine Untermannigfaltigkeit im Rn+1 ist. Betrachten Sie dazu zunächst
den Fall n = 1. Hinweis: In dieser Teilaufgabe ist kein detaillierter Beweis erforderlich; es genügt eine
anschauliche Begründung.
(d) Wir betrachten die glatten Vektorfelder
X(x1 , x2 , x3 )
Y (x1 , x2 , x3 )
∂
∂
+ x2
∂x2
∂x3
∂
∂
:= x3
+ x1
∂x1
∂x3
:= x3
auf R3 . Zeigen Sie, dass sich X und Y zu glatten Vektorfeldern auf M1 ⊂ R3 einschränken. Berechnen Sie
den Kommutator [X, Y ] und überzeugen Sie sich, dass sich auch [X, Y ] zu einem glatten Vektorfeld auf M1
einschränkt.
4
Name:
(3+3+2+2)
Aufgabe 4
Es seien a, b > 0 positive reelle Zahlen. Wir betrachten das Rotationsellipsoid S ⊂ R3 , das durch die Parametrisierung


a sin(θ) cos(φ)
F : (0, π) × (0, 2π) → R3 , (θ, φ) 7→  a sin(θ) sin(φ) 
b cos(θ)
gegeben ist.
(a) Berechnen Sie die erste Fundamentalform (gij (θ, φ)) und ein Einheitsnormalenfeld von S.
(b) Berechnen Sie die zweite Fundamentalform (hij (θ, φ)) von S.
(c) Berechnen Sie die darstellende Matrix der Weingartenabbildung (wij (θ, φ)) und die Hauptkrümmungen von
S in Abhängigkeit von (θ, φ).
(d) Berechnen Sie die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung von S in Abhängigkeit von (θ, φ).
5