Komplexe Analysis 2 - Bergische Universität Wuppertal

Sommersemester 2017
Bergische Universität Wuppertal
Komplexe Analysis 2
Übungsblatt R
Dr. R. Andrist
Abgabe: –
1. Hinweis: Beachten Sie, dass die kategorientheoretische Definition von Mono- bzw.
Epimorphismus von der mengentheoretischen abweicht.
Sei folgendes kommutative exakte Diagramm abelscher Gruppen (bzw. abelscher Kategorien) gegeben:
f
A
-
-
C
m
l
?
A
g
B
?
r
0
B
-
0
h
-
D
?
-
C
0
-
p
n
s
j
?
t
-
D
0
E
q
u-
?
E0
(a) Zeigen Sie: Wenn m und p Monomorphismen und l ein Epimorphismus ist, dann
ist n ein Monomorphismus.
(b) Zeigen Sie: Wenn m und p Epimorphismen und q ein Monomorphismus ist, dann
ist n ein Epimorphismus.
(c) Zeigen Sie: Wenn m und p Isomorphismen sowie l ein Epimorphismus und q ein
Monomorphismus ist, dann ist n ein Isomorphismus.
(d) Zeigen Sie, dass in der vorangehenden Teilaufgabe die Existenz von n als Morphismus eine notwendige Voraussetzung ist.
Hinweis: man findet ein Gegenbeispiel in den endlichen abelschen Gruppen mit
A = A0 = E = E 0 = 0.
2. (a) Sei p ∈ N0 , seien X und Y komplexe Mannigfaltigkeiten und seien ΩpX , ΩpY bzw.
ΩpX×Y die Garben holomorpher p-Formen auf X, Y bzw. X × Y . Zudem gelte:
Ȟ q (Y, ΩpY ) = 0 und Ȟ q (Y, ΩpY ) = 0 für q ≥ 1. Zeigen Sie, dass Ȟ q (X × Y, ΩpX×Y ) =
0 für q ≥ 1.
(b) Zeigen Sie, dass die Standard-Karten für CPn eine Leray-Überdeckung bzgl. der
Garben Ωp , p ≥ 0, bilden.
(c) Zeigen Sie, dass
q
n
p
Ȟ (CP , Ω ) =
C
0
falls 0 ≤ p = q ≤ n
sonst
(d) Bilden die Standard-Karten eine Leray-Überdeckung für die Garbe O∗ ?
3. Geben Sie auf C∗ × C∗ explizit ein verallgemeinertes multiplikatives Cousin-Problem
an, das nicht lösbar ist.
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4. Zeigen Sie, dass Ȟ 1 (C2 \ {0}, O) unendlich-dimensional ist. Betrachten Sie dazu die
Überdeckung U := {U1 , U2 } mit Uj := {z ∈ C2 : zj 6= 0}. Hinweis: vgl. dazu auch
Aufgabe 2. (a).
5. (a) Zeigen Sie, dass die Standard-Karten von CP1 eine lokale Trivialisierung für O(1)
und O(−1) liefern. Bestimmen Sie für diese Geradenbündel die jeweiligen KozykelAbbildungen.
(b) Wir definieren für m ∈ N die Geradenbündel O(m) := O(1)⊗m und O(−m) :=
O(−1)⊗m sowie O(0) := CP1 × C. Bestimmen Sie die Kozykel-Abbildungen.
(c) Bestimmen Sie die Kozykel-Abbildungen für das Tangentialbündel T CP1 . Zu welchem Geradenbündel O(m), m ∈ Z, ist es isomorph?
6. Sei X ein parakompakter Hausdorffraum. Zeigen Sie:
(a) Seien A, B ⊂ X disjunkte, abgeschlossene Mengen und zu jedem x ∈ A existiere
eine offene Umgebung Ux sowie eine offene Umgebung Vx von B mit Ux ∩ Vx = ∅.
Dann gibt es disjunkte offene Umgebungen von A und B.
(b) X ist ein normaler Raum, d.h. jeder Punkt bildet eine abgeschlosse Menge und zu
je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen gibt es disjunkte offene Umgebungen.
(c) Zu jeder offenen Überdeckung U von X gibt es eine lokal-endliche abgeschlossene
Verfeinerungsüberdeckung W.
7. Die Hopf-Mannigfaltigkeit zu einer vorgegebenen Kontraktion γ : Cn → Cn , z 7→ α · z
mit α ∈ C∗ , |α| < 1, ist definiert durch X := (Cn \ {0})/∼ wobei z ∼ w :⇔ ∃m ∈
Z : z = γ m (w).
(a) Die Karten ergeben sich durch die lokal invertierbare natürliche Projektion π : Cn \
{0} → X. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist und dass X eine komplexe
Mannigfaltigkeit der Dimension n ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Hopf-Mannigfaltigkeit X zu S 1 × S 2n−1 homöomorph ist.
(c) Für algebraische Topologen: Zeigen Sie mit Hilfe der Künneth-Formel, dass für
n = 2 gilt:
Z p = 0, 1, 3, 4
p
Ȟ (X, Z) =
0 sonst
(d) Zeigen Sie, dass die Hopf-Mannigfaltigkeit X der Dimension n = 1 zu einem Torus
C/Γ biholomorph ist und bestimmen Sie das Gitter Γ in Abhängigkeit von α.
(e) Bestimmen Sie die Picard-Gruppe Pic(X) der Hopf-Mannigfaltigkeit X für n = 2.
Hopf-Mannigfaltigkeiten der Dimension 2 sind die “einfachsten” Beispiele kompakter
komplexer Mannigfaltigkeiten, die nicht in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden können.
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8. Sei Γ ⊂ C ein Gitter. Dann ist die Weierstraßsche ℘-Funktion definiert durch:
X 1
1
1
℘(z) := 2 +
−
z
(z − γ)2 γ 2
γ∈Γ\{0}
(a) Zeigen Sie, dass diese Reihe konvergiert und eine holomorphe Abbildung C/Γ →
CP1 induziert.
(b) Leiten Sie folgende Relation her:
(℘0 (z))2 = 4 · ℘(z)3 − g2 (Γ) · ℘(z) − g3 (Γ)
Dabei sind g2 (Γ) und g3 (Γ) vom Gitter Γ abhängige Konstanten.
(c) Zeigen Sie, dass [z] 7→ [℘(z) : ℘0 (z) : 1] eine holomorphe Einbettung (injektiv,
immersiv, eigentlich) des Torus in CP2 definiert.
9. Poincaré-Dualität: Sei X eine C ∞ -Mannigfaltigkeit der Dimension n. Wir definieren
ein Cup-Produkt in der de Rham-Kohomologie
∧ : Hdp (X) × Hdq (X) → Hdp+q (X)
durch [α] ∧ [β] = [α ∧ β].
(a) Zeigen Sie, dass dieses Cup-Produkt wohldefiniert und ein Gruppenhomomorphismus ist sowie die gleichen Kommutativitäts-/Antikommutativitätsrelationen aufweist wie das Keil-Produkt ∧ für Differentialformen.
(b) Eine zusammenhängende C ∞ -Mannigfaltigkeit X der Dimension n ist genau dann
orientierbar, wenn es eine nirgends verschwindende Differentialform vom Grad n
gibt. Zeigen Sie, dass dies für eine zusammenhängende C ∞ -Mannigfaltigkeit X
äquivalent dazu ist, dass det T ∗ X ein triviales Geradenbündel ist.
(c) Die de Rham-Kohomologie-Gruppen einer kompakten C ∞ -Mannigfaltigkeit sind
endlich-dimensional. Zudem gilt dann, dass Hdn (X) ∼
= R. Folgern Sie daraus mit
Hilfe des Cup-Produktes, dass für eine zusammenhängende, kompakte, orientierbare C ∞ -Mannigfaltigkeit X gilt:
Hdk (X) ∼
= Hdn−k (X)
für k = 0, . . . , n
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10. Rechenaufgabe: Für den den Torus T := C/(Z ⊕ iZ) sei folgende Überdeckung mit
offenen Rechtecken U = {U1 , U2 , U3 , U4 } gegeben:
U1
U4
U2
U3
(a) Zeigen Sie, dass U eine Leray-Überdeckung bezüglich der Garbe R ist.
(b) Berechnen Sie damit die Čech-Kohomologie von T bezüglich der Garbe R. Beachten Sie, dass die Durchschnitte u.U. nicht zusammenhängend sind.
11. Für algebraische Topologen:
(a) Sei X eine parakompakte topologische Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Menge
U ⊆ X ordnen wir die singulären q-Ketten auf U zu. Die entsprechende Kohomoq
logiegruppen mit Koeffizienten in Z bezeichnen wir mit Hsing
(U ). Zeigen Sie, dass
wir durch die garbifizierten q-Koketten S q (·) eine azyklische Auflösung der konq
(X) ∼
stanten Garbe mit Halm Z erhalten und schließen Sie, dass Hsing
= Ȟ q (X, Z).
(b) Sei X eine parakompakte C ∞ -Mannigfaltigkeit. In welcher Relation stehen
q
Hsing
(X) und die de Rham-Kohomologie?