Plenarübung

Kontinuumsmechanik, Prof. Popov, WiSe 15/16, 9.&10. Woche
Elementare Hydrodynamik
Plenarübung
18.12.2015
(b)
SQ =
Aufgabe 63
Ein Hochofengebläse drückt Luft (Dichte ̺L ) mit dem Druck p1 in eine Rohrleitung vom Durchmesser d1 . Der Volumenstrom Q soll durch eine einfache Druckablesung kontrolliert werden. Zu
diesem Zweck ist in die Leitung eine Verengung mit einem U-Rohr-Manometer eingebaut (Dichte
der Flüssigkeit ̺W ).
(a) Berechnen Sie den Volumenstrom
p1
Q als Funktion der im Manometer angezeigten Höhendifferenz
hm bei vorgegebenen Durchmesd1
d2
p2
v2
v
sern d und d .
1
Lösungshinweise Seite 1
1
2
(b) Berechnen Sie die Empfindlichkeit
̺L
dhm
SQ =
dQ
A
1
1
− 4
d42
d1
hm
̺W
(c) Geben Sie den Vektor der Kraft an, die der Wasserstrahl
auf den Kolben ausübt!
g
M
2
ez
v1
p1 , A1
d2
d21
= v2 · π 2 = Q
4
4
4Q
(∗)
v2 =
πd22
2
d2
⇒ v1 = v2
d1
(1)
(2)
(3)
ex
(a) Mit der Bernoulli-Gl. folgt für die Punkte 1 und 2
eines Stromfadens:
v12
p1
+
+ gz1 =
2
ρ
v12
p1
+
+ g(−h1 ) =
2
ρ
v22
p2
+
+ gz2
2
ρ
v22
p0
+
2
ρ
(12)
(13)
Da v1 und v2 unbekannt sind, benötigt man eine zweite
Gleichung. Nach der Kontinuitätsgleichung gilt:
Bernoulligleichung:
v12
v2
+ p 1 = ̺L 2 + p 2
2
2
(4)
(3) in (4)
1−
d2
d1
4 !
= p1 − p2
U-Rohr (hydrostatisches Grundgesetz):
p1 = p2 + ̺W g∆h
⇒ p1 − p2 = ̺W g∆h
(7) in (5)
⇒
p0
N.N.
h1
Geg.: A1 , p1 , A2 , h1 , p0 , g, ρ
v1 · π
4 i
2 h
4Q
d2
1−
= ̺W g∆h
πd22
d1
v
u
u 2g∆h · ̺̺W
4Q
L
u
=
4
t
πd22
d2
1 − d1
̺L
⇒
2
3
z
(a) Kontinuitätsgleichung:
(∗)
(11)
Aus einem Rohr mit der Querschnittsfläche A1 tritt an der Stelle 2 durch eine Düse (Querschnitt
A2 ) ein dünner Wasserstrahl aus und trifft an der Stelle 3 auf einen senkrecht geführten Kolben
der Masse M . Dort wird der Strahl horizontal abgelenkt. Der dann folgende dünn gestrichelt gezeichnete weitere Verlauf soll nicht berücksichtigt werden. Die Reibung soll vernachlässigt werden,
das Wasser habe die konstante Dichte ρ.
(d) Bestimmen Sie die statische Ruhelage des Kolbens z.
v2
̺L 2
2
Q
Aufgabe 72
(b) Wie groß ist die Geschwindigkeit v3 (z) des Wassers nach
der Umlenkung am Kolben in Abhängigkeit von der Höhe
z des Kolbens? v2 soll jetzt gegeben sein. Bitte das Ergebnis aus Teil (??) nicht mehr einsetzen!
Gegeben: ̺W , ̺L , p1 , d1 , d2 , g, reibungsfreie, inkompressible Strömung
̺L
(a) Bestimmen Sie die Düsenaustrittsgeschwindigkeit v2 !
B
für das untersuchte Volumenstrommeßgerät. Zeichnen Sie
die Empfindlichkeit SQ unter
Berücksichtigung charakteristischer Werte in einem Diagramm
als Funktion des Volumenstroms
Q.
16̺L
dhm
= 2
dQ
π g̺W
Q=
v
u
2g∆h · ̺̺W
πd22 u
L
u
4
4 t
d2
1 − d1
(5)
ρv1 A1 = ρv2 A2
A2
⇒ v1 = v2
A1
v h
i
u
u 2 1 (p − p ) − gh
0
1
u ρ 1
⇒ v2 = u
2
t
A2
1− A
1
(14)
(15)
(16)
(b) Mit der Bernoulli-Gl. folgt für die Punkte 2 und 3
(6) eines Stromfadens mit p2 = p3 = p0 :
(7)
p2
v2
p3
v22
+
+ gz2 = 3 +
+ gz3
(17)
2
ρ
2
ρ
v2
v22
= 3 + gz
(18)
2
2
q
(8)
⇒ v3 =
v22 − 2gz
(19)
(9) (c) Die Strahlkraft F S des Fluids auf den Kolben berechnet sich nach folgender Formel:
(10)
F S = ṁv 3
Konti: ṁ = ρv2 A2
⇒ F S = ρv2 A2
(20)
(21)
q
v22 − 2gz ez
(22)
Kontinuumsmechanik, Prof. Popov, WiSe 15/16, 9.&10. Woche
Elementare Hydrodynamik
(d) In der Statischen Ruhelage zs ist die Summe der
äußeren Kräfte auf den Kolben gleich Null:
0 = FS + Mg
q
M gez = ρv2 A2 v22 − 2gzs ez
"
2 #
M
g
1
v2 −
⇒ zs =
2g 2
ρA2 v2
Lösungshinweise Seite 2
18.12.2015
Tutorium
Aufgabe 62
(23)
(24)
(25)
Auf einem Podest der Höhe H ′ = 0, 5m steht ein
großes Gefäß (Durchmesser D = 1m), welches bis zu
Höhe H = 1m mit Wasser gefüllt ist (vgl. nebenstehende Skizze). Dieses Gefäß wird mit Hilfe eines
Schlauches (Durchmesser d = 1cm) nach dem Heberprinzip entleert.
(a) Wie groß ist bei reibungsloser Strömung die
Wasseraustrittsgeschwindigkeit vA = f (h)
am Schlauchende in Abhänigkeit von der
veränderlichen Wasserhöhe h im Behälter?
(b) Wie groß ist bei reibungsloser Strömung die Entleerungszeit T des Behälters?
(a)
Austrittsgeschwindigkeit vA in Abhängigkeit vom
Wasserstand h:
Aufgrund des großen Gefäßdurchmessers D ändert sich
der Wasserstand h nur sehr langsam. Im gesamten System
können daher die Strömungsgeschwindigkeiten wieder als
annähernd konstant angesehen werden, sodaß ein quasistationärer Ansatz gewählt werden kann.
Stationäre, reibungslose Bernoulli-Gleichung von der Wasseroberfläche B bis zum Ausfluß A (Höhenform):
v2
p0
v2
p0
+ B + (H ′ + h) =
+ A +0
ρ·g
2g
ρ·g
2g
(26)
Nach der Kontinuitätsgleichung gilt:
vB =
d 2
D
· vA ≪ vA
(27)
Die Sinkgeschwindigkeit vB des Wasserspiegels ist wieder
sehr klein und somit in der Bernoulli-Gleichung gegenüber
der Ausströmgeschwindigkeit vA vernachlässigbar. Man
erhält somit für vA :
p
vA = 2g(H ′ + h)
(28)
Ausflußformel von Torricelli.
(b) Entleerungszeit T :
Die Entleerungszeit bei reibungsloser Strömung erhält
man durch Integration der Gleichung:
dh
vB = −
dt
Z T
Z
⇒T =
dt = −
t=0
Mit vB =
d 2
D
(29)
0
h=H
· vA und vA =
1
dh =
vB
Z
H
h=0
1
dh
vB
p
2g(H ′ + h) erhält man:
Z H
1
dh
√
T =
·√ ·
d
2g h=0 H ′ + h
D 2 1 √
H
√
=
2 H′ + h d
2g
0
D 2 r 2 √
√ ·
H′ + H − H′
T =
d
g
D 2
(30)
(31)
(32)
(33)
Kontinuumsmechanik, Prof. Popov, WiSe 15/16, 9.&10. Woche
Elementare Hydrodynamik
Mit den Werten der Aufgabenstellung:
s
1m 2
2
T =
0,01m
9,81m/s2
p
p
·
0,5m + 1m − 0,5m
T = 2337s
Lösungshinweise Seite 3
18.12.2015
Hausaufgaben
(34)
(35)
(36)
Aufgabe 61
Ein dreigeschossiges Wohnhaus werde aus einem Kessel versorgt. Die Füllhöhe H im Kessel
sei konstant. Der Luftdruck im Kessel sei pi .
Der Austrittsquerschnitt F1 und die Höhen der
Austritte hα (α = 1, 2, 3) seien gegeben. Die
Strömung sei stationär. Das Fluid sei inkom- H
pressibel und reibungsfrei. Der Umgebungsdruck betrage p0 = 61 pi .
g
F3
pi
ρ
z
F2
p0
F1
h3
h2
h1
(a) Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeiten v1 , v2 und v3 abhängig von den gegebenen
Größen p0 , ρ, g, H, h1 , h2 , h3 .
(b) Wie groß müssen die Flächen F2 und F3 sein, damit überall derselbe Massenstrom Ṁ abfließt?
Aufgabe 71
Ein Ball vom Gewicht G wird von einem Luftstrahl reibungsfrei umströmt und dadurch in der
Schwebe gehalten. Der Strahl strömt unter dem Winkel α1 mit der Geschwindigkeit v1 an. Die
Kompression der Luft in der Nähe des Balls kann ebenso vernachlässigt werden wie die Wirkung
der Schwerkraft auf den Luftstrahl. Es soll keine horizontale Kraft vom Luftstrahl auf den Ball
ausgeübt werden.
(a) Wie groß ist v2 (Abströmgeschwindigkeit)?
(b) Wie groß ist der Abströmwinkel α2 ?
(c) Welcher Massenstrom im Strahl ist erforderlich, damit der
Ball schwebt?
Geg.: v1 , G, α1 , p0
(a) Bernoulli:
1
1
p0 + ρv12 = p0 + ρv22
2
2
⇒ v12 = v22 ⇒ v1 = v2 J = Massenstrom
(38)
(39)
(40)
⇒ α2 = α1
v2 = v1
(c) vertikale Komponente des Impulssatzes:
Fy = −G = J(−v2 sin α − v1 sin α)
mit v2 = v1 , α2 = α1 :
J=
G
2v1 sin α1
ist der erforderliche Massenstrom.
(Bernoulli)
pk
v2
p1
v2
+ k + gH =
+ 1 + gh1
ρ
2
ρ
2
(45)
p0
v2
6p0
+ gH =
+ 1 + gh1
ρ
ρ
2
v12
5p0
⇒
=
+ g(H − h1 )
2
ρ
(46)
(47)
Analoges Vorgehen für (k) → (2) und (k) → (3)
Annahme: keine Kraft in x-Richtung
0 = J(v2 cos α2 − v1 cos α1 )
p v2
+
+ gz = konst.
ρ
2
mit pk = pi = 6p0 , vk = 0 und p1 = p0
horizontale Komponente
Fx = J(v2 cos α2 − v1 cos α1 )
Bei stationären Strömungen gilt entlang eines Stromfadens:
(a) Die Austrittsgeschwindigkeiten v1 , v2 und v3 bestimmen wir mit (Bernoulli) vom Kessel zum jeweiligen Abfluss. Wir nehmen dabei an, der Kessel (k) ist groß genug, um die Fließgeschwindigkeit in ihm vernachlässigen
(37) zu können. (vk = 0)
Es ergibt sich für den Stromfaden (k) → (1)
(b) Impulssatz für einen Stromfaden:
F = J(v 2 − v1 ),
(c) In welcher maximalen Höhe über dem Boden zmax könnte gerade noch Wasser entnommen
werden?
(41)
(42)
6p0
+ gH
ρ
v2
⇒ 2
2
6p0
+ gH
ρ
v2
⇒ 3
2
p0
v2
+ 2 + g(h1 + h2 )
ρ
2
5p0
=
+ g(H − h1 − h2 )
ρ
p0
v2
=
+ 3 + g(h1 + h2 + h3 )
ρ
2
5p0
=
+ g(H − h1 − h2 − h3 )
ρ
=
(48)
(49)
(50)
(51)
Umformen von (33),(35) und (37) nach den Geschwindigkeiten:
r
p0
(52)
v1 = 10 + 2g(H − h1 )
ρ
r
p0
(43)
v2 = 10 + 2g(H − h1 − h2 )
(53)
ρ
r
p0
(54)
v3 = 10 + 2g(H − h1 − h2 − h3 )
ρ
(44)
(b) Der Massenstrom Ṁ = ρAv soll aus allen Ausflüssen
gleich groß sein. Vergleicht man die Austritte 1 und 2 unter
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Elementare Hydrodynamik
Lösungshinweise Seite 4
18.12.2015
Berücksichtigung der Querschnitte F1 und F2 sowie der (b) Radius des Abflussrohres zwischen B und C:
ebend ermittelten Fließgeschwindigkeiten v1 und v2 ergibt
R
r(z) = R + z
(64)
sich (für ρ = konst.):
h
Querschnittsfläche zwischen B und C:
!
(55)
ρF1 v1 = ρF2 v2
R
(65)
A(z) = πr(z)2 = π(R + z)2
v1
h
(56)
⇒ F2 = F1
v2
Die Geschwindigkeit an der Rohröffnung wird mit der Ausflussformel von Toricelli (alternativ: Bernoulli A-D) beUnd genauso für F3 :
stimmt:
p
!
(57)
ρF1 v1 = ρF3 v3
(66)
vD = 6gh
⇒ F3 = F1
v1
v3
folgt unmittelbar
(58) und aus der Kontinuitätsgleichung
p
vC = vD = 6gh.
(67)
Aus (38),(39) & (40) lässt sich erkennen, dass v3 < v2 < Mit der Kontinuitätsgleichung kann nun die Geschwindigv1 , also müssen die Austrittsflächen größer werden je höher keit in einem beliebigen Punkt z zwischen B und C beman wohnt, um den selben Massenstrom Ṁ zu erreichen: rechnet werden:
F3 > F2 > F1 .
A(z)v(z) = AC vC
(68)
2
p
πR
(c) Je höher wir wohnen, desdo langsamer tritt also das
⇔ v(z) =
2 6gh
Wasser aus. Im Grenzfall liegt der Austritt so hoch, dass
π R+ R
hz
das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 0 austritt. Wenn
√
6gh
wir diese Information in (Bernoulli) berücksichtigen
(69)
v(z) =
2 .
1 + hz
und einen Stromfaden (k) → (zmax ) betrachten ergibt
sich:
(c) An der Rohröffnung ist der Druck in der Flüssigkeit
v2
p0
02
pk
+ k + gH =
+
+ gzmax
(59) gleich dem Außendruck und aus der Bernoulligleichung
ρ
2
ρ
2
folgt mit (53):
p0
(60)
5 + gH = gzmax
pC = pD = p0 .
(70)
ρ
⇒ zmax = 5
p0
+H
gρ
(61)
Aufgabe 73
Aus dem Abflussrohr eines großen Behälters
trifft Wasser auf eine Wand.
Das Abflussrohr besitzt einen kreisförmigen
Querschnitt. Der Querschnittsradius r verkleinert sich entlang der Rohrlänge linear von
r(z = h) = 2R bei B auf r(z = 0) = R bei
C. Zwischen C und D ist der Querschnitt konstant.
Die Querschnittsfläche des Abflussrohres ist
im Vergleich zur freien Wasserfläche im
Behälter vernachlässigbar klein. Außerdem ist
auch der Radius r des Rohres gegenüber der
Höhe h vernachlässigbar klein. Das Wasser
kann als ideales Fluid und die Strömung als
stationär betrachtet werden.
Gegeben: g, ρ, p0 , h, R
p0
A
g
ρ
2h
B
Der Druck in einem beliebigen Punkt z zwischen B und C
kann nun ebenfalls mit der Bernoulligleichung berechnet
werden:
ρ
ρ 2
p(z) + v(z)2 + ρgz = pC + vC
+0
(71)
2
2
ρ 2
− v(z)2 )
⇔ p(z) = p0 − ρgz + (vC
2"
#
6gh
ρ
6gh −
= p0 − ρgz +
4
2
1+ z
h
h
z
C
D
E
3ρgh
p(z) = p0 + ρg(3h − z) −
4
1 + hz
(d) Die Kraft auf die Wand wird mit dem Impulssatz berechnet. Dazu wird zunächst der Massenstrom bestimmt:
(a) Geben Sie den Wasserdruck p(z) im Behälter in Abhängigkeit der Koordinate z an. Wie groß
ist der Wasserdruck am Behälterboden (Tiefe 2h)?
JD = ρAD vD
p
= πρR2 6gh
(b) Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit v(z) zwischen B und C in Abhängigkeit von der
Höhe z.
(c) Ermitteln Sie den Druckverlauf p(z) zwischen B und C in Abhängigkeit von der Höhe z.
(d) Welche Kraft übt der Wasserstrahl bei E auf die Wand aus?
Hinweis: Überlegen Sie bei (b) und (c) zunächst, wie groß Strömungsgeschwindigkeit und Druck
an den Stellen D und C sind.
(a) Hydrostatik:
p(z) = p0 + ρg(3h − z)
am Behälterboden herrscht der Druck
p(z = h) = p0 + 2ρgh
(72)
(73)
(74)
Der Impulssatz liefert die Kraft auf die Flüssigkeit:
FF = JD (vE − vD ) mit vE = 0
= −6πρghR2.
(75)
Die Kraft auf die Wand hat den gleichen Betrag, ist jedoch
(62) entgegen gesetzt gerichtet. Also übt der Wasserstrahl die
Kraft
F = −FF = 6πρghR2
(63) auf die Wand aus.
(76)