Tragsysteme Sommersemester 2017

Tragsysteme
Sommersemester 2017
Grundlagen der Statik
´´In einem Inertialsystem bleibt jeder Körper in
Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, solange es keine
Außenkräfte auf ihn wirken oder die Summe der auf ihn
wirkenden Kräfte null ist. ``
(Sir Isaac Newton)
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Fachbereich Architektur
Verfasser: Student Elvin Taner
Inhaltsverzeichnis
Gleichgewicht im System
Kräftegleichgewicht…..………………………………………………… 03
Momentgleichgewicht……………………………………………..04-05
Lasten und Lastabtrag
(Einzellast/Punktlast)…………………………………………………….06
Linienlasten……………………………………………………………….……..07
Flächenlasten…………………………………………………………………..08
Kräfteverteilung und
Biegebeanspruchung..…………………………………………09
Auflagerkräfte und Schnittgrößen
Auflagerkräfte……………………………………………………10
Beispielaufgabe Auflagerkräfte………………..11-13
Schnittgrößen…………………………………………..……13-15
Beispielaufgabe Schnittgrößen………………....15-17
Resultierende und Wirkung
bei unterschiedlichen Lasten……………………17-18
Beispielaufgabe…………………………………………………..19
Aussteifung…………………………………………………………20
Arten von horizontale Lasten………………………….21
Möglichkeiten der Aussteifung…………….....22-23
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1.Gleichgewicht im System.
a) Kräftegleichgewicht
Damit die Gleichgewichtsbedingungen der Statik erfüllt werden, muss die
Summe aller Kräfte gleich NULL sein.
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∑F = 0
=> F + Fa + Fb = 0, F = - (Fa + Fb)
b) Momentgleichgewicht
Gleichgewichtsbedingungen:
∑F = 0
∑M = 0
Die Summe aller Kräfte ergibt Null
Die Summe aller Momente ergibt Null
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Beispiel allgemein:
In diesem Beispiel wirken zwei Kräfte an den Enden eines Stabes
der drehbar gelagert ist. Damit die Gleichgewichtsbedingungen für
Momente erfüllt sind muss die Summer der Momente gleich Null sein:
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∑ M = 0 Summe aller Momente ergibt 0.
=> F1 x L1 – F2 x L2 = 0
2.Lasten und Lastabtrag.
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2.1. Nach Dauer der Entwicklung unterscheidet man:
a) ständige Lasten (Konstruktionsgewicht, Estrich, Belag, Putz, untergehängte
Decke)
b) veränderliche Lasten (Verkehrslasten (Personen, Einrichtung, Fahrzeuge),
Schnee, Wind, leichte Trennwände, Temperaturänderung, Grundwasser).
2.2. Nach Art der Verteilung :
a) Einzellasten/Punktlasten
- unter Einzellast versteht man streng genommen eine punktförmige Last mit
vertikaler Kraftwirkung.
b) Linienlasten
- unter einer Linienlast versteht man Kräfte, die entlang einer Linie (gerade oder
gekrümmt) angreifen.
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- horizontaler Kraftwirkung.
b) Flächenlasten
- unter einer Flächenlast versteht man eine Last, die auf eine Fläche bezogen
wird (z.B. Lagergut auf einer Decke oder Eigengewicht einer Stahlbetonplatte).
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*verteilte Lasten können gleichmäßig oder ungleichmäßig verteilt sein!
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2.3.Kräfteverteilung.
2.4. Biegebeanspruchung.
- wenn lange, schlanke Bauteile wie Stützen, Balken etc. durch eine
Kraft quer zur Stabachse belastet werden, können diese durchgebogen werden, so dass
eine bleibende Verformung entsteht und dadurch die Funktionsfähigkeit der
Konstruktion verloren geht. Durch die einwirkende Kraft entstehen bei der
Biegebeanspruchung Zug- und Druckspannungen. Der Bereich, in dem die Zugkräfte
auftreten, wird gezogen.
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3.Berechnung der Auflagerkräfte und Schnittgrößen.
3.1 Auflagerkräfte.
1.Beispiel allgemein:
- Av und Bv sind Auflagerkräfte.
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Zahlenbeispiel:
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
L=5m
q=10kN/m
Av=?
Bv=?
bei 10 kN/m
10kN/mx5m=50kN
=> Av = 25kN,
=> Bv = 25kN
1. E H=0 (kN) – alle horizontale Kräfte sind in gleichgewicht.
2. E V=0 (kN) – alle vertikale Kräfte ergeben null.
3. E M=0 (kN) – Summe aller Momente (ein Moment ist eine Drehung
oder ein Moment erzeugt eine Drehung – (Last x Hebelarm))ergibt
null.
2.Beispiel allgemein:
H=0 (stehend), Ah + 0 = 0, das heißt Ah = 0
1. E
2.
+
E
V=0 – die Richtung der Kräfte muss positiv sein.
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Av + Bv - R = 0
Av + Bv = R
(R = q x l) =>
Av + Bv = q x l (R = q x l, R = 10 kN/m x 5m, R = 50 kN)
Av + Bv = 50 kN, d.h. Av = 25 kN und Bv = 25 kN
3.Beispiel allgemein.
3. E
M
A
=0
Summe aller Momente um A müssen 0 sein.
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Lösung:
Bv x l – R x l / 2 = 0
Bv x l – (q x l) x l / 2 = 0
Bv x l = (q x l)2 / 2 (d.h. q x l auf Quadrat, (q x l) x (q x l) !!!MERKEN!!!
Bv = (q x l) / 2
Zahlenbeispiel:
bei gegebene gesamte Länge von 5 und q = 10 kN/m, nach der oben gegebenen
allgemeinen Beispiel folgt es:
E
Bv
Bv
Bv
Bv
Bv
M
A
=0
x 5m – R x 2,50m = 0
x 5m – (10 x 5) x 2,50m = 0
x 5m = 125 kN/m
= 125 / 5
kN/m / m
= 25 kN
es folgt:
Av + Bv = 50 kN, d.h. Av = 25 kN
3.2. Schnittgrößen.
- der System wird aufgeschnitten ( z.B. wegen zusätzliche Kräfte, zerfällt sich)
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- System wird in der Mitte geschnitten, d.h. bei dem Schnittpunkt und man
bekommt zwei halbe Teile / zwei Teilsysteme wie es unten folgt:
linkes Teilsystem
rechtes Teilsystem
*wenn Teil 1 + Teil 2 = man bekommt wieder ein komplettes/ein ganzes System.
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* man bekommt eine neue Resultierende R - R neu, zwar eine neue
Resultierende für jedes System, die nach dem Aufschneiden bekommen ist.
linkes Teilsystem:
rechtes Teilsystem:
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R neu
N
- Normalkraft/Tangentialkraft
V
- Vertikalkraft
M
- Moment
gilt auch für rechtes Teilsystem.
linkes Teilsystem:
Av = (q x l ) / 2
Ah = 0
+E
a1)
H = 0
N
- Ah = 0 , d.h.
N
=0
- Horizontalkraft zum Balken.
E
a2)
V = 0, es folgt :
V – R neu + Av = 0 bei (R neu = q x l/2 , Av = q x l/2)
*V = 0, d.h. es gibt keine Querkraft in der Mitte ! Die Querkraft ist in Richtung
Auflager A und Auflager B verteilt.
1.Beispiel allgemein.
a3)
E
M=0
M + R neu x l/4 – Av x l/2 = 0
* - Av , weil Av dreht sich in die Gegenrichtung.
es wird um den
Schnittpunkt gedreht.
es folgt:
M + (q x l)/2 x l/4 – (q x l )/2 x l/2
M + ql2/8 – ql2/8 (Info: ql2 bedeutet ql auf Quadrat)
M = ql2/4 – ql2/8
M = 2 x ql2/8 – ql2/8 (weil ql2/4 = 2 x ql2/8)
M = ql2/8
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Zahlenbeispiel:
bei l = 5m und q = 10 kN/m, es folgt:
M = ql2/8
M = 10 kN/m x (5m x 5m)
/8
M = 250/8
=> M = 31,25 kN/m
4. Resultierende und Wirkung bei unterschiedliche
Lasten.
a) die Resultierende R greift bei l/4 an, d.h. bei 1,25m, es folgt :
R = 25 kN
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b) die Resultierende greift bei l/3 an, also 1/3 von der gesamte Länge – l.
(gillt für Dreieck)
es folgt:
l/3 = 5m/3 = 1,67m
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1.Beispielaufgabe.
- Info:
gegeben ist / es existiert ein Kraft, der unter 45 Grad fällt.
*die Aufgabe wird mit Hilfe von sinus und cosinus gelöst (sin45 Grad und cos45
Grad)
Lösung:
Sinus 45 Grad = 7,07kN
Cos 45 Grad = 7,07kN
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5.Aussteifung.
- eine Gebäude standsicher für die horizontale Kräfte oder
Lasten machen.
a) Arten von horizontale Lasten:
- Wind – als horizontale Last wirkt aus alle Seiten
- Erdbeben
- Bremswirkungen
b) Möglichkeiten der Aussteifung:
b1) Einspannung von Stützen oder Wänden
- eingespannte Stütze zweiseitig fest.
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- von alle Seiten eingespannte Stütze.
b2) Querverstrebung:
- als Diagonale und Auskreuzung.
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* als Diagonale – muss die Diagonale Zug- und Druckfest sein, im Vergleich mit
Auskreuzung, muss jede Diagonale nur Zugfest sein. Abhängig von der Lastseite
(z.B. Wind) solange die eine Diagonale trägt, hat die zweite keine Funktion.
b3) Aussteifung durch Wände.
b4) durch biegesteife Ecken.
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- durch Vierendeelträger.
* WICHTIG:
- Damit eine Aussteifung funktioniert muss ein Deckenelement
dabei sein.
- Damit eine Gebäude ausgesteift werden kann, muss die
mindestens 3 Wänden oder Auskreuzungen haben und die Wirkungslinien
müssen sich in zwei Punkten schneiden
- bei mehrgeschossige Gebäuden muss jedes Geschoss eine
Deckenscheibe haben und durch mindestens 3 Wandscheiben, die sich in
zwei Punkten schneiden und übereinander stehen, ausgesteift sein.
.
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Wichtige Information:
Für dieses Skript wurde fast keine Literatur, außer ein paar Fotos von
google.com, benutzt. Alle restliche Zeichnungen sind von mir selbst gezeichnet und die ganzen Informationen stammen aus den Vorlesungen von
Prof. Jürgen Spittank.
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