7. Übung Logik und Logikprogrammierung Mit ∗ gekennzeichnete

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. C. Köcher
SS 2017
7. Übung Logik und Logikprogrammierung
Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben geben Bonuspunkte.
Abgabe : bis Montag, den 22.05.2017 um 15:00 Uhr am Lehrstuhl oder vor der Übung.
Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.
Aufgabe 1∗
(1+1+1 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Formeln Tautologien, erfüllbar oder unerfüllbar sind.
Begründen Sie Ihre Antwort!
(a) ∀x : P (x) → ∃x : P (x)
(b) ∀x : (P (x, x) → ∃x∀y : P (x, y))
(c) ∀x∀y : (f (x) = f (y) → x = y)
Aufgabe 2∗
(2 Punkte)
Vervollständigen Sie die unten aufgeführte Deduktion, indem Sie die verwendeten Regeln angeben und gegebenenfalls temporäre Hypothesen kenntlich machen. Welche syntaktische Folgerung
wird durch die Deduktion gezeigt?
∀y : E(x, y)
E(x, y)
∃x∀y : E(x, y) ∃x : E(x, y)
∃x : E(x, y)
∀y∃x : E(x, y)
∃x∀y : E(x, y) → ∀y∃x : E(x, y)
Aufgabe 3∗
(1+1+1+1+1 Punkte)
In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass bei den Einführungs- und Eliminationsregeln für die
Quantoren nicht auf die zu den Regeln angegebenen Bedingungen verzichtet werden kann, ohne
die Korrektheit der Regel zu verlieren. Zeigen Sie, dass die Formel ϕ ein Theorem, aber keine
Tautologie ist,
(a) falls wir auf die Bedingung an die Regel (∀-I), dass x in keiner der Hypothesen frei vorkommen darf, verzichten würden, wobei ϕ = P (x) → ∀x : P (x).
(b) falls wir auf die Bedingung an die Regel (∃-I), dass keine Variable aus dem Term t in der zu
substituierenden Formel ϕ vorkommen darf, verzichten würden, wobei ϕ = ∀y : P (y, y) →
∃x∀y : P (x, y).
(c) falls wir auf die Bedingung an die Regel (∀-E), dass keine Variable aus dem Term t
in der zu substituierenden Formel ϕ vorkommen darf, verzichten würden, wobei
ϕ = ∀x∃y : ¬P (x, y) → ∃y : ¬P (y, y).
Bitte wenden!
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(d) falls wir auf die Bedingung an die Regel (∃-E), dass x in keiner der Hypothesen vorkommen
darf, verzichten würden, wobei ϕ = ∃x : P (x) → ∀x : P (x).
(e) falls wir auf die Bedingung an die Regel (∃-E), dass x nicht frei in σ vorkommen darf,
verzichten würden, wobei ϕ = ∃x : P (x) → ∀x : P (x).
Aufgabe 4∗
(2+2 Punkte)
Sei Σ eine abzählbare Signatur, Γ eine Menge von Σ-Formeln und ϕ eine Σ-Formel. Beweisen Sie
die folgenden Aussagen, die aus der Beweisskizze des Vollständigkeitssatzes entnommen wurden
(siehe Folie 230).
(a) Γ 0 ϕ ⇔ Γ ∪ {¬ϕ} ist konsistent.
(b) Γ ∪ {¬ϕ} ist konsistent ⇒ es gibt ∆ ⊇ Γ ∪ {¬ϕ} : ∆ ist maximal konsistent.
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