Semestralklausur zur Vorlesung ” Logik“

Name:
Vorname:
Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
Dozentin: Prof. Dr. B. König
Matr.Nr:
SS 2012
07. August 2012
Klausur
Semestralklausur zur Vorlesung Logik“
”
Hinweise:
• Es gibt 7 (sieben) Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind.
• Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung.
• Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden.
• Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt.
• Schreiben Sie weder in roter noch in grüner Farbe noch mit Bleistift.
Aufgabe 1
Kurze Behauptungen (6 Punkte)
Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Behauptungen zur Aussagen- und Prädikatenlogik.
Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an. Antworten ohne Begründung erhalten keine
Punkte!
(a) Um von einer beliebigen Formel F zu zeigen, dass sie erfüllbar ist, kann man
stattdessen auch zeigen, dass aus der konjunktiven Normalform von ¬F die leere
Klausel resolvierbar ist.
2n
(b) Es gibt genau 22
verschiedene n-stellige Boolesche Funktionen.
(c) Für eine erfüllbare prädikatenlogische Formel in Skolemform gibt es immer ein
abzählbares Modell, d.h. ein Modell mit einem abzählbaren Universum.
(d) Eine prädikatenlogische Formel ohne Funktionssymbole hat ein leeres HerbrandUniversum.
(e) Eine Menge von Operatoren ist vollständig, wenn sich jeder Operator der Menge
mit Hilfe der Operatoren {¬, ∧, ∨} darstellen lässt.
Aufgabe 2
Wahrheitstafeln & Normalformen (6 Punkte)
Stellen Sie für die unten angegeben Formeln F1 und F2 jeweils Wahrheitstafeln auf und lesen Sie aus den Wahrheitstafeln anschließend die konjunktive (knf) und disjunktive Normalform (dnf) ab. Vereinfachen Sie die Normalformen durch Äquivalenzumformungen.
(a) F1 = (A ∨ ¬B) → (¬A ↔ B)
(b) F2 = (A ∨ (¬B ↔ C)) ∨ (A → (¬B ∧ ¬C))
Aufgabe 3
(Nicht-)Äquivalenz (6 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Formeln F1 , F2 und G1 , G2 . Überprüfen Sie, ob die Formeln
F1 und F2 bzw. G1 und G2 äquivalent sind, das heißt, ob F1 ≡ F2 und G1 ≡ G2 gilt.
(a) F1 = ¬A ∧ (B → C) ∨ ¬C, F2 = C → ¬A
(b) G1 = (A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ (B ∨ C)),
G2 = A → ¬(B ∨ C)
Falls Sie der Meinung sind, dass die jeweilige Äquivalenz korrekt ist, wandeln Sie eine
Formel mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in die andere um. Geben Sie bei der Umwandlung jeweils ausreichend Zwischenschritte und – nach Möglichkeit – das verwendete
Äquivalenzgesetz an. Falls Sie der Meinung sind, dass die jeweilige Äquivalenz nicht gilt,
geben Sie eine passende Belegung an, die die Nicht-Äquivalenz zeigt.
Aufgabe 4
Formalisierung natürlicher Sprache (6 Punkte)
Ein Gerät besteht aus drei verschiedenen Bauteilen A, B und C. Die folgenden Fakten
sind über das Gerät bekannt:
• Mindestens eines der drei Bauteile ist defekt, aber es sind nicht alle Bauteile defekt.
• Wenn Bauteil B defekt ist, so ist auch Bauteil C defekt.
• Falls Bauteil C defekt ist, muss das Bauteil A noch intakt sein.
• Sollte das Bauteil A defekt sein, ist das Bauteil B oder das Bauteil C (oder beide)
ebenfalls nicht mehr intakt.
Formalisieren Sie diese Situation als aussagenlogische Formel und überprüfen Sie mittels
geeigneter Mittel (Wahrheitstafeln, aussagenlogische Resolution, etc.), ob das Bauteil A
intakt oder defekt sein muss. Verwenden Sie dazu folgende atomare Formeln: A (Bauteil
A ist intakt), B (Bauteil B ist intakt), C (Bauteil C ist intakt). Begründen Sie Ihre
Antwort! Antworten ohne Begründung erhalten keine Punkte.
Aufgabe 5
Herbrand-Universen und -Expansionen (5 Punkte)
Geben Sie für folgenden Formeln Fi (i = 1, 2) jeweils das Herbrand-Universum D(Fi )
und die dazu passende Herbrand-Expansion E(Fi ) an.
(a) F1 = P ()
(b) F2 = ∀x∀y
Q(x) ∧ Q(y) → ¬Q(f (x, y))
(Hinweis: Geben Sie für unendliche Herbrand-Universen und -Expansionen mindestens
so viele Elemente an, dass das Schema der Elemente deutlich wird.)
Aufgabe 6
Skolemisierung und Strukturen (6 Punkte)
(a) Gegeben sei die folgende Formel
F = ∀x∃y P (x, f (y)) ∨ Q(y) → ∀x∀y P (f (x), f (y)) ∧ ∃yQ(g(y, x)) .
Wandeln Sie die Formel F in eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel F 0 in Klauselform um. Geben Sie dabei außerdem die folgenden Formeln als Zwischenschritte
an:
1) die zu F äquivalente, bereinigte Formel,
2) die zu F äquivalente Formel in Pränexform und
3) die zu F erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
(b) Gegeben sei die Formel
∀x∃y P (x, a) → Q(x, f (y)) ,
wobei a ein Konstantensymbol ist, und die Struktur A = (R, IA ), die ein Modell
von G ist:
P A = {(u, v) | u ≥ v} ⊆ R × R
f A : R → R, u 7→ u2
QA = {(u, v) | u = v} ⊆ R × R
aA = 0
Überführen Sie G in eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel G0 in Skolemform und
erweitern Sie die Struktur A so, dass sie auch Modell von G0 ist.
Aufgabe 7
Viva la Resolution (5 Punkte)
Zeigen Sie mit Hilfe der prädikatenlogischen Resolution, dass die Formel
F = ∀x P (x) ∨ ∀x Q(x) → ∀x P (x) ∨ Q(x) .
gültig ist.