§2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Montag 19.5
$Id: diff.tex,v 1.8 2014/05/19 09:59:35 hk Exp hk $
§2
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
2.2
Mannigfaltigkeiten über Pseudogruppen
In der letzten Sitzung haben wir einen G-Präatlas auf einem topologischen Raum M als
eine Menge von Homöomorphismen offener Teilmengen von M auf offene Teilmengen
des Modelraums der Pseudogruppe G definiert so, dass alle Koordinatentransformationen zwischen diesen Homöomorphismen in G liegen. Wir wollen un überlegen welche
weiteren Homöomorphismen man einem G-Präatlas hinzufügen kann, und hierzu hatten wir einen Homöomorphismus ϕ : U → V von einer offenen Teilmenge U von M auf
eine offene Teilmenge V des Modelraums von G mit einem G-Präatlas A verträglich
genannt wenn seine Koordinatentransformationen zu geeigneten Elementen von A immer in G liegen, wenn es also für jedes x ∈ U stets ein ψ ∈ A und eine in M offene
Menge W mit x ∈ W ⊆ U ∩ dom(ψ) gibt so, dass ϕ ◦ ψ −1 |ψ(W ) ∈ G ist. Ausgerüstet
mit diesem Begriff können wir ein einfaches, aber entscheidendes, Lemma formulieren
das uns die angekündigte Konstruktion maximaler Präatlanten erlaubt.
Lemma 2.18 (Hinzufügen verträglicher Karten zu einem Präatlas)
Seien G eine Pseudogruppe auf dem Modelraum R, M ein topologischer Raum und A
ein G-Präatlas auf M .
(a) Seien U ⊆ M in M offen, V ⊆ R in R offen und ϕ : U → V ein mit A verträglicher
Homöomorphismus. Dann gilt ϕ◦ψ −1 ∈ G für jedes ψ ∈ A und A∪{ϕ} ist wieder
ein G-Präatlas auf M .
(b) Ist A0 eine mit A verträgliche Menge von Homöomorphismen offener Teilmengen
von M auf offene Teilmengen von R, so ist auch A ∪ A0 ein G-Präatlas auf M .
Beweis: (a) Sei ψ ∈ A. Dann ist ϕ ◦ ψ −1 : ψ(U ∩ dom(ψ)) → ϕ(U ∩ dom(ψ)) ein
Homöomorpismus der offenen Teilmenge U 0 := ψ(U ∩ dom(ψ)) von R auf die offene
Teilmenge V 0 := ϕ(U ∩ dom(ψ)) von R. Sei x ∈ U 0 . Da ϕ mit A verträglich ist gibt
es ein θ ∈ A und eine in M offene Menge W ⊆ U ∩ dom(θ) mit ψ −1 (x) ∈ W und
ϕ ◦ θ−1 |θ(W ) ∈ G. Wir erhalten die in R offene Menge U 00 := ψ(W ∩ dom(ψ)) mit
x ∈ U 00 ⊆ U 0 und wollen einsehen das ϕ ◦ ψ −1 |U 00 ∈ G ist. Wegen ψ, θ ∈ U ist nach
(PA2) für A auch θ ◦ ψ −1 ∈ G und da auch
U 00 = ψ(W ∩ dom(ψ)) ⊆ ψ(dom(θ) ∩ dom(ψ)) = dom(θ ◦ ψ −1 )
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gilt, ist nach Axiom (P4) einer Pseudogruppe θ ◦ ψ −1 |U 00 ∈ G. Weiter ist im(θ ◦
ψ −1 |U 00 ) = θ(ψ −1 (U 00 )) = θ(W ∩ dom(ψ)) ⊆ θ(W ) und mit Axiom (P2) einer Pseudogruppe folgt
ϕ ◦ ψ −1 |U 00 = (ϕ ◦ θ−1 |θ(W )) ◦ (θ ◦ ψ −1 |U 00 ) ∈ G.
Damit liefert Axiom (P5) einer Pseudogruppe schließlich ϕ ◦ ψ −1 ∈ G und die erste
Behauptung aus (a) ist bewiesen.
Es verbleibt zu zeigen das A ∪ {ϕ} ein G-Präatlas auf M ist. Wegen A ⊆ A ∪ {ϕ}
ist (PA1) klar, und wir müssen nur noch (PA2) beweisen. Für ψ, θ ∈ A ist sofort
ψ ◦ θ−1 ∈ G da A die Bedingung (PA2) erfüllt. Nun sei ψ ∈ A. Wie bereits gezeigt
ist dann zum einen ϕ ◦ ψ −1 ∈ G und mit Axiom (P3) einer Pseudogruppe folgt auch
ψ ◦ ϕ−1 = (ϕ ◦ ψ −1 )−1 ∈ G. Schließlich ist nach Axiom (P1) einer Pseudogruppe auch
ϕ ◦ ϕ−1 = idim(ϕ) ∈ G. Damit ist (PA2) für A ∪ {ϕ} erfüllt und (a) ist bewiesen.
(b) Wegen A ⊆ A∪A0 ist (PA1) wieder klar. Seien nun ϕ, ψ ∈ A∪A0 gegeben. Dann ist ϕ
mit A verträglich, also ist A∪{ϕ} nach (a) ein G-Präatlas auf M . Wegen A ⊆ A∪{ϕ} ist
ψ auch mit A∪{ϕ} verträglich, und wieder nach (a) ist auch A∪{ϕ, ψ} = (A∪{ϕ})∪{ψ}
ein G-Präatlas auf M . Insbesondere ist ψ ◦ ϕ−1 ∈ G. Damit erfüllt auch A ∪ A0 die
Bedingung (PA2) und ist somit ein G-Präatlas auf M .
Beachte das wir zum Beweis dieses Lemmas tatsächlich alle fünf definierenden Eigenschaften einer Pseudogruppe benötigen. Jetzt können wir G-Atlanten definieren und
ihre Existenz beweisen.
Definition 2.16 (Atlanten über einer Pseudogruppe)
Seien G eine Pseudogruppe und M ein topologischer Raum. Ein G-Atlas auf M ist ein
bezüglich Inklusion maximaler G-Präatlas auf M .
Atlanten sind unwirtlich große Gebilde und werden meist nicht direkt verwendet. Für
konkrete Konstruktionen und Rechnungen werden Präatlanten eingesetzt, jede Teilmenge eines Atlas deren Definitionsbereiche M überdecken ist ein solcher. Umgekehrt
definiert jeder Präatlas einen umfassenden Atlas.
Satz 2.19 (Existenz von Atlanten zu gegebenen Präatlas)
Seien G eine Pseudogruppe, M ein topologischer Raum und A0 ein G-Präatlas auf M .
Dann existiert genau ein G-Atlas A auf M mit A ⊆ A0 .
Beweis: Bezeichne R den Modelraum von G und sei H die Menge aller Homöomorphismen von offenen Teilmengen von M auf offene Teilmengen von R. Setze
A := {ϕ ∈ H|ϕ ist mit A0 verträglich},
und insbesondere ist dann A0 ⊆ A ⊆ H. Da A mit A0 verträglich ist, ist A = A0 ∪ A
nach Lemma 18.(b) ein G-Präatlas auf M .
Sei nun B ⊆ H ein beliebiger G-Präatlas von M mit A0 ⊆ B. Wir behaupten das B
mit A0 verträglich ist. Sei also ϕ ∈ B gegeben. Sei x ∈ dom(ϕ). Da A0 ein G-Präatlas
auf M ist existiert nach (PA1) ein ψ ∈ A0 ⊆ B mit x ∈ dom(ψ). Wir erhalten die in
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M offene Menge W := dom(ϕ) ∩ dom(ψ) mit x ∈ W und ϕ ◦ ψ −1 |ψ(W ) = ϕ ◦ ψ −1 ∈ G.
Damit ist ϕ tatsächlich mit A0 verträglich. Damit ist B mit A0 verträglich und somit
ist auch B ⊆ A.
Ist also B ein G-Präatlas auf M mit A ⊆ B, so ist auch A0 ⊆ B und folglich
B ⊆ A, d.h. wir haben B = A. Dies beweist das A ein bezüglich Inklusion maximaler
G-Präatlas auf M ist, d.h. A ist ein G-Atlas auf M mit A0 ⊆ A. Ist umgekehrt B ein
G-Atlas auf M mit A0 ⊆ B, so ist B insbesondere ein G-Präatlas auf M und somit
B ⊆ A. Die Maximalität von B ergibt schließlich B = A und wir haben auch die
Eindeutigkeitsaussage bewiesen.
Wie schon gesagt werden Atlanten in der Regel nicht direkt verwendet und sie lassen
sich meist auch nicht wirklich konkret angeben. Daher ist es auch schwer ein konkretes Beispiel eines Atlas anzugeben. Wir wollen hier nur zwei sehr generische Beispiele
angeben. Im ersten Beispiel sei G die größte Pseudogruppe auf dem Modelraum R,
also die Menge aller Homöomorphismen zwischen offenen Teilmengen von R. Dann ist
das Axiom (PA2) eines G-Präatlas überhaupt keine Einschränkung, ein G-Präatlas auf
einem topologischen Raum M ist also eine Menge von Homöomorphismen von offenen
Teilmengen von M auf offene Teilmengen von R so, dass jedes x ∈ M im Definitionsbereich eines dieser Homöomorphismen liegt. Dass eine solche Menge überhaupt existiert
bedeutet das R und M lokal homöomorph im Sinne der folgenden Definition sind:
Definition 2.17 (Lokal homöomorphe topologische Räume)
Ein topologischer Raum Y heißt lokal homöomorph zu einem topologischen Raum X
wenn es für jedes y ∈ Y eine offene Umgebung U von y in Y und eine in X offene Menge
V sowie einen Homöomorphismus f : U → V gibt. Weiter heißen zwei topologische
Räume lokal homöomorph wenn X lokal homöomorph zu Y und Y lokal homöomorph
zu X ist.
Kommen wir zu unserem Beispiel zurück, so gibt es also genau dann einen G-Präatlas
auf M wenn M lokal zu R homöomorph ist und in diesem Fall gibt es genau einen
G-Atlas auf M nämlich die Menge aller Homöomorphismen von offenen Teilmengen
von M auf offene Teilmengen von R.
Als ein zweites Beispiel verwenden wir die einelementigen Präatlanten. Seien also G
eine Pseudogruppe auf dem Modelraum R, M ein topologischer Raum und ϕ : M → U
ein Homöomorphismus von M auf eine in R offene Teilmenge U ⊆ R. Dann ist {ϕ}
ein G-Präatlas auf M und
A := {ψ ◦ ϕ|ψ ∈ G}
ist der eindeutige G-Atlas auf M mit ϕ ∈ A. Dies zu beweisen ist Aufgabe (21). Wir
gehen nun einige der Eigenschaften von Atlanten durch.
Lemma 2.20 (Grundeigenschaften von Atlanten)
Seien G eine Pseudogruppe, M ein topologischer Raum und A ein G-Atlas auf M .
Dann gelten:
(a) Sind ϕ ∈ A und U ⊆ dom(ϕ) in M offen so ist auch ϕ|U ∈ A.
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(b) Ist ϕ : U → V ein Homöomorphismus einer offenen Teilmenge U von M auf eine
offene Teilmenge V des Modelraums von G und gibt es für jedes x ∈ U eine in
M offene Menge W und ein ψ ∈ A mit x ∈ W ⊆ U ∩ dom(ψ) und ϕ|W = ψ|W ,
so ist auch ϕ ∈ A.
(c) Ist ϕ : U → V ein mit einem G-Präatlas A0 ⊆ A verträglicher Homöomorphismus
einer offenen Teilmenge U von M auf eine offene Teilmenge V des Modelraums
von G, so ist bereits ϕ ∈ A.
(d) Sind ϕ ∈ A und ψ ∈ G, so ist auch ψ ◦ ϕ ∈ A.
(e) Ist U eine offene Teilmenge von M , so ist
A|U := {ϕ ∈ A| dom(ϕ) ⊆ U }
ein G-Atlas auf U .
Beweis: (c) Wegen A0 ⊆ A ist ϕ auch mit A verträglich und nach Lemma 18.(a) ist
A ∪ {ϕ} ein G-Präatlas auf M . Die Maximalität von A liefert damit ϕ ∈ A.
(b) Sei x ∈ U . Dann gibt es eine in M offene Menge W und ein ψ ∈ A mit x ∈ W ⊆
U ∩ dom(ψ) und ϕ|W = ψ|W , also ist ϕ ◦ ψ −1 |ψ(W ) = idψ(W ) ∈ G nach Axiom (P1)
einer Pseudogruppe. Damit ist ϕ mit A verträglich und (c) liefert ϕ ∈ A.
(a) Klar nach (b).
(d) Zunächst ist ψ ◦ ϕ ein Homöomorphismus der offenen Teilmenge dom(ψ ◦ ϕ) =
ϕ−1 (im(ϕ) ∩ dom(ψ)) von M auf die offene Teilmenge ψ(im(ϕ) ∩ dom(ψ)) des Modelraums von G und es gilt
(ψ ◦ ϕ) ◦ ϕ−1 |ϕ(dom(ψ ◦ ϕ)) = ψ| im(ϕ) ∩ dom(ψ) ∈ G
nach Axiom (P4) einer Pseudogruppe. Damit ist ψ ◦ ϕ verträglich mit A und (c) ergibt
ψ ◦ ϕ ∈ A.
(e) Zunächst ist A|U eine Menge von Homöomorphismen offener Teilmengen von U auf
offene Teilmengen von R und wegen A|U ⊆ A ist Bedingung (PA2) eines G-Präatlas
erfüllt. Nach (a) gilt auch (PA1) und A|U ist damit zumindest ein G-Präatlas auf U . Sei
nun B ein G-Präatlas auf U mit A|U ⊆ B. Ist dann ϕ ∈ B, so ist ϕ mit A|U ⊆ A und
damit auch mit A verträglich, also ist nach (c) auch ϕ ∈ A und somit ϕ ∈ A|U . Dies
zeigt B = A|U und somit ist A|U ein maximaler G-Präatlas auf U , d.h. ein G-Atlas
auf U .
Schließlich können wir auch den Mannigfaltigkeitsbegriff über einer Pseudogruppe
einführen.
Definition 2.18 (G-Mannigfaltigkeiten)
Sei G eine Pseudogruppe. Eine G-Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, A) bestehend aus
einem topologischen Raum M und einen G-Atlas A auf M . Wir nennen A den Atlas der
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G-Mannigfaltigkeit und die Elemente von A heißen die Karten der G-Mannigfaltigkeit.
Meist schreiben wir einfach M anstelle des vollständigen (M, A). Sind M ein topologischer Raum und A ein G-Präatlas auf M bezüglich einer Pseudogruppe G, so haben wir
nach Satz 19 einen eindeutigen G-Atlas A∗ auf M mit A ⊆ A∗ und wir nennen (M, A∗ )
die von A induzierte oder die durch A definierte G-Mannigfaltigkeit. Die Angabe eines
G-Präatlas ist die übliche Technik zur Konstruktion von G-Mannigfaltigkeiten. Unsere
Beispiele von G-Präatlanten geben uns damit Beispiele von G-Mannigfaltigkeiten.
1. Sind (R, G) eine Pseudogruppe und U ⊆ R eine offene Teilmenge von R so wird
U durch den G-Präatlas {idU } zu einer G-Mannigfaltigkeit, nach Aufgabe (21)
ist der Atlas von U die Menge {ϕ ∈ G| dom(ϕ) ⊆ U }.
2. Sind (M, A) eine G-Mannigfaltigkeit über einer Pseudogruppe G und U ⊆ M
eine in M offene Menge, so ist A|U = {ϕ ∈ A| dom(ϕ) ⊆ U } nach Lemma 20.(e)
ein G-Atlas auf U , also ist (U, A|U ) eine G-Mannigfaltigkeit, wir nennen U auch
eine offene Untermannigfaltigkeit von M , und denken uns offene Teilmengen von
M stets mit dieser Mannigfaltigkeitsstruktur versehen.
3. Sind n, d ∈ N mit d ≥ 1 und n ≤ d, q ∈ N∗ und M ⊆ Rd eine eingebettete,
n-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des Rd , so definiert der Atlas von M
in Sinne von §1 auf M die Struktur einer C n,q -Mannigfaltigkeit. In diesem Sinne
fassen wir solche Untermannigfaltigkeiten M stets als C n,q -Mannigfaltigkeiten auf.
4. Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und q ∈ N∗ gegeben. Sind dann U ⊆ Rn offen und f : U →
R eine C q -Abbildung mit regulären Wert a ∈ R, d.h. f 0 (x) 6= 0 für jedes x ∈ M :=
f −1 (a) und setzen wir D := {x ∈ U |f (x) ≤ a} so haben wir bereits einen Hn,q Präatlas auf D konstruiert und mit diesen wird D eine Hn,q -Mannigfaltigkeit.
Ebenso gibt uns Aufgabe (20) Beispiele von Hn,q -Mannigfaltigkeiten.
5. Sind K ∈ {R, C}, E ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit n := dim E > 1,
1 ≤ k < n und setzen wir d := (dimR K)·k(n−k), so haben wir auf der GraßmanMannigfaltigkeit Gk (E) einen C d,∞ -Präatlas konstruiert und dieser definiert auf
Gk (E) die Struktur einer C d,∞ -Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist der projektive
Raum Pn K für jedes n ≥ 1 eine C d,∞ -Mannigfaltigkeit für d = n · dimR K.
Für weitergehende Fragen über G-Mannigfaltigkeiten muss man natürlich auf die konkrete Pseudogruppe G und ihre Eigenschaften eingehen, einige einfache Begriffe und
Konstruktionen lassen sich aber schon auf der Ebene allgemeiner G-Mannigfaltigkeiten
durchführen. Einer dieser Begriffe sind der Diffeomorphiebegriff und seine lokale Variante.
Definition 2.19 (Diffeomorphismen zwischen G-Mannigfaltigkeiten)
Seien G eine Pseudogruppe, M, N zwei G-Mannigfaltigkeiten und f : M → N eine
Abbildung.
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(a) Die Abbildung f heißt ein G-Diffeomorphismus wenn f bijektiv ist und für jedes
y ∈ N eine Karte ψ von N mit y ∈ dom(ψ) existiert so, dass auch ψ ◦ f eine
Karte von M ist.
(b) Die Abbildung f heißt ein lokaler Homöomorphismus wenn es für jedes x ∈ M
offene Umgebungen U von x in M und V von f (x) in N gibt so, dass f |U : U → V
ein Homöomorphismus ist.
(c) Die Abbildung f heißt ein lokaler G-Diffeomorphismus wenn es für jedes x ∈ M
Karten ϕ von M und ψ von N mit x ∈ dom(ϕ), f (x) ∈ dom(ψ) und ψ◦f ◦ϕ−1 ∈ G
gibt.
Weiter heißen M und N G-diffeomorph wenn es einen G-Diffeomorphismus f : M → N
gibt.
Die verwendete Definition eines G-Diffeomorphismus sieht zunächst etwas unsymmetrisch aus, dies stellt sich aber als eine Täuschung heraus. Wir wollen diese Grundeigenschaften von Diffeomorphismen in einem Lemma zusammenstellen.
Lemma 2.21 (Grundeigenschaften von Diffeomorphismen)
Seien G eine Pseudogruppe und M, N, L drei G-Mannigfaltigkeiten.
(a) Sei f : M → N ein G-Diffeomorphismus. Dann gelten:
1. Für jede Karte ψ von N ist ψ ◦ f eine Karte von M .
2. Die Abbildung f ist ein Homöomorphismus,
3. Die Umkehrabbildung f −1 : N → M ist wieder ein G-Diffeomorphismus.
(b) Die Identität idM : M → M ist ein G-Diffeomorphismus.
(c) Sind f : M → N und g : N → L zwei G-Diffeomorphismen, so ist auch g ◦ f :
M → L ein G-Diffeomorphismus.
(d) Sind f : M → N ein G-Diffeomorphismus und U ⊆ M offen in M , so ist auch
V := f (U ) offen in N und f |U : U → V ist wieder ein G-Diffeomorphismus.
(e) Die Karten von M sind genau die G-Diffeomorphismen von offenen Teilmengen
von M auf offene Teilmengen des Modelraums von G.
Beweis: (a) Wir zeigen zunächst das auch f −1 : N → M ein G-Diffeomorphismus ist.
Sei x ∈ M . Dann existiert eine Karte ψ von N mit f (x) ∈ dom(ψ) so, dass ϕ := ψ ◦ f
eine Karte von M ist. Dabei ist x ∈ dom(ϕ) und ϕ ◦ f −1 = ψ ist eine Karte von N .
Somit ist auch f −1 : N → M ein G-Diffeomorphismus.
Nun zeigen wir das f stetig ist. Sei x ∈ M . Dann existiert eine Karte ψ von N
mit f (x) ∈ dom(ψ) so, dass ψ ◦ f eine Karte von M ist. Damit ist die Menge U :=
f −1 (dom(ψ)) = dom(ψ◦f ) eine offene Umgebung von x in M und f |U = ψ −1 ◦(ψ◦f ) ist
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stetig, d.h. f ist stetig in x. Damit ist f : M → N eine stetige Abbildung. Anwendung
auf den G-Diffeomorphismus f −1 : N → M liefert das auch f −1 stetig ist, d.h. f ist
ein Homöomorphismus.
Sei nun ψ eine Karte von N . Dann ist die Menge U := f −1 (dom(ψ)) offen in M
und ψ ◦ f : U → im(ψ) ist ein Homöomorphismus auf die offene Teilmenge im(ψ) des
Modelraums von G. Sei x ∈ U . Dann existiert ein Karte θ von N mit f (x) ∈ dom(θ)
so, dass θ ◦ f eine Karte von M ist und wir erhalten die in M offene Menge W :=
f −1 (dom(ψ) ∩ dom(θ)) mit x ∈ W ⊆ U . Wegen ψ ◦ θ−1 ∈ G ist nach Lemma 20.(d)
auch (ψ ◦ θ−1 ) ◦ (θ ◦ f ) = ψ ◦ f |W eine Karte von M . Nach Lemma 20.(b) ist ψ ◦ f eine
Karte von M .
(b) Klar.
(c) Sei z ∈ L. Dann existiert eine Karte ψ von L mit z ∈ dom(ψ) so, dass ψ ◦ g eine
Karte von N ist und nach (a.1) ist auch ψ ◦ (g ◦ f ) = (ψ ◦ g) ◦ f eine Karte von M .
Damit ist g ◦ f ein G-Diffeomorphismus.
(d) Klar nach (a.1).
(e) ”=⇒” Sei ϕ eine Karte von M . Da idim(ϕ) eine Karte von im(ϕ) ist und idim(ϕ) ◦ϕ =
ϕ eine Karte von M ist, ist ϕ ein G-Diffeomorphismus.
”⇐=” Seien U ⊆ M in M offen, V ⊆ R offen im Modelraum R von G und ϕ : U → V
ein G-Diffeomorphismus. Da idV eine Karte von V ist, ist ϕ = idV ◦ ϕ nach (1.a) eine
Karte von U , also auch eine Karte von M .
Insbesondere ist G-Diffeomorphie damit eine Äquivalenzrelation. Beachte insbesondere
das die Elemente der Pseudogruppe auf G-Diffeomorphismen sind, denn ist ϕ ∈ G so
ist ϕ nach Lemma 20.(e) eine Karte von dom(ϕ), also nach Teil (e) des eben bewiesenen
Lemmas auch ein G-Diffeomorphismus.
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