¨Ubungen zur Mathematik III für Physiker

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
WiSe 2009/10
Übungen zur Mathematik III für Physiker
Prof. Dr. D. Dürr
Blatt 3
• Das Tutorium Di 16-18 Uhr muss in dieser Woche leider ausfallen. Die Teilnehmer
werden gebeten, eine andere Gruppe zu besuchen.
• Sie können Ihre Lösungen korrigieren lassen.
3
Aufgabe 1: Sei f (x) = (1 − 23 x) 2 , x ∈ [0, 1] ⊂ R.
(a) Man berechne die Länge des Graphen von f .
(b) Definieren Sie s : [0, 1] → [0, L(K)] so, dass λ(t) = Φ ◦ s−1 (t) die Parametrisierung
ist, die die Kurve mit Geschwindigkeit 1 durchläuft. (Auch Eigenzeit in der relativistischen Physik genannt.)
Aufgabe 2: Man berechne die folgenden Wegintegrale, wobei Sie die Vektorfelder und
die Wegparametrisierungen detailliert angeben:
H
(a) xydy längs der Ellipse 4x2 + y 2 = 4 bei einem vollen Umlauf im positiven Sinn;
H
(b) (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2 )dy längs des Dreiecks mit den Eckpunkten (0, 0), 1, 0) und
(0, 1) bei einem vollen Umlauf im positiven Sinn.
Aufgabe 3: Carnot Kreisprozess.
Wir betrachten ein ideales Gas. Es gilt pV = N kT , wobei p den Druck, V das Volumen,
N die Teilchenzahl, k die Boltzmann Konstante und T die Temperatur bezeichnet. Wir
betrachten nun einen Kreisprozess eines geschlossenen Systems (d.h. N ist konstant), der
aus vier Schritten besteht: Sei T1 > t2 > 0, 0 < V1 < V2 . Zu Beginn des Prozesses sei
T = T1 , V = V1 .
1. Das Gas expandiert isotherm (d.h. bei konstanter Temperatur) bis das Volumen V2
erreicht ist.
2. Das Gas kühlt sich adiabatisch ab bis die Temperatur T2 erreicht ist. Für adiabatische
Veränderung gilt pV κ =const, wobei wir κ = Cp /CV > 1 als Parameter auffassen.
3. Das Gas kontrahiert isotherm.
4. Das Gas kehrt adiabatisch zum Anfangszustand zurück.
(a) Skizzieren Sie den (geschlossenen) Weg γ, der den Kreisprozess im (V, p) Diagramm
darstellt.
H
(b) Berechnen Sie die mechanische Energie W = γ pdV , die das Gas pro Umlauf an die
Umgebung abgibt.
(c) W kann als Wegintegral des Vektorfeldes F (p, V ) = (0, p) über γ aufgefasst werden.
1
2
− ∂F
.
Berechnen Sie ∂F
∂p
∂V
(d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des von γ eingeschlossenen Gebiets im (V, p) Diagramm.
Aufgabe 4:
Besitzt das Kraftfeld


x+y
f = x + z 
y+z
ein Potential? Bestimmen Sie dieses gegebenenfalls.
Aufgabe 5: Sei f : R2 \ {0} → R gegeben durch f (x1 , x2 ) = (
−x2
x1
, 2
).
2
+ x2 x1 + x22
x21
(a) Berechnen Sie das Kurvenintegral über den Rand des Einheitsquadrates mit Schwerpunkt im Nullpunkt.
(b) Sei ϕ(x1 , x2 ) der Polarwinkel. Definieren Sie die Abbildung ϕ : R2 \ {0} → [0, 2π).
Bilden Sie dϕ und stellen Sie eine Verbindung zum Ergebnis von Teil (a) her.