Einführung in Funktionale Programmierung [.5ex] Haskell

Einführung in Funktionale Programmierung
Haskell: Typklassen, Modularisierung
PD Dr. David Sabel
WS 2015/16
Stand der Folien: 5. November 2015
Typklassen Module
Übersicht
1
Typklassen
Klassen und Instanzen
Konstruktorklassen
Auflösung der Überladung
Erweiterung von Typklassen
2
Haskells hierarchisches Modulsystem
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Haskells Typklassensystem
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Ziele des Kapitels
Klassen, Methoden, Ober-Unterklassen, Vererbung
Verwendung eigener Typklassen
Standardklassen und Methoden in Haskell:
Eq, Ord, Read, Show, Num
Auflösung der Überladung:
Übersetzung in typklassenfreies Haskell
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Polymorphismus (1)
Parametrischer Polymorphismus:
Funktion f ist für eine Menge von verschiedenen Typen
definiert
Verhalten ist für alle Typen gleich
Implementierung ist unabhängig von den konkreten Typen
Beispiele:
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
kann für beliebige Listen verwendet werden
(\x -> x) :: a -> a
kann auf beliebiges Argument angewendet werden
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
kann für passende Funktion und Listen verwendet werden
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Polymorphismus (2)
Ad hoc Polymorphismus:
Eine Funktion (bzw. Funktionsname) f wird mehrfach
für verschiedene Datentypen definiert.
I.a. ist die Stelligkeit unabhängig vom Typ.
Implementierungen von f für verschiedene Typen sind
unterschiedlich.
Ad hoc-Polymorphismus nennt man auch Überladung.
Beispiele
+, für Integer- und für Double-Werte.
== für Bool und Integer
map für Listen und Bäume
Haskells Typklassen implementieren Ad hoc Polymorphismus
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklassen und Instanzen
Typklasse:
Namen
Klassenfunktionen
Instanzen: sind die Typen die zur Typklasse gehören:
zusammen mit der jeweils spezifischen Implementierung der
Klassenfunktionen
Beispiel
Typklasse: GenericTree
Klassenfunktionen, z.B. gmap, fold
(Typ-)Instanzen: Listen, BBaum,
Klassenfunktion-Instanzen: map, bmap, foldr, foldb
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklassen
In der Klassendefinition wird festgelegt:
Typ der Klassenfunktionen
Optional: Default-Implementierungen der Klassenfunktionen
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklassen
In der Klassendefinition wird festgelegt:
Typ der Klassenfunktionen
Optional: Default-Implementierungen der Klassenfunktionen
Pseudo-Syntax für den Kopf:
class [OBERKLASSE =>] Klassenname a where
... Typdeklarationen und Default-Implementierungen ...
definiert die Klasse Klassenname
a ist der Parameter für den Typ.
Es ist nur eine solche Variable erlaubt
OBERKLASSE ist eine Klassenbedingung (optional)
Einrückung beachten!
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Klasse Eq
Definition der Typklasse Eq:
class
Eq a where
(==), (/=)
x /= y
x == y
::
a -> a -> Bool
= not (x == y)
= not (x /= y)
Keine Klassenbedingung
Klassenmethoden sind == und /=
Es gibt Default-Implementierungen für beide Klassenmethoden
Instanzen müssen mindestens == oder /= definieren
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklasseninstanz (1)
Instanzen definieren die Klassenmethoden für einen konkreten Typ
Instanzen können Default-Implementierungen überschreiben
Syntax für Instanzen:
instance [KLASSENBEDINGUNGEN => ] KLASSENINSTANZ where
...Implementierung der Klassenmethoden ...
KLASSENINSTANZ besteht aus Klasse und der Instanz,
z.B. Eq [a] oder Eq Int
KLASSENBEDINGUNGEN optional
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklasseninstanz (2)
Beispiele:
instance Eq Int where
(==) = primEQInt
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklasseninstanz (2)
Beispiele:
instance Eq Int where
(==) = primEQInt
instance Eq Bool where
x == y
= (x && y) || (not x && not y)
x /= y
= not (x == y)
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklasseninstanz (2)
Beispiele:
instance Eq Int where
(==) = primEQInt
instance Eq Bool where
x == y
= (x && y) || (not x && not y)
x /= y
= not (x == y)
instance Eq
Montag
Dienstag
Mittwoch
Donnerstag
Freitag
Samstag
Sonntag
_
Wochentag where
== Montag
=
== Dienstag
=
== Mittwoch
=
== Donnerstag =
== Freitag
=
== Samstag
=
== Sonntag
=
== _
=
True
True
True
True
True
True
True
False
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklasseninstanz (3)
Beispiel mit Klassenbedingung:
instance
[]
(x:xs)
_
Eq
==
==
==
a => Eq [a] where
[]
= True
(y:ys) = (x == y) && (xs == ys)
_
= False
Für die Abfrage x == y muss der Gleichheitstest auf
Listenelementen vorhanden sein
Eq a => Eq [a] drückt diese Bedingung gerade aus.
Typ [a] ist nur dann eine Instanz von Eq,
”
wenn Typ a bereits Instanz von Eq ist“
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Fehlende Definitionen
class
Eq a where
(==), (/=)
x /= y
x == y
::
a -> a -> Bool
= not (x == y)
= not (x /= y)
Beispiel:
data RGB = Rot | Gruen | Blau
deriving(Show)
instance Eq RGB where
Instanz syntaktisch korrekt
Keine Fehlermeldung oder Warnung
Rot == Gruen terminiert nicht!
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Fehlende Definitionen (2)
Eigene Eq“-Klasse
”
class MyEq a where
(===), (=/=) :: a -> a -> Bool
(===) a b = not (a =/= b)
Nur (===) hat eine Default-Implementierung
instance MyEq RGB where
Instanz syntaktisch korrekt
Warnung vom Compiler (kein Fehler):
Warning: No explicit method nor default method for ‘=/=’
In the instance declaration for ‘MyEq RGB’
Rot === Gruen gibt Laufzeitfehler:
*Main> Rot === Gruen
*** Exception: TypklassenBeispiele.hs:37:9-16:
No instance nor default method for class operation Main.=/=
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typklassen: Vererbung
class (Oberklasse1 a, ..., OberklasseN a) => Klassenname a where
...
Oberklasse1 a
Oberklasse2 a
...
OberklasseN a
Klassenname a
Klassenname ist Unterklasse von Oberklasse1,...,OberklasseN
In der Klassendefinition können die überladenen Operatoren der
Oberklassen verwendet werden (da sie geerbt sind)
Beachte: => ist nicht als logische Implikation zu interpretieren
Da mehrere Oberklassen erlaubt sind, ist Mehrfachvererbung möglich
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klasse mit Vererbung: Ord
Ord ist Unterklasse von Eq:
class (Eq a) => Ord a where
compare
:: a -> a -> Ordering
(<),(<=),(>=),(>) :: a -> a -> Bool
max, min
:: a -> a -> a
compare x y | x == y
= EQ
| x <= y
= LT
| otherwise = GT
x
x
x
x
<=
<
>=
>
y
y
y
y
=
=
=
=
max x y |
|
min x y |
|
compare
compare
compare
compare
x
x
x
x
y
y
y
y
/=
==
/=
==
x <= y
otherwise
x <= y
otherwise
=
=
=
=
y
x
x
y
GT
LT
LT
GT
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Ord: lineare Ordnungen!
Ordering ist definiert als:
data Ordering = LT | EQ | GT
Instanzen müssen entweder
<= oder compare
definieren.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Beispiel: Instanz für Wochentag
instance Ord Wochentag where
a <= b =
(a,b) ‘elem‘ [(a,b) | i <- [0..6],
let a = ys!!i,
b <- drop i ys]
where ys = [Montag, Dienstag, Mittwoch,
Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag]
Wenn Wochentag Instanz von Enum,
dann kann man die Definition ersetzen:
a <= b =
(a,b)‘elem‘[(a,b) | a <- [Montag..Sonntag],b <- [a..Sonntag]]
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Vererbung im Typsystem
Beispiel:
f x y = (x == y) && (x <= y)
Da == und <= verwendet werden würde man erwarten:
Typ von f?
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Vererbung im Typsystem
Beispiel:
f x y = (x == y) && (x <= y)
Da == und <= verwendet werden würde man erwarten:
f :: (Eq a, Ord a) => a -> a -> Bool
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Vererbung im Typsystem
Beispiel:
f x y = (x == y) && (x <= y)
Da == und <= verwendet werden würde man erwarten:
f :: (Eq a, Ord a) => a -> a -> Bool
Da Ord jedoch Unterklasse von Eq:
f :: Ord a => a -> a -> Bool
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klassenbeschränkungen bei Instanzen
instance (Klasse1 a1, ..., KlasseN aN) => Klasse Typ where
...
Es sind mehrere Typvariablen erlaubt.
Die Typvariablen a1,. . . ,aN müssen alle im Typ Typ
vorkommen.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klassenbeschränkungen bei Instanzen
instance (Klasse1 a1, ..., KlasseN aN) => Klasse Typ where
...
Keine Vererbung!
Bedeutet: Es gibt nur dann eine Instanz, wenn es Instanzen für
die Typvariablen a1,. . . ,aN der entsprechenden Klassen gibt.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klassenbeschränkungen bei Instanzen
instance (Klasse1 a1, ..., KlasseN aN) => Klasse Typ where
...
Keine Vererbung!
Bedeutet: Es gibt nur dann eine Instanz, wenn es Instanzen für
die Typvariablen a1,. . . ,aN der entsprechenden Klassen gibt.
Beispiel:
instance Eq a => Eq (BBaum a) where
Blatt a == Blatt b
= a == b
Knoten l1 r1 == Knoten l2 r2 = l1 == l2 && r1 == r2
_ == _
= False
Nur wenn man Blattmarkierungen vergleichen kann, dann auch
Bäume
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klassenbeschränkungen bei Instanzen (2)
*Main List> Blatt 1 == Blatt 2 ←False
*Main List> Blatt 1 == Blatt 1 ←True
*Main List> Blatt (\x ->x) == Blatt (\y -> y) ←<interactive>:1:0:
No instance for (Eq (t -> t))
arising from a use of ‘==’ at <interactive>:1:0-32
Possible fix: add an instance declaration for (Eq (t -> t))
In the expression: Blatt (\ x -> x) == Blatt (\ y -> y)
In the definition of ‘it’:
it = Blatt (\ x -> x) == Blatt (\ y -> y)
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klassenbeschränkungen bei Instanzen (3)
Beispiel mit mehreren Klassenbeschränkungen:
data Either a b = Left a | Right b
Either-Instanz für Eq:
instance
Left x
Right x
_
(Eq a, Eq b)
== Left y =
== Right y =
== _
=
=> Eq (Either a b) where
x == y -- benutzt Eq-Instanz f\"ur a
x == y -- benutzt Eq-Instanz f\"ur b
False
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Klassen Read und Show
Die Klassen Read und Show dienen zum Einlesen (Parsen) und
Anzeigen von Datentypen.
show :: Show a => a -> String
read :: Read a => String -> a
Allerdings ist read keine Klassenfunktion!
Komplizierter:
type
type
ReadS a = String -> [(a,String)]
ShowS
= String -> String
reads ist wie ein Parser mit Erfolgslisten
shows kann noch einen String als Argument nehmen
(oft schneller als geschachteltes ++)
reads :: Read a => ReadS a
shows :: Show a => a -> ShowS
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Klassen Read und Show (2)
class Read a where
readsPrec :: Int -> ReadS a
readList :: ReadS [a]
-- ... default decl for readList given in Prelude
class Show a where
showsPrec :: Int -> a -> ShowS
show
:: a -> String
showList :: [a] -> ShowS
showsPrec _ x s
= show x ++ s
show x
= showsPrec 0 x ""
-- ... default decl for showList given in Prelude
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Show für BBaum
showBBaum
showBBaum
showBBaum
"<" ++
:: (Show t) => BBaum t -> String
(Blatt a)
= show a
(Knoten l r) =
showBBaum l ++ "|" ++ showBBaum r ++ ">"
Schlecht, da quadratische Laufzeit.
insbesondere bei tiefen baumartigen Strukturen
Besser:
showBBaum’ :: (Show t) => BBaum t -> String
showBBaum’ b = showsBBaum b []
showsBBaum :: (Show t) => BBaum t -> ShowS
showsBBaum (Blatt a)
= shows a
showsBBaum (Knoten l r) =
showChar ’<’ . showsBBaum l . showChar ’|’
. showsBBaum r . showChar ’>’
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Show für BBaum (2)
Tests:
*Main> last $ showBBaum t ←’>’
(73.38 secs, 23937939420 bytes)
*Main> last $ show t ←’>’
(0.16 secs, 10514996 bytes)
Hierbei ist t ein Baum mit ca. 15000 Knoten.
Show-Instanz für BBaum a:
instance Show a => Show (BBaum a) where
showsPrec _ = showsBBaum
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Rand eines Baumes: analog
bRand (Blatt a) = [a]
bRand (Knoten links rechts) = (bRand links) ++ (bRand rechts)
-- Variante 1
bRandschnell tr = reverse (bRandschnell_r [] tr)
bRandschnell_r r (Blatt a) = (a:r)
bRandschnell_r r (Knoten links rechts) =
bRandschnell_r (bRandschnell_r r rechts) links
-- Variante 2
bRandschnell’ tr = bRandschnell’_r tr []
bRandschnell’_r (Blatt a) = \x-> (a:x)
bRandschnell’_r (Knoten links rechts) =
(bRandschnell’_r rechts) . (bRandschnell’_r links)
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Rand eines Baumes: analog
*Main>
*Main>
*Main>
......
*Main>
*Main>
let t = genBaum [1..10000] ←:s +s ←length (bRand t)
let t’ = genBaum’ [1..100000] ←length (bRandschnell t)
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Read für BBaum
Elegant mit List Comprehensions:
instance Read a => Read (BBaum a) where
readsPrec _ = readsBBaum
readsBBaum :: (Read a) => ReadS (BBaum a)
readsBBaum (’<’:xs) =
[(Knoten l r, rest) | (l, ’|’:ys)
<- readsBBaum xs,
(r, ’>’:rest) <- readsBBaum ys]
readsBBaum s
=
[(Blatt x, rest)
| (x,rest)
<- reads s]
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung erfordert manchmal Typ
Prelude> read "10" ←-
<interactive>:1:0:
Ambiguous type variable ‘a’ in the constraint
‘Read a’ arising from a use of ‘read’ at <interactive>:1:0-8
Probable fix: add a type signature that
fixes these type variable(s)
Prelude> (read "10")::Int ←10
Ähnliches Problem bei überladenen Konstanten, z.B. 0
Im GHC Defaulting: Für Zahlen ist dies der Typ Integer.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Klassen mit Mehrfachvererbung: Num
Num überlädt Operatoren für Zahlen:
class (Eq a, Show
(+), (-), (*)
negate
abs, signum
fromInteger
a)
::
::
::
::
=> Num a where
a -> a -> a
a -> a
a -> a
Integer -> a
Mit fromInteger werden Zahlenkonstanten überladen, z.B.
length [] = 0
length (x:xs) = 1+(length xs)
Der Compiler kann den Typ length :: (Num a) => [b] -> a
herleiten, da 0 eigentlich für fromInteger (0::Integer) steht.
In Haskell: genericLength aus Modul Data.List
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Klasse Enum
Enum ist für Typen geeignet deren Werte aufzählbar sind:
class Enum a where
succ, pred
::
toEnum
::
fromEnum
::
enumFrom
::
enumFromThen
::
enumFromTo
::
enumFromThenTo ::
a -> a
Int -> a
a -> Int
a -> [a]
a -> a -> [a]
a -> a -> [a]
a -> a -> a -> [a]
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-----
[n..]
[n,n’..]
[n..m]
[n,n’..m]
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Klasse Enum (2)
Enum-Instanz für Wochentag
instance Enum Wochentag where
toEnum i = tage!!(i ‘mod‘ 7)
fromEnum t = case elemIndex t tage of
Just i -> i
tage = [Montag,Dienstag,Mittwoch,Donnerstag,
Freitag,Samstag,Sonntag]
Ein Aufruf:
*Main> enumFromTo Montag Sonntag ←[Montag,Dienstag,Mittwoch,Donnerstag,Freitag,Samstag,Sonntag]
*Main> [(Montag)..(Samstag)] ←[Montag,Dienstag,Mittwoch,Donnerstag,Freitag,Samstag]
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Typisierung unter Typklassen
Syntax von polymorphen Typen ohne Typklassen
T ::= T V | T C T1 . . . Tn | T1 → T2
Erweiterte Typen Te mit Typklassen:
Te ::= T | Kon => T
Kon ist ein Typklassenkontext:
Kon ::= Klassenname T V | (Klassenname1 T V, . . . , Klassennamen T V )
Zusätzlich: Für Kontext => Typ muss gelten:
Alle Typvariablen von Kontext kommen auch in Typ vor.
Z.B. elem ::(Eq a) => a -> [a] -> Bool.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Konstruktorklassen
Die bisherigen Klassen abstrahieren über einen Typ
Z.B.
class Eq a where
(==), (/=) :: a -> a -> Bool
x /= y = not (x == y)
x == y = not (x /= y)
für die Variable a kann ein Typ eingesetzt werden.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Konstruktorklassen
Die bisherigen Klassen abstrahieren über einen Typ
Z.B.
class Eq a where
(==), (/=) :: a -> a -> Bool
x /= y = not (x == y)
x == y = not (x /= y)
für die Variable a kann ein Typ eingesetzt werden.
In Haskell ist es auch möglich über Typkonstruktoren zu
abstrahieren
Solche Klassen heißen Konstruktorklassen
Zu Erinnerung: Z.B. ist BBaum a ein Typ aber BBaum ein
Typkonstruktor.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Konstruktorklasse Functor
Definition der Klasse Functor:
class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
f ist eine Variable für einen Typkonstruktor.
Functor-Instanz für Listen
instance Functor [] where
fmap = map
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Konstruktorklasse Functor
Functor-Instanz für BBaum
instance Functor BBaum where
fmap = bMap
Bei Instanzbildung muss der Typkonstruktor BBaum und nicht der
Typ (BBaum a) angegeben werden.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Die Konstruktorklasse Functor
Falsch mit BBaum a statt BBaum:
instance Functor (BBaum a) where
fmap = bMap
ergibt den Fehler:
Kind mis-match
The first argument of ‘Functor’ should have kind ‘* -> *’,
but ‘BBaum a’ has kind ‘*’
In the instance declaration for ‘Functor (BBaum a)’
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Kinds
Kinds sind quasi Typen über Typen
Syntax: K ::= ∗ | K -> K
Hierbei steht ∗ für einen Typ
Beispiele:
• der Typkonstruktor BBaum hat den Kind * -> *,
• der Typ Int hat den Kind *,
• der Typkonstruktor Either hat den Kind * -> * -> *.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Instanzen von Functor
instance Functor (Either a) where
fmap f (Left a) = Left a
fmap f (Right a) = Right (f a)
Beachte, dass (Either a) wie ein 1-stelliger Typkonstruktor wirkt,
da Either 2-stellig ist.
siehe Data.Either
instance Functor Maybe where
fmap f Nothing = Nothing
fmap f (Just a) = Just (f a)
Instanzen von Functor sollten die folgenden beiden Gesetze
erfüllen:
fmap id = id
fmap (f . g)
= fmap f . fmap g
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Übersicht über die vordefinierten Typklassen (veraltet)
Eq
Show
Read
alle außer IO, ->
alle außer IO, ->
alle außer IO, ->
Bounded
Ord
Num
alle außer IO,
IOError, ->
Int, Integer,
Float, Double
Int, Char, Bool,
(), Ordering,
Tupel
Enum
Real
Fractional
(), Bool, Char, Ordering,
Int, Integer, Float, Double
Int, Integer,
Float, Double
Float, Double
Integral
RealFrac
Floating
Int, Integer
Float, Double
Float, Double
RealFloat
Float, Double
Functor
Monad
IO, [], Maybe
IO, [], Maybe
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung
Irgendwann muss die richtige Implementierung für eine
überladene Funktion benutzt werden
Early Binding: Auflösung zur Compilezeit
Late Binding: Auflösung zur Laufzeit
Zur Erinnerung:
Parametrisch polymorph: Implementierung ist unabhängig von den
konkreten Typen
Ad hoc polymorph (Typklassen): Implementierung ist abhängig von
den konkreten Typen
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung in Haskell
Es gibt keine Typinformation zur Laufzeit
=⇒ Auflösung zur Compilezeit
Auflösung benötigt Typinformation,
daher Auflösung zusammen mit dem Typcheck.
Nicht immer (einfach) möglich, zB. quadrat
Typen-Ersatz für Late Binding:
Datenstruktur die Typinformation“ enthält
”
Typcheck ist notwendig für korrekte Auflösung der Überladung
Insbesondere lokale Typinformation
Auch für Optimierungen durch early Binding.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung
Unser Vorgehen zur Transformation in Kernsprache:
Wir nehmen an, Typinformation, auch für Unterausdrücke, ist
vorhanden
Wir trennen jedoch Auflösung
und Typcheck (Typberechnung), d.h.
wir behandeln erstmal nur die Auflösung durch Übersetzung
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (2)
Wir machen das anhand von Beispielen:
Auflösung von Eq
class
Eq a where
(==), (/=) :: a -> a -> Bool
x /= y = not (x == y)
x == y = not (x /= y)
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (2)
Wir machen das anhand von Beispielen:
Auflösung von Eq
class
Eq a where
(==), (/=) :: a -> a -> Bool
x /= y = not (x == y)
x == y = not (x /= y)
Anstelle der Typklasse tritt eine Datentypdefinition:
Dieser Dictionary-Datentyp ist ein Produkttyp (record), der
für jede Klassenmethode eine Komponente erhält.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (2)
Wir machen das anhand von Beispielen:
Auflösung von Eq
class
Eq a where
(==), (/=) :: a -> a -> Bool
x /= y = not (x == y)
x == y = not (x /= y)
Anstelle der Typklasse tritt eine Datentypdefinition:
Dieser Dictionary-Datentyp ist ein Produkttyp (record), der
für jede Klassenmethode eine Komponente erhält.
data EqDict a = EqDict {
eqEq :: a -> a -> Bool, -- f"ur ==
eqNeq :: a -> a -> Bool -- f"ur /=
}
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (3)
Methoden bzw. Operatoren - Implementierungen:
Sie werden als normale“ Funktionen implementiert
”
und erhalten als zusätzliches Argument ein Dictionary
(also ein Tupel der Klassenfunktion-Implementierungen)
Anstelle der überladenen Operatoren:
Implementierung von ==
overloadedeq :: EqDict a -> a -> a -> Bool
overloadedeq dict a b = eqEq dict a b
Implementierung von /=
overloadedneq :: EqDict a -> a -> a -> Bool
overloadedneq dict a b = eqNeq dict a b
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (4)
Beachte bei der Übersetzung: aus
(==)
:: Eq a => a -> a -> Bool
wird:
overloadedeq :: EqDict a -> a -> a-> Bool
Überladene Funktionen können nun durch zusätzliche
Dictionary-Parameter angepasst werden:
Beispiel:
elemEq :: EqDict a ->
elem :: (Eq a) => a -> [a] -> Bool
elemEq dict e []
=
elem e []
= False
elem e (x:xs)
=⇒ elemEq dict e (x:xs)
| (eqEq dict) e x
| e == x
= True
| otherwise
| otherwise = elem e xs
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a -> [a] -> Bool
False
= True
= elemEq dict e xs
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (5)
Bei konkreten Typen müssen jedoch die konkreten Dictionaries
eingesetzt werden
Z.B. aus
... True == False ...
wird
... overloadedeq eqDictBool True False
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung
Beispiel:
Aus
instance Eq Bool where
True == True = True
False == False = True
_ == _
= False
wird
eqDictBool = EqDict {eqEq = eqBool, eqNeq =
default_eqNeq}
und
eqBool True True = True
eqBool False False = True
eqBool _
_
= False
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung: Grundtypen
Übersetzung:
True == True
Typ von == ist hier
Bool -> Bool -> Bool
wird zu
overloadedeq eqDictBool True True
Das kann man durch Beta-Reduktion (zur Compilezeit) weiter
vereinfachen:
eqEq eqDictBool True True
und zu
eqBool True True
Ergebnis: early binding bei bekanntem Grundtyp
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung: Eq auf Listen
instance Eq a => Eq [a] where
....
x:xs == y:ys = x == y && xs == ys
wird als Funktion übersetzt: dict für Elemente 7→ dict für Liste
eqDictList:: EqDict a -> EqDict [a]
eqDictList dict = EqDict {eqEq = eqList dict,
eqNeq = default_eqNeq (eqDictList dict)}
where
eqList .... =
eqList dict (x:xs) (y:ys)
= overloadedeq dict x y && overloadedeq (eqDictList dict) xs ys
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung: Defaults
Default-Implementierungen:
falls Klassenmethoden nicht bei instance angegeben:
Hier für die Eq-Typklasse
-- Default-Implementierung f"ur ==:
default_eqEq eqDict x y = not (eqNeq eqDict x y)
-- Default-Implementierung f"ur /=:
default_eqNeq eqDict x y = not (eqEq eqDict x y)
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (6)
Weitere Beispiele für konkrete Dictionaries
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (6)
Weitere Beispiele für konkrete Dictionaries
Aus der Instanzdefinition:
instance Eq
Montag
Dienstag
Mittwoch
Donnerstag
Freitag
Samstag
Sonntag
_
Wochentag where
== Montag
=
== Dienstag
=
== Mittwoch
=
== Donnerstag =
== Freitag
=
== Samstag
=
== Sonntag
=
== _
=
eqDictWochentag :: EqDict Wochentag
True
eqDictWochentag =
True
EqDict {
True
eqEq = eqW,
True
eqNeq = default_eqNeq eqDictWochentag
True
}
True
where eqW Montag
Montag
= True
True
eqW Dienstag
Dienstag
= True
⇒
False
eqW Mittwoch
Mittwoch
= True
eqW Donnerstag Donnerstag = True
eqW Freitag
Freitag
= True
eqW Samstag
Samstag
= True
eqW Sonntag
Sonntag
= True
eqW _
_
= False
Beachte die Verwendung der Default-Implementierung für eqNeq
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (7)
Eq-Dictionary für Ordering
instance Eq Ordering where
LT == LT = True
EQ == EQ = True
GT == GT = True
_ == _ = False
⇒
eqDictOrdering :: EqDict Ordering
eqDictOrdering =
EqDict {
eqEq = eqOrdering,
eqNeq = default_eqNeq eqDictOrdering
}
where
eqOrdering LT LT = True
eqOrdering EQ EQ = True
eqOrdering GT GT = True
eqOrdering _ _ = False
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (8)
Instanzen mit Klassenbeschränkungen:
instance Eq a => Eq (BBaum a) where
Blatt a == Blatt b
= a == b
Knoten l1 r1 == Knoten l2 r2 = l1 == l2 && r1 == r2
_ == _
= False
Auflösung: das Dictionary für BBaum a ist eine Funktion,
Diese erhält das Dictionary für a als Argument:
eqDictBBaum :: EqDict a -> EqDict (BBaum a)
eqDictBBaum dict = EqDict {
eqEq = eqBBaum dict,
eqNeq = default_eqNeq (eqDictBBaum dict)
}
where
eqBBaum dict (Blatt a) (Blatt b) =
overloadedeq dict a b -- hier Eq-Dictionary f"ur dict
eqBBaum dict (Knoten l1 r1) (Knoten l2 r2) =
eqBBaum dict l1 l2 && eqBBaum dict r1 r2
eqBBaum dict x y = False
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (9)
Auflösung bei Unterklassen:
Der Datentyp enthält die Dictionaries der Oberklassen
class (Eq a) =>
compare
:: a
(<), (<=),
(>=), (>) :: a
max, min
:: a
Ord a where
-> a -> Ordering
-> a -> Bool
-> a -> a
data OrdDict a =
OrdDict {
eqDict :: EqDict a,
compare x y | x == y
= EQ
| x <= y
= LT
| otherwise = GT
=⇒
x
x
x
x
<=
<
>=
>
y
y
y
y
=
=
=
=
max x y |
|
min x y |
|
compare
compare
compare
compare
x
x
x
x
y
y
y
y
/=
==
/=
==
x <= y
otherwise
x <= y
otherwise
=
=
=
=
y
x
x
y
GT
LT
LT
GT
-- Dictionary
-- der Oberklasse
ordCompare :: a -> a -> Ordering,
ordL :: a -> a -> Bool,
ordLT :: a -> a -> Bool,
ordGT :: a -> a -> Bool,
ordG :: a -> a -> Bool,
ordMax :: a -> a -> a,
ordMin :: a -> a -> a
}
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (10)
Übersetzung der Default-Implementierungen:
compare x y | x == y
= EQ
| x <= y
= LT
| otherwise = GT
x <= y
x <
y
⇒
default_ordCompare dictOrd x y
| (eqEq (eqDict dictOrd)) x y = EQ
| (ordLT dictOrd) x y
= LT
| otherwise
= GT
⇒
default_ordLT
let compare
nequal
in (compare
⇒
default_ordL dictOrd x y =
let compare = (ordCompare dictOrd)
equal
= eqEq eqDictOrdering
in (compare x y) ‘equal‘ LT
= compare x y /= GT
= compare x y == LT
dictOrd x y =
= (ordCompare dictOrd)
= eqNeq (eqDictOrdering)
x y) ‘nequal‘ GT
usw.
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (11)
Ord-Dictionary für Wochentag:
instance Ord Wochentag where
a <= b =
(a,b) ‘elem‘ [(a,b) | i <- [0..6], let a = ys!!i, b <- drop i ys]
where ys = [Montag,Dienstag,Mittwoch,Donnerstag,Freitag,Samstag,Sonntag]
⇒
ordDictWochentag = OrdDict {
eqDict = eqDictWochentag,
ordCompare = default_ordCompare ordDictWochentag,
ordL = default_ordL ordDictWochentag,
ordLT = wt_lt,
ordGT = default_ordGT ordDictWochentag,
ordG = default_ordG ordDictWochentag,
ordMax = default_ordMax ordDictWochentag,
ordMin = default_ordMin ordDictWochentag
}
where
wt_lt a b =
(a,b) ‘elem‘ [(a,b) | i <- [0..6], let a = ys!!i, b <- drop i ys]
ys = [Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag]
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Auflösung der Überladung (11)
Konstruktorklassen:
class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
Typvariablen a und b müssen dem Dictionary hinzugefügt werden:
data FunctorDict a b f = FunctorDict {
functorFmap :: (a -> b) -> f a -> f b}
Die überladene fmap-Funktion nach der Übersetzung:
(kein gültiger polymorpher Typ, aber Haskell-Typ)
overloaded_fmap :: (FunctorDict a b f) -> (a -> b) -> f a -> f b
overloaded_fmap dict = functorFmap dict
Instanz für BBaum:
functorDictBBaum = FunctorDict {functorFmap = bMap}
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Typklassen Module
Klassen+Instanzen Konstruktorkl. Auflösung Erweiterungen
Erweiterung von Typklassen
Multiparameter Klassen
Haskell erlaubt nur eine Kind“-Variable in der
”
Klassendeklaration
Multiparameter-Klassen erlauben auch mehrere
Kind“-Variablen, z.B.
”
class Indexed c a i where
sub :: c -> i -> a
idx :: c -> a -> Maybe i
Überlappende bzw. flexible Instanzen sind in Haskell verboten:
instance Eq (Bool,Bool) where
(a,b) == (c,d) = ...
Funktionale Abhängigkeiten
class MyClass a b | a -> b where
bedeutet in etwa: Der Typ b wird durch den Typ a bestimmt.
Problem fast aller Erweiterungen: Typsystem wird unentscheidbar!
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Typklassen Module
Haskells hierarchisches
Modulsystem
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Typklassen Module
Haskells hierarchisches Modulsystem
Aufgaben von Modulen
Strukturierung / Hierarchisierung
Kapselung
Wiederverwendbarkeit
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Typklassen Module
Moduldefinition in Haskell
module Modulname(Exportliste)
 where
Modulimporte,

Datentypdefinitionen,
M odulrumpf

Funktionsdefinitionen, . . .
Name des Moduls muss mit Großbuchstaben beginnen
Exportliste enthält die nach außen sichtbaren Funktionen und
Datentypen
Dateiname = Modulname.hs (bei hierarchischen Modulen
Pfad+Dateiname = Modulname.hs)
Ausgezeichnetes Modul Main muss Funktion main :: IO ()
exportieren
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Typklassen Module
Import / Export
Beispiel:
module Spiel where
data Ergebnis = Sieg | Niederlage | Unentschieden
berechneErgebnis a b = if a > b then Sieg
else if a < b then Niederlage
else Unentschieden
istSieg Sieg = True
istSieg _
= False
istNiederlage Niederlage = True
istNiederlage _
= False
Da keine Exportliste: Es werden alle Funktionen und
Datentypen exportiert
Außer importierte
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Typklassen Module
Exporte
Exportliste kann enthalten
Funktionsname (in Präfix-Schreibweise) Z.B.: ausschließlich
berechneErgebnis wird exportiert
module Spiel(berechneErgebnis) where
Datentypen mittels data oder newtype, drei Möglichkeiten
Nur Ergebnis in die Exportliste:
module Spiel(Ergebnis) where
Typ Ergebnis wird exportiert, die Datenkonstruktoren, d.h.
Sieg, Niederlage, Unentschieden jedoch nicht
module Spiel(Ergebnis(Sieg, Niederlage))
Typ Ergebnis und die Konstruktoren Sieg und Niederlage
werden exportiert, nicht jedoch Unentschieden.
Durch den Eintrag Ergebnis(..), wird der Typ mit
sämtlichen Konstruktoren exportiert.
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Typklassen Module
Exporte (2)
Exportliste kann enthalten
Typsynonyme, die mit type definiert wurden
module Spiel(Result) where
... wie vorher ...
type Result = Ergebnis
Importierte Module:
module Game(module Spiel, Result) where
import Spiel
type Result = Ergebnis
Game exportiert alle Funktionen, Datentypen und
Konstruktoren, die auch Spiel exportiert sowie zusätzlich
noch den Typ Result.
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Typklassen Module
Importe
Einfachste Form: Importiert alle Einträge der Exportliste
import Modulname
Andere Möglichkeiten:
Explizites Auflisten der zu importierenden Einträge:
module Game where
import Spiel(berechneErgebnis, Ergebnis(..))
...
Explizites Ausschließen einzelner Einträge:
module Game where
import Spiel hiding(istSieg,istNiederlage)
...
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Typklassen Module
Importe (2)
So importierte Funktionen und Datentypen sind mit ihrem
unqualifizierten und ihrem qualifizierten Namen ansprechbar.
Qualifizierter Name: Modulname.unqualifizierter Name
module A(f) where
f a b = a + b
module B(f) where
f a b = a * b
module C where
import A
import B
g = f 1 2 + f 3 4 -- funktioniert nicht!
Prelude> :l C.hs ←ERROR C.hs:4 - Ambiguous variable occurrence "f"
*** Could refer to: B.f A.f
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Typklassen Module
Importe (3)
Mit qualifizierten Namen funktioniert es:
module C where
import A
import B
g = A.f 1 2 + B.f 3 4
Mit Schlüsselwort qualified kann man nur die qualifizierten
Namen importieren:
module C where
import qualified A
g = f 1 2
-- f ist nicht sichtbar
Prelude> :l C.hs ←ERROR C.hs:3 - Undefined variable "f"
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Typklassen Module
Importe (4)
Lokale Aliase: Schlüsselwort as:
import LangerModulName as C
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Typklassen Module
Importe (5)
Übersicht:
Import-Deklaration
import M
import M()
import M(f)
import qualified M
import qualified M()
import qualified M(f)
import M hiding ()
import M hiding (f)
import qualified M hiding ()
import qualified M hiding (f)
import M as N
import M as N(f)
import qualified M as N
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definierte Namen
f, g, M.f, M.g
keine
f, M.f
M.f, M.g
keine
M.f
f, g, M.f, M.g
g, M.g
M.f, M.g
M.g
f, g, N.f, N.g
f, N.f
N.f, N.g
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Typklassen Module
Hierarchische Modulstruktur
Modulnamen mit Punkten versehen geben Hierarchie an: z.B.
module A.B.C
Allerdings ist das rein syntaktisch (es gibt keine Beziehung
zwischen Modul A.B und A.B.C)
Beim Import:
import A.B.C
sucht der Compiler nach dem File namens C.hs im Pfad A/B/
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