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Technische Mechanik III Technische Mechanik III WS 2008/09 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Spielmannstraße 11 38106 Braunschweig Tel.: 0531-391 7103 Email: [email protected] http://www.infam.tu-braunschweig.de Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 1 Einführung Technische Mechanik: Band 3: Kinetik (Springer-Lehrbuch) (Taschenbuch) EUR 19,95 Download: Technische Mechanik III Lehrbuch www.infam.tu-braunschweig.de LINK: Lehrveranstaltungen – TM3 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 Einführung Dienstag 11.30-13.00 PK 11.2 14.05-14.50 SN 20.2 Technische Mechanik III Vorlesung TM 3 Übung zu TM3 Donnerstag Seminargruppen zu TM 3 : Einteilung Do. 06.11.08 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 14.05-14.50 SN 20.2 3 Inhalt Technische Mechanik III Bewegung eines Massenpunktes Kinetik eines Systems von Massenpunkten Bewegung eines starren Körpers Schwingungen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 4 Einführung Technische Mechanik III Kinematik Geometrie der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kinetik Änderung kinematischen Größen unter Einfluss von Kräften: Kraft, Impuls, Trägheit Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 5 VL 1 :Massenpunkte Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 6 Geschwindigkeit Technische Mechanik III r t Δt − r t Δr d r v= lim = lim = = ṙ Δt dt Δt → 0 Δt → 0 Δt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 7 Bahngeschwindigkeit Technische Mechanik III Δs ds ∣v∣=v= lim = = ṡ dt Δt → 0 Δt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 8 Beschleunigung Technische Mechanik III v t Δt − v t Δv d v a= lim = lim = = v̇= r̈ Δt dt Δt → 0 Δt → 0 Δt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 9 r t =x t e x y t e y z t e z v= ṙ= ẋ e x ẏ e y ż e z a= r̈= ẍ e x ÿ e y z̈ e z Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 10 Technische Mechanik III Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten v x = ẋ , v y = ẏ , v z = ż a x = v˙x = ẍ , a y = v˙y = ÿ , a z = v˙z = z̈ v=∣v∣= ẋ 2 ẏ 2 ż 2 2 2 2 a=∣a∣= ẍ ÿ z̈ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 11 Technische Mechanik III Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten VL 2 Technische Mechanik III Geradlinige Bewegung 5 Kinematische Grundaufgaben Freier Fall Ebene Bewegung Polarkoordinaten Sonderfall: Kreisbewegung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 12 Geradlinige Bewegung Technische Mechanik III Lage eines Massenpunktes Verschiebung eines Massenpunktes Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 13 Geradlinige Bewegung Technische Mechanik III Geschwindigkeit Beschleunigung Verzögerung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 14 Kinematische Grundaufgaben Technische Mechanik III 1. Gleichförmige Bewegung a= v̇=dv/ dt=0 2. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung a=a 0 3. Beschleunigung veränderlich in der Zeit a=a t 4. Beschleunigung als Fkt. der Geschwindigkeit a=a v 5. Beschleunigung als Fkt. des Ortes a=a x Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 15 Gleichförmige Bewegung x=∫ dx=∫ v 0 dt → x=v 0 t C1 Bestimmen der Integrationskonstante x 0=v 0 t 0C 1 C 1= x 0−v 0 t 0 einsetzen: x=v 0 t x 0−v 0 t 0= x 0v 0 t −t 0 Bestimmte Integration auch möglich Anfangsbedingungen über Integrationskonstante oder untere Integrationsgrenze Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 16 Technische Mechanik III Ort x aus v=v 0 =dx / dt durch Integration Unbestimmte Integration, Trennung der Veränderlichen Gleichmäßig beschleunigte Bewegung v ∫ dv=a 0 dt v0 t d v = 0∫ a 0 d t v=v 0a 0 t Und der Weg x t dx=v dt x ∫ d x = 0∫ 0 t2 v 0a 0 t d t x= x 0v 0 ta 0 2 Quadratische Zeitabhängigkeit des Weges Beispiele: Freier Fall, senkrechter Wurf (ohne Luftwiderstand) Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 17 Technische Mechanik III Konstante Beschleunigung a=a0 ẋ 0 =v0, x 0 =x 0 Anfangsbedingungen Geschwindigkeit durch Integration Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Technische Mechanik III Beschleunigungs-ZeitDiagramm Geschwindigkeits-ZeitDiagramm v=v 0a 0 t Weg-Zeit-Diagramm 2 t x=x 0v 0 t a 0 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 18 Freier Fall ż 0=v 0, z 0= z 0= H Vorz. geg. pos. z-Richtung z̈=a=−g , ż=v=−g t v 0 g t2 z=− v 0 tz 0 2 Fall ohne Anfangsgeschw. g t2 a=−g , v=−g t , z=− H 2 Zeit und Auftreffgeschw. 2H z=0 T = g Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik v A=−g T =− 2 g H 19 Technische Mechanik III Anfangsbedingungen Senkrechter Wurf ż 0=v 0, Technische Mechanik III Anfangsbedingungen z 0= z 0=0 Vorz. geg. pos. z-Richtung z̈=a=−g , ż=v=−g t v 0 g t2 z=− v 0 t 2 Zeitpunkt Geschw. Null v0 v=0=−g T v 0 T = g Höchste Steighöhe H 2 2 2 v0 v 0 gT g v0 H = z T =− v 0 T =− v 0 = 2 2 2 g g 2g Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 20 Beschleunigung veränderlich a=a t v=v 0 ∫ a t d t x= x 0∫ v t dt Funktion der Geschwindigkeit 1 dv dv a=a v= dt= v ∫ dt=t=∫ dv= f v dt a a v t = f v v=F t Umkehrfunktion x=∫ F t dt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 21 Technische Mechanik III Funktion der Zeit Beschleunigung veränderlich trennen der Veränderlichen dv dv dx dv a=a x= = = v dt dx dt dx Technische Mechanik III Funktion vom Ort v dv=a dx ∫ v dv=∫ a dx Integration mit Anfangsbedingungen v t 0 =v 0 , x t 0 = x 0 x 1 2 1 2 v = v 0 x ∫ a x d x = f x v= 2 f x=v x 2 2 x dx dx dx d x v dt= = t=t 0 x ∫ = g x dt v 2 f x 2 f x 0 0 Umkehrfunktion Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik t = g x x=G t x t 22 Ebene Bewegung, Polarkoordinaten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik x, y r, und: Technische Mechanik III statt: r =r e r 23 Ebene Bewegung, Polarkoordiaten Technische Mechanik III da e e r = f t müssen differenziert werden d er d d e r =d e e˙r = = e =̇ e dt dt d e d d e =−d e r e˙= =− e r =−̇ e r dt dt Somit die Geschwindigkeit v= ṙ= ṙ e r r e˙r = ṙ e r r ̇ e Radiale Komponente zirkulare Komponente Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik v r = ṙ v =r ̇ 24 Ebene Bewegung, Polarkoordinaten Technische Mechanik III Und die Beschleunigung a= v̇= r̈ e r ṙ e˙r ṙ ̇ e r ̈ e r ̇ e˙ a= r̈ −r ̇2 e r r ̈2 ṙ ̇ e Radiale Komponente zirkulare Komponente a r = r̈−r ̇ 2 a =r ̈2 ṙ ̇ Winkelgeschwindigkeit d =̇= dt Winkelbeschleunigung ̇=̈ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 1 [ ] s 1 [ 2] s 25 Sonderfall: Kreisbwegung y e r=r e r , v=r e , 2 a=−r e r r ̇ e r Geschwindigkeit nur zirkulären Anteil er x Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Radius ist kostant, daher: v=v =r Beschleunigung tangential a =r ̇ radial a r =−r 2 26 Sonderfall: Kreisbwegung radial nach innen Sonderfall Technische Mechanik III Zentripetalbeschleunigung a r =−r 2 0=const v=r 0=const a =0 a r =−r 02=const Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 27 VL 3 Technische Mechanik III Kinetik Massenpunkt NETONsche Axiome Freie Bewegung, Wurf Schiefer Wurf Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 28 Bewegung des Massenpunktes x , ẋ , ẍ Technische Mechanik III Bisher: kinematische Größen: Jetzt: Ursache der Bewegung ----> Kräfte 1. NEWTONsche Axiom ('Gesetz') 1687 Wenn auf einen Massenpunkt keine Kraft wirkt, so ist der Impuls konstant: p=m v=const. Massenpunkt führt geradlinige, gleichförmige Bewegung aus, sofern keine Kraft wirkt. Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 29 Bewegung des Massenpunktes Technische Mechanik III 2. NEWTONsche Axiom Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der auf den Massenpunkt wirkenden Kräfte: d p d m v = =F dt dt mit konstanter Masse dp dv =m =m a=F dt dt Masse x Beschleunigung = Kraft Richtung von Beschleunigung und Kraft gleich! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 30 Bewegung des Massenpunktes Technische Mechanik III 2. NEWTONsche Axiom (Fortsetzung) Wenn äußere Kraft = Null ---> 1. Axiom (Impuls Konst.) 2. Axiom gilt für ruhende Bezugssysteme (Inertialsystem) Hohe Geschwindigkeiten ---> Relativitätstheorie beachten Erdbeschleunigung, Gewichtskraft: G=m g [N] = [(kg m)/s²] Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 31 Bewegung des Massenpunktes Technische Mechanik III 3. NEWTONsche Axiom (Wechselwirkung): Zu jeder Kraft gibt es eine gleich große entgegengesetzte Kraft: Actio = Reactio Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 32 Freie Bewegung, Wurf 3 Freiheitsgrade (FHG) Unbehindert (ungeführt): freie Bewegung Technische Mechanik III Massenpunkt hat: Wie groß sind die zur Bewegung nötigen Kräfte? Wie verläuft die Bewegung bei gegebenen Kräften? (Bahn?) Aus F =m a=m ẍ folgt der Weg: Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 ∫∫ ẍ dt =∫ ẋ dt= x 33 Beispiel: Schiefer Wurf m z̈=−m g=−G 2 x Integration ẋ=C 1 x=C 1 tC 2 z=−g tC 3 1 2 z=− g t C 3 t C 4 2 Anfangsbedingungen ẋ 0=v 0 cos C 1=v 0 cos x 0=0 C 2=0 ż 0=v 0 sin C 3=v 0 sin z 0=0 C 4=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 34 Technische Mechanik III Gegeben: , v 0, g Gleichungen m ẍ=0 Beispiel: Schiefer Wurf x=v 0 cos t 1 2 z=− g t v 0 sin t 2 Einsetzen: Zeit eliminieren ergibt Bahngleichung x t= v 0 cos Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 1 x x z x=− g v 0 sin 2 v 0 cos v 0 cos g 2 z x=− 2 x tan x 2 2 v 0 cos 35 Technische Mechanik III Integrationskonstanten einsetzen Beispiel: Schiefer Wurf Bedingung: z x w =0 einsetzen: g 2 z x w =0=− 2 2 x tan x w 2 v 0 cos 2 v0 x w = sin 2 g Technische Mechanik III Wurfweite Gleiche Wurfweite für unterschiedliche Winkel da: gilt für: Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik sin 2 =sin −2 =sin 2 − 2 und ' = − gleiches x w 2 36 Beispiel: Schiefer Wurf Technische Mechanik III Größte Wurfweite 2 0 bei: v = x w max = 4 g Wurfzeit xw v0 t w= =2 sin v 0 cos g Wurfhöhe, Tangente im Scheitel waagerecht 2 v ! dz g 1 0 =− 2 tan =0 x h = sin 2 2 dx 2 g v 0 cos 1 z h = z hh = v 0 sin 2 2g Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 37 VL 4 Technische Mechanik III Geführte Bewegung COULOMBsche Reibung Reibung im Fluid Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 38 Geführte Bewegung Technische Mechanik III Ein Massenpunkt wird auf eine Bahn gezwungen Anzahl der Freiheitsgerade (FHG) verringert sich Bewegung im Raum hat 3 FHG Anzahl FHG ist gleich Koordinaten, die zur Lagebeschreibung notwendig sind Bewegung auf Fläche Bewegung auf Bahn Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 FHG 1 FHG (Bogenlg. s) 39 Geführte Bewegung e Zwangskräfte F Reaktionskräfte senkrecht zur Bahn z Eingeprägte Kräfte Gewichtskraft Technische Mechanik III F Dynamisches Grundgesetz ∑ F =m a=F F e Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik z 40 Geführte Bewegung Technische Mechanik III 1 FHG: Winkel Natürliche Koordinaten Zur Bahn: normal tangential Normalkraft Zwangskraft keine tangential Komponente Gewichtskraft G n =G sin G t =G cos Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 41 Geführte Bewegung Technische Mechanik III Summe der Kräfte normal: ∑ F n=m a n = N −G n tangential: ∑ F t =m a t =G t Beschleunigung (Kreisbewegung aus VL 2) 2 normal: a n=r ̇ =r tangential: a t =r ̈=r ̇ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 42 Geführte Bewegung Technische Mechanik III Kräfte ∑ F n=m r ̇ = N −G n = N −G sin ∑ F t =m r ̈=G t =G cos 2 Gesucht , N Gegeben r , m , G d ̇ d ̇ d d ̇ Mit ̈= = =̇ dt dt d d Einsetzen in tangential Kraft d ̇ m r ̇ =G cos d Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 43 Geführte Bewegung Technische Mechanik III Auflösen d ̇ m r ̇ =G cos =m g cos d g ̇ d ̇= cos d r g Integral ∫ ̇ d ̇=∫ r cos d Anfangsbedingung ̇=0=0 2 Integration ̇ g = sin C 2 r C =0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 44 Geführte Bewegung Technische Mechanik III Winkelgeschwindigkeit g ̇= 2 sin r Geschwindigkeit Massenpunkt v=r ̇= 2 r g sin Maximale Geschwindigkeit sin =1 = 90 ° 2 v max = 2 r g Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 45 Geführte Bewegung mit (s.o.) N =m r ̇2G sin g 2 ̇ =2 sin r g N =m r 2 sin m g sin r N =3 m g sin Technische Mechanik III Führungskraft Maximale Führungskraft sin =1 = 90 ° 2 N max =3 m g 3 fach statischer Fall Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 46 Widerstandskräfte R Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Tangential zur Bahn Entgegen der Bewegungsrichtung v 47 Widerstandskräfte Reibkoeffizient Reibkraft Normalkraft Technische Mechanik III COULOMBsche Reibung (einfache Reibung) R= N R N Reibkraft hängt nur von Reibkoeffizient und Normalkraft ab! (nicht von Geschwindigkeit oder Auflagefläche) Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 48 Widerstandskräfte Technische Mechanik III Summe der Kräfte ∑ F x=m ẍ=mg sin − R ∑ F y =m ÿ= N −mg cos Geführte Bewegung ẏ=0 N =mg cos einsetzen m ẍ=mg sin − m g cos ẍ=g sin − cos =const Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 49 Widerstandskräfte Technische Mechanik III Anfangsbedingungen ẋ 0=0 , x 0=0 Integration Strecke h xE= sin Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ẍ=g sin − cos =const ẋ=g sin − cos t t2 x=g sin − cos 2 Zeit 2x t= g sin − cos 50 Widerstandskräfte Technische Mechanik III Rutschzeit 2 xE t x E = g sin −cos h xE= sin 2h t E= g sin sin − cos Geschwindigkeit v E = ẋ t E =g sin − cos t E Freier Fall für: =90 ° Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2gh v E= sin − cos sin 51 Widerstandskräfte Abgeleitet aus Experimenten Sonderfälle Technische Mechanik III Widerstandskräfte bei Bewegung durch flüssige und gasförmige Medien idealisierte 1. Laminare Strömung kleine Geschwindigkeiten 2. Turbulente Strömung große Geschwindigkeiten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 52 Widerstand: Laminare Strömung Technische Mechanik III Bei kleinen Geschwindigkeiten: Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit F w =k v Konstante k hängt von der Geometrie des Körpers und der dynamischen Zähigkeit der Flüssigkeit ab. k = f , A STOKE (1854) Widerstandskraft für die Kugel F w=6 r v Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 53 Widerstand: Turbulente Strömung Technische Mechanik III Bei großen Geschwindigkeiten wird die Strömung turbulent 2 F w=k v Konstante k hängt von Geometrie des Körpers und der Dichte des umströmenden Mediums ab. Mit weiteren Parametern 2 F w=c w A s v 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 54 Widerstand: Turbulente Strömung Technische Mechanik III Bewegungsgesetz 2 F =m ẍ=G−F =m g−k ẋ ∑ w mg mit = k 2 2 ẋ ẍ=g 1− 2 Trennung der Veränderlichen/ Integration d ẋ 2 ẋ g 1− 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik =dt ẋ t= arctanh C g 55 Widerstand: Turbulente Strömung Technische Mechanik III Anfangsbedingungen ẋ t=0=0 C =0 Geschwindigkeitsverlauf gt ẋ= tanh mit Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik mg = k 2 56 VL 5 Technische Mechanik III Impulssatz, Stoß Momentensatz Arbeitssatz Energiesatz Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 57 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Integration des 2. NEWTONschen Axioms d d m ẋ= m v=F dt dt Führt auf den Impulssatz t m v−m v 0=t ∫ F d t 0 Der Impuls ist gegeben durch p=m v=m ẋ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 58 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Wirkt keine Kraft bleibt der Impuls konstant p=m v=m v 0=const. Stoßkraft ergibt sich aus Integration der Kraft ts F = 0∫ F dt t s Stoßzeit Für Stoßvorgänge gilt F =mv−v 0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 59 Impulssatz, Stoß v=0 -Kraft wächst bis Max. -Körper verformen sich tM F K =m⋅0−m v 0= t=0∫ K dt tM v=v 0 Restitution v=v -Kraft sinkt bis auf Null -Körper entspannen sich F R =m v −m⋅0= t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ts ∫ R dt M 60 Technische Mechanik III Kompression Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III In Komponenten F x =m vx −m v x F y =m vy −m v y Winkelbeziehungen v x =−v cos , v y =v sin vx =v cos , vy =v sin Glatte Wand F y =0 vy =v y Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 61 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Ideal elastischer Stoß Vollständige Rückbildung F R = F K daher: m vx =−m v x vx =−v x Einfallswinkel = Ausfallswinkel = Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 62 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Ideal-Plastischer Stoß Keine Restitution F R =0 also vx =0= v cos 90 ° = 2 Massenpunkt rutscht entlang der glatten Wand mit v = vy =v y Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 63 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Teilelastischer Stoß teilweise Restitution reale Bedingungen F R =e F K Stoßzahl e ideal-elastisch ideal-plastisch teilelastisch (real) Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik e=1 e=0 0≤e≤1 64 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Teilelastischer Stoß F R =e F K einsetzen m vx =e −m v x vx=−e v x und vy vy 1 tan = tan = = vx −e v x e Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik wegen e≤1 folgt ≥ 65 Impulssatz, Stoß vx e=− vx Technische Mechanik III Stoßzahl Experimentell Bestimmung freier Fall v= 2 g h1 nach dem Aufprall v2 h 2= v = 2 g h2 2g es folgt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik h2 v 2 g h2 e=− = e= v 2 g h1 h1 66 Impulssatz, Stoß Technische Mechanik III Ideal-elastisch h 2=h1 Ideal-plastisch h 2=0 teilelastisch h 2≤h1 Tennisball: Qualitätsprüfung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 67 Momentensatz Kraft x Hebelarm = Moment Technische Mechanik III Statik: 0 M =r×F Kinetik: Impuls x Abstand = Impulsmoment 0 L =r× p=r×m v auch: Drehimpulsvektor oder Drallvektor Senkrecht auf Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 68 Momentensatz Technische Mechanik III Ortsvektor vom festen Pkt. Zum Massenpunkt r Geschwindigkeitsvektor v Betrag vom Drallvektor L0=r ⊥ m v Impuls x Abstand Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 69 Momentensatz dv r× m = r×F dt Umformung ergibt 0 dv d dL r×m = r×m v = dt dt dt M 0 also L0 0 dL 0 Zeitl. Änderung des Drehimpulses =M Ist gleich dem Moment dt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 70 Technische Mechanik III Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Moment NETONsche Axiom mit Ortsvektor multiplizieren Momentensatz 0 Drall konstant Technische Mechanik III Falls das Moment verschwindet 0 M =0 L =r×m v=const. Bewegung in 2-D (x,y Ebene) nur z-Komponente 0 z dL 0 =M z dt also L0=r ⊥ m v L0=m x v y − y v x Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 71 Momentensatz also Technische Mechanik III Sonderfall: Kreisbewegung v=r =r ̇ 2 0 L =m r v=m r Massenträgheitsmoment m r 2=0 Drehimpuls wird zu 0 0 L = Momentensatz Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik M 0=0 ̈ 72 Momentensatz Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 73 Momentensatz Technische Mechanik III Beispiel: Punktpendel A A M =−mgl sin = ̈ ∑ mit: folgt: A =m l 2 −mgl sin =ml 2 ̈ g ̈ sin =0 l Für kleine Winkel gilt: g sin ≈ ̈ =0 l Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 74 Arbeitssatz, Energiesatz dv m d r=F d r , dt Technische Mechanik III NEWTONsche Axiom mit kleiner Lageänderung d r=v dt einsetzen und Integration v1 ∫ v0 r1 m v d v= r ∫ F d r 0 r m v 21 m v 20 ⇒ − =r ∫ F d r 2 2 Kinetische Arbeit W der Kraft F Energie E k 1 0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 75 Arbeitssatz, Energiesatz Technische Mechanik III Arbeitssatz E k1−E k0 =W Die Arbeit welche die Kräfte zwischen Zwei Bahnpunkten verrichten Ist gleich der Änderung der Kinetischen Energie Einheit: Kraft x Weg W , Ek Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik [1 Nm]=[1 Joule ] 76 Arbeitssatz, Energiesatz Technische Mechanik III Am Massenpunkt greifen eingeprägte und Zwangskräfte an. -Zwangskräfte (Reaktionskräfte) senkrecht zur Bahn! Daher keine Arbeit! Arbeitsintegral r1 W = r ∫ F ⋅d r e 0 Nur die eingeprägten Kräfte verrichten Arbeit! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 77 Arbeitssatz, Energiesatz Gewicht: W G=mg sin x Reibung: W R =−R x=− N x W R =− mg cos x Für 0 v 0=0, 1 v=v 1 Arbeitssatz: 1 m v 12−0=mg sin x−mg cos x 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 78 Technische Mechanik III Beispiel: Klotz auf schiefer Ebene, mit Reibung! Arbeitssatz, Energiesatz 1 m v 12 =mg sin x−mg cos x 2 ∑W E kin Mit: h=x sin folgt: v 1= 2gh1−cot Bewegung nur für cot 1 tan Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 79 Technische Mechanik III Arbeitssatz: Arbeitssatz, Energiesatz dW P= , dt P=F⋅v , Technische Mechanik III Leistung: Pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit dW =F⋅d r (Infinitesimale Änderung) [ ] Nm [1W]= 1 s Wirkungsgrad: Nutzarbeit zu Aufgewendeter Arbeit PN = , PA Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 1 80 Arbeitssatz, Energiesatz Für Konservative Kräfte Konservative Kräfte: -Arbeit ist unabhängig vom Weg -Sie besitzen ein Potential Es ergibt sich die Arbeit zu: F =F x e x F y e y F z e z 1 1 W =0∫ F d r=0∫ F x dxF y dyF z dz Das Integral ist wegunabhängig falls Integrand vollständiges Differential Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 81 Technische Mechanik III Einfache Form: Arbeitssatz, Energiesatz Technische Mechanik III Potential oder potentielle Energie −d E P =F x dxF y dyF z dz Totales Differential ∂Ep ∂Ep ∂ Ep d E P= dx dy dz ∂x ∂y ∂z vergleichen liefert ∂ Ep F x =− , ∂x Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ∂Ep F y =− , ∂y ∂Ep F z =− ∂z 82 Arbeitssatz, Energiesatz ∂ Ep F x =− , ∂x ∂Ep F y =− , ∂y Technische Mechanik III Kraft ∂Ep F z =− ∂z Gradient einführen ∂Ep ∂Ep ∂Ep grad E P = e x e y ez ∂x ∂y ∂z also F =−grad E p Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 83 Arbeitssatz, Energiesatz ∂ Ep F x =− , ∂x ∂Ep F y =− , ∂y Technische Mechanik III Kraft ∂Ep F z =− ∂z x-Komponente nach y Ableiten y-Komponente nach x Ableiten ⋮ Es folgt bei zyklischem Vertauschen d. Koordinaten ∂ Fx ∂Fy =− , ∂y ∂x Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ∂Fy ∂ Fz =− , ∂z ∂y ∂ Fz ∂Fx =− ∂x ∂z 84 Arbeitssatz, Energiesatz ∣ ex ∂ rot F = ∂x Fx ey ∂ ∂y Fy ez ∂ ∂z Fz ∣ ∂ ∂x Fx ∂ =∇×F = × Fy ∂y Fz ∂ ∂z ∂Fz ∂Fy ∂ Fx ∂ Fz ∂Fy ∂Fx = − e x − e y − e z =0 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 85 Technische Mechanik III Überprüfen, ob Kraft aus Potential abgeleitet werden kann. Mit Rotation: Arbeitssatz, Energiesatz Technische Mechanik III Für wirbelfreies Kraftfeld rot F =0 somit besitzen die Kräfte ein Potential und es gilt dW =−dE p Änderung der Arbeit gleich Änderung der Potentiellen Energie Für die Arbeit folgt 1 1 W =0∫ dW =−0∫ dE p=− E p1−E p0 Potentielle Energie abhängig vom Bezugssystem Änderung zw. (0) und (1) unabhängig davon! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 86 Arbeitssatz, Energiesatz Technische Mechanik III Energiesatz E k1E p1=E k0E p0 =const. Bei konservativen Systemen (Kräfte haben ein Potential) bleibt bei der Bewegung die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant! Potential der Gewichtskraft Potential der Federkraft E p =G z 1 2 E p = cx , 2 1 2 E p = cT 2 Reibung ist nicht konservativ: !Arbeitssatz anwenden! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 87 VL 6 Technische Mechanik III System von Massenpunkten Grundlagen Schwerpunktsatz Momentensatz Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 88 System von Massenpunkten Kinematische Bindung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 89 Technische Mechanik III x 1=x 2 System von Massenpunkten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Abstand Technische Mechanik III Physikalische Bindung: Kraft 90 System von Massenpunkten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Abstand Technische Mechanik III Physikalische Bindung: Kraft 91 System von Massenpunkten Technische Mechanik III Starre Bindung: Reduktion der FHG Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 92 System von Massenpunkten Reduktion der Freiheitsgrade Technische Mechanik III Starre Bindungen: 3-D f =3n−r f =3⋅3−3=6 f =3⋅2−1=5 Wie starrer Körper (unendlich viele Massenpkt.) Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 93 System von Massenpunkten x 1=x 2 Physikalische Bindung F = f x Starre Bindung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik f =3n−r 3-D f =2n−r 2-D 94 Technische Mechanik III Kinematische Bindung System von Massenpunkten Technische Mechanik III Systemgrenze es wirken äußere und innere Kräfte Innere Kräfte: lösen der Verb. F ij =−F ji Actio = Reactio Bewegungszustand mi r¨ i =F i ∑ F ij , i=1,2 , ... , n j Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 95 System von Massenpunkten (2) F x =m 2 ẍ 2=−S m 2 g 2 Kinematik FKB Dehnstarr Reibungsfrei Masselos: Rolle/ Seil 1 1 1 (3) x 1= x 2, x˙1= x˙2, ẍ 1= ẍ 2 2 2 2 Berechnung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 96 Technische Mechanik III Beispiel m1, m 2 geg.: ges.: x¨1, x¨2, S Teilsysteme (1) F x 1=m1 ẍ 1=S S−m1 g System von Massenpunkten Technische Mechanik III Beispiel ẍ 1, ẍ 2, S m1 ẍ 1=2 S −m1 g m 2 ẍ 2=−Sm2 g ẍ 2=2 ẍ 1 drei Gleichungen für drei Unbekannte Seilkraft 3m m g S= 1 2 m14m 2 Beschleunigung 2m 2−m1 1 ẍ 1= ẍ 2=g 2 m14 m2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 97 System von Massenpunkten Technische Mechanik III Lösung bzw. aufstellen der Bewegungsgleichung Gleichgewichtsbedingungen ! ! ∑ F =0, ∑ M =0 Kinematische, physikalische Beziehungen Anzahl der Unbekannten gleich Anzahl der Gleichungen Einsetzen und Auflösen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 98 Beispielsysteme Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 99 Beispielsysteme Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 100 Beispielsysteme Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 101 Schwerpunktsatz m mi r¨ i =F i ∑ F ij j=1 Summation über Massenpkt. n n i=1 i=1 n m ∑ mi r¨i =∑ F i ∑ ∑ F ij Da F ij =−F ji n folgt: Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik i=1 j=1 m ∑ ∑ F ij=0 i=1 j=1 102 Technische Mechanik III Vom Massenpkt.system Massenpkt. i=1,... , n j=1,... , m Bindungen Schwerpunktsatz n n i=1 i=1 ∑ mi r¨i =∑ F i =F Res Ortsvektor des Massenmittelpkt. 1 r s = ∑ m i r i m r s = ∑ mi r i m i i Zweifach nach Zeit ableiten m r¨s =m a s =∑ mi r¨ i i Bewegungsgesetz Schwerpkt. m a s =F Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 103 Technische Mechanik III Summe der äußeren Kräfte Schwerpunktsatz Technische Mechanik III Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm angriffen. m a s =F Res Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 104 Gesamtimpuls Technische Mechanik III Gesamtimpuls des Massenpunktsystems p=∑ p i =∑ mi v i i i Gesamtimpuls: Schwerpunktgeschwindigkeit x Gesamtmasse p=m v s Zeitliche Änderung d. Gesamtimpulses = Kraft ṗ=m a s =F Res Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 105 Impulserhaltungssatz Technische Mechanik III Impulsdifferenz gleich Zeitintegral der Kraft t p− p 0=t ∫ F d t = F 0 Ohne äußere Kräfte folgt p=m v s = p0=const. Der Körperschwerpunkt bewegt sich geradlinig und gleichförmig weiter! Impulserhaltung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 106 Beispiel: Impulserhaltung m v , v 3=0, m1=m 2=m3= 3 =30 ° , 1=60 ° , 2=90 ° Gesucht v 1, v 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 107 Technische Mechanik III Masse im schwerelosen Raum zerspringt in drei gleiche Teile Gegeben Beispiel: Impulserhaltung F Res =0 Nur innere Kräfte: Impulserhaltung p=m v=∑ mi v i =m 1 v 1m 2 v 2 i In Koordinatenrichtungen : m v cos =m1 v 1 cos 1 : m v sin =m1 v 1 sin 1−m 2 v 2 sin 2 Lösung: Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik v 1=3 3 v v 2=3 v 108 Technische Mechanik III Schwerelos: Keine äußere Kraft Momentensatz 0 dL 0 L̇ i = =M i dt 0 L =r×m v Innere und äußere Kräfte r i ×m i v i ˙=r i ×F i ∑ r i ×F ij j Summation über alle Massen ∑ r i ×mi v i ˙=∑ r i ×F i ∑ ∑ r i ×F ij Sonderfall: feste Achse Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik i i i j 109 Technische Mechanik III Wiederholung: Massenpunkt Zeitl. Änderung des Drehimpuls = Moment Momentensatz i i i Technische Mechanik III ∑ r i ×mi v i ˙=∑ r i ×F i ∑ ∑ r i ×F ij j Links: Zeitl. Änderung Gesamtdrehimpuls L =∑ L i =∑ r i ×mi v i 0 0 i i Die Momente der inneren Kräftepaare heben sich auf, da F ij =−F ji Momentensatz für das System M =∑ M i =∑ r i ×F i 0 Sonderfall: feste Achse Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 0 i i 110 Momentensatz 0 L̇ =M Technische Mechanik III Momenten-, Drall-, Drehimpulssatz 0 Die zeitliche Änderung des gesamten Drehimpulses bzgl. eines Punktes ist gleich dem resultierenden Moment der äußeren Kräfte bzgl. des gleichen Punktes Sonderfall: feste Achse Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 111 Drehung um starre Achse Technische Mechanik III Drehimpuls: z-Komponente 2 L iz =L ia=mi r i ̇ Summation über alle Massen 2 L z =L a =∑ L ia =∑ m i r i ̇=a ̇ i i Massträgheitsmoment bzgl. Achse a-a 2 a =∑ mi r i i Bewegungsgesetz a ̈=M a Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 112 Rotation um eine feste Achse Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 113 VL 7 Technische Mechanik III System von Massenpunkten Arbeitssatz Energiesatz Zentrischer Stoß Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 114 Arbeits- und Energiesatz E ki −E k0i =W i 1 E k0 = mi v 2i0 2 1 E k = mi v i2 2 Zustand (0) i Zustand (1) i ri W i= r ∫ F i ∑ F ij ⋅d r i =W i W i 0i j a i Summiert über alle Massenpunkte W =∑ W i , Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik E k =∑ E k i 115 Technische Mechanik III Arbeitssatz für Massenpunktsystem Arbeitssatz a Technische Mechanik III Die Summe der Arbeiten der äußeren und inneren Kräfte ist gleich der gesamten kinetischen Energie des Systems i E k −E k0=W W =W Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 116 Arbeitssatz: Starre Bindung W i=0 d r j =d r i d r ij d r ij ⊥ m1 m2 d r ij ⊥ F ij Arbeit der inneren Kräfte d W i ij =F ij⋅d r i F ji⋅d r j =F ij⋅d r ij =0 Nur äußere Arbeit a E k −E k0=W =W Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 117 Technische Mechanik III Für starre Bindungen Arbeitssatz Energiesatz a W a=− E a −E p p0 , Technische Mechanik III Sind die Kräfte konservativ (aus Potential ableitbar) so ist die Arbeit gleich der neg. Potentialdifferenz i W i=− E i −E p p0 Durch einsetzen in den Arbeitssatz E k −E k0=W aW i=W folgt der Energiesatz i a i E k E a E =E E E p p k0 p0 p0 =const. Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 118 Energiesatz: Starre Bindung Technische Mechanik III Für die starre Bindung folgt i W i=− E i −E p p0 =0 innere Kräfte leisten keine Arbeit So ergibt sich der Energiesatz zu a E k E a =E E p k0 p0 =const. Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 119 Beispiel: Energiesatz x 2=2 x 1 ẋ 2=2 ẋ 1 Anf.Bed: Energie Ruhelage(0) E p0 =0, Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik E k0=0 120 Technische Mechanik III Gesucht: (Kinetik) Geschwindigkeitsverlauf m1 in Abhängigkeit vom Weg Annahme: Konservative Kräfte dehnstarres Seil reibungsfrei Gegeben: (Kinematik) Beispiel: Energiesatz Technische Mechanik III Energie im Zustand (1) E p =m1 gx 1−m 2 gx 2 E p =m1−2m 2 g x 1 1 1 2 E k = m1 ẋ 1 m 2 ẋ 22 2 2 1 E k = m14m 2 ẋ 12 2 Kinematik x 2=2 x 1 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ẋ 2=2 ẋ 1 121 Beispiel: Energiesatz Technische Mechanik III Einsetzen in Energiesatz a E k E a =E E p k0 p0 =const. 2m 2−m1 ẋ 1=± 2 gx 1 m14 m2 Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 122 Zentrischer Stoß Technische Mechanik III Stoßnormale ⊥ Berührungsebene Zentrisch: Stoßnormale durch beide Köperschwerpunkte Hinweis: Kugeln stoßen IMMER zentrisch! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 123 Stoß: Gerade – Schief (zentrisch) Technische Mechanik III Gerader Stoß: Geschw. d. Berührpkt. Unmittelbar vor dem Stoß in Richtung Stoßnormale Schiefer Stoß: Geschw. d. Berührpkt. NICHT in Richtung der Stoßnormale Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 124 Zentrischer Stoß Technische Mechanik III Unabhängige Bewegung Stoß: Verformung, Kraft, Rückverformung Nach dem Stoß: Veränderte Geschwindigkeiten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 125 Zentrischer Stoß Technische Mechanik III Kompression: Kraft steigt tx F K = 0∫ F t dt Restitution: Kraft fällt ab ts F R =t ∫ F t dt x Stoßzahl F R =e F K , Ideal elastisch Ideal plastisch Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 0≤e≤1 e=1 e=0 126 Zentrischer Stoß m 1 v 1m 2 v 2−e m 2 v 1−v 2 v 1= m1m 2 m1 v 1m2 v 2e m1 v 1−v 2 v 2= m1m 2 e=0 m1 v 1m2 v 2 v 1= v 2= m1m2 Ideal plastisch Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Geschwindigkeiten nach dem Stoß (aus Impulssatz) m1 v x−v 1 =− F K x m 2 v −v 2 = F K Actio = Reactio x m1 v 1−v =− F R m 2 v 2−v x = F R Die Massen bewegen sich gemeinsam weiter 127 Zentrischer Stoß 2 m 2 v 2m1−m 2 v 1 v 1= m1m 2 Technische Mechanik III Ideal elastisch 2 m1 v 1m 2−m1 v 2 v 2= m1m2 für gleiche Massen m1=m2=m v 1=v 2, v 2=v 1 Geschwindigkeitsaustausch Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 128 Stoß: Impulserhaltung Technische Mechanik III Impuls im System bleibt erhalten m1 v 1m2 v 2=m1 v 1m2 v 2 Geschwindigkeitsdifferenz nach dem Stoß e v 1−v 2 m1m2 =ev 1−v 2 v 2− v 1= m1m2 Es gilt der Zusammenhang v1−v 2 e=− v 1−v 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Stoßzahl gleich Verhältnis: rel. Trennungsgeschw. zu rel. Annäherungsgeschw. 129 Stoß: Energieverlust 2 1 2 2 2 1 m1 v m 2 v m1 v m2 v E k= − 2 2 2 2 2 2 Technische Mechanik III Bei plastischer Verformung wird Wärmeenergie frei 1−e m 1 m2 2 = v 1−v 2 2 m1m 2 2 Elastisch: kein Energieverlust e=1 Plastisch: Energieverlust maximal e=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 130 Stoß: Energieverlust Ek Ek m2 1 2 2 = = =1−e =1−e Ek 1 m1m 2 m1 2 m1 v 1 1 2 m2 Vor dem Stoß v 2 =0 m1 Beispiel: Schmieden m 2 Amboss m2 m1 Beispiel: Pfahl in den Boden m2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik m1 Hammer 131 Technische Mechanik III Umformwirkungsgrad: Verhältnis von Verlustenergie zu eingesetzter Energie Stoß: zentrisch und schief m1 v 1y−m1 v 1y=0 v 1y =v 1y m 2 v 2y−m2 v 2y =0 v 2y =v 2y Glatt: Geschw. ⊥ Stoßnormale unverändert! Impulssatz in x-Richtung v1−v 2 e=− v 1−v 2 Wie gerader Stoß! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik m 1 v 1m 2 v 2−e m 2 v 1−v 2 v 1= m1m 2 m1 v 1m2 v 2e m1 v 1−v 2 v 2= m1m 2 132 Technische Mechanik III Impulssatz y-Richtung Beispiel: Stoß m 2=3 m1 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 133 Technische Mechanik III Für welche Stoßzahl bewegt sich die Masse m1wieder nach oben? ∗ Welche Höhe h erreicht m1für e=0,5 ? Wie weit fliegt m 2dann? Beispiel: Stoß v 1= 2 gh , v 2=0, m 2=3 m1 werden die Geschwindigkeiten m 1−e m 2 1−3 e v 1= 2gh v 1= m1m 2 4 m1 1e 1e v 1= 2gh v 2= m1m2 4 v 1für zurück Negatives 1−3 e0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 1 e 3 134 Technische Mechanik III Lösung: Mit Beispiel: Stoß 1 v 1=− 2gh , 8 3 v 2= 2gh , 8 Folgt für die Höhe 1 2 m1 v 1 =m1 gh 2 2 v 1 h ∗ h = = 2g 64 Die Wurfweite z x=w =−h =0, w= v 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2h 3 = h g 4 135 Technische Mechanik III Für 1 e= 2 Beispiel: Stoß Technische Mechanik III Masse trifft auf eine ruhende Masse Glatte Oberflächen Gesucht: Geschwindigkeiten nach dem Stoß Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 136 Beispiel: Stoß m1 v 1x −v 1x =− F , m1 v1y−v 1y =0 m 2 v 2x −v 2x = F , m 2 v 2y−v 2y =0 v1x− v 2x e=− v 1x−v 2x Anfangsbedingungen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik v 1x =v 1y 2 = v 2 1, v 2x =v 1y =0 137 Technische Mechanik III X-Achse = Stoßnormale Glatte Oberflächen, also Stoßkraft in Richtung Stoßnormale Beispiel: Stoß Technische Mechanik III Die Geschwindigkeit nach dem Stoß m1−e m 2 , v 1x 1 2 m1m 2 2 m1 1e , v 2x = v 1 2 m1m2 2 = v v 1y 2 = v 2 1 v 2y=0 mbewegt sich in Richtung der 2 Stoßnormalen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 138 VL 8 Technische Mechanik III Bewegung eines starren Körpers Kinematik Translation Rotation Momentanpol Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 139 Kinematik: Starrer Körper Technische Mechanik III System von unendlich vielen Massenpkt. mit starren Bindungen verhält sich wie Starrer Körper 3-D: Körper hat 6 Freiheitsgrade (FHG) 3 x Rotation und 3 x Translation Überlagerung Eine beliebige Bewegung kann aus Einzelbewegungen zusammengesetzt werden Superposition Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 140 Translation / Rotation Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 141 Translation Geschwindigkeiten und Beschleunigung für alle Pkt. d. Körpers gleich dr v= , dt d v d2r a= = 2 dt dt Bewegung eines Pkt. repräsentiert die Bewegung d. Körpers Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 142 Technische Mechanik III Verbindungsstrecke PA ändert ihre Richtung nicht Rotation: Feste Drehachse Raumfeste Drehachse -Kreisbahn der Pkt. -Gleiche Drehwinkel (d. Fahrstrahlen) -Gleiche Winkelgeschwindigkeiten Winkelbeschleunigungen v P =v e , a P =a r e r a e mit: v =r , Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik a r =−r 2 , a =r ̇ 143 Technische Mechanik III Alle Pkt. Drehen sich um eine gemeinsame Achse Rotation: Fixpunkt (Kreisel) d r P =e ×r AP d e ×r AP ⊥ e , r AP ∣e ×r AP∣=r Infinitesimaler Drehvektor und Winkelgeschwindigkeitsvektor d d =d e , = = ̇ e = e dt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 144 Technische Mechanik III Momentane Lage der Achse bzgl. Fixpkt. A mit: e Momentane Drehachse: -momentane Kreisbewegung Rotation: Fixpunkt (Kreisel) d rP v P= dt v P =×r AP d r P =e ×r AP d =̇ e ̇= e Infinitesimale Drehung d hat Vektorcharakter NICHT jedoch die endliche Drehung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 145 Technische Mechanik III Geschwindigkeit von P Endliche Drehung, kein Vektor! Fall 2: 90°, Y + X Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Vektoralgebra: Addition ist kommutativ! 146 Technische Mechanik III Fall 1: 90°, X + Y Rotation: Fixpunkt Technische Mechanik III Beschleunigung von P d vP aP = = ̇×r AP × ṙ AP dt Da A Fixpunkt gilt ṙ A =0, ṙ AP = ṙ P =v P =×r AP Also folgt a P =̇×r AP ××r AP Sonderfall feste Achse enthalten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 147 Allgemeine Bewegung Technische Mechanik III Zusammengesetzt aus Translation und Rotation Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 148 Ebene Bewegung r P =r Ar AP Mitbewegte Einheitsvektoren e r , e , r AP =r e r r P =r Ar e r Starrer Körper r=const Geschwindigkeit ṙ P = ṙ A r ė r Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 149 Technische Mechanik III Ortsvektoren zu körperfesten Punkten Ebene Bewegung d e r =d e analog ė r =d e r / dt=̇ e ė =−̇ e r Geschwindigkeit von P ṙ P = ṙ Ar e Beschleunigung von P r̈ P = r̈ Ar ̇ e r ė 2 r̈ P = r̈ Ar ̇ e −r e r Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 150 Technische Mechanik III r AP Richtungsänderung von um d auch für Einheitsvektoren Ebene Bewegung r P =r Ar AP v P =v Av AP r AP a P =a A a a Technische Mechanik III Translation + Rotation Rotation um A AP Translation A Rotation um A (Kreisbewegung) r AP =r e r , v AP =r e , r 2 a AP =− r e r , a AP =r ̇ e Zentripetalbeschleunigung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 151 Ebene Bewegung Technische Mechanik III Darstellung in kartesischen Koordinaten x P =x Ar cos y P = y A r sin Differenzieren: Geschwindigkeit v Px = ẋ P = ẋ A − r sin v Py = ẏ P = ẏ A − r cos Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 152 Ebene Bewegung a Px = ẍ P 2 = ẍ A − r ̇sin − r cos a Py = ÿ P = ÿ Ar ̇ cos − r 2 sin Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 153 Technische Mechanik III 2. Differentiation: (Kettenr.) Beschleunigung Räumliche Bewegung v P =×r AP a P =̇×r AP ××r AP Zusätzlich Bewegung von A ergibt: r P =r A r AP v P =v A ×r AP a P =a A ̇×r AP ××r AP Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 154 Technische Mechanik III Mitbewegtes Koordinatensystem translatorisch mit A In A Rotation gemäß Fixpunkt Beispiel: Kurbeltrieb [] 0 0= 0 0 Gesucht: Geschwindigkeit Kolben K, und Winkelgeschw. und -beschleunigung Pleuel AK PK , ̇ PK , ẋ K , ẍ K Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 155 Technische Mechanik III Gegeben: Konstante Winkelgeschwindigkeit Beispiel: Kurbeltrieb Technische Mechanik III Koordinatensystem wählen Drehrichtungen festlegen Horizontale Führung des Kolbens Ges: Bewegung Kolben y K =r sin − l sin =0 Winkelbeziehungen r sin = sin l 2 r 2 cos = 1− 2 sin l Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 156 Beispiel: Kurbeltrieb Technische Mechanik III Differentiation y K =r sin − l sin =0 ẏ K =r 0 cos − l ̇ cos=0 r cos → ̇=0 l cos ÿ K =−r 20 sin l ̇2 sin − l ̈ cos=0 2 r sin 2 sin → ̈=−0 ̇ l cos cos [ r sin r cos sin = − l cos l cos3 2 0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 ] 157 Beispiel: Kurbeltrieb x K =r cos l cos [ r cos ẋ K =− r 0 sin − l ̇sin =− r 0 sin 1 l cos 2 2 ẍ K =− r 0 cos − l ̇ cos − l ̈sin [ 2 2 r sin cos 2 =− r 0 cos − − 3 l cos cos ] ] Kann durch =0 t ersetzt werden Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 158 Technische Mechanik III Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung des Kolbens durch Winkelbeziehungen: Beispiel: Allgemeine Bewegung Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 159 Beispiel: Allgemeine Bewegung Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 160 Momentanpol ∏ Technische Mechanik III Jede aus Translation und Rotation zusammengesetzte Bewegung lässt sich als Rotation um einen momentanen Drehpunkt ausdrücken Drehpunkt oder Momentanzentrum ∏ mit: v A=0 Beliebiger Punkt P (Kreisbew.) v P =×r AP Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 161 Momentanpol ∏ Technische Mechanik III Rollendes Rad auf Ebene: -Berührpunkt ist Momentanpol -Momentanpol bewegt sich -Geschwindigkeiten aller Punkte senkrecht auf Fahrstrahl zum Momentanpol ∏ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 162 Momentanpol ∏ Technische Mechanik III Bei bekannter Geschwindigkeit von zwei Punkten eines Körpers, ist der Schnittpunkt der Senkrechten auf diesen der Momentanpol ∏ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 163 VL 9 Technische Mechanik III Schwingungen Freie Schwingung Ungedämpfte freie Schwingung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 164 Schwingungen Technische Mechanik III Windinduzierte Schwingung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 165 Schwingungen Technische Mechanik III Personeninduziert Millenium Brücke London Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 166 Schwingungen Technische Mechanik III Tacoma Bridge Windinduzierte Schwingung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 167 Schwingungen Technische Mechanik III Gebäudeschwingung Hochhaus Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 168 Schwingungen Technische Mechanik III Erdbeben Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 169 Periodische Schwingung Technische Mechanik III Der Verlauf wiederholt sich nach einer Periode x tT =x t Periodendauer Frequenz Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik T 1 f= T [1Hz]=[1/ s] 170 Harmonische Schwingung Technische Mechanik III Sinus und Cosinus Amplitude A, B Kreisfrequenz 2 = =2 f T 'Reine' Schwingungen Cosinus: x t=0= A ; ẋ t=0=0 Sinus: x t=0=0 ; ẋ 0=B Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 171 Harmonische Schwingung Technische Mechanik III Harmonische Schwingung mit beliebiger Anfangsbedingung x t=C cos t − Amplitude C und Phasenverschiebung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 172 Harmonische Schwingung Technische Mechanik III Beliebige Anfangsbedingung darstellen mit: Überlagerung von Sinus und Cosinus x t=C cos t − =C cos t cos C sin t sin Bei Verwendung von A=C cos , B=C sin Ergibt sich x t=A cos tB sin t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 173 Schwingungen Technische Mechanik III Ungedämpfte Gedämpfte Angefacht (Resonanz) Zahl der Freiheitsgerade, 1,2,...,n Massen Art der DGL linear/ nichtlinear Freie Schwingung, Eigenschwingung Erzwungene, Einfluss äußerer Kräfte Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 174 Beispiel: Gedämpft Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Abnehmende Amplitude 175 Beispiel: Angefacht Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Zunehmende Amplitude 176 Beispiel: Anzahl Freiheitsgerade Technische Mechanik III Einmassenschwinger Zweimassenschwinger Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 177 Beispiel: Erzwungene Schwingung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Äußere Kraft 178 Ungedämpfte freie Schwingung Technische Mechanik III Zunächst EINFACHE SCHWINGER Lineare Schwingungen mit einem Freiheitsgrad Auslenkung aus der Ruhelage in x-Richtung ergibt die Bewegungsgleichung nach Newton → : m ẍ=− c x → m ẍc x=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 179 Ungedämpfte freie Schwingung m ẍc x=0 Mit der 'Abkürzung' [ ] c c = , = , m m 2 N /m = kg [ ] [ ] kg m /m 2 1 s = kg s Eigenfrequenz des Systems Folgt die Bewegungsgleichung ẍ2 x=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 180 Technische Mechanik III Bewegungsgleichung aus Gleichgewicht (Newton) Ungedämpfte freie Schwingung ẍ2 x=0 Allgemeine Lösung (s.o.) x t=A cos tB sin t Integrationskonstanten A und B aus den Anfangsbedingungen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik x 0=x 0 ; ẋ 0=v 0 v0 A=x 0 , B= 181 Technische Mechanik III Lineare, homogene Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung Ungedämpfte freie Schwingung Technische Mechanik III Lösung v0 x t=x 0 cos t sin t c c 2 Eigenfrequenz = , = m m Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 182 Vertikale Schwingung mg x st = c Auslenkung in x-Richtung Gewichtskraft G=mg Rückstellkraft F c =c x st x Newton ↓: m ẍ=mg − c x st x → m ẍc x=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 183 Technische Mechanik III Statische Verlängerung Vertikale Schwingung m ẍc x=0 'Unabhängig' vom Gewicht G=mg Eigenfrequenz aus Statischer Absenkung infolge des Eigengewichts Kenntnis von Masse u. Federsteifigkeit nicht erforderlich mg g c x st = = c x st m Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Vergleich mit Eigenfrequenz c = m 2 liefert g = x st 2 184 Technische Mechanik III Bewegungsgleichung DGL: Harmonische Schwingung 2 ẍ x=0 Für das mathematische Pendel g ̈ sin =0 l Aus Momentensatz Kap.1 mit kleinen Auslenkungen sin ≈ g ̈ =0 l Mit der Eigenfrequenz Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik g = l 185 Technische Mechanik III DGL der harmonischen Schwingung (s.o.) Physikalisches Pendel A M ∑ : A ̈=− mgl sin A ̈mgl sin =0 Kleine Auslenkungen sin ≈ mit ̈2 =0 2 =mgl / A Physikalisches Pendel schwingt wie ein mathematisches Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 186 Technische Mechanik III Starrer Körper an einem Pkt. drehbar gelagert Momentengleichgewicht Konservative Systeme Technische Mechanik III Es gilt der Energiesatz, da keine Reibung vorhanden E k E p=E k0E p0 =E=const Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 187 Beispiel: Feder-Masse-Schwinger 1 E k = m 2 C 2 [1− cos2 t − 2] 4 Potentielle Energie 1 2 E p = c C [1cos2 t − 2 ] 4 Es gilt für die Eigenfrequenz E k E p = E=const Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik c 2 = m =c m 188 Technische Mechanik III Kinetische Energie Federzahlen elastischer Systeme Technische Mechanik III Lineare Feder: Kraft = Steifigkeit x Verformung F F =c l c= l Masseloser Stab: (TM II) Fl l= EA Analogie zur Feder Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik F EA c= = l l 189 Federzahlen elastischer Systeme Technische Mechanik III Masseloser Balken: Biegesteifigkeit, Länge (aus TM II) 3 Fl = 3 EI Federzahl zu F 3 EI c= = 3 l Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 190 Federzahlen elastischer Systeme MTl = G IT Verdrehung = Moment x Länge/ Steifigkeit ('Dreh-')Federzahl zu M T G IT cT = = l Bewegungsgleichung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ̈cT =0 191 Technische Mechanik III Torsionsstab: Torsionssteifigkeit, Länge (aus TM II) Ersatzfedersysteme F 1=c 1 x , Technische Mechanik III Parallelschaltung Gleiche Auslenkung F 2=c 2 x Auf die Masse wirkt F 1F 2=F =c∗ x also Ersatzfeder F =c 1 xc 2 x=c ∗ x ∗ c =c1c 2 Bei Parallelschaltung gilt Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik c∗=∑ c j 192 Ersatzfedersysteme F =c 1 x1=c 2 x 2, Technische Mechanik III Reihenschaltung Gleiche Kraft x= x1 x 2 Also für die Auslenkung F F F x= = ∗ c1 c2 c 1 1 1 = ∗ c c1 c 2 Ersatzfeder Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Bei Reihenschaltung gilt 1 1 =∑ ∗ cj c 193 VL 10 Technische Mechanik III Gedämpfte freie Schwingungen Konstante Reibung: COULOMB Viskose Reibnung: Linear Geschwindigkeitsabhängig Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 194 Gedämpfte freie Schwingung Technische Mechanik III Reale Systeme immer gedämpft: Luft-, Lagerreibung Energiedissipation (Umwandlung in Wärme) Energieerhaltungssatz gilt NICHT! Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 195 Gedämpfte freie Schwingung Reibungskraft R= N , N =mg , R= mg Reibungskraft entgegen der Bewegungsrichtung Rückstellkraft aus Feder Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 196 Technische Mechanik III COULOMBsche Reibung Gedämpfte freie Schwingung { → : m ẍ= − c x − R für ẋ0, − c xR für ẋ0 { → : m ẍcx= − R für ẋ0, R für ẋ0 Mit } } c R = , r= m c 2 Ergibt sich Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik { 2 − r für ẋ0, ẍ x= 2 r für ẋ0 2 } 197 Technische Mechanik III Bewegung nach NEWTON Gedämpfte freie Schwingung 2 Technische Mechanik III Umkehr der Bewegungsrichtung 1. Abschnitt: nach links 2 ẍ x= r Rechte Seite ungleich Null: inhomogene DGL Schwingungs-DGL des Einmassenschwingers mit konstanter Belastung Allgemeine Lösung: Lösung aus Homogener DGL + Partikularlösung x=x h x p Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 198 Lösen einer inhomogenen DGL 2 Technische Mechanik III Inhomogene DGL: Einmassenschwinger mit konstanter Belastung (Reibung) 2 ẍ x= r Lösung der Homogenen Gleichung (ungedämpft) ẍ2 x=0 x h t 1 = A1 cos t 1B 1 sin t 1 Partikularlösung (gedämpft) Gesamtlösung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 r x p =r= 2 02 r=2 r x t 1 =x hx p= A1 cos t 1B 1 sin t 1r 199 Lösen der inhomogenen DGL Technische Mechanik III Gesamtlösung x t 1 =x hx p= A1 cos t 1B 1 sin t 1r Konstanten aus den Anfangsbedingungen x t 1=0= A1r=x 0 A1=x 0−r ẋ t 1=0= B 1=0 B 1=0 Bewegung im ersten Abschnitt (nach links) x t 1 = x 0 − rcos t 1r ẋ t 1 =− x 0 − rsin t 1 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 200 Lösen der DGL im 2. Abschnitt Technische Mechanik III Geschwindigkeit gleich Null und Auslenkung Max. zum Zeitpunkt t 1=/ x /= x 0 − rcos r=−x 02r ẋ /=− x 0 − rsin =0 Bewegungsrichtung dreht sich um ẍ2 x=−2 r Allgemeine Lösung der DGL mit 'neuer' Zeit x t 2 = x h x p =A 2 cos t 2B 2 sin t 2−r Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 201 Lösen der DGL (2.Abschnitt) x t 1=/=−x 02r Technische Mechanik III Konstanten aus den Übergangsbedingungen vom 1. Abschnitt zum 2. Abschnitt Ende 1. Abschnitt x t 2 = A 2 cos t 2B 2 sin t 2−r Lösung für 2. Abschnitt Lage x t 2=0=x t 1= → A2=− x 03r Geschwindigkeit ẋ t 2=0= ẋ t 1= → B 2=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 202 Bewegungsgleichung: WegZeit r= R c x t 1 = x 0 − rcos t 1r x 0−r Amplitude Verschoben r Lösung 2. Abschnitt (n. Rechts) x t s2 =− x 0 − 3rcos t 2−r x 0−3 r Amplitude Verschoben −r Weg-Zeit-Diagramm Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Bei jeder Halbschwingung nimmt die Amplitude ab, um 2r Wenn x kleiner r: Klotz bleibt liegen (Federkraft zu klein) 203 Technische Mechanik III Lösung 1. Abschnitt (n. Links) Viskose Dämpfung [ ][ ] N Ns F d =d v , d = m/ s m Dämpfungskonstante Kraft ist der Geschwindigkeit entgegen gerichtet Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 204 Technische Mechanik III Dämpfung ist Geschwindigkeitsabhängig Flüssigkeitsreibung (Stoßdämpfer) Lineare Dämpfungskraft Gedämpftes Feder-MasseSystem Technische Mechanik III Koordinate von Ruhelage aus Rückstellkraft F R=c x Dämpfungskraft F D =d ẋ Bewegungsgleichung ↓: m ẍ=− c x − d ẋ Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik m ẍd ẋc x=0 d c ẍ ẋ x=0 m m 205 DGL gedämpfte Schwingung Technische Mechanik III Abklingkoeffizient d 2= m Eigenfrequenz (ungedämpft) c 2 = m Differentialgleichung 2 ẍ2 ẋ x=0 Lösung mit Exponentialansatz x=A e Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik t 206 Charakteristische Gleichung Technische Mechanik III Exponentialansatz einsetzen ergibt die Charakteristische Gleichung 22 2=0 Quadratische Gleichung (zwei Lösungen) 1,2 =−± 2−2 Mit Dämpfungsgrad D= 1,2 =−± D 2−1 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 207 Starke Dämpfung D1 1,2 =−± D 2−1 Reelle Werte 1,2 =−± , = D −1 2 Gesamtlösung ist Linearkombination aus beiden Teillösungen 1 t 2 t x t=A1 e A2 e =e −t t − t A1 e A2 e Bestimmung der Konstanten A1, A2 aus Anfangsbedingungen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik x 0=x 0, ẋ 0=v 0 208 Technische Mechanik III Starke Dämpfung: Starke Dämpfung: Abklingkurve x t=e − t A1 e t A2 e − t d m 2 = D −1 c 2 D= = m 2= Höchstens einen Extremwert und höchstens einen Nulldurchgang Kriechbewegung für unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeiten Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 209 Technische Mechanik III D1 Aperiodischer Grenzfall Allgemeine Lösung lautet 1,2 =−± D −1 2 1 t 1 t 1=2=− x t=A1 e A2 t e = A1 A2 te Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik − t 210 Technische Mechanik III Wie starke Dämpfung und schneller D=1 gegen Null Schwache Dämpfung Kreisfrequenz der Gedämpften Schwingung i= − 1 d = 1 − D2 λ1,2=− ± i 1− D 2=− ± i d Allgemeine Lösung 1 t 2 t x t=A1 e A2 e =e Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik −t A1 e i d t A2 e −i d t 211 Technische Mechanik III D1 Radikant wird negativ, Lsg. d. charakteristischen Gl. Schwache Dämpfung Technische Mechanik III Umformung mit e ± i d t =cosd t ± i sin d t Ergibt sich x t=e −t A1 e i d t A2 e −i d t zu: x t=e − t [ A1 A2 cos d ti A1 − A 2 sin d t ] bzw.: =e− t A cos d tB sin d t x t=C e Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik − t Neue Konstanten cosd t − 212 Schwache Dämpfung x t=C e − tT d − t cos d t − cosd t − Amplitude nimmt exponentiell ab ± C e − t Einhüllende Integrationskonstanten C , aus Anfgangsbedingungen Verhältnis von zwei Ausschlägen nach Schwingungsdauer Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik x t T =e xtT d d 213 Technische Mechanik III x tT d =C e Schwache Dämpfung Technische Mechanik III Logarithmisches Dekrement: Logarithmus aus dem Verhältnis von zwei Ausschlägen im Abstand der Schwingungsdauer x t 2 D =ln = T d = =2 2 x tT d d 1− D Experimentell die Abnahme der Amplitude bestimmen und das Dämpfungsmaß berechnen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 214 Beispiel Lösung: -Momentensatz bzgl. A aufstellen -Bewegungs-DGL ergibt sich -Bedingung für Dämpfungskonstante berechnen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 215 Technische Mechanik III Welche Dämpfungskonstante, damit das System schwach gedämpft ist? Bewegungsgleichung für ̇0 Anfangsgeschwindigkeit durch Gleichgewichtslage? Beispiel: Bewegungs-DGL Technische Mechanik III Momentensatz um A A =2a2 m F c =c a F d =d 3a ̇ A ̈=− aF c − 3aF d → 4m ̈9 d ̇c =0 Bewegungs-DGL ̈2 ̇2 =0 mit: 2=9d /4m , 2=c /4m Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 216 Beispiel: Bedingung für Dämpfung Technische Mechanik III DGL 2 2=9d /4m , =c/4m ̈2 ̇2 =0 Schwache Dämpfung für: D1 9d m 9d D= = 2 = 1 8m c 4 mc Dämpfungskonstante 4 d mc 9 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 217 Beispiel: Bewegungsgleichung t =C e − t cosd t− Frequenz im Beispiel 2 1 c 81 d 2 d = 1 − D = 1− 2 m 16 mc Integrationkonstanten aus Anfangsbedingungen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ̇0 0=0, ̇0=0 = C= 2, d DGL ̇0 − t t = e sin d t d 218 Technische Mechanik III Allgemeine Lösung VL 11 Technische Mechanik III Erzwungene Schwingung Erzwungene gedämpfte Schwingung Systeme mit zwei Freiheitsgeraden Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 219 Erzwungene Schwingung F =F 0 cos t Koordinate von Ruhelage aus Bewegungsgleichung ↓: m ẍ=− c xF 0 cos t m ẍc x=F 0 cos t rechte Seite nicht Null! Inhomogene DGL Eigenfrequenz (freie Schwingung) und Statische Verlängerung c = , m 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik F0 x 0= c 220 Technische Mechanik III Äußere Kraft regt das System mit Erregerfrequenz an Erzwungene Schwingung ẍ2 x=2 x 0 cos t Allgemeine Lösung einer inhomogenen DGL: x=x h x p Lsg. aus homogener+ partikular Lsg. Homogene Lösung x h=C cos t − Partikularlösung vom Typ der rechten Seite x =x V cos t p 0 einsetzen in DGL Bestimmung von V − x 0 V 2 cos t2 x 0 V cos t=2 x 0 cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 221 Technische Mechanik III Bewegungsgleichung wird zu Erzwungene Schwingung 1 2 →V = 2 = 2 2 − 1− Frequenzverhältnis, die Abstimmung (Erregerfrequenz zu Eigenfrequenz) = Allgemeine Lösung der DGL x t=x h x p =C cos t − x 0 V cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 222 Technische Mechanik III Dimensionslose Größe V Erzwungene Schwingung Technische Mechanik III 1 V= 2 1− Resonanz 1 ⇒V ∞ Überkritisch Unterkritisch 1 1 Nach Einschwingvorgang klingt homogene Lösung wg. Dämpfung ab, es verbleibt die Partikular Lösung x t=x p =x 0 V cos t Vergrößerungsfunktion V Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik = 223 Erzwungene Schwingung: Resonanz Technische Mechanik III Im Resonanzfall =ist die Partikularlösung nicht gültig 1 ⇒V ∞ Es gilt der Ansatz x p =x 0 V t sin t=x 0 V t sin t als Lösung der DGL Ableiten ẋ p =x 0 V sin t x 0 V t cos t ẍ p =2x 0 V cos t−x 0 V 2 t sin t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 224 Erzwungene Schwingung: Resonanz 2 x 0 V cos t − x 0 V 2 t sin t2 x 0 V t sin t= 2 x 0 cos t →V = 2 1 x p = x 0 t sin t 2 Amplitude wächst Linear mit der Zeit Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 225 Technische Mechanik III Einsetzen Gedämpfte erzwungene Schwingung 1. Fall: -Krafterregung od. Erregung über eine Feder 2. Fall: -Erregung über einen Dämpfer 3. Fall: -Erregung durch rotierende Unwucht Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 226 Technische Mechanik III (hier nur) Systeme mit Flüssigkeitsdämpfung Fall 1: Krafterregung Technische Mechanik III Erregung durch harmonische Kraft Bewegungsgleichung ↑: m ẍ=− cx − d ẋF 0 cos t m ẍd ẋcx=F 0 cos t Abkürzungen F0 d c 2 2= , = , x 0= m m c So folgt ẍ2 ẋ2 x=2 x 0 cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 227 Fall 1: Erregung über Feder Technische Mechanik III Feder wird am oberen Ende angeregt x F =x 0 cos t Verlängerung der Feder x F −x Bewegungsgleichung ↑: m ẍ=− c x F −x− d ẋ m ẍd ẋcx=cx 0 cos t Abkürzungen (s.o.) F0 d c 2 2= , = , x 0= m m c Bewegungsgleichung (gleich s.o.) 2 2 ẍ2 ẋ x= x 0 cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 228 Fall 2: Erregung über Dämpfer Dämpfungskraft proportional zur Relativgeschwindigkeit ẋ D − ẋ Bewegungsgleichung ↑: m ẍ=− c x − d ẋ D − ẋ m ẍd ẋcx=d x 0 cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 229 Technische Mechanik III Harmonische Erregung des oberen Endes des Dämpfers x D =x 0 sin t Fall 2: Erregung über Dämpfer Technische Mechanik III Bewegungsgleichung m ẍd ẋcx=d x 0 cos t Abkürzungen d c 2 2= , = , D= , = m m Ergibt sich ẍ2 ẋ2 x=2 x 0 cos t 2 2 ẍ2 ẋ x=2 D x 0 cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 230 Fall 3: Rotierende Unwucht Technische Mechanik III Unwucht regt Masse zu Schwingungen an Koordinaten von der gleichen Stelle aus gewählt x u =xr cos t ẍ u = ẍ−r 2 cos t Bewegungsgleichungen (vertikal) ↑: m u ẍ u =− S cos t ↑: m 0 ẍ=− cx−d ẋS cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 231 Fall 3: Rotierende Unwucht m 0mu ẍd ẋcx=m u r 2 cos t Abkürzungen mu m=m 0mu , x 0= r m Bewegungsgleichung für Masse m0 2 2 2 ẍ2 ẋ x= x 0 cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 232 Technische Mechanik III Einsetzen und Stabkraft eliminieren Bewegungsgleichungen 2 2 ẍ2 ẋ x= x 0 cos t Fall 2: Erregung Dämpfer 2 2 ẍ2 ẋ x=2 x 0 cos t Fall 3: Rotierende Unwucht 2 2 2 ẍ2 ẋ x= x 0 cos t Mit D=/Dämpfungsgrad 1 2D ẍ ẋ x=E x 0 cos t 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 233 Technische Mechanik III Fall 1:Erregung Feder Bewegungsgleichungen Technische Mechanik III Bewegungsgleichung 1 2D ẍ ẋ x=E x 0 cos t 2 Fall 1:Erregung Feder E=1 Fall 2: Erregung Dämpfer E=2 D Fall 3: Rotierende Unwucht E=2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 234 Erzwungene gedämpfte Schwingung Technische Mechanik III Lösen mit Homogener Lösung und Partikulärer Lösung Homogener Anteil nimmt exponentiell mit der Zeit ab, EINSCHWINGVORGANG Partikular Lösung vom Typ der rechten Seite, zu berücksichtigen sind: - Phasenverschiebung und - Amplitude V oder x p =x 0 V cos t − x p =x 0 V cos t cos sin t sin Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 235 DGL lösen: Erregt, gedämpft x p =x 0 V cos t cos sin t sin ẋ p =x 0 V −sin t cos cos t sin ẋ p =x 0 V 2 −cos t cos −sin t sin Einsetzen in DGL x 0 V 2 /2 − cos t cos − sin t sin 2 D x 0 V /− sin t coscos t sin x 0 V cos t cos sin t sin =x 0 E cos t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 236 Technische Mechanik III Partikular Lösung (Typ der rechten Seite) ableiten DGL lösen: Erregt, gedämpft Technische Mechanik III Mit =/ ergibt sich durch Ordnen 2 −V cos2 DV sin V cos −E cos t 2 −V sin −2 DV cosV sin sin t=0 Erfüllt für alle Zeitpkt., wenn beide Klammern zu Null V −2 cos 2 D sin cos=E 2 − sin −2 D cos sin =0 Phasenverschiebung (Gl. 2) Phasenfrequenzgang Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2D tan = 2 1− 237 Frequenzgang sin = tan 1tan 2 , cos = Technische Mechanik III Mit 1 2 1tan Folgt die Vergrößerungsfunktion V Amplituden-Frequenzgang V= E 1− 4D Dämpfungsgrad Abstimmung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 2 2 2 D=/ =/ 238 Erregung über Kraft oder Feder E=1 1 V 1 0=1, V 1 1= 2D V 1 → ∞→ 0 2 Maximum für D ≤0,5 bei m= 1− 2 D 2 mit 2 V 1m=1/2D 1 − D V 1= 1 1− 4D 2 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 2 Technische Mechanik III Fall 1: nicht bei Eigenfrequenz vom gedämpften System Kleine Dämpfung D≪1 Resonanz m ≈ 1 für D 0 ungedämpft! 239 Erregung über einen Dämpfer E=2 D V 2 0=0, V 2 1=1 Technische Mechanik III Fall 2: V 2 → ∞→ 0 Maximum immer bei m=1 mit V 2m =1 V 2= 2D 1− 4D 2 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 2 240 Erregung per rotierende Unwucht 2 E= 1 V 3 0=0, V 3 1= 2D V 3 → ∞→ 1 2 Maximum für D ≤0,5 bei m=1/ 1 − D 2 2 mit V 3m =1/2D 1− D Technische Mechanik III Fall 3: 2 V 3= 2 2 2 2 2 1− 4D Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik Große Dämpfung D 0,5 monoton gegen Eins Kleine Dämpfung: Resonanz (wie Fall 1) 241 Phasenverschiebung 2D tan = 2 1− unabhängig von E (für die 3 Fälle gleich) Wieweit eilt der Ausschlag der Erregung nach? 0=0, 1=/2 Ungedämpft: Sprung des Phasenwinkels Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ∞ ≈ 0 für ≪1 In Phase gegen Phase ≈ für ≫1 242 Technische Mechanik III Phasenverschiebung nach Elektrischer Schwingkreis Technische Mechanik III Wechselspannung führt auf 1 L̈ QR Q̇ Q=U 0 cos t C Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 243 Systeme mit zwei FHG Technische Mechanik III Bewegungsgleichungen mittels der Energie des Systems 1 1 2 E k = m1 ẋ 1 m 2 ẋ 22 2 2 1 1 2 E p = c1 x 1 c 2 x 2−x 1 2 2 2 Mit Lagrangescher Funktion m1 ẍ 1c 1c 2 x 1 − c 2 x 2=0 m 2 ẍ 2−c 2 x 1c 2 x 2=0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik System von gekoppelten homogenen DGL 2. Ord. mit konst. Koeffizienten 244 Systeme mit zwei FHG Technische Mechanik III Lösungsansatz x 1= A cos t , x 2=C cos t einsetzen DGL c1c 2 − m1 2 A − c 2 C=0 2 −c 2 Ac 2 − m2 C=0 homogenes algebraisches System Triviale Lösung, keine Ausschläge A=C =0 Bedingung für nichttriviale Lösung: Verschwinden der Koeffizienten 2 Matrix Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik ∣ c 1c 2 − m1 −c 2 −c 2 c 2−m2 ∣ 2 =0 245 Charakteristische Gleichung Technische Mechanik III Auflösen der Koeffizienten Matrix c1c 2 − m1 2 c 2 − m 2 2 − c 22=0 gleich der quadratischen Gleichung für 4 2 2 m1 m 2 −m1 c 2m 2 c1m2 c 2 c 1 c 2=0 2 Lösung sind die beiden Wurzeln für Die Eigenfrequenzen des Systems werden bestimmt zu 1, 2 Die Konstanten A, C aus der DGL sind nicht unabhängig voneinander. Einsetzen der Eigenfrequenz liefert das Amplitudenverhältnis Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 246 Amplitudenverhältnis also Technische Mechanik III Erste Eigenfrequenz C 1 c1c 2 − m1 12 1= = A1 c2 x 1= A1 cos 1 t , x 2=1 A1 cos 1 t Zweite Eigenfrequenz also C 2 c1c 2 − m 1 22 2= = A2 c2 x 1= A2 cos 2 t , x 2=2 A2 cos 2 t Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 247 Allgemeine Lösung der DGL x 1= A1 cos 1 tB 1 sin 1 t A2 cos 2 tB 2 sin 2 t x 2=1 A1 cos 1 t1 B1 sin 1 t2 A2 cos 2 t2 B 2 sin 2 t Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen, bei geeigneter Wahl: Bis auf eine alle Null, dann schwingt das System in erster oder zweiter Eigenfrequenz Hauptschwingungen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 248 Technische Mechanik III Linearkombination ergibt Zweimassen Biegebalken Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 249 Zweimassen Rahmentragwerk Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 250 Zweimassen Rahmentragwerk Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 251 VL 12 Technische Mechanik III Kinetik der Rotation um eine feste Achse Arbeit, Energie, Leistung Kinetik der ebenen Bewegung Impuls-, Arbeits- und Energiesatz Kinetik der räumlichen Bewegung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 252 Kinetik der Rotation um eine feste Achse Technische Mechanik III Momentensatz -jeder Punkt führt eine Kreisbewegung aus (Achse a-a) d a ̇=dM a -Massenträgheitsmoment d a=r 2 dm Moment aus inneren Kräften verschwindet bei Integration über den Körper Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 253 Momentensatz und Drehimpuls a ̇=M a mit: 2 a =∫ r dm Drehimpuls des rotierenden Körpers 2 dLa =rv dm=r 2 L a =∫ dL a =∫ r dm La =a also Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik L̇ a =M a 254 Technische Mechanik III Integration ergibt Momentensatz Drehimpuls Technische Mechanik III Wenn äußeres Moment Null, bleibt Drehimpuls erhalten L̇ a =M a =a ̇=0 L a =a Bewegungsgleichungen sind analog zu Massenpunkt und zu Translation des Körpers Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 255 Massenträgheitsmoment Technische Mechanik III Axiales Massenträgheitsmoment 2 a =∫ r dm Trägheitsradius ia 2 a a =i m welcher Abstand für konzentrierte Masse für gleiches Trägheitsmoment wie der Körper selbst Bei konstanter Dichte dm= dV 2 a =∫ r dV Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 256 Polares Flächenträgheitsmoment dV =l dA also 2 a = l ∫ r dA= l I p in Analogie zum Flächenträgheitsmoment (TM2) Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 257 Technische Mechanik III Bei konstantem Querschnitt (Welle) Satz von Steiner Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 258 Satz von Steiner x=x s x , y= y s y 2 2 2 a =∫ r dm=∫ x y dm 2 2 = x s y s ∫ dm2 x s ∫ x dm 2 2 2 y s ∫ y dm∫ x y dm statische Momente bzgl. Schwerachse sind Null Mit 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 2 s =∫ r dm=∫ x y dm 2 2 2, x s y s =r s m=∫ dm 259 Technische Mechanik III Schwerachse S, Parallele A Satz von Steiner Technische Mechanik III Schwerachse durch Schwerpunkt, Parallele a-a, so wird 2 s a =s r m Für Trägheitsradien gilt 2 a a =i m also i 2a=i 2s r 2s Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 260 Trägheitsmoment: Stab Technische Mechanik III Homogener, schlanker Stab Es gilt: m dm/ m=dr /l ⇔ dm= dr l Axiales Massenträgheitsmoment bzgl. A 2 a =∫ r dm m l 2 ml 2 = 0∫ r dr= l 3 Axiales Massenträgheitsmoment bzgl. S 2 2 l ml s =a − m= 2 12 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 261 Trägheitsmoment: Scheibe dm= t dA m 2 2 m= t R ⇒ R = t Massenträgheit 2 2 s =∫ r dm= t ∫ r dA 2 R 3 mR 4 =2 t 0∫ r dr= t R = 2 2 Unabhängig von t, gilt also auch für Kreiszylinderwelle Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 262 Technische Mechanik III Bezugsachse durch Schwerpunkt Es gilt: dA=2 r dr Arbeit, Energie, Leistung Technische Mechanik III Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 263 Energie: Rotierender Körper 1 1 2 2 2 E k = ∫ v dm= ∫ r dm , 2 2 Technische Mechanik III Kintische Energie v=r oder 1 E k = a 2 2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 264 Arbeit/ Leistung: Rotierender Körper Technische Mechanik III Das Moment der äußeren Kräfte verrichtet Arbeit auf der infinitesimalen Drehung dW =M a d Für eine endliche Drehung folgt W = ∫ M a d 0 Leistung Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik dW P= =M a dt 265 Arbeitssatz: Rotierender Körper d = dt , ̇ = ˙ 2 a ∫ ̇ d = ∫ M a d ⇒ 0 0 t a t ∫ 0 oder 1 1 2 2 ̇ d t = a − a 0 = ∫ M a d 2 2 0 Ek E k0 W E k −E k0=W Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 266 Technische Mechanik III Aus Integration des Momentensatzs über Winkel mit: 1 2 Energiesatz: Rotierender Körper Technische Mechanik III Ist das Moment aus einem Potential herleitbar, so wird W =− E p−E p0 Und durch einsetzen ergibt sich der Energiesatz E k E p=E k0E p0 =const Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 267 Beispiel: 3.8 Technische Mechanik III Masselose Rolle R! Gesucht: Geschwindigkeit der Masse 1 in Abhängigkeit vom Weg x Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 268 Kinetik: Ebene Bewegung d F dF x , dF y Körperfester Punkt A Ortskoordinaten zum Massenelement =r cos ,=r sin also Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik x=x A=x A r cos y= y A= y Ar sin 269 Technische Mechanik III Kräftesatz und Momenten-satz (starrer Körper) -Bewegung in der x-y Ebene -Äußere Kraft an einem Massenelement Kinetik: Ebene Bewegung Technische Mechanik III Zeitliche Ableitungen x=x A=x A r cos y= y A= y Ar sin ẋ= ẋ A−r sin = ẋ A− ẏ= ẏ A−r cos = ẏ A− 2 ẍ= ẍ A−r ̇ sin −r cos = ẍ A− ̇ −2 ÿ= ÿ Ar ̇ cos −r 2 sin = ÿ A ̇ −2 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 270 Kinetik: Ebene Bewegung ẍ dm= ẍ A dm−̇ dm−2 dm=dF x ÿ dm= ÿ A dm ̇ dm−2 dm=dF y Kraftkomponenten durch Integration F x =∫ dF x = ẍ A∫ dm− ̇∫ dm− 2 ∫ dm F y =∫ dF y = ÿ A∫ dm ̇∫ dm− Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 2 ∫ dm 271 Technische Mechanik III Bewegungsgesetz Kinetik: Ebene Bewegung M A =∫ dF y −∫ dF x 2 = ÿ A∫ dm ̇∫ dm− 2 ∫ dm 2 2 ẍ A∫ dm−̇∫ dm− ∫ dm Wenn Punkt A im Schwerpunkt S ∫ dm=∫ dm=0, m=∫ dm 2 2 2 S =∫ r dm=∫ dm Vereinfachen sich Gleichungen zu Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik m ẍ s =F x , M S = S ̈ m ÿ s =F y 272 Technische Mechanik III Moment Schwerpunkt- und Momentensatz Technische Mechanik III Schwerpunkt- oder Kräftesatz m ẍ s =F x , m ÿ s =F y Momenten- oder Drallsatz M S = S ̈ Beschreiben die allgemeine ebene Bewegung des Körpers Translation für ̇=0 ⇒ ̈=0 M S =0 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik die äußeren Kräfte haben kein Moment bzgl. des Schwerpunktes Reine Drehbewegung um ruhenden Körperpkt. A, wie Rotation um Achse M = ̈ A a 273 Beispiel: 3.9 Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 274 Technische Mechanik III Starrer Körper, masse-lose Räder! Kein Rutschen der Räder! Gesucht Maximale Beschleunigung für: -Antrieb hinten -Antrieb vorn Impuls- und Drehimpulssatz Technische Mechanik III Durch Integration vom Schwerpunkt- und Momentensatz t x m ẍ dt=m ẋ − ẋ = F ∫ s s s0 t0 t y m ÿ dt=m ẏ − ẏ = F ∫ s s s0 t0 t ̈ dt= ̇− ̇ = M ∫ S S 0 S t0 Werden verwendet bei Stoßvorgängen Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 275 Energie des Körpers Technische Mechanik III Bezugspunkt ist Schwerpunkt: Geschwindigkeitskomponenten ẋ= ẋ s − , ẏ= ẏ s eines Pkt. 1 1 2 E k = ∫ v dm= ∫ ẋ 2 ẏ 2 dm 2 2 1 2 2 = { ẋ ẏ ∫ dm−2 ẋ s ∫ dm } 2 =0 bzgl. S 1 2 2 2 {2 ẏ s ∫ dm ∫ dm } 2 =0 bzgl. S 1 1 2 = m v s S 2 2 2 Translation Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik =S Rotation 276 Arbeits- und Energiesatz Technische Mechanik III Analog wie für Punktmasse und Massenpunkte der Arbeitssatz E k −E k0=W Sind die äußeren Kräfte (Momente) aus einem Potential herleitbar, folgt wegen W =− E p−E p0 der Energiesatz E k E p=E k0E p0 =const Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen Institut für Angewandte Mechanik 277
