10. Anhang - bei DuEPublico

10. ANHANG
10. Anhang
10.1. Lichtausbreitung in dünnen doppelbrechenden Schichten
Viele Polymere zeigen bei der Verarbeitung als dünne Schichten optische Anisotropie
(Doppelbrechung). Dabei stellt sich die Richtung der optischen Achse in den meisten
Fällen senkrecht zur Filmebene ein. Sei die Filmebene parallel zur yz-Ebene gelegt, so
ist die Richtung der optischen Achse in diesem Fall durch die x-Achse gegeben.
Für ein solches einachsiges System hat der dielektrische Tensor in Diagonalform zwei
gleiche Elemente ~
εy = ~
ε z = n~o2 und somit die Gestalt [97]:
~
εx

ε =  0
 0
0
~ε
y
0
0

0=
~
ε z 
n~e2

0
 0
0
~
n2
o
0
0

0
n~o2 
(10.1)
Dabei bezeichnet n~o den ordentlichen und n~e den außerordentlichen Brechungsindex,
welche im allgemeinen komplexe Größen sind. Mit ε folgt für die elektrische
Verschiebungsdichte:
 n~e2 E x 


D = ε 0 ε ⋅ E = ε 0  n~o2 E y 
 ~2 
 no E z 
(10.2)
Hieraus wird sofort ersichtlich, daß für in der Filmebene liegende elektrische
Felder
2
~
~
( E x = 0 ) isotrop mit n = no gerechnet werden kann, da D = ε 0 no ⋅ E und somit stets
D  E gilt. Für s-polarisiertes Licht liegt nur eine Komponente in y-Richtung vor und
es gilt:
(10.3)
D = Dy ⋅ e y = ε 0 n~o2 ⋅ E y ⋅ e y .
Bei p-polarisiertem Licht hat das elektrische Feld E = E x ⋅ e x + E z ⋅ ez sowohl eine
Komponente parallel als auch eine senkrecht
zur Filmebene, so daß nun beide
~
~
Brechungsindizes no und ne einfließen. Für D gilt somit:
 Ex 
 n~e2 E x 
 


D = ε 0 ε ⋅  0  = ε 0  0 
 
 ~2 
 Ez 
 no E z 
⇒
Dx n~e2 E x
.
=
⋅
Dz n~o2 E z
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10. ANHANG
Die elektrische Verschiebungsdichte ist nun nicht mehr parallel zum elektrischen Feld,
was zu einer veränderten Ausbreitung p-polarisierten Lichtes führt, die im folgenden
behandelt werden soll.
Aus den beiden Maxwell-Gleichungen für Felder mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit
∇ × E = −iωµ 0 H
(I)
∇ × H = iωε 0 ε E
(II)
läßt sich durch Einsetzen folgende Hauptgleichung für die Ausbreitung des Lichtes in
anisotropen Medien finden:
∇ × ∇ × E = ω 2 µ 0 ε 0 ε E
(
)
(10.4)
&
i ωt − k r )
Mit E = E 0 ⋅ e (
folgt:
∇ × E = −i k × E
(
)
und somit ergibt sich für Gleichung (10.4):
− k × k × E = ω 2 µ 0 ε 0 ε ⋅ E = ω 2 µ 0 ⋅ D
(
)
(10.5)
Hieraus läßt sich entnehmen,
daß
die
elektrische
Verschiebungsdichte
senkrecht auf
D
den Wellenzahlvektor k steht und daher gilt:
D ⋅ k = Dx k x + D y k y = 0
(10.6)
Sei die Einfallsebene durch die xz-Ebene gegeben, so folgt für den Wellenzahlvektor:
 cosφ' 


~
~
k = n k0 k = n k0  0  ,


 sinφ' 
wobei φ' der Winkel zwischen k und der Schicht-Normalen, n~ der Brechungsindex
und k0 der Betrag des Vakuumwellenvektors ist.
Schreibt man damit nun die Vektorgleichung (10.5) aus, so verbleiben zwei
Gleichungen für Feldkomponenten E x und E z der p-polarisierten Welle:
(n~
− n~ 2 sin 2 φ') E x + n~ 2 cosφ' sinφ' E z = 0
(10.7 a)
n~ 2 cosφ' sinφ' E x + (n~o2 − n~ 2 cos 2 φ') E z = 0
(10.7 b)
2
e
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10. ANHANG
Bedingung für die Lösbarkeit dieses Gleichungssystem ist, daß die KoeffizientenDeterminante verschwindet:
ne2 − n 2 sin 2 φ' n 2 cosφ' sinφ'
=0
n 2 cosφ' sinφ' no2 − n 2 cos 2 φ'
Dies führt schließlich zu folgender Gleichung für n 2 , aus der sich der Brechungsindex
für einen gegebenen Ausbreitungswinkel φ' berechnen läßt:
1 sin 2 φ' cos 2 φ'
=
+
n2
ne2
no2
(10.8)
Diese Gleichung beschreibt die Indexfläche der p-polarisierten Welle. Die Indexfläche
ist ein Rotationsellipsoid mit den Hauptachsen no und ne. Für die Ausbreitung in der
Filmebene ( φ' = 90° ) ist n = ne . Ist die Ausbreitungsrichtung entlang der optischen
Achse ( φ' = 0° bzw. 180° ), gilt n = no . Für die s-polarisierte Welle ist die Indexfläche
eine Kugel mit dem Radius no und die Ausbreitung erfolgt somit richtungsunabhängig
mit n = no .
10.2. Fresnel’sche Koeffizienten für p-polarisiertes Licht
Der Fall einer s-polarisierten Welle kann für anisotrope Medien weiterhin isotrop mit
n = no gerechnet werden. Somit behalten auch die Fresnel’schen Koeffizienten dieselbe
Form, was für eine p-polarisierte Welle nicht der Fall ist.
Zur Berechnung des Reflexions- und Transmissionskoeffizienten betrachtet man gemäß
Abbildung 10.1 eine im Medium i auf das Medium j auftreffende p-polarisierte Welle.
Die beiden Medien werden durch die yz-Ebene getrennt und die Einfallsebene ist
parallel zur xz-Ebene gewählt.
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10. ANHANG
&
Da
φ'
&
&
&
Er
Ea
φ
kr
φ
&
ka
φ'
φ'
ψ'
&
kt
Abb. 10.1: Reflexion und Transmission für p-polarisiertes Licht an einer
Grenzfläche zwischen zwei anisotropen Medien
Nach dem Schema in Abbildung 10.1 lassen sich die elektrischen Felder der
auffallenden (a), reflektierten (r) und transmittierten (t) Welle wie folgt schreiben:
 sinφ 
p

 −i ω t − k xi x − kzi z )
Ea = Ea  0  ⋅ e (


 cosφ
 sinφ 
p

 −i ω t + k xi x − k zi z )
Er = Er  0  ⋅ e (


 − cosφ
 sinψ 
p

 −i (ω t − k xj x − kzj z )
Et = Et  0  ⋅ e


 cosψ 
Die magnetische Feldstärke H läßt sich aus E nach der Maxwell’schen Gleichung (I)
wie folgt berechnen:
1 H=
k ×E.
ωµ 0
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Daraus ergibt sich:
H ap =


0
 −i ( ω t − k xi x − kzi z )
1 
 k zi E a sinφ − k xi E a cosφ ⋅ e
ωµ 0 

0


H rp =
1
ωµ 0


0

 −i ( ω t + k xi x − k zi z )
 k zi E r sinφ − k xi E r cosφ ⋅ e


0


p
Ht =
1
ωµ 0


0

 −i (ω t − k xj x − kzj z )
 k zj E t sinψ − k xj E t cosψ  ⋅ e


0


An der Grenzfläche x = 0 müssen die Tangentialkomponenten der elektrischen und
magnetischen Feldstärke stetig sein: E zi = E zj und H yi = H yj .
Dies führt zu zwei Gleichungen für die Amplituden E a , E r und E t :
E a cosφ − E r cosφ = E t cosψ
(10.9 a)
( E a + E r ) ⋅ ( k z sinφ − k xi cosφ) = E t ( k z sinψ − k xj cosψ )
(10.9 b)
Dabei wurde die Stetigkeit der variablen
Phase vorausgesetzt, was wiederum die
Stetigkeit der z-Komponenten von k erfordert:
k zi = k zj ≡ k z
Hier stellt kz die Propagationskonstante der Welle dar, welche mit dem effektiven
Brechungsindex über k z = k 0 neff verknüpft ist. Die x-Komponente von k ist nicht
bekannt und muß durch kz und die optischen Konstanten des jeweiligen Mediums
ausgedrückt werden. Dazu benötigt man die Hauptgleichung (10.5) für die
Lichtausbreitung in anisotropen Medien. Die x-Komponente von (10.5) liefert:
k z2 − k x k z
Ez
= k 02 n~e2
Ex
(10.10)
Mit Dx = ε 0 n~e2 E x und Dz = ε 0 n~o2 E z läßt sich unter Verwendung von Gleichung (10.6)
Ez durch Ex ausdrücken:
k x n~e2
Ez = − ~ 2 E x .
k z no
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Damit ergibt sich aus Gleichung (10.10) für k x :
n~o
kx = ~
ne
n~o
2 2
2
~
ne k 0 − k z = k 0 ~
ne
2
n~e2 − neff
(10.11)
Zur Berechnung des Reflexionskoeffizienten eliminiert man E t in Gleichung (10.9 b),
was zu folgender Gleichung führt:
E a ( k zi tanφ − k xi − k zj tanψ + k xj ) = E r ( − k zi tanφ + k xi − k zj tanψ + k xj )
Gemäß Abbildung 10.1 läßt sich für tanφ bzw. tanψ schreiben:
2
2
no,i
E xi no,i Dxi
ki
tanφ =
= 2 ⋅
=− 2 ⋅ z
E zi ne,i Dzi
ne,i k xi
no,2 j Dxj
no,2 j k zj
tanψ =
=
⋅
=− 2 ⋅
E zj ne,2 j Dzj
ne, j k xj
E xj
Drückt man schließlich noch k zi2 durch Gleichung (10.11) aus, so ergibt sich für den
Fresnel’schen Reflexionskoeffizienten:
r =
p
ij
2
no,2 j k xi − no,i
k xj
2
no,2 j k xi + no,i
k xj
Eine analoge Rechnung liefert den Transmissionskoeffizienten [98]:
2no,i no, j k xi
.
t ijp = 2
2
no, j k xi + no,i
k xj
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