Musterlösung zu den Zusatzübungen der Serie 2

Dr. Patric Müller
Wahrscheinlichkeit und Statistik
FS 2017
Musterlösung zu den Zusatzübungen der Serie 2
1. Die Elementarereignisse sind alle Paare von Wochentagen (mit Zurücklegen), also [Mo,Mo], [Mo,Di], ...
Es gibt also 7*7=49 verschiedene Möglichkeiten.
a) Erste Lösung: Wenn jedes Elementarereignis gleich wahrscheinlich ist, hat jedes die Wahrscheinlichkeit
1/49. Die Paare mit gleichem Wochentag (die “günstigen” Fälle) sind 7 an der Zahl. Also
günstige Fälle
7
1
=
= = 0.142.
mögliche Fälle
49
7
Zweite Lösung: Wenn das erste Kind zur Welt gekommen ist, gibt es für das zweite immer noch 7
mögliche Wochentage. Einer davon ist der “günstige”. Also erhält man direkt 1/7 als Wahrscheinlichkeit.
b) Nun müssen wir die Tage unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide am Montag zur Welt
kommen, beträgt 0.162 (wegen der Unabhängigkeit) – ebenso für Di, Mi, Do, Fr, und analog 0.12
für Sa und So. Für diese sich ausschliessenden sieben Ereignisse müssen wir die Wahrscheinlichkeiten
addieren,
p = 5 · 0.162 + 2 · 0.12 = 0.148.
Bemerkung: Sie kennen wohl die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass in einer Gruppe von
n Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Um dies genau zu bestimmen, müsste
man die Häufigkeiten für alle Tage des Jahres kennen, analog zu Aufgabe b).
2. a) Sei X die Anzahl Untersuchungen für eine Mischprobe. Dann gilt
• Mischprobe negativ =⇒ alle einzelnen Proben sind negativ =⇒ X = 1
• Mischprobe positiv =⇒ alle einzelnen Proben getrennt untersuchen =⇒ X = 101
Das heisst X ∈ {1, 101}. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind
p1
= P (X = 1) = P (alle 100 Einzelproben negativ)
=
100
Y
P (Einzelprobe negativ)
(Einzelproben sind unabhängig)
i=1
=
p2
(0.995)100 = 0.606
= P (X = 101) = 1 − P (X = 1) = 0.394
b) Der Erwartungswert von X kann folgendermassen berechnet werden:
E(X)
=
1 · P (X = 1) + 101 · P (X = 101)
=
1 · 0.606 + 101 · 0.394 = 40.4
Die Varianz von X kann auf zwei verschiedene Varianten berechnet werden:
X
2
Var(X) =
(xi − E(X)) P (X = xi )
i=1,2
2
2
= (1 − E(X)) · P (X = 1) +(101 − E(X)) · P (X = 101)
2
2
= (1 − 40.4) · 0.606 +(101 − 40.4) · 0.394 = 2387.64
Var (X)
=
=
2
E X 2 − E (X)
2
12 · P X 2 = 12 + 1012 · P X 2 = 1012 − E (X)
(∗)
=
12 · P (X = 1) + 1012 · P (X = 101) − E (X)
=
12 · 0.606 + 1012 · 0.394 − 40.42 = 2387.64
2
(*): Da X ∈ {1, 101}, ist X 2 = 12 genau dann, wenn X = 1, also ist P X 2 = 12 = P (X = 1).
Analog dazu ist X 2 = 1012 genau dann, wenn X = 101, also gilt P X 2 = 1012 = P (X = 101).
2
c) Für die Kosten gilt:
Kosten für 100 Proben:
erwartete Kosten:
erwartete Ersparnis:
10000 Fr.
40.4 · 100 = 4040 Fr.
5960 Fr.
3. Im folgenden werden die Begriffe “Wahrscheinlichkeit”, “Anteil” und “Prozentsatz” als Synonyme gebraucht
(auch wenn das im Allgemeinen nicht korrekt ist).
a) Die Wahrscheinlichkeiten sind folgendermassen:
W’keit, dass Kandidat männl. ist (Anteil Männer).
i) P (A)
= 1198
1647 = 0.73
825
ii) P (B|A)
= 1198 = 0.69 W’keit, dass jemand sich beim Dep. I bewirbt, gegeben es ist ein Mann.
108
= 0.24 W’keit, dass sich jemand beim Dep. I bewirbt, gegeben es ist eine Frau.
P (B|Ac ) = 449
533
iii) P (A ∩ C) = 1647 = 0.32 W’keit, dass Kandidat ein zugelassener Mann ist.
113
= 0.07 W’keit, dass Kandidatin eine zugelassene Frau ist.
P (Ac ∩ C) = 1647
b) Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit bzw. dem Satz von Bayes folgt:
i) P (B)
= P (B|A) · P (A) + P (B|Ac ) · P (Ac )
= P (B|A) · P (A) + P (B|Ac ) · (1 − P (A))
= 0.57
W’keit einer Bewerbung beim Dep. I.
P (C)
= P (A ∩ C) + P (Ac ∩ C)
= 0.39
W’keit einer Aufnahme.
ii) P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A)
= 0.50
W’keit, einer Bew. beim Dep. I und Kandidat ist männlich.
P (Ac ∩ B) = P (B|Ac ) · P (Ac )
= 0.06
W’keit, einer Bew. beim Dep. I und Kandidatin ist weiblich.
=
0.44
W’keit, dass ein Mann zugelassen wird.
iii) P (C|A)
= P(A∩C)
P(A)
P (C|Ac )
=
P(Ac ∩C)
P(Ac )
= 0.25
W’keit, dass eine Frau zugelassen wird.
c) Die letzten zwei Zeilen von b) deuten auf eine ungerechte Behandlung der Frauen hin: 44% der
männlichen Bewerber werden zugelassen, aber nur 25% der Frauen, also ein beträchtlicher Unterschied.
d) Die Wahrscheinlichkeiten sind folgendermassen:
P (C|A ∩ B) = 511
Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann an Dep. I zugelassen wird.
825 = 0.62
89
c
P (C|A ∩ B) = 108 = 0.82 Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau an Dep. I zugelassen wird.
22
P (C|A ∩ B c ) = 373
= 0.06 Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann an Dep. II zugelassen wird.
24
c
c
P (C|A ∩ B ) = 341 = 0.07 Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau an Dep. II zugelassen wird.
e) Betrachten wir die Departemente gesondert, so sehen wir, dass bei beiden Departementen die Frauen
eine grössere Wahrscheinlichkeit haben, zugelassen zu werden!
f ) Die Wahrscheinlichkeiten sind folgendermassen:
600
P (C|B) = 933
= 0.64 Wahrscheinlichkeit, an Dep. I zugelassen zu werden.
46
c
P (C|B ) = 714 = 0.06 Wahrscheinlichkeit, an Dep. II zugelassen zu werden.
Die Erklärung für das scheinbare Paradox liegt darin, dass sich beim Departement I, wo relativ viele
Bewerber zugelassen werden, nur wenige Frauen bewarben. Für die schwerer zu bestehende Zulassungsprüfung ins Departement II meldeten sich dagegen ungefähr gleich viele Frauen wie Männer an,
also über drei mal mehr Frauen als in Departement I. Damit macht bei den Frauen das Departement II
einen viel grösseren Anteil aus, und so hat auch die hohe Durchfallquote einen viel grösseren Einfluss
auf die Gesamtquote.
Zusammenfassend muss man wohl sagen: Die Daten beweisen weder eine Benachteiligung noch eine
Bevorzugung der Bewerberinnen. Man könnte zum Beispiel immer noch behaupten, dass die Universität Frauen benachteiligt, indem sie im von Frauen bevorzugten Departement höhere Durchfallquoten
aufrechterhält.