Neue Entwicklungen bei der Modellierung von Abhängigkeiten
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Neue Entwicklungen bei der Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Risiken Dietmar Pfeifer, Universität Oldenburg Zweiter Weiterbildungstag der DGVFM zum Thema Risikoaggregation und -allokation 21. Mai 2015 VGH Versicherungen Schiffgraben 4 30159 Hannover 1 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Teil I: Theoretische Grundlagen 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 1 2 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Stochastische Abhängigkeiten entstehen im Versicherungsgeschäft z.B. zwischen ähnlichen Sparten (z.B. Hausrat- und Gebäudeversicherung), aufgrund räumlicher Kohärenz (z.B. bei großräumigen Stürmen oder Erdbeben) aufgrund gemeinsamer klimatischer Trigger (z.B. in der Gebäudeversicherung bei Sturm- und Hochwasserschäden) bei bestimmten Marktrisiken (z.B. Aktienkurse ähnlicher Wirtschaftssektoren). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 2 3 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beschreibung von Abhängigkeiten: Korrelationen (?) Copulas (!) Beispiel: Zufallsvariablen X , Y und Z mit identischen (uniformen) Randverteilungen und gleichen (linearen) Korrelationen L X ,Y L X , Z 7 / 15 aber verschiedener gemeinsamer Verteilungsstruktur. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 3 4 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Eine Copula ist eine Funktion C von d Variablen auf dem Würfel [0,1]d mit folgenden Eigenschaften: 1. Der Wertebereich von C ist das Einheitsintervall [0,1] ; 2. 3. C (u ) 0 für alle u in [0,1]d , für die mindestens eine Komponente 0 ist; C (u ) uk falls alle Koordinaten von u gleich 1 sind außer der k-ten; 4. C ist -monoton in dem Sinne, dass für alle a b in [0,1]d das Maß Cab , das C dem Intervall [a, b] [a1 , b1][ad , bd ] beimisst, nicht-negativ ist, d.h. d C : b a i (1) i 1 C 1a1 (1 1 )b1 , , d ad (1 d )bd 0. d 1 ,,n 0,1 In anderen Worten: Eine Copula C ist die Verteilungsfunktion eines ddimensionalen Zufallsvektors mit uniformen Randverteilungen. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 4 5 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Sklar’s Theorem: Es sei H eine n-dimensionale Verteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F1 , , Fn . Dann existiert eine n-Copula C, so dass H( x1 , , x n ) C F1( x1 ), , Fn ( x n ) für alle x1 , , xn . Wenn alle Randverteilungsfunktionen stetig sind, ist die Copula eindeutig bestimmt, anderenfalls ist sie nur eindeutig auf den Wertebereichen der F1 , , Fn bestimmt. Umgekehrt gilt bei Stetigkeit: bezeichnen F11 , , Fn1 die (Pseudo-)Inversen der Randverteilungsfunktionen, dann ist C (u1 , , un ) H F11(u1 ), Fn1(un ) für u1 , , un 0,1 eine Repräsentation der Copula. Pseudo Inverse einer Verteilungsfunktion F : F 1(u ) inf x | F ( x ) u 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 5 6 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Fréchet-Hoeffding-Schranken: n n n max ui 1 n,0 : u C u1 , , un u : min u1 , , un , i 1 keine Copula für n 2 Repräsentanten: X ,1 X stets Copula X , X , , X 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 6 7 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Vorteile des Copula-Ansatzes: Die Copula hängt nicht von den Randverteilungen der Einzelrisiken ab. Die Copula charakterisiert bei Stetigkeit der Randverteilungen die gemeinsame Abhängigkeitsstruktur der Einzelrisiken eindeutig. Die Copula ist invariant gegen alle gleichsinnig monotonen Transformationen der Einzelrisiken, insbesondere nichtlineare. Paarweise Korrelationen zwischen den Einzelrisiken können über die Copula ausgedrückt werden, aber nicht umgekehrt. Stochastische Mischungen von Copulas sind wieder Copulas. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 7 8 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Man kann grob drei Typen von Copulas unterscheiden: 1. Copulas, die nur implizit angegeben, aber explizit stochastisch konstruiert werden können und damit auch einfach simulierbar sind (dazu gehören die Gauß-, t- und allgemeiner die elliptischen Copulas) 2. Copulas, die explizit angegeben werden können, aber nur aufwändig stochastisch konstruierbar sind (dazu gehören in der Regel die so genannten Archimedischen Copulas) 3. Copulas, die explizit angegeben werden und explizit stochastisch konstruiert werden können (z.B. Zerlegung-der-Eins-Copulas). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 8 9 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiele für Copulas vom Typ 1 ( positiv-definite symmetrische Matrix): Gauß-Copula CG : 1 ( u1 ) C (u1 , , un ) G 1 ( un ) 1 exp v tr1v dv1 dv n 2 (2 ) det() 1 n t-Copula Ct mit Freiheitsgraden: t1 ( u1 ) C (u1 , , un ) t t1 ( un ) n 2 ( )n det() 2 n 2 1 1 v tr1v dv1 dv n 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 9 10 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Gauß-Copula: Wir betrachten zunächst den Fall, dass die zugehörigen Randverteilungen des Zufallsvektors X X1 , , X n tr sämtlich Normal- verteilungen sind (ansonsten arbeitet man mit dem Satz von Sklar). In diesem Fall genügt X einer multivariaten Normalverteilung μ, mit Erwartungswertvektor μ n und nicht-negativ-definiter Varianz-Kovarianz-Matrix . Unter Verwendung der linearen Struktur normalverteilter Zufallsvektoren bietet sich dann folgendes Konstruktionsverfahren an: 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 10 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Zerlege die vorgegebene Matrix in ein Matrixprodukt AAtr , z.B. mittels Spektralzerlegung [über Eigenwerte und Eigenvektoren] oder mittels der Cholesky-Zerlegung. Ist Z ein Zufallsvektor aus n unabhängigen standard-normalverteilten Komponenten Z1 , , Z n , dann kann X dargestellt werden als X μ AZ. 11 Bei der Spektralzerlegung kann man darstellen als T T 1 T T tr 1 0 0 0 2 0 der (nicht-negativen) Eigenwerte mit der Diagonalmatrix 0 0 n von und einer Orthonormalmatrix T aus den zugehörigen Eigenvektoren. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 11 12 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Die benötigte Transformationsmatrix A ergibt sich dann zu A T 1/2 mit 1/2 0 1 2 0 0 0 0 . n 0 Dieses Verfahren ist auch als symmetrische Quadratwurzelzerlegung von bekannt. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 12 13 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 5 2 4 Beispiel: Für 2 1 2 erhält man 4 2 5 charakteristische Polynom mit der Einheitsmatrix I das ( ) det I 3 11 2 11 1 mit den drei Nullstellen 1 1, 2,3 5 2 6 und der zugehörigen Orthonormalmatrix 0,7071 0,6739 0,2142 T 0 0,3029 0,9530 . 0,7071 0,6739 0,2142 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 13 14 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Hiermit ergibt sich A T 1/2 0,7071 2,1202 0,0681 0 0,9530 0,3029 . 0,7072 2,1202 0,0681 Die Spektralzerlegung ist insbesondere in höheren Dimensionen sehr aufwändig. Demgegenüber ist die Methode der Cholesky-Zerlegung, die rekursiv arbeitet, effizienter. Die gesuchte Matrix A wird dabei als untere Dreiecksmatrix angenommen: a11 0 a a22 A 21 a a n1 n 2 0 0 . ann 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 14 15 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Hiermit ergibt sich 2 a11 a11a21 2 2 a a a 21 a22 21 11 ij AAtr an1a11 an1a21 an 2a22 a11an1 a21an1 a22an2 . n 2 ank k 1 Diese Gleichung kann rekursiv aufgelöst werden zu j 1 k 1 a11 11 , akk kk aki2 , ak 1 i 1 k 1 , akj a11 kj aki aji i 1 ajj , 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 1 k , j n. 15 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 5 Für das obige Beispiel 2 4 5 2 A 5 5 4 5 5 16 2 4 1 2 ergibt dies 2 5 0 0 0 0 2,2361 1 5 0 0,8944 0,4472 0 . 5 1,7889 0,8944 1 2 5 1 5 Bemerkung: Die Gleichung AAtr kann im Allgemeinen noch weitere 1 2 0 Lösungen besitzen, hier z.B. A 0 1 0 . 0 2 1 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 16 17 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Für die Dimension 2 lassen sich abhängige standard-normalverteilte Zufallsvektoren X direkt auch folgendermaßen erzeugen: X1 : 2ln(U ) cos 2V X 2 : 2ln(U ) cos 2V , wobei U und V über 0,1 stetig gleichverteilte, stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sind und 0,2 ein beliebiger Winkel ist. Es folgt dann nämlich mit R : ln(U ) ( R 2 ist (1) -exponentialverteilt): 1 Cov X1 , X2 E R 2 cos 2v cos 2v dv 0 E R2 2 cos cos mit Korr X1 , X 2 cos 1,1. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 17 18 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Für ist cos 2V sin2V , d.h. X1 , X 2 sind dann unkorreliert (Box2 Muller-Transformation). Die Gauß-Copula kommt natürlicherweise bei der Brown’schen Bewegung (Aktienmärkte, Zinsstrukturkurven) vor. Die oben vorgestellten Methoden können damit insbesondere zur alternativen Simulation der Brown’schen Bewegung zu diskreten Zeitpunkten verwendet werden. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 18 19 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken t-Copula: Durch eine so genannte Varianz-Mischung erhält man aus der multivariaten Normalverteilung μ, eine multivariate t-Verteilung t μ , mit Freiheitsgraden. Zur Simulation eines entsprechenden Zufalls- vektors X erzeugt man einen 0 , -verteilten Zufallsvektor Z sowie unabhängig davon eine 2 -verteilte Zufallsvariable W und setzt X : μ Z. W 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 19 20 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Auf ähnliche Weise lassen sich allgemeiner Zufallsvektoren mit Verteilungen aus der Klasse der so genannten elliptisch konturierten Verteilungen erzeugen, indem man X : μ ARS setzt, wobei wieder A eine geeignete Transformationsmatrix bezeichnet. Die nicht-negative Zufallsvariable R und der auf der Sphäre : x n | x tr x 1 gleichverteilte Zufallsvektor S sind dabei stochastisch unabhängig. Ein solcher Zufallsvektor S kann z.B. dargestellt werden durch S 1 Z mit Z einem 0 ,I -verteilten Zufallsvektor Z. Die multivariate Normal- und t-Verteilung sind Spezialfälle elliptisch konturierter Verteilungen (vgl. MCNEIL, FREY UND EMBRECHTS (2005)). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 20 21 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiele für Copulas vom Typ 2: Archimedische Copulas: Diese sind charakterisiert durch ihren so genannten Erzeuger vermöge n C n (u1 , , un ) 1 (ui ) i 1 für u1 , , un 0,1. Wichtigster Spezialfall: ( x ) ln x mit n n n C n (u1 , , un ) 1 (ui ) exp ln ui ui i 1 i 1 i 1 (Unabhängigkeitscopula ) 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 21 22 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Charakterisierung “geeigneter” (so genannter strikter) Erzeuger: Sei : 0,1 stetig, streng monoton fallend und konvex mit (1) 0 und lim ( z ) ; 1 bezeichne die zugehörige Inverse auf dem Intervall 0, . z 0 Dann ist die durch n C n (u1 , , un ) 1 (ui ) i 1 für u1 , , un 0,1 gegebene Abbildung C n eine Copula für n 2. Sie ist eine Copula für alle n 2 genau dann, wenn 1 total monoton ist, d.h. wenn gilt (1)k d k 1 ( s ) 0 für alle k und s 0. ds k 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 22 23 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Nach einem klassischen Satz von Bernstein können die Inversen solcher Erzeuger als Laplace-Transformierte nicht-negativer Zufallsvariablen Z dargestellt werden vermöge 1( s ) E e sZ , s 0, denn: 1(0) 1, lim 1( s ) 0, und (1)k s d k 1 ( s ) E Z k esZ 0 ds k für alle k und s 0 (vgl. JOE (1997), Chapter 4 und Appendix). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 23 24 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Für die spezielle Wahl Z 1 ist 1( s ) es , s 0, und die resultierende Copula ist die Unabhängigkeitscopula , wie bereits oben gezeigt wurde. Clayton-Copula: n C (u1 , , un ) ui n 1 i 1 für P Z (, ) mit fZ ( z ) 1/ , u 0,1 , 0 n 1 0 und Dichte z 1 z e , z 0, ( ) also 1( s ) E e sZ , s 0, d.h. s (t ) t 1 , t 0,1. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 24 25 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Frank-Copula: n ui e 1 1 n C (u1 , , un ) ln1 e 1 , u 0,1 , 0 e 1 i 1 für P Z e (Log-Series-Verteilung über ) wegen s ln1 1 e e s 1 1 e e , s 0, k k 1 k ( s ) E e 1 sZ und damit (t ) ln 1 et , t 0,1. 1 e 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 25 26 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Gumbel-Copula: 1/ n n C (u1 , , un ) exp ln(ui ) , u 0,1 , 1 i 1 Die Zufallsvariable Z besitzt hier eine spezielle positiv-stabile Verteilung mit Laplace-Transformierter 1( s ) E e sZ e s , s 0. 1/ Die zugehörige Verteilung besitzt keine explizite Darstellung der Dichte oder Verteilungsfunktion. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 26 27 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Die Erzeugung von Zufallsvektoren U mit einer Copula von diesem Typ erfolgt in drei Schritten (vgl. MCNEIL, FREY UND EMBRECHTS (2005)) : Erzeuge eine Zufallszahl Z mit der Misch-Verteilungsfunktion G. Erzeuge (auch von Z) unabhängige Standardzufallszahlen W1 , ,Wn . Gˆ lnW Gˆ lnWn 1 Setze U : , , Z Z mit der zugehörigen Laplace-Transformierten Gˆ (t ) etx dG( x ), t 0. Die zu 0 G gehörige Verteilung kann also auch als eine Mischverteilung für den Verteilungs-Parameter in der Familie der Exponentialverteilungen aufgefasst werden. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 27 28 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Zusammenfassung: Name Copula C n Clayton ui n 1 i 1 1/ , 0 1/ n Gumbel exp ln(ui ) , 1 i 1 Frank Erzeuger Mischverteilung 1 t 1 1 1 , (ln t ) positiv stabil n t 1 eui 1 , 0 ln 1 e ln 1 1 e 1 e i 1 1 e e 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 28 29 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Von den drei genannten Copula-Familien lassen sich die Clayton- und FrankFamilie nach der Drei-Schritt-Methode leicht erzeugen; die Simulation der Gumbel-Copula in höheren Dimensionen greift dagegen auf so genannte stabile Verteilungen zurück. Die dazu benötigte Zufallsvariable Z mit dem Parameter 1 1 der stabilen Verteilung kann dargestellt werden durch 1 sin(V ) sin(1 )V Z sin(V ) ln(W ) mit zwei stochastisch unabhängigen Standardzufallszahlen V,W (nach MAI UND SCHERER (2012), Abschnitt 6.13). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 29 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 30 In zwei Dimensionen lassen sich Zufallsvektoren U mit beliebigen Archimedischen Copulas im Allgemeinen noch anders simulieren, und zwar auf folgende Weise: Erzeuge zwei unabhängige Standardzufallszahlen W1 , W2 Setze 1 '(W1 ) , U : 1 U W U1 : ' 1 1 W2 2 (vgl. NELSEN (2006), Aufgabe 4.14). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 30 31 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Für die Gumbel-Copula in zwei Dimensionen existiert zusätzlich noch ein spezielles Verfahren, das nach einer geeigneten Modifikation der in REISS UND THOMAS (2001) beschriebenen Methode folgendermaßen durchgeführt werden kann: Erzeuge vier unabhängige Standardzufallszahlen W1 , ,W4 . Setze U1 : W1 1 W2 1 1 W41/ 1 1 W 3 , U2 : W1 1 W2 1 1/ 1W4 1 1 W 3 . Hierbei bezeichnet A wie üblich die Indikatorfunktion des Ereignisses A; d.h. die Zufallsvariable 1 nimmt den Wert 1 genau dann an, wenn W3 1 W3 1 ausfällt, und sonst den Wert 0. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 31 32 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Schachbrett-Copula: (auch Box-Copula, vgl. HUMMEL UND MÄRKERT (2012)) Für d sei U U1 , ,Ud ein Zufallsvektor, dessen Komponenten Ui einer diskreten Gleichverteilung über der Menge T : 0,1, , m 1 genügen, mit m für i 1, , d . Die Größen d pm k1 , , kd : P Ui ki für k1 , , kd T d i 1 mögen die gemeinsame Verteilung von U beschreiben (sie bilden eine ddimensionale Kontingenztafel). Ferner bezeichne km , k m 1 for k , , k T d Ik1 ,,kd : j j 1 j 1 d d . 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 32 33 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Die Gesamtheit dieser Intervalle beschreibt eine Zerlegung des d-dimensionalen Einheitswürfels in md gleichvolumige Teilwürfel der Kantenlänge 1/m. Die zugehörige Dichte c m der Schachbrett-Copula C m ist dann definiert durch m1 m1 k10 kd 0 c m : md pm k1 , , kd 1 Ik1 ,, kd . Interpretation: Ein Zufallsvektor V V1 , ,Vd folgt einer Schachbrett-Copula genau dann, wenn die bedingte Verteilung von V unter jedem Ereignis V I P V I k1 ,,kd , k1, , kd T d eine pm k1 , , kd . stetige Gleichverteilung über Ik1 ,,kd ist, mit k1 ,,kd 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 33 34 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiel: Es sei d 2 und m 3. Betrachte die Kontingenztafel P (U1 i , U2 j ) j i 0 1 2 P (U2 j ) 0 6/30 4/30 0 1/3 1 2/30 5/30 3/30 1/3 2 2/30 1/30 7/30 1/3 P (U1 i ) 1/3 1/3 1/3 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 34 35 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Copula-Dichte c3 v1 , v 2 Copula C3 v1 , v 2 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 35 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 36 Approximationssatz: Jede Copula C in d Dimensionen kann gleichmäßig durch eine Folge Cm m von Schachbrett-Copulas approximiert werden. Eine Wahl zulässiger Parameter ist hierbei gegeben durch d k j k j 1 d pm k1 , , kd P Z Ik1 ,,kd P Zj für k1 , , kd T , j 1 m m wobei Z Z1 , , Zd einen Zufallsvektor mit der Copula C bezeichne. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 36 37 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Turm-Copulas: Spezielle Schachbrett-Copulas, die ihre Wahrscheinlichkeitsmasse so verteilten wie die Positionen von Schachtürmen, die sich gegenseitig nicht bedrohen. In d Dimensionen kann eine Turm-Copula folgendermaßen mit Hilfe von Permutationen konstruiert werden: 01 11 M : m2,1 m1,1 Hierbei 02 0,d 1 12 1,d 1 ist m2,2 m2,d1 m1,2 m1,d 1 1d m2,d m1,d 0 d 0k , 1k , , m1,k eine geeignete Permutation von 0,1, , m 1 für k 1, , d. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 37 38 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Eine Schachbrett-Copula C ist genau dann eine Turm-Copula, wenn gilt: d 1 pm k1 , , kd P Ui ki k1 , , kd t 1 , t 2 , , t ,d für ein t T . i 1 m Beispiel: Die zum obigen Bild gehörige Turm-Copula ist gegeben durch 0 1 2 3 M 4 5 6 7 0 1 4 2 . 3 6 5 7 k1 , k2 (0,0) 7 6 5 4 k1 , k2 (4,3) 3 2 1 k1 , k2 (7,7) 0 0 1 2 3 4 5 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 6 7 38 39 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bernstein-Copula: (vgl. COTTIN UND PFEIFER (2014)) Bernstein-Polynom vom Grad m: m B(m, k , z ) z k (1 z )mk , 0 z 1, k 0, , m . k Für d sei wieder U U1 , ,Ud ein Zufallsvektor, dessen Komponenten Ui einer diskreten Gleichverteilung über der Menge T : 0,1, , m 1 genügen, d mit m für i 1, , d und pm k1 , , kd : P Ui ki für k1 , , kd T d . i 1 Dann definiert m1 m1 d k1 0 kd 0 i 1 cB u1 , , ud : md pm k1 , , kd B m 1, ki , ui , u1 , , ud 0,1 d die Dichte der Bernstein-Copula CB , induziert durch U. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 39 40 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bemerkung: Eine Bernstein-Copula kann als “geglättete” Version einer Schachbrett-Copula aufgefasst werden, bei der die in den disjunkten Teilwürfeln konzentrierten Wahrscheinlichkeitmassen „stetig“ im Einheitswürfel verteilt werden. Der obige Approximationssatz gilt analog. Visualisierung des Glättungseffekts für d 1: m5 m 10 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 40 41 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiel: Glättungseffekt bei d 2 und m 4; die Verteilung von U U1 ,U2 sei durch die folgenden Tabelle gegeben: P U i , j j i 0 1 2 3 0 0,02 0,00 0,08 0,15 1 0,00 0,03 0,12 0,10 2 0,13 0,07 0,05 0,00 3 0,10 0,15 0,00 0,00 Die folgenden beiden Graphiken verdeutlichen den Glättungseffekt: 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 41 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 42 Bernstein-Copula-Dichte (braun) vs. Schachbrett-Copula-Dichte 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 42 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 43 Zerlegung-der-Eins-Copula: Natürliche Verallgemeinerung von Schachbrett- und Bernstein-Copulas, basierend auf einer Familie von Funktionen (m, k , )|0 k m 1, m (so genannte „Zerlegung der Eins“) mit den folgenden Eigenschaften: m1 (m, k , ) 1 für m k 0 1 1 (m, k , u) du m für k 0, , m 1. 0 Unter den Bedingungen für Schachbrett- und Bernstein-Copulas definiert m1 m1 d d d c u1 , , ud : md P Ui ki m, ki , ui , u1 , , ud 0,1 k 0 k 0 i 1 i 1 1 d die Dichte der durch U induzierten Zerlegung-der-Eins-Copula. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 43 44 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bemerkung 1: Schachbrett- und Bernstein-Copulas sind spezielle Fälle einer Zerlegung-der-Eins-Copula: Schachbrett-Copula: (m, k , u ) Bernstein-Copula: 1 k , k 1 m m (u ) m 1 k u (1 u )m1k (m, k , u ) k für 0 u 1 und 0 k m 1, m . 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 44 45 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bemerkung 2: Jede Zerlegung der Eins (m, k , )|0 k m 1, m erzeugt eine weitere Zerlegung der Eins K (m, k , )|0 k m 1, m für festes K via K 1 K (m, k , ) : (K m, K k j , ) für k 0, , m 1 j 0 wegen m1 K 1 m1 K m k 0 j 0 k 0 i 0 K (m, k , ) (K m, K k j , ) (K m, i , ) 1, m 1 K 0 K 1 1 K 1 j 0 0 j 0 (m, k , u ) du (K m, K k j , u ) du 1 1 , k 0, , m 1. K m m 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 45 46 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Visualisierung entsprechender Glättungseffekte für Bernstein-Copulas, m 5 : K 3 K 5 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 46 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 47 Spezielle Erweiterungen: Für jede n-dimensionale Copula C und beliebige 0 k 1, k 1, , n ist auch n C (u1 , , un ) uk 1k C u11 , , unn , 0 u1 , , un 1 k 1 eine Copula, Diese ist für ungleiche k unsymmetrisch, auch wenn die originäre Copula symmetrisch ist (z,B. bei Archimedischen Copulas). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 47 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 48 Spezielle Erweiterungen: Für jede n-dimensionale Copula C und beliebige k ist auch C( k ) (u1 , , un ) C k u11/ k , , un1/ k , 0 u1 , , un 1 eine Copula. Existiert der Grenzwert C( ) (u1 , , un ) lim C( k ) u1 , , un , 0 u1 , , un 1 k als Copula, so heißt C( ) Extremwert-Copula. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 48 49 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Zum ersten Fall gehört folgende explizite Konstruktion: Sei X X1 , , X n ein Zufallsvektor mit der Copula C und Y Y1 , ,Yn ein Zufallsvektor mit unabhängigen über 0,1 stetig gleichverteilten Komponenten, unabhängig von X. Setze Zk : max X k1/ k ,Yk 1/ 1k für k 1, , n. Dann hat Z Z1 , , Z n die Copula C , denn: n n P Zk uk P X k ukk Yk uk1k k 1 k 1 n n n 1 P X k ukk P Yk uk1k C u11 , , unn uk k k 1 k 1 k 1 mit P Z k uk P X k ukk P Yk uk1k ukk uk1k uk , 0 u1 , , un 1. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 49 50 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Zum zweiten Fall gehört folgende explizite Konstruktion: Seien X j X j1 , , X jn für 1 j k unabhängige Zufallsvektoren je mit der Copula C. Setze Zi : max X kji für i 1, , n. 1 j k Dann hat Z Z1 , , Z n die Copula C( k ) , denn: n n n P Zi ui P max X jik ui P max X ji ui1/ k i 1 i 1 1 j k i 1 1 j k n k k n P X ji ui1/ k P X ji ui1/ k i 1 j 1 j 1 i 1 k P X j 1 u11/ k , , X jn un1/ k C k u11/ k , , u1/n k j 1 mit P Z i ui P max X ji ui1/ k ui1/ k ui , 0 u1 , , un 1. 1 jk k 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 50 51 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bemerkung: Die Gumbel-Copula ist eine spezielle Extremwert-Copula, denn mit 1/ n C (u1 , , un ) exp ln(ui ) , 1 i 1 folgt für jedes k 1/ 1/ n 1 n 1/ k C u , , u exp k lnui exp k ln(ui ) i 1 k i 1 k 1/ k 1 1/ k n 1 exp k k n lnu i 1 1/ k i 1/ C (u1 , , un ), 1 und somit C C( k ) C( ) für alle k (man sagt auch, die Gumbel-Copula ist max-stabil). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 51 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 52 Vernestung von Copulas (sog. Kompatibilitätsproblem): Frage: Seien C1 , C2 bivariate Copulas, Ist dann auch C3 (u , v , w ) C2 C1(u, v ), w bzw. C 2 u , C1(v , w ) mit 0 u , v , w 1 wieder eine Copula (analog für höhere Dimensionen)? Antwort: Im Allgemeinen nein! Gegenbeispiel: C1 C2 2 (untere FréchetHoeffding-Schranke) ergibt C3 (u , v , w ) C2 C1(u, v ), w 3 (u , v , w ), und dies ist keine Copula (vgl, NELSEN (2006), Kapitel 3.5). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 52 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 53 Vernestungen bei Archimedischen Copulas: Sind 1 und 2 zwei strikte Erzeuger Archimedischer Copulas C1 und C2 mit total monotonen Inversen 11 und 21 , die zusätzlich die Bedingung erfüllen: 2 11 ist total monoton, d.h. (1)k1 dk 2 11(t ) 0 für alle k , dt k so ist auch C (u, v , w ) C2 C1(u , v ), w 21 2 11 1(u ) 2 (v ) 2 (w ) ,0 u, v , w 1 eine Copula (vgl, MCNEIL, FREY UND EMBRECHTS (2005), Kapitel 5). Dieses Konstruktionsprinzip kann für geeignete Copula-Familien auf beliebige Dimensionen erweitert werden (→ Hierarchische Archimedische Copulas). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 53 54 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiel: Gumbel-Copula: 1(t ) (ln t )a , 2 (t ) (ln t )b mit a b 1: 2 11(t ) ln11(t ) lnexp t 1/ a t b / a und b (1)k 1 b k 1 b dk 1 k1 b / ak j . ( t ) ( 1) c t 0 mit c k 2 1 k k dt j 0 a Damit ergibt sich als hierarchische Gumbel-Copula 1/ b b b C (u, v , w ) C2 C1(u , v ), w exp lnC1(u , v ) ln w 1/ b a a b/a b exp ln u ln v ln w , 0 u , v , w 1. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 54 55 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Unendliche Zerlegung-der-Eins-Copula: (vgl. PFEIFER (2015)) Es seien i (u )i und j (v )i UND AWOUMLAC TSATEDEM Familien nicht-negativer Abbildungen für u, v 0,1 mit den Eigenschaften (u) (v ) 1 und i i 0 j j 0 1 1 i (u) du i 0, 0 (v ) dv j j 0 für i , j . 0 Die Abbildungen i (u ) und j (v ) können als Wahrscheinlichkeiten diskreter Verteilungen über den nicht-negativen ganzen Zahlen mit Parametern u und v aufgefasst werden. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 55 56 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Unendliche Zerlegung-der-Eins-Copula: Ferner mögen die Größen pij i , j die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung über mit den durch pi pij i und j 0 p j pij j für i , j gegebenen Randwahrscheinlichkeiten bezeichnen. i 0 Dann definiert c (u , v ) : i 0 j 0 pij i j i (u ) j (v ), u , v 0,1 die Dichte einer bivariaten verallgemeinerten Zerlegung-der-Eins-Copula für den Zufallsvektor (U ,V ). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 56 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 57 Unendliche Zerlegung-der-Eins-Copula: Alternativ kann die Copula-Dichte dargestellt werden als c (u , v ) : pij fi (u ) g j (v ), u, v 0,1 i 0 j 0 mit fi (u ) j (v ) i (u ) , g j (v ) für i , j , u, v 0,1. i j Die Copula-Dichte c (u , v ) kann also als bivariate Mischung von Produkt-Dichten fi (u ) g j (v ) aufgefasst werden, was insbesondere für Monte Carlo Simulationen wichtig ist. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 57 58 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bemerkung: Das Konzept der verallgemeinerten Zerlegung-der-Eins-Copula kann wie folgt leicht auf höhere Dimensionen d 2 verallgemeinert werden: Dazu seien ki (u )i für k 1, , d diskrete Wahrscheinlichkeiten mit ki (u ) 1 für u (0,1) und i 0 1 ki (u ) du ki 0 für i . 0 Ferner mögen die Größen pi i d die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung über d repräsentieren, wobei Vereinfachung i i1 , , id schreiben, also P Z i pi , i d . 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 wir zur 58 59 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Bemerkung: Das Konzept der verallgemeinerten Zerlegung-der-Eins-Copula kann wie folgt leicht auf höhere Dimensionen d 2 verallgemeinert werden: Hier definiert c (u ) : i d d pi d k 1 k 1 k ,ik k ,ik (uk ) d p i d i k 1 k ,ik (uk ) k ,ik d p f i d i k 1 k ,ik (uk ) für u u1 , , ud 0,1 die Dichte einer d-dimensionalen Copula, die wieder d verallgemeinerte Zerlegung-der-Eins-Copula genannt wird. Die Copula-Dichte c (u) entspricht auch hier wieder einer (multivariaten) Mischung von Produktd dichten f k 1 k ,ik (uk ). Zur Vereinfachung der Darstellung beschränken wir uns im Folgenden auf den bivariaten Fall. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 59 60 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Der symmetrische Fall (Diagonaldominanz) 1 Hier sei i i für i und (u) du i i 0 angenommen. Definiere 0 i , falls i j pij : 0, sonst. Dann ist c (u , v ) : i 0 i (u )i (v ) , u , v 0,1 i die Dichte einer bivariaten verallgemeinerte Zerlegung-der-Eins-Copula (mit Diagonaldominanz). 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 60 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 61 Beispiel (Binomialverteilung / Bernstein-Copula). Es sei, für festes m 2, m 1 i u (1 u )m1i , i 0, , m 1 m ,i (u ) i i m. 0, Hier gilt, für i 0, , m 1, 1 m 1 1 i u (1 u )m1i du m ,i m ,i (u ) du i 0 0 (m 1)! (i 1)(m i ) (m 1)! i !(m 1 i )! 1 i !(m 1 i )! (m 1) i !(m 1 i )! m! m und daher m 1 m1i (uv )i (1 u )(1 v ) c m (u , v ) m , u , v 0,1 (Bernstein-Copula). i i 0 m1 2 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 61 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 62 Bemerkung: Bei der Bernstein-Copula entsprechen die in der alternativen Dichte-Darstellung verwendeten Terme fi den Dichten von Beta-Verteilungen wegen fi (u ) m 1 i i (u ) u i (1 u )m1i u (1 u )m1i m für i 1, , m und u 0,1. i i (i 1, m i ) Damit gilt alternativ m c m (u , v ) i 1 1 fi (u )fi (v ), u, v 0,1. m Die Mischfaktoren entsprechen den Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Gleichverteilung über 1, , m. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 62 63 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiel (Negative Binomialverteilung). Es sei, für festes 0, i 1 (1 u ) u i , i . ,i (u ) i Hier gilt, für i , 1 i 1 1 i u (1 u ) du ,i ,i (u ) du i 0 0 ( i ) (i 1)( 1) i !( ) ( i 2) ( i )( i 1) und somit c (u , v ) (1 u)(1 v ) i 1 (uv )i , u , v 0,1. ( i )( i 1) i i 0 2 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 63 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 64 Bemerkung: Bei der negativen Binomial-Copula entsprechen die in der alternativen Dichte-Darstellung verwendeten Terme fi ebenfalls Dichten von BetaVerteilungen wegen fi (u ) i (u ) ( i )( i 1) i 1 u i (1 u ) (1 u ) u i i i (i 1, 1) für i 1, , m und u 0,1. Damit gilt alternativ fi (u )fi (v ), u, v 0,1. ( i )( i 1) i 1 m c m (u , v ) Die Mischfaktoren entsprechen den Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung über mit den Termen , i . ( i )( i 1) 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 64 65 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Für ganzzahlige Werte von können die Dichten von negativen BinomialCopulas explizit evaluiert werden, ebenso wie die zugehörige Copula x C ( x , y ) 0 y c (u ,v ) dv du, x , y 0,1. 0 c (u , v ), u , v (0,1) 1 2 2 3 3 4 (1 u )(1 v ) 1 uv 3 (1 3uv )(1 u )2 (1 v )2 (1 uv )5 1 8uv 6u2v 2 (1 u)3 (1 v )3 (1 uv )7 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 65 66 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Für ganzzahlige Werte von können die Dichten von negativen BinomialCopulas explizit evaluiert werden, ebenso wie die zugehörige Copula x C ( x , y ) 0 y c (u ,v ) dv du, x , y 0,1. 0 C ( x , y ), x , y (0,1) 1 xy 2 xy (2 x y ) 1 xy 3 3x 3y x 2 y 2 3x 2 y 2 x 2 y 3 x 3 y 2 (1 xy )3 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 66 67 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Die folgenden Graphiken zeigen die zugehörigen Dichten c für 1, ,6. 1 2 3 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 67 68 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Die folgenden Graphiken zeigen die zugehörigen Dichten c für 1, ,6. 4 5 6 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 68 69 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Negative Binomial-Copulas besitzen im Gegensatz zu endlichen Zerlegungder-Eins-Copulas eine positve Tailabhängigkeit: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 U ( ) 1 2 5 8 11 16 93 128 193 256 793 1024 1619 2048 26333 32768 53381 65536 Der Tailabhängigkeitskoeffizient U ( ) lim P U t |V t lim t 1 t 1 1 1 t 1 1 c t (u , v ) du dv t wächst monoton in 0. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 69 70 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiel (Poisson-Verteilung). Es sei ,i (u ) (1 u ) i L(u )i , i i! mit L(u ) ln(1 u ) 0, u (0,1) und 0. Hier gilt, für i , mit der Substitution z L(u ) und y (1 )z , 1 1 0 0 ,i ,i (u ) du (1 u ) i L(u )i i z i (1 ) z du e dz i! i! 0 i y i y i e dy i 1 i 1 1 (1 ) 0 i ! (1 ) i 1 1 (→ geometrische Verteilung mit Erwartungswert ) und (1 )ln(1 u )ln(1 v ) i 0 i !2 c (u , v ) (1 )(1 u ) (1 v ) i , u , v 0,1. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 70 71 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Die folgenden Graphiken zeigen die zugehörigen Dichten c für 1,2,5. 1 2 5 Poisson-Copulas besitzen im Gegensatz zu negativen Binomialcopulas keine Teilabhängigkeit. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 71 72 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Der unsymmetrische Fall Wir zeigen hier nur eines von vielen möglichen Beispielen. Sei dazu Mn pij für n eine unsymmetrische (n 1) (n 1) -Matrix i , j 0,,n mit n p ik k 0 und n pki i für i 0, , n k 0 i , falls i j pij : 0, sonst für i , j n. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 72 73 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Beispiel (negative Binomial-Copula, unsymmetrischer Fall). Wir betrachten die 1 1 negative Binomialverteilung mit 1. Dann ist i 1,i (u ) du (1 i )(2 i) 0 für i . Mit n 4 und 18 10 1 M4 : 0 60 0 2 5 5 0 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 erhalten wir für u, v 0,1 c (u , v ) i 0 j 0 pij i j n n i (u ) j (v ) i 0 j 0 pij i j i (u ) j (v ) 1 k (u ) k (v ). k n1 k 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 73 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 74 Explizit ergibt sich c (u , v ) (1 u )(1 v ) H(u , v ), u , v 0,1 5(1 uv )3 mit dem Polynom H(u , v ) 150u7v 7 450u6v 6 10u7v 3 510u5v 5 10u3v 7 30u5v 4 10u3v 5 30u2v 6 300u 4v 4 30u 6v 2 5u3v 4 80u 4v 3 30u5v 94u3v 3 30u 2v 4 30uv 5 60u 3v 2 15u 2v 3 10u 4 18u 2v 2 30uv 3 10v 4 15uv 2 10v 2 18uv 10u 5v 6. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 74 75 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Graph von c (u , v ) Graph von c (u , v ) c (v , u ) Die zugehörige Copula C hat den gleichen Tailabhängigkeitskoeffizienten U 1/ 2 wie im symmetrischen Fall. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 75 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 76 Teil II: Anwendungen 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 76 77 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Nach dem Satz von Sklar: Trennung der Randverteilungen von der Copula: C (u1 , , un ) H F11(u1 ), Fn1(un ) für u1 , , un 0,1 Gegeben: k unabhängige Beobachtungen (in Spalten) x1 j , , x kj je Dimension j (in Zeilen) 1. Ansatz (Transformationsmethode bei stetiger Verteilung): Schätze die (stetigen) Randverteilungsfunktionen F1 , , Fn (parametrisch oder nicht-parametrisch) Transformiere zeilenweise die Daten x1 j , , x kj auf v1j F1 x1 j , , v kj Fk x kj ; setze v i v i 1 , , v in für i 1, , k Verwende v1 , , v k als Stichprobe aus der zu Grunde liegenden Copula. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 77 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 78 Hintergrund: Für die zu Grunde liegenden Zufallsvariablen X j gilt bei Stetigkeit: Fj X j ist stetig über 0,1 gleichverteilt, so dass n n P Fj X j u j P X j Fj1 u j H F11(u1 ), Fn1(un ) C (u1 , , un ) j 1 j 1 für u1 , , un 0,1 folgt. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 78 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 79 2. Ansatz (sog. empirische Copula): Transformiere zeilenweise die Daten x1 j , , x kj auf ihre relativen Ränge 1 n r1 j , , rkj , , ; setze ri ri 1 , , rin für i 1, , k n 1 n 1 Verwende r1 , , rk als Stichprobe aus der zu Grunde liegenden Copula. Dieses Verfahren entspricht dem ersten Ansatz, wenn man als Schätzer die (skalenkorrigierten) empirischen Verteilungsfunktionen Fˆ1 , , Fˆn verwendet. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 79 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 80 Beispieldatensatz: n 2, k 20 (vgl. COTTIN UND PFEIFER (2014)) Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Schäden X 0,468 9,951 0,866 6,731 1,421 2,040 2,967 1,200 0,426 1,946 0,676 1,184 0,960 1,972 1,549 0,819 0,063 1,280 0,824 0,227 Schäden Y 0,966 2,679 0,897 2,249 0,956 1,141 1,707 1,008 1,065 1,162 0,918 1,336 0,933 1,077 1,041 0,899 0,710 1,118 0,894 0,837 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 80 81 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Schätzung der Randverteilungen mit Q-Q-Plots: ln(X)-Daten angepasst an Normalverteilung Gumbelverteilung 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 81 82 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Schätzung der Randverteilungen mit Q-Q-Plots: ln(Y)-Daten angepasst an Normalverteilung Gumbelverteilung 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 82 83 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Schätzung der Randverteilungen mit Q-Q-Plots: Entscheidung: X lognormalverteilt, Y Fréchet-verteilt Geschätzte Parameter: Verteilung Parameter ln(X) ln(Y) Normal Gumbel 0,0954 0,0437 1,1909 0,2857 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 83 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Nr. F1( X ) F2 (Y ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,236 0,968 0,420 0,936 0,585 0,698 0,798 0,529 0,213 0,684 0,341 0,525 0,454 0,688 0,613 0,402 0,008 0,551 0,404 0,093 0,380 0,973 0,285 0,951 0,366 0,582 0,876 0,434 0,502 0,602 0,314 0,732 0,335 0,516 0,474 0,288 0,058 0,559 0,281 0,202 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 84 84 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Nr. Fˆ1( X ) Fˆ2 (Y ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,190 0,952 0,381 0,905 0,619 0,810 0,857 0,524 0,143 0,714 0,238 0,476 0,429 0,762 0,667 0,286 0,048 0,571 0,333 0,095 0,429 0,952 0,190 0,905 0,381 0,714 0,857 0,476 0,571 0,762 0,286 0,810 0,333 0,619 0,524 0,238 0,048 0,667 0,143 0,095 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 85 85 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 86 Vergleich Transformationsmethode (blau) vs. Empirische Copula (rot) 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 86 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 87 Diskussion beider Methoden: Bei der Transformationsmethode geht die Schätzung der Randverteilungen explizit in die Schätzung der Copula ein; → sensibel bzgl. Modellfehlern in den Randverteilungen; „echte“ Stichprobe der Copula Bei der empirischen Copula geht die Schätzung der Randverteilungen nicht explizit in die Schätzung der Copula ein; → unsensibel bzgl. Modellfehler in den Randverteilungen; aber: nur „Pseudo-Stichprobe“ der Copula (tendenziell zu gleichmäßig, keine Punkthäufungen) Bei sehr großen Stichprobenumfängen nähern sich beide Methoden an. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 87 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 88 Zusammenhang Copula C u1 , , un ↔ Copula-Dichte c u1 , , un : c u1 , , un n C u1 , , un , 0 u1 , , un 1 u1 un Parametrische Schätzverfahren für Copula-Dichten: Maximum-Likelihood-Methode ( → Archimedische Copulas) Korrelationsvergleiche ( → Gauß-, t-Copula) Nicht-parametrische Schätzverfahren für Copula-Dichten: Zerlegung-der-Eins-Copulas ( → Bernstein-Copula, negative BinomialCopula, …) 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 88 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 89 Bernstein-Copula: m c (u, v ) pijfi (u )fj (v ) i 1 mit Dichten fi der (i 1, m i ) -Verteilung, mit Stichprobenumfang m. Die Gewichte pij erhält man mittels der empirischen Turm-Copula direkt aus den Daten über die Rangvektoren; je Zeile und Spalte genau ein Eintrag der Größe 1 . [Das Verfahren funktioniert analog in höheren Dimensionen.] m Für eine Monte Carlo Simulation zum obigen Beispiel wählt man daher nach einer diskreten Gleichverteilung eine der 20 Zeilen der nachfolgenden Tabelle mit dem Eintrag (i , j ) und daraus die Beta-Verteilungen (i 1, m i ) bzw. ( j 1, m j ) für fi bzw. fj . 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 89 90 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 i 4 20 8 19 13 17 18 11 3 15 5 10 9 16 14 6 1 12 7 2 j 9 20 4 19 8 15 18 10 12 16 6 17 7 13 11 5 1 14 3 2 Monte Carlo Simulation der Bernstein-Copula zum obigen Beispiel vom Umfang 10.000 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 90 91 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 i 4 20 8 19 13 17 18 11 3 15 5 10 9 16 14 6 1 12 7 2 j 9 20 4 19 8 15 18 10 12 16 6 17 7 13 11 5 1 14 3 2 Monte Carlo Simulation einer angepassten negativen BinomialCopula zum obigen Beispiel vom Umfang 10.000 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 91 92 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 i 4 20 8 19 13 17 18 11 3 15 5 10 9 16 14 6 1 12 7 2 j 9 20 4 19 8 15 18 10 12 16 6 17 7 13 11 5 1 14 3 2 Monte Carlo Simulation einer angepassten GaußCopula zum obigen Beispiel vom Umfang 10.000 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 92 93 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken Vergleich verschiedener Copula-Simulationen für das Summenrisiko zum obigen Beispiel (empirische Quantilfunktion aus 50.000 Simulationen) Copula VaR0,005 ( X Y ) VaR0,005 ( X Y ) Bernstein 28,03 neg. Binom. 28,72 Gauß 28,07 Worst VaR 31,71 Copula VaR0,005 ( X ) xxx VaR0,005 (Y ) xxx Korr ( X ,Y ) Bernstein 0,5437 neg. Binom. 0,9072 Gauß 0,8278 Worst VaR 0,0076 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 93 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 94 Missverständnisse zum Verhältnis von Korrelation und Diversifikation: “Diversification arises when different activities complement each other, in the field of both return and risk. […] The diversification effect is calculated by using correlation factors. Correlations are statistical measures assessing the extend to which events could occur simultaneously. […] A correlation factor of 1 implies that certain events will always occur simultaneously. Hence, there is no diversification effect and two risks identically add up. Risk managers tend to say that such risks are perfectly correlated (i.e., they have a high correlation factor), meaning that these two risks do not actually diversify at all. A correlation factor of 0 implies that diversification effects are present and a certain diversification benefit holds.” [DOFF (2011), p. 249f.] 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 94 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 95 Missverständnisse zum Verhältnis von Korrelation und Diversifikation: “Diversifikationseffekte: eine Reduzierung des Gefährdungspotenzials von Versicherungsunternehmen und -gruppen durch die Diversifizierung ihrer Geschäftstätigkeit, die sich aus der Tatsache ergibt, dass das negative Resultat eines Risikos durch das günstigere Resultat eines anderen Risikos ausgeglichen werden kann, wenn diese Risiken nicht voll korreliert sind.” [Gesetz zur Modernisierung der Finanzaufsicht über Versicherungen vom 1. April 2015, Bundesgesetzblatt (2015) Teil I Nr. 14, p. 441] 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 95 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 96 Missverständnisse zum Verhältnis von Korrelation und Diversifikation: In internen Modellen zu Solvency II wird meist unterstellt, dass der “Worst Case” in Bezug auf das Risikomaß Value at Risk bei der Aggregation von Risiken für den Fall der Komonotonie erreicht wird („Rank Tie Copula“). Dies ist leider nicht zutreffend (vgl. PFEIFER (2013)), wie neuere Untersuchungen von PUCCETTI UND RÜSCHENDORF (2012) und PUCCETTI UND WANG (2015) zeigen; Stichworte: Rearrangement-Algorithmus, Mixability Concept. Im Fall von zwei Dimensionen wird der „Worst Case“ für Copulas erreicht, die - im Gegensatz zur Intuition - im oberen Bereich eine lokale Kontramonotonie aufweisen. Hier verhält sich der Value at Risk lokal superadditiv (vgl. Folie 94). Der Fall der Komonotonie führt in der Regel zur Additivität des Value at Risk. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 96 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 97 Literatur COTTIN UND PFEIFER (2014): From Bernstein polynomials to Bernstein copulas. Journal of Applied Functional Analysis, 277 - 288. DOFF (2011): Risk Management for Insurers. Risk Control, Economic Capital and Solvency II. Risk Books, London, 2nd ed. HUMMEL UND MÄRKERT (2012): Stochastische Risikoaggregation. In: Bennemann et al. (Hrsg.): Handbuch Solvency II.Von der Standardformel zum Internen Modell, vom Governance-System zu den MaRisk VA, Schäffer-Poeschl, Stuttgart, 203 - 219. JOE (1997): Multivariate Models and Dependence Concepts. Chapman & Hall / CRC, London. MCNEIL, FREY UND EMBRECHTS (2005): Quantitative Risk Management. Concepts - Techniques - Tools. Princeton Univ. Press, Princeton. MAI UND SCHERER (2012): Simulating Copulas. Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications. Imp. College Press, London. NELSEN (2006): An Introduction to Copulas. Springer, N.Y., 2nd ed. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 97 Pfeifer Abhängigkeiten zwischen Risiken 98 PFEIFER (2013): Correlation, tail dependence and diversification. In: C. Becker, R. Fried, S. Kuhnt (Hrsg.): Robustness and Complex Data Structures. Festschrift in Honour of Ursula Gather, 301 - 314, Springer, Berlin. PFEIFER UND AWOUMLAC TSATEDEM (2015): New copulas based on general partitions-ofunity and their applications to risk management. [http://arxiv.org/abs/1505.00288] PUCCETTI UND RÜSCHENDORF (2012): Computation of sharp bounds on the distribution of a function of dependent risks. J. Comp. Appl. Math. 236, 1833 - 1840. PUCCETTI UND WANG (2015): Detecting complete and joint mixability. J. Comp. Appl. Math. 280, 174 - 187. REISS UND THOMAS (2001): Statistical Analysis of Extreme Values. With Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Birkhäuser, Basel, 2nd ed. 2. Weiterbildungstag der DGVFM Hannover, 21. Mai 2015 98
