Geometrische Wahrscheinlichkeiten vom Buffonschen Typ in

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Geometrische Wahrscheinlichkeiten
vom Buffonschen Typ
in begrenzten Gittern
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
vorgelegt dem Fachbereich Mathematik
der FernUniversität in Hagen
von
Dipl.-Math. Roger Böttcher
Oktober 2005
Eingereicht im Oktober 2005
Erstgutachter: Prof. Dr. Andrei Duma, FernUniversität in Hagen
Zweitgutachter: Prof. Dr. Marius I. Stoka, Universität Turin, Italien
Tag der mündlichen Prüfung: 17. Januar 2006
Vorsitzende der Prüfungskommission: Prof. Dr. Franz Locher,
FernUniversität in Hagen
Prüfer: Prof. Dr. Andrei Duma, FernUniversität in Hagen
Prof. Dr. Marius I. Stoka, Universität Turin
Geometrische Wahrscheinlichkeiten
vom Buffonschen Typ
in begrenzten Gittern
Ein Beitrag zur Stochastischen Geometrie
in verschiedenen Dimensionen
Fachbereich Mathematik
FernUniversität in Hagen
Roger Böttcher
Oktober 2005
Geometrische Wahrscheinlichkeiten vom Buffonschen Typ
in begrenzten Gittern
Ein Beitrag zur Stochastischen Geometrie in verschiedenen Dimensionen
Geometrical Probabilities of Buffon Type in Bounded Lattices
A contribution to stochastic geometry in various dimensions
Roger Böttcher
Mathematics Subject Classification (2000): 60D05, 65C05, 68U20
Abstract
Es werden sechs Zufallsexperimente aus dem Gebiet der geometrischen Wahrscheinlichkeiten untersucht, welche das Testobjekt und Gitter des auf Buffon
zurückgehenden Nadelwurfes variieren. Dabei werden in den ersten vier Zufallsexperimenten begrenzte Gitter betrachtet. Die Testelemente sind zunächst
Geraden, die auf Gitter endlicher Breite mit unendlich vielen äquidistant gelegenen, parallelen Strecken und schließlich auf endlich breite und endlich viele
Strecken zufällig platziert werden. Für den letzten Gittertyp werden dann
auch Testelemente in Form von Strecken beliebiger Länge ausgewählt, was zu
einer eingehenden Untersuchung von Fallunterscheidungen führt.
In allen Untersuchungen werden die geometrischen Wahrscheinlichkeiten angegeben, nach denen das Testobjekt das Gitter genau k-mal schneidet. Dabei
ergeben sich interessante neue Verteilungsfunktionen.
Für das zentrale Zufallsexperiment III, den allgemeinsten Fall, arbeiten wir
auch ein rechnergestütztes Zufallsexperiment aus, das es erlaubt, die analytisch abgeleiteten Wahrscheinlichkeiten mit der Simulation einer Monte-CarloMethode zu vergleichen. Dabei steht neben dem Vergleich vor allem die Methodik im Vordergrund, wie ein Problem der geometrischen Wahrscheinlichkeiten auch behandelt werden kann.
Im letzten Teil schließlich wird die zentrale Untersuchung im Parallelgitter
unter verschiedenen Aspekten beleuchtet: Das erste Zufallsexperiment wird
in den Raum übertragen und betrachtet ein Gitter aus Kreisscheiben, das
dritte Zufallsexperiment wird auch im “geschlossenen Gitter“ gelöst und abschließend werden die Zufallsexperimente auf Linien betrachtet.
Vorwort
Der zufällige Nadelwurf auf ein Gitter paralleler Geraden wurde erstmals von Graf
von Buffon 1733 in der Öffentlichkeit vorgestellt und 1777 in der Mathematik von
ihm modelliert und gelöst. Pierre Simon de Laplace erweiterte 1812 die Fragestellung auf ein Gitter aus Rechtecken. Auch in Untersuchungen Cournots und Bertrands standen geometrische Aspekte am Anfang und Vordergrund wahrscheinlichkeitstheoretischer Diskussionen. Der ebenfalls französische Mathematiker Deltheil
prägte mit seiner Dissertation 1917 den Begriff der “geometrischen Wahrscheinlichkeiten“. Mittlerweile liegen eine Vielzahl von Untersuchungen vor, die verschiedene
Testkörper wie Strecken – eben jene Nadeln –, Kreise oder allgemein konvexe Mengen auf Gitter unterschiedlicher Ausprägung und Muster zufällig platzieren und
die geometrische Wahrscheinlichkeit für das Treffen von Testkörper und Gitter bestimmen. Dabei zeigten unabhängig voneinander Elie J. Cartan und Henri Poincaré
1896, dass für ein adäquates Erfassen des Begriffes “zufälliger Wurf“ ein bewegungsinvariantes Maß heranzuziehen ist, mit dem die Testobjekte, bzw. Ereignisse, die
mit diesen Testobjekten verknüpft sind, bewertet und gemessen werden können.
Umfassender können geometrische Wahrscheinlichkeiten daher auch als ein Teilgebiet der Integralgeometrie gesehen werden, welche Konfigurationen der Geometrie
ii
durch die Zuordnung von Maßen zu ergründen sucht; oder anders ausgedrückt: die
es neben dem üblichen Maß von Punktmengen auch erlaubt, anderen geometrischen
Objekten Maße zuzuordnen. Bekannte Beispiele sind die Integralformeln Croftons
und Czubers, die gewissermaßen punktuelle Informationen niedriger Dimension zu
ganzheitlichen Aussagen über konvexe Mengen verknüpfen.
Ausgedehnte Untersuchungen zu geometrischen Wahrscheinlichkeiten sehr allgemein gestellter Fragen (etwa konvexe Mengen auf Gittern!) wurden in jüngerer Zeit
in Europa von Marius Stoka (Universität Turin) und Andrei Duma (FernUniversität
in Hagen) durchgeführt.
Diese Arbeit möchte daran und auch direkt an Buffon anknüpfen und gewissermaßen einen zumindest anfänglich “inversen“ Weg beschreiten: Waren in den bisherigen Untersuchungen stets die Testobjekte endlich und die Gitter von unendlicher
Ausdehnung, so liegen in den ersten beiden hier betrachteten Zufallsexperimenten
unendlich ausgedehnte Testobjekte in Form von Geraden vor, die notwendigerweise,
um triviale Ergebnisse zu vermeiden, auf endliche Gitter zufällig platziert werden.
Dabei wird im ersten Schritt das klassische Buffonsche Gitter von Parallelen auf eine
endliche Breite und dann auch auf eine endliche Anzahl beschränkt. Die Geraden
kann man sich dabei als Sondierstrahlen vorstellen, die ein (verborgenes) Rechteck bzw. Rechteckgitter zufällig abtasten und über dessen Struktur Auskunft geben
sollen – eine mögliche und typische Anwendung der stochastischen Geometrie.
Schließlich schränken wir auch das Testobjekt wieder auf endliche Länge ein.
Dabei erhalten wir die Ergebnisse aus den ersten beiden Zufallsexperimenten als
Grenzwertbetrachtungen des letzteren. Das Ergebnis dieses Zufallsexperiments III
ist so allgemein, dass nicht nur die beiden ersten als Grenzfälle hierin enthalten sind,
sondern es lässt sich auf drei weitere Zufallsexperimente erweitern, worunter dann
auch wieder der klassische Fall von Buffon zu finden und für den k-fachen Schnitt
einer Nadel beliebiger Länge gelöst ist.
Die abschließenden Kapitel variieren die hier behandelten Fragestellungen in
Form eines Ausblicks, sollen diese aber nicht mehr erschöpfend abhandeln. Sie dienen einerseits mehr der Abrundung, wie die Betrachtungen in höheren Dimensionen
fortgesetzt werden können, aber auch der Fundierung bzgl. geometrischer Wahrscheinlichkeiten in einer Dimension. Die zugrunde liegenden Maße werden dann
außerordentlich einfach, die grundlegende Methodik dieses Teilaspektes der Integralgeometrie aber können exemplarisch herauskristallisiert werden. Eine gesonderte
Untersuchung ist auch darum lohnend, weil die Resultate in einer Dimension sich
nicht unmittelbar aus den Ergebnissen der Ebene einstellen, sondern zwei gezielte
Grenzwertbetrachtungen durchzuführen sind.
Ein mathematisches Labor
Zufallsexperimente rufen geradezu nach Simulationen und mit der fundierten MonteCarlo-Methode ihrer Begründer John von Neumann und Stanislaw Ulam steht ein
Apparat bereit, der es in effektiver Weise erlaubt, geometrische Wahrscheinlichkeiten
auch im Sinne einer experimentellen Mathematik zu “messen“.
iii
Ein rechnergestütztes Experiment führen wir für die zentrale Untersuchung III
durch. Dabei leistet das hier eingesetzte Programm Mathematica eine sehr effektive
Hilfe und ein zusätzlich abgefasstes Zufallsexperiment in der Sprache C eine sehr
effiziente Durchführung.
Darüber hinaus soll der Begriff “mathematisches Labor“ aber auch bedeuten
und anzeigen, dass für die aufgestellten Maße, d.h. Integrale zur Ableitung der
analytischen Resultate und Aussagen über geometrische Wahrscheinlichkeiten, eine Funktionsumgebung in Mathematica aufgebaut wurde, die es in weitreichender
Form erlaubt, Ergebnisse in “symbolischer Form“ mit Hilfe der Computeralgebra zu
errechnen. Wir werden dieses Labor im Haupttext immer wieder einspannen und es
in einem Anhang gezielt beleuchten.
c
Anmerkung: Die Software Mathematica°
ist ein Produkt der Firma Wolfram
Research, Inc. Für diese Arbeit wurde mit der Version 4.0.1.0 gearbeitet. Die Simuc
lationen in C wurden unter Microsoft°
Visual C++ 6 entwickelt.
Anerkennung
Wie Karl Raimund Popper so treffend sagte, steht am Anfang jeder wissenschaftlichen Untersuchung immer ein Problem. Das vorangehende Vorwort hat in kurzen
Zügen zu verdeutlichen versucht, aus welchem Problemumfeld heraus diese Arbeit
erwachsen ist.
Für die Bereitschaft und Freude diese Probleme mit mir ebenso breit wie tief
diskutiert und viel Anregung gegeben zu haben, möchte ich mich bei den Kollegen
Dipl.-Math. Michael Retter und Dr. Uwe Bäsel herzlich bedanken.
Ein besonderes Dankeschön geht an Dipl.-Ing. Stefan Wagner, der mir mit seinen
unerschöpflichen Kenntnissen über Rechner, Betriebssysteme und Software jeder
erdenklichen Art viele nützliche IT-Dienste leistete und so manche ungewöhnliche
Frage stets kompetent beantwortete. Für die unschätzbaren Hinweise zum Einsatz
von LATEX ebenfalls ein Dankeschön an Herrn Dipl.-Math. Sven Blumberg.
Die Vielzahl der interessanten Untersuchungen und die wertvollen Beiträge zur
stochastischen Geometrie von Prof. Dr. Marius Stoka waren ein besonderer Anreiz,
mich mit dem Thema dieser Betrachtung zu befassen. Darüber hinaus möchte ich
mich auch für seine Wertschätzung an meiner Arbeit sehr bedanken.
Mein ganz herzlicher Dank gilt meinem Betreuer Herrn Prof. Dr. Andrei Duma,
dessen Begeisterung für die Mathematik wieder einmal selbst über die 222 km (als
Geodätische! – hier zählt immer die kürzeste Verbindung) zwischen Hagen und Ludwigshafen ansteckend auf mich wirk(t)en. Durch seine enthusiastische Kraft und Art
meine Arbeit zu diskutieren und zu begutachten und darüber hinaus viele nützliche Hinweise gegeben zu haben, hat er ganz wesentlichen Anteil an ihrem Gelingen.
Auch die kollegiale Atmosphäre an seinem Institut und die Unterstützung seiner
Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter waren mir eine große Hilfe für diese Arbeit – all
ihnen sei gedankt.
iv
Inhaltsverzeichnis
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Buffon im Wandel der Gitter
i
i
1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Anmerkungen zum Einsatz von Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Grundlagen aus der Integralgeometrie
1.1 Geometrische Wahrscheinlichkeiten . . . . . .
1.2 Bewegungsinvariante Maße . . . . . . . . . . .
1.3 Testelemente von Geraden und Strecken in der
1.3.1 Geraden in der Ebene . . . . . . . . .
1.3.2 Strecken in der Ebene . . . . . . . . .
1.4 Erste Anwendungen der Maße . . . . . . . . .
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Ebene
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13
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16
24
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2 Parallel-Gitter von Strecken in der Ebene
2.1 Definition der Gitter . . . . . . . . . . . .
2.2 Grundbeziehungen am Gitter . . . . . . .
2.3 Menge und Maß von Testobjekten . . . . .
2.3.1 Menge und Maß von Geraden . . .
2.3.2 Menge und Maß von Strecken . . .
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33
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II
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Geometrische Wahrscheinlichkeiten
3 Dieser Teil in der Übersicht
3.1 Die Zufallsexperimente . . . . . . .
3.2 Geometrische Wahrscheinlichkeiten
3.3 Ausnutzen der Achsensymmetrie . .
3.4 Einführung einer Zufallsvariablen .
3.5 Entropie der Zufallsexperimente . .
3.6 Allgemeines Vorgehen . . . . . . . .
v
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vi
INHALTSVERZEICHNIS
4 Gerade auf Gitter R∞
a,d
4.1 Problemstellung: Zufallsexperiment I . . . . . . . . . .
4.2 Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen
4.3 Die Wahrscheinlichkeit für k Schnitte . . . . . . . . . .
4.4 Maximale Wahrscheinlichkeiten pk . . . . . . . . . . . .
4.5 Entropie des ZE I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Gerade auf Gitter Rna,d
5.1 Problemstellung: Zufallsexperiment II . . . . . . . . . .
5.2 Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen
5.3 Die Wahrscheinlichkeit für k Schnitte . . . . . . . . . .
5.4 Diskussion und Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Zwei Beispiele nach Santaló . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Entropie des ZE II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Strecke auf Gitter Rna,d
6.1 Problemstellung: Zufallsexperiment III . . . . . .
6.2 Allgemeines Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Wahrscheinlichkeit für keinen Schnitt: k = 0 . . .
6.4 Wahrscheinlichkeit für genau einen Schnitt: k = 1
6.5 Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 1 < k < n . . .
6.6 Wahrscheinlichkeit für n Schnitte: k = n . . . . .
6.7 Erwartungswert von XIII . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Diskussion und Vergleich . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Entropie des ZE III . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Die Zufallsexperimente IV, V, VI
7.1 Zufallsexperiment IV . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Zufallsexperiment IV: Fall k = 0 . . . . .
7.1.2 Zufallsexperiment IV: Fall k = 1 . . . . .
7.1.3 Zufallsexperiment IV: Fall 1 < k < ∞ . .
7.1.4 Zufallsexperiment IV: Fall k = ∞ . . . .
7.2 Zufallsexperiment V . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Zufallsexperiment V: Fall k = 0 . . . . .
7.2.2 Zufallsexperiment V: Fall k = 1 . . . . .
7.2.3 Zufallsexperiment V: Fall 1 < k < ∞ . .
7.2.4 Zufallsexperiment V: Fall k = ∞ . . . .
7.3 Zufallsexperiment VI . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Zufallsexperiment VI: Fall k = 0 . . . . .
7.3.2 Zufallsexperiment VI: Fall k = 1 . . . . .
7.3.3 Zufallsexperiment VI: Fall 1 < k < m + 1
7.3.4 Zufallsexperiment VI: Fall k = m + 1 . .
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. 109
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. 193
. 193
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INHALTSVERZEICHNIS
III
vii
Ein rechnergestütztes Zufallsexperiment
197
8 Elemente und Ergebnisse des rechnergestützten Zufallsexperiments199
8.1 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2 Programme ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.1 ... in Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.2 ... und in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
IV
Thema mit Variationen
9 Parallel-Gitter von Kreisen auf dem Zylinder
9.1 Ein Zufallsexperiment auf einem Zylinder . . . . . . . .
9.2 Das Maß einer Zufallsebene . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen
9.4 Zufallsvariable auf das Kreis-Gitter . . . . . . . . . . .
9.5 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Geschlossene Gitter
10.1 Zufallsexperiment im ebenen, geschlossenen Gitter . . .
10.2 Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen
10.3 Wahrscheinlichkeit für genau einen Schnitt: k = 1 . . .
10.4 Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 0 ≤ k ≤ m − 1 . . .
10.5 Rechnergestütztes Zufallsexperiment . . . . . . . . . .
10.6 Diskussion und Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Ausblick: Ereignisse auf dem Rand . . . . . . . . . . .
217
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Schnitt
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Schnitt
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11 Punktgitter auf Linien
11.1 Ein Zufallsexperiment auf einer Linie . . . . . . . . . . .
11.2 Zufällige Strecken auf dem Punktgitter . . . . . . . . . .
11.3 Offenes Gitter in einer Dimension . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Wahrscheinlichkeit für keinen Schnitt: k = 0 . . .
11.3.2 Wahrscheinlichkeit für einen Schnitt: k = 1 . . . .
11.3.3 Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 1 < k < m + 1
11.3.4 Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: k = m + 1 . . .
11.3.5 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.6 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Geschlossenes Gitter in einer Dimension . . . . . . . . .
11.4.1 Wahrscheinlichkeit für keinen Schnitt: k = 0 . . .
11.4.2 Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 0 < k < m . . .
11.4.3 Eine alternative Berechnung von pk . . . . . . . .
11.4.4 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.5 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 237
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. 268
. 269
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. 287
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. 289
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. 297
. 298
. 301
. 302
. 302
. 302
. 304
. 306
. 308
viii
INHALTSVERZEICHNIS
Zusammenfassung
309
Ausblick
311
Anhänge
338
A Bewegungsinvariantes Maß einer Ebene im Raum
339
A.1 Fußpunktform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.2 Ebene in der Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
B Zum Einsatz von Mathematica
B.1 Einsatzgebiete von Mathematica in dieser
B.2 Integration der Dichten . . . . . . . . . .
B.3 Zusammenfassung zu p(α, λ, m, k) . . . .
B.4 Plotten mit Mathematica . . . . . . . .
B.5 Zufallsexperiment mit Mathematica . . .
Arbeit
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343
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. 348
. 351
. 352
C Zum Erwartungswert von XIII
359
Symbolverzeichnis
369
Literaturverzeichnis
377
Index
383
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Der Nadelwurf Buffons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufälliger Wurf des Nadelmittelpunktes und Fallwinkels . . . . .
Flächen im Parameterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Abstand zweier Punkte auf der Kugeloberfläche . . . . . . .
Problemstellung: Bertrandsches Paradoxon . . . . . . . . . . .
Zur Lösung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Lösung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Lösung 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallel-Gitter begrenzter Länge mit verschiedenen Testobjekten
Buffon im Wandel der Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Buffon im Wandel der Gitter – ergänzende Fälle . . . . . . . . .
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
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14
17
17
20
21
23
24
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
Mengen im Parameterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Festlegung einer Geraden durch den Fußpunkt F . . . . . . . . . . . .
Drehung und Verschiebung von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geraden in der Achsenabschnittsform (ii) und (iii) . . . . . . . . . . . .
Geraden in der Steigungsform (iv) und Hesseschen Normalform (v) . . .
Bewegung einer Geraden in der Hesseschen Normalform (v) . . . . . . .
Eine Nadel in der Ebene und eine Bewegung dieser . . . . . . . . . . .
Gerade in Polarkoordinaten und Strecke in erweiterten Polarkoordinaten
(θ, ρ, ζ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthogonale Summe des Verschiebungsvektors ~s . . . . . . . . . . . . .
Geraden, die eine Strecke der Länge a treffen . . . . . . . . . . . . . .
Support- oder Trägerfunktion ρ = ρ(θ) einer konvexen Menge K . . . .
Sekante von G mit der konvexen Menge K . . . . . . . . . . . . . . . .
Nadeln treffen eine konvexe Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menge und Maß aller Geraden bzw. Sehnen im Sinne von “Lösung 1“ . .
Menge und Maß aller Geraden bzw. Sehnen im Sinne von “Lösung 2“ . .
Menge und Maß aller Geraden bzw. Sehnen im Sinne von “Lösung 3“ . .
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24
25
27
28
29
30
30
31
32
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Parallel-Gitter in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . .
Gitter in kartesischen und erweiterten Polarkoordinaten . . . . . . . . .
Diagonale und ihre Grundlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Länge klk der Diagonalen Dk in den Diagrammen λ über l bzw. α .
Die Teillänge νlk der Diagonalen Dk in den Diagrammen λ über l bzw. α
Gittergeometrie zum Umschlagverhältnis Λ(τ, κ, ν) . . . . . . . . . . .
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33
36
36
37
38
39
ix
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. 3
. 4
. 4
. 5
. 6
. 6
. 7
. 7
. 8
. 9
. 10
x
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
Umschlagverhältnis Λ(τ, κ, ν) als Schnittpunkt zweier Kurven . . . . . . .
Zwei spezielle Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Funktionen ρ±
ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Funktionen ζν und ζ ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gerade G in der Elementarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gerade G über ganzem Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strecke H über ganzem Gitter: π/2 > θ ≥ θm und θm > θ ≥ 0 . . . . . . .
Maß µ(DIII ) über α mit λ = 0,5 und m = 5 . . . . . . . . . . . . . . . .
l = 1: Maß µ(DIII ) über α, m und in den Flächen von oben nach unten
für λ = 0,5 , 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Wachsen von C durch Zunahme in α und m bei λ = const. und l = const.
2.17 l = 1: Maß µ(DIII ) über α, λ und in den Flächen von oben nach unten für
eine Zellenzahl m = 5, 2, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18 Abnahme der Gitterbreite von C bei Zunahme von λ, wenn α = const.
und l = const. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
40
41
42
44
45
46
48
3.1
3.2
3.3
3.4
Zur y-Achse symmetrisch angeordnetes Gitter . . .
Winkel π/2 > θ und θ∗ > π/2 . . . . . . . . . . .
Winkel π/2 > θ und θ∗ > π/2, Symmetrie bzgl. ρ±
Winkel π/2 > θ und θ∗ > π/2, Symmetrie bzgl. ζ ±
.
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56
57
58
58
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
Gerade G auf Parallelgitter C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Testobjekt G auf der Elementarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeit, dass G das Gitter C nicht trifft in Abhängigkeit von λ
Die beiden Fälle zum Aufstellen von S1\ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Winkel θk von “Diagonale zu Diagonale“ . . . . . . . . . . . . . . .
Fallunterscheidungen θ2n−1 > θ ≥ θ2n und θ2n > θ ≥ θ2n+1 . . . . . . . .
Fallunterscheidungen θ2n > θ ≥ θ2n+1 und θ2n+1 > θ ≥ θ2n+2 . . . . . . .
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k), k = 0, 1, ..., 10 . . . . . .
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k), k = 1, ..., 10 . . . . . . .
P
Die Summe ∞
k=1 pk und die Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 1, ..., 10 . . .
Dichtefunktionen von XI , λ = 0,1 , 0,2 , 0,4 , ... in Schritten von 0,2 bis 2,
4, 20, 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichtefunktionen von XI über k und λ geplottet – unten: λ von 0,05 bis
1, oben: λ von 1 bis 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichtefunktionen von XI über k und λ “verzerrt“ geplottet – k von 0 bis
6 und λ von 0,05 bis 1 und von 1 bis 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λ für maximale pk über k aufgetragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Optimiertes Verhältnis λ für maximales pk . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entropie HI des ZE I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
64
66
67
68
69
70
72
73
75
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
5.1
5.2
5.3
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49
49
50
50
75
76
77
79
80
82
Gerade auf Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
m Bereiche mit keinem Schnitt zwischen G und C . . . . . . . . . . . . . 84
Wahrscheinlichkeit, dass G das Gitter C nicht trifft als Funktion von λ und
m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
xi
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
Wirkungsquerschnitte für Geraden unter Winkel θ . . . . . . .
Wirkungsquerschnitte für zunehmend steiler fallende Gerade .
Der Fall θ2 > θ ≥ θ3 für m = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erstmaliges Auftreten von k Schnitten – Typ 1 . . . . . . . .
Zweites und drittes Auftreten von k Schnitten – Typen 2 und 3
Einzige m + 1-fache Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . .
Dichtefunktionen von XII für m = 5 über k und λ geplottet –
von 0 bis 1, oben: λ von 1 bis 10 . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei Gitter mit stark unterschiedlicher Gitterkonstante λ . . .
Quadrat mit bedingter Wahrscheinlichkeit auf Seiten . . . . .
Mengen an Geraden bzgl. der Seiten und Schnittzahlen . . . .
Beziehung der Mengen in Form eines Tetraeders . . . . . . . .
Quadrat mit bedingter Wahrscheinlichkeit auf Diagonalen . . .
Mengen an Geraden bzgl. der Diagonalen und Schnittzahlen .
oben: Entropie HII über λ und m, unten: m → ∞, HII → HI .
Entropie HII : Ortspunkte (m, λ) der Maxima und Grad w . . .
Entropie HII und Grad w . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeiten pk für m = 7 und m = 6, 8 . . . . . . . .
Kurven konstanter Entropie HII = H̄m̄ . . . . . . . . . . . . .
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86
87
88
89
90
92
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100
100
101
102
102
103
104
106
106
107
108
108
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
Zwölf zufällige Nadeln auf endlichem Gitter: Zufallsexperiment III
Gitteraufbau und “zulässige“ Nadel . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehung der Nadel und Detektion der Anzahl möglicher Schnitte .
k = 2: kurze Nadeln, die Fälle 0 und 1 . . . . . . . . . . . . . . .
k = 2: mittlere Nadeln, die Fälle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
k = 2: lange Nadeln, die Fälle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die “Fälle“ für k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Fälle im Zufallsexperiment III für k = 0 . . . . . . . . . . . .
Die m Elementarzellen für k = 0 von ν = 0 bis m − 1 . . . . . . .
Zufallsexperiment III, Fall 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufallsexperiment III, Fall 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufallsexperiment III, Fall 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fälle für k = 1 in der Zellendarstellung . . . . . . . . . . . . . .
“Vorläufige“ Fallbezeichnungen für k = 1 . . . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maßgebliche Winkel im Schnittfall k = 1 . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 1 – Intervalle in ρ und ζ . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 2 – Intervalle in ρ und ζ . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 3 – der Einfluss von θ . . . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 3 – Intervalle in ρ . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung vom Typ 3 – Intervalle in ζ . . . . . . . . . . . . . . .
Die finalen Fälle für k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen und maßgebliche Winkel im Fall für 1 < k < m + 1
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109
110
111
112
112
113
113
115
115
115
118
118
120
121
122
122
122
123
124
124
124
125
125
131
136
unten: λ
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xii
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
6.26 Hauptfallunterscheidungen über die Nadellänge in Relation zu den Gitterabständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.27 Nebenfallunterscheidungen über die Nadellänge in Relation zu den Diagonallängen (mit H für die Stelle des Hauptfalls) . . . . . . . . . . . . .
6.28 Die Fallunterscheidungen für 1 < k < m + 1 im l-λ-Diagramm . . . . . .
6.29 Die Fallunterscheidungen für 1 < k < m + 1 im α-λ-Diagramm . . . . .
6.30 Winkel θ̂k größer oder kleiner als θk+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.31 Zur Anzahl der Ensembles von k benachbarten Gitterstrecken . . . . . .
6.32 Bewegung vom Typ 1, qualitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.33 Bewegung vom Typ 2, qualitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.34 Bewegung vom Typ 3, qualitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.35 Bewegung vom Typ 1, quantitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.36 Bewegung vom Typ 2, quantitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.37 Bewegung vom Typ 3, quantitativ: Intervalle in ρ . . . . . . . . . . . .
6.38 Bewegung vom Typ 3, quantitativ: Intervalle in ρ und ζ . . . . . . . . .
6.39 Das l-λ-Diagramm in der Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.40 Fälle für die Schnittzahl k = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.41 Schnittzahl k = m mit den hier sechs verbleibenden Fällen . . . . . . .
6.42 Die Fälle im Zufallsexperiment III für k = m + 1 . . . . . . . . . . . .
6.43 Die beiden Fälle N.2 und N.3 am Gitter für k = m + 1 . . . . . . . . .
6.44 Erwartungswert und Varianz von XIII , m = 5 . . . . . . . . . . . . . .
6.45 Punkte mit Maxima in V (XIII )(α, λ, m) . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.46 EX, V X und σX in Abhängigkeit von m . . . . . . . . . . . . . . . .
6.47 Quotient λ/α der Punkte aus Bild 6.45 . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.48 Änderung der Fallunterscheidung von k auf k + 1 im Diagramm . . . . .
6.49 Änderung der Fallunterscheidung von k auf k + 1 als Graph (i) . . . . .
6.50 Änderung der Fallunterscheidung von k auf k + 1 als Graph (ii) . . . . .
6.51 Die Fälle I in der Entsprechung der Fälle 1.2, 2.2, 2.3, 3.2, 3.3 und 3.4
6.52 Die Fälle 0 und N in den Grenzverläufen des Falls 1 < k < m + 1 . . . .
6.53 pIII (α, λ, m, k) mit m = 5, k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.54 Fallunterscheidungen für k = 2 im α-λ-Diagramm . . . . . . . . . . . .
6.55 pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1; m = 5; k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.56 pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,8; m = 5; k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.57 pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1; k = 2 und m = 1, 2, ..., 10, 100 . . . . . . . .
6.58 pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1 und m = 5; α = 0, ..., 1, k = 0, ..., 6 . . . . . .
6.59 pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1 und m = 20; α = 0, ..., 0,35, k = 0, ..., 21 . . .
6.60 Dichtefunktionen von XIII für m = 5, α = 0,06 über k und λ geplottet –
unten: λ von 0 bis 1, oben: λ von 1 bis 10 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.61 Entropie HIII (α, λ, m), oben: m = 1, unten: m = 5 . . . . . . . . . . . .
6.62 Entropie HIII : Ortspunkte (m, λ) der Maxima und Grad w . . . . . . .
6.63 Beispiele für die Gitter und Nadeln mit m = 5 und α5,1;2 , λ5,1;2 . . . .
6.64 pIII über α und k für m = 5: links λ5,1 und rechts λ5,2 . . . . . . . . . .
6.65 pIII über α und k für m = 20: links λ20,1 und rechts λ20,2 . . . . . . . .
6.66 Entropie HIII , m = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 136
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136
139
139
140
141
142
142
143
144
145
145
148
148
157
157
159
159
161
162
162
162
163
165
165
169
170
171
171
172
173
174
175
175
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176
177
178
178
179
179
180
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
xiii
6.67 Höhenlinienplot der Entropie HIII , m = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1
7.2
7.3
7.4
. 184
. 184
. 184
7.5
7.6
pIV (α, λ, k) mit k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pIV , pIII (gestrichelt) mit λ = 0, 1; links: k = 2, 3, 4 und 5; rechts: k = 1
pIV (α, λ, k) mit λ = 0,1 und α = 0, ..., 1, k = 0, ..., 6 . . . . . . . . . . .
Dichtefunktionen von XIV für α = 0,06 über k und λ geplottet – unten: λ
von 0 bis 1, oben: λ von 1 bis 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichtefunktionen von XV über α geplottet . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichtefunktionen von XVI über α geplottet, m = 5 . . . . . . . . . . .
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Konfiguration des rechnergestützten Zufallsexperiments .
Algorithmus für die Simulation von Zufallsexperiment III
Zwei Durchgänge mit je 12 Nadeln . . . . . . . . . . . .
Punkte und Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punkte der Tabelle 8.1 im α-λ-Diagramm . . . . . . . .
.
.
.
.
.
9.1
9.2
Gitter von Kreisen auf dem Zylinder und Schnitt mit einer Ebene . . . . . 221
Kugel- bzw. Polarkoordinaten (ρ, φ, τ ) im 3-dimensionalen Euklidischen
Raum zur Beschreibung einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Ebenen, die Strecke [0, a] auf der z-Achse treffend . . . . . . . . . . . . . 223
Wahrscheinlichkeit, dass E das Gitter C nicht trifft in Abhängigkeit von λ 225
Wahrscheinlichkeiten: E trifft das Kreis-Gitter (durchgezogen: pE (λ)), G
trifft das Strecken-Gitter (gestrichelt: pG (λ)) . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 0, 1, ..., 10 . . . . . . . 227
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 1, ..., 10 . . . . . . . . 228
P
Die Summe pE = ∞
k=1 pk und die Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 1, ..., 10 229
Dichtefunktionen von Y für verschiedene λ . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Gitter von Kreisscheiben auf endlichen hohem Zylinder mit m = 5 Zellen . 232
Wahrscheinlichkeiten für E trifft das Kreisgitter: pM : m = 1, 2, ..., 5, 10,
20 Zellen (zunehmend in Pfeilrichtung); pE : m → ∞ . . . . . . . . . . . . 234
Vergleich: Ebenen auf Kreisgitter: pM ; Geraden auf Rechteckgitter: pG ,
m = 1 hervorgehoben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
pk über λ und k mit m = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Kreisscheiben als Testelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Streifen als Testelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
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10.1 Zufallsexperiment im ebenen geschlossenen Gitter . . . . . . .
10.2 Bereiche unterschiedlicher Grundmaße . . . . . . . . . . . . .
10.3 Zur Definition der Funktionen σν+ , σν− . . . . . . . . . . . . .
10.4 Zur Definition des Winkels Θ . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Bewegung von H für 0 < l < min(2r, ma) (B1) . . . . . . . .
10.6 Bewegung von H für 2r ≤ l < ma (B2) . . . . . . . . . . . .
10.7 Bewegung von H für ma ≤ l < 2r (B3) . . . . . . . . . . . .
10.8 Bewegung von H für max(2r, ma) ≤ l < mlm (B4) . . . . . .
10.9 Nadeln in der ersten Elementarzelle, die das Gitter nicht treffen
10.10Bereiche für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p0 (i) . . .
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. 185
. 192
. 196
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200
202
206
207
212
237
238
239
240
241
242
242
243
246
247
xiv
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
10.11Bereiche für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p0 (ii) . . . . .
10.12Ausführliche Darstellung zu allen Fallunterscheidungen . . . . . .
10.13p0 über die Parameter α und λ für m = 3 . . . . . . . . . . . . .
10.14p0 als Parameterlinien in λ über α für m = 3 . . . . . . . . . . .
10.15p0 als Parameterlinien in λ über l für m = 3 . . . . . . . . . . . .
10.16p0 als Parameterlinien in λ über l für m = 5 . . . . . . . . . . . .
10.17p0 als Parameterlinien in λ über l für m = 2 . . . . . . . . . . . .
10.18Fallunterscheidungen für Nadeln in einem Gitter der Höhe κa . . .
10.19Schnittmengen im Gitter der Höhe 2a . . . . . . . . . . . . . . .
10.20Prinzip zur geometrischen Wahrscheinlichkeit von S1 . . . . . . .
10.21p1 (α, λ, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.22Die zu berücksichtigenden Fälle für Q1 und Q2 . . . . . . . . . .
10.23Alle zu berücksichtigenden Fälle für k = 1 . . . . . . . . . . . . .
10.24Bereich für k Schnitte mit p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.25Prinzip zur geometrischen Wahrscheinlichkeit von Sk . . . . . . .
10.26Alle zu berücksichtigenden Fälle für k > 1 . . . . . . . . . . . . .
10.27p0 (α, λ, 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.28p1 (α, λ, 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.29p2 (α, λ, 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.30p3 (α, λ, 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.31p4 (α, λ, 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.32Ein Weg in die Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.33Die Fälle für λ → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.34Kein Weg in die Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.35Dichtefunktionen im geschlossenen Gitter . . . . . . . . . . . . .
10.36Nadeln auf ein gelochtes Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.37Wahrscheinlichkeit p: Nadel trifft den Rand von K . . . . . . . .
10.38Treffen des Randes eines Quadrats . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.39Nadeln auf beschränkte Gitterzelle und unbeschränktem Gitter . .
10.40Unbeschränktes Gitter als Baukasten von Gitterzellen . . . . . . .
10.41Die Durchschnitte an Nadelmengen für k = 2 und 3 . . . . . . . .
10.42Zum Maß der Menge an Nadeln “auf einer Ecke“ . . . . . . . . .
10.43Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.44Zählen der Schnitte mit dem Gitter . . . . . . . . . . . . . . . .
10.45Treffen des Gitters vom Rand aus . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.46Treffen des halben und ganzen Gitters von einer Geraden aus . . .
10.47Zusammenfügen zweier “halber“ Gitter zu einem “vollen“ (i) . . .
10.48Zusammenfügen zweier “halber“ Gitter zu einem “vollen“ (ii) . . .
10.49Nadeln mit gemeinsamen Treffern von C 0 und C 00 . . . . . . . . .
10.50Treffen des ganzen Gitters von Linie und des halben vom Rand aus
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248
249
249
250
251
252
252
253
255
255
256
256
257
259
260
263
263
264
264
265
265
266
266
267
270
275
277
278
279
279
280
281
282
283
284
285
285
285
286
286
11.1
11.2
11.3
11.4
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287
291
292
294
Gitter von Punkten auf einer Linie . . . . . . . . . . . . .
Fallunterscheidungen und -bezeichnungen für k = 1 Schnitt
“Günstige“ Nadelbewegungen für k = 1 im Fall I.3 . . . .
Nadelbewegungen im Fall 1.2 . . . . . . . . . . . . . . .
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ABBILDUNGSVERZEICHNIS
11.5 Nadelbewegungen im Fall 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Nadelbewegungen im Fall 3.4 am linken Rand . . . . . . . . . . . . . .
11.7 pk für m = 5 und k = 0, 1, ..., 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Abfolge an Fällen in Abhängigkeit von α . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9 Abfolge an Fällen in Abhängigkeit von α als gerichteter Graph . . . . .
11.10Punktgitter mit identifizierten Anfangs- und Endpunkt . . . . . . . . .
11.11Zufallsexperiment IV in kompakter Darstellung . . . . . . . . . . . . .
11.12pk für m = 5 und k = 0, 1, 2, 3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.13Disjunkte Mengen an Nadeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.14Erwartungswerte im offenen (gestrichelt) und geschlossenen Gitter für verschiedene m = 2, 3, 4 und 5 über α . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.15oben: pk für m → ∞ über α und k; unten: von α = 1/3 bis 1/2 . . . . .
xv
.
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295
296
298
299
300
301
301
304
305
. 307
. 308
A.1 Festlegung und Transformation einer Ebene durch den Fußpunkt F . . . . 339
A.2 Ebene in der Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
xvi
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Teil I
Buffon im Wandel der Gitter
1
EINFÜHRUNG
3
Einführung
…
Von dem Naturforscher Georges Louis Leclerc Graf von Buffon (1707-1788) stammt
das folgende, in unsere heutige Sprache übersetzte Problem 1 : Es ist die Wahrscheinlichkeit p zu ermitteln, mit der eine zufällig geworfene Nadel der Länge l eine der
Geraden eines Gitters aus Parallelen im Abstand a > l nach Bild 1 schneidet.
Gitter
8
…
Ra
Nadeln H
a
…
…
a
Bild 1: Der Nadelwurf Buffons
Die Lösung dieses Problem ist gut dokumentiert, vgl. etwa [3], [4] oder auch [6],
und soll hier nur kurz ein weiteres mal beleuchtet werden, da wir die hierbei intuitiv
eingesetzten Begriffe in unserer weiteren Betrachtung im Sinne der Integralgeometrie
und der Stochastik verfolgen und präzisieren werden.
Aufgrund der Homogenität oder Isotropie des Gitters in horizontaler Richtung
genügt es, einen Nadelwurf nach Bild 2 zu betrachten, d.h. der Mittelpunkt der Nadel
falle in gleichverteilt zufälliger Weise auf das Intervall [0, a] der y-Achse. Ebenso stelle
sich der Fallwinkel ϕ als gleichverteilt zwischen 0 und 180◦ ein. Offensichtlich ergibt
sich ein Schnitt mit den Fugen, wenn eine der Bedingungen
0 ≤ y ≤
1
2
l sin ϕ
oder
a − 12 l sin ϕ ≤ y ≤ a
(1)
erfüllt ist, d.h. der Nadelmittelpunkt insgesamt auf eine Länge von 2 · 21 l sin ϕ des
Intervalls [0, a] fällt.
1
Tatsächlich hat Buffon in seiner Fragestellung die Gewinnaussichten zweier Spieler zur Debatte
gestellt, die über den Ausgang des Wurfes der Nadel bzgl. des Treffens der Bodenfuge, d.h. des Gitters, eine Wette abgeschlossen haben: Welchen Abstand a hat die Bogenfuge aufzuweisen, damit bei
einer gegebenen Nadellänge l die Wette als fair gelten kann, also beide Spiele eine Gewinnaussicht
von 50 % haben?
Das ist insofern interessant, als dass auch Blaise Pascal mit seinen grundlegenden Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung seinen Ausgang und Anfang im Spiel fand, und zwar bekanntlich über die Fragestellung der Aufteilung eines vereinbarten Einsatzes bei einem Glücksspiel und
eingetretenem Spielabbruch.
Das Spiel steht also auch hier am Anfang der Untersuchungen und kann über den “spielenden
Menschen“ hinaus auch im naturalistischen Sinne als Teilhabe an einem Spiel in der Natur und
nach Spielregeln dieser (M. Eigen, [59]) als strukturschaffendes Konstrukt aufgefasst werden.
4
EINFÜHRUNG
Dieses Ereignis der “günstigen“ Fälle ist nun über alle Winkel ϕ zu mitteln
und zu allen “möglichen“ Ereignissen des Nadelwurfes zwischen 0 ≤ y ≤ a und
0 ≤ ϕ ≤ π ins Verhältnis zu setzen. Das führt uns zu der Wahrscheinlichkeit
Rπ
l sin ϕ dϕ
2l
ϕ=0
p = Rπ
=
(2)
πa
a dϕ
ϕ=0
für das Treffen der Nadel einer Fuge in Abhängigkeit des Abstandes der Fugen
voneinander und der Nadellänge.
y
a
l/2
j
H
(l /2) sin j
0
Bild 2: Zufälliger Wurf des Nadelmittelpunktes und Fallwinkels
Die Größe p kann nach Bild 3 auch als ein Verhältnis von Flächen aufgefasst
werden. Die in Mathematica erzeugte Graphik zeigt für den konkreten Fall von a = 3
und l = 2 < a die Verläufe der Funktionen 21 l sin ϕ und a − 12 l sin ϕ. Nach den
Bedingungen (1) stellt sich nämlich ein “Treffer“ zwischen Nadel und Gitterfugen
genau dann ein, wenn das Paar der gleichverteilten Zufallsvariablen (y, ϕ) in den mit
Tu und To gekennzeichneten Flächen des “Parameterraums“ einer Nadel zu liegen
kommt.
3
a=3
To
Achse y
2.5
Treffer
2
1.5
l =1
2
1
0.5
0
Treffer
0.5
1
1.5
Tu
Winkel ϕ
2
π
2.5
Bild 3: Flächen im Parameterraum
3
EINFÜHRUNG
5
Das Ergebnis (2) ist aus mehreren Gründen bemerkenswert:
• Für die Berechnung von p wurde die zur Zeit Buffons noch moderne Disziplin
der Infinitesimalrechnung eingesetzt,
• schon zu Beginn des ebenfalls noch jungen Gebietes der Stochastik standen
Fragestellungen der geometrischen Wahrscheinlichkeiten im Zentrum der Aufmerksamkeit und
• die sehr intuitiv eingesetzten oder besser noch: vorausgesetzten Begriffe gaben
Anlass zu Paradoxien, Kontroversen und schließlich Fundierung der Begriffe
im Sinne der Integralgeometrie,
• außerdem sei noch bemerkt, dass es die Beziehung (2), nach π umgestellt,
erlaubt, die Kreiszahl statistisch zu bestimmen, wenn p im Sinne relativer
Häufigkeiten nnNT als Quotient aus der Anzahl der die Fugen treffenden Nadeln
nT zur Gesamtzahl nN aller Nadelwürfe ermittelt wird: π ≈ 2la nnNT .
Bzgl. der vorletzten Anmerkung sei zum Beispiel auf zwei der Paradoxien von
Joseph Bertrand hingewiesen, der zunächst nach der Wahrscheinlichkeit fragte, mit
der zwei zufällig ausgewählte Punkte auf einer Kugel in ihrem Abstand voneinander
unterhalb eines vorgegebenen Winkels bleiben, vgl. [70].
P1
P1
P1
Bild 4: Der Abstand zweier Punkte auf der Kugeloberfläche
Dabei legte er zunächst einen Punkt P1 auf der Kugel fest und bestimmte anschließend die Wahrscheinlichkeit für einen zweiten zufälligen Punkt, der die angegebene Bedingung erfüllt auf zwei verschiedene Weisen nach Bild 4, links und mitte:
Einmal als Verhältnis der schraffierten Fläche zur Kugeloberfläche, ein anderes mal
als Bogenlänge auf einem Kreis durch P1 , die durch den vorgegebenen Winkel abgegrenzt wird. Dabei ist der zweite Ansatz, ein Kreis durch P1 gehend als maßgebend
für die Menge der “günstigen“ Punkte P2 mit ∠(P1 , P2 ) kleiner als die Vorgabe
anzusehen, fehlerhaft, wie Émile Borel bemerkte, der nach dem rechten Bildteil 4
argumentierte, dass dann sofort mehrere Kreise für die Menge der “günstigen“ Punkte in Betracht kommen und nur das Flächenmaß zu einem richtigen Ergebnis führt.
6
EINFÜHRUNG
Als das Bertrandsche Paradoxon, vgl. zum Beispiel [4], [6] und [43], ist nun folgendes Problem mit seinen “drei Lösungen“ in die Literatur eingegangen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine “zufällig“ in einem Einheitskreis gezogene Sehne
länger sein als die Seite eines dem Kreis einbeschriebenen√gleichseitigen Dreiecks?
Bezeichne l die Länge der Sehne, so wird also nach p(l > 3) gefragt, siehe Bild 5.
l
1
Ö3
Bild 5: Problemstellung: Bertrandsches Paradoxon
Um wieder den Begriff “zufällig“ bei einer unendlichen Menge von “Versuchsergebnissen“ zu kritisieren, gab Bertrand die drei folgenden verschiedenen Lösungen
an! Dabei betrachtet er zunächst Geraden auf den Kreis, die eine entsprechende
Sehne mit diesen bilden.
Lösung 1: Werden alle Richtungen, in die eine Gerade den Kreis trifft, als gleichberechtigt gesehen, brauchen wir nur Geraden zu betrachten, die zu einem Durchmesser des Kreises senkrecht
liegen. Nach Bild 6 bringen dann diejenigen Geraden
√
eine Sehne mit l > 3 hervor, die den Durchmesser in dem mit “1“ markierten
Bereich treffen. Im Verhältnis zu allen unter dieser Richtung möglichen Geraden,
die den Durchmesser auf Länge “2“
√ treffen, haben wir damit p durch folgendes
Längenverhältnis gewonnen: p(l > 3) = 12 .
l
1
2
Bild 6: Zur Lösung 1
Lösung 2: Wenn alle Schnittpunkte auf dem Kreisumfang als gleichberechtigt betrachtet werden, können wir einen auszeichnen und uns alle Geraden durch ihn hindurchlaufend vorstellen. Dann werden
√ diejenigen Geraden durch diesen Punkt nach
Bild 7 eine Sehne der Länge l > 3 ausschneiden, die in dem gekennzeichneten
“mittleren“ Winkelbereich von 60◦ verlaufen. Die Menge aller möglichen Sehnen
EINFÜHRUNG
7
bzw. Geraden durch diesen Punkt bleiben im
von 180◦ , so dass sich
√ Winkelbereich
p nun als Winkelverhältnis bestimmt: p(l > 3) = 13 .
l
180 o
60 o
Bild 7: Zur Lösung 2
Lösung 3: Schließlich werden die Mittelpunkte der Sehnen im Kreis als gleich√
berechtigt angesehen. Dann haben alle Sehnen eine größere Länge l als 3, deren
Mittelpunkte in den Kreis fallen, der dem gleichseitigen Dreieck einbeschrieben ist.
Dieser Kreis ist vom Radius 1/2 und sein Flächeninhalt beträgt
ein Viertel des
√
Einheitskreises. Man erhält p so als Flächenverhältnis: p(l > 3) = 14 .
l
Bild 8: Zur Lösung 3
Die unterstrichenen Textstellen markieren, was hier jeweils als zufällig betrachtet
wurde und was doch letztlich nicht als gleichberechtigt angesehen werden kann: In
allen drei “Lösungen“ wird ein anderes Zufallsexperiment ausgeführt.
Diese Diskussionen mündeten in der Erkenntnis Cartans und Poincarés, dass es
zur Erfassung der Ereignisse bzgl. geometrischer Objekte eines bewegungsinvarianten Maßes bedarf, vgl. [7], das sich bei “kongruenten Bewegungen“ nicht ändert. Im
ersten Kapitel werden wir diese Betrachtungen aufgreifen und für die hier eingesetzten Testobjekte solche
Maße auch bestimmen. Damit kann im integralgeometrischen
√
Sinne nur p(l > 3) = 21 als das konsistente und eindeutige Ergebnis nachgewiesen
werden, wenn über die “Zufälligkeit der Sehne“ sonst nichts weiter gesagt wird 2 –
wir werden darauf am Ende des ersten Kapitels zurückkommen.
2
Natürlich kann man auch auf Basis der Lösungen 2 und 3 “spezielle“ Zufallsexperimente ausführen, die dann gesonderte Geraden oder Punktmengen beschreiben. Aber ein adäquates Erfassen
“der Menge und des Maßes aller Sehnen“ als Teilstrecken von Geraden wird damit nicht gewährleistet.
8
EINFÜHRUNG
Auf Basis dieser Begriffsbildung nahm die Forschung einen raschen Aufschwung
und es entstanden eine Fülle von Untersuchungen zu geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Im allgemeinen wird dabei ein unbegrenzt ausgedehntes Gitter betrachtet,
auf welches in zufälliger Weise Testkörper verschiedener Form zu Fall kommen. Eine
ebenso schöne wie prägnante Übersicht der Forschungslandschaft und Ergebnisse
bietet [6]. Im einzelnen erzielen die Aufsätze [8]-[13] sehr allgemeine Aussagen über
konvexe Testkörper, in den Arbeiten [14], [15] und [16] werden Gitter höherer Dimension betrachtet oder in [17]-[26] auch von andersartigem Typ, andere Testkörper
als Nadeln werden dann in [27]-[35] behandelt und schließlich in [36]-[39] auch das
Verhalten “langer Nadeln“ in verschiedenen Gittern geklärt.
…
In unserer Untersuchung nun soll eine Art Umkehrung des ursprünglichen Problems betrachtet werden: Endliche Gitter und unbeschränkt ausgedehnte Testobjekte. Zwar werden wir im zentralen Zufallsexperiment auch wieder Nadeln bzw.
Strecken einsetzen. Doch Ausgangspunkt unserer Betrachtungen sind Geraden, die
in zufälliger Weise auf ein Parallel-Gitter begrenzter Ausdehnung fallen.
8
unbeschränktes
Gitter
endlicher Länge
von
Strecken
R a, d
a
Nadel als
Gerade G
beschränktes
(endliches)
Gitter
endlicher Länge
von
Strecken
n
R a, d
Nadel als
Gerade G
…
a
n Gitterstrecken
bzw.
m = n - 1 Zellen
d = 2r
beschränktes
(endliches)
Gitter
endlicher Länge
von
Strecken
Nadel als
Strecke H
n
R a, d
Bild 9: Parallel-Gitter begrenzter Länge mit verschiedenen Testobjekten
EINFÜHRUNG
9
Unter Parallel-Gittern begrenzter Länge werden hier Mengen verstanden, wie
sie in Bild 9 dargestellt sind. Also eine äquidistante Anordnung paralleler Strecken
unendlicher oder endlicher Anzahl:
C := {(x, y) ∈ R2 | − r < x < r, y = ν a, ν = 0, 1, 2, ... } .
n
8
Gitter
Testobjekt
8
Das Adjektiv “begrenzt“ soll also bedeuten, dass die Gitter“objekte“ bzw. Gitter“elemente“ von endlicher Ausdehnung sind. Die Testobjekte sollen dagegen (zunächst) von nicht endlicher Ausdehnung sein: es sind Geraden bzw. im Kapitel 9 sogar Ebenen, später schließlich auch wieder Nadeln, d.h. Strecken. Im linken Teil des
Bildes 9 könnte also auch von einem gewissermaßen “invertierten“ Buffon-Problem
gesprochen werden: begrenztes bzw. endliches Gitter, aber unendlich lange Nadel.
In [4] wird ebenfalls eine “unendliche Nadel“ in einem etwas anderen Kontext betrachtet (vgl. Abschnitt 1.1.7 Coleman’s Infinite Needle Problem) und rasch festgestellt, dass in einem unbegrenzt ausgedehnten Gitter die ursprüngliche Fragestellung
natürlich nicht mehr sinnvoll ist, da stets ein bzw. beliebig viele Schnitte vorliegen.
Das Bild 10 beinhaltet das konkrete Arbeitsprogramm für den Hauptteil dieser
Abhandlung. In einem Raster aus Gittern, die wir im Kapitel 2 gesondert behandeln,
und Testobjekten sind die Probleme bzw. Zufallsexperimente veranschaulicht, für
die geometrische Wahrscheinlichkeiten des k-fachen Schnittes von Testobjekt und
Parallelgitter berechnet werden.
Ra
R a, d
m
R a, d = C a, d
I
II
IV
III
Gerade G
Strecke H
Buffon
V
Bild 10: Buffon im Wandel der Gitter
Wir beginnen dabei im Kapitel 4 mit dem Zufallsexperiment I, nach dem das
Gitter aus unbegrenzt vielen Gitterstrecken besteht und das Testobjekt eine Gerade
ist. Im zweiten Problem und den nachfolgenden Kapiteln wird das Gitter auf endlich
viele Gitterelemente eingeschränkt. Die Zufallsexperimente III bis V lassen dann
auch wieder Nadeln, d.h. Testobjekte endlicher Länge zu, so dass wir am Ende der
Untersuchungen zur Buffonschen Ausgangsfragestellung zurückkehren werden.
EINFÜHRUNG
n
8
Gitter
Testobjekt
8
10
Ra
R a, d
m
R a, d = C a, d
I
II
IV
III
n
m
R a = Ca
Gerade G
Strecke H
Buffon
V
VI
Bild 11: Buffon im Wandel der Gitter – ergänzende Fälle
Tatsächlich lassen sich alle dargestellten Zufallsexperimente aus demjenigen mit
der Nummer III ableiten. Dennoch ist es reizvoll die Zunahme an Komplexität zu
beobachten, mit der die Fälle nach und nach gelöst werden, denn alle drei Zufallsexperimente I, II und III bringen ihre eigenen, speziellen Verfahren mit, die Maße
der günstigen Fälle, klassisch ausgedrückt, zu bestimmen.
Am Rande sollen auch die beiden ganz rechts im Bild 11 dargestellten Fälle
kurz behandelt werden. Dabei sind die Gitterstrecken wie im ganz links gezeigten
Typ nicht mehr von endlicher Länge, sondern parallele Geraden, jedoch sind es nur
endlich viele. Dies wird bei dem Testobjekt Gerade wieder zu trivialen Ergebnissen
führen, die aber konsistent in den hier entwickelten Zusammenhängen enthalten
sind. Als einfache nichttriviale Erweiterung des Zufallsexperiments III kann dann
das hier mit VI bezifferte Problem abgehandelt werden. Einmal mehr erweist sich
der Fall III als das zentrale Ergebnis der hier angestellten Arbeit. Die Reihenfolge
unseres Vorgehens in den einzelnen Abschnitten geben die hell unterlegten Pfeile in
den Bildern 10 und 11 vor. Die dunklen Pfeile zeigen dagegen an, welche Resultate
aus welchem Zufallsexperiment durch Grenzwertbetrachtung zu gewinnen sind.
Wie oben bereits in einer Fußnote versteckt angemerkt, wirkt die Fragestellung
(evtl. weniger die Untersuchung selbst) scheinbar spielerischer Natur und nahm ja
tatsächlich auch dort ihren Ausgangspunkt. Interessant vor diesem Hintergrund ist
der Artikel [63] der “nadelwerfenden Ameisen“! Die Ameisenart Leptothorax albipennis lebt in Felsspalten und bei einem anstehenden Umzug einer Kolonie werden
Späher ausgesandt, die eine geeignete neue Höhle suchen. Dabei bedeutet “geeignet“,
dass die Kolonie eine bestimmte Größe der Höhle bevorzugt. Untersuchungen nun
haben gezeigt, dass die Ameisen dabei im Sinne der stochastischen Geometrie vorgehen: Sie legen zunächst Pheromonspuren durch die auszuspähende Höhle (bilden
also ein Gitter) und erfassen durch die anschließend erneut ausgewanderte Höhle
die Größe dieser, indem sie die Kreuzungen (Nadelwurf) mit dem Gitter erfassen.
(Anm.: Letztlich wird dabei im Sinne der Erweiterung des Buffonschen Experiments
von Mantel, vgl. [55] oder auch [4], S. 28, Punkt 1.1.13, gearbeitet.)
EINFÜHRUNG
11
Dieses raffinierte Vorgehen kennzeichnet generell ein Hauptanwendungsfeld der
stochastischen Geometrie: die stereologische Sondierung des Inneren einer konvexen
Menge aus wenigen Informationen oder das wahrscheinlichkeitstheoretische Erfassen
von Sieb- und Filtervorgängen. Damit fällt insbesondere das in Kapitel 8 ausgearbeitete Konzept in das Gebiet der Monte-Carlo-Methode, vgl. [50], welche das Zufallsexperiment III nicht analytisch behandelt, sondern fleißige Ameisen losschickt,
das Gitter mit Nadeln zu bewerfen.
Damit wird auch hier deutlich, dass die Mathematik in dem Spannungsfeld steht,
oder besser: dieses erst ausmacht, die Welt durch Modelle zu (re)konstruieren, die
Modelle dann in nuce zu studieren und so das Denkbare und Mögliche zusammenzuführen.
Anmerkungen: Zum Sprachgebrauch und einige Vereinbarungen
∗ Der Begriff “Problem“ im engeren Sinne für die Fälle nach den Bildern 10
und 11 und “Zufallsexperiment“ wird gelegentlich synonym gebraucht. Dabei meint
aber der Begriff “Problem“ eher die konkreten in den Kapiteln 4 bis 7 formulierten
und abgehandelten Fragestellungen, während “Zufallsexperiment“ sich mehr an den
geometrischen Verhältnissen orientiert, die Testobjekte und Gitter auch losgelöst
von Problemen betrachtend.
∗ In den kurzen Angaben zur Lösung des Buffonschen Problems ist zu bemerken,
dass es genügt hätte, über einen Winkelbereich von 0 bis π2 zu integrieren, weil die
geometrische Situation völlig symmetrisch ist. Dieses Vorgehen werden wir auch
im Haupttext verfolgen und grundsätzlich die stets vorhandene Achsensymmetrie
senkrecht zum Gitter nutzen, vgl. Abschnitt 3.3.
∗ Für den Fall, dass zwei Mengen – i.a. eine geeignet definierte konvexe Menge
bzgl. des Gitters und das Testobjekt in Form von Geraden oder Strecken – einen gemeinsamen Punkt besitzen, sprechen wir synonym auch abkürzend davon, dass diese
beiden Mengen sich treffen. Das ist im Zusammenhang mit der zufällig geworfenen
Buffonschen Nadel sicher sehr anschaulich.
∗ Ein endliches Gitter paralleler Strecken besteht aus n Gitterstrecken. Ebenso
kann man sich ein solches Gitter auch aus m Zellen zusammengesetzt vorstellen, wobei n = m + 1 gilt. Wir verwenden beide Anzahlen je nach Kontext und gebrauchen
dafür immer die Bezeichnungen n für die Anzahl der Gitterstrecken und m = n − 1
für die das Gitter ausmachenden Zellen. Tatsächlich formulieren wir dann die geometrischen Wahrscheinlichkeiten in den Kapiteln 5 und folgende mit der Anzahl m,
was sich als “natürlicher“ gestaltet, weil vor allem die Höhe ma des Gesamtgitters
eine wesentliche Rolle spielt.
∗ Das Kapitel 9 enthält die Betrachtung von Kreisgittern auf einem Zylinder
und den Schnitt mit zufälligen Ebenen. Das kann durchaus als Beitrag gesehen werden, stochastische Geometrie auf Mannigfaltigkeiten zu treiben. Wobei wir eher die
Schnitte von Objekten mit der Mannigfaltigkeit studieren, die aus dem sie einbettenden Raums stammen. Im letzten Kapitel von [3], Punkt 4 auf Seite 350 wird
diskutiert, wie man Integralgeometrie auch auf Flächen formulieren kann, wobei
12
EINFÜHRUNG
auf dem Begriff der Geodätischen aufgebaut wird. Abschnitte einer solchen Kurve
spielen die Rolle von Testelementen auf der Fläche, die gemessen werden können.
Ein bewegungsinvariantes Maß auf der Fläche wird man allerdings nur erhalten und
sicherstellen können, wenn bei “kongruenten Bewegungen“ auf der Fläche auch immer eine Geodätische existiert! Damit allerdings wäre dann auch eine stochastische
Geometrie in der Mannigfaltigkeit möglich, ohne auf die Einbettung Bezug nehmen
zu müssen oder diese zu kennen.
Anmerkungen zum Einsatz von Mathematica
Das Programm Mathematica wurde wieder auf breiter Ebene eingesetzt: als Berechnungsprogramm für die im Text vorkommenden Maße, als Plotprogramm für
funktionale Zusammenhänge und Diagramme und im Kapitel 8 auch als Simulationssoftware für ein rechnergestütztes Zufallsexperiment, wobei es in Mathematica
eher darum ging, einen Prototypen für die Simulation bzw. Monte-Carlo-Methode
zu entwickeln.
Der Anhang B stellt einige Konzepte und Hintergründe für den Einsatz von Mathematica in dieser Arbeit näher vor. Die Simulation des Zufallsexperiments III aus
Kapitel 6 auf Basis von Mathematica wird im Abschnitt 8.2.1 behandelt, wobei dort
vor allem auf die geometrische Modellierung, die Umsetzung und Durchführung des
rechnergestützten Experiments eingegangen wird. Der Anhang beinhaltet darüber
hinausgehend einige statistische Eigenschaften der Simulation und beleuchtet den
Zusammenhang zwischen dem Simulationsaufwand und der erzielten Rechengenauigkeit.
Kapitel 1
Grundlagen aus der
Integralgeometrie
1.1
Geometrische Wahrscheinlichkeiten
Das Gebiet der geometrischen Wahrscheinlichkeiten, auch als stochastische Geometrie bezeichnet, trifft Aussagen über Ereignisse, die geometrische Objekte in zufälliger Weise kombinieren. Ein klassisches Beispiel ist der in der Einführung behandelte
Nadelwurf Buffons.
In diesem Kapitel sollen die Grundlagen der Disziplin beleuchtet und soweit
bereit gestellt werden, dass wir zusammen mit den Inhalten des folgenden Kapitels
im zweiten Abschnitt dieses Bandes in die eigentlichen und neuen Untersuchungen
einsteigen können.
Grundlage jeder stochastischen Fragestellung ist nach modernem Verständnis das
Aufstellen eines Maßraumes (Ω, S, µ) bestehend aus einer Grundmenge Ω, einem
Mengensystem S hierüber in Form einer σ-Algebra und einem Maß µ : S → R
hierauf, das
(i)
µ(∅) = 0,
(ii)
µ(S) ≥ 0 für alle S ∈ S,
(iii)
P∞
Sν ∈ S, ν ∈ N, paarweise disjunkt mit
ν=1 Sν ∈ S
P∞
P
(σ-Additivität)
=⇒ µ( ∞
ν=1 µ(Sν )
ν=1 Sν ) =
erfüllt. Der hierin enthaltene Messraum (Ω, S) wird in unserem Fall geometrischer
Untersuchungen einfacherweise Ω := Rn und I n als Halbring der rechts halboffenen
Intervalle in Rn sein, so dass
S := B = σ(I n )
die Borelsche σ-Algebra ist. Dabei ist n die Parameterdimension, mit der die geometrischen Testobjekte erfasst werden – nicht die Dimension, in der die Testobjekte beheimatet sind! Beide Dimensionen mögen unter Umständen durchaus zusammenfallen (Geraden), aber dies muss keineswegs immer der Fall sein (Nadeln bzw.
13
14
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Strecken). Im übernächsten Abschnitt werden wir konkrete Angaben diesbzgl. für
die hier ausgewählten Testobjekte machen.
Dieses Mengensystem über den Parameterraum Ω = Rn sichert uns in natürlicher
Weise ein Maß
Z
µ(S) =
f (u1 , u2 , ..., un ) du1 ∧ du2 ∧ ... ∧ dun
(1.1)
S
als Integral über eine Dichte f : Ω → R, die je nach Testobjekt geeignet auszuwählen
ist, was im nächsten Abschnitt weiter beleuchtet werden soll.
Als geometrische Wahrscheinlichkeit wird jetzt damit das auf den Messraum
(D, S) definierte W-Maß
µ(S)
p(S) =
µ(D)
aufgefasst. Nach Bild 1.1 beinhaltet D damit eine geeignete Einschränkung im Parameterraum Ω und beschreibt als Grundmenge alle Testobjekte, die ein bestimmtes
Grundereignis erfüllen – etwa die Nadeln im Buffonschen Zufallsexperiment, welche
die Elementarzelle treffen, während die Menge aller Nadeln, die überhaupt in die
Ebene fallen, ohnehin unbegrenzt und nicht sinnvoll zu nutzen ist.
W
S
D
Bild 1.1: Mengen im Parameterraum
Die Menge S kennzeichnet weiter eine Teilmenge von Testobjekten aus dieser
Grundmenge, die ein definiertes Ereignis erfüllen – um im Buffonschen Experiment
zu bleiben: die Menge an Nadeln (mit Mittelpunkt) in der Elementarzelle, die auch
die Gitterfuge treffen.
Bevor wir zu konkreten Berechnungen kommen, sind nun die Anforderungen an
das oben eingeführte und als Grundlage der Definition geometrischer Wahrscheinlichkeiten dienende Maß zu diskutieren und festzulegen.
1.2
Bewegungsinvariante Maße
Wie in der Einführung erwähnt, gaben Cartan und Poincaré mit dem “bewegungsinvarianten Maß“ die Antwort darauf, mit welcher Eigenschaft eine Funktion beschaffen zu sein hat, die geometrische Objekte in adäquater Weise zu messen versucht,
um Paradoxien vom Typ Bertrands zu vermeiden.
1.2. BEWEGUNGSINVARIANTE MASSE
15
Allgemein formuliert hat das Maß µ in (1.1) invariant zu sein, wenn das geometrische im Rm eingebettete Testobjekt T ⊂ Rm einer Operation T aus der Gruppe der
affinen, maßstabserhaltenden Transformationen (O(m), Rm ) unterworfen wird. Das
bedeutet, wenn die Menge der Ortsvektoren ~x ∈ T 1 eines mit dem Parametersatz
(u1 , u2 , ..., un ) bzw. der Differentialform ω = f (u1 , u2 , ..., un ) du1 ∧ du2 ∧ ... ∧ dun
festgelegten Testobjektes T über
T (T ) : ~x∗ = A~x + ~s , A ∈ O(m) , ~s ∈ Rm ,
rotiert, reflektiert und/oder verschoben wird, dass sich dann bzgl. des dabei transformierten Parametersatzes
(u∗1 , u∗2 , ..., u∗n ) bzw. der Differentialform
ω ∗ = f ∗ (u∗1 , u∗2 , ..., u∗n ) du∗1 ∧ du∗2 ∧ ... ∧ du∗n
das Maß (1.1) unverändert verhält, d.h. wenn
Z
Z
µ(S) =
ω ∗ = µ(S ∗ )
ω=
S
S∗
gilt. Mit der Transformationsformel für L-Integrale formuliert diese Beziehung über
Z
µ(S) =
f (u1 , u2 , ..., un ) du1 ∧ du2 ∧ ... ∧ dun
Z
S
=
Z
S∗
=
f ∗ (u∗1 , u∗2 , ..., u∗n ) du∗1 ∧ du∗2 ∧ ... ∧ du∗n
f (u1 , u2 , ..., un )
S∗
∂(u1 , u2 , ..., un ) ∗
du1 ∧ du∗2 ∧ ... ∧ du∗n
∗
∗
∗
∂(u1 , u2 , ..., un )
somit gerade die Anforderung
f ∗ (u∗1 , u∗2 , ..., u∗n ) = f (u1 , u2 , ..., un )
∂(u1 , u2 , ..., un )
∂(u∗1 , u∗2 , ..., u∗n )
f (u1 , u2 , ..., un ) = f ∗ (u∗1 , u∗2 , ..., u∗n )
∂(u∗1 , u∗2 , ..., u∗n )
∂(u1 , u2 , ..., un )
bzw.
(1.2)
an unser bewegungsinvariantes Maß µ bzw. an die bewegungsinvariante Dichte f ,
1
Um zwischen dem objektbeschreibenden Parameterraum Ω, bzw. einem Parametersatz ξ =
(ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Ω, und dem geometrischen Raum Rm , in dem die Testobjekte sich bewegen, leichter
unterscheiden zu können, wählen wir für die Ortskoordinaten bzw. Vektoren ~x = (x1 , x2 , ..., xm )T
im Rm das Pfeilsymbol aus.
16
wobei
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
¯
¯
¯
¯
∗
∗
∗
∂(u1 , u2 , ..., un ) ¯¯
J=
=
∂(u1 , u2 , ..., un ) ¯¯
¯
¯
∂u∗1
∂u1
∂u∗2
∂u1
∂u∗1
∂u2
∂u∗2
∂u2
···
∂u∗n
∂u1
∂u∗n
∂u2
···
..
.
..
.
···
...
∂u∗1
∂un
∂u∗2
∂un
..
.
∂u∗n
∂un
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
die Jacobische Funktionaldeterminante ist.
Bei den Testelementen unseres zentralen zweiten Teils dieser Arbeit handelt es
sich um Geraden und Strecken – diesen wenden wir uns nun zu und leiten invariante
Maße hierauf ab.
1.3
1.3.1
Testelemente von Geraden und Strecken in
der Ebene
Geraden in der Ebene
Die Testelemente unserer ersten beiden Zufallsexperimente sind Geraden in der Ebene, daher soll für verschiedene Formen dieser Objekte ein invariantes Maß auf Basis
der Aussagen des letzten Abschnittes bestimmt werden. Die ausgewählten Formen
für die Gerade G und die Parameter sind dabei
(i)
Angabe des Fußpunktes ~n = (ξ, η)T , (ξ, η) ∈ Ω,
(ii)
Achsenabschnittsform
x
a
+
y
b
= 1, (a, b) ∈ Ω,
(iii) Normalform der Art ux + vy + 1 = 0, (u, v) ∈ Ω,
(iv) Steigungsform der Art y = x tan ϕ + b, (ϕ, b) ∈ Ω,
(v)
Hessesche Normalform x cos θ + y sin θ = ρ, (ρ, θ) ∈ Ω,
wobei die Parameter jeweils die Form von Zufallsvariablen annehmen können und
dadurch zufällige Geraden (sogen. random lines) beschreiben – es sei angenommen,
dass die Geraden nicht durch den Ursprung verlaufen. Hierbei ist die Dimension des
Parameterraumes gleich der des Objektraumes, d.h. gleich der Ebene und beträgt
daher 2.
(i) Wir beginnen mit der Bestimmung des bewegungsinvarianten Maßes für eine
Gerade G, die über ihren Fußpunkt F nach Bild 1.2 festgelegt wird, da für diese Form
die Bewegung besonders plastisch zu beschreiben ist. Dabei bezeichnet ~n = (ξ, η)T
den Ortsvektor des Punktes F 6= 0 und ~no den Einheitsnormalenvektor auf G.
Für die Ortsvektoren ~r = (x, y)T ∈ G gilt dann die Beziehung h ~n, ~r − ~n i = 0,
bzw. die daraus zu gewinnende Definitionsgleichung
h ~no , ~r i = k ~n k =: ρ .
1.3. TESTELEMENTE VON GERADEN UND STRECKEN IN DER EBENE 17
y
no
T
T
F
r
G
T
n
0
x
Bild 1.2: Festlegung einer Geraden durch den Fußpunkt F
Die Gerade G soll nun durch eine affine Transformation aus (O(2), R2 ) bewegt
werden, d.h. für die Ortsvektoren ~r ∈ G und der transformierten Gerade ~r ∗ ∈ G ∗
gilt
~r ∗ = A~r + ~s mit det A = ±1 .
(1.3)
Das Bild 1.3 zeigt die so transformierte Gerade G ∗ als Folge einer Rotation um den
Winkel φ, d.h.
µ
¶
cos φ − sin φ
A=
,
sin φ
cos φ
und einer Verschiebung um den Vektor ~s. Der originale Fußpunkt F wird dabei in
den Punkt A abgebildet, der i.a. vom Fußpunkt F∗ der Geraden G ∗ verschieden ist
– dieser neue Fußpunkt aber beinhaltet die transformierten Parameter über seinen
Ortsvektor ~n∗ = (ξ ∗ , η ∗ )T .
To
n
y
*
G*
F*
A
T
n*
no
T
T
s
F
f
T
n
0
G
x
Bild 1.3: Drehung und Verschiebung von G
Es ist nun unser Ziel, die Parameter (ξ, η) der originalen Gerade und (ξ ∗ , η ∗ ) der
transformierten über eine Beziehung zu verknüpfen, so dass wir zu einer Aussage im
Sinne (1.2) über die Dichte fi dieser Geradenform kommen.
Dazu stellen wir zwischen den Normalen- bzw. Fußpunktvektoren ~n und ~n∗ mit
Hilfe der orthogonalen Projektion folgenden Zusammenhang her:
~n∗ = h ~no∗ , ~r ∗ i ~no∗
18
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
mit h ~no∗ , ~r ∗ i als Abstand der Geraden G ∗ vom Ursprung. Wegen ~no∗ = A~no folgt
daraus mit der Geradengleichung (1.3) und ~r ∗ = ~a, also den Ortsvektor des Punktes
A, nun die Beziehung
~n∗ = h A~no , A~n + ~s i A~no
1
h A~n, A~n + ~s i A~n
k ~n k2
´
1 ³
h A~n, A~n i + h A~n, ~s i A~n
=
k ~n k2
´
1 ³
2
=
k
~
n
k
+
h
A~
n
,
~
s
i
A~n
k ~n k2
³
h A~n, ~s i ´
A~n ,
= 1+
k ~n k2
=
(1.4)
wobei das Produkt AT A = I die Einheitsmatrix ergibt, weil A ∈ O(2). Dies ist also
die Beziehung zwischen den Fußpunkten zweier Geraden, die durch eine Bewegung
(A, ~s) auseinander hervorgehen. Kürzen wir
~n0 := A~n
und
h := 1 +
h ~n0 , ~s i
k ~n k2
(1.5)
¡ a12 ¢
ab und schreiben komponentenweise A = aa11
∈ O(2), so ist nun für die Glei21 a22
chung
¶
µ 0¶
µ
ξ
a11 ξ + a12 η
∗
0
~n = h ~n = h 0 = h
a21 ξ + a22 η
η
die Jacobische Funktionaldeterminante zu bestimmen:
¯ ∗
¯
¯
¯
∂ξ ∗
∂ξ
¯ h ξ 0 + ha
¯
0
h
ξ
+
ha
∂~n∗
∂(ξ ∗ , η ∗ ) ¯¯ ∂ξ ∂η ¯¯
11
η
12 ¯
¯ ξ
=
= ¯ ∂η∗ ∂η∗ ¯ = ¯
¯
¯ ∂ξ ∂η ¯
¯ hξ η 0 + ha21 hη η 0 + ha22 ¯
∂~n
∂(ξ, η)
¡
¢
= h · hξ (ξ 0 a22 − η 0 a12 ) + hη (−ξ 0 a21 + η 0 a11 ) + h(a11 a22 − a21 a12 )
µ ¶
¢
¡ ³ a22 −a12 ´ ξ 0
+ h det A
= h · ∇h
0
−a21
a11
η
µ ¶
¡ ³ a22 −a12 ´³ a11 a12 ´ ξ
¢
= h · ∇h
±h
−a21
a11
a21 a22
η
µ
¶
¡ ³ det A
¢
0 ´ ξ
= h · ∇h
±h
0
det A
η
¡
¢
= ± h · h ∇h, ~n i + h ,
wobei sich det A = ±1 je nach der Art der Transformation einstellt: das positive
Vorzeichen ergibt sich bei einer bloßen Drehung, das negative bei einer Spiegelung.
1.3. TESTELEMENTE VON GERADEN UND STRECKEN IN DER EBENE 19
Zur abschließenden Auswertung dieses Ausdrucks bestimmen wir zunächst den
Gradienten des Faktors h im Skalarprodukt mit dem Vektor ~n des Fußpunktes:
h ∇h, ~n i = ξ hξ + η hη =
= −
h A~n, ~s i − 2h A~n, ~s i
ξ 2 + η2
h A~n, ~s i
= 1 − h.
k ~n k2
Damit ist nun endlich
¡
¢
∂(ξ ∗ , η ∗ )
= ± h · 1 − h + h = ±h
∂(ξ, η)
(1.6)
gewonnen. Gemäß der Forderung (1.2) gilt also
fi (ξ, η) = fi∗ (ξ ∗ , η ∗ )
∂(ξ ∗ , η ∗ )
= ±h fi∗ (ξ ∗ , η ∗ ) .
∂(ξ, η)
(1.7)
Aus der Beziehung (1.4) und der Definition (1.5) für den Faktor h ergibt sich außerdem
k ~n∗ k = | h | k ~n k ,
was zusammen mit (1.7) zu
¯f ¯
k ~n∗ k
¯ i ¯
¯ ∗ ¯ = |h| =
fi
k ~n k
führt. Daraus entnehmen wir nun die entscheidende Aussage, dass für die gesuchte
Dichtefunktion fi die Proportionalität
fi ∼ ci
1
1
= ci p
, ci ∈ R\{0} ,
k ~n k
ξ 2 + η2
zu gelten hat, damit ein auf die Geradengleichung
ξ x + η y = ξ 2 + η2
(1.8)
in der Fußpunktform gemünztes Maß
Z
µ(S) =
fi (ξ, η) dξ ∧ dη
S
über eine Menge S von Geraden bewegungsinvariant ist! Wir haben also folgenden
Satz gewonnen, der noch einmal unser Ergebnis zusammenfasst:
1
Satz 1.3.1.1. Es ist fi = ci (ξ 2 + η 2 )− 2 die bewegungsinvariante Dichte für eine
Menge von Geraden in der Ebene in der Fußpunktform (1.8) und
dξ ∧ dη
dG = ci p
ξ 2 + η2
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Geraden in dieser Form,
wobei ci ∈ R\{0} eine Konstante ist.
20
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Nach dieser rigorosen Ableitung einer Dichtefunktion und der Beziehung (1.2)
sind die Angaben der Dichtefunktionen für die übrigen Formen von Geraden in der
Ebene rasch erledigt.
Im nächsten Schritt wenden wir uns den beiden Achsenabschnittsformen nach
Bild 1.4 zu.
y
y
b
G
0
G
-1/v
a
0
x
-1/u
x
Bild 1.4: Geraden in der Achsenabschnittsform (ii) und (iii)
(ii) Eine Gerade in der Achsenabschnittsform xa +
Parametern der Fußpunktform (1.8) zu
x
y
+ ξ2 +η2 = 1
ξ 2 +η 2
ξ
y
b
= 1, a, b 6= 0, kann aus den
η
aufgestellt werden, so dass
ξ 2 + η2
ξ 2 + η2
a = a(ξ, η) =
und b = b(ξ, η) =
ξ
η
und weiter
¯
¯
∂(a, b)
¯
dξ ∧ dη = ¯
da ∧ db =
¯
∂(ξ, η)
∂a
∂ξ
∂b
∂ξ
∂a
∂η
∂b
∂η
(1.9)
¯
¯
(ξ 2 + η 2 )2
¯
dξ ∧ dη
¯ dξ ∧ dη = −
¯
ξ 2 η2
gilt. Daraus gewinnen wir mit den aus (1.9) folgenden Beziehungen
1
1
a2 + b2
1
+
=
= 2
2
2
2
2
a
b
a b
ξ + η2
⇒
ξ=
a b2
a2 b
,
η
=
a2 + b2
a2 + b2
den Zusammenhang
dξ ∧ dη
ξ 2 η2
ab
dG = p
=− 2
da ∧ db = − 2
da ∧ db
2
5/2
2
2
(ξ + η )
(a + b2 )3/2
ξ +η
(1.10)
für das Dichteelement einer Geraden in der Ebene nach der Achsenabschnittsform.
Wir fassen das Resultat wieder zusammen im
ab
Korollar 1.3.1.2. Es ist fii = cii (a2 +b
2 )3/2 die bewegungsinvariante Dichte für eine
Menge von Geraden in der Ebene mit den Achsenabschnitten a und b und
dG = cii
(a2
ab
da ∧ db
+ b2 )3/2
1.3. TESTELEMENTE VON GERADEN UND STRECKEN IN DER EBENE 21
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Geraden in dieser Form,
wobei cii ∈ R\{0} eine Konstante ist.
(iii) Das Dichteelement der Normalform ux + vy + 1 = 0, u, v 6= 0, nach Bild 1.4
ergibt sich leicht aus der zuletzt gewonnenen Form von dG. Wir haben zunächst
a = a(u, v) = −u−1 , b = b(u, v) = −v −1 und damit da ∧ db =
woraus über (1.10) unmittelbar dG =
du∧dv
(u2 +v 2 )3/2
du ∧ dv
,
u2 v 2
folgt.
Korollar 1.3.1.3. Es ist fiii = ciii (u2 +v12 )3/2 die bewegungsinvariante Dichte für eine
Menge von Geraden ux + vy + 1 = 0 in der Ebene und
dG = ciii
du ∧ dv
(u2 + v 2 )3/2
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Geraden in dieser Form,
wobei ciii ∈ R\{0} eine Konstante ist.
Zum Schluss kommen wir zu den Angaben für Geraden in der Steigungsform (iv)
und der Hesseschen Normalform (v) nach Bild 1.5.
y
y
G
no
j
b
T
F
G
r
0
x
q
0
x
Bild 1.5: Geraden in der Steigungsform (iv) und Hesseschen Normalform (v)
(iv) Wieder ziehen wir das zuletzt gewonnene Dichteelement dG als Grundlage
heran, um ein solches für Geraden in der Darstellung y = x tan ϕ + b zu gewinnen.
Für b 6= 0 ist aus der Gegenüberstellung
ux + vy + 1 = 0 ≡
−1
tan ϕ
x+
y+1=0
b
b
der Zusammenhang
u = u(ϕ, b) =
tan ϕ
1
, v = v(ϕ, b) = −
b
b
zwischen den Parametersätzen (u, v) und (ϕ, b) zu erkennen. Mit der Determinante
¯
ϕ ¯¯
1
∂(u, v) ¯¯ b cos1 2 ϕ − tan
b2
¯=
=¯
1
¯
∂(ϕ, b)
b3 cos2 ϕ
0
b2
22
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
und der Beziehung
µ
2
2 3/2
(u + v )
=
1
b2 cos2 ϕ
¶3/2
=
1
b3 cos3 ϕ
ergibt sich schließlich die Transformation:
dG =
du ∧ dv
= cos ϕ dϕ ∧ db .
(u2 + v 2 )3/2
Korollar 1.3.1.4. Es ist fiv = civ cos ϕ die bewegungsinvariante Dichte für eine
Menge von Geraden in der Ebene, die in der Steigungsform y = x tan ϕ + b notiert
werden und
dG = civ cos ϕ dϕ ∧ db
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Geraden in dieser Form,
wobei civ ∈ R\{0} eine Konstante ist.
(v) In der Hesseschen Normalform knüpfen wir an die erste Darstellungsform an
– hier wie dort wird die Gerade durch ihren Normalenvektor geprägt. Jetzt jedoch
wird
¶
µ
cos θ
, k ~n k = ρ > 0 ,
~n = ρ
sin θ
durch die Parameter (θ, ρ) beschrieben. Für die Ortsvektoren ~r = (x, y)T ∈ G gilt
dann wieder die Beziehung
¶
µ
¶ µ ¶
µ
cos θ
x
cos θ
o
i = 0,
−ρ
,
h ~n , ~r − ~n ih
sin θ
y
sin θ
d.h. ~n bzw. ~no sind orthogonal zu den Vektoren ~r −~n “in“ G. Oder noch instruktiver
ausgedrückt:
h ~no , ~r i = k ~n k = ρ ,
(1.11)
d.h. das Skalarprodukt aus Einheitsnormalenvektor und den Ortsvektoren der Gerade G ist der Abstand der Gerade vom Ursprung. Die Darstellung (1.11) kann auch
in der skalaren Form nach der Art von Polarkoordinaten
x cos θ + y sin θ = ρ
erfolgen und bietet dann reichhaltigen Bezug zu den vorangegangenen Formen! Wir
nehmen diesen wie gesagt zur ersten Darstellung von ~n = (ξ, η)T und erhalten sofort
ξ = ρ cos θ , η = ρ sin θ
und weiter
¯
¯ cos θ −ρ sin θ
∂(ξ, η)
dξ ∧ dη =
dρ ∧ dθ = ¯¯
∂(ρ, θ)
sin θ
ρ cos θ
¯
¯
¯ dρ ∧ dθ = ρ dρ ∧ dθ ,
¯
1.3. TESTELEMENTE VON GERADEN UND STRECKEN IN DER EBENE 23
so dass wir in dem Dichteelement
dG =
dξ ∧ dη
= dρ ∧ dθ
k ~n k
eine ebenso einfache wie natürliche Darstellung für diese schöne Form der Geraden
in der Ebene finden, die auch Grundlage für alle unsere Untersuchungen zu geometrischen Wahrscheinlichkeiten im zweiten Teil sein wird. Zudem verweisen sie bereits
auf die Analogie von Ebenen im Raum, die uns im Kapitel 9 beschäftigen werden.
Korollar 1.3.1.5. Es ist fv = cv die bewegungsinvariante Dichte für eine Menge
von Geraden in der Ebene in der Hesseschen Normalform und
dG = cv dρ ∧ dθ
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Geraden in dieser Form,
wobei cv ∈ R\{0} eine Konstante ist.
Dieses bestechend einfache Ergebnis hätte natürlich auch am Anfang unserer
Diskussionen stehen können. Denn die Ausführung einer Rotation und Translation
normal zur Geraden nach Bild 1.6 kann in der Hesseschen Normalform mit den
Parametern θ, ρ durch
θ ∗ = θ + φ , ρ∗ = ρ + σ
∗
∗
,ρ )
erfasst werden, so dass ∂(θ
= 1 gilt. Sinngemäß gilt dies auch für eine Spiege∂(θ, ρ)
lung und eine Translation in beliebiger Richtung, wie wir im nächsten Abschnitt im
Zusammenhang mit Strecken sehen werden.
y
G*
s
r
f
0
G
q
x
Bild 1.6: Bewegung einer Geraden in der Hesseschen Normalform (v)
Unser Ziel war es aber zum einen, die “Maschinerie der Bewegungsinvarianz“
auch für andere Parameterformen als die in der Literatur üblicherweise angegebenen
in Gang zu setzen und diese an den Beginn zu stellen. Zum anderen werden uns die
Überlegungen zur Fußpunktform auch bei Aufstellen eines bewegungsinvarianten
Maßes für die Ebene im Raum nach Anhang A zugute kommen!
24
1.3.2
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Strecken in der Ebene
Da wir im zweiten Teil unserer Untersuchungen auch geometrische Wahrscheinlichkeiten für “Nadeln“ berechnen möchten, ist nun abschließend zu diesem Kapitel
noch ein Maß bzw. eine Dichte von Strecken in der Ebene anzugeben.
Im Bild 1.7 sind links die Koordinaten einer Nadel oder Strecke H der Länge l
dargestellt: es ist zu erkennen, dass nun der Parameterraum die Dimension 3 trägt
und damit höher als der Trägerraum des Testobjektes ist, vgl. auch unsere Diskussion
zu Beginn dieses Kapitels im Abschnitt 1.1.
z*
y
H*
F*
T
s
F
z
r
r
f
r*
q
x
0
l
H
z
T
q
n
x
0
H
l
Bild 1.7: Eine Nadel in der Ebene und eine Bewegung dieser
Der Parametersatz (θ, ρ, ζ) ∈ Ω baut auf dem im vorhergehenden Abschnitt
zuletzt formulierten Paar (θ, ρ) für eine Gerade auf, die als Trägergerade gesehen
werden kann. Die Nadel selbst ist die Teilmenge
¡ θ¢
¡
¢
θ
H : ~r = ρ ~no + (ζ + τ l) ~t o mit τ ∈ [0, 1] , ~no = cos
und ~t o = − sin
cos θ .
sin θ
y
y
G
r
r
q
q
0
0
x
y
x
y
l
z
H
r
z
r
q
q
0
x
0
x
Bild 1.8: Gerade in Polarkoordinaten und Strecke in erweiterten Polarkoordinaten (θ, ρ, ζ)
1.3. TESTELEMENTE VON GERADEN UND STRECKEN IN DER EBENE 25
Das Bild 1.8 stellt dem entsprechend Gerade G und Strecke H gegenüber, wobei
bereits zu erahnen ist, dass ein Dichteelement dH auf eines für die Gerade dG
aufbauen kann, da H als Teilmenge von G aufgefasst werden kann.
Um das klarer herauszuarbeiten, betrachten wir wieder eine Ähnlichkeitsbewegung nach dem rechten Teil des Bildes 1.7, die den Maßstab unverändert lässt:
exemplarisch ist eine Drehung um den Winkel φ und Verschiebung mit dem Vektor
~s dargestellt. Dabei sei
~s = s1 ~s⊥o + s2 ~sko
wie im Bild 1.9 gezeigt als orthogonale Summe zweier Vektoren aufgespannt, die
senkrecht s1 ~s⊥o und parallel s2 ~sko zur bewegten Trägergeraden G ∗ stehen, wobei
k ~s⊥o k = k ~sko k = 1 sei.
z*
z
H*
F*
G*
T
s
To
s
To
s
Bild 1.9: Orthogonale Summe des Verschiebungsvektors ~s
Die Ortsvektoren der transformierten Nadel sind dann
H∗ : ~r ∗ = ρ A~no + s1 ~s⊥o + (ζ + τ l) A~t o + s2 ~sko
= ρ∗ ~no∗
+ (ζ ∗ + τ l) ~t o∗
und wir erhalten als transformierten Parametersatz der Nadel die Beziehungen
ρ∗ = h ~no∗ , ρ A~no i + h ~no∗ , s1 ~s⊥o i = ρ + s1 ,
θ∗ = θ + φ ,
ζ ∗ = h ~t o∗ , ζ A~t o i + h ~t o∗ , s2 ~sko i = ζ + s2 ,
was sinngemäß auch für eine Spiegelung gilt, wobei die Matrix
µ
¶
cos φ − sin φ
A=
sin φ
cos φ
entsprechend anzupassen ist und durch die Spiegelungsmatrix
µ
¶
cos β
sin β
B=
sin β − cos β
bei einem geeigneten Vektor ~s zu ersetzen ist (Gleit- oder Schubspiegelung).
26
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Nun ergibt sich daraus einfacherweise
∂(ρ∗ , θ∗ , ζ ∗ )
dρ ∧ dθ ∧ dζ
∂(ρ, θ, ζ)
¯ ∂ρ∗ ∂ρ∗ ∂ρ∗ ¯
¯
¯
¯ ∂ρ∗ ∂θ∗ ∂ζ∗ ¯
¯ ∂θ ∂θ ∂θ ¯
= ¯ ∂ρ ∂θ ∂ζ ¯ dρ ∧ dθ ∧ dζ
¯ ∂ζ ∗ ∂ζ ∗ ∂ζ ∗ ¯
¯
¯
dρ∗ ∧ dθ∗ ∧ dζ ∗ =
∂ρ
¯
¯ 1
¯
¯
= ¯ 0
¯
¯ 0
∂θ
∂s1
∂θ
1
∂s2
∂θ
∂ζ
¯
0 ¯¯
¯
0 ¯ dρ ∧ dθ ∧ dζ
¯
1 ¯
= 1 · dρ ∧ dθ ∧ dζ .
Unsere Dichtefunktion f für eine Strecke in der Ebene im Parametersatz (θ, ρ, ζ)
nach Bild 1.8 ist also eine Konstante! Anders ausgedrückt, kann das bewegungsinvariante Dichteelement für H aus einer Erweiterung des Elementes für G gewonnen
werden:
dH = dG ∧ dζ .
Nehmen wir bei dG Bezug auf die “erweiterten Polarkoordinaten“ (θ, ρ, ζ), so erhalten wir gerade die oben abgeleitete Beziehung
dH = dρ ∧ dθ ∧ dζ = −dρ ∧ dζ ∧ dθ
bzw. abschließend:
dH = dζ ∧ dρ ∧ dθ ,
(1.12)
wobei der Bewertungsfaktor hier wie im folgenden zu 1 gesetzt wird.
Satz 1.3.2.1. Die bewegungsinvariante Dichte für eine Menge von Strecken (Nadeln) in der Ebene in den erweiterten Polarkoordinaten (θ, ρ, ζ) ist f = c und
dH = c dρ ∧ dθ ∧ dζ
das Element des invarianten Maßes, wobei c ∈ R\{0} eine Konstante ist.
Anm.: Die Argumentation und Kommentierung von Geraden und Strecken im
Gitter geht in den folgenden Kapiteln bzgl. θ von fallenden Winkeln aus, da Werte
an θ knapp unter π/2 flach fallenden Testobjekten entspricht und die Beschreibung
von Fallszenarien bei diesen oft überschaubareren Fällen beginnen soll. Bis zu 0
sinkende Werte in θ bedeuten dann steiler fallende Testobjekte mit im allgemeinen
zunehmender Schnittzahl. Die Notation in den Maßen bzw. Integralen bzgl. θ, wie
üblich von kleinen zu großen Werten formuliert, um nicht negative Maße zu handhaben, ist also bzgl. ihres geometrischen Prozesses zunehmend steiler fallender Nadeln
von “oben nach unten“ zu lesen, um sich die zunächst flach fallenden und dann
immer steiler fallenden Testobjekte zu veranschaulichen.
1.4. ERSTE ANWENDUNGEN DER MASSE
1.4
27
Erste Anwendungen der Maße
Es sollen hier erste Anwendungen im Einsatz unserer gewonnenen Maße vorgestellt
werden. Dabei geht es vor allem darum, Aussagen bzw. Bewertungen über das Treffen von Geraden und Strecken mit konvexen Mengen zu gewinnen, wie sie später
auch die Gittereinhüllenden darstellen werden. Dabei sollen hier nur grundsätzliche
Überlegungen und Ideen diskutiert werden, wie die Maße einzusetzen sind und zu
welcher Art von Aussagen sie führen – die genaue Angabe bzgl. der im nächsten
Kapitel eingeführten Gitter erfolgt dort gesondert und als zweiter Schritt, bevor wir
zum eigentlichen Kern, dem dritten Teil dieser Arbeit, vorstoßen.
Betrachten wir beispielsweise die Menge S aller Geraden in der Ebene, die eine
Strecke der Länge a treffen, vgl. Bild 1.10. Dann ist mit unserer Dichte fv bzw. dem
Element dG aus Korollar 1.3.1.5 das Maß
Z
Z π Z a sin θ
dG =
dρ dθ = 2 a
(1.13)
µ(S) =
S
θ=0
ρ=0
zu gewinnen. Das ist der Spezialfall eines allgemeineren Zusammenhanges zwischen
konvexen Mengen in der Ebene und dem Maß von Geraden, die sie treffen.
y
a
Geraden
a sin q
r
q
G
0
x
Bild 1.10: Geraden, die eine Strecke der Länge a treffen
Eine konvexe Menge kann nämlich als Enveloppe der Schar von Trägergeraden
der Form x cos θ + y sin θ = ρ aufgefasst werden, wobei für den Abstand ρ = ρ(θ)
gilt, dieser also eine Funktion des Winkels θ ist und auch als Trägerfunktion (support
function) bezeichnet wird, dabei sei der Ursprung 0 ∈ K. Im Bild 1.11 ist dargestellt,
wie eine der Trägergeraden (support lines) die Menge K im Punkt P berührt. Der
Rand ∂K kann als Enveloppe in der Form
T (x, y, θ) = 0 , Tθ (x, y, θ) = 0
erfasst werden, wobei T die implizite Form der Kurvenschar ist, aus der sich ∂K als
Einhüllende ergibt. In unserem Fall gilt
T (x, y, θ) =
x cos θ + y sin θ − ρ(θ) = 0 ,
Tθ (x, y, θ) = −x sin θ + y cos θ − ρ0 (θ) = 0 .
28
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Dabei bezeichnen im folgenden x0 , y 0 , ρ0 die Ableitungen dieser Koordinaten nach θ.
Aus diesem Gleichungssystem kann eine explizite Darstellung
µ ¶ µ
¶µ
¶
cos θ − sin θ
x
ρ(θ)
=
y
ρ0 (θ)
sin θ
cos θ
für den Ortsvektor P~ = (x, y)T von ∂K und damit für die Punkte P und Q nach
Bild 1.11 angegeben werden:
P = (ρ cos θ − ρ0 sin θ, ρ sin θ + ρ0 cos θ) und Q = (ρ cos θ, ρ sin θ) .
y
P
Q
K
L
q
r(q)
0
G
x
Bild 1.11: Support- oder Trägerfunktion ρ = ρ(θ) einer konvexen Menge K
Für den Abstand | QP | gilt damit die Beziehung
°µ
¶°
0
°
°
ρ
sin
θ
−−→
0
°
| QP | = k PQ k = °
° −ρ0 cos θ ° = | ρ | .
Außerdem gewinnen wir aus den Ableitungen
µ 0¶
µ
¶
− sin θ
x
00
= (ρ + ρ )
y0
cos θ
der expliziten Darstellung von P : (x(θ), y(θ))T nach dem Winkel θ eine Darstellung
für das Bogenelement
q
ds = x0 2 + y 0 2 dθ = | ρ + ρ00 | dθ .
Es kann gezeigt werden (wir verweisen dabei mit [2] und [3] auf [54]), dass ρ+ρ00 > 0
und wir damit die Länge einer geschlossenen konvexen Kurve mit der Trägerfunktion
ρ(θ) zu
Z
2π
L=
ρ(θ) dθ
0
(1.14)
R 2π
angeben können – es ist zu beachten, dass 0 ρ00 dθ = 0 wegen der Periodizität von
ρ bzw. ρ0 ist! Damit ist (1.14) nun die angekündigte Verallgemeinerung, aus der sich
(1.13) als gesonderter Fall einer konvexen Menge in Form einer Strecke gewinnen
lässt; für diese ist der Umfang natürlich die doppelte Länge der Strecke, also L = 2a.
Mit (1.14) können wir nun folgendes Ergebnis formulieren:
1.4. ERSTE ANWENDUNGEN DER MASSE
29
Satz 1.4.1. Das Maß der Menge S aller Geraden in der Ebene, die eine konvexe
Menge K treffen, beträgt
Z
µ(S) =
dG = L ,
(1.15)
S
wobei L die Länge (Umfang) der Berandung ∂K der konvexen Menge K ist.
Beweis. Mit dem Dichteelement dG = dρ ∧ dθ nach (1.3.1.5) gilt
Z
Z 2π
µ(S) =
dρ ∧ dθ =
ρ(θ)dθ = L ,
G∩K6=∅
0
weil ρ(θ) gerade eine Trägerfunktion von ∂K darstellt und somit unser zuvor erhaltenes
Resultat (1.14) anwendbar ist. ¤
Als nächstes “messen“ wir die Menge S aller Geraden G, die eine konvexe Menge
K treffen, gewichtet mit der Länge σ der jeweiligen Sekante, d.h. der Strecke G ∩K 6=
∅ nach Bild 1.12.
s
G
K
Bild 1.12: Sekante von G mit der konvexen Menge K
Da σ dρ ein Flächenelement von K darstellt, erhalten wir
Z
µ(S) =
σ dG = π F ,
S
wobei F der Flächeninhalt der Menge K sei.
Jetzt messen wir noch Nadeln, die eine konvexe Menge treffen. Sei also S die
Menge aller Strecken H der Länge l in der Ebene, die eine ebene konvexe Menge K
treffen, siehe auch Bild 1.13. Dann kann
Z
µ(S) =
dH
S
auf unsere oben erhaltenen Resultate zurückgeführt werden. Mit Korollar 1.3.2.1 aus
dem letzten Abschnitt kann dH = dρ ∧ dθ ∧ dζ bzw. nach (1.12) auch vereinfacht
zu dH = dG ∧ dζ angenommen werden, woraus sich
Z
Z
µ(S) =
dG ∧ dζ =
(σ + l) dG
H∩K6=∅
G∩K6=∅
Z
Z
=
σ dG +
G∩K6=∅
= πF +lL
ergibt.
l dG
G∩K6=∅
30
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Wir fassen dieses Ergebnis abschließend zusammen im
Korollar 1.4.2. Das Maß aller Nadeln H der Länge l, die eine konvexe Menge K
des Flächeninhaltes F und des Umfangs L treffen, ist die Summe aus den Produkten
von π und dem Flächeninhalt und der Längen: π F + l L.
H
l
H
s
K
G
Bild 1.13: Nadeln treffen eine konvexe Menge
Eine Fülle weiterer Ergebnisse dieser Art und eine Reihe von Anwendungen enthalten die beiden grundlegenden Werke [3] und [4]. Insbesondere finden sich darunter
die berühmten Formeln Croftons!
√
Abschließend nutzen wir die Maße noch, um p(l > 3) = 12 als die konsistente
Wahrscheinlichkeit im Bertrandschen Paradoxon nachzuweisen, vgl. die Diskussion
auf den Seiten 6f.
y
y
1
1
G
0
r
1
2
1
2
q
x
0
x
Bild 1.14: Menge und Maß aller Geraden bzw. Sehnen im Sinne von “Lösung 1“
Nach Ansatz von “Lösung 1“ kann hier die Hessesche Normalform (v) herangezogen werden; wir bestimmen mit Korollar 1.3.1.5 dann für die Maße der Menge D
aller Geraden
(Sehnen) auf dem Einheitskreis und derjenigen Menge S aller Sehnen
√
mit l < 3 die Werte
Z2π Z1
µ(D) =
Z2π Z1/2
dρ dθ = 2π
θ=0 ρ=0
und µ(S) =
dρ dθ = π ,
θ=0 ρ=0
1.4. ERSTE ANWENDUNGEN DER MASSE
31
√
µ(S)
vgl. Bild 1.14, so dass wir die Wahrscheinlichkeit p(l > 3) = µ(D)
= 21 erhalten. Die
“Lösung 1“ ist also auch im Sinne der hier vorgestellten Integralgeometrie konsistent
und erfasst die geometrischen Maße mit Hilfe des Durchmessers korrekt – letztlich,
weil dieser proportional zum Umfang der jeweiligen Kreismenge ist, siehe auch ganz
unten!
y
y
x*
180 o
60 o
0
x
0
T
t
x
j*
y*
y
G
0*
Bild 1.15: Menge und Maß aller Geraden bzw. Sehnen im Sinne von “Lösung 2“
Um das Vorgehen in “Lösung 2“ mit einem bewegungsinvarianten Maß zu unterstützen, ziehen wir die Steigungsform (iv) mit der Dichte nach Korollar 1.3.1.4
heran. Dabei tauschen wir allerdings den Parameter b mit den in Bild 1.15 eingezeichneten Winkel ψ aus, gegen den das x-y-KOS verdreht wird; außerdem wird
dieses gedrehte Koordinatensystem um den Vektor
¶
µ
1
−
cos
ψ
~t =
− sin ψ
verschoben, so dass das x∗ -y ∗ -KOS nach Bild 1.15 tangential am Einheitskreis liegt.
In diesem Koordinatensystem nun kann jede den Kreis treffende Gerade in der Form
y ∗ = x∗ tan ϕ∗ mit − π/2 ≤ ϕ∗ < π/2 und geeignetem 0 ≤ ψ < π
beschrieben werden. – Aus der Transformation
x = x∗ cos ψ − y ∗ sin ψ + 1 − cos ψ ,
y = x∗ sin ψ + y ∗ cos ψ − sin ψ
erhalten wir
ϕ = ϕ∗ + ψ und b = −2 cos(ϕ∗ + ψ2 ) sec(ϕ∗ + ψ) sin( ψ2 )
und
∂(ϕ, b)
dϕ∗ ∧ dψ
∂(ϕ∗ , ψ)
¡
¢
= cos(ϕ∗ + ψ) − cos(ϕ∗ ) sec(ϕ∗ + ψ) dϕ∗ ∧ dψ = − cos ϕ∗ dϕ∗ ∧ dψ .
dG = cos ϕ · dϕ ∧ db = cos ϕ ·
32
KAPITEL 1. INTEGRALGEOMETRIE
Damit können wir nun die Maße
Zπ
Zπ/2
Zπ/6
Zπ
∗
µ(D) =
∗
cos ϕ∗ dϕ∗ dψ = π
cos ϕ dϕ dψ = 2π , µ(S) =
ψ=0 ϕ∗ =−π/2
ψ=0 ϕ∗ =−π/6
aufstellen, dabei den konstanten Faktor −1 als für die Maße unwesentlich unterdrückend. – Letztlich also ganz im Sinne Bertrands, aber entscheidend:
gewichtet
√
µ(S)
mit der Funktion cos ϕ∗ . Wir erhalten somit auch hier wieder: p(l > 3) = µ(D)
= 12 .
y
y
h
( x, h )
G
1
2
0
1
x
- 1 - 12
0
x
1
2
1
x
Bild 1.16: Menge und Maß aller Geraden bzw. Sehnen im Sinne von “Lösung 3“
Sollen die Sehnen gemäß “Lösung 3“ durch ihren Mittelpunkt erfasst werden,
bietet sich die Fußpunktform (i) mit der Dichte nach Satz 1.3.1.1 an und wir erhalten
Z1
√
2
Z1−ξ
µ(D) =
√
ξ=−1 η=−
√
dη dξ
p
= 2π , µ(S) =
ξ 2 + η2
1−ξ 2
Z1/2
1/4−ξ 2
Z
√
ξ=−1/2 η=−
dη dξ
p
=π
ξ 2 + η2
1/4−ξ 2
nach Bild 1.16, so dass√sich auch abschließend folgende geometrische Wahrscheinµ(S)
= 12 .
lichkeit einstellt: p(l > 3) = µ(D)
Alle drei Herangehensweisen sind nun also äquivalent zum Ergebnis des auch aus
Satz 1.4.1 einfacherweise herleitbaren Resultats
p(l >
√
3) =
L1/2
1/2 · 2π
1
µ(S)
=
=
=
µ(D)
L1
1 · 2π
2
mit den jeweiligen Maßen als Umfänge L1/2 und L1 der Kreismengen vom Radius
und 1.
1
2
Kapitel 2
Parallel-Gitter von Strecken in der
Ebene
2.1
Definition der Gitter
Zelle
n=4
m=3
Gitterstrecke
3
y
na
…
Gitter
m
C a, 2 r
…
Die Parallel- oder Rechteck-Gitter bestehen aus einer unendlichen oder endlichen
Reihung von parallelen, äquidistanten Strecken im Abstand a und der Länge d = 2r.
Allgemein notieren wir ein nicht näher bestimmtes Gitter mit dem Buchstaben C
und betten es so in kartesische Koordinaten ein, dass eine oder bei endlichen Gittern
die erste Gitterstrecke in die x-Achse fällt und symmetrisch zur y-Achse liegt, vgl.
Bild 2.1. Im linken Bildteil ist eine endliche Ausprägung eines Gitters zu erkennen,
in dem die Begriffe Gitterstrecke“ und Zelle“ veranschaulicht werden.
”
”
2
a
2
1
a
1
0
-r
r
x
…
2r
Bild 2.1: Parallel-Gitter in kartesischen Koordinaten
Diese erste noch unbestimmte Form des Gitters erfassen wir in der folgenden
Definition, die wir danach auf die in der Einführung bereits erwähnten Gitter konkretisieren.
33
34
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
Definition 2.1.1 (Gitter). Ein Gitter C ist eine Menge von Strecken der Form
©
ª
C = (x, y) ∈ R2 | − r < x < r, y = ν a ,
wobei ν ∈ N ⊂ Z und N eine solche Teilmenge der ganzen Zahlen ist, in der die
Differenz zweier benachbarter Elemente stets eins ist, so dass in y-Richtung äquidistante Gitter im Abstand a > 0 vorliegen. Die Teilmengen der Form
GSν = (−r < x < r, y = ν a) ⊂ C
des Gitters werden Gitterstrecken genannt. Es wird zuweilen abgekürzt: d := 2r > 0 .
Außerdem möchten wir zwei zentrale Parameter zum Gitter benennen, auf die
wir im Abschnitt über geometrische Wahrscheinlichkeiten Bezug nehmen werden –
mehr noch: alle unsere dort gewonnenen Ergebnisse geben die Abmessungen von
Gitter und Testobjekt in Form dieser relativen Größen wieder.
Definition 2.1.2 (Parameter). Sei C sein Parallel-Gitter mit a > 0 als Abstand
zwischen den 2r > 0 langen Gitterstrecken. Außerdem sei ein Testobjekt H in Form
einer Strecke der Länge l > 0 gegeben. Wir definieren die folgenden Parameter:
λ :=
a
2r
und
α :=
a
.
l
Liegt eine Gerade als Testobjekt vor, so verliert α (zunächst) seine Bedeutung.
Im letzten Kapitel über geometrische Wahrscheinlichkeiten werden wir aber sehen,
dass die Beziehungen für die Gerade aus denen der Strecke bei α → 0 gewonnen
werden können.
Wir sprechen hin und wieder auch von Zellen, insbesondere wenn es auch um
die “Zwischenräume“ der Gitter geht, so dass man sich das Innere der Einhüllenden
eines Gitters auch als Schichtung der einzelnen Zellen vorstellen kann.
Definition 2.1.3. Als eine Zelle, bzw. die ν-te Zelle wird die Menge
©
ª
Zν = (x, y) ∈ R2 | − r < x < r, νa ≤ y < (ν + 1)a = ] − r, r[ × [νa, (ν + 1)a[
für ν, ν + 1 ∈ N bezeichnet.
Definition 2.1.4. Die Einhüllende eines Gitters C nach Def. 2.1.1 ist die geschlossene Kurve
K = {−r, r} × [yu , yo ] ∪ [−r, r] × {yu , yo }
mit yu := nu a, yo := no a und nu := inf(N ), no := sup(N ). Als der Innenraum, auch
kurz: das Innere eines Gitters C wird hier
[no −1
K := int
Zν
ν=nu
aufgefasst, es gilt also K = ∂K und C ⊂ K ∪ GSnu ∪ GSno ; wir schreiben zuweilen
auch K = int K.
2.2. GRUNDBEZIEHUNGEN AM GITTER
35
Definition 2.1.5. Ist N = Z in Definition 2.1.1, so schreiben wir
C = R∞
a,d .
Durch “∞“ als hochgestellten Index bringen wir zum Ausdruck, dass dieses Gitter aus einer unendlichen Anzahl von Gitterstrecken besteht.
Definition 2.1.6. Das Gitter des klassischen Buffonschen Nadelwurfs ergibt sich
nach Definition 2.1.1 aus d → ∞. Hierfür notieren wir
C = R∞
a ,
das über alle Grenzen gehende d in der Indizierung weglassend.
Im endlichen Fall möchten wir manchmal die Anzahl m der Zellen und ein andermal die Anzahl n der Gitterstrecken hervorheben. Daher benutzen wir für diesen
Gittertyp zwei äquivalente Schreibweisen:
Definition 2.1.7. Ist Z = {0, 1, 2, ..., m} in Definition 2.1.1, so bezeichnen wir
m
C = Ca,d
= Rna,d ,
dabei gilt stets n := m + 1 .
Schließlich verleihen wir den “Eck“punkten der Gitterstrecken noch eigene Bezeichnungen, was im nächsten Abschnitt zur Definition von Diagonalen im Gitter
nützlich sein wird.
Definition 2.1.8. Es sei GSν eine nach Def. 2.1.1 erfasste Gitterstrecke. Den mit
+
E−
ν := (−r, νa), bzw. Eν := (+r, νa) bezeichneten Punkt nennen wir linken, bzw.
rechten Endpunkt der Gitterstrecke.
Anmerkung: Aufgrund unserer “offenen Definition“ eines Gitters gilt für die Endpunkte E±
/ GSν . Im weiteren Verlauf werden wir sehen, dass es auf die Art der
ν ∈
Berandung – ob offen oder geschlossen – für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
nicht ankommt: Denn Objekte “entlang“ der Berandungen sind vom Maß null (etwa
die Menge an Geraden, die nur in einer Richtung bewegt werden, oder Nadeln, von
denen ein Punkt fest mit einer Kurve verbunden ist). Dies ist eine direkte Folge der
durch Integrale definierten Maße.
2.2
Grundbeziehungen am Gitter
Wir stellen in diesem Abschnitt zunächst eine ganze Reihe von mehr oder wenim
ger elementaren Eigenschaften des Gitters Rna,d = Ca,d
vor und Funktionen darüber
zusammen, auf die wir dann in bequemer Weise im weiteren Verlauf unserer Berechnungen zurückgreifen werden. Mit den hier eingeführten Beziehungen lassen sich die
später aufzustellenden Integrale sehr übersichtlich formulieren.
36
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
y
ma
r
q
-r
r
0
x
z
Bild 2.2: Gitter in kartesischen und erweiterten Polarkoordinaten
Das Gitter C ist insbesondere vor dem Hintergrund des Koordinatensystems der
“erweiterten“ Polarkoordinaten (θ, ρ, ζ) nach Kapitel 1 bzw. Bild 2.2 zu sehen, weil
darin die Testobjekte bzw. deren bewegungsinvariante Maße ausgedrückt werden.
Um im späteren Verlauf Bereiche unterschiedlicher Schnittzahl auseinanderzuhalten, sind die Diagonalen in den Rechteck-Gittern von ausgezeichneter Bedeutung.
−
Nach Bild 2.3 beziehen wir uns bei der Angabe der Länge der Diagonalen E+
0 Ek auf
die “Grundlänge“ lk dieser.
E k-
...
ka
k lk
n lk
...
na
a
lk
+
E0
2r
Bild 2.3: Diagonale und ihre Grundlänge
−
Definition 2.2.1. Gegeben sei eine Diagonale Dk := E+
0 Ek , 0 ≤ k ≤ m, der Länge
m
Lk := L(Dk ) im Gitter C = Ca,d . Wir bezeichnen mit
lk :=
1
Lk
k
die Grundlänge der Diagonalen.
Da sich die Grundlänge im letzten Kapitel des Teils über geometrische Wahrscheinlichkeiten als grundlegendes Ordnungsmerkmal der Fallunterscheidung herausstellen wird, berechnen wir hier die Länge und drücken diese durch die beiden
2.2. GRUNDBEZIEHUNGEN AM GITTER
37
in Def. 2.1.2 eingeführten Parameter aus. Zunächst gilt für die Länge der ganzen
Diagonalen Dk die Beziehung
r
√
p
1
1 + k 2 λ2
2 = a
Lk = d2 + (ka)2 = a
+
k
,
λ2
λ
so dass wir folgendes Ergebnis erhalten:
Korollar 2.2.2. Die in Def. 2.2.1 eingeführte Grundlänge der Diagonalen Dk beträgt
√
a 1 + k 2 λ2
lk =
,
k
λ
bzw. hinsichtlich der endlichen Länge l eines Testobjekts gilt die bezogene Größe
√
lk
α 1 + k 2 λ2
=
.
l
k
λ
hohes
l
l
a=
l = k lk
l
Ö1 + k 2 l2
Gitter
breites
a
l
0
kurze
0
ka
1/ k
lange
lange
Nadel
kurze
Nadel
Bild 2.4: Die Länge klk der Diagonalen Dk in den Diagrammen λ über l bzw. α
In der nächsten Aussage stellen wir drei nützliche Eigenschaften über die Grundlängen zusammen.
Satz 2.2.3. Bezeichne lk die in Def. 2.2.1 eingeführte Grundlänge der Diagonalen
Dk , dann gelten die Aussagen:
(1) (k + 1)lk+1 > klk .
(2) lν < lk für ν > k.
(3) Es korrespondieren die Gleichungen und Ungleichungen:
l S k lk
⇐⇒
√
λ
S α.
1 + k 2 λ2
38
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
Beweis. (1) Das folgt sofort aus Lk+1 > Lk .
(2) Aus ν > k ergibt sich die folgende Kette von Aussagen:
ν 2 > k2
⇒ ν 2 (1 + k 2 λ2 ) > k 2 (1 + ν 2 λ2 )
ap
ap
⇒ lk =
1 + k 2 λ2 >
1 + ν 2 λ2 = lν .
k
ν
(3) Mit der Beziehung für lk aus Korollar 2.2.2 ergibt sich aus l S klk zunächst genau
√
1 + k 2 λ2
l S a
λ
und damit
λ
√
S α.
1 + k 2 λ2
¤
Das Bild 2.4 zeigt die bisher gewonnenen Beziehungen graphisch. Als Abszisse
wurde einmal die direkte Länge des Testobjekts gewählt, zum anderen dessen bezogene Gitterlänge in Form des Parameters α. Die Ordinate mit dem Parameter λ
zeigt das zu a/(2r) definierte Höhe-zu-Breite-Verhältnis an. Eingezeichnet sind zwei
Kurven konstanter Länge: l = ka, also genau die Gitterhöhe bis zur k-ten Gitterstrecke, sowie l = klk , die volle Länge der Diagonalen. Das rechte Diagramm spiegelt
diese Verläufe durch die bezogene Größe α wider.
l
l
a=
l = n lk
0
na
l
0
kl
n Ö1 + k 2 l2
1/ n
a
Bild 2.5: Die Teillänge νlk der Diagonalen Dk in den Diagrammen λ über l bzw. α
Die Teillängen der Form νlk , ν > 0 beliebig, laufen asymptotisch
gegen die Länge
√
νa für zunehmendes λ; entsprechend nähert sich kλ/(ν 1 + k 2 λ2 ) dem Bruch 1/ν,
was im Bild 2.5 zum Ausdruck gebracht wird.
Analog läuft die Kurve
√ l = νlk gegen λ = 0 für l → ∞ und ihr Pendant, diejenige
Kurve, die α = kλ/(ν 1 + k 2 λ2 ) erfasst, startet im Ursprung (α = 0, λ = 0).
Möchten wir Teillängen τ lk mit der Höhe νa der Gitterstrecke GSν vergleichen,
so werden wir feststellen, dass diese je nach Höhe-zu-Breite-Verhältnis λ des Gitters
kleiner oder größer als diese Höhe ausfallen, so wie es im Bild 2.6 dargestellt ist.
2.2. GRUNDBEZIEHUNGEN AM GITTER
l s L(t, k, n)
39
L(t, k, n) s l
na
ka
ta
n>k
na
ka
ta
t lk
t lk
ka
na
ta
ka
na
ta
k>n
t lk
t lk
l abnehmend
Bild 2.6: Gittergeometrie zum Umschlagverhältnis Λ(τ, κ, ν)
Das Verhältnis λ, zu dem das Gitter “umschlägt“, hängt offenbar von drei natürlichen Zahlen ab: Der ausgesuchten Diagonalen Dκ , ihrer Teillänge τ lκ und der mit
ihr verglichenen Höhe νa.
Definition 2.2.4. Gegeben sei die Diagonale Dκ , κ > 0, eine Teillänge τ lκ , τ ≤ κ,
dieser und die Höhe νa einer Gitterstrecke, wobei τ < ν; wir definieren folgende
Funktion Λ:
λ ≤ Λ(τ, κ, ν) :⇐⇒ τ lκ ≥ ν a .
Mit der in Korollar 2.2.2 gewonnenen Grundlänge lκ ist es nicht schwer, die
Funktion Λ anzugeben.
Satz 2.2.5. Die in Def. 2.2.4 angegebene Funktion bestimmt sich zu
Λ(τ, κ, ν) =
τ
1
√
2
κ ν − τ2
(2.1)
mit τ ≤ κ und τ < ν (ist ν = κ, hat τ echt kleiner κ zu gelten: τ < κ).
Beweis. Die Bedingung τ lκ ≥ νa ist mit lκ nach 2.2.2 äquivalent zu
√
a 1 + κ2 λ2
≥ νa ,
τ
κ
λ
was aufgelöst nach λ gerade zu der Beziehung
λ≤
τ
1
√
2
κ ν − τ2
führt, wobei auf der rechten Seite das gesuchte Λ abzulesen ist.
¤
40
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
Das Bild 2.7 stellt Λ in den l-λ- bzw. α-λ-Diagrammen dar. Als “Umschlagverhältκλ
nis“ kann Λ hier als Schnittpunkt der Kurven l = τ lκ mit l = νa bzw. α = τ √1+κ
2 λ2
mit α = 1/ν abgelesen werden.
l
l
a=
kl
t Ö1 + k 2 l2
l = t lk
L(t, k, n)
0
ta
na
l
0
1/ t
1/ n
a
Bild 2.7: Umschlagverhältnis Λ(τ, κ, ν) als Schnittpunkt zweier Kurven
Wir fahren mit der Unterscheidung zweier gesonderter Winkel θν und θ̂ν nach
−
Bild 2.8 an der Gitterstrecke GSν , ν > 0, fort, wobei einmal die Diagonale E+
0 Eν zum
Tragen kommt, nämlich wenn für die Länge des endlichen Testobjektes l > νlν gilt,
und zum anderen die Nadel in Form der Strecke E+
0 A selbst, wenn νa < l < νlν gilt.
Diese Winkel kommen später zum Einsatz, um den Beginn eines weiteren Schnittes
unseres Testobjektes H der Länge l mit der Gitterstrebe y = νa zu erfassen.
l
A
na
-
En
na
n ln
qn
qn
qn
qn
+
E0
0
l
0
+
E0
Bild 2.8: Zwei spezielle Winkel
Definition 2.2.6. Gegeben sei ein Gitter C und ein Testobjekt H der Länge l. Für
jede Gitterstrecke GSν , ν > 0, mit νa < l definieren wir die Winkel
θν := arctan
1
νλ
und
θ̂ν := arccos να .
2.2. GRUNDBEZIEHUNGEN AM GITTER
41
Zur Integration benötigen wir die in Def. 2.1.8 aufgeführten Endpunkte E±
ν in
der Koordinate ρ in Abhängigkeit des Winkels θ nach Bild 2.9.
y
rc
os
q
y
r
-
En
+
n
E
na
-
na
+
rn (q)
n
r (q)
sin
q-
q
rc
os
q
-r
r
+
En
na
q
na
En
r
na
q
q
-r
x
sin
r
sin
q+
q
rc
os
q
x
z
z
Bild 2.9: Die Funktionen ρ±
ν
Da wir aus Gründen der Symmetrie im Teil über die geometrischen Wahrscheinlichkeiten und auch bei Berechnung der Maße in den beiden nächsten Abschnitten
über θ stets von 0 bis π/2 integrieren, definieren wir die folgenden Funktionen nur
auf diesen Winkelbereich.
Definition 2.2.7. Gegeben sei ein Gitter C, für dessen Gitterstrecken GSν , ν ∈ N ,
die folgenden Funktionen definiert werden:
+
π
ρ−
ν , bzw. ρν : [0, 2 ] −→ R
+
θ 7−→ ρ-Koordinate von E−
ν , bzw. Eν .
Die Berechnung der Funktionen kann aus dem rechten Teil des Bildes 2.9 abgelesen werden. Sie ergeben sich (auch) aus der negativen Drehung des x-y-Koordinatensystems um den Winkel ψ = π2 − θ in der Form
µ
ζ
ρ
¶
µ
=
cos(−ψ) sin(−ψ)
− sin(−ψ) cos(−ψ)
¶µ
x
y
¶
,
bzw. in θ ausgedrückt:
µ
ζ
ρ
¶
µ
=
sin θ − cos θ
cos θ
sin θ
¶µ
x
y
¶
.
(2.2)
+
Mit E−
ν = (−r, νa), bzw. Eν = (r, νa) ergeben sich aus (2.2) in der zweiten Koordinate die folgenden Angaben.
42
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
+
Korollar 2.2.8. Für die in Def. 2.2.7 aufgestellten Funktionen ρ−
ν (θ), bzw. ρν (θ)
gelten die folgenden Beziehungen:
ρ−
ν (θ) = ν a sin θ − r cos θ , bzw.
ρ+
ν (θ) = ν a sin θ + r cos θ .
Für die Koordinate ζ benötigen wir darüber hinaus die Projektion der ganzen
Gitterstrecke GSν und der Geraden (−r, y) und (r, y), wie es im Bild 2.10 dargestellt
ist. Dabei soll die Koordinate ζ in Abhängigkeit von θ und ρ erfasst werden, wenn
θ wie gezeigt das ζ-ρ-KOS dreht und ρ die Punkte A bzw. E± festlegt.
y
y
-
E
A na
z -(q, r)
r
zn (q, r)
r
+
E
q
q
x
z
-r
+
r
x
z (q, r)
z
Bild 2.10: Die Funktionen ζν und ζ ±
Definition 2.2.9. Gegeben sei ein Gitter C, für dessen Gitterstrecken GSν , ν ∈ N ,
und Seitenränder (−r, y), (r, y) folgende Funktionen definiert werden:
+
ζν : [0, π2 [ × [ρ−
ν (θ), ρν (θ)] −→ R
(θ, ρ) 7−→ ζν (θ, ρ) := ζ-Koordinate von A ∈ GSν ,
+
ζ − : ]0, π2 ] × [ρ−
ν (θ), ρν (θ)] −→ R
(θ, ρ) 7−→ ζ − (θ, ρ) := ζ-Koordinate von E− = (−r, y) ,
+
ζ + : ]0, π2 ] × [ρ−
ν (θ), ρν (θ)] −→ R
(θ, ρ) 7−→ ζ + (θ, ρ) := ζ-Koordinate von E+ = (r, y) .
Mit den Punkten A = (x, νa), bzw. E− = (−r, y) und E+ = (r, y) kann in
(2.2) die kartesische Koordinate x, bzw. y eliminiert werden, so dass sich die oben
definierten funktionalen Zusammenhänge ergeben.
2.2. GRUNDBEZIEHUNGEN AM GITTER
43
Für den Punkt A erhalten wir zunächst
ζ = x sin θ − ν a cos θ ,
ρ = x cos θ + ν a sin θ
(2.3)
(2.4)
und daraus nach Multiplikation der ersten Gleichung (2.3) mit cos θ und der zweiten
(2.4) mit − sin θ die Summe
ζ cos θ
=
x sin θ cos θ − ν a cos2 θ
−ρ sin θ = −x cos θ sin θ − ν a sin2 θ
ζ cos θ − ρ sin θ = −ν a .
(2.5)
Analog ergibt sich für die Punkte E± = (±r, y) aus (2.2) jetzt
ζ = ±r sin θ − y cos θ ,
ρ = ±r cos θ + y sin θ
(2.6)
(2.7)
und dann nach Multiplikation der ersten Gleichung (2.6) mit sin θ und der zweiten
(2.7) mit cos θ die Summation
ζ sin θ
= ±r sin2 θ − y cos θ sin θ
ρ cos θ = ±r cos2 θ + y sin θ cos θ
ζ sin θ + ρ cos θ = ±r .
(2.8)
Korollar 2.2.10. Aus den Beziehungen (2.5) und (2.8) ergeben sich für die in Def.
2.2.9 aufgestellten Funktionen ζν und ζ − , ζ + die folgenden Zusammenhänge:
ζν (θ, ρ) =
−ν a + ρ sin θ
,
cos θ
ζ − (θ, ρ) =
−r − ρ cos θ
,
sin θ
ζ + (θ, ρ) =
+r − ρ cos θ
.
sin θ
44
2.3
2.3.1
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
Menge und Maß von Testobjekten
Menge und Maß von Geraden
Im nächsten Teil über die geometrischen Wahrscheinlichkeiten beschäftigen wir uns
in den Zufallsexperimenten I und II mit Geraden, welche die Einhüllenden der Gitter
n
R∞
a,2r und Ra,2r treffen. Hierfür sind Bezugsmaße zu definieren und zu bestimmen,
wobei wir an den Überlegungen im Abschnitt 1.4 anknüpfen können.
Definition 2.3.1.1 (Bezugsmaße für Zufallsexperimente I und II).
Gegeben sei ein Gitter C und Geraden als Testobjekte. Die Menge aller Geraden,
die einen Punkt mit der in Def. 2.1.4 eingeführten Menge K des Inneren des Gitters
C gemeinsam haben, wird allgemein mit D und das Maß dieser Menge mit µ(D)
bezeichnet.
Insbesondere schreiben wir für die Menge, bzw. das Maß aller Geraden, die das
Innere von R∞
a,2r treffen DI , bzw. µ(DI ) und für diejenige Menge, bzw. dasjenige
Maß aller Geraden, die das Innere von Rna,2r treffen DII , bzw. µ(DII ).
Für diese Ereignisse sind nun die Bezugsmaße µ(DI ) und µ(DII ) zu berechnen.
Dabei sind die Unterschiede in den Maßen beider Mengen bedeutend, da das zweite
Maß – ähnlich wie das dritte – auf den Umfang von K Bezug nimmt, was im ersten
Fall nicht möglich ist.
Insbesondere genügt es hier und im folgenden bzgl. der Koordinate bzw. des Winkels θ nur über das Intervall [0, π/2] zu integrieren, da alle Gitter und Testobjekte
achsensymmetrisch sind!
Da das Gitter R∞
a,2r homogen ist (sich also entlang der “vertikalen Richtung“
nicht ändert), genügt es eine Elementarzelle zu betrachten, in der die Testobjekte
in Form der Geraden zu liegen kommen. Hier kann diese Elementarzelle als Strecke
vom Ursprung O = (0, 0) zum Punkt A = (0, a) in den kartesischen Koordinaten
(x, y) betrachtet werden. Wir fassen die Menge DI und das Maß hiefür also so auf,
dass es alle Geraden der Ebene umfasst, die mit der Strecke OA einen Schnittpunkt
gemeinsam haben.
G
…
y
a
a sin q
…
q
0
x
Bild 2.11: Gerade G in der Elementarzelle
2.3. MENGE UND MASS VON TESTOBJEKTEN
45
Nach Abschnitt 1.4 ist das Maß aller zufälligen Geraden, die diese Strecke (line
segment) schneiden mit dem Dichteelement dG aus Korollar 1.3.1.5 zu
Z
Z
µ(DI ) =
π/2
Z
a sin θ
dG = 2
DI
dρ dθ = 2a
θ=0
(2.9)
0
angebbar – vgl. auch das Ergebnis (1.13). Das Bild 2.11 zeigt dabei eine Gerade in
der Elementarzelle und veranschaulicht die Integrationsbereiche.
Etwas anders sieht es für die Menge DII aus: Als Bezugsmaß µ(DII ) für die
geometrische Wahrscheinlichkeit ist jetzt das Maß für die Menge von Geraden heranzuziehen, die eine (nicht zur Strecke entartete) konvexe Menge treffen, welche hier
m
gerade K als das Innere der Einhüllenden von Rna,2r = Ca,2r
ist. Im Abschnitt 1.4
konnten wir dafür die Aussage
Z
Z
dG =
dL = L
K
herleiten, wobei L wieder für den Umfang (perimeter ) der Menge K steht. In unserem Fall ist dies also 2(ma + 2r). Mit unseren in Korollar 2.2.8 formulierten Funktionen ρ±
ν können wir die Angabe dieses Maßes zu
Z
Z
µ(DII ) =
π/2
dG = 2
θ=0
DII
Z
Z
ρ+
m (θ)
ρ−
0 (θ)
π/2
2r (cos θ + mλ sin θ) dθ
dρ dθ = 2
θ=0
= 2 · 2r (1 + mλ) = 4r m
¡1
m
+λ
¢
(2.10)
bestätigen. Dabei veranschaulicht das Bild 2.12 die Integration über θ und jeweils
+
von ρ−
0 bis ρm – also über das ganze Gitter der Höhe ma.
r m+
r
r m+
r
G
G
-
r0
q
r -0
q
Bild 2.12: Gerade G über ganzem Gitter
Korollar 2.3.1.2. Für die in Def. 2.3.1.1 formulierten Maße µ(DI ), bzw. µ(DII )
gelten die in (2.9), bzw. (2.10) angegebenen Beziehungen.
46
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
2.3.2
Menge und Maß von Strecken
Für Zufallsexperiment III schließlich wird als Bezugsmaß dasjenige der Menge DIII
benötigt, das alle Strecken der Länge l beinhaltet, die K nach Def. 2.1.4 eines Gitters
C treffen. Dies fassen wir wie folgt zusammen:
Definition 2.3.2.1 (Bezugsmaß für Zufallsexperiment III).
Gegeben sei ein Gitter C und Strecken als Testobjekte. Die Menge aller Strecken, die
einen Punkt mit der in Def. 2.1.4 eingeführten Menge K des Inneren des Gitters C
gemeinsam haben, wird allgemein mit DIII und das Maß dieser Menge mit µ(DIII )
bezeichnet.
zm -l
zm -l
r
rm
r m+
r m-
-
r m+
z --l
z --l
z+
r -0
q
z0
r
z
H
H
r -0
r +0
+
z
q
r +0
z0
z
Bild 2.13: Strecke H über ganzem Gitter: π/2 > θ ≥ θm und θm > θ ≥ 0
Auch hierfür haben wir im Abschnitt 1.4, Korollar 1.4.2, ein Ergebnis angegeben:
µ(DIII ) = πF + lL .
Mit
F = 2r · ma und L = 4r + 2ma
als Fläche und Umfang des Gitters erhalten wir somit
µ(DIII ) = π · 2rma + 4rl + 2mal ,
(2.11)
was wir aber auch hier noch einmal gesondert und speziell für das im Bild 2.1 gezeigte
Gitter aus einem Integral gewinnen möchten – nicht zuletzt, um bereits an dieser
Stelle in Form einer Fingerübung die im letzten Abschnitt eingeführten Funktionen
im Einsatz zu zeigen, die uns im kommenden Teil über einen weiten Weg begleiten
und ihre nützlichen Dienste entfalten werden.
Nach Bild 2.13 und den im Abschnitt 1.3.2, Bild 1.8, eingeführten erweiterten
Polarkoordinaten (θ, ρ, ζ), dem Streckenelement dH nach (1.12), dem nach Def. 2.2.6
2.3. MENGE UND MASS VON TESTOBJEKTEN
47
eingeführten Winkel θm und den in Korollar 2.2.10 notierten Funktionen ζν und ζ ±
können wir dieses Maß folgendermaßen als Summe von Integralen angeben:
Z
µ(DIII ) =
dH
DIII
µZ
Z
π/2
= 2·
π/2
Z
+
µZ
θm
Z
+ 2·
θ=0
Z
θm
+
θ=0
ρ+
m (θ)
Z
dζ dρ dθ +
Z
θ=θm
ρ−
m (θ)
Z
ζ + (θ,ρ)
dζ dρ dθ
ρ+
0 (θ)
ζ − (θ,ρ)−l
¶
ζ + (θ,ρ)
dζ dρ dθ
Z
Z
ζ0 (θ,ρ)
θm
dζ dρ dθ +
ρ−
0 (θ)
ρ+
0 (θ)
Z
π/2
ζm (θ,ρ)−l
ρ−
m (θ)
ρ+
m (θ)
Z
ζ0 (θ,ρ)
ζ − (θ,ρ)−l
ρ−
m (θ)
θ=θm
Z
ρ−
0 (θ)
θ=θm
Z
ρ+
0 (θ)
ζ − (θ,ρ)−l
Z
θ=0
Z
ρ0+ (θ)
ρ−
m (θ)
Z
ζ0 (θ,ρ)
dζ dρ dθ
ζm (θ,ρ)−l
¶
ζ + (θ,ρ)
dζ dρ dθ
.
(2.12)
ζm (θ,ρ)−l
Diese Summe von Integralen wurde mit Mathematica bestimmt, was wir hier schrittweise nachvollziehen wollen. Interessant ist, dass die folgenden Funktionen von θ
sogar gleich sind:
Z
h1 (θ) =
=
ρ+
0 (θ)
ρ−
0 (θ)
Z
Z
ζ0 (θ,ρ)
dζ dρ +
ζ − (θ,ρ)−l
ρ−
m (θ)
Z
Z
ζ + (θ,ρ)
dζ dρ +
ρ+
0 (θ)
ζ − (θ,ρ)−l
ρ+
m (θ)
ρ−
m (θ)
Z
ζ + (θ,ρ)
dζ dρ
ζm (θ,ρ)−l
¢
1 ¡ 2
· l α cos θ + m(α + λ sin θ)
λ
und
Z
h2 (θ) =
=
ρ−
m (θ)
ρ−
0 (θ)
Z
Z
ζ0 (θ,ρ)
dζ dρ +
ζ − (θ,ρ)−l
ρ+
0 (θ)
ρ−
m (θ)
Z
Z
ζ0 (θ,ρ)
dζ dρ +
ζm (θ,ρ)−l
ρ+
m (θ)
ρ+
0 (θ)
Z
ζ + (θ,ρ)
dζ dρ
ζm (θ,ρ)−l
¢
1 ¡ 2
· l α cos θ + m(α + λ sin θ) ,
λ
so dass µ(DIII ) mit h := h1 = h2 in der Form (2.12) auch zu
Z
π/2
µ(DIII ) = 2
h(θ) dθ
θ=0
formuliert werden kann – offenbar haben die Fallunterscheidungen nach Bild 2.13
bzgl. des Winkels θm keinen Einfluss auf das Integral bzw. Maß als Ganzes!
48
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
Wir können daher die folgende, übersichtliche Berechnung anstellen, um
Z π/2
¢
1 ¡ 2
µ(DIII ) = 2
· l α cos θ + m(α + λ sin θ) dθ
θ=0 λ
³1
´
π
2 α
= 2ml
+ α+λ
λ m 2
³1
´
π
= 4r l m
+ α+λ
m 2
zu erhalten. Das Ergebnis dieser Berechnung stimmt also mit der Angabe πF + lL
überein und wir fassen unser abschließend gewonnenes Resultat in folgendem Satz
zusammen:
Korollar 2.3.2.2. Für das in Def. 2.3.2.1 formulierten Maß µ(DIII ) aller Strecken
bzw. Nadeln in der Ebene, die ein begrenztes Gitter der Breite 2r und der Höhe ma
treffen, gilt die Beziehung
¡
¢
µ(DIII ) = 4r l m m1 + π2 α + λ
¡
¢
(2.13)
= 2m l2 αλ m1 + π2 α + λ .
Dass Maße in ihren Parametern nicht so anschaulich zu interpretieren sind –
weil absolute Abmessungen darin vorkommen –, soll die in diesem Kapitel abschließende Diskussion deutlich machen. (Anm.: Die Maße und Parameter werden ihre
volle Kraft erst in den geometrischen Wahrscheinlichkeiten entfalten, vgl. nächstes
Kapitel.)
µ
300
250
200
a= 1
l=1
150
100
50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
α
Bild 2.14: Maß µ(DIII ) über α mit λ = 0,5 und m = 5
In dem Diagramm des Bildes 2.14 ist das Maß µ(DIII ) als Funktion von α zu
sehen: einmal, wie gekennzeichnet, mit l = 1 und ein anderes mal mit a = 1:
³
¡1
¢´
2
2 1
l = const. : µ(DIII ) = l · α · λ mπ + α · 2 λ + m ,
³2 ¡
´
¢ 1
2
1
·
a = const. : µ(DIII ) = a ·
+ m + λ mπ .
α λ
2.3. MENGE UND MASS VON TESTOBJEKTEN
49
Dabei macht die Beziehung (2.11) in absoluten Abmessungen deutlich, dass
das Maß µ(DIII ) bei Zunahme jeder Länge ebenfalls wächst. Effekte wie im Bild
2.14 bei a = const. treten also durch die “inneren Abhängigkeiten“ auf, wenn mit
“gekoppelten Parametern“ gearbeitet wird.
Wir haben daher die Form (2.13) im Korollar 2.3.2.2 so gewählt, dass durch den
herausgezogenen Faktor l2 , mit der Nadellänge l als einziger absoluter Abmessung
in dieser Beziehung für µ(DIII ), die Gittergrößen a und 2r ganz in den Parametern
α und λ aufgehen.
Das Bild 2.15 zeigt µ(DIII ) als Flächenschar und Funktion von α, λ und m, wobei l = 1 gesetzt wurde; in Bild 2.16 wird veranschaulicht, warum µ(DIII ) über α
quadratisch und über m linear wächst: denn eine Zunahme in α bedeutet ein Anwachsen von a, weil l = const., dadurch muss auch 2r so zunehmen, dass wiederum
λ = const. bleibt, die Fläche des Inneren von C wächst also in “zwei Richtungen“,
während dies bei einer Zunahme in der Zellenzahl m nur in “einer“ erfolgt.
330
µ
5
0
4
m
1
3
2
2
α
1 3
Bild 2.15: l = 1: Maß µ(DIII ) über α, m und in den Flächen von oben nach unten für
λ = 0,5 , 1 und 2
beide Abmessungen wachsen
Höhe wächst
l
m
a= a
l
l=
l
C
const.
a
2r
a
const.
a
2r
C
2r
const.
Bild 2.16: Wachsen von C durch Zunahme in α und m bei λ = const. und l = const.
50
KAPITEL 2. PARALLEL-GITTER VON STRECKEN
Das Bild 2.17 trägt µ(DIII ) über α und λ auf. Dabei wird deutlich, dass µ(DIII )
gegenüber λ umgekehrt proportional wächst, wie es in dem darunter gezeigten Bild
2.18 veranschaulicht wird: zunächst ist festzuhalten, dass bei α = const. und l =
const. auch die Zellenhöhe a konstant ist; nimmt λ nun zu, so kann dies nur durch
Abnahme von 2r, also der Gitterbreite, erfolgen, mithin muss die Fläche des Inneren
der Gittereinhüllenden schrumpfen und µ(DIII ) abnehmen.
330
200
µ 100
0
0.5
1
1
λ
2
α
2 3
Bild 2.17: l = 1: Maß µ(DIII ) über α, λ und in den Flächen von oben nach unten für eine
Zellenzahl m = 5, 2, 1
Breite nimmt ab
const.
l
a= a
l
l=
l
a
a
2r
C
const.
a
2r
Bild 2.18: Abnahme der Gitterbreite von C bei Zunahme von λ, wenn α = const. und
l = const.
Teil II
Geometrische
Wahrscheinlichkeiten
51
Kapitel 3
Dieser Teil in der Übersicht
3.1
Die Zufallsexperimente
Wie in der Einführung und dem Bild 10 beschrieben, nehmen wir in diesem Teil
die Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeit vom k-fachen Treffen unseres
Testobjekts mit dem Gitter in Angriff. Dabei unterscheiden wir zunächst die drei
folgenden Konfigurationen:
Zufallsexperiment I :
Geraden G als Testobjekte, Gitter C = R∞
a,2r ,
m
Zufallsexperiment II : Geraden G als Testobjekte, Gitter C = Rna,2r = Ca,2r
,
m
Zufallsexperiment III : Strecken H als Testobjekte, Gitter C = Rna,2r = Ca,2r
.
Aus dem allgemein(st)en Ergebnis für das Zufallsexperiment III können sowohl
die Resultate der ersten beiden, als auch die der Zufallsexperimente IV und V, vgl.
Bild 10, und ergänzend die des Zufallsexperiments VI aus Bild 11 abgeleitet werden:
Zufallsexperiment IV : Strecken H als Testobjekte, Gitter C = R∞
a,2r ,
Zufallsexperiment V : Buffon: Strecken H als Testobjekte, Gitter C = R∞
a,2r→∞ ,
Zufallsexperiment VI : Strecken H als Testobjekte, Gitter C = Rna,2r→∞ .
Als Einstieg in die Problematik der endlichen Parallel-Gitter möchten wir hier
dennoch die geometrischen Wahrscheinlichkeiten der ersten beiden Zufallsexperimente rigoros herleiten. 1 Dabei wird auch deutlich, wie unterschiedlich die Gitter
zu behandeln sind – was bereits in den Abschnitten 2.3.1 und 2.3.2 bei Berechnung
der Maße für die Grundmengen D anklang. Ein sehr ähnliches Vorgehen wird auch in
den kommenden Kapiteln zu Tage treten, was natürlich einfach daraus verständlich
wird, als dass die Bestimmung der Grundmenge an Testobjekten bzgl. des Gitters
1
In dieser Reihenfolge wurden die Ergebnisse auch entwickelt und nach und nach “verdichtet“;
nicht zuletzt aus dem Grund, weil die Zunahme an “Komplexität“ erheblich in der Kombination
der Endlichkeit von Gitter und Testobjekt steigt.
53
54
KAPITEL 3. DIESER TEIL IN DER ÜBERSICHT
und die Bestimmung ausgewählter Mengen mit denselben Koordinaten und in ganz
ähnlichen Grenzen verläuft.
Je Kapitel werden wir ein Problem formulieren, welches die Situation im entsprechenden Zufallsexperiment zusammenfasst und in einer Frage mündet, die dann in
den kommenden Abschnitten des Kapitels beantwortet wird. Die darin formulierten
geometrischen Wahrscheinlichkeiten notieren wir als Funktionen in Abhängigkeiten
der “freien“ Parameter:
Zufallsexperiment I :
pI = pI (λ, k),
Zufallsexperiment II :
pII = pII (λ, m, k),
Zufallsexperiment III : pIII = pIII (α, λ, m, k),
wobei a, r und l in den relativen Parametern α und λ nach Abschnitt 2.1, Def.
2.1.2, aufgehen. Für die übrigen Fragestellungen werden dann im letzten Kapitel
dieses Teils
Zufallsexperiment IV : pIV = pIV (α, λ, k) = limm→∞ pIII (α, λ, m, k),
Zufallsexperiment V :
pV = pV (α, k) = limλ→0 pIV (α, λ, k),
Zufallsexperiment VI : pVI = pVI (α, m, k) = limλ→0 pIII (α, λ, m, k)
aus Grenzwertbetrachtungen gewonnen – der Fall VI noch in Anlehnung und Ergänzung an Bild 11 aus der Einführung.
3.2
Geometrische Wahrscheinlichkeiten
Nach Abschnitt 1.1 kann die geometrische Wahrscheinlichkeit für das Ereignis einer
Menge S von ausgesuchten Testobjekten in Form von Geraden oder Strecken mit
bestimmten Eigenschaften zu
µ(S)
p(S) =
(3.1)
µ(D)
angegeben werden. Das Ereignis S wird dabei die Menge aller Testobjekte sein, die
das Gitter k-mal schneiden. Die Menge D in der Ausprägung als DI , DII und DIII
je Szenario stellt die Grundmenge der Testobjekte dar, wie sie in den Abschnitten
2.3.1 und 2.3.2 genannt wurden.
In den folgenden Kapiteln werden die jeweiligen Mengen S für die Zufallsexperimente und die hierin auftretenden Fallunterscheidungen aufgestellt. Weil wir dabei
mit den “realen“ geometrischen Gittern mit ihren Abmessungen in a und d = 2r arbeiten werden, formulieren wir diese Mengen in Abhängigkeit der Gitterkonstanten
bzw. Länge des Testobjektes:
3.2. GEOMETRISCHE WAHRSCHEINLICHKEITEN
Zufallsexperiment I :
55
SI = SI (a, r, k),
Zufallsexperiment II : SII = SII (a, r, m, k),
Zufallsexperiment III : SIII = SIII (a, r, l, m, k).
Die bezogenen Gitterparameter α und λ kommen erst dann (vollständig) zum Tragen, wenn wir mit den Maßen daraus jeweils
pi =
µ(Si )
, i = I, II und III,
µ(Di )
bilden werden und sich alle absoluten Abmessungen entweder kürzen oder in Form
der Parameter aufgehen – wie es zu der bezogenen Angabe in Form einer Wahrscheinlichkeit stimmig ist. In den Beziehungen (2.10) und (2.13) ist dieses Herausziehen
der absoluten Größen für die Maße µ(DII ) und µ(DIII )¡z.T. schon
geschehen;
¢
¡ 1 π insbe-¢
1
sondere die in den Klammern formulierten Ausdrücke m + λ , bzw. m + 2 α + λ
werden dabei als Nenner in den pi auftreten.
Das Maß µ(S) einer Menge in der hier aufgestellten Form
[©
ª
S =
G | θi1 ≤ θ < θi2 ∧ ρi1 ≤ ρ < ρi2 , bzw.
(3.2)
i
S =
[©
H | θi1 ≤ θ < θi2 ∧ ρi1 ≤ ρ < ρi2 ∧ ζi1 ≤ ζ < ζi2
ª
(3.3)
i
mit i als Laufindex über eine später noch näher zu bestimmende Anzahl an notwendigen Fallunterscheidungen über die Grenzen der Koordinaten θ, ρ und ζ ergibt sich
dann zu
Z
X Z θi2 Z ρi2
µ(S) =
dG =
dG , bzw.
(3.4)
S
i
Z
dH =
µ(S) =
S
θ=θi1
XZ
i
θi2
ρ=ρi1
Z
ρi2
Z
ζi2
dH ,
θ=θi1
ρ=ρi1
(3.5)
ζ=ζi1
daran erinnernd, dass wir nach Abschnitt 1.1 mit S ∈ S = B = σ(I q ), q =2, bzw. 3
in den Formen (3.2) und (3.3) in der Borelschen σ-Algebra verbleiben.
Die in dem Kapitel 6 mit dem Zufallsexperiment III auftretenden Beschreibungen
der Mengen S bzw. Grenzen in θ, ρ und ζ werden wir vor allem in Form von Tabellen
angeben, die dann nach obigem Schema mit Hilfe von Mathematica und der im
Anhang B, Abschnitt B.2, gezeigten Umgebung integriert werden.
56
3.3
KAPITEL 3. DIESER TEIL IN DER ÜBERSICHT
Ausnutzen der Achsensymmetrie
Noch eine instruktive Anmerkung zur vorliegenden Achsensymmetrie in allen unseren Zufallsexperimenten: Wie im Abschnitt 2.3.1 bereits erwähnt, ergeben sich aus
der Platzierung der Gitter C in kartesische Koordinaten nach Bild 3.1 stets bzgl.
der y-Achse symmetrische Lageverhältnisse.
y
C
-r
r
0
x
Bild 3.1: Zur y-Achse symmetrisch angeordnetes Gitter
Daraus folgt insbesondere: Für eine Menge S \ von Testobjekten T – Geraden
oder Nadeln –, die unter einem Winkel von
0 ≤ θ <
π
2
auf das Innere des Gitters fallen und eine bestimmte Bedingung E(T ) erfüllen, etwa
das Gitter k-mal treffen oder allgemein: eine konvexe, zur y-Achse symmetrische
Menge K nach Bild 3.2 treffen, gibt es als Pendant eine Menge S / von Testobjekten
T ∗ , die sich genau aus den zu T ∈ S \ bzgl. der y-Achse symmetrischen Objekten
rekrutieren, mithin auf das Gitter in einem Winkel von
π
≤ θ∗ < π ,
2
θ∗ := π − θ ,
fallen und welche ebenfalls die Bedingung E(T ) “unter dem Winkel“ θ∗ erfüllen. Die
Menge S aller Testobjekte, die das Gitter treffen und der Bedingung E genügen, ist
dann
S = S \ ∪ S / mit S \ ∩ S / = ∅ .
(3.6)
Nach Bild 3.2 wären das also beispielsweise die Mengen
ª
©
S \ = T | 0 ≤ θ < π2 ∧ T ∩ K 6= ∅
und
S/ =
©
ª
T ∗ | π2 ≤ θ∗ < π ∧ T ∗ ∩ K 6= ∅ ,
so dass in der Menge S nach (3.6) in diesem Falle alle Testobjekte liegen, die das
Gitter treffen und gleichzeitig mit K einen gemeinsamen Punkt aufweisen.
3.3. AUSNUTZEN DER ACHSENSYMMETRIE
57
Diese Symmetrie soll nun dazu ausgenutzt werden, das Aufstellen der Mengen
aller Testobjekte bzgl. eines Gitters möglichst schlank zu halten und vor allem die
Berechnung des Maßes dieser Menge recht einfach zu gestalten.
y
r
r
y
*
r2
r2
T*
K
K
T
z1
z
r1*
r1
q
*
q
x
0
z2
q*
0
z 1*
z
z2
x
Bild 3.2: Winkel π/2 > θ und θ∗ > π/2
So gilt etwa in unserem Beispiel bzgl. der Testobjekte T , bzw. T ∗ , die eine
konvexe Menge K treffen, d.h. T ∩ K 6= ∅, bzw. T ∗ ∩ K 6= ∅ erfüllen, folgende
Gleichheit
Z
π/2
Z
Z
ρ2 (θ)
ζ2 (ρ,θ)
µ(S ) =
dζ dρ dθ
\
θ=0
Z
ρ=ρ1 (θ)
Z
π
=
θ∗ =π/2
ζ=ζ1 (ρ,θ)
ρ∗2 (θ ∗ )
ρ=ρ∗1 (θ ∗ )
Z
ζ2∗ (ρ,θ∗ )
dζ dρ dθ∗ = µ(S / ) ,
ζ=ζ1∗ (ρ,θ∗ )
wegen
ρ∗1 (θ∗ ) = ρ1 (θ) , ρ∗2 (θ∗ ) = ρ2 (θ)
und
ζ2∗ (ρ, θ∗ ) − ζ1∗ (ρ, θ∗ ) = ζ2 (ρ, θ) − ζ1 (ρ, θ) .
Es gilt also mit (3.6) das wichtige Ergebnis
µ(S) = µ(S \ ) + µ(S / )
= 2 µ(S \ ) .
(3.7)
Jede Gitterzelle entspricht nun einer konvexen Menge, so dass wir (3.7) auch
für die Testobjekte bzgl. des Gitters heranziehen können. Genauer können wir aber
auch gemäß der Bilder 3.3 und 3.4 diese allgemeine Symmetrie bzgl. der auftretenden
Grenzen in den Koordinaten ρ und ζ nachweisen.
58
KAPITEL 3. DIESER TEIL IN DER ÜBERSICHT
y
y
-
+
n
rn
r
r
-
rt
r
+
q*
q
0
rt
0
x
x
Bild 3.3: Winkel π/2 > θ und θ∗ > π/2, Symmetrie bzgl. ρ±
Zunächst haben wir nach Bild 3.3 die Symmetrie in der Koordinate ρ, d.h. für
ganze Zahlen ν, τ gilt mit θ∗ = π − θ und den Funktionen aus Korollar 2.2.8 die
Gleichheit
−
ρ+
ν (θ) − ρτ (θ) = (ν − τ )a sin θ + 2r cos θ
∗
+ ∗
= (ν − τ )a sin θ∗ − 2r cos θ∗ = ρ−
ν (θ ) − ρτ (θ ) .
Für Geraden als Testobjekte genügt es also stets, die Menge S \ aufzustellen,
um zu einer Aussage und dem Maß aller Geraden zu kommen, die ein Gitter in
bestimmter Eigenschaft treffen.
zn
y
y
z
z
+
z
-
r
zt
zn
-
z
z
zt
r
q*
q
0
z
0
x
z
zn
r
y
+
x
r
-
z
+
z
y
zn
z
-
+
zt
zt
z
q*
q
0
z
x
0
x
Bild 3.4: Winkel π/2 > θ und θ∗ > π/2, Symmetrie bzgl. ζ ±
3.4. EINFÜHRUNG EINER ZUFALLSVARIABLEN
59
Ebenso gilt dieses Verhalten auch für Nadeln als Testobjekte, was wir dem Bild
3.4, das alle Fälle möglicher Differenzen in den Grenzen der Koordinate ζ auflistet,
zusammen mit den Funktionen nach Korollar 2.2.10 und der Gleichheit folgender
Differenzen
ζτ (ρ, θ) − ζ − (ρ, θ) =
r cos θ − τ a sin θ + ρ
sin θ cos θ
=
r cos θ∗ + τ a sin θ∗ − ρ
= ζ + (ρ, θ∗ ) − ζτ (ρ, θ∗ ) ,
∗
∗
sin θ cos θ
ζτ (ρ, θ) − ζν (ρ, θ) =
(ν − τ )a
(τ − ν)a
=
= ζν (ρ, θ∗ ) − ζτ (ρ, θ∗ ) ,
cos θ
cos θ∗
ζ + (ρ, θ) − ζν (ρ, θ) =
r cos θ + νa sin θ − ρ
sin θ cos θ
=
r cos θ∗ − νa sin θ∗ + ρ
= ζν (ρ, θ∗ ) − ζ − (ρ, θ∗ )
∗
∗
sin θ cos θ
entnehmen können. Insgesamt gilt also auch für die Testobjekte “Gerade“ und
“Nadel“, dass eine Aussage bzgl. ihrer Bewegung innerhalb bestimmter Intervallbereiche in den Koordinaten ρ und ζ für einen Fallwinkel von 0 ≤ θ < π/2 ausreichend
sind, um das Verhalten aller Testobjekte bzgl. dieser Bewegung auf dem Gitter zu
erfassen. Und insbesondere kann das Maß der Menge S aller Testobjekte auf dem
Gitter, die sich aufgrund eines bestimmten Schnittverhaltens innerhalb bestimmter
Intervalle bewegen, aus dem Maß der Menge S \ aller Testobjekte berechnet werden,
die mit einem Fallwinkel 0 ≤ θ < π/2 auf das Gitter zu liegen kommen, wobei nach
Beziehung (3.7)
µ(S) = 2 µ(S \ )
gilt. Zusammen mit den Berechnungen aus dem letzten Kapitel nach Abschnitt 2.3
ergeben die Überlegungen dieses Kapitels bereits eine sehr klare Route für das, was
wir in den nächsten drei Kapiteln berechnen werden und vor allem, wie wir es tun
werden.
3.4
Einführung einer Zufallsvariablen
Wir können die Frage nach den Wahrscheinlichkeiten pi , i = I, ..., VI, auch in der
Form nach der Verteilung einer Zufallsvariablen (ZV) Xi stellen, welche die Menge
Di der Testobjekte auf die Anzahl der Schnitte mit dem im jeweiligen Szenario
ausgewählten Gitter abbildet:
Xi : Di −→ N0
T
7−→ Xi (T ) := # { Schnitte T mit Ci } .
(3.8)
60
KAPITEL 3. DIESER TEIL IN DER ÜBERSICHT
Die Mengen S können dann auch als Urbild
Sk := X −1 ({k})
(3.9)
der Argumente aus N0 gedeutet werden und die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
pk für den k-fachen Schnitt stellen gerade die Dichtefunktion der ZV dar.
Insbesondere soll es unser Ziel in den jetzt anschließenden
Betrachtungen der
Pn
Zufallsexperimente sein, den Erwartungswert E(Xi ) = k=0 kpk zu bestimmen.
3.5
Entropie der Zufallsexperimente
Im Jahre 1854 führte Rudolf Clausius eine neue Größe als “ Äquivalenzwert einer
Verwandlung“ ein, um damit eine quantitative Fassung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik zu formulieren, die er später (1865) als Entropie bezeichnete, vgl. [61].
Über die Arbeiten weiterer Wissenschaftler (L. Boltzmann, M. Planck, T. Jaynes)
fand der Begriff der Entropie durch Claude Shannon 1949 auch Eingang in die Informationstheorie.
Im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne wird dieses Konzept in [45], [47] und
[62] erörtert, wonach die Entropie den Grad der Unbestimmtheit oder alternativ des
Informationsgewinns eines Versuchs S mit verschiedenen Ausgängen erfasst. Die
Funktion H der Entropie eines Ereignisses erfüllt fünf Axiome, vgl. [45]:
(1) : H(1) = 0,
(2) : p1 < p2 ⇒ H(p2 ) < H(p1 ), ∀ p1 , p2 ∈ ]0, 1],
(3) : H(p) ist stetig auf ]0, 1],
(4) : H(p1 p2 ) = H(p1 ) + H(p2 ), ∀ p1 , p2 ∈ ]0, 1],
(5) : H(1/2) = 1 (Standardisierung).
Man kann damit zeigen, siehe [46], dass
H(p) = − log2 p
gilt, wobei wir im folgenden ld := log2 schreiben. Bei einem Zufallsexperiment mit
den disjunkten Ereignissen A1 ,P
A2 , ..., An und den zugehörigen (positiven) Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , ..., pn , nk=1 pk = 1 wird der mittlere Informationsgewinn
dann erweiternd durch
H(p1 , p2 , ..., pn ) = −
n
X
pk ldpk = −E(ldX)
k=1
erfasst, wobei die Zufallsvariable X dann in Form der Dichte (p1 , ..., pn ) verteilt sei.
(Die letzte Gleichung liegt nicht unbedingt auf der Hand. Wir verweisen hier auf das
interessante und lohnend zu lesende Kapitel ’Functions of one Random Variable’ in
dem Buch [47].)
3.5. ENTROPIE DER ZUFALLSEXPERIMENTE
61
In [62] wird gezeigt, dass bei einer Gleichverteilung
p1 = p2 = ... = pk = ... = pn =
1
n
die Funktion H ihren größten Wert annimmt, nämlich
H( n1 , ..., n1 ) = ld n ,
wie man leicht berechnet.
Bezogen auf unsere Zufallsexperimente II und III mit den disjunkten Ausgängen
S0 , S1 , ..., Sk , ..., Sm oder Sm+1 jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p0 , p1 , ..., pk ,
..., pm oder pm+1 , wird die Entropie durch die Summe
H(p0 , p1 , ..., pm , pm+1 ) = −
m+1
X
pk ldpk
(3.10)
k=0
festgelegt (definitorisch wird 0 · ld(0) = 0 vereinbart). Im Zufallsexperiment I tritt
eine unendliche Reihe auf, die wir im Abschnitt 4.5 als konvergent für λ > 0 nachweisen.
Etwas von der Bezeichnung der Literatur abweichend, schreiben wir die Funktion H bzw. ihren Funktionswert hier wie üblich in Abhängigkeit der “zentralen“
Parameter α, λ und m:
Zufallsexperiment I :
HI (λ) := H(p0 (λ), p1 (λ), ...),
Zufallsexperiment II :
HII (λ, m) := H(p0 (λ, m), p1 (λ, m), ..., pm (λ, m), pm+1 (λ, m)),
Zufallsexperiment III :
HIII (α, λ, m) := H(p0 (α, λ, m), p1 (α, λ, m), ..., pm (α, λ, m), pm+1 (α, λ, m)).
Nach der oben zitierten Aussage sind die Funktionen HII,III nach oben durch den
Wert
Ĥm = ld(m + 2) , m > 0 ,
(3.11)
als den höchsten Grad an Unbestimmheit, beschränkt; sie nähmen diesen Wert an,
wenn für alle geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk = 1/(m + 2) der Fall wäre,
d.h. wenn alle Schnittzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit aufträten. Daran ist
bereits zu erkennen, dass HI kein Maximum aufweist. Wir werden die tatsächlich
auftretende Entropie in den ZE II und III z.T. mit diesem Wert ins Verhältnis setzen,
um den Grad der Entropie im Zufallsexperiment zu ermitteln.
62
KAPITEL 3. DIESER TEIL IN DER ÜBERSICHT
3.6
Allgemeines Vorgehen
Diesem der Strukturierung dienenden Vorspann folgend, gliedern sich die übrigen
Kapitel dieses Teils nach einem einheitlichen Ablauf:
• Problembeschreibung des Zufallsexperiments (ZE),
• Unterteilung der Fälle nach der Schnittzahl k und ggf. darunter nach den
Bewegungsmöglichkeiten (Bewegungsmodi),
• Diskussion der Bewegungsmodi,
• Aufstellen der Mengen Sk ,
• Berechnen der Maße µ(Sk ),
• Bestimmung der geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk =
µ(Sk )
,
µ(D)
• Diskussion und Vergleich der ZE und der Verteilung von X,
• je nach Besonderheit oder Bedeutung des ZE werden abschließend noch weitere, kurze Exkurse durchgeführt,
• abschließend beleuchten wir für I bis III die Entropie des ZE.
Kapitel 4
Gerade auf Gitter R∞
a,d
4.1
Problemstellung: Zufallsexperiment I
…
Als erstes betrachten wir folgendes Zufallsexperiment: Das Testobjekt G in Form
einer Geraden bzw. unendlich langen Nadel wird in zufälliger Weise auf ein Gitter
fallen gelassen, das aus parallel angeordneten Strecken der jeweiligen Länge d := 2r
besteht, die in festem Abstand a nach Bild 4.1 voneinander entfernt liegen. Dabei
besteht das Gitter aus abzählbar unendlich vielen Strecken.
Gitter
von
Strecken
Nadel
(Gerade)
C
a
…
G
d = 2r
Bild 4.1: Gerade G auf Parallelgitter C
In diesem ersten Kapitel unserer Untersuchungen bzgl. geometrischer Wahrscheinlichkeiten soll folgender Frage nachgegangen werden:
Problem 4.1. Mit welcher geometrischen Wahrscheinlichkeit pI (λ, k) trifft die Nadel das Gitter R∞
a,d und wieviele Schnitte ergeben sich im Mittel?
63
64
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
4.2
Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen Schnitt
Als Vorüberlegung und Einführung sollen zunächst die geometrischen Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, nach denen das Testobjekt G keine bzw. mindestens
eine der Strecken des Gitters R∞
a,d trifft. Dabei nehmen wir Bezug auf das Grundereignis DI nach Abschnitt 2.3.1 und Definition 2.3.1.1.
r-1 1
r+ 0
y
a
y
a
0
1
r
q1
0
q
x
r
r
0
x
Bild 4.2: Testobjekt G auf der Elementarzelle
Sind die Bedingungen
θ1 ≤ θ <
π
−
und ρ+
0 ≤ ρ < ρ1
2
für eine zufällige Gerade der Form
G : x cos θ + y sin θ = ρ
in der Elementarzelle erfüllt, vgl. Bild 4.2 im rechten Teil, so ergibt sich kein Schnitt
mit den Strecken des Gitters. Dies ist gleichzeitig der einzige Fall, dass kein Schnitt
zwischen Testobjekt und Gitter stattfindet. Definieren wir die Menge S0 aller Geraden, die das Gitter in der Elementarzelle nicht schneiden, so gilt gemäß der Betrachtungen nach Abschnitt 3.3 die Vereinigung
©
ª
π
−
S0 = S0\ ∪ S0/ mit S0\ = G | θ1 ≤ θ < und ρ+
≤
ρ
<
ρ
(4.1)
0
1
2
als die Menge der Geraden, die unter einem Winkel von θ1 ≤ θ < π2 auf das Gitter
auftreffen und dieses nicht schneiden, sowie S0/ als deren bzgl. der y-Achse symmetrisches Pendant. Das Maß der Menge S0 ergibt sich nach (3.7) zu
Z π/2 Z ρ−1
\
dθ dρ = 2a cos θ1 + 4r sin θ1 − 4r
µ(S0 ) = 2µ(S0 ) = 2
θ=θ1
Ã
= 2a
ρ=ρ+
0
2r
p
+
a
1 + tan2 θ1
1
µ
p
tan θ1
¶!
−1
1 + tan2 θ1
√
µ
´¶
λ
1³
1
1 + λ2 − 1
√
= 2a √
+
−1
= 2a
,
λ
1 + λ2 λ
1 + λ2
(4.2)
4.2. KEIN UND MINDESTENS EIN SCHNITT
65
wobei nach Definition 2.2.6 für den Winkel θ1 die Beziehung tan θ1 = λ1 benutzt
wurde. Wie im Abschnitt 3.2 angekündigt, erkennen wir hier bereits, dass das Maß
µ(S) absolute Größenangaben über das Gitter als Faktor, ja Maßstabsfaktor enthält.
Erst in der als Verhältnis daraus anzugebenden geometrischen Wahrscheinlichkeit
ergeben sich reine relative Größenangaben bzgl. der Abmessungen des Gitters in
Form des Parameters λ.
Mit den Maßen nach (4.2) und (2.9) erhalten wir nun die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
√
µ(S0 )
1 + λ2 − 1
p0 (λ) =
=
,
(4.3)
µ(DI )
λ
dass die zufällige Gerade G das Gitter keinmal und
√
pG (λ) = 1 − p0 (λ) = 1 −
√
1 + λ2 − 1
1 + λ − 1 + λ2
=
,
λ
λ
(4.4)
dass sie es (mindestens einmal) schneidet.
Als Grenzwerte für λ → 0 und λ → ∞ ergeben sich folgende Resultate: zunächst
nach der l’Hospitalschen Regel
√
−λ/ 1 + λ2
=0
lim p0 (λ) = lim
λ→0
λ→0
1
und schließlich
r
lim p0 (λ) = lim
λ→∞
λ→∞
1
1
+ 1 − = 1.
2
λ
λ
(4.5)
(4.6)
Dies wird verständlich, wenn wir uns die Definition von λ = a/d und das Gitter C
nach Bild 4.1 vor Augen halten. Für λ → 0 geht danach a → 0 und es wird zum
unmöglichen Ereignis, dass die Gerade G das Gitter C nicht trifft, d.h. p0 (0) = 0.
Andererseits wird es immer wahrscheinlicher, dass G das Gitter C nicht trifft, wenn
die Abstände a im Verhältnis zu d bzw. r immer länger werden, d.h. für a → ∞
bzw. r → 0 folgt p0 (λ → ∞) → 1.
Das Bild 4.3 zeigt den Graphen der Funktion p0 (λ). Wir fassen die Ergebnisse
dieses Abschnittes im folgenden Satz zusammen.
Satz 4.2.1. Ist C das Gitter R∞
a,2r paralleler Strecken der Länge 2r im Abstand a und
a
λ = 2r
, so ist die geometrische Wahrscheinlichkeit p0 (λ) dafür, dass eine zufällige
Gerade G das Gitter C nicht trifft nach der Beziehung (4.3) gegeben. Die geometrische Wahrscheinlichkeit pG (λ), dass G das Gitter C mindestens einmal trifft, ist
nach Beziehung (4.4) gegeben.
66
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
1
p0
0.8
0.6
0.4
0.2
λ
2
4
6
8
10
Bild 4.3: Wahrscheinlichkeit, dass G das Gitter C nicht trifft in Abhängigkeit von λ
4.3
Die Wahrscheinlichkeit für k Schnitte
Nach der Einführung im vorangehenden Abschnitt möchten wir nun die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k) für eine allgemeine Schnittzahl k bestimmen.
Den Überlegungen des Abschnitts 3.2 folgend, stellen wir dafür zunächst die Mengen Sk = S(a, r, k) = Sk\ ∪ Sk/ auf, in denen diejenigen Geraden liegen, welche das
Gitter C genau k-mal schneiden – aufgeteilt wieder in die Mengen mit einander
symmetrischen Testobjekten, je nach Fallwinkel θ der Geraden mit 0 ≤ θ < π/2
oder π/2 ≤ θ < π.
Die Menge S0 = S(a, r, 0) mit pI (λ, k = 0) = p0 (λ) haben wir bereits im letzten
Abschnitt in (4.1) und den Beziehungen (4.2), (4.3) kennen gelernt.
k = 1 Schnitt: Bevor wir uns den allgemeinen Beziehungen zuwenden, soll
diejenige für genau einen Schnitt: p1 (λ) = pI (λ, 1) gesondert abgeleitet werden und
uns als Modell für die kommenden allgemeinen Überlegungen dienen.
Tatsächlich haben wir ein Teil des Maßes µ(S1 ) im letzten Abschnitt bereits im
Bild 4.2 vor Augen gehabt. Im Bild 4.4 ist dieser Teil links wiederholt dargestellt.
Dabei bleibt der Winkel θ zwischen θ0 := π/2 und θ1 nach Definition 2.2.6. Es
gibt jedoch noch (genau) einen zweiten Fall, für den sich wieder ein Schnitt von
G ∈ S1\ mit dem Gitter C ergibt: θ1 > θ ≥ θ2 = arctan 1/(2λ), vgl. rechter Teil des
Bildes 4.4 – hierin liegen dann sogar Bereiche, innerhalb derer C von den G zweimal
geschnitten wird und die natürlich für S1 auszuschließen sind.
Dem Bild 4.4 ist folgende Beschreibung der Menge S1\ aller Geraden zu entnehmen, die mit einem Winkel zwischen 0 und π/2 das Gitter genau einmal treffen:
S1\ =
∪
©
©
−
G | θ1 ≤ θ < θ0 ∧ 0 ≤ ρ < ρ+
0 ∨ ρ1 ≤ ρ < a sin θ
ª
ª
+
G | θ2 ≤ θ < θ1 ∧ 0 ≤ ρ < ρ−
1 ∨ ρ0 ≤ ρ < a sin θ .
(4.7)
4.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
q0 > q > q1
67
q1 > q > q2
y
2a
r+0 1
r-1 2
y
r -1 1
r 0+ 0
a
r
a
1
r
a sin q
a sin q
1
q
q
0
0
x
r
x
Bild 4.4: Die beiden Fälle zum Aufstellen von S1\
Das Maß aller Geraden in der Elementarzelle mit genau einem Schnitt ist danach
unter Ausnutzen von
+
a sin θ − ρ−
1 = ρ0
zu
³ Z
µ(S1 ) = 2 · µ(S1 ) = 2 · 2
θ0
\
= 2·
θ=θ1
Z
ρ+
0
ρ=0
Z
θ1
dρ dθ + 2
θ=θ2
Z
ρ−
1
´
dρ dθ
ρ=0
³a¡
√
√
¢´
1 − 2 1 + λ2 + 1 + 4λ2
λ
angebbar. Daraus ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit p1 mit der Beziehung (2.9)
für das Maß µ(DI ) der folgende Zusammenhang in λ:
p1 =
´
√
√
1 ³
1 − 2 1 + λ2 + 1 + 4λ2 .
λ
(4.8)
k Schnitte: Wir gehen auf Basis dieser Überlegung und des obigen Bildes zur
Ableitung einer allgemeinen Angabe für die pk = pI (λ, k), k = 0, 1, ..., über, damit
auch die Zufallsvariable XI vollständig beschreibend.
68
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
Es werden jetzt Fallunterscheidungen durchgeführt, wobei die Winkel θk die jeweiligen “Diagonalbereiche“ nach Bild 4.5 und gemäß unserer Definition 2.2.6 durchlaufen:
π/2 = θ0 > θ1 > θ2 > ... > 0 .
ka
qk
2r
Bild 4.5: Die Winkel θk von “Diagonale zu Diagonale“
Eine Überlegung ergibt, dass sich dabei folgendes “Schnittmuster“ einstellt:
θ0 > θ ≥ θ1 :
genau 0 oder 1 Schnitt,
θ1 > θ ≥ θ2 :
genau 1 oder 2 Schnitte,
θ2 > θ ≥ θ3 :
genau 2 oder 3 Schnitte,
..
.
θk > θ ≥ θk+1 :
..
.
genau k oder k + 1 Schnitte,
Die Bilder 4.6 und 4.7 zeigen die Lagebereiche der möglichen Geraden G in den
allgemeinen Fällen 1
θ2n−1 > θ ≥ θ2n
und
θ2n > θ ≥ θ2n+1
und
θ2n+1 > θ ≥ θ2n+2 .
Dabei läuft die Koordinate ρ stets von 0 bis a sin θ – unserem Grundintervall der
Elementarzelle. Je nach dem Wert von ρ ergeben sich verschiedene Anzahlen von
Schnitten, wobei aus Gründen der Symmetrie am Intervallbeginn und -ende von
[0, a sin θ] dieselbe Anzahl vorliegt und stets ungerade ist. Im mittleren Bereich dieses Intervalls kommt es dagegen stets zu einer geraden Anzahl von Schnitten der
Geraden G mit dem Gitter C.
1
Dabei wurde der konkrete Fall mit n = 2 als Muster zur graphischen Darstellung für die
allgemeinen Fälle herangezogen. Alle Beschreibungen gelten jedoch o.B.d.A.
4.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
q2 n - 1 > q > q2 n
y
69
q2 n > q > q2 n + 1
y
-
rn + 1
-
rn
(n + 1) a
na
r
r
q
q
0
0
x
(n - 1) a
x
+
r -(n - 1)
na
2n - 1 Schnitte
2n
Schnitte
2n - 1 Schnitte
+
r -n
2n + 1 Schnitte
2n
Schnitte
2n + 1 Schnitte
Bild 4.6: Fallunterscheidungen θ2n−1 > θ ≥ θ2n und θ2n > θ ≥ θ2n+1
Es stellt sich danach als Verfeinerung unseres oben angegebenen Schnittmusters
die folgende Sequenz dar:
θ0
>
θ
≥
θ1
θ1
>
θ
≥
θ2
θ2
>
θ
≥
θ3
θ3
>
θ
≥
θ4
θ4
>
θ
≥
θ5
θ5
>
θ
≥
θ6
θ6
>
θ
≥
θ7
θ7
>
θ
≥
θ8
···
···
···
···
···
θ2n−2
>
θ
≥
θ2n−1
θ2n−1
>
θ
≥
θ2n
θ2n
>
θ
≥
θ2n+1
θ2n+1
>
θ
≥
θ2n+2
···
···
···
···
···
1
1
3
3
5
5
7
7
···
2n − 1
2n − 1
2n + 1
2n + 1
···
0
2
2
4
4
6
6
8
···
2n − 2
2n
2n
2n + 2
···
1
1
3
3
5
5
7
7
···
2n − 1
2n − 1
2n + 1
2n + 1
···
Oben steht dabei der jeweilige Winkelbereich der zweiten Polarkoordinate θ und
darunter die sich einstellenden Schnitte mit dem Gitter C, wenn die erste Polarkoordinate ρ von 0 bis a sin θ durchläuft und die zu den Polarkoordinaten zugehörige
Gerade G mit sich nimmt.
Dem obigen Schnittmuster-Schemata und den Bildern 4.6 und 4.7 ist zu entnehmen, dass jede der Mengen Sk\ , k = 1, 2, ..., aller Geraden, die das Gitter unter
einem Fußpunktwinkel von 0 ≤ θ < π/2 genau k-mal treffen, analog zu der oben
70
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
-
rn + 1
q2 n > q > q2 n + 1
y
-
rn + 1
q2 n + 1 > q > q2 n + 2
y
(n + 1) a
(n + 1) a
a sin q
a sin q
q
r
r
0
0
x
q
x
na
na
+
+
r -n
r -n
2n + 1 Schnitte
2n
Schnitte
2n + 1 Schnitte
2n + 1 Schnitte
2n + 2 Schnitte
2n + 1 Schnitte
Bild 4.7: Fallunterscheidungen θ2n > θ ≥ θ2n+1 und θ2n+1 > θ ≥ θ2n+2
unter (4.7) bereits angegebenen Menge S1\ aus je zwei Teilmengen zusammengesetzt
sind, die sich aus den Fallbetrachtungen von
θ2n−1 > θ ≥ θ2n
und
θ2n > θ ≥ θ2n+1
für ein gerades k = 2n (vgl. Bild 4.6), n = 1, 2, ..., und aus
θ2n > θ ≥ θ2n+1
und
θ2n+1 > θ ≥ θ2n+2
für ein ungerades k = 2n + 1 (vgl. Bild 4.7), n = 0, 1, 2, ..., ergeben. Lediglich S0\
leitet sich aus dem alleinigen Fall θ0 > θ ≥ θ1 nach Angabe von (4.1) ab.
Im einzelnen erhalten wir für die Mengen aller Geraden, die das Gitter C genau k-mal schneiden und einen Fußpunktwinkel zwischen 0 und π/2 aufweisen, die
folgenden Angaben:
k = 0 (vgl. Bilder 4.4 bzw. 4.7 mit n = 0, links) :
S \ (a, r, 0) =
©
ª
−
;
G | θ 1 ≤ θ < θ0 ∧ ρ+
0 ≤ ρ < ρ1
(4.9)
4.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
71
k = 2 n (vgl. Bild 4.6), n = 1, 2, 3, ... :
©
ª
+
G | θ2n ≤ θ < θ2n−1 ∧ ρ−
n ≤ ρ < ρ−(n−1)
©
ª
−
∪
G | θ2n+1 ≤ θ < θ2n ∧ ρ+
−n ≤ ρ < ρn+1 ;
S \ (a, r, 2n) =
(4.10)
k = 2 n + 1 (vgl. Bild 4.7), n = 0, 1, 2, ... :
S \ (a, r, 2n + 1) =
∪
©
©
G | θ2n+1 ≤ θ < θ2n
−
∧ 0 ≤ ρ < ρ+
−n ∨ ρn+1 ≤ ρ < a sin θ
ª
ª
+
G | θ2n+2 ≤ θ < θ2n+1 ∧ 0 ≤ ρ < ρ−
n+1 ∨ ρ−n ≤ ρ < a sin θ .
(4.11)
Die Maße der Mengen aller Geraden, die das Gitter C genau k-mal treffen, kann
nach diesen Angaben wieder gemäß (3.7) zu
Z
\
µ(S(a, r, k)) = 2 · µ(S (a, r, k)) = 2 ·
dG , k = 0, 1, 2, ... ,
S \ (a,r,k)
berechnet werden. Unter der Definition 2.2.6 der Winkel θk zu π/2 für k = 0 bzw.
arctan 1/(kλ) für k = 1, 2, ... und mit den Zusammenhängen
sin θ =
√ tan θ
1+tan2 θ
und cos θ =
√ 1
1+tan2 θ
für die Winkelfunktionen erhält man nach einigen Umformungen die folgenden Ergebnisse aus den Mengenangaben (4.9), (4.10) und (4.11):
Z
θ0
µ(S(a, r, 0)) = 2
ρ−
1
ρ+
0
θ1
Z
Z
θ2n−1
Z
µ(S(a, r, 2n)) = 2
ρ+
−(n−1)
ρ−
n
θ2n
=
dρ dθ =
Z
θ2n
Z
dρ dθ + 2
θ2n+1
ρ−
n+1
ρ+
−n
(4.12)
dρ dθ
p
2a ³ p
1 + (2n − 1)2 λ2 +
1 + (2n + 1)2 λ2
λ
´
p
2
2
− 2 1 + (2n) λ ,
Z
θ2n
Z
ρ+
−n
µ(S(a, r, 2n + 1)) = 2 · 2
θ2n+1
=
´
2a ³√
1 + λ2 − 1 ,
λ
0
Z
θ2n+1
Z
ρ−
n+1
dρ dθ + 2 · 2
θ2n+2
(4.13)
dρ dθ
0
p
2a ³ p
1 + (2n)2 λ2 +
1 + (2n + 2)2 λ2
λ
´
p
2
2
− 2 1 + (2n + 1) λ .
(4.14)
72
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
Dabei haben wir in den beiden letzten Integralen des Maßes µ(S(a, r, 2n + 1)) die
Gleichungen
−
−
+
a sin θ − ρ+
−n = ρn+1 und a sin θ − ρn+1 = ρ−n
genutzt. Es ist jetzt zu erkennen, dass die Fallunterscheidung nach einer geraden
und ungeraden Anzahl von Schnitten nur noch für den Fall keines und mehr oder
gleich eines Schnittes getroffen werden muss, denn mit k = 2n folgt aus (4.13) und
mit k = 2n + 1 aus (4.14) die Beziehung
µ(S(a, r, k)) =
´
p
√
2a ³p
1 + (k − 1)2 λ2 − 2 1 + k 2 λ2 + 1 + (k + 1)2 λ2
λ
(4.15)
für k = 1, 2, ...
Nach (3.1) ergeben sich aus (4.12) und (4.15) nun mit µ(DI ) = 2a nach (2.9)
aus Abschnitt 2.3.1 die geometrischen Wahrscheinlichkeiten für dieses erste Zufallsexperiment, womit die diskrete Dichtefunktion der Zufallsvariable XI nach (3.8)
vollständig beschrieben vorliegt. Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Satz 4.3.1. Ist C das Gitter R∞
a,2r paralleler Strecken der Länge 2r im Abstand
a
a und λ = 2r ≥ 0, so sind die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k) des
Problems 4.1, dass eine zufällige Gerade G das Gitter C genau k-mal trifft nach den
folgenden Beziehungen gegeben:
pI (λ, 0) =
¢
1¡
w1 − 1 ,
λ
(4.16)
¢
1¡
wk−1 − 2wk + wk+1 , k = 1, 2, ...,
λ
√
mit wk = wk (λ) := 1 + k 2 λ2 .
pI (λ, k) =
Für λ → 0 sind dabei die entsprechenden Grenzwerte pI (λ, k) → 0 zu setzen.
1
pI
0.8
k=0
0.6
0.4
1
0.2
2
λ
2
4
6
8
10
Bild 4.8: Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k), k = 0, 1, ..., 10
(4.17)
(4.18)
4.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
73
Das Bild 4.8 zeigt die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k) für die Werte
k = 0, 1, ..., 10 in Abhängigkeit des Parameters 0 ≤ λ ≤ 10. Anhand der Verläufe in
diesem und dem Bild 4.9 ist zu erkennen, dass es wahrscheinlicher ist, tendenziell
weniger Schnitte zu erzielen – den Fall k = 0 einmal ausgenommen. D.h. es ist
wahrscheinlicher n Schnitte als m Schnitte zu erhalten, wenn 0 < n < m gilt. Aus
der Gleichung
pG (λ0 ) = 1 − pI (λ0 , 0) = pI (λ0 , 0)
mit der Wahrscheinlichkeit pG nach (4.4) erhalten wir
λ0 =
4
3
für dasjenige Höhen-Breiten-Verhältnis, ab welches es wahrscheinlicher wird, dass
kein Schnitt der Geraden mehr mit dem Parallelgitter stattfindet. Die Gleichungen
pI (λ1 , 0) = pI (λ1 , 1)
bzw.
pI (λ2 , 0) = pI (λ2 , 2)
bzw.
√
2 2
λ2 =
≈ 0,404061
7
liefern, dass es ab
√
2 6
λ1 =
≈ 0,979796
5
wahrscheinlicher wird, kein Gitter zu treffen, als es genau ein- bzw. zweimal zu
treffen.
0.5
pI
0.4
k =1
0.3
0.2
2
0.1
3
0.5
λ
1
1.5
2
2.5
3
Bild 4.9: Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pI (λ, k), k = 1, ..., 10
Wir werden jetzt abschließend noch einige Eigenschaften der Verteilung der Zufallsvariable XI betrachten und dabei für den Funktionswert pI (λ, k) einfacherweise
durchgängig das Zeichen pk verwenden. Zunächst ist festzustellen, dass wie zu erwarten für große k die Abschätzung gilt:
pk →
1
((k − 1) λ − 2 k λ + (k + 1) λ ) = 0 .
λ
74
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
Ergänzend soll dann noch einmal explizit
∞
X
pk = 1
k=0
gezeigt werden – dies blieb bisher implizit durch die Herleitung der pI (λ, k), war aber
per definitionem durch (3.1) gesichert. Wir formulieren dafür zunächst folgenden
Hilfssatz:
Lemma 4.3.2. Für die nach (4.16) bzw. (4.17) gegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten und den Werten wk nach Definition (4.18) gilt
Tm :=
m
X
pk =
k=0
¢
1¡
wm+1 − wm , m = 1, 2, ...
λ
(4.19)
Beweis. Durch die Induktionsvoraussetzung (I.V.) λTm = wm+1 − wm und dem mit
!
Ã
1
X
pk = w1 − 1 + w0 − 2w1 + w2 = w2 − w1
λ p0 +
k=1
gültigen Induktionsanfang (I.A.) von m = 1 : λ T1 = w1+1 − w1 liefert der Schluss
m→m+1 :
!
!
Ã
m
m+1
X
X
pk + λ pm+1
= λ p0 +
pk
p0 +
Ã
λ
k=1
k=1
=
λ Tm
+ λ pm+1
=
wm+1 − wm
(Def. Tm )
+ wm − 2 wm+1 + wm+2 (I.V.)
= w(m+1)+1 − wm+1
= λ Tm+1
per vollständiger Induktion den Beweis. ¤
Aus dem Lemma 4.3.2 folgt jetzt unmittelbar das Ergebnis:
Korollar 4.3.3. Für die nach (4.16) bzw. (4.17) gegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
lim Tm = lim
m→∞
m→∞
m
X
pk = 1 , λ > 0 .
k=0
P
Daraus ergibt sich weiter, dass die Summe ∞
k=1 pk nach Abschnitt 4.2 durch
die Wahrscheinlichkeit pG nach (4.4) gegeben ist:
∞
X
k=0
pk = p0 +
∞
X
k=1
pk = 1
=⇒
∞
X
k=1
pk = 1 − p0 = pG .
4.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
75
Dieser Zusammenhang ist imP
Bild 4.10 dargestellt. Wegen pk (0) = 0 für alle
k ∈ N0 ist die Konvergenz von m
k=1 pk gegen pG für m → ∞ allerdings in einer Umgebung des Ursprungs nicht gleichmäßig, denn es ist pG (0) = 1 (vgl. die
Beziehung (4.4) und die Abschätzung (4.5) von p0 auf Seite 65).
1
0.8
0.6
Σ
0.4
p
1
0.2
...
λ
1
Bild 4.10: Die Summe
1
p
P∞
k=1 pk
2
4
3
5
und die Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 1, ..., 10
I
λ = 100
0.8
0.6
0.4
0.2
k
0,1
1
2
3
4
5
6
Bild 4.11: Dichtefunktionen von XI , λ = 0,1 , 0,2 , 0,4 , ... in Schritten von 0,2 bis 2, 4,
20, 100
Schließlich gehen wir noch auf die Verteilung nach k ein. Die Bilder 4.11 und
4.12 zeigen die Dichtefunktionen von XI mit λ als Parameter bzw. als Funktion
über k und λ. Dabei wurden die nur zu diskreten Argumenten k ∈ N0 berechneten
Funktionswerte pI (λ, ·) zur besseren Übersicht durch einen Polygonzug verbunden.
76
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
10
8
6
λ
4
2
k
4
2
6
0.4
p
0.3
1
0.2
0.1
0
0
0.8
0.6
0.4
2
k
λ
0.2
4
6
Bild 4.12: Dichtefunktionen von XI über k und λ geplottet – unten: λ von 0,05 bis 1,
oben: λ von 1 bis 10
Im Bild 4.13 sind die Graphen des Bildes 4.12 noch einmal zusammengefügt,
wobei die Achse über λ verzerrt ist: sie läuft von 0 bis 1 und dann über die gleiche
Länge von 1 bis 10. Anm.: Dieses Bild in Mathematica wurde mit dem speziellen
Befehl ListSurfacePlot3D erzeugt.
Die gezeigten Verläufe lassen bereits die Abschätzung E(XI ) → 0 für λ → ∞
erkennen. Für die Berechnung des Erwartungswertes notieren wir folgendes Lemma
über die Teilsummen des Produkts k pk (λ).
Lemma 4.3.4. Für die nach (4.16) bzw. (4.17) gegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten und den Werten wk nach Definition (4.18) gilt
Um :=
m
X
k=0
k pk =
¢
1¡
1 + m wm+1 − (m + 1) wm , m = 0, 1, 2, ...
λ
(4.20)
4.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
77
Beweis. Das Ergebnis kann wieder über vollständige Induktion gezeigt werden. Es gilt
zunächst für m = 0 (I.A.):
λ
m=0
X
k pk = 0 = 1 + 0 · w0 − 1 · w0 = λ U0
k=0
und der Schluss von m → m + 1 gelingt nach Induktionsvoraussetzung (I.V.) mit den
Beziehungen der pk gemäß (4.17) in der Weise
λ
m+1
X
k pk = λUm + λ (m + 1) pm+1
k=0
= 1 + m wm+1 − (m + 1) wm
(I.V.)
¡
¢
+ (m + 1) wm − 2wm+1 + wm+2
= 1 + (m + 1)w(m+1)+1 − ((m + 1) + 1)wm+1
= λ Um+1 .
¤
λ
p
k
Bild 4.13: Dichtefunktionen von XI über k und λ “verzerrt“ geplottet – k von 0 bis 6 und
λ von 0,05 bis 1 und von 1 bis 10
Korollar 4.3.5. Für die nach (3.8) definierte Zufallsvariable XI gilt folgender Erwartungswert
1
E(XI (λ)) = .
λ
78
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
Beweis. Wir zeigen das
√ Ergebnis mit zwei Abschätzungen von Um nach Lemma 4.3.4 und
schreiben dazu wk = 1 + k 2 λ2 zum leichteren Verfolgen der Umformungen in ausführlicher Form.
Zunächst gilt
0 < 1 + 2m
= (m + 1)2 (1 + m2 λ2 ) − m2 (1 + (m + 1)2 λ2 )
und damit
p
p
λUm = 1 + m 1 + (m + 1)2 λ2 − (m + 1) 1 + m2 λ2 ) < 1 .
Als nächstes schätzen wir λUm nach unten ab. Dazu beginnen wir mit
0 < 1 + m2 λ2
= 1 − m2 λ2 − 2m3 λ2 + 2m2 λ ((m + 1)λ)
p
< 1 − m2 λ2 − 2m3 λ2 + 2m2 λ 1 + (m + 1)2 λ2
³
´2 ³
´2
p
p
=
1 + m2 λ 1 + (m + 1)2 λ2 − mλ(m + 1) 1 + m2 λ2
woraus
p
p
mλ(m + 1) 1 + m2 λ2 < 1 + m2 λ 1 + (m + 1)2 λ2
und schließlich
1−
p
p
1
< 1 + m 1 + (m + 1)2 λ2 − (m + 1) 1 + m2 λ2 = λ Um
mλ
folgt. Somit gilt
1−
1
< λ Um < 1
mλ
und die Behauptung folgt mit Lemma 4.3.4 aus m → ∞.
¤
4.4
Maximale Wahrscheinlichkeiten pk
Die Werte für das Höhen-Breiten-Verhältnis λ, für welche die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk bei fester Schnittzahl k maximal werden, vgl. Bild 4.9 oder auch
4.12, liegen übrigens angenähert auf der Hyperbel
√
2/2
, k > 0.
λ ≈
k
Das ist folgendermaßen leicht einzusehen: Für k = 0 gibt es offenbar kein lokales
Maximum von pI . Daher setzen wir unsere Suche fort, indem wir für k > 0 die
Funktion pI (λ, k) gemäß (4.17) partiell nach λ ableiten und zunächst
1 ³ 1
2
1 ´
∂pI (λ, k)
= − 2
−
+
∂λ
λ wk−1 wk wk+1
(4.21)
4.4. MAXIMALE WAHRSCHEINLICHKEITEN PK
79
erhalten. Die Nullstellensuche von (4.21) führt auf das Polynom
¡
¡
¢
¢
P (λ) = λ6 2k 6 − 7k 4 + 5k 2 − 1 + 3λ4 k 4 + 2k 2 − 1 − 3λ2 − 1
sechster Ordnung. Dies kann zwar bzgl. der Suche auf Nullstellen
P (λ) = 0
in λ auf eines der Ordnung drei reduziert werden, aber die explizite Angabe der
möglichen Werte in λ gestaltet√sich dennoch mühsam und ist wenig ergiebig. Man
die Beziehung
sieht nun aber, dass für λ∗ := 2/2
k
P (λ∗ ) = −
7 k4 + k2 + 1
8 k6
gilt, so dass bei zunehmenden k der Wert λ∗ das Polynom P immer stärker zum
verschwinden bringt; dabei gilt gleichzeitig für k ≥ 1 stets
µ
¶
k (7 k 2 − 6 k + 3) k (7 k 2 + 6 k + 3) 14 √
∂ 2 pI (λ, k) ∗
3
(λ ) = 4 k
3 < 0.
3 +
3 −
∂λ2
9
(3 k 2 − 2 k + 1) 2
(3 k 2 + 2 k + 1) 2
λ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
4
6
8
10
k
Bild 4.14: λ für maximale pk über k aufgetragen
Wie gut diese Annäherung ist, zeigt das Diagramm im Bild 4.14, in dem die
numerisch berechneten Punkte (k, λ), für welche die geometrische Wahrscheinlichkeit pk maximal wird, eingezeichnet und durch einen Polygonzug miteinander verbunden sind (durchgezogener Verlauf). Die√gestrichelt gezeichnete Kurve zeigt dem
gegenüber den Graphen der Funktion λ = 2 k2 . Ab k ≥ 5 liegt der Fehler unter 1%.
80
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
Interessant ist noch, wie im Sinne dieser Näherung bei Vorgabe der Schnittzahl
k und des Abstandes a der Gitterstrecken voneinander die optimale Gitterbreite
d = 2r gefunden werden kann, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit pk einer Geraden
maximiert werden soll. Mit
λ=
1
a
≈ λ∗ = √
d
2k
kann die Breite zu
d=
√
2ka
gewählt werden.
Gitter C
d = Ö2 ka
ka
...
Blatt im
Format DIN A
k - fach
a
unterteilt
0
Bild 4.15: Optimiertes Verhältnis λ für maximales pk
Das Bild 4.15 zeigt, wie dieses Höhe-Breite-Verhältnis mit einem Blatt im DINA-Format 2 umgesetzt werden kann: Im Querformat wird dazu die kleinere Seite
gleichmäßig in k Abschnitte unterteilt. Werden die Gitterstrecken mit dem so gewonnenen a und d nun in gleicher Weise fortgesetzt, haben wir ein Gitter vor uns,
das beim Wurf zufälliger Geraden die Wahrscheinlichkeit (in guter Näherung) maximiert, genau k-mal geschnitten zu werden.
2
Die DIN-A-Reihe ist so genormt, dass ausgehend vom größten Format A0 mit dem Flächeninhalt 1 m2 die folgenden Blattgrößen durch Halbieren gewonnen werden; die kleine√zur großen
Seitenlänge des Rechteckes eines Blattes in diesem Format verhalten sich also wie 1 : 2.
4.5. ENTROPIE DES ZE I
4.5
81
Entropie des ZE I
Die Ungewissheit im ersten Zufallsexperiment in Form der nach (3.10) eingeführten
Entropie nimmt hier die (versuchsweise) Form
−
∞
X
pk ld pk
k=0
einer unendlichen Reihe an. Bemerkenswerterweise ist diese Reihe für λ > 0 konvergent, so dass trotz einer unendlich hohen Anzahl an Elementarzellen die Ungewissheit im Sinne des Entropiebegriffs beschränkt bleibt!
Wir setzen im folgenden voraus, dass die pk größer als Null sind – ein direkter
Nachweis ist auch leicht durch Vergleich von (wk+1 + wk−1 )2 und 4wk2 zu führen,
zudem garantieren die positiven Maße (4.12)-(4.14) diese Eigenschaft der pk .
Satz 4.5.1. Die Entropie HI im ersten Zufallsexperiment ist beschränkt für λ > 0:
HI (λ) = −
∞
X
pI (λ, k) · ld pI (λ, k) .
(4.22)
k=0
Beweis. DiePDefinition (3.10) erweiternd, kann die Entropie HI wie oben erwähnt durch
die Reihe − ∞
k=0 pk ld pk (versuchsweise) erfasst werden, wenn ihre Konvergenz nachgewiesen wird; was wir nun durch Angabe einer beschränkten Majorante zeigen.
Nach Satz 4.3.1 über die pI (λ, k) und mit den dort eingeführten wk gilt zunächst für
k ≥ 1 die Beziehung:
pk =
wk+1 + wk−1 − 2wk
2 wk+1 · wk−1 − (1 + (k + 1)(k − 1)λ2 )
=
.
λ
λ
wk+1 + wk−1 + 2wk
(4.23)
Für den Nenner können wir die Abschätzung
wk+1 + wk−1 + 2wk > (k + 1)λ + (k − 1)λ + 2kλ = 4kλ
vornehmen. Im Zähler haben wir die für alle λ > 0 und ab k ≥ 3 gültige Ungleichung
1
0 < wk+1 · wk−1 < 1 + (k + 1)(k − 1)λ2 +
k
³
´2
1
2
2
⇔ 0 < 1 + (k + 1)(k − 1)λ2 +
− wk+1
wk−1
k
¡
1¢ 2
1
⇔ 0 < 2λ2 k − 2 −
+ + 2.
k
k k
Damit können die pk nach (4.23) für k ≥ 3 jetzt zu
pk <
abgeschätzt werden.
1
2 1/k
=
λ 4kλ
2k 2 λ2
82
KAPITEL 4. ZUFALLSEXPERIMENT I
Die “Entropiereihe“ (4.22) besitzt also in der Form
HI = −
2
X
pk ld pk −
k=0
< −
2
X
= −
k=0
pk ld pk
k=3
pk ld pk +
∞
1 X 1
ln(2k 2 λ2 )
ln 2
2k 2 λ2
k=3
k=0
2
X
∞
X
∞
∞
X
1
ln(2 λ2 ) X 1
1
+ 2
ln(k)
pk ld pk +
2
2
2 λ ln 2
k
λ ln 2
k2
k=3
k=3
eine Majorante, denn die beiden rechts stehenden unendlichen Reihen konvergieren; für
die zweite Reihe vgl. [57], S. 356. ¤
Wir dürfen also den in Mathematica durch
−
q
X
pI (λ, k) · ld(pI (λ, k)) , q = 5000 ,
k=0
erzeugten Graphen in Bild 4.16 als gute Näherung von HI auffassen – die Approximation wird umso schlechter, je kleiner λ bei fester Anzahl q an Summanden wird.
8
HI
7
6
5
4
3
2
1
0.1 0.3 0.5
0.75
1
1.25
1.5
λ
Bild 4.16: Entropie HI des ZE I
Der Verlauf der Entropie über den Parameter λ wird sehr anschaulich, wenn
man den Graphen mit den in Bild 4.11 gezeigten Verteilungen vergleicht. Dort wird
deutlich, wie bei zunehmendem λ die Verteilungen immer “einfacher“ und informationsärmer werden. Dagegen nehmen bei λ → 0 die pk immer mehr die Form einer
Gleichverteilung an, was die Entropie hochschnellen lässt.
Kapitel 5
Gerade auf Gitter Rna,d
5.1
Problemstellung: Zufallsexperiment II
In der zweiten Problemstellung wird das Testobjekt der Geraden beibehalten, wir
schränken nun jedoch die Ausdehnung des Gitters weiter ein: auch in y-Richtung
wird es begrenzt, so dass nur noch endlich viele Gitterstrecken vorliegen und das
m
in 2.1.7 definierte Gitter C = Ca,d
= Rna,d betrachtet wird. Das Bild 5.1 gibt die
Konfiguration dieses Zufallsexperiments graphisch wieder, das uns in diesem Kapitel
beschäftigen wird.
Gitter
endlich
vieler
Strecken
G
C
Nadel
(Gerade)
trifft
Einhüllende K
a
d = 2r
Bild 5.1: Gerade auf Gitter
Problem 5.1. Wieder wird nach den Wahrscheinlichkeiten pII (λ, m, k) gefragt, dass
m
eine zufällige Gerade G, welche die Einhüllende K des Gitters C = Ca,d
= Rna,d trifft,
genau k Schnitte mit den Strecken des Gitters aufweist.
83
84
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
5.2
Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen Schnitt
Als Vorbetrachtung soll zunächst wie im letzten Kapitel die Frage danach beantwortet werden, dass kein Schnitt zwischen der Geraden und dem Gitter auftritt. Die
Überlegung ist der aus Abschnitt 4.2 sehr ähnlich, unterscheidet sich jedoch an einer
Stelle gravierend, die uns auch im nachfolgenden Abschnitt beschäftigen wird. Wir
können das Gitter bzw. den Fall der Geraden darauf nun nicht mehr auf die Grundstrecke (0, 0 ≤ y ≤ a) beschränken, das Gitter also nicht mehr als isotrop bzgl. der
Schnittzahl entlang der y-Achse auffassen, weil bei steiler werdendem Fallwinkel die
Anzahl der Schnitte nicht mehr unbegrenzt wachsen kann, sondern begrenzt bleibt.
Das bedeutet konkret, dass der Bereich mit 0 Schnitten einer Geraden G unter
Winkel θ nach Bild 4.2 aus dem letzten Kapitel nun tatsächlich auch so oft zu erfassen ist, wie es Zellen im Gitter gibt: also m-mal, was im Bild 5.2 verdeutlicht wird –
vorher blieb das bzgl. des ganzen Gitters implizit wegen des ebenfalls beschränkten
Maßes der Menge DI von 2a.
y
ma
n
na
…
n=m
G
rn-
…
n-1
rn+- 1
r
n=1
q
0
r
x
Bild 5.2: m Bereiche mit keinem Schnitt zwischen G und C
Anstelle der Menge (4.1) bekommen wir nun S0 = S0\ ∪ S0/ mit
\
S0 =
m
[
\
T0,ν
(5.1)
ν=1
als die Vereinigung folgender Mengen
\
T0,ν
:=
©
G | θ1 ≤ θ <
ª
π
−
∧ ρ+
ν−1 < ρ < ρν
2
(5.2)
von Geraden, die das Innere des Gitters C unter einem Fallwinkel von θ1 ≤ θ < π2
treffen, jedoch keine der Gitterstrecken schneiden. Das Maß µ(S0 ) der Vereinigung
5.2. KEIN UND MINDESTENS EIN SCHNITT
85
dieser Mengen S0\ und der dazu gespiegelten Geraden in S0/ , d.h. insgesamt der Menge
aller Geraden, die das Gitter C nicht schneiden, ist wegen
+
−
+
ρ−
ν − ρν−1 = a sin θ − 2r cos θ = ρ1 − ρ0
gleich dem m-fachen des Ergebnisses aus (4.2). Es gilt also unter Beachtung von
(3.7)
√
m
X
1 + λ2 − 1
\
µ(S0 ) = 2
µ(T0,ν ) = m · 2a
.
λ
ν=1
Mit dem Grundmaß
µ(DII ) = 4r m
nach (2.10) und dem Parameter λ =
a
2r
¡1
m
+λ
¢
ergibt sich nun
µ(S0 )
p0 (λ, m) =
=
µ(DII )
√
1 + λ2 − 1
1
+λ
m
(5.3)
nach (3.1) als geometrische Wahrscheinlichkeit dafür, dass Gerade und Gitter sich
nicht schneiden; das Bild 5.3 spiegelt diesen Zusammenhang graphisch wider. Daraus
folgt sofort, dass sich Gerade und Gitter mit einer Wahrscheinlichkeit von
pG (λ, m) = 1 − p0 (λ, m) =
1
m
√
+ 1 + λ − 1 + λ2
,
1
+λ
m
(5.4)
(mindestens einmal) schneiden. Es ist unschwer zu erkennen, dass wir für die Ausdehnung des Gitters C über m → ∞ auf die Größe des im vorangehenden Kapitels
behandelten Gitters wieder zu den Beziehungen (4.3) und (4.4) gelangen.
m
5
4
3
2
6
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
8
p
4
2
0
λ
Bild 5.3: Wahrscheinlichkeit, dass G das Gitter C nicht trifft als Funktion von λ und m
86
5.3
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
Die Wahrscheinlichkeit für k Schnitte
3
2
…
Die Idee, die Mengen Sk\ der Geraden mit einem Winkel von 0 ≤ θ < π/2 und
mit k Schnitten des Gitters zu beschreiben, ist bereits im Bild 5.2 enthalten. Zur
allgemeinen Beschreibung der Mengen soll sie allerdings nun weiter systematisiert
werden. Dazu betrachten wir das Bild 5.4, in dem diesmal weniger die Gitterstrecken
(GS) hervorgehoben sind als vielmehr die Wirkungsquerschnitte, die sie bilden, wenn
eine Gerade unter dem Winkel θ im Sinne der hier stets verwendeten Hesseschen
Normalform, vgl. Abschnitt 1.3.1, Unterpunkt (v), zu liegen kommt. Die Gerade
“sieht“ gewissermaßen das Gitter aus der Perspektive ihrer Wirkungsquerschnitte.
1
(n+1) a
2
na
1
r
(n-1) a
…
rn+
q
rn-
Bild 5.4: Wirkungsquerschnitte für Geraden unter Winkel θ
Der Wirkungsquerschnitt, bzw. die Überlagerung mehrerer davon gibt an, wieviele Schnitte die Gerade mit dem Gitter C bildet. Je flacher der Fallwinkel der
Geraden wird, d.h. je größer und näher θ einem rechten Winkel wird, desto kleiner
werden die Wirkungsquerschnitte, die allgemein eine Länge von 2r cos θ aufweisen,
woraus sich auch ganz anschaulich erklären lässt, dass es bei θ = π2 nur noch eine
Menge an Geraden vom Maß Null gibt und die Wahrscheinlichkeit ebenfalls zu Null
dafür wird, dass es noch zu einem Schnitt zwischen Gitter und Gerade kommt.
Dieser Abschnitt “lebt“ davon, das in Bild 5.4 gezeigte Muster an Überlagerungen von Wirkungsquerschnitten zu studieren. Ein volles Verständnis dieser Überlagerung drückt sich dann in der Angabe der Mengen Sk\ aus, mit denen sich unmittelbar die allgemeinen Wahrscheinlichkeiten für k Schnitte dieses Zufallsexperiments
ergeben.
Bevor wir die Mengen Sk\ genau durch ihre Grenzen bzgl. θ und ρ beschreiben, soll
in einer Abfolge von Bildern verdeutlicht werden, welche Sicht sich einer Geraden
5.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
87
auf die Wirkungsquerschnitte bietet, wenn sie beginnend von einer horizontalen
Fallweise (θ = π2 ) bis zur senkrechten (θ = 0) gelangt. Diese Sequenz zeigt das Bild
5.5 an einem Beispiel von vier GS. Entscheidend ist dabei nur ihre Ausdehnung
bzgl. der Koordinate ρ, auf welche die GS in ihrem Wirkungsquerschnitt projiziert
werden.
p >q>q
1
2
1 0 1 0 1 0 1
q = q1
1
1
1
q1 > q > q2
1
1 21212 1
q = q2
q2 > q > q3
q = q3
q3 > q > 0
1 2 2 2 1
1 23 32 1
2
1 23 32 1
1 23 321
4
r
Bild 5.5: Wirkungsquerschnitte für zunehmend steiler fallende Gerade
Wird der Winkel θ1 (vgl. wieder Def. 2.2.6) nicht unterschritten, siehe Bildausschnitt oben links, so kommt es wie im letzten Abschnitt beschrieben u.U. zu
keinem Schnitt und maximal zu einem Schnitt – die Wirkungsquerschnitte “ überlappen“ sich nicht; Bereiche mit einem und keinem Schnitt wechseln sich ab. Im
(Grenz-)Fall θ = θ1 berühren sich die Wirkungsquerschnitte. Ab diesem Winkel
wird die fallende Gerade das Gitter stets schneiden.
Die Schlüsselidee zur Beschreibung der Mengen für k Schnitte kann nun bei der
Entstehung der Bereiche mit zwei Schnitten abgelesen werden, vgl. Bild 5.5, oben
rechts. Durch weiter sinkendem Winkel θ – die Gerade fällt steiler – überlappen sich
die Wirkungsquerschnitte an ihren zuvor drei Berührungsstellen: es entstehen die
Bereiche mit zwei möglichen Schnitten.
Nach diesem Prinzip folgen nun die Bereiche weiterer Schnitte bis zur maximalen
Schnittzahl von n = m + 1, der Anzahl der GS. Dabei bleiben an den Rändern die
Bereiche mit einem, zwei, drei, usw. Schnitten stets erhalten, weil die GS sich in
dem endlichen Gitter vom Rand her erst aufsummieren müssen.
Das Bild 5.6 zeigt den Fall θ2 < θ < θ3 ausführlich im Gitter mit allen bgzl.
der Koordinate ρ Anfangs- und Endpunkten der Wirkungsquerschnitte, wobei hier
wieder die in Definition 2.2.7 eingeführten Funktionen ρ±
ν (θ) benutzt werden, vgl.
mit Bild 5.5, unten, zweiter Bildausschnitt von links.
88
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
3
2
1
3a
2
3
2a
2
r
r3+
a
r2+
1
r3-
r1+
q
0
r
r0-
r1-
r2- r0+
Bild 5.6: Der Fall θ2 > θ ≥ θ3 für m = 3
Ohne die Abfolge von Schnittzahlen weiter formalisieren zu wollen, halten wir
fest, dass es im speziellen Fall von m = 3, bzw. n = 4 zu folgendem in Tabelle
5.1 dargestellten Muster an Bereichen verschiedener Schnitte der Geraden mit dem
Gitter kommt.
Tabelle 5.1: Zufallsexperiment II: Schnittzahlenschema für n = 4
Bereich
Schnittzahlen
Winkelbereich
π
2
> θ ≥ θ1
01
1 0 1
0 1 0
1
12
1 2 1
2 1 2
1
θ1 > θ ≥ θ2
23
1 2 3
2 3 2
1
θ2 > θ ≥ θ3
34
1 2 3
4 3 2
1
θ3 > θ ≥ 0
Um die allgemeinen Beziehungen für die Beschreibung der Mengen
Sk\ = SII\ (a, r, m, k)
aufzustellen, beginnen wir die Untersuchung für das erstmalige Auftreten eines Bereiches mit k Schnitten. Nach den obigen Bildern motiviert und im Bild 5.7 allgemein
5.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
89
erfasst, bietet die ν-te GS, ν = 0, 1, ..., m, und k − 1 unter ihr liegende GSn einer
Gerade genau dann k übereinander liegende Wirkungsquerschnitte, wenn
+
ρ−
ν < ρν−(k−1)
und
+
ρ−
ν+1 ≥ ρν−(k−1)
(5.5)
gilt, d.h. wenn die linke Grenze des Wirkungsquerschnittes der ν-ten GS unter der
rechten Grenze der k − 1-ten GS zu liegen kommt, aber die darüber liegende GS
nicht in diesen Bereich hineinragt – aus Gründen der Symmetrie gilt dasselbe für
die nächste unter den k − 1 Gitterstrecken liegende GS bzgl. ihres rechten Randes.
Aus den Bedingungen (5.5) folgt mit der Definition 2.2.7 jetzt
νa sin θ − r cos θ < (ν − k + 1)a sin θ + r cos θ
∧
(ν + 1)a sin θ − r cos θ ≥ (ν − k + 1)a sin θ + r cos θ
⇔ tan θ <
1
= tan θk−1
(k − 1)λ
∧
1
= tan θk
kλ
tan θ ≥
und schließlich die in Bild 5.7 bereits eingetragene Bedingung an den Winkel
θk−1 > θ ≥ θk ,
dass erstmals eine unter diesem Fußpunktwinkel fallende Gerade k Schnitte mit dem
Gitter bilden kann. Da wir von Null beginnend zählen, gibt es diese Bereiche von
ν = k − 1, ..., m.
qk - 1 > q > qk
rn+1
n+1
rnk
…
n
rn+- (k - 1)
n - (k - 1)
rn- rn+- (k - 1)
r
Bild 5.7: Erstmaliges Auftreten von k Schnitten – Typ 1
90
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
Damit haben wir die erstmalig auftretenden Bereiche mit k-facher Überlagerung
der Wirkungsquerschnitte beschrieben, wir nennen sie vom Typ 1. Es gibt noch zwei
weitere Typen k-facher Überlagerung: die im nächsten Winkelbereich θk > θ ≥ θk+1
je zwischen den k + 1-fachen, die wir als vom Typ 2 bezeichnen, und die zwei nach
erstmaligem Auftreten jedesmal wiederkehrenden Bereiche, die symmetrisch oben
und unten im Gitter vorkommen, sie seien als vom Typ 3 definiert.
Das Bild 5.6 zeigt Beispiele dieser Bereiche: die beiden 3-fach Überlagerungen
sind neu und erstmalig in dem dargestellten Winkelbereich θ2 > θ ≥ θ3 entstanden,
sie sind vom Typ 1. Dazwischen gibt es eine 2-fach Überlagerung vom Typ 2. Die
oben und unten liegenden Bereiche mit einem und zwei Schnitte sind vom Typ 3.
Die k-fachen Überlagerungen vom Typ 2 können wir uns einfach nach Bild 5.7
vorstellen, indem wir
κ := k − 1
setzen und links und rechts von der nun κ + 1-fachen Überlagerung die beiden κfachen Überlagerungen vorfinden. Diese sind allerdings nur dann vom Typ 2, wenn
links und rechts auch wieder Bereiche mit κ + 1-fachen Überlagerungen anzutreffen
sind! Nach Bild 5.8, links, ist dann zu erkennen, dass es für ν = k, ..., m die Bereiche
−
ρ+
ν−k ≤ ρ < ρν+1
mit k-facher Überlagerung vom Typ 2 gibt. Und schließlich gibt es nach dem erstmaligen Auftreten der k-fachen Überlagerungen die stets wiederkehrenden Typen 3,
die zweimal je Winkelbereich θκ > θ ≥ θκ+1 , κ ≥ k, vorkommen:
−
ρ−
k−1 ≤ ρ < ρk
und
+
ρ+
m−k ≤ ρ < ρm−(k−1) .
qk > q > qk + 1
n+1
qk > q
k
…
…
k
k+1
n
k
…
n-k
2
n-k-1
1
+
rnk-1
rn-
rn+- k
rn- + 1
r
r0-
r1-
rk--1 rk-
Bild 5.8: Zweites und drittes Auftreten von k Schnitten – Typen 2 und 3
r
5.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
91
Damit erhalten wir folgendes Schema an k-fachen Überlagerungen, wobei die in
runden Klammern gesetzten Lettern den (Typ 1) kennzeichnen, die in eckigen den
[Typ 2] und die in der Box vom Typ 3 sind:
1 2
...
k − 1 (k) k − 1
(k)
...
(k)
k − 1 (k) k − 1 ...
2
1
1 2
...
k−1
k
k+1
[k]
...
[k]
k+1
k
k − 1 ...
2
1
1 2
...
..
.
k−1
k
k+1
k+2
...
..
.
k+2
k+1
k
2
1
k
k − 1 ...
..
.
...
k−1
n
k+2
k
k − 1 ...
2
1
1 2
k
k
k+1
k+2
k+1
m
Insgesamt gibt es in einem Gitter C = Ca,d
immer die gleiche Anzahl von Bereichen, die sich je nach Winkel θ in einfachen, zweifachen, usw. Überlagerungen der
Wirkungsquerschnitte aufteilen, dies sind
#Bereiche abwechselnder Überlagerungen von Wirkungsquerschnitten =
= n + m = 2n − 1 = 2m + 1
(5.6)
viele: die Anzahl der Zellen und Gitterstrecken addiert. Mit konkreten Zahlenwerten
listen wir dieses allgemeine Schema nochmals in der folgenden Tabelle 5.2 auf, dabei
kennzeichnet die mit “Winkelbereich“ überschriebene Spalte mit den i, j wieder den
Lauf des Winkels θ mittels θi > θ ≥ θj .
Tabelle 5.2: Zufallsexperiment II: Schnittzahlenschema (für gerades n)
Schnittzahlen
Winkelbereich
01
1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
12
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
23
1 2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
34
1 2
3
4
3
4
3
4
3
2
1
45
1 2
3
4
5
4
..
.
3
2
1
1 2
4
..
.
5
..
.
2
1
k
..
.
... 2
1
2
1
...
3
2
1
k − 1, k
1 2 ...
..
.
1 2
m, n
1 2
3
k
..
.
...
k − 1 ...
m
n
k−1
m
Damit können wir nun folgende Beschreibung der Menge aller Geraden geben,
die das Gitter k-mal treffen und unter einem Fußpunktwinkel von 0 ≤ θ < π/2 fallen,
wobei die Indizes der Mengen T neben der Ziffer des Zufallsexperiments II auf die
92
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
Typen 1, 2 und 3 von k-fachen Überlagerungen verweisen und wir in Erweiterung
der Definition 2.2.6 noch θ0 := π2 und θm+1 := 0 festhalten:
\
\
\
SII\ (a, r, m, k) = TII,1
(a, r, m, k) ∪ TII,2
(a, r, m, k) ∪ TII,3
(a, r, m, k) ,
0 < k < m + 1,
mit
\
TII,1 (a, r, m, k) =
m
[
©
ª
+
≤
ρ
<
ρ
G | θk ≤ θ < θk−1 ∧ ρ−
ν
ν−(k−1) ,
(5.7)
ª
−
G | θk+1 ≤ θ < θk ∧ ρ+
ν−k ≤ ρ < ρν+1 ,
(5.8)
ν=k−1
\
TII,2 (a, r, m, k) =
m−1
[
©
ν=k
\
TII,3 (a, r, m, k) =
m
[
©
−
G | θν+1 ≤ θ < θν ∧ (ρ−
k−1 ≤ ρ < ρk
ν=k
ª
+
∨ ρ+
m−k ≤ ρ < ρm−(k−1) ) . (5.9)
Wir merken noch an, dass mit der üblichen Regelung ∪ji {...} = ∅ für i > j gilt:
\
TII,2
= ∅
für k = m, m + 1 ,
\
TII,3
= ∅
für k = m + 1 ,
d.h. die m-fachen Überlagerungen sind zuerst vom Typ 1 und im nächsten und
letzten Winkelintervall vom Typ 3. Der einzige Bereich der Überlagerungen für k =
m + 1 = n ist immer vom Typ 1, vgl. Bild 5.9:
©
ª
\
+
k = m + 1 : TII,1
= G | 0 ≤ θ < θ m ∧ ρ−
≤
ρ
<
ρ
(5.10)
m
0 .
r
rm-
r0+
Bild 5.9: Einzige m + 1-fache Überlagerung
5.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
93
Im Sinne der Beziehungen (3.2), (3.4) und (3.7) aus dem diesen Teil einleitenden
Übersichtskapitel erhalten wir mit
µ(SII (a, r, m, k)) = 2 · µ(SII\ (a, r, m, k))
= 2
3
X
\
µ(TII,i (a, r, m, k)) = 2
i=1
3 Z
X
i=1
\
dG
(5.11)
TII,i
das Maß der Menge aller Geraden, die das Gitter k-mal treffen. Für k = 0 haben wir
dieses bereits im vorhergehenden Abschnitt berechnet. Bevor wir zum allgemeinen
Fall 0 < k < m + 1 kommen, bestimmen wir auf Basis von (5.10) für k = m + 1 = n
als “Vorübung“ das Maß
Z
θm
µ(SII (a, r, m, m + 1)) = 2
ρ+
0
ρ−
m
0
Z
Z
dρ dθ
θm
= 2
(2r cos θ − ma sin θ) dθ
0
= 4r sin θm + 2ma cos θm − 2ma .
Daraus folgt nun weiter mit λ =
den Winkelfunktionen
sin θm =
1
cos θm ,
mλ
a
2r
und der Definition 2.2.6 für tan θm =
1
mλ
und
1
mλ
cos θm = p
=√
1 + m2 λ2
1 + tan2 θm
die Angabe
mλ
4r
mλ
√
+ 2ma √
− 2ma
2
2
mλ 1 + m λ
1 + m2 λ2
√
(4r + 2m2 aλ) 1 + m2 λ2
− 2ma
=
1 + m2 λ2
√
= 4r 1 + m2 λ2 − 2ma
¢
¡1 √
1 + m2 λ2 − λ .
(5.12)
= 4rm
m
µ(SII (a, r, m, m + 1)) =
Ganz analog kann in dieser Weise µ(SII (a, r, m, k)) bestimmt werden, wobei wir
\
nach (5.11) zuerst die einzelnen “Bausteine“ in Form der Maße µ(TII,i
(a, r, m, k)),
a
±
und den
i = 1, 2, 3, unter Beachtung der Angaben für ρ im Satz 2.2.8, λ = 2r
Winkelfunktionen
tan θk =
berechnen.
1
1
1
kλ
, sin θk =
cos θk , cos θk = p
=√
kλ
kλ
1 + k 2 λ2
1 + tan2 θk
94
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
Wir haben mit (5.7) als erstes
\
µ(TII,1 ) =
m Z
X
ν=k−1
θk−1
Z
θ=θk
ρ+
ν−(k−1)
ρ=ρ−
ν
= (m − k + 2) a λ1
¡p
dρ dθ
(5.13)
1 + (k − 1)2 λ2 −
1+(k−1)kλ2
1+k2 λ2
√
¢
1 + k 2 λ2 .
Als nächstes können wir nach (5.8) folgenden Zusammenhang aufstellen und berechnen:
m−1
X Z θk Z ρ−ν+1
\
µ(TII,2 ) =
dρ dθ
(5.14)
ν=k
θ=θk+1
= (m − k) a λ1
ρ=ρ+
ν−k
¡p
1 + (k + 1)2 λ2 −
1+(k+1)kλ2
1+k2 λ2
√
¢
1 + k 2 λ2 .
\
Zur Bestimmung von µ(TII,3
) bemerken wir zunächst
−
+
+
ρ−
k − ρk−1 = ρm−(k−1) − ρm−k = a sin θ
und damit nach (5.9) in zusammenfassender Weise
Z θν
m
X
\
2·
a sin θ dθ .
µ(TII,3 ) =
ν=k
θ=θν+1
Wegen der Vereinbarung θm+1 = 0, s.o., teilen wir diese Summation auf in
\
µ(TII,3 ) = 2 ·
m−1
X Z θν
ν=k
θ=θν+1
Z
θm
a sin θ dθ + 2 ·
a sin θ dθ
θ=0
³
´
³
´
mλ
kλ
mλ
= 2a √
−√
+ 2a 1 − √
1 + m2 λ2
1 + k 2 λ2
1 + m2 λ2
³
´
√
= 2a 1 − 1+kkλ2 λ2 1 + k 2 λ2 .
(5.15)
In der Summe erhalten wir aus (5.13), (5.14) und (5.15) wieder unter
√ Benutzung
der im vorigen Kapitel unter (4.18) eingeführten Abkürzung wk = 1 + k 2 λ2 die
Gleichung
\
\
\
µ(SII\ ) = µ(TII,1
) + µ(TII,2
) + µ(TII,3
)
¢
¡
2
= (m − k + 2) a λ1 wk−1 − 1+(k−1)kλ
wk
1+k2 λ2
¢
¡
2
+ (m − k) a λ1 wk+1 − 1+(k+1)kλ
wk
1+k2 λ2
¢
¡
2kλ2
+
a λ1 2λ − 1+k
2 λ2 wk
¡
= 2r (m − k + 2)wk−1 + (m − k)wk+1
¢
− 2 (m − k + 1)wk + 2λ .
(5.16)
5.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
95
Nach der Beziehung (5.11) bekommen wir also für k = 1, 2, ..., m das Maß
µ(SII (a, r, m, k)) = 2 · µ(SII\ (a, r, m, k))
(5.17)
¡
¢
= 4r 2λ + (m − k + 2)wk−1 − 2(m − k + 1)wk + (m − k)wk+1 .
Mit dem Grundmaß
µ(DII ) = 4rm( m1 + λ)
m
der Geraden auf das Gitter Ca,2r
gemäß (2.10) ergeben sich daraus nach (3.1) die
geometrischen Wahrscheinlichkeiten in diesem Zufallsexperiment zu
pII (λ, m, k) =
µ(SII (a, r, m, k))
1 µ(SII (a, r, m, k))
.
=
µ(DII )
4r
m ( m1 + λ)
(5.18)
Wie im vorhergehenden Abschnitt lassen sich in dem Bruch (5.18) die in den Maßen
vorkommenden absoluten Größenangaben zu dem Gitterparameter λ zusammenfassen – man erkennt rasch, dass sich 4r kürzen lässt – und in den geometrischen
Wahrscheinlichkeiten dann nur noch relative Abmessungen stehen.
Zusammen mit dem Resultat (5.3) aus Abschnitt 5.2 für k = 0, dem Maß (5.12)
der Menge SII (a, r, m, m + 1) und schließlich unserem gerade gewonnenen Ergebnis
in (5.17) ergibt sich nach (5.18) nun unmittelbar der
m
Satz 5.3.1. Ist C das Gitter Rna,2r = Ca,2r
aus m + 1 parallelen Strecken der Länge
a
2r im Abstand a und λ = 2r ≥ 0, so sind die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
pII (λ, m, k) des Problems 5.1, dass eine zufällige Gerade G das Gitter C genau k-mal
trifft, nach den folgenden Beziehungen gegeben:
k=0:
´
1 ³
pII (λ, m, 0) = 1
w1 − 1 ,
(5.19)
+λ
m
1≤k≤m:
pII (λ, m, k) =
1
m
¡
1 ³ 2λ
k − 2¢
+ 1−
wk−1
m
+λ m
¡
k − 1¢
−2 1−
wk
m
´
¡
k¢
+ 1−
wk+1 ,
m
(5.20)
k =n=m+1:
pII (λ, m, n) =
1
m
´
1 ³1
wm − λ ,
+λ m
wobei wieder gilt:
wk = wk (λ) =
√
1 + k 2 λ2 .
(5.21)
(5.22)
96
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
Trotz der recht umfangreichen Rechnungen ist zu erkennen: das wesentliche
Moment der Arbeit ist das Aufstellen der Mengen Sk ! Dies gilt für alle
unsere Zufallsexperimente I, II und III (die Fälle IV, V und VI werden nur als
Grenzwertbetrachtungen aus den zuvor gewonnenen Ergebnissen diskutiert). Die
Integration über die Sk zur Berechnung deren Maße ist dann eher technischer Natur
und kann leicht mit Mathematica oder anderen Systemen der Computeralgebra geschehen oder doch zumindest von diesen unterstützt werden, wie es bequemerweise
auch hier geschehen ist.
Über den Erwartungswert der Zufallsvariablen XII kann aus Satz 5.3.1 folgende
Aussage abgeleitet werden:
Satz 5.3.2. Mit den geometrischen Wahrscheinlichkeiten nach Satz 5.3.1 gilt:
E(XII ) =
m+1
X
kpII (λ, m, k) =
k=0
1+m
=
1 + mλ
1
m
1
m
+1
.
+λ
Wir zeigen die Aussage in zwei Schritten. Zuerst beweisen wir folgendes Lemma,
das im ersten Schritt die Funktion (5.21) noch fern hält, und damit dann den Satz
über den Erwartungswert.
Lemma 5.3.3. Für die nach Satz 5.3.1 gegebene geometrische Wahrscheinlichkeit (5.20)
gilt mit der Abkürzung (5.22)
m
X
kpII (λ, m, k) =
k=0
¢
1+m ¡
1 + mλ − wm .
1 + mλ
(5.23)
Beweis. Der Nachweis wird mit vollständiger Induktion geführt. Zunächst schreiben wir
dazu die linke Seite von (5.23) etwas um und fassen sie in der Weise
m
X
kpII (λ, m, k) =
k=0
1
(5.24)
1 + mλ
¶
µ
m
X
k 2λ + (m − k + 2)wk−1 − 2(m − k + 1)wk + (m − k)wk+1
·
k=0
ab, dazu haben wir pII (λ, m, k) in der Form (5.20) mit m
m durchmultipliziert. Mit der
rechten Seite von (5.23) gewinnen wir daraus
µ
¶
m
X
k · 2λ + (m − k + 2)wk−1 − 2(m − k + 1)wk + (m − k)wk+1 =
k=0
p
¡
¢
(1 + m) 1 + mλ − 1 + m2 λ2
(5.25)
als weitere und später eingesetzte Induktionsvoraussetzung.
Der Induktionsanfang mit m = 0 ist leicht ersichtlich; auch für m = 1 liefert die rechte
Seite von (5.23) die dann nichttriviale Übereinstimmung
¢
2 ¡
1 + λ − w1 = pII (λ, 1, 1) zu (5.20) mit k = m = 1.
1+λ
5.3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE
97
Für den Induktionsschritt von m → m + 1 gliedern wir zunächst die Funktion (5.20)
in analoger Art zu (5.24) wieder in der Weise
pII (λ, m + 1, k) =
1
1 + (m + 1)λ
µ
· 2λ + (m − k + 2)wk−1 − 2(m − k + 1)wk + (m − k)wk+1
¶
+ wk−1 − 2 wk + wk+1
.
Mit Lemma 4.3.4 für m + 1 in der Form
λUm+1 =
m+1
X
k λpI (λ, k) =
k=0
m+1
X
¡
¢
k · wk−1 − 2 wk + wk+1
k=0
= 1 + (m + 1)wm+2 − (m + 2)wm+1
und der Induktionsvoraussetzung (5.25) können wir nun (5.26) zu
m+1
X
k pII (λ, m + 1, k) =
k=0
=
=
m+1
X · ³
1
k · 2λ + (m − k + 2)wk−1 − 2(m − k + 1)wk
1 + (m + 1)λ
´
k=0
+ (m − k)wk+1
³
´¸
+ k · wk−1 − 2 wk + wk+1
· X
m
³
k · 2λ + (m − k + 2)wk−1 − 2(m − k + 1)wk
´
k=0
+ (m − k)wk+1
³
+ (m + 1) · 2λ + (m − m − 1 + 2) wm
1
·
1 + (m + 1)λ
− 2(m − m − 1 + 1) wm+1
+ (m − m − 1) wm+2
+
m+1
X
³
´¸
k · wk−1 − 2 wk + wk+1
k=0
=
·
¡
¢
1
· (1 + m) · 1 + mλ − wm
1 + (m + 1)λ
¡
¢
+ (m + 1) · 2λ + wm − wm+2
+ 1 + (m + 1)wm+2 − (m + 2)wm+1
¸
´
(5.26)
98
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
=
=
=
·
¸
¡
¢
1
· (1 + m) · 1 + (m + 2)λ + 1 − (m + 2)wm+1
1 + (m + 1)λ
·
¸
m+2
m+1
1
·
+ (m + 1)λ +
− wm+1
1 + (m + 1)λ
m+2
m+2
·
¸
1+m+1
· 1 + (m + 1)λ − wm+1
1 + (m + 1)λ
aufsummieren, womit (5.23) gezeigt ist.
¤
Hiermit kann nun folgender Beweis über die Form des Erwartungswertes der
Zufallsvariablen XII gegeben werden:
Beweis des Satzes 5.3.2. Wir zerlegen den Erwartungswert
E(XII ) =
m+1
X
kpII (λ, m, k) =
m
X
k pII (λ, m, k) + (m + 1) pII (λ, m, m + 1)
k=0
k=0
nun in zwei bekannte Summanden: Zunächst
m
X
k pII (λ, m, k) =
k=0
¢
1+m ¡
1 + mλ − wm
1 + mλ
nach (5.23) aus Lemma 5.3.3 und schließlich
pII (λ, m, m + 1) =
(m + 1) pII (λ, m, m + 1) =
´
1 ³1
w
−
λ
, bzw.
m
1
m
m +λ
´
m+1 ³
wm − mλ
1 + mλ
nach (5.21) aus Satz 5.3.1. Damit ergibt sich (5.27) in der Form
E(XII ) =
¤
1+m
=
1 + mλ
1
m
1
m
+1
.
+λ
(5.27)
5.4. DISKUSSION UND VERGLEICH
5.4
99
Diskussion und Vergleich
In diesem Abschnitt sollen die gewonnenen Ergebnisse diskutiert und mit denen
des letzten Kapitels verglichen werden: Die Resultate des Satzes 4.3.1, bzw. die
Funktionen (4.16) und (4.17) sind im Satz 5.3.1 als Grenzfall m → ∞ enthalten.
Mit
1
m −→ ∞ bzw.
−→ 0
m
erkennt man sofort, dass
lim pII (λ, m, k) = pI (λ, k)
m→∞
für k ≥ 0 gilt, die Funktionen in (5.19) und (5.20) also in (4.16) und (4.17) übergehen. Die Funktion (5.21) verschwindet bei dieser Grenzwertberachtung:
lim pII (λ, m, m + 1) = lim
m→∞
m→∞ 1
m
1 ³
+λ
r
´
1
2 − λ = 0.
+
λ
m2
Auch ein graphischer Vergleich der Ergebnisse ist ergiebig. Im Bild 5.10 ist die
Dichtefunktion in Abhängigkeit des Parameters λ bei einer festen Anzahl von m = 5
Zellen, bzw. n = 6 Gitterstrecken aufgetragen.
Das Bild ist als Pendant zur Darstellung in 4.12 zu sehen und weist tatsächlich
für große Werte von λ kaum Unterschiede zur Verteilung von XI auf – vgl. die obea
ren Bildteile in 5.10 und 4.12 bei Werten von λ = 2r
= 1, ..., 10. D.h. bei einem
in der Länge der Gitterstrecken abnehmenden bzw. in seinen Abständen der Gitterstrecken voneinander zunehmenden Gitter verschiebt sich die Wahrscheinlichkeit
zu geringen Schnittzahlen und wird dem Verhalten von Gerade und Gitter nach XI
immer ähnlicher.
Die unteren Bildteile in 5.10 und 4.12 machen deutlich, dass es bei kleinen Gitterparametern λ deutlich unter 1 zu stark unterschiedlichem Verhalten von XI und
XII kommt. Nun dominieren die Treffer mit hoher Schnittzahl.
Das Bild 5.11 stellt zwei solch unterschiedliche Gitter gegenüber und verdeutlicht
auf intuitive Weise, dass Geraden das links dargestellte Gitter mit kleinem λ nahe
Null (Verteilung nach Bild 5.10 unten, kleines λ) mit höheren Schnittzahlen treffen
als das rechts gezeigte Gitter mit einem großen Wert in λ (Verteilung nach Bild 5.10
oben, großes λ).
Interessant ist, dass die Verteilung von XI bei kleinen Werten in λ die Schnittzahlen immer gleichmäßiger auf alle Werte k ∈ N0 verteilt und die Verteilung in λ = 0
nur als Grenzfall existiert, vgl. Bild 4.12, oben, λ = 0,05. Dieser Verteilung “fehlt“
der Peak von XII mit einer endlichen Zahl von Gitterstrecken bei kleinen λ. Auch
macht der untere Teil des Bildes 5.10 deutlich, dass pII (0, m, k) = 0, 0 ≤ k ≤ m,
und pII (0, m, m + 1) = 1 gilt.
100
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
10
8
6
λ
4
2
4
k
2
6
0.5
0.4
p 0.3
0.2
0.1
0
0
1
0.8
0.6
0.4
λ
2
0.2
4
k
60
Bild 5.10: Dichtefunktionen von XII für m = 5 über k und λ geplottet – unten: λ von 0
bis 1, oben: λ von 1 bis 10
G
G
C
C
l = 0,05
l=1
m =5
Bild 5.11: Zwei Gitter mit stark unterschiedlicher Gitterkonstante λ
5.5. ZWEI BEISPIELE NACH SANTALÓ
5.5
101
Zwei Beispiele nach Santaló
Mit den Ergebnissen dieses Kapitels fallen uns die Lösungen zweier Aufgaben aus
Santalós Standardwerk [3] zu: Chapter 3, Sets of Lines in the Plane, Section 5,
Exercies 2 and 3, p. 43.
Beide Aufgaben beziehen sich auf bedingte Wahrscheinlichkeiten bzgl. Geraden
auf einem Quadrat. Dazu fassen wir das Quadrat als Zelle eines Gitters auf, in dem
a = 2r ist, und stellen nach Satz 5.3.1, Beziehungen (5.19) bis (5.21) vorab folgenden
Hilfssatz auf:
Lemma 5.5.1. In einem aus zwei Gitterstrecken (GS) bestehenden Gitter gleicher
Breite wie Höhe, d.h. mit m = 1 und λ = 1, betragen die geometrischen Wahrscheinlichkeiten für keinen und genau einen Schnitt, sowie für zwei Schnitte mit den GS
– also den Seiten oben und unten im Quadrat:
√
¡√
¢
p0 = p(S0 ) = 21
2 − 1 , p1 = p(S1 ) = 2 − 2 , p2 = p(S2 ) = p0 .
(5.28)
Satz 5.5.2. [3] Wenn es bekannt ist, dass eine zufällige Gerade eine Seite eines
gegebenen Quadrats trifft, so beträgt die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass auch die
√
gegenüberliegende Seite getroffen wird p = 2 − 1, vgl. Bild 5.12.
?
G
Bild 5.12: Quadrat mit bedingter Wahrscheinlichkeit auf Seiten
Beweis. Nach der Illustration im Bild 5.13 definieren wir folgende Mengen an Geraden
G bzgl. des gegebenen Quadrats Q:
Sl := { G | G trifft linke Seite von Q } ,
Sr := { G | G trifft rechte Seite von Q } ,
Su := { G | G trifft untere Seite von Q } ,
So := { G | G trifft obere Seite von Q } .
Dann gilt folgender Zusammenhang mit den Mengen Sk aus den vorangegangenen Abschnitten:
S0 = Sl ∩ Sr ,
S2 = Su ∩ So ,
S1 = Su ∩ Sl ∪ Su ∩ Sr ∪ So ∩ Sl ∪ So ∩ Sr = Su ∩ (Sl ∪ Sr ) ∪ So ∩ (Sl ∪ Sr )
|
{z
} |
{z
}
=:S10
=:S100
102
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
mit S10 ∩ S100 = ∅ und µ(S10 ) = µ(S100 ) =
Quadrat die disjunkte Vereinigung
1
2
µ(S1 ), so dass die Menge aller Geraden auf das
D = S0 ∪ S2 ∪ S10 ∪ S100
| {z }
=S1
ist; siehe auch Bild 5.14, das diese Zusammenhänge auf einem Tetraeder widerspiegelt
(links in perspektivischer Darstellung, rechts in der Ansicht von oben), wobei je eine Seite
die Menge an Geraden Sl , bzw. Sr , bzw. Su , bzw. So ist und die Schnittmengen den Kanten
entsprechen – die Eckpunkte sind auszusparen, bzw. sie entsprechen den Geraden entlang
der Seiten des Quadrates und stellen in unserem Zusammenhang Mengen vom Maß Null
dar.
Sr
Su
So
Sl
S2
S0
S1
S1
S1
Bild 5.13: Mengen an Geraden bzgl. der Seiten und Schnittzahlen
S2 = So
So
Su
So
So
So
Sl
Sl
Sl
Sr
Sr
Su
Su
Su
So
S1
Sr
Su
Sr
S0 =
Sl Sr
Sl
Sl
Sr
Bild 5.14: Beziehung der Mengen in Form eines Tetraeders
S1
5.5. ZWEI BEISPIELE NACH SANTALÓ
103
Als bedingte Wahrscheinlichkeit gilt nun für das p aus Satz 5.5.2
p = p(S2 |Su ) = p(S2 |So ) = p(S0 |Sl ) = p(S0 |Sr ) ,
wobei wir uns o.B.d.A. für die erste Gleichheit entscheiden und mit den Angaben (5.28)
nach dem Satz von Bayes dafür
p = p(S2 |Su )
=
p(Su |S2 ) · p(S2 )
p(Su |S0 ) · p(S0 ) + p(Su |S2 ) · p(S2 ) + p(Su |S10 ) · p(S10 ) + p(Su |S100 ) · p(S100 )
1 · p(S2 )
0 · p(S0 ) + 1 · p(S2 ) + 1 · 12 p(S1 ) + 0 · 21 p(S1 )
√
1
(
2 − 1)
p2
2
√
√
= 1
= 1
1
2 p1 + p2
2 (2 − 2) + 2 ( 2 − 1)
√
2−1
=
=
bestimmen. ¤
Satz 5.5.3. [3] Wenn es bekannt ist, dass eine zufällige Gerade eine Diagonale
eines gegebenen Quadrats trifft, so beträgt die
√ Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch
die andere Diagonale getroffen wird p = 2 − 2, vgl. Bild 5.15.
G
?
Bild 5.15: Quadrat mit bedingter Wahrscheinlichkeit auf Diagonalen
Beweis. Hier gehen wir direkter als im Beweis des letzten Satzes vor. Sei D1 , bzw. D2
die Diagonale, die von unten, links nach rechts, oben, bzw. unten, rechts nach links, oben
verläuft. Ausgehend von den Mengen
S\ := { G | G schneidet D1 } ,
S] := { G | G schneidet D2 } ,
S[ := { G | G schneidet D1 und D2 }
nach Bild 5.16 stellen wir zunächst
S\ = S0 ∪ S2 ∪ S10 ,
S] = S0 ∪ S2 ∪ S100 ,
S[ = S0 ∪ S2
104
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
D1
D2
S
S
S
S2
S1
S0
S1
S1
Bild 5.16: Mengen an Geraden bzgl. der Diagonalen und Schnittzahlen
fest, wobei der Durchschnitt der Mengen
S10 := S\ ∩ S1 ,
S100 := S] ∩ S1
leer ist: S10 ∩ S100 = ∅, weil die Geraden mit genau einem Schnitt des Gitters nicht beide
Diagonalen schneiden können. Aus Gründen der Symmetrie gilt zudem wegen S10 ∪S100 = S1
für die Maße dieser Mengen µ(S10 ) = µ(S100 ) = 12 µ(S1 ).
Damit können wir nun für die bedingte Wahrscheinlichkeit p aus Satz 5.5.3
p = p(S[ |S\ ) = p(S[ |S] )
angeben, so dass wir mit (5.28) aus Lemma 5.5.1 den Wert
p = p(S[ |S\ ) =
p(S[ ∩ S\ )
p(S\ )
p(S0 ∪ S2 )
p0 + p2
=
0
p(S0 ∪ S2 ∪ S1 )
p0 + p2 + 21 p1
√
2−1
√
=
1
2
2
√
= 2− 2
=
berechnen können. ¤
5.6. ENTROPIE DES ZE II
5.6
105
Entropie des ZE II
Bezogen auf unser Zufallsexperiment II mit den Ausgängen S0 , S1 , ..., Sk , ..., Sm
oder Sm+1 jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p0 , p1 , ..., pk , ..., pm oder pm+1 wird
die Entropie nach (3.10) durch die Summe
H(p0 , p1 , ..., pm , pm+1 ) = −
m+1
X
pk ldpk
(5.29)
k=0
festgelegt (definitorisch wird wie vereinbart 0 · ld(0) = 0 gesetzt). Die Funktion H
nimmt ihren größten Wert Ĥm für den größten Grad an Unbestimmtheit an, was hier
genau für pk = 1/(m + 2) der Fall wäre, d.h. wenn alle Schnittzahlen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit aufträten.
Der Schreibweise pk = pII (λ, m, k) für die Funktionen der geometrischen Wahrscheinlichkeiten folgend, definieren wir hier also mit (5.29) die Funktion
HII (λ, m) := H(pII (λ, m, 0), pII (λ, m, 1), ..., pII (λ, m, m + 1)) ,
(5.30)
wieder die Parameter des Zufallsexperiments als Argumente der Funktion anführend.
Mit den pk nach Satz 5.3.1 können wir die Beziehung (5.30) in Mathematica numerisch auswerten und graphisch darstellen, was im Bild 5.17 zu sehen ist. (Streng
genommen, wäre vorher noch pII ≥ 0 zu zeigen. Wir verzichten hier darauf, diesen Nachweis explizit zu führen und verweisen auf die Herleitung der µ(SII ) in den
vorangegangenen Abschnitten, die Werte größer oder gleich Null sichert!)
Zu erkennen sind die Maxima H̄m := maxλ HII (λ, m), bei denen der Ausgang des
Zufallsexperiments II seine größte Ungewissheit annimmt; nach dem soeben gesagten
beträgt die obere Schranke hierfür, vgl. (3.11):
Ĥm = ld(m + 2) .
Das darunter gezeigt Bild 5.18 trägt links die Punkte (m, λ̄m ) der Maxima im mλ-Diagramm auf, wobei die gestrichelte Linie den Verlauf von (m, m · λ̄m ) darstellt,
also das Höhen-zu-Breiten-Verhältnis ma
des ganzen Gitters angibt – dem Verlauf
2r
der Kurve ist zu entnehmen, dass Gitter mit ungefähr quadratischen Umrissen den
Informationsgewinn maximieren! Der rechte Teil des Bildes zeigt, wie weit für die
Werte von m der Grad
H̄m
w :=
Ĥm
der maximalen Ungewissheit angenommen wird. Numerische Berechnungen in Mathematica ergeben hier einen Maximalwert von ŵ = 0,9336 für m = 7.
Anm.: Das bedeutet natürlich nicht, dass ab m > 7 das ZE II wieder “vorhersagbarer“
wird – im Gegenteil: Die Funktionswerte von HII (λ, m) und insbesondere der Wert H̄m
steigen weiter an, d.h. die Entropie nimmt zu, aber im Verhältnis zur größtmöglichen
Ungewissheit bei m + 2 Ausgängen des Zufallsexperiments ist die Tendenz abnehmend.
106
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
H II
4
3
2
1
0
0.8
0.6
10
8
6
λ 0.4
m
4
2
0.2
0 0
H
8
6
4
2
1
0.8
0.6
II
0
5
m
10
HI
15
0.4
λ
0.2
0
Bild 5.17: oben: Entropie HII über λ und m, unten: m → ∞, HII → HI
1.2
λ
1
w
1
0.98
0.8
0.96
0.6
0.94
0.92
0.4
0.9
0.2
m
1
2
4
6
8
10
0.88
m
1
2
4
6
Bild 5.18: Entropie HII : Ortspunkte (m, λ) der Maxima und Grad w
8
10
5.6. ENTROPIE DES ZE II
107
Das folgende zweiteilige Bild 5.19 stellt die Verläufe der “absoluten Entropiemaxima“ und des Entropiegrades w über der Zellenanzahl m bis 60 dar.
6
H II
5
Hm
Hm
4
3
2
1
m
10
20
30
40
20
30
40
50
60
1
w
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9
0.88
m
2 7 12
50
60
Bild 5.19: Entropie HII und Grad w
Die Aussage des maximalen Entropiegrades für m = 7 veranschaulicht das Bild
5.20 direkt an den geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk mit k = 0, 1, ..., m + 1 = 8
und dem Wert λ̄7 = 0,15416586 (durchgezogener Verlauf) sowie an zwei weiteren
Werten λ = λ̄7 ±20% (kurz-gestrichelte Verläufe); außerdem sind die Kurvenzüge der
Verteilungen von pk (λ̄6 , 6) und pk (λ̄8 , 8) aufgetragen (lang-gestrichelte Verläufe), die
beide mehr “Ordnung“ und einen weniger als im Fall m = 7 gleichverteilten Verlauf
aufweisen.
Im Diagramm des Bildes 5.21 sind die Höhenlinien HII (λ, m) = const. = H̄m̄ des
Graphen HII zu sehen; der durch die Scheitelpunkte der Höhenlinien verlaufende
Kurvenzug entspricht den Ortspunkten der Maxima von HII .
108
KAPITEL 5. ZUFALLSEXPERIMENT II
0.25
p
k
m= 6
0.2
7
8
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
k
Bild 5.20: Wahrscheinlichkeiten pk für m = 7 und m = 6, 8
1
λ
0.8
0.6
0.4
m
0.2
m
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Bild 5.21: Kurven konstanter Entropie HII = H̄m̄
Bemerkenswert ist das asymptotische Einlaufen der Höhenlinien konstanter Entropie bei m → ∞ zu einem Grenzwert λ̃. Das Vorhandensein von Asymptoten ist
natürlich gleichbedeutend
damit, dass es für das Zufallsexperiment I eine Entropie
P∞
HI gibt bzw. k=0 pI (λ, k) ld(pI (λ, k)) konvergiert, vgl. Abschnitt 4.5 und Satz 4.5.1,
ebenso Bild 5.17, unten.
Gestrichelt eingezeichnet sind in dem Bild 5.21 die mit Sekantenverfahren numerisch gefundenen Werte
λ̃3 = 0,753498 , λ̃4 = 0,592819 , λ̃5 = 0,49172 ,
wobei λ̃m̄ den zur Höhenlinie H(λ, m) = H̄m̄ gehörenden Wert bedeutet.
Kapitel 6
Strecke auf Gitter Rna,d
Hier stellen wir den im Hauptteil letzten Abschnitt unserer analytischen Methoden
vor, den Wurf von Nadeln auf endliche Gitter als Zufallsexperiment III stochastisch zu erfassen. Dies ist zugleich der in der Ebene allgemeinste Fall bzgl. “gerader
Gitter“, so dass sich die Ergebnisse der ersten beiden Kapitel als Sonderfälle der
Resultate dieses Kapitels ergeben werden.
6.1
Problemstellung: Zufallsexperiment III
Unserem Plan aus der Einführung folgend, schränken wir nun neben dem Gitter
auch die Ausdehnung des Testobjektes – wieder – auf die Buffonsche “Nadelgröße“
ein: Die Gerade wird zu einer Strecke der Länge l.
Bild 6.1: Zwölf zufällige Nadeln auf endlichem Gitter: Zufallsexperiment III
Das Bild 6.1 zeigt diese Situation, und als Simulationsergebnis bereits auf das
rechnergestützte Zufallsexperiment des nächsten Teils verweisend. Hier sind zwölf
109
110
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Nadeln zufällig auf ein Gitter mit sieben Gitterstrecken, bzw. sechs Zellen endlicher
Breite platziert.
Das Bild 6.2 zeigt gemäß des Kapitels 2 die geometrische Konfiguration unserer
weiter unten formulierten abschließenden Fragestellung zur geometrischen Wahrscheinlichkeit einer Nadel auf einem endlichen Gitter. Dabei wurde als Beispiel ein
Gitter mit m = 3 Zellen, bzw. n = 4 Gitterstrecken gezeichnet. Im rechten Bildteil
ist die Bedingung
K ∩ H 6= ∅
m
veranschaulicht, wobei wieder K = int K und K die Einhüllende des Gitters Ca,2r
nach den Definitionen des Abschnitts 2.1 sei, d.h. H muss mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Inneren des Gitters aufweisen.
Gitter
m
C a, 2 r
Zelle
Einhüllende
K
n=4
m=3
Gitterstrecke
3
K = int K
2
Nadel H
2
a
1
1
d = 2r
K(H = L
Bild 6.2: Gitteraufbau und “zulässige“ Nadel
Folgen wir den Bezeichnungen der Definition 2.1.7 und greifen die Parameter
der Definitionen 2.1.2 auf, haben wir damit alle Eigenschaften und Bedingungen
beisammen, um nun abschließend zu fragen:
Problem 6.1. Wie groß ist die geometrische Wahrscheinlichkeit pIII (α, λ, m, k) dafür, dass eine zufällig geworfene Nadel H der Länge l = a/α, die das Innere eines
m
Gitters Ca,d
mit m Zellen, bzw. m + 1 Gitterstrecken im äquidistanten Abstand a und
der jeweiligen Breite d = 2 r = a/λ trifft, genau k seiner Gitterstrecken schneidet?
6.2
Allgemeines Vorgehen
Wir werden diese in unserem Zusammenhang allgemeinste Betrachtung, die eine
Fülle an Fallunterscheidungen notwendig macht, wieder schrittweise für die Schnitte
k = 0, 1, 2, ... bearbeiten. In diesem noch einleitenden Abschnitt möchten wir
die grundlegenden Ideen eher intuitiv beleuchten, die wir dann in den kommenden
Arbeitsschritten nach und nach entwickeln und vertiefen werden.
Die grundlegende Idee ist wieder, das Testobjekt nach seiner ersten Koordinate,
dem Fall- bzw. Fußpunktwinkel θ, zu ordnen. Das Bild 6.3 zeigt, wie eine “flach“
fallende Nadel sich nach und nach “aufrichtet“, d.h. wie θ sich dabei also von π/2
6.2. ALLGEMEINES VORGEHEN
111
...
bis 0 verändert. Je nach Winkelbereich wird die “Bewegungsfreiheit“ der Nadel mit
k Schnitten zum Gitter eine andere sein.
Um k > 1 Schnitte zu erzielen, benötigt die Nadel notwendigerweise zunächst
eine bestimmte “Steilheit“. In der folgenden Diskussion liege ein Punkt der Nadel
dabei wie im Bild 6.3 gezeigt immer im “Drehpunkt“ E+
0 des Gitters. Ist das Gitter
genügend breit, so erreicht bereits eine Nadel vom Fallwinkel von H0 die (k − 1)-te
Gitterstrecke und ist damit in der Lage, k Schnitte mit dem Gitter auszubilden. In
einem schmaleren Gitter hingegen wird erst eine Nadel wie H1 eine solche Möglichkeit haben. Ausnahmen sind natürlich die Fälle k = 0 und k = 1 – womit die
Besonderheit dieser Schnittzahlen ein weiteres Mal unterstrichen wird.
(k + 1) a
H3
ka
...
l
H2
(k - 1) a
H0
H1
...
...
a
q1
+
E0
Bild 6.3: Drehung der Nadel und Detektion der Anzahl möglicher Schnitte
Fällt die Nadel so steil wie H2 , sind bereits k + 1 Schnitte möglich und es ist
abzusehen, dass die Bewegungsfreiheit der Nadel sich einschränken wird, soll sie
nur k Schnitte unter diesem Winkel “erzeugen“. Eine hinreichend lange Nadel wird
unterhalb eines Fußpunktwinkels wie dem der Nadel H3 im “Inneren“ des Gitters
gar keine k Schnitte mehr erzielen können, dazu ist es vielmehr notwendig, dass
Teile der Nadel das Innere des Gitters verlassen! Es ist also abzusehen, dass nicht
nur die Koordinate ρ wie bei den Geraden, sondern auch ζ eine bedeutende Rolle
spielen wird, die Gesamtheit an Nadeln mit k Schnitten zum Gitter zu erfassen.
Bevor wir in die Untersuchung der einzelnen Schnittbetrachtungen einsteigen
werden, soll am konkreten Beispiel von k = 2 gezeigt werden, wie über den Fußpunktwinkel eine Fallunterscheidung motiviert werden kann, um den oben diskutierten Aspekten der sich so unterschiedlich verhaltenden Nadeln Herr zu werden. Ziel
soll es dabei sein, über die Nadellänge und Gitterabmessung Fälle zu klassifizieren,
auf welche die Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeiten reduziert werden können. – Eine Idee, die uns im folgenden immer wieder für alle k = 0, 1, 2, ...,
begegnen wird!
Wir lassen dabei die Länge l der Nadeln anwachsen und beginnen nach Bild 6.4,
linker Teil, mit der kürzesten Nadel von l < a. In diesem Fall kann die Nadel unter
keinen Umständen zwei Schnitte mit dem Gitter aufweisen – wir bezeichnen diesen
Fall, dass allgemein l < (k −1)a bleibt, mit 0, bereits darauf hinweisend, dass pk = 0
für dieses unmögliche Ereignis wird.
112
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
0
1.1
1.2
3a
2a
a
l1
l
l
q1
l
q1
2r
Bild 6.4: k = 2: kurze Nadeln, die Fälle 0 und 1
Erst eine Nadel der Länge a < l < min(2a, l1 ) – wobei wir die Bezeichnung der
Diagonallänge l1 nach Abschnitt 2.2, Definition 2.2.1, gebrauchen – vermag unter
Umständen zwei Schnitte mit dem Gitter zu bilden, vgl. mittleren Teil im Bild 6.4.
Bzgl. eines Winkelintervalls von θ̂1 > θ > 0 sind dann geeignete Koordinaten ρ und
ζ zu finden, damit diese zwei Schnitte realisiert werden – was wir in den folgenden
Abschnitten weiter verfolgen wollen. Ist a < l < 2a schließlich länger als l1 , muss
innerhalb des Bereiches θ1 > θ > 0 nach “günstigen“ Lagen für Nadeln mit zwei
Schnitten gesucht werden. Diese beiden Fälle mit (k − 1)a < l < ka werden als 1.1
und 1.2 gekennzeichnet.
2.1
2.3
2.2
3a
2l2
2a
l
l
a
l1
q1
q2
q2
q2
l
q1
q1
Bild 6.5: k = 2: mittlere Nadeln, die Fälle 2
Als Fall 2 werden die Bereiche benannt, für welche die Länge l der Nadel zwischen
ka und (k+1)a liegt, in dem hier diskutierten Fall also 2a < l < 3a gilt. Dann können
sogar drei Schnitte mit dem Gitter auftreten! Die Menge aller Nadeln mit genau zwei
Schnitten wird man in diesem Fall ab einem Fußpunktwinkel von θ̂1 > θ oder θ1 > θ
anfangen zu suchen, je nachdem ob l < l1 gilt oder nicht, vgl. Bild 6.5 linker Teil
versus mittleren und rechten Ausschnitt. Unterschreitet der Fußpunktwinkel θ den
Wert von θ̂2 , bzw. θ2 , vgl. Bild 6.5 linker und mittlerer Ausschnitt versus rechter
Teil, können ggf. auch drei Schnitte auftreten. Die Unterfälle dieser Rubrik 2 wird
man also in die zu untersuchenden Winkelbereiche θ̂1 > θ > θ̂2 ∧ θ̂2 > θ > 0,
θ1 > θ > θ̂2 ∧ θ̂2 > θ > 0 und θ1 > θ > θ2 ∧ θ2 > θ > 0 aufteilen, die wir mit 2.1,
2.2 und 2.3 bezeichnen.
6.2. ALLGEMEINES VORGEHEN
3.1
113
3.2
3.4
3.3
3l 3
q3
l
q3
l
q2
l1
q3
2l 2
q3
l
q2
q2
q2
l
q1
q1
q1
q1
Bild 6.6: k = 2: lange Nadeln, die Fälle 3
Endlich gibt es den Fall, dass l > (k + 1)a ist, in diesem Beispiel also l > 3a gilt.
Hier kann es passieren, dass im Inneren des Gitters überhaupt nicht mehr genügend
Platz ist, damit die Nadel so bewegt werden kann, dass lediglich und genau k Schnitte
vorkommen! Alle darin vorkommenden Fälle sollen mit 3 als erste Ziffer gekennzeichnet werden. Dem Bild 6.6 ist zu entnehmen, dass nun drei Fußpunktwinkel eine Rolle
spielen: θ̂1 , bzw. θ1 wieder als Marke, ab der überhaupt k = 2 Schnitte auftreten,
dann θ̂2 , bzw. θ2 bis zu der die Nadel “ungehindert“ bewegt werden kann, schließlich θ̂3 , bzw. θ3 bis zu denen die Nadel noch mit Einschränkungen so bewegt werden
kann, dass stets zwei Schnitte auftreten, ab denen bei steiler fallender Nadel dann
aber unter Umständen im Inneren des Gitters so wenig Raum bleibt, dass nur noch
mehr als zwei Schnitte auftreten und die Menge der Nadel mit genau zwei Schnitten
leer bleibt. Die Abfolge, wann welcher der Winkel “greift“ und wie mit Hilfe der
Diagonallängen l1 , 2l2 und 3l3 die Fälle 3.1, 3.2, 3.3 und 3.4 als Bedingungen in l
zu gestalten sind, kann dem Bild 6.6 entnommen werden – wir werden im Abschnitt
6.5 darauf zurückkommen.
Mehr Unterscheidungen gibt es nicht. Denn jede Nadel, die länger als (k + 1)a
ist, kann wieder in die eben aufgelisteten Fälle rubriziert werden.
hohes
a=
l = 2l 2
2.3
1.2
3.4
2.3
0
l1
2.2
2.1
kurze
a
0
3.3
3.3 2.2
3.2
3.1 2.1
3.2
1.1
2a
Nadel
1.2
3.4
3l 3
Gitter
0
Ö1 + 2 2 l2
l
l
breites
l
3.1
l
0
3a
lange
1.1
a
1
1/3 1/2
lange
Bild 6.7: Die “Fälle“ für k = 2
Nadel
kurze
114
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Tragen wir nun alle besprochenen Fälle zusammen, können wir eine auch im folgenden noch zu diskutierende Liste an Fallunterscheidungen aufnehmen, auf die wir
später immer wieder zurückgreifen werden. Kompakt graphisch aufbereitet lassen
sich die Fälle auch in den bereits im Kapitel 2, Abschnitt 2.2, vorbereiteten l-λbzw. α-λ-Diagrammen darstellen. Dabei gliedern in unserem konkreten Beispiel die
Markierungen l = a, 2a und 3a, bzw. α = 1, 1/2 und 1/3 die Hauptfälle 0, 1, 2
und 3. Die Diagonallängen l1 , 2l2 und 3l3 trennen dann die Unterfälle ab. Da die
Diagonallängen im l-λ-Diagramm, bzw. deren Pendants als relative Längen im α-λDiagramm asymptotisch gegen die Vertikalen der Hauptfälle laufen, finden sich alle
Unterfälle als Partition des I. Quadranten in den Diagrammen wieder.
Sonderfälle liegen übrigens für die Schnitte k = 0, 1 und m + 1 vor! In der
Diskussion des Abschnittes 6.8 werden wir sehen, wie aber auch diese in jene allgemeine Rubrizierung eingeordnet werden können. Unserem bewährten Vorgehen
folgend, werden diese Schnittuntersuchungen jedoch in gesonderten Betrachtungen
durchgeführt.
Damit liegt unser Arbeitsprogramm für dieses Kapitel hinreichend motiviert und
klar vor uns. Mit der einfachsten Schnittbetrachtung k = 0 wollen wir nun starten.
Anmerkung: Auch in diesem Kapitel werden wir wie in den beiden zuvor die
Achsensymmetrie der Geometrie des Zufallsexperiments nutzen. Es wird also nur mit
Fußpunktwinkeln in [0, π/2[ operiert und die Menge Sk\ aller Nadeln mit k Schnitten
des Gitters C aufgestellt, die einen entsprechenden Fußpunktwinkel 0 ≤ θ < π/2
aufweisen. Wie im Abschnitt 3.3 gezeigt, erhalten wir dann über µ(Sk ) = 2 · µ(Sk\ )
wieder das Maß aller Nadeln mit k Schnitten des Gitters.
6.3
Wahrscheinlichkeit für keinen Schnitt: k = 0
Fallunterscheidungen: Gemäß des Plans aus dem vorangegangenen Abschnitt haben wir für diese Schnittbetrachtung nach Bild 6.8, dort je an einer dargestellten Elementarzelle verdeutlicht, drei Fälle zu behandeln, deren abkürzenden Bezeichnungen
wir eine 0 voranstellen, um sie von den Untersuchungen und Fallunterscheidungen
der kommenden Abschnitte zu trennen:
0.1 :
l < a < l1 ⇐⇒ 1 < α ,
0.2 :
a ≤ l < l1 ⇐⇒
0.3 :
a < l1 ≤ l ⇐⇒ 0 < α ≤
√ λ
1+λ2
<α≤1 ,
√ λ
1+λ2
.
Bewegungsmuster: Die Bilder 6.10, 6.11 und 6.12 machen deutlich, wie die Men\
gen SIII
(a, r, l, m, k) aller Nadeln, die einen Fußpunktwinkel zwischen 0 und π/2
aufweisen und das Gitter nicht treffen, d.h. für die k = 0 gilt, für die einzelnen Elementarzellen des Gitters ν = 0, 1, ..., m−1, vgl. Bild 6.9, aufzustellen sind. Im Sinne
der Angabe (3.3) werden die Grenzen in den folgenden Tabellen zusammengetragen,
wobei wir die Funktionen des Abschnitts 2.2 benutzen.
6.3. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR KEINEN SCHNITT: K = 0
115
l
l
l
l1
0.3
Ö1 + l2
0.1
H
0.3
0.1
0.2
0.2
0
a
l
0
a
1
Bild 6.8: Die Fälle im Zufallsexperiment III für k = 0
...
n = m-1
n=1
a
n=0
Bild 6.9: Die m Elementarzellen für k = 0 von ν = 0 bis m − 1
zn + 1
n+1
r
zn - l
r
-
-
+
n+1
z -l
r
z
+
-
rn
q
rn + 1
zn - l
-
z
+
q
rn
+
zn
+
zn + 1
r
H
-
z -l
rn + 1
rn
q1
H
+
zn
z
z
a
Bild 6.10: Zufallsexperiment III, Fall 0.1
rn
116
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Tabelle 6.1: Zufallsexperiment III, Fall 0.1
Grenzen
ρ
ρi2
ζi1
θ
Fall
i
θi1
θi2
ρi1
0.1
l < a < l1
1<α
1
θ1
π
2
0
θ1
ρ−
ν
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
2
3
4
5
6
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν+1
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ+
ν+1
Gitter
ν
νi1 νi2
ζ
ζi2
ζ− − l
ζ− − l
ζν+1
ζ− − l
ζν+1
ζν+1
ζν − l
ζ+
ζ+
ζν − l
ζν − l
ζ+
0
Vielfachheit
m−1
m
Mengen und Maße: Wir erhalten also im Sinne von (3.3) die Angabe für die
Menge aller Nadeln, die nach Fall 0.1 unter einem Fußpunktwinkel von 0 ≤ θ < π/2
das Gitter nicht treffen, als Vereinigung von sechs Mengen nach Tabelle 6.1 zu
\ 0.1
SIII (a, r, l, m, k = 0) =
6
[
\ 0.1
SIII,i
mit SIII,i =
\ 0.1
TIII,(i,ν)
ν=νi1
i=1
und
νi2
[
\ 0.1
©
ª
\ 0.1
TIII,(i,ν)
= H | θi1 < θ < θi2 ∧ ρi1 < ρ < ρi2 ∧ ζi1 < ρ < ζi2
und damit weiter nach (3.5) und gemäß der Symmetrie (3.7) das Maß
\ 0.1
0.1
µ(SIII
(a, r, l, m, k = 0)) = 2 · µ(SIII
(a, r, l, m, k = 0)) = 2 ·
νi2
6 X
X
\ 0.1
µ(TIII,(i,ν)
)
i=1 ν=νi1
aller Nadeln, die der Bedingung 0.1 genügen und das Gitter nicht treffen. Die zuletzt
angegebene Beziehung teilen wir zunächst über
µ(SIII ) = 2
0.1
m−1
6
XX
\ 0.1
µ(TIII,(i,ν) ) = 2
ν=0 i=1
m−1
X
3
³X
ν=0
i=1
\ 0.1
µ(TIII,(i,ν) ) +
6
X
´
µ(TIII,(i,ν) )
\ 0.1
(6.1)
i=4
in zwei “Blöcke“ auf, denn die beiden Summanden in der rechten Klammer hängen
nicht vom Laufindex ν ab – wie es für ein “homogenes“ Gitter nicht anders zu erwarten ist: alle Elementarzellen “sehen ähnlich aus“ – und die darin vorkommenden
Teilintegrale
Z ρ+ν+1 Z ζ +
Z ρ−ν+1 Z ζ +
Z ρ+ν Z ζν −l
dζ dρ
dζ dρ +
dζ dρ +
ρ=ρ−
ν
Z
=
ρ−
ν+1
ρ=ρ−
ν
= l2
α
λ
¡
ρ=ρ+
ν
ζ=ζ − −l
Z
Z
ζν −l
dζ dρ +
ζ=ζ − −l
ρ+
ν
ρ=ρ−
ν+1
ζ=ζ − −l
ρ=ρ−
ν+1
Z
Z
ζν −l
dζ dρ +
ζ=ζν+1
¢
α − cos θ + λ sin θ =: h0 (θ)
ρ+
ν+1
ρ=ρ+
ν
ζ=ζν+1
Z
ζ+
dζ dρ
ζ=ζν+1
(6.2)
6.3. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR KEINEN SCHNITT: K = 0
117
sind überdies sogar gleich! Damit geht (6.1) mit (6.2) in die einfache Beziehung
Z
µ(SIII ) = 2m
π/2
0.1
h0 (θ) dθ = 2m l2
θ=0
α
λ
¡
¢
− 1 + π2 α + λ
(6.3)
über. Mit dem Ausdruck (2.13) für µ(DIII ) nach Korollar 2.3.2.2 können wir damit
bereits gemäß (3.1) in
p(α, λ, m, k = 0) =
−1 + π2 α + λ
µ(SIII (a, r, l, m, k = 0))
= 1
µ(DIII )
+ π2 α + λ
m
eine erste Aussage für die geometrische Wahrscheinlichkeit angeben, nach der eine
Nadel der Bedingung 0.1 das Gitter C nicht trifft.
Die beiden übrigen Fälle 0.2 und 0.3 lassen sich analog abhandeln. Zunächst
haben wir im Falle 0.2 die nach Bild 6.11 möglichen Nadelbewegungen, die wir zu
den ersten neun Intervallen nach Tabelle 6.2 zusammenstellen und auflisten können.
Die ersten sechs Intervalle lassen sich wieder gegenüber der ν-ten Elementarzelle
“neutral“ wie oben in ρ und ζ zur Funktion
3 Z Z
X
i=1
ρi
dζ dρ =
6 Z Z
X
ζi
i=4
ρi
dζ dρ = h0 (θ)
ζi
nach (6.2) zusammenfassen. Außerdem ergibt sich für die Summe der Teilintegrale
Z
ρ−
ν+1
ρ=ρ−
ν
Z
Z
ζν −l
dζ dρ + 0 +
ζ=ζ − −l
ρ+
ν+1
ρ=ρ+
ν
Z
ζ+
dζ dρ = −l2 α2 ln α =: ĥ0 (θ)
ζ=ζν+1
von i = 7 bis 9 nach Tabelle 6.2 wieder ein von ν unabhängiger Ausdruck. Damit
können wir das Maß der Menge aller Nadeln nach Fall 0.2, die das Gitter nicht
treffen, in der folgenden Art angeben
³Z
µ(SIII ) = 2m
Z
θ̂1
θ=0
´
π/2
ĥ0 (θ) dθ +
0.2
h0 (θ) dθ
θ=θ̂1
³
√
¡
¢´
= 2m − l2 αλ αλ ln α + l2 αλ − 1 + π2 α + 1 − α2 + αλ − α arccos α
³
´
√
= 2m l2 αλ − 1 + π2 α + 1 − α2 + αλ − α arccos α − αλ ln α ,
(6.4)
welche den Rechenschritten der oben angegebenen Weise des Falls 0.1 folgt.
Das Bild 6.12 zeigt die Bewegungen einer “langen Nadel“ nach Fall 0.3 auf
dem Gitter an, die dieses nicht schneidet. Ihre Bewegungsmöglichkeiten sind in den
letzten sechs Zeilen der Tabelle 6.2 aufgelistet.
Die beiden hier vorkommenden Teilintegrale in ρ und ζ nach den Zeilen i = 1
bis 3 und i = 4 bis 6 für Fall 0.3, die sich als von ν wieder unabhängig ergeben, sind
“Bausteine“ der vorangegangenen Fälle.
118
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
zn + 1
-
rn + 1
+
rn + 1
-
z -l
zn - l
z
+
-
rn
+
rn
zn
zn + 1
-
rn + 1
zn - l
+
rn + 1
l
q1
a
-
rn
+
rn
Bild 6.11: Zufallsexperiment III, Fall 0.2
q1
l
a
Bild 6.12: Zufallsexperiment III, Fall 0.3
Und so können wir nun das Maß der Menge aller Nadeln, welche der oben notierten
Bedingung des Falls 0.3 einzuordnen sind und das Gitter nicht treffen, folgendermaßen berechnen:
Z π/2
´
³ Z θ1
0.3
ĥ0 (θ) dθ +
h0 (θ) dθ
µ(SIII ) = 2m
θ=θ1
θ=0
= 2m l2
α
λ
³
− 1 + π2 α +
√
´
λ
1 + λ2 − α arctan λ1 − αλ ln √1+λ
. (6.5)
2
Zusammen mit den oben bestimmten Maßen (6.3), (6.4) und (6.5) der Mengen
SIII haben wir damit die Aussage des folgenden Satzes gewonnen.
0
6.3. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR KEINEN SCHNITT: K = 0
119
Tabelle 6.2: Zufallsexperiment III, Fälle 0.2 und 0.3
θ
Grenzen
ρ
ρi2
ζi1
ζ
Fall
i
θi1
θi2
ρi1
0.2
a ≤ l < l1
λ
√
<α≤1
1+λ2
1
θ1
π
2
ρ−
ν
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν+1
ζ− − l
ζ− − l
ζν+1
ζν − l
ζ+
ζ+
θ̂1
θ1
0
θ̂1
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ+
ν+1
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ+
ν+1
ζ− − l
ζν+1
ζν+1
ζ− − l
0
ζν+1
ζν − l
ζν − l
ζ+
ζν − l
0
ζ+
θ1
π
2
ρ−
ν
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν+1
ζ− − l
ζ− − l
ζν+1
ζν − l
ζ+
ζ+
0
θ1
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ρ+
ν+1
ζ− − l
0
ζν+1
ζν − l
0
ζ+
2
3
4
5
6
7
8
9
0.3
a < l1 ≤ l
λ
0 < α ≤ √1+λ
2
1
2
3
4
5
6
ζi2
Gitter
ν
νi1 νi2
Vielfachheit
0
m−1
m
0
m−1
m
Satz 6.3.1 (Zufallsexperiment III, Fall k = 0). Für die in Problem 6.1 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt für den Fall k = 0 nach Division der Maße
(6.3), (6.4) und (6.5) mit dem Grundmaß µ(DIII ) nach (2.13):
¡
Fall 0.1 : pIII (α, λ, m, 0) = γ · − 1 +
¡
Fall 0.2 : pIII (α, λ, m, 0) = γ · − 1 +
¡
Fall 0.3 : pIII (α, λ, m, 0) = γ · − 1 +
π
2
¢
α+λ ,
¢
α + αλ + Φ1 ,
¢
π
,
α
+
Ψ
1
2
π
2
unter Verwendung der Abkürzungen
γ := ( m1 + π2 α + λ)−1 und
√
Φ1 :=
1 − α2 − α arccos α − αλ ln α ,
√
λ
1 + λ2 − α arctan λ1 − αλ ln √1+λ
Ψ1 :=
2 .
(6.6)
(6.7)
(6.8)
120
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Noch ein abschließendes Wort zu den stetigen Übergängen der pIII entlang der
Grenzen der Fallunterscheidungen – es gilt:
Fall 0.1
= Fall 0.2
für α = 1 : pIII (1, λ, m, 0) =
Fall 0.2
= Fall 0.3
für α =
√ λ
1+λ2
pIII (A =
√ λ
, λ, m, 0)
1+λ2
6.4
−1+ π2 +λ
1
+ π2 +λ
m
und
:
=
√
−1+ π2 A+ 1+λ2 −A arctan
1
+ π2 A+λ
m
1
−Aλ ln A
λ
.
Wahrscheinlichkeit für genau einen Schnitt:
k=1
Richtete sich unsere Betrachtung im vorigen Abschnitt auf die Zellen zwischen den
Gitterstrecken, so konzentrieren wir uns ab jetzt mehr auf die Gitterstrecken selbst
bzw. die Schnitte des Testobjekts mit diesen: Gitterstrecken und Nadel haben also
immer im k-fachen “Eingriff“ zu stehen. Dennoch ist auch dieser Schnittfall von
k = 1 noch in gewisser Hinsicht ein Sonderfall, denn die in der eingehenden Vorbetrachtung bei k = 2 konkret vorgestellten Fallunterscheidungen werden hier noch
1
nicht vollständig ausgebildet – so kann bzw. braucht k−1
bzgl. α noch nicht zur Unterscheidung herangezogen werden. Daher sollen auch die Abkürzungen dieser Fälle
gesonderte Bezeichnungen tragen: Den durchnummerierten Fällen wird das Symbol
I vorangestellt.
Fallunterscheidungen: Das Bild 6.13 zeigt die zu untersuchenden Fälle im l-λDiagramm für zwei Zellen, die gemäß unserer Vorüberlegungen nach Abschnitt 6.2
ausreichen, um alle Fälle abzudecken.
l2
l
l1
H
2l2
2l2
H
l1
2l2
a
l1
2l2
l1
l2
l1
l2
a
l2
l2
2a
Bild 6.13: Fälle für k = 1 in der Zellendarstellung
l
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
121
Links und rechts bzw. oben und unten der gestrichelt eingezeichneten Kurve
l = l2 haben wir zunächst ebenfalls Fallunterscheidungen eingeführt, da erst einmal
nicht klar ist, ob sich das Maß einer Menge von Nadeln an dieser “Scheidelinie“
ändert 1 . Insgesamt gilt damit die Zusammenstellung an Fallunterscheidungen:
I.1:
0<l<a
⇐⇒
I.2.1:
a ≤ l < min(l2 , 2a)
⇐⇒
2λ
max( 21 , √1+4λ
2) < α ≤ 1,
I.2.2:
l2 ≤ l < min(l1 , 2a)
⇐⇒
λ
max( 12 , √1+λ
2) < α ≤
I.3:
l1 ≤ l < 2a < 2l2
⇐⇒
I.4.1:
2a ≤ l < l2
⇐⇒
I.4.2:
max(2a, l2 ) ≤ l < l1
⇐⇒
√ λ
1+λ2
2λ
1
< α ≤ min( √1+4λ
2 , 2) ,
I.5:
max(2a, l1 ) ≤ l < 2l2
⇐⇒
√ λ
1+4λ2
λ
1
< α ≤ min( √1+λ
2 , 2) ,
I.6:
2a < 2l2 ≤ l
1 < α,
√ λ
1+4λ2
<
1
2
√ 2λ
1+4λ2
⇐⇒
0<α<
√ 2λ
1+4λ2
√ λ
1+λ2
<α≤
,
,
< α ≤ 12 ,
√ λ
1+4λ2
< 12 .
l
I.3
I.6
l1
2 l2
Ö3
l2
I.1
I.2.2
I.5
3
Ö3
I.2.1
I.4
.2
6
I.4.1
0
a
2a
l
Bild 6.14: “Vorläufige“ Fallbezeichnungen für k = 1
Das Bild 6.14 zeigt ebenfalls die im Abschnitt 2.2 behandelten Umschlagstellen
bzgl. λ, an denen
√
3
2a = l1 −→ Λ(1, 1, 2) =
3
und
√
3
2a = l2 −→ Λ(1, 2, 2) =
6
gilt, wobei die Beziehung (2.1) für Λ nach Satz 2.2.5 genutzt wurde.
1
Diese Frage soll etwas später eingehend geklärt werden; wobei der gestrichelt geplottete Verlauf
bereits anzeigt, dass sich die dadurch eingeschaltete Fallunterscheidung als unnötig erweisen wird!
122
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Bewegungsmuster: Die möglichen Bewegungen einer Nadel mit einem Schnitt des
Gitters und unter einem Fußpunktwinkel zwischen 0 und π/2 können in drei Typen
eingeteilt werden, die in den Bildern 6.15, 6.16 und 6.17 dargestellt sind. Wir werden
sie nun kurz besprechen und anschließend “vermessen“, um zu einer vollständigen
Aussage über alle entsprechenden Nadeln zu kommen und daraus das Maß dieser zu
berechnen.
H
q
Bild 6.15: Bewegung vom Typ 1
H2
H2
H1
q
q
H1
Bild 6.16: Bewegung vom Typ 2
H
q
q
H
q
H
Bild 6.17: Bewegung vom Typ 3
Eine Nadel nach dem Bewegungsmuster 1, vgl. Bild 6.15, kann über jede der Gitterstrecken “in voller Länge“ bewegt werden, ohne mit einer anderen Gitterstrecke
in Berührung zu kommen. Offensichtlich hängt das Auftauchen dieses Musters vom
Fallwinkel und der Länge der Nadel ab.
Der Typ 2 tritt stets auf! Er findet nach Bild 6.16 an der untersten, ν = 0, und
obersten, ν = m, Gitterstrecke statt. An diesen nämlich wird die Bewegung der
Nadel nur von je einer anderen Gitterstrecke limitiert, vgl. die Blockpfeile, die diese
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
123
Einschränkung verdeutlichen; dies ist einmal die Gitterstrecke ν = 1 am unteren
und ν = m − 1 am oberen Ende des Gitters.
In den “inneren“ Gitterstrecken, also ν = 1, ..., m−1, ergibt sich das Bewegungsmuster 3 nach Bild 6.17. Hier wird die Bewegung von zwei Nachbargitterstrecken
begrenzt. Der linke, mittlere und rechte Teil im Bild machen deutlich, wie die Bewegungsfreiheit der Nadel in Abhängigkeit des Winkels θ immer weiter eingeschränkt
wird. Ganz rechts ergibt sich sogar ein Bereich, in dem eine hinreichend lange Nadel
nach diesem Typ nur mehr als einen Schnitt bilden könnte.
Welche der Muster jeweils zutreffend die Bewegung einer Nadel erfassen, hängt
davon ab, wie lang diese ist; was in den oben ausgearbeiteten Fallunterscheidungen
klassifiziert wird. Jetzt soll es darum gehen, für jede dieser Fälle den Nadeln die
passenden Bewegungsmuster zuzuordnen, während sie mit einem Fußpunktwinkel
zwischen 0 und π/2 auf das Gitter fallen. Dabei sind die Übergänge zwischen den
Mustern nach dem Winkel θ und die Grenzintervalle in den Koordinaten ρ und ζ
innerhalb der Muster zu beschreiben.
l
q2
q2
l
q1
q1
Bild 6.18: Maßgebliche Winkel im Schnittfall k = 1
Die dabei auftretenden Winkel sind noch einmal im Bild 6.18 dargestellt. Welcher
dieser Winkel den Übergang von einem zum nächsten Muster bestimmt, hängt von
der Nadellänge, also den oben angegebenen Fallunterscheidungen ab. So wird eine
“kurze“ Nadel vom Bewegungstyp 1 in den Typ 2 und 3 nach Unterschreiten von
θ < θ̂1 übergehen. Eine “lange Nadel“ hingegen wird bereits an den “Enden“ der
Gitterstrecken anfangen, einen zweiten Schnitt auszubilden und damit durch diese
in ihrer Bewegung limitiert sein, also vom Typ 1 in die Bewegungsmodi 2 und 3
schon bei θ < θ1 wechseln.
Die drei Bewegungsmuster werden jetzt erneut in den Bildern 6.19, 6.20 für die
Typen 1 und 2 und 6.21, 6.22 und 6.23 für den Typus 3 dargestellt und dabei
nach ihren Koordinaten ausgemessen. Das letzte Bewegungsmuster wird dabei zur
besseren Übersichtlichkeit wegen in drei Bilder verteilt, um die Rolle der einzelnen
Koordinaten leichter erkennen und ablesen zu können.
Die Tabellen 6.3ff führen nun für alle Fallunterscheidungen die Intervallgrenzen
auf, die sich für eine Nadelbewegung mit einem Schnitt des Gitters nach den Mustern
1, 2 und 3 ergeben. Wir arbeiten dabei die Menge aller “günstigen“ Nadelwürfe
wieder so ab, dass wir bei flachen Nadeln beginnen, also großes θ, und dann zu
immer steileren Fallwinkel bzw. kleineren Fußpunktwinkeln θ kommen.
124
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
r
z n -l
+
rn
H
zn
q
-
rn
z
Bild 6.19: Bewegung vom Typ 1 – Intervalle in ρ und ζ
Mengen: Das Muster und die sich entsprechenden Grenzen nach Bild 6.19 werden
sich also immer als erstes einstellen und sind als solche in den Tabellen 6.3ff verzeichnet – vgl. die jeweilige Zeile i = 1. Bei einer so kurzen Nadel wie im Fall I.1 sind
damit auch bereits über einen vollen Drehwinkel von 0 bis π/2 alle Bewegungsmuster
und ihre Intervallgrenzen beschrieben.
Wie oben erwähnt, werden Nadeln, die länger als die des Falls I.1 sind, bei
θ < θ̂1 , bzw. θ < θ1 in den Bewegungsmodus nach 2 und 3 überwechseln.
zn -l
zn -l
H
+
r
rn
zn - 1 -l
r
+
rn-1
zn+1
+
H
rn
zn
zn
-
q
rn
zn
-
rn + 1
q
z
-
rn
z
Bild 6.20: Bewegung vom Typ 2 – Intervalle in ρ und ζ
H
q
q
H
H
Bild 6.21: Bewegung vom Typ 3 – der Einfluss von θ
q
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
125
Die Muster 2 und 3 treten immer zusammen nach Unterschreiten des Winkels θ
von θ̂1 , bzw. θ1 ein, denn Bewegungsmuster 2 trifft für die Beschreibung aller Nadeln
an den Gitterstrecken mit den Indizes ν = 0 und ν = m zu, Bewegungsmuster 3 für
ν = 1 bis m − 1.
-
H
r
rn + 1
+
rn-1
-
+
rn
rn-1
-
rn
rn
-
+
+
rn
rn
-
rn + 1
-
rn + 1 H
H
+
rn-1
Bild 6.22: Bewegung vom Typ 3 – Intervalle in ρ
zn -l
r n + 1 zn + 1
zn - 1 -l
zn
-
+
rn
rn
H
zn -l
+
rn-1
-
rn + 1
z
zn + 1
zn - 1 -l
zn
-
rn
+
rn
+
z
zn -l
zn - 1 -l
rn-1
zn + 1
+
rn-1
zn
-
rn
+
rn
-
rn + 1
z
Bild 6.23: Bewegung vom Typ 3 – Intervalle in ζ
+
rn
126
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Tabelle 6.3: Zufallsexperiment III, Fälle I.1, I.2.2, I.2.1 und I.3
Grenzen
θ
ρ
Gitter
Viel-
ν
fach-
ζ
Fall
i
θi1
θi2
ρi1
ρi2
ζi1
ζi2
νi1
νi2
heit
I.1
1
0
π
2
ρ−
ν
ρ+
ν
ζν − l
ζν
0
m
m+1
I.2.2
1
θ̂1
π
2
0
m
m+1
2
0
θ̂1
0
0
1
m
m
1
m−1 m−1
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ζν − l
ζν
3
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ζν+1
ζν
4
ρ−
ν
ρ+
ν−1
ρ+
ν−1
ζν − l
ζν−1 − l
ζν − l
ζν
ζν − l
ζν−1 − l
ζν − l
ζν
7
ρ+
ν−1
ρ+
ν
ρ+
ν−1
ρ−
ν+1
8
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ζν+1
ζν
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ζν − l
ζν−1 − l
10
ρ−
ν+1
ρ+
ν−1
ζν+1
ζν−1 − l
11
ρ+
ν−1
ρ+
ν
ζν+1
ζν
5
6
9
I.2.1
θ2
0
θ̂1
θ2
ρ−
ν
1
θ̂1
π
2
wie Fall I.1
0
m
m+1
2, 3
0
θ̂1
wie Fall I.2.2
0
0
1
wie Fall I.2.2
m
m
4, 5
I.3
wie Fall I.1
6, 7, 8
0
θ̂1
wie Fall I.2.2, i = 9, 10, 11
1
m−1 m−1
1
θ1
π
2
wie Fall I.1
0
m
m+1
2, 3
0
θ1
wie Fall I.2.2
0
0
1
wie Fall I.2.2
m
m
1
m−1 m−1
4, 5
6, 7, 8
θ2
θ1
wie Fall I.2.2, i = 6, 7, 8
9, 10, 11
0
θ2
wie Fall I.2.2, i = 9, 10, 11
Die Nadeln im Fall I.2.1 und I.4.1 sind so kurz, dass bei Unterschreiten des
Winkels θ von θ̂1 sich sofort die Grenzen von Bewegungstyp 3 nach den mittleren
Bildteilen in 6.21, 6.22 und 6.23 einstellen, vgl. Einträge in Zeilen 6ff dieser Fälle.
Das ist eine direkte Folge, dass in diesen beiden Fällen für die jeweilige Nadellänge
l < l2 gilt. Trotz dieser sich unterscheidenden Beschreibung der Mengen aller Nadeln innerhalb des Falls I.2, bzw. I.4, zeigen wir nachfolgend, dass sich bzgl. des
Maßes dieser Mengen kein Unterschied ergibt und diese Unterfälle im Sinne der
Integralgeometrie bzw. für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten belanglos sind.
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
127
Tabelle 6.4: Zufallsexperiment III, Fälle I.4.2 und I.4.1
Grenzen
θ
ρ
ρi1
Gitter
Viel-
ν
fach-
νi1
νi2
heit
ζ
Fall
i
θi1
θi2
I.4.2
1
θ̂1
π
2
wie Fall I.1
0
m
m+1
2, 3
0
θ̂1
wie Fall I.2.2
0
0
1
wie Fall I.2.2
m
m
1
m−1
m−1
4, 5
ζi1
ζi2
ρ−
ν
ρ+
ν−1
ζν − l
ζν−1 − l
7
ρ+
ν−1
ρ−
ν+1
ζν − l
ζν
8
ρ−
ν+1
ρ+
ν
ζν+1
ζν
ρ−
ν
ρ−
ν+1
ζν − l
ζν−1 − l
ρ−
ν+1
ρ+
ν−1
ρ+
ν−1
ζν+1
ζν−1 − l
ζν+1
ζν
ζν − l
ζν−1 − l
0
0
ζν+1
ζν
6
9
θ2
θ̂2
θ̂1
θ2
10
13
ρ−
ν+1
ρ+
ν
−
ρν+1
ρ+
ν−1
14
ρ+
ν−1
ρ+
ν
11
12
I.4.1
ρi2
0
θ̂2
ρ−
ν
1
θ̂1
π
2
wie Fall I.1
0
m
m+1
2, 3
0
θ̂1
wie Fall I.2.2
0
0
1
wie Fall I.2.2
m
m
1
m−1
4, 5
6, 7, 8
θ̂2
θ̂1
wie Fall I.4.2, i = 9, 10, 11
9, 10, 11
0
θ̂2
wie Fall I.4.2, i = 12, 13, 14
m−1
Den Tabellen 6.3, 6.4 und 6.5 ist zu entnehmen, dass es gemäß der zuvor disku\ I
tierten Bewegungsmodi gelingt, die Mengen SIII
aller Nadeln mit einem Schnitt und
einem Fußpunktwinkel zwischen 0 und π/2 in wenige, gleichartige Intervalle bzgl. der
Koordinaten ρ und ζ zu clustern, – trotz der hohen Anzahl an Fallunterscheidungen.
\ I
Die Mengen SIII
selbst können wieder als Vereinigung der in den Tabellen aufgelisteten Intervalle zusammengesetzt werden:
\ I
SIII
(a, r, l, m, k = 1) =
jI
[
i=1
und
\ I
\ I
SIII,i
mit SIII,i
=
νi2
[
\ I
TIII,(i,ν)
ν=νi1
ª
©
\ I
TIII,(i,ν)
= H | θi1 ≤ θ < θi2 ∧ ρi1 ≤ ρ < ρi2 ∧ ζi1 ≤ ζ < ζi2 ,
\ I
wobei es diese Mengen TIII,(i,ν)
sind, die wir von Grenze zu Grenze wandernd in den
Bildern 6.19 bis 6.23 im einzelnen beschrieben haben.
128
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Tabelle 6.5: Zufallsexperiment III, Fälle I.5 und I.6
Grenzen
θ
ρ
Viel-
ν
fach-
νi1
νi2
heit
ζ
Fall
i
θi1
θi2
I.5
1
θ1
π
2
wie Fall I.1
0
m
m+1
2, 3
0
θ1
wie Fall I.2.2
0
0
1
wie Fall I.2.2
m
m
1
m−1 m−1
4, 5
I.6
ρi1
Gitter
ρi2
ζi1
ζi2
6, 7, 8
θ2
θ1
wie Fall I.4.2, i = 6, 7, 8
9, 10, 11
θ̂2
θ2
wie Fall I.4.2, i = 9, 10, 11
12, 13, 14
0
θ̂2
wie Fall I.4.2, i = 12, 13, 14
1
θ1
π
2
wie Fall I.1
0
m
m+1
2, 3
0
θ1
wie Fall I.2.2
0
0
1
wie Fall I.2.2
m
m
1
m−1 m−1
4, 5
6, 7, 8
θ2
θ1
wie Fall I.4.2, i = 6, 7, 8
9, 10, 11
0
θ2
wie Fall I.4.2, i = 12, 13, 14
Der Laufindex i endet dabei je nach Fallunterscheidung gemäß der Tabellen in der
folgenden Weise in den jI :
I = I.1:
jI = 1,
I = I.2.2:
jI = 11,
I = I.2.1:
jI = 8,
I = I.3:
jI = 11,
I = I.4.2:
jI = 14,
I = I.4.1:
jI = 11,
I = I.5:
jI = 14,
I = I.6:
jI = 11.
Maße: Nach (3.5) und gemäß der Symmetrie (3.7) können daraus die Maße aller
Nadeln mit genau einem Schnitt des Gitters zu
\ I
I
µ(SIII
(a, r, l, m, k = 1)) = 2 · µ(SIII
(a, r, l, m, k = 1))
= 2·
jI
νi2
X
X
\ I
µ(TIII,(i,ν)
)
(6.9)
i=1 ν=νi1
für die einzelnen Fälle I = I.1, I.2.2, etc. berechnet werden. Nach den beiden vorangegangenen Tabellen haben wir alle Daten beisammen, um diese Summen in allen
Fällen zu bestimmen. Um Zusammenhänge und “innere Beziehungen“ zwischen den
\ I
Fällen aufzudecken, zerlegen wir die Summe von µ(SIII
(a, r, l, m, k = 1)) in (6.9)
zunächst in der Art
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
m
X
\ I
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) =
129
\ I
µ(TIII,(1,ν)
)
ν=0
\ I
\ I
+ µ(TIII,(2,0)
∪ TIII,(3,0)
)
\ I
\ I
∪ TIII,(5,m)
)
+ µ(TIII,(4,m)
+
jI
νi2
X
X
\ I
).
µ(TIII,(i,ν)
(6.10)
i=6 ν=νi1
In diesen Summanden tauchen folgende, den Tabellen 6.3, 6.4 und 6.5 zu entnehmende Teilausdrücke immer wieder auf:
Z
im ersten Summanden:
Z
ρ+
ν
ρ=ρ−
ν
ζν
dζ dρ = l2
ζ=ζν −l
α
λ
cos θ =: h1 (θ) ,
(6.11)
im zweiten und dritten Summanden:
Z
ρ−
ν+1
ρ=ρ−
ν
Z
=
ρ+
ν−1
ρ=ρ−
ν
= l2
α
λ
Z
Z
ζν
dζ dρ +
ζ=ζν −l
Z
ρ=ρ−
ν+1
Z
ζν−1 −l
dζ dρ +
ζ=ζν −l
Z
ρ+
ν
ζν
dζ dρ
ζ=ζν+1
Z
ρ+
ν
ρ=ρ+
ν−1
ζν
dζ dρ
ζ=ζν −l
¡
¢
α + λ sin θ − αλ tan θ =: h2 (θ)
(6.12)
und in den übrigen Summanden:
Z
ρ+
ν−1
Z
dζ dρ +
ρ=ρ−
ν
Z
=
ρ−
ν+1
ρ=ρ−
ν
= l2
α
λ
Z
ζν−1 −l
Z
ζν−1 −l
Z
dζ dρ +
ζ=ζν −l
ρ+
ν−1
ρ=ρ−
ν+1
Z
ζν
dζ dρ +
ρ=ρ+
ν−1
ζ=ζν −l
Z
ρ−
ν+1
ζ=ζν −l
Z
ρ=ρ−
ν+1
Z
ζν−1 −l
dζ dρ +
ζ=ζν+1
Z
ρ+
ν
ζν
dζ dρ
ζ=ζν+1
Z
ρ+
ν
ρ=ρ+
ν−1
ζν
dζ dρ
ζ=ζν+1
¡
¢
2α − cos θ + 2λ sin θ − 2αλ tan θ =: h3 (θ) ,
Z
ρ−
ν+1
ρ=ρ−
ν
= l2
α
λ
Z
Z
ζν−1 −l
dζ dρ + 0 +
ζ=ζν −l
2αλ tan θ =: ĥ3 (θ) .
ρ+
ν
ρ=ρ+
ν−1
Z
(6.13)
ζν
dζ dρ
ζ=ζν+1
(6.14)
Die bemerkenswerte Gleichheit in (6.13) führt nun dazu, dass die Maße der Mengen
aller Nadeln nach den Fällen I.2.2 und I.2.1 sowie I.4.2 und I.4.1 identisch sind!
130
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Denn es gilt nach den Eintragungen der Tabelle 6.3 und weil h3 von ν unabhängig
ist:
νi2
11 X
X
\ I.2.2
µ(TIII,(i,ν) ) =
i=6 ν=νi1
m−1
11
XX
\ I.2.2
µ(TIII,(i,ν)
)
ν=1 i=6
=
m−1
8
X³X
ν=1
=
µ(TIII,(i,ν) ) +
i=6
´
\ I.2.2
µ(TIII,(i,ν)
)
i=9
m−1
X ³ Z θ̂1
ν=1
11
X
\ I.2.2
Z
h3 (θ) dθ
θ=θ2
Z
´
θ2
h3 (θ) dθ +
θ=0
θ̂1
= (m − 1) ·
h3 (θ) dθ
θ=0
=
νi2
8 X
X
\ I.2.1
µ(TIII,(i,ν)
);
(6.15)
i=6 ν=νi1
da die ersten drei Summanden in (6.10) für die Fälle I.2.2 und I.2.1 ohnehin gleich
sind, ist der Nachweis für die identischen Maße in diesen beiden Fällen erbracht. In
genau derselben Weise kann dieser Nachweis für die Fälle I.4.1 und I.4.2 geführt
werden – man braucht in (6.15) lediglich die hochgestellten Indizes der Fälle I.2.2,
bzw. I.2.1 gegen I.4.2, bzw. I.4.1 und die 0 in der unteren Integrationsgrenze gegen
θ̂2 ersetzen; der in diesen Maßen noch auftretende, letzte Summand mit dem Integral
R θ̂2
ĥ3 dθ ist in beiden Fällen wieder analog zu den ersten von vornherein gleich.
0
Die Fälle I.2.1 und I.2.2 sowie I.4.1 und I.4.2 können also zu je einem vereint
werden, der I.2 sowie I.4 heißen soll. Für diese “finalen“ Fälle zeigt das Bild 6.24
nun die Anordnungen in den beiden Diagrammen: λ über l und α. Es gelten danach
die folgenden Fallunterscheidungen für das Zufallsexperiment III, k = 1:
I.1:
0<l<a
⇐⇒
I.2:
a ≤ l < min(2a, l1 )
⇐⇒
I.3:
l1 ≤ l < 2a < 2l2
⇐⇒
I.4:
2a ≤ l < l1
⇐⇒
I.5:
max(2a, l1 ) ≤ l < 2l2
⇐⇒
I.6:
2a < 2l2 ≤ l
⇐⇒
1 < α,
λ
1
max( √1+λ
2 , 2) < α ≤ 1 ,
√ λ
1+4λ2
<
1
2
√ λ
1+λ2
√ λ
1+4λ2
<α≤
√ λ
1+λ2
,
< α ≤ 12 ,
λ
1
< α ≤ min( √1+λ
2 , 2) ,
0<α<
√ λ
1+4λ2
< 12 .
Wir können nun daran gehen, alle Maße für diese Fälle nach der Auflistung in
den Tabellen 6.3, 6.4 und 6.5 und den Beziehungen (6.9) sowie (6.11), (6.12), (6.13)
und (6.14) zu berechnen. Dabei werden alle folgenden Integrale mit Mathematica
gelöst, summiert und vereinfacht, vgl. Anhang B, Abschnitt B.2.
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
131
l
I.3
I.6
2 l2
l1
I.1
Ö3
3
I.5
I.2
I.4
0
l
2a
a
l
l
I.3
Ö 1 + 4 l2
l
Ö 1 + l2
I.6
Ö3
3
I.1
I.5
I.2
I.4
1
2
0
1
a
Bild 6.24: Die finalen Fälle für k = 1
Zunächst erhalten wir für I.1 die Beziehung
Z
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) = 2 · (m + 1)
π/2
I.1
h1 (θ) dθ = 2(m + 1) l2
θ=0
α
λ
.
(6.16)
Weiter liefert die Tabelle 6.3 für den Fall I.2 das Resultat
Z
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) = 2 · (m + 1)
θ=θ̂1
h2 (θ) dθ
θ=0
θ̂1
+ 2 · (m − 1)
α
λ
θ̂1
h1 (θ) dθ + 2 · 2
Z
= 2m l2
Z
π/2
I.2
h3 (θ) dθ
θ=0
√
− 2 1 − α2 + 2λ − 2αλ
¢
+ 2α arccos α + 2αλ ln α .
¡
1+
1
m
(6.17)
132
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Für die Menge der Nadeln nach I.3 mit einem Schnitt des Gitters gilt die Beziehung
Z
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) = 2 · (m + 1)
h2 (θ) dθ
θ=0
θ1
+ 2 · (m − 1)
α
λ
θ1
h1 (θ) dθ + 2 · 2
θ=θ1
Z
= 2m l2
Z
π/2
I.3
h3 (θ) dθ
¡
1+
θ=0
1
m
√
+ 2λ − 2 1 + λ2
+ 2α arctan
1
λ
¢
λ
+ 2αλ ln √1+λ
.
2
(6.18)
Dem Fall I.4 entnehmen wir der Tabelle 6.4 die folgende Summe an Integralen für
das Maß der entsprechenden Nadeln
Z
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) = 2 · (m + 1)
+
¡
h2 (θ) dθ
θ=θ̂1
θ=0
Z
θ̂1
+ 2 · (m − 1)
α
λ
θ̂1
h1 (θ) dθ + 2 · 2
Z
= 2m l2
Z
π/2
I.4
θ=θ̂2
1
m
1+
2
λ
m
θ̂2
h3 (θ) dθ + 2 · (m − 1)
√
− 2 1 − α2 + (1 −
+ 2(1 −
ĥ3 (θ) dθ
θ=0
p
1
)
m
1 − (2α)2
2
)αλ
m
+ 2α arccos α − 2(1 −
+ 2αλ ln α − 4(1 −
1
)α arccos(2α)
m
¢
1
)αλ ln(2α)
m
.
(6.19)
Die Menge der Nadeln nach Fall I.5 liefert über Tabelle 6.5 das Maß
Z
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) = 2 · (m + 1)
θ=θ1
+
¡
Z
θ̂2
ĥ3 (θ) dθ
h3 (θ) dθ + 2 · (m − 1)
θ=θ̂2
1+
h2 (θ) dθ
θ=0
θ1
+ 2 · (m − 1)
α
λ
θ1
h1 (θ) dθ + 2 · 2
Z
= 2m l2
Z
π/2
I.5
1
m
√
− 2 1 + λ2 + (1 −
2
λ + 4(1 −
m
θ=0
p
1 − (2α)2
1
)
m
1
)αλ
m
+ 2α arctan λ1 − 2(1 −
1
)α arccos(2α)
m
λ
+ 2αλ ln √1+λ
2 − 4(1 −
¢
1
)αλ ln(2α)
m
.
(6.20)
6.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
133
Und schließlich kann aus der letzten Tabelle 6.5 für den Fall I.6 das Maß
Z
µ(SIII (a, r, l, m, k = 1)) = 2 · (m + 1)
Z
π/2
θ1
h1 (θ) dθ + 2 · 2
I.6
θ=θ1
Z
h2 (θ) dθ
θ=0
θ1
+ 2 · (m − 1)
h3 (θ) dθ
θ=θ2
Z
θ2
+ 2 · (m − 1)
ĥ3 (θ) dθ
θ=0
= 2m l2
α
λ
+
¡
1+
2
m
1
m
√
− 2 1 + λ2 + (1 −
p
1
)
m
1 + (2λ)2
λ
+ 2α arctan λ1 − 2(1 −
1
1
)α arctan 2λ
m
λ
+ 2αλ ln √1+λ
2 − 4(1 −
1
)αλ ln
m
√
2λ
1+(2λ)2
¢
(6.21)
aller dem entsprechenden Nadeln zugeordnet und berechnet werden. Damit haben
wir alle Angaben der Mengen und Maße einer Nadel beliebiger Länge mit einem
m
Schnitt des Gitters C = Ca,2r
zusammengetragen.
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Fällen ergeben sich
daraus jetzt wieder nach der Beziehung (3.1) zu
I
pIII (α, λ, m, k = 1) = p(SIII
(a, r, l, m, k = 1)) =
I
µ(SIII
)
,
µ(DIII )
I
d.h. durch Division der Maße der Ereignismengen SIII
durch das Grundmaß
µ(DIII ) = 2 m l2
´
α³ 1
π
+ α+λ
λ m 2
nach Korollar 2.3.2.2 der Menge DIII aller Nadeln, welche überhaupt das Innere des
Gitters gemäß der Bedingung K ∩ C 6= ∅ treffen.
Wir fassen die Ergebnisse in folgendem Satz zusammen und diskutieren anschließend noch das Verhalten der abschnittsweise definierten Funktion.
134
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Satz 6.4.1 (Zufallsexperiment III, Fall k = 1). Für die in Problem 6.1 beschriebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gelten im Falle genau eines Schnittes von
Nadel und Gitter die folgenden Funktionen, die nach den oben notierten Fallunterscheidungen (S. 130) geordnet sind:
¡
¢
Fall I.1 : pIII (α, λ, m, 1) = γ · 1 + m1 ,
(6.22)
¡
¢
Fall I.2 : pIII (α, λ, m, 1) = γ · 1 + m1 + 2λ − 2αλ − 2Φ1 ,
(6.23)
¡
¢
Fall I.3 : pIII (α, λ, m, 1) = γ · 1 + m1 + 2λ − 2Ψ1 ,
(6.24)
¡
Fall I.4 : pIII (α, λ, m, 1) = γ · 1 + m1 + m2 λ + 2(1 − m2 )αλ
¢
− 2Φ1 + (1 − m1 )Φ2 , (6.25)
¡
Fall I.5 : pIII (α, λ, m, 1) = γ · 1 + m1 + m2 λ + 4(1 − m1 )αλ
¢
− 2Ψ1 + (1 − m1 )Φ2 , (6.26)
¡
¢
Fall I.6 : pIII (α, λ, m, 1) = γ · 1 + m1 + m2 λ − 2Ψ1 + (1 − m1 )Ψ2 , (6.27)
wieder unter Verwendung der folgenden Abkürzungen
γ := ( m1 + π2 α + λ)−1 und
√
Φκ :=
1 − κ2 α2 − κ α arccos(κ α) − κ2 αλ ln(κ α) ,
√
κλ
1 + κ2 λ2 − κ α arctan κ1λ − κ2 αλ ln √1+κ
Ψκ :=
2 λ2 .
Es ist auch hier festzuhalten, dass die Funktion pIII (·, ·, m, 1) stetig ist, d.h. in
den Fällen
λ
λ
α = 12 , 1 , √1+4λ
oder √1+λ
2
2
stimmen die links und rechts davon berechneten Funktionswerte überein. Es gilt im
einzelnen:
Fall I.1 = Fall I.2
für α = 1 : pIII (1, λ, m, 1) =
Fall I.2 = Fall I.3
für α =
√ λ
1+λ2
pIII (A =
√ λ
, λ, m, 0)
1+λ2
Fall I.2 = Fall I.4
für α =
1
2
:
Fall I.3 = Fall I.5
für α =
1
2
:
,
:
=
√
1
1+ m
+2λ−2 1+λ2 +2A arctan
1
+ π2 A+λ
m
pIII ( 12 , λ, m, 1)
pIII ( 12 , λ, m, 1)
1
1+ m
1
π
+ 2 +λ
m
=
=
√
1
1+ m
+ π3 − 3+λ−λ ln 2
1
+ π4 +λ
m
√
1
1+ m
+2λ−2 1+λ2 +arctan
1
+ π4 +λ
m
1
+λ ln
λ
,
λ
1+λ2
√
1
+2Aλ ln A
λ
,
,
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
Fall I.4 = Fall I.5 für α =
√ λ
1+λ2
135
:
√ λ
eingesetzt werden,
1+λ2
λ
arccos √1+λ2 und weil gilt:
es kann in pIII für Fall I.4 oder I.5 α =
Gleichheit herrscht wegen arccotλ =
√
2
)αλ
−2 1 − α2 + 2(1 − m
2
2
1
λ
λ
= −2 √1+λ
− 2 √1+λ
+ 4 √1+λ
−
2
2
2
√
1
= −2 1 + λ2 + 4(1 − m
)αλ ,
Fall I.5 = Fall I.6 für α =
√ λ
1+4λ2
4
m αλ
:
es kann in pIII für Fall I.5 oder I.6 analog zu oben α =
√ λ
1+4λ2
eingesetzt werden, neben der Gleichheit der Arcusfunktionen ist
p
1
1
(1 − m
) 1 − (2α)2 + 4(1 − m
)αλ
p
2
1
1
1
√ 4λ
= (1 − m
)( √1+4λ
+
)
=
(1
−
)
1 + (2λ)2 .
2
m
1+4λ2
6.5
Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 1 < k < n
Die Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeit für diesen Fall von allgemein
k Schnitten mit 1 < k < m + 1 verläuft der Betrachtung aus dem letzten Abschnitt
im Fall genau eines Schnittes analog. Es ist gewissermaßen die Verallgemeinerung
der dort bereits ausgebreiteten Ideen und wir erhalten nach Abschluss dieses Falls
auch die Ergebnisse für k = 1 als Spezialfall dieser Betrachtung zurück. Dennoch
war es nicht unwichtig, den Fall k = 1 gesondert zu behandeln: Zum einen ergibt er
sich aus den hier allgemein angestellten Berechnungen nur als Grenzwertbetrachtung
– so kommt es zum Beispiel zu Ausdrücken der Art (k − 1)λ ln((k − 1)λ), so dass der
Fall k = 1 zumindest nicht unmittelbar aus den kommenden Resultaten abzulesen
sein wird, auch die Trennlinie α = 1/(k − 1) im α-λ-Diagramm zeichnet die einfache
Schnittbetrachtung als Sonderfall aus – zum anderen diente er als Fingerübung, die
im Abschnitt 6.2 eingeführten Vorüberlegungen in konkreter Weise exemplarisch zu
entwickeln.
Weitere Verallgemeinerungen betreffen die Länge l und den Winkel θ: Offensichtlich muss l > (k − 1)a sein, damit es überhaupt zu k Schnitten zwischen Nadel
und Gitterstrecken kommen kann. In den Fällen k = 0 und k = 1 genügte eine
nicht verschwindende Länge l > 0, um zu einer geometrischen Wahrscheinlichkeit
von p > 0 zu gelangen. Hier nun ergibt sich durchaus der (einfachste) Fall p = 0,
wenn 0 < l < (k − 1)a gilt! Ebenso ist nicht mehr π2 obere Integrationsgrenze für
den Winkel θ bei der Berechnung der Maße der Schnittmengen, da es bei einer zu
“flach fallenden“ Nadel – also für einen Fußpunktwinkel θ in einer Umgebung von π2
– ebenfalls nicht zu k Schnitten zwischen Testnadel und Gitter kommen kann. Der
“letzte Winkel“ θk−1 , bzw. θ̂k−1 bei dem es noch zu k Schnitten kommt, wird daher
hier kleiner als ein rechter sein.
136
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
k
E
k-1
E
(k + 1) lk +1
A k,k +1
k lk +1
k lk
A k-1,k +1
A k -1,k
(k + 1) a
qk + 1
(k - 1) lk -1
qk + 1
ka
qk
qk
(k - 1) a
qk - 1
qk - 1
…
Ek+1
E0+
Bild 6.25: Bezeichnungen und maßgebliche Winkel im Fall für 1 < k < m + 1
(k + 1) a
3.
H
ka
2.
(k - 1) a
1.
…
C
0
Bild 6.26: Hauptfallunterscheidungen über die Nadellänge in Relation zu den Gitterabständen
C
H.4
H.3
H.4
H.3
H.2
H.4
H.3
H.2
Lk
H
ka
H
Lk + 1
(k - 1) a
H.1
H
…
Lk - 1
(k + 1) a
Bild 6.27: Nebenfallunterscheidungen über die Nadellänge in Relation zu den Diagonallängen (mit H für die Stelle des Hauptfalls)
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
137
Fallunterscheidungen: Im Bild 6.25 sind die Bezeichnungen der Eckpunkte, Diagonalen und Winkel eingetragen, die in diesem Abschnitt von wesentlicher Bedeutung sind 2 . Daran orientieren sich die notwendigen Fallunterscheidungen der Nadellänge l in Relation zum Gitter C, bzw. dessen Abmessungen nach Gitterabstand
a und Breite 2r. Die Bilder 6.26 und 6.27 der vorigen Seite zeigen, wie dabei in
dieser Schnittbetrachtung mit der größten Reichhaltigkeit eine doppelstellige Nummerierung eingeführt wird. Danach bestimmt die Nadellänge l im Vergleich zu den
Gitterabständen (k − 1)a, bzw. ka, bzw. (k + 1)a den sogenannten Hauptfall:
0
:
l < (k − 1)a,
keine k Schnitte möglich,
1. :
(k − 1)a ≤ l < ka,
k, aber nicht k + 1 Schnitte möglich,
2. :
ka ≤ l < (k + 1)a,
k + 1 Schnitte möglich,
3. :
(k + 1)a ≤ l,
mehr als k + 1 Schnitte möglich.
Die sogenannten Nebenfälle ergeben sich, wenn die Nadellänge l mit den Diagonalen im Gitter verglichen wird – wir also letztlich eine Verbindung zu a und
2r schlagen. Nach Bild 6.27 haben wir mit Lk−1 = (k − 1)lk−1 , Lk = klk und
Lk+1 = (k + 1)lk+1 die Relationen
H.1
:
l < Lk−1
H.2
:
Lk−1 ≤ l < Lk
mit H = 1, 2, 3,
H.3
:
Lk
mit H = 2, 3,
H.4
:
Lk+1 ≤ l
≤ l < Lk+1
mit H = 1, 2, 3,
mit H = 3
zu berücksichtigen. Denn in den drei Fällen von H.1 wird die Nadel H, nach
Bild 6.25 mit einem Ende im Punkt E+
0 liegend, in einem Fußpunktwinkel von θ̂k−1
an die (k − 1)-te Gitterstrecke stoßen. Alle anderen Fälle H.f mit f = 2, 3 oder 4
berühren diese Gitterstrecke schon unter einem Fußpunktwinkel von θk−1 . Ebenso
unterscheiden sich die Bewegungsmöglichkeiten der Winkel nach an den anderen
beiden Gitterstrecken ν = k, k + 1.
Bringen wir diese beiden “Raster“ zusammen, so erhalten wir die folgenden Fallunterscheidungen, die auch in den Bildern 6.28 und 6.29 wieder in den beiden hier
a
gebräuchlichen Diagrammen, nach denen der Gitterparameter λ = 2r
über die Naa
dellänge l bzw. dem Gitter-Nadel-Parameter α = l aufgetragen wird, dargestellt
sind.
2
Siehe auch die Diskussion in der Vorbetrachtung aus dem Abschnitt 6.2 für den konkreten Fall
von k = 2 Schnitten.
138
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Es gelten also folgende Fallunterscheidungen:
0:
0 < l < (k − 1) a
⇐⇒
1
k−1
< α < ∞,
1.1 :
(k − 1) a ≤ l < min(k a, (k − 1) lk−1 )
⇐⇒ max( k1 , √
1.2 :
λ
)
1+(k−1)2 λ2
< α ≤
1
k−1
,
(k − 1) lk−1 ≤ l < k a < k lk
⇐⇒
√
λ
1+k2 λ2
1
k
<
< α ≤ √
2.1 :
λ
1+(k−1)2 λ2
,
k a ≤ l < min((k + 1)a, (k − 1)lk−1 )
1
⇐⇒ max( k+1
, √
2.2 :
λ
)
1+(k−1)2 λ2
< α ≤
1
k
,
max((k − 1)lk−1 , ka) ≤ l < min((k + 1)a, klk )
1
,
max( k+1
⇐⇒
2.3 :
√ λ
)
1+k2 λ2
< α ≤ min( √
λ
, 1) ,
1+(k−1)2 λ2 k
ka < klk ≤ l < (k + 1)a < (k + 1)lk+1
⇐⇒ √
3.1 :
λ
1+(k+1)2 λ2
<
1
k+1
< α ≤
√
λ
1+k2 λ2
<
1
k
,
(k + 1)a ≤ l < (k − 1)lk−1
⇐⇒ √
3.2 :
λ
1+(k−1)2 λ2
< α ≤
1
,
k+1
max((k − 1)lk−1 , (k + 1)a) ≤ l < klk
√ λ
1+k2 λ2
⇐⇒
3.3 :
< α ≤ min( √
λ
, 1 ),
1+(k−1)2 λ2 k+1
max(klk , (k + 1)a) ≤ l < (k + 1)lk+1
⇐⇒
3.4 :
√
λ
1+(k+1)2 λ2
λ
< α ≤ min( √1+k
2 λ2 ,
1
),
k+1
(k + 1)a < (k + 1)lk+1 ≤ l < ∞
⇐⇒
0 < α ≤ √
λ
1+(k+1)2 λ2
<
1
k+1
.
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
(k - 1) lk - 1 k lk
2.3
1.2
l
139
(k + 1) l k + 1
L(k -1, k -1, k)
2.2
3.3
L(k, k, k + 1)
0
3.4
1.1
3.2
L(k -1, k -1, k + 1)
2.1
3.1
0
ka
l
(k - 1) a
(k + 1) a
Bild 6.28: Die Fallunterscheidungen für 1 < k < m + 1 im l-λ-Diagramm
l
l
Ö1 + (k -1)2 l2
Ö1 + k l
l
2.3
l
2
Ö1 + (k +1)2 l2
1.2
2
L(k -1, k -1, k)
2.2
3.4
L(k, k, k + 1)
L(k -1, k -1, k + 1)
1.1
3.3
3.2
0
2.1
3.1
0
1
k+1
1
k
1
k-1
a
Bild 6.29: Die Fallunterscheidungen für 1 < k < m + 1 im α-λ-Diagramm
\
Damit sind die Fallunterscheidungen getroffen, um die Mengen SIII
(a, r, l, m, k),
1 < k < m + 1, aller Nadeln unter einem Fußpunktwinkel zwischen 0 und π/2 und
einem k-fachen Schnitt mit dem Gitter zu beschreiben.
Dabei haben wir es vermieden, wie im Fall k = 1 Fallunterscheidungen einzuführen, die sich im weiteren Verlauf als unnötig herausstellen, weil zu identischen
Ergebnissen, d.h. Maßen führend! Ähnlich jedoch wie im vorigen Abschnitt bei k = 1
die Scheidelinie l = l2 infolge der Halbdiagonalen l2 zur Frage nach mehreren Fällen
führte, gibt die k-fache Länge von lk+1 , also k lk+1 , hier wieder Anlass zu einer
140
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
eingehenden Betrachtung. Dabei läuft die Kurve l = k lk+1 im l-λ-Diagramm, bzw.
kα = √ (k+1)λ 2 2 im α-λ-Diagramm “quer“ durch die Fälle 2.1, 2.2 oder auch
1+(k+1) λ
3.1, 3.2, je nach k, d.h. die Scheidelinie l = k lk+1 kann jede dieser Gebiete teilen.
(Dabei gilt im einzelnen: Für die Fälle k = 2, 3 durchläuft die Kurve l = k lk+1
genau die Gebiete 3.1, 2.1 und 2.2, ab k ≥ 4 dann geht sie immer durch 3.1, 3.2
und 2.2.) Diese zunächst verwirrende Vielfalt an Unterfällen ist jedoch nur scheinbar
vorhanden. Zunächst bringen wir die Längen bzw. das Gitter-Längen-Verhältnis mit
den Winkeln in Verbindung.
Lemma 6.5.1. Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 2.2 gilt die folgende Äquivalenz
(k + 1)λ
θk+1 ≶ θ̂k ⇔ l ≶ klk+1 ⇔ p
≶ kα .
1 + (k + 1)2 λ2
Beweis. Das Ergebnis folgt aus der Definition 2.2.6 für die Winkel θk+1 , bzw. θ̂k und
dem Korollar 2.2.2 für die Diagonallänge lk+1 . Danach ist (Hauptwerte in den Arcusfunktionen betrachtend) unter Berücksichtigung von α = al die folgende Argumentationskette
aufzustellen:
θk+1 ≶ θ̂k ⇐⇒
arccot(k + 1)λ ≶ arccos(kα)
(k + 1)λ
p
⇐⇒
1 + (k + 1)2 λ2
≶ kα
a
l ≶ k
|k + 1
⇐⇒
p
1 + (k + 1)2 λ2
.
{z λ
}
=lk+1
¤
Damit haben wir dieser Trennlinie eine geometrische Bedeutung abgewonnen,
die das Bild 6.30 in der Form θk+1 ≶ θ̂k als unterschiedliche Integrationsverläufe
veranschaulicht.
(G1)
qk +1
qk + 1
(G2)
qk
oder
(k + 1) a
(F )
qk +1
ka
qk
q
Bild 6.30: Winkel θ̂k größer oder kleiner als θk+1
Im links gezeigten Bildteil wirkt sich der Unterfall von 2.1, 2.2 oder 3.1 nun so
aus, dass bei dem Integrationsverlauf über θ von 0 oder θ̂k+1 bis θ̂k noch je bis und
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
141
von θk+1 zu integrieren wäre – ganz im Gegensatz zu dem rechts gezeigten Verlauf,
für den θ̂k < θk+1 gilt. Mit anderen Worten: in der links gezeigten Nadelkonfiguration sind für die beiden Winkelbereiche von θ̂k+1 bis θk+1 und von θk+1 bis θ̂k zwei
Bewegungsmodi für den Fall der Nadel zu betrachten.
Es stellt sich analog zum vorigen Abschnitt, Beziehungen (6.13), die Frage, ob
für ψ = θ̂k+1 oder für die Hauptfälle 2, wo θ̂k+1 nicht von Bedeutung ist, auch für
ψ = 0 die Gleichheit
Z
θ̂k
Z Z
Z
?
θk+1
Z Z
Z
dH =
ψ
ρ
ζ
Z Z
θk+1
ρ
dH +
ψ
| {z }
θ̂k
(F )
ρ
dH
ζ
| {z }
(G1 )
(6.28)
ζ
| {z }
(G2 )
gilt, wobei die Integrale über ρ und ζ die im Bild 6.30 rechts und links herrschenden
Bewegungsfreiheiten der Nadel unter k Schnitten mit dem Gitter erfassen. Um diese
genau zu beschreiben, gehen wir jetzt wieder die Betrachtung der Nadelbewegungen
an den Gitterstrecken für k Treffer an.
Nadelbewegungen: Wieder treten dabei wie im Fall k = 1 nach dem vorangegangenen Abschnitt nur drei “Muster“ auf, nach denen eine Nadel sich im Gitter
bewegen kann! Diese diskutieren wir zunächst qualitativ nach den Bildern 6.32, 6.33
und 6.34, um sie dann anschließend wieder auszumessen, die Mengenangaben für
\
die SIII
(a, r, l, m, k) zu liefern und dabei die in (6.28) gestellte Frage zu bejahen!
Das Bild 6.32 verdeutlicht, dass eine hinreichend flach fallende Nadel m − k + 2mal über k Gitterstrecken in ihrer vollen Länge bewegt werden kann – wobei Bild
6.31 diese Anzahl von k benachbarten Gitterstrecken veranschaulicht. Was dabei
“hinreichend flach“ heißt, hängt von der oben dargestellten Fallunterscheidung, d.h.
letztlich von der Länge der Nadel ab und wird sich im Bewegungsbereich des Winkels
θ widerspiegeln.
...
...
n=m
-k
n = m-k+1
+1
n=2
k=3
n=1
n=0
Bild 6.31: Zur Anzahl der Ensembles von k benachbarten Gitterstrecken
142
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Wir haben das im Bild 6.32 anhand zweier unterschiedlich langer Nadeln verdeutlicht: Eine so “kurze Nadel“ wie im linken Teil wird man bis zum Winkel θ = 0
drehen können, ohne dass es im k-fachen Schnitt mit den markierten Gitterstrecken
zu einer weiteren Berührung mit den benachbarten Gitterstrecken kommen wird;
die “lange Nadel“ im rechten Teil dagegen kann man nur bis θ = θk drehen, bevor
sie je nach Lage bzgl. ζ die obere oder untere benachbarte Gitterstrecke trifft. Wir
werden das weiter unten genau quantifizieren und nach den Fallunterscheidungen
trennen. Da Nadeln ab dem Hauptfall 1. immer in der Lage sind, k Schnitte mit
dem Gitter zu bilden, wird sich dieses Bewegungsmuster in allen Fällen einstellen.
H
q
k
}
...
}
...
...
...
H
q
k
Bild 6.32: Bewegung vom Typ 1, qualitativ
n=m
...
H1
H2
...
H1
n=0
q
}
q
}
k
k
H2
Bild 6.33: Bewegung vom Typ 2, qualitativ
Ist eine Nadel so lang, dass mehr als k Schnitte möglich werden – also ab dem
Hauptfall 2. –, so gehen die Nadelbewegungen nach Unterschreiten des “kritischen“
Fußpunktwinkels θ aus den Typ 1 in die Typen 2 und 3 über: Jetzt werden k + 1
Schnitt möglich, die natürlich auszuschließen sind und die Bewegung der Nadel
limitieren.
Je nach Typ 2 oder 3 ist die Limitierung dabei verschieden stark ausgeprägt. Bewegungen “langer Nadeln“ nach dem Typ 2 liegen am oberen und unteren Ende des
Gitters vor, vgl. Bild 6.33. Die Nadeln H1 und H2 zeigen dabei, dass in Abhängigkeit
der Koordinate ρ eine unterschiedlich ausgedehnte Bewegung in Richtung der Nadel möglich ist, weil die nächste über den ersten k Gitterstrecken liegende, bzw. die
nächste unter den letzten k Gitterstrecken liegende Strecke des Gitters die Bewegung
der Nadel einschränkt.
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
143
Die Bewegungen einer Nadel auf k Gitterstrecken mit 0 < ν < m findet nach
Typ 3 statt. Je nach Fußpunktwinkel stellen sich die Limitierungen der jetzt immer
oben und unten benachbart auftretenden Gitterstrecken nach Bild 6.34 links, mitte
oder rechts dar. Unter Umständen werden es bei einer so steil aufgerichteten Nadel
wie rechts dargestellt, im “Inneren“ genau k Schnitte nicht mehr möglich sein.
q
...
...
...
H
...
...
...
H
}
k
q
Bild 6.34: Bewegung vom Typ 3, qualitativ
Mengen: Nachdem die Bewegungstypen 1, 2 und 3 ganz analog zum vorigen Abschnitt erkannt sind, “vermessen“ wir jetzt wieder die Nadelbewegungen mit Hilfe
der Funktionen ρ±
ν und ζν nach Abschnitt 2.2, wobei uns das Bild 6.39 als Übersicht begleiten soll. Die Fälle 1.1 bis 3.4 “entscheiden“ dabei, innerhalb welcher
Winkelintervalle sich diese Bewegungen einstellen und ineinander übergehen. Wir
gehen dabei immer von “flach fallenden“ Nadeln zu “steiler“ werdenden über, d.h.
wir senken den Fußpunktwinkel von π/2 bis zu 0 ab. Außerdem verweisen wir in
der kommenden Betrachtung begleitend auf die Tabellen 6.6 und 6.7, welche die
Intervalle der Mengen
©
ª
\ H.f
TIII,(i,ν)
= H | θi1 ≤ θ < θi2 ∧ ρi1 ≤ ρ < ρi2 ∧ ζi1 ≤ ζ < ζi2
aus den Bewegungen der Nadeln nach diesen Mustern zusammentragen, wobei wieder
jH.f
νi2
[ \ H.f
[
\ H.f
\ H.f
\ H.f
SIII (a, r, l, m, k) =
SIII,i mit SIII,i =
TIII,(i,ν)
(6.29)
i=1
ν=νi1
die Mengen aller Nadeln sind, die das Gitter k mal treffen und einen Fußpunktwinkel
zwischen 0 und π/2 aufweisen; dabei bezeichnet H.f den Haupt- und Nebenfall von
1.1 bis 3.4. Nach diesen ändert sich unter Umständen auch die Anzahl jH.f der die
\ H.f
Intervalle zusammenfassenden Mengen SIII,i
, i = 1, ..., jH.f , die die Bewegungsmodi
“blockweise“ erfassen.
Wir beginnen dabei wieder mit der Bewegung vom Typ 1 nach Bild 6.35, das
nun die qualitativen Verhältnisse aus Bild 6.32 quantifiziert. Zwei Nadeln markieren
dabei Beginn und Ende eines Eingriffes von k Gitterstrecken, angefangen bei der
ν-ten bis zur ν + k − 1-ten, wobei wir wieder die Gitterstrecken bei ν = 0 beginnend
zählen.
144
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
z n -l
r
zn + k - 1
-
...
rn + k - 1
...
q
q
+
rn
z
}
k
H
Bild 6.35: Bewegung vom Typ 1, quantitativ
So wie die Nebenfälle definiert sind, vgl. Bild 6.27, wird eine Nadel nach Fall H.1
unterhalb eines Fußpunktwinkels von θ < θ̂k−1 beginnen, genau k Gitterstrecken zu
treffen. Mit anderen Worten: Der “Endwinkel“, ab dem die Nadel so flach fällt,
dass keine k Gitterstrecken mehr getroffen werden, ist θ̂k−1 für alle Fälle H.1, vgl.
Tabellen 6.6 und 6.7. Für Nadeln nach Fall H.f mit f = 2, 3 oder 4 beträgt dieser “Eingriffswinkel“ dagegen θk−1 , weil die Nadeln nach dieser Fallunterscheidung
länger als lk−1 sind.
Nadeln nach Fall 1.1 oder 1.2 verlassen diesen Bewegungsmodus danach nicht
mehr bis θ = 0 ist. Die Beschreibung der Intervall- und Schnittmengen in diesen
Fällen ist somit vollständig erfasst, vgl. erste und zweite Zeile der Tabelle 6.6 – es
gibt nur eine i = 1 Sammelmenge der m − k + 2 Intervallmengen über die Ensemble
von k Gitterstrecken.
Ab dem Hauptfall 2. sind jedoch unter Umständen mehr als k Schnitte möglich.
Daher verlassen Nadeln der Fälle 2.f und 3.f diesen Bewegungstyp und gehen in die
Modi 2 und 3 über. Dieser Übergang geschieht unterhalb der Winkel θ < θ̂k für die
Fälle H.2 und θ < θk für die Fälle H.f, f = 3, 4. Hier trennt die Scheidelinie l = klk
die Fußpunktwinkel, unterhalb derer die Nadeln unter Umständen beginnen, mehr
als k Gitterstrecken zu treffen.
Nach den Bildern 6.36 und 6.37 treten nun die Bewegungsmuster 2 und 3 ein,
die bis 0 ≤ θ beibehalten werden. An den Rändern, den k unten und oben liegenden
Gitterstrecken, bilden sich nun stets dieselben Intervalle bzgl. ρ und ζ aus, vgl. Bild
6.36 und die Tabellen 6.6, 6.7.
Die Nadelbewegung nach Typ 3 wird ebenfalls bis zu θ = 0 beibehalten – allerdings ergeben sich wieder unterschiedliche Winkel, in denen die Abfolge der Intervalle
nach Bild 6.37 bzgl. ρ in der Weise
−
−
+
+
+
+
nach ρ−
von ρ−
ν+k−1 < ρν+k < ρν−1 < ρν
ν+k−1 < ρν−1 < ρν+k < ρν
umschlägt.
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
z n - 1 -l
z n -l
-
rk
zk
145
zm
-
rm
}
z 0 -l
zk - 1
-
…
rk - 1
r
n=0
+
r0
q
}
k
k
n = m-k+1
z
Bild 6.36: Bewegung vom Typ 2, quantitativ
-
rn + k
-
rn + k
-
rn + k - 1
n+k-1
-
...
...
rn + k - 1
...
...
r
n
+
rn
q
+
rn - 1
}
k
+
rn
+
rn - 1
Bild 6.37: Bewegung vom Typ 3, quantitativ: Intervalle in ρ
Wir trennen zur besseren Übersichtlichkeit für die Bewegungsmuster 3 dabei
wieder die Angabe der Intervalle für die Koordinaten ρ und ζ in die Bilder 6.37 und
6.38.
In den Fällen H.f mit f = 1, 2 ist die Nadel dabei so kurz, dass sie nach Bewegungsmuster 3 sofort in den rechts dargestellten Intervallbereich der Bilder 6.37 und
6.38 läuft. Erst eine Nadel, die den Fällen H.f mit f = 3, 4 genügt, ist so lang, dass
die Intervalle in ρ und ζ in dem links dargestellten Teil beginnen und dann nach
θ < θk+1 in das rechts gezeigte Intervalltrio einlaufen.
Für 3.1, 3.2 und 3.3 geht die Nadel dabei noch einmal unterhalb eines Winkels
von θ < θ̂k+1 in den Bereich über, in dem nach Bild 6.34 kein bloßer k-facher Schnitt
+
mehr zwischen ρ−
ν+k ≤ ρ < ρν−1 möglich ist. Für den abschließenden Fall 3.4 ist das
bereits ab θ < θk+1 nicht mehr möglich.
146
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Damit haben wir alle Listeneinträge der folgenden beiden Tabellen zusammengetragen. Die Vielfachheit, d.h. die Anzahl der Ensemble an k Gitterstrecken des
jeweiligen Bewegungstyps wurde hier aus Gründen mangelnden Platzes weggelassen,
sie errechnet sich aber einfacherweise aus νi2 − νi1 + 1.
Tabelle 6.6: Zufallsexperiment III, Hauptfälle 1 und 2
Grenzen
θ
Gitter
ρ
ζ
ν
Fall
i
θi1
θi2
ρi1
ρi2
ζi1
ζi2
νi1
νi2
1.1
1
0
θ̂k−1
ρ−
ν+k−1
ρ+
ν
ζν − l
ζν+k−1
0
m−k+1
1.2
1
0
θk−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2.1
1
θ̂k
θ̂k−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2
0
θ̂k
0
0
m−k+1
m−k+1
1
m−k
ρ−
ν+k−1
ρ−
ν+k
ζν − l
ζν+k−1
3
ρ−
ν+k
ρ+
ν
ζν+k
ζν+k−1
4
ρ−
ν+k−1
ρ−
ν−1
ρ−
ν+k−1
ρ−
ν+k
ρ+
ν−1
ρ−
ν−1
ζν − l
ζν−1 − l
ρ+
ν
ρ−
ν+k
+
ρν−1
ζν − l
ζν+k−1
ζν − l
ζν−1 − l
ζν+k
ζν−1 − l
ρ+
ν
ζν+k
ζν+k−1
5
6
0
θ̂k
7
8
2.2
1
θ̂k
θk−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2, 3
0
θ̂k
wie Fall 2.1
0
0
wie Fall 2.1
m−k+1
m−k+1
4, 5
2.3
6, 7, 8
0
θ̂k
wie Fall 2.1
1
m−k
1
θk
θk−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2, 3
0
θk
wie Fall 2.1
0
0
wie Fall 2.1
m−k+1
m−k+1
1
m−k
4, 5
6
θk+1
θk
7
8
9, 10, 11
0
θk+1
ρ−
ν+k−1
ρ+
ν−1
ζν − l
ζν−1 − l
ρ+
ν−1
ρ−
ν+k
ρ−
ν+k
ρ+
ν
ζν − l
ζν+k−1
ζν+k
ζν+k−1
wie Fall 2.1, i = 6, 7, 8
Die Einträge der Tabellen folgen dabei wieder dem Prinzip, dass lediglich die in
Reihenfolge der Fälle zum ersten Mal auftretenden Bewegungstypen notiert werden
und danach auf diese “Blöcke“ verwiesen wird. Dadurch wird neben der besseren
Übersichtlichkeit auch deutlich, wie wenige Grundmuster der Berechnung zugrun-
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
147
de liegen, die sich von Fall zu Fall lediglich durch sich ändernde Winkelintervalle
abgrenzen.
Tabelle 6.7: Zufallsexperiment III, Hauptfall 3
Grenzen
θ
ρ
Fall
i
θi1
θi2
3.1
1
θ̂k
θ̂k−1
2, 3
0
θ̂k
ρi1
θ̂k
0
θ̂k+1
ν
νi1
νi2
wie Fall 1.1
0
m−k+1
wie Fall 2.1
0
0
wie Fall 2.1
m−k+1
m−k+1
wie Fall 2.1
1
m−k
ζν − l
ζν−1 − l
10
ρ−
ν+k
ρ+
ν−1
0
0
11
ρ+
ν−1
ρ+
ν
ζν+k
ζν+k−1
1
θ̂k
θk−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2, 3
0
θ̂k
wie Fall 2.1
0
0
wie Fall 2.1
m−k+1
m−k+1
1
m−k
θ̂k+1
θ̂k
wie Fall 3.1
9, 10, 11
0
θ̂k+1
wie Fall 3.1
1
θk
θk−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2, 3
0
θk
wie Fall 2.1
0
0
wie Fall 2.1
m−k+1
m−k+1
1
m−k
6, 7, 8
4, 5
3.4
ζi2
ρ−
ν+k
4, 5
3.3
ζi1
ρ−
ν+k−1
9
3.2
θ̂k+1
ζ
ρi2
4, 5
6, 7, 8
Gitter
6, 7, 8
θk+1
θk
wie Fall 2.3, i = 6, 7, 8
9, 10, 11
θ̂k+1
θk+1
wie Fall 3.1, i = 6, 7, 8
12, 13, 14
0
θ̂k+1
wie Fall 3.1, i = 9, 10, 11
1
θk
θk−1
wie Fall 1.1
0
m−k+1
2, 3
0
θk
wie Fall 2.1
0
0
wie Fall 2.1
m−k+1
m−k+1
1
m−k
4, 5
6, 7, 8
9, 10, 11
θk+1
θk
0
θk+1
wie Fall 3.3, i = 6, 7, 8
wie Fall 3.1, i = 9, 10, 11
148
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
z n -l
-
-
rn + k
z n -l
zn + k
rn + k
zn + k
zn - 1 -l
zn - 1 -l
-
rn + k - 1
zn + k - 1
...
rn + k - 1
}
...
zn + k - 1
-
...
...
r
zn
zn
k
+
rn
+
rn
zn - 1
q zn - 1
H
+
+
rn - 1
z
rn - 1
Bild 6.38: Bewegung vom Typ 3, quantitativ: Intervalle in ρ und ζ
l
L k-1
L k+1
Lk
(k +1)a
Lk
f=4
2.3
ka
3.4
Lk - 1
0
f=3
ka
1.2
1.1
3.3
f=2
(k +1)a
2.2
ka
2.1
Lk - 1
3.2
3.1
f=1
H=1
(k -1) a
H=3
H=2
ka
(k +1) a
Bild 6.39: Das l-λ-Diagramm in der Übersicht
l
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
149
Maße: Für die einzelnen Bewegungsmuster erkennen wir jetzt wieder folgende von
den Gitterstellen ν unabhängige Funktionen. Zunächst für die Muster 1 und 2:
Z
Z
ρ+
ν
ζν+k−1
dζ dρ
ρ=ρ−
ν+k−1
ζ=ζν −l
= l2
α
λ
¡
(k − 1)α − cos θ
Z
Z
ρ−
ν+k
=
α
λ
¡
Z
ζν−1 −l
Z
ρ+
ν
ρ=ρ+
ν−1
ζ=ζν −l
ζν+k−1
ζ=ζν+k
Z
ρ+
ν
(6.30)
dζ dρ
ρ=ρ−
ν+k
dζ dρ +
ρ=ρ−
ν+k−1
= l2
Z
ζν+k−1
ζ=ζν −l
Z
ρ+
ν−1
¢
(k − 1)λ tan θ − 1 =: h1 (θ, k) ,
dζ dρ +
ρ=ρ−
ν+k−1
Z
¢¡
ζν+k−1
dζ dρ
ζ=ζν −l
¢
α + λ sin θ − (2k − 1)αλ tan θ =: h2 (θ, k) .
(6.31)
Für das Muster 3 erhalten wir
Z
ρ+
ν−1
Z
dζ dρ +
ρ=ρ−
ν+k−1
Z
=
ρ−
ν+k
ρ=ρ−
ν+k−1
= l2
α
λ
³
Z
ζν−1 −l
Z
ζν−1 −l
Z
dζ dρ +
ρ+
ν−1
Z
Z
ζν−1 −l
dζ dρ +
ζ=ζν+k
Z
ρ+
ν
ζ=ζν+k
Z
ρ+
ν
ρ=ρ+
ν−1
ζν+k−1
dζ dρ
ρ=ρ−
ν+k
ζ=ζν −l
ρ=ρ−
ν+k
ζ=ζν −l
Z
ζν+k−1
dζ dρ +
ρ=ρ+
ν−1
ζ=ζν −l
Z
ρ−
ν+k
ζν+k−1
dζ dρ
ζ=ζν+k
´
¡
¢
(k + 1)α − cos θ + (k + 1)λ sin θ − (k + 1)2 − 2 αλ tan θ =: h3 (θ, k) ,
(6.32)
und
Z
ρ−
ν+k
ρ=ρ−
ν+k−1
= l2
α
λ
Z
Z
ζν−1 −l
dζ dρ + 0 +
ζ=ζν −l
ρ+
ν
ρ=ρ+
ν−1
Z
ζν+k−1
dζ dρ
ζ=ζν+k
2αλ tan θ =: ĥ3 (θ, k) .
(6.33)
Hierzu zwei Bemerkungen: Zunächst erhält man offensichtlich die Funktionen h1 ,
h2 und h3 , ĥ3 in (6.11), (6.12) und (6.13), (6.14) aus dem letzten Abschnitt für die
Betrachtung genau eines Schnittes , wenn man in den oben angegebenen Funktionen
k = 1 setzt. Dabei bleibt ĥ3 sogar von k unabhängig, weil für jedes k durch ĥ3 die
“Randbereiche“ in ρ und ζ beschrieben werden und die Bewegungsfreiheit der Nadel
dort stets von einer Gitterstrecke zur nächsten verläuft. Es gilt also auch
Z
h3 (θ, k) = ĥ3 (θ) +
Z
ρ+
0
ρ=ρ−
k+1
= ĥ3 (θ) + l2
α
λ
¡
ζ0 −l
dζ dρ
ζ=ζk+1
¢¡
¢
(k + 1)α − cos θ 1 − (k + 1)λ tan θ .
(6.34)
150
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Zweitens versichert uns die besondere Gleichheit in (6.32) wieder, dass in den
oben eingeführten, diskutierten und aufgelisteten Fällen 1.1 bis 3.4 keine weiteren Fälle zwischenzuschalten sind! Denn das Resultat in (6.32) führt uns zurück
zur Frage (6.28) auf Seite 141, die wir jetzt bejahend beantworten können! In den
Übergängen (F ), bzw. (G1 ) nach Bild 6.30 von Winkel ψ nach θ̂k , bzw. θk+1 stellen
sich für die Nadel die Bewegungsmöglichkeiten vom Typ 3 nach den Bildern 6.34,
mitte, und 6.38, rechts, ein. Im Sinne von (6.32) kann also mit
Z Z
Z Z
f (θ, k) :=
dζdρ =
dζdρ
ρ ζ
ρ ζ
| {z }
| {z }
(F )
(G1 )
ρ−
Zν+k ζν−1
Z −l
=
ρ+
Zν−1 ζν−1
Z −l
dζ dρ +
ζν −l
ρ−
ν+k−1
und
+
Zρν
ζν+k−1
Z
dζ dρ +
ζν+k
ρ−
ν+k
dζ dρ
ζν+k
ρ+
ν−1
Z Z
dζdρ
g(θ, k) :=
ρ
ζ
| {z }
(G2 )
ρ−
Zν+k ζν+k−1
Z
ρ+
Zν−1 ζν−1
Z −l
dζ dρ +
=
ζν −l
ρ−
ν+k−1
+
Zρν
ζν+k−1
Z
dζ dρ +
ζν −l
ρ+
ν−1
dζ dρ
ζν+k
ρ−
ν+k
die Gleichheit von (6.28) in der Gestalt
Z
Z
θ̂k
f (θ, k)dθ =
ψ
Z
θk+1
θ̂k
f (θ, k)dθ +
ψ
g(θ, k)dθ
θk+1
durch (6.32) in der Form
f (θ, k) = g(θ, k) = h3 (θ, k)
nachgewiesen werden.
Als letzte Schritte verbleiben jetzt noch, die Maße der in (6.29) festgehaltenen
\ H.f
Mengen SIII
(a, r, l, m, k) zu berechnen und dann unter Heranziehen von µ(DIII ) die
geometrischen Wahrscheinlichkeiten für 1 < k < m + 1 in diesem Zufallsexperiment
zu bestimmen.
Wir beginnen sogleich mit dem vorletzten Schritt und berechnen der Achsensymmetrie folgend über
\ H.f
H.f
µ(SIII
) = 2 · µ(SIII
)
nun die Maße der Menge aller Nadeln, deren Längen sich nach den Fällen H.f =
1.1 bis 3.4 gruppieren und die das Gitter C genau k-mal treffen.
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
151
\ H.f
Nach der Zusammensetzung (6.29) der Mengen SIII
(a, r, l, m, k) aus den dis\ H.f
junkten Intervallmengen TIII,(i,ν) (a, r, l, m, k) und der in den Tabellen 6.6 und 6.7
angeführten Auflistung der darin enthaltenen Intervalle können wir nun und unter
Einsatz der Funktionen h1 , h2 und h3 sowie ĥ3 folgende Berechnungen anstellen und
Angaben machen:
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
θ̂k−1
h1 (θ, k) dθ
1.1
θ=0
³p
1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)λ + (k − 1)2 αλ
¡
¢
¡
¢´
−(k − 1)α arccos (k − 1)α − (k − 1)2 αλ ln (k − 1)α , (6.35)
= 2 · l2
α
λ
(m − k + 2)
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
θk−1
h1 (θ, k) dθ
1.2
= 2 · l2
α
λ
θ=0
(m − k + 2)
−(k − 1)α arctan
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
³p
1 + (k − 1)2 λ2 − (k − 1)λ
1
(k−1)λ
− (k − 1) αλ ln √
Z
θ̂k−1
(k−1)λ
´
,
1+(k−1)2 λ2
(6.36)
θ̂k
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
2.1
Z
2
h2 (θ, k) dθ
θ=θ̂k
θ=0
θ̂k
+2 · (m − k)
h3 (θ, k) dθ
θ=0
h
¡
¢
(1 − kα) 2λ + (m − k)(k + 1)λ
¡p
(6.37)
+(m − k + 2) 1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)αλ
¡
¢
¡
¢¢
−(k − 1)α arccos (k − 1)α − (k − 1)2 αλ ln (k − 1)α
¡√
¢i
2
2
2
−2(m − k + 1) 1 − k α − kα arccos(kα) − k αλ ln(kα) ,
= 2 · l2
α
λ
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
Z
Z
θk−1
θ̂k
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
2.2
θ=θ̂k
h2 (θ, k) dθ
θ=0
θ̂k
+2 · (m − k)
h3 (θ, k) dθ
θ=0
h
¡
¢
(1 − kα) 2λ + (m − k)(k + 1)λ
= 2·
¡p
+(m − k + 2) 1 + (k − 1)2 λ2 − (k − 1)k αλ
l2 αλ
1
−(k − 1)α arctan (k−1)λ
− (k − 1)2 αλ ln √
−2(m − k + 1)
¡√
1−
k 2 α2
(6.38)
(k−1)λ
1+(k−1)2 λ2
¢
¢i
− kα arccos(kα) − k αλ ln(kα) ,
2
152
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
Z
α
λ
θk
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
h2 (θ, k) dθ
θ=θk
θ=0
θk
+2 · (m − k)
= 2 · l2
Z
θk−1
2.3
h3 (θ, k) dθ
θ=0
h
2λ + (m − k)(k + 1)λ
¡p
+(m − k + 2) 1 + (k − 1)2 λ2
(6.39)
1
−(k − 1)α arctan (k−1)λ
− (k − 1)2 αλ ln √
(k−1)λ
¢
1+(k−1)2 λ2
¢i
1
kλ
,
− k 2 αλ ln √1+k
2 λ2
kλ
Z θ̂k
Z θ̂k−1
3.1
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
h2 (θ, k) dθ
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
−2(m − k + 1)
¡√
1 + k 2 λ2 − k α arctan
θ=θ̂k
Z
Z
θ̂k
+2 · (m − k)
l2 αλ
θ=0
θ̂k+1
h3 (θ, k) dθ + 2 · (m − k)
ĥ3 (θ, k) dθ
θ=θ̂k+1
h
θ=0
2λ(1 − kα)
¡p
+(m − k + 2) 1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)αλ
¡
¢
¡
¢¢
−(k − 1)α arccos (k − 1)α − (k − 1)2 αλ ln (k − 1)α
¡√
¢
−2(m − k + 1) 1 − k 2 α2 − kα arccos(kα) − k 2 αλ ln(kα)
¡p
+(m − k) 1 − (k + 1)2 α2 + (k + 1)αλ
¡
¢
¡
¢i
−(k + 1)α arccos (k + 1)α − (k + 1)2 αλ ln (k + 1)α ,
= 2·
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
Z
α
λ
h
θ̂k
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
θ=θ̂k
h2 (θ, k) dθ
θ=0
Z
θ̂k
θ̂k+1
ĥ3 (θ, k) dθ
h3 (θ, k) dθ + 2 · (m − k)
+2 · (m − k)
= 2 · l2
Z
θk−1
3.2
(6.40)
θ=0
θ=θ̂k+1
2λ (1 − kα)
¡p
+(m − k + 2) 1 + (k − 1)2 λ2 − (k − 1)k αλ
1
−(k − 1)α arctan (k−1)λ
− (k − 1)2 αλ ln √
(k−1)λ
¢
1+(k−1)2 λ2
¡√
¢
−2(m − k + 1) 1 − k 2 α2 − kα arccos(kα) − k 2 αλ ln(kα)
¡p
+(m − k) 1 − (k + 1)2 α2 + (k + 1)αλ
¡
¢
¡
¢¢i
,
−(k + 1)α arccos (k + 1)α − (k + 1)2 αλ ln (k + 1)α
(6.41)
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
Z
= 2·
θk
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
h2 (θ, k) dθ
θ=θk
θ=0
Z
θk
θ̂k+1
h3 (θ, k) dθ + 2 · (m − k)
+2 · (m − k)
l2 αλ
Z
θk−1
3.3
ĥ3 (θ, k) dθ
θ=0
θ=θ̂k+1
h
2λ
+(m − k + 2)
153
¡p
1 + (k − 1)2 λ2
1
−(k − 1)α arctan (k−1)λ
− (k − 1)2 αλ ln √
−2(m − k + 1)
¡√
(k−1)λ
¢
1+(k−1)2 λ2
1 + k 2 λ2
¢
1
kλ
− k 2 αλ ln √1+k
−kα arctan kλ
2 λ2
¡p
+(m − k) 1 − (k + 1)2 α2 + (k + 1)2 αλ
¡
¢
¡
¢¢i
−(k + 1)α arccos (k + 1)α − (k + 1)2 αλ ln (k + 1)α
, (6.42)
Z
µ(SIII ) = 2 · (m − k + 2)
Z
= 2·
θk
h1 (θ, k) dθ + 2 · 2
θ=θk
h2 (θ, k) dθ
θ=0
θk
+2 · (m − k)
l2 αλ
Z
θk−1
3.4
+(m − k + 2)
θk+1
h3 (θ, k) dθ + 2 · (m − k)
θ=θk+1
h
2λ
Z
ĥ3 (θ, k) dθ
θ=0
¡p
1 + (k − 1)2 λ2
1
−(k − 1)α arctan (k−1)λ
− (k − 1)2 αλ ln √
−2(m − k + 1)
¡√
1 + k 2 λ2
kλ
1
−kα arctan kλ
− k 2 αλ ln √1+k
2 λ2
¡p
+(m − k) 1 + (k + 1)2 λ2
(k−1)λ
¢
1+(k−1)2 λ2
¢
1
−(k + 1)α arctan (k+1)λ
− (k + 1)2 αλ ln √
(k+1)λ
1+(k+1)2 λ2
¢i
.
(6.43)
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten für die Fälle H.f des folgenden Satzes
erhalten wir nun mit (6.35) - (6.43) nach der Beziehung (3.1) durch
pIII (α, λ, m, k) =
mit µ(DIII ) = 2m l2 αλ
¡1
m
+
π
2
H.f
µ(SIII
)
µ(DIII )
¢
α + λ nach (2.13).
154
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Satz 6.5.2 (Zufallsexperiment III, Fall 1 < k < m + 1). Für die in Problem 6.1
beschriebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gelten im Falle von k Schnitten
von Nadel und Gitter mit 1 < k < m + 1 die folgenden Funktionen, die nach den
oben notierten Fallunterscheidungen geordnet sind:
Fall 0
:
Fall 1.1 :
Fall 1.2 :
pIII (α, λ, m, k) = 0 ,
(6.44)
¡
¢
pIII (α, λ, m, k) = γ · 1 − (k−1)−1
m
¡
¢
(k − 1)2 αλ − (k − 1)λ + Φk−1 ,
(6.45)
¡
pIII (α, λ, m, k) = γ · 1 −
(6.46)
h
Fall 2.1 :
¢
− (k − 1)λ + Ψk−1 ,
¢
(k + 1) λ (1 − kα)
¡
¢¡
¢
¡
¢ i
(k−1)−1
k−1
+ 1− m
− (k − 1)αλ + Φk−1 − 2 1 − m Φk ,
(6.47)
pIII (α, λ, m, k) = γ ·
h
¡
λ (1 − kα) + 1 −
k
m
2
m
¡
λ (1 − kα) + 1 −
k
m
2
m
¡
λ+ 1−
2
m
¢
(k + 1) λ (1 − kα)
¡
¢¡
¢
¡
¢ i
(k−1)−1
k−1
+ 1− m
− (k − 1)kαλ + Ψk−1 − 2 1 − m Φk , (6.48)
Fall 2.2 :
pIII (α, λ, m, k) = γ ·
Fall 2.3 :
pIII (α, λ, m, k) = γ ·
h
¡
+ 1−
Fall 3.1 :
(k−1)−1 ¢ ¡
m
(k−1)−1
m
¢
k
m
¢
(k + 1) λ
¡
Ψk−1 − 2 1 −
k−1
m
¢
i
Ψk ,
(6.49)
h
pIII (α, λ, m, k) = γ · m2 λ (1 − kα)
¡
¢¡
¢
¡
+ 1 − (k−1)−1
−
(k
−
1)αλ
+
Φ
−
2
1−
k−1
m
i
¡
¢¡
¢
k
+ 1− m
(k + 1)αλ + Φk+1 ,
k−1
m
¢
Φk
(6.50)
h
Fall 3.2 :
pIII (α, λ, m, k) = γ · m2 λ (1 − kα)
¢
¡
¡
¢¡
+ 1 − (k−1)−1
− (k − 1)k αλ + Ψk−1 − 2 1 −
m
¢i
¡
¢¡
k
+ 1− m
(k + 1)αλ + Φk+1 ,
h
Fall 3.3 :
pIII (α, λ, m, k) = γ ·
2
m
¡
λ+ 1−
¡
+ 1−
h
Fall 3.4 :
pIII (α, λ, m, k) = γ ·
2
m
¡
λ+ 1−
¡
+ 1−
(k−1)−1 ¢
Ψk−1
m
k
m
¢¡
¢
k−1
m
(k + 1)2 αλ + Φk+1
(k−1)−1 ¢
Ψk−1
m
k
m
¡
−2 1−
i
Ψk+1 ,
¡
−2 1−
¢i
k−1
m
¢
k−1
m
Φk
(6.51)
Ψk
,
¢
¢
(6.52)
Ψk
(6.53)
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
155
unter Verwendung der folgenden Abkürzungen
γ := ( m1 + π2 α + λ)−1 und
√
Φκ :=
1 − κ2 α2 − κ α arccos(κ α) − κ2 αλ ln(κ α) ,
√
κλ
Ψκ :=
1 + κ2 λ2 − κ α arctan κ1λ − κ2 αλ ln √1+κ
2 λ2 .
Es ist wieder festzuhalten, dass die Funktion pIII (α, λ, m, k), 1 < k < m+1, stetig
an den Grenzen der Fallunterscheidungen ist. Um diesen Nachweis übersichtlicher
zu gestalten, kürzen wir zunächst
χκ := √
λ
, κ ∈ N,
1 + κ2 λ2
(6.54)
ab. Fassen wir die oben eingeführten Größen Φκ und Ψκ als Funktionen von α auf:
Φκ = Φκ (α)
und
Ψκ = Ψκ (α) ,
so können die einfach nachzuweisenden Beziehungen
Φκ (α = κ1 )
= 0,
Φκ (α = χκ ) = Ψκ (χκ ) − κ2 λχκ ,
(6.55)
(6.56)
festgestellt werden. An den zwölf Grenzen zwischen den Fällen ergibt sich nun folgende Diskussion, welche die Stetigkeit von pIII (α, λ, m, k) nachweist. Dabei arbeiten
wir bzgl. der Abkürzungen der Fallbezeichnungen mit hochgestellten Indizes.
1
• Fall 0 = Fall 1.1 für α = k−1
:
¡
p1.1
III = γ 1 −
(k−1)−1 ¢¡
(k
m
¢
1
− 1)λ − (k − 1)λ + Φk−1 ( k−1
) = 0 = p0III .
• Fall 1.1 = Fall 1.2 für α = χk−1 :
¡
¢¡
¢
(k−1)−1
1.2
2
p1.1
Φ
−
Ψ
+
(k
−
1)
λχ
= 0.
k−1
k−1
k−1
III − pIII = γ 1 −
m
• Fall 1.1 = Fall 2.1 für α = k1 :
Hier ist in p2.1
III sowohl Φk = 0 als auch (1 − kα) = 0 zu beachten, womit wir die
überschaubare Differenz erhalten:
¡
¢ £ (k−1)2
¤
(k−1)−1
2.1
p1.1
λ k − (k − 1) + k−1
= 0.
III − pIII = γ 1 −
m
k
• Fall 1.2 = Fall 2.2 für α = k1 :
Wird wieder Φk = 0 und (1 − kα) = 0 diesmal in p2.2
III beachtet, sieht man leicht:
¡
1.2
=
γ
1−
−
p
p2.2
III
III
(k−1)−1 ¢ £
λ
m
¤
− (k − 1) kk + (k − 1) = 0 .
156
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
• Fall 2.1 = Fall 2.2 für α = χk−1 :
Die aus weitgehend gleichen Termen bestehenden Ausdrücke liefern an der Grenze
die wegen (6.56) verschwindende Differenz:
¡
¢
(k−1)−1 ¢¡
2.2
2
p2.1
(k
−
1)
λχ
+
Φ
−
Ψ
= 0.
k−1
k−1
k−1
III − pIII = γ 1 −
m
• Fall 2.2 = Fall 2.3 für α = χk :
2.3
Wird p2.2
III von pIII subtrahiert, entfält der Term mit Ψk−1 . Die zuerst auftretenden
Klammerausdrücke gestalten den Rechengang etwas umfangreicher, bis man zu
¡
¢¡ 2
¢
2.2
k−1
p2.3
k λχk + Φk − Ψk = 0
III − pIII = γ · 2 1 − m
gelangt.
1
• Fall 2.1 = Fall 3.1 für α = k+1
:
3.1
Man sieht schnell, dass die Terme mit Φk−1 und Φk in der Differenz von p2.1
III und pIII
entfallen. Außerdem ist hier Φk+1 = 0, so dass lediglich
¢
£
¤
¡
3.1
k
p2.1
III − pIII = γ 1 − m (k + 1)λ 1 − kα − α = 0
auszurechnen ist.
1
• Fall 2.2 = Fall 3.2 für α = k+1
:
3.2
Hier entfallen in der Differenz von p2.2
III und pIII die Terme mit Ψk−1 und Φk . Weil
Φk+1 = 0 gilt, haben wir erneut
¢
£
¤
¡
3.2
k
p2.2
III − pIII = γ 1 − m (k + 1)λ 1 − kα − α = 0 .
1
• Fall 2.3 = Fall 3.3 für α = k+1
:
3.3
Hier verschwinden Ψk−1 und Ψk in der Differenz von p2.3
III und pIII . Wieder mit
Φk+1 = 0 ist
¡
¢
£
¤
3.3
k
p2.3
III − pIII = γ 1 − m (k + 1)λ 1 − (k + 1)α = 0 .
• Fall 3.1 = Fall 3.2 für α = χk−1 :
Die Differenz der Wahrscheinlichkeiten ergibt sofort:
¡
¤
(k−1)−1 ¢£
3.2
p3.1
(k − 1)2 λχk−1 + Φk−1 − Ψk−1 = 0 .
III − pIII = γ 1 −
m
• Fall 3.2 = Fall 3.3 für α = χk :
3.3
Bildet man wieder die Differenz von p3.2
III und pIII , so erhält man:
¡
¤
¢£ 2
3.3
k−1
p3.2
k λχk + Φk − Ψk = 0 .
III − pIII = γ · (−2) 1 − m
• Fall 3.3 = Fall 3.4 für α = χk+1 :
An dieser Grenze lässt sich rasch
¡
¢£
¤
3.4
2
k
p3.3
III − pIII = γ · 1 − m (k + 1) λχk+1 + Φk+1 − Ψk+1 = 0
wieder mit Hilfe von (6.56) feststellen.
6.5. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 1 < K < N
157
Zudem gibt es noch folgenden Aspekt zu bedenken: Für eine Anzahl von k = m
Schnitten fallen die geometrischen Wahrscheinlichkeiten der Fälle 2.1, 3.1, sowie
2.2, 3.2 und 2.3, 3.3, 3.4 zusammen. Eine Unterscheidung nach Bild 6.29 ist daher für k = m nach Bild 6.40 streng genommen nicht nötig – wenn auch diese
Unterscheidung natürlich konsistent bleibt.
l
Ö 1 + m 2 l2
Ö1 + (m -1)2 l2
2.3
l
1.2
l
l
Ö1 + (m +1)2 l2
2.2
3.4
0
1.1
3.3
3.2
2.1
3.1
0
1
m+1
1
m
a
1
m-1
Bild 6.40: Fälle für die Schnittzahl k = m
l
Ö1 + (m -1)2 l2
3.4
1.2
l
2.3
2.2
3.3
l
Ö 1 + m 2 l2
1.1
0
3.2
2.1
3.1
0
1
m
1
m-1
a
Bild 6.41: Schnittzahl k = m mit den hier sechs verbleibenden Fällen
Das Bild 6.41 macht deutlich, dass durch die Vereinigung der oben genannten
1
und α = √ λ 2 2 ausgetragen werden können,
Fälle die “Trennlinien“ α = m+1
1+(m+1) λ
158
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
was man sich auch leicht geometrisch überlegt, da die “fiktive“ Gitterstrecke bei
(m + 1)a außerhalb des bis ma reichenden Gitters C sicher keine Auswirkungen
mehr für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten hat.
Wir listen noch die geometrischen Wahrscheinlichkeiten für k = m der nun auf
sechs Fälle reduzierten Unterscheidungen auf, die sich für k = m aufgrund des
einheitlichen und damit herausziehbaren Faktors m2 recht übersichtlich gestalten.
Dabei werden wieder die im Satz 6.5.2 angeführten Abkürzungen gebraucht:
Fall 0 :
pIII (α, λ, m, m) = 0 ,
Fall 1.1 :
pIII (α, λ, m, m) = γ ·
2
m
Fall 1.2 :
pIII (α, λ, m, m) = γ ·
2
m
Fall 2.1, 3.1 :
pIII (α, λ, m, m) = γ ·
2
m
Fall 2.2, 3.2 :
pIII (α, λ, m, m) = γ ·
2
m
Fall 2.3, 3.3, 3.4 :
pIII (α, λ, m, m) = γ ·
2
m
6.6
£
¡
¢¤
Φm−1 + λ 1 − m + (1 − m)2 α ,
£
¡
¢¤
Ψm−1 + λ 1 − m ,
£
¡
¢¤
Φm−1 − Φm + λ 1 − m α + (1 − m) α ,
£
¡
¢¤
Ψm−1 − Φm + λ 1 − m α + (1 − m)m α ,
£
¤
Ψm−1 − Ψm + λ .
Wahrscheinlichkeit für n Schnitte: k = n
Fälle: Diese abschließende Betrachtung von k = n = m + 1 Schnitten unseres
m
Testobjekts mit dem Gitter Ca,2r
teilt sich in drei übersichtliche Fallunterscheidungen
nach Bild 6.42 auf, die wir mit N abkürzen, was an n = m + 1 erinnern soll:
N.1 :
0 < l < ma < mlm < ∞ ⇐⇒
1
m
N.2 :
0 < ma ≤ l < mlm < ∞ ⇐⇒
√ λ
1+m2 λ2
N.3 :
0 < ma < mlm ≤ l < ∞ ⇐⇒ 0 < α ≤
< α < ∞ ,
< α ≤
1
m
√ λ
1+m2 λ2
,
.
Offensichtlich ist zu erkennen, dass es im ersten Fall gar nicht zu m + 1 Schnitten
kommen kann, weil l hierfür zu kurz ist, so dass wir hier leicht p = 0 angeben und
uns auf die Fälle N.2 und N.3 konzentrieren können.
Mengen: Diese beiden Fälle wiederum unterscheiden sich lediglich in dem Winkel
θ, unterhalb dessen es zu m + 1 Schnitten kommt. Nach Bild 6.43 ist das links im
Fall von N.2 der Winkel θ̂m und rechts im Fall von N.3 der Winkel θm . In beiden
Fällen wird dann nach dem mittleren Bildteil über ρ und ζ integriert, so dass wir zu
den in Tabelle 6.8 aufgelisteten Grenzen kommen. Die Vielfachheit gibt an, dass es
m + 1 Schnitte nur für genau ein Ensemble von Gitterstrecken geben kann, nämlich
für das gesamte Gitter.
6.6. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR N SCHNITTE: K = N
l
l
ml m
159
l
Ö1 + m 2 l2
N.3
N.3
N.1
N.2
N.2
0
N.1
l
ma
0
1/m
a
Bild 6.42: Die Fälle im Zufallsexperiment III für k = m + 1
z0 - l
-
rm
l
zm
ma
qm
qm
l
m lm
+
r0
Bild 6.43: Die beiden Fälle N.2 und N.3 am Gitter für k = m + 1
Maße: Danach erhalten wir für die Maße der Mengen aller Nadeln, die das Gitter
genau n = m + 1-mal treffen, für die angegebenen Fälle die Beziehungen:
Z
µ(SIII ) = 2 ·
θ̂m
h1 (θ, m + 1) dθ
N.2
θ=0
= 2 · l2
Z
µ(SIII ) = 2 ·
α
λ
¡
− mλ + m2 αλ +
√
1 − m2 α2
¢
−mα arccos(mα) − m2 αλ ln(mα) ,
θm
h1 (θ, m + 1) dθ
N.3
θ=0
= 2 · l2
α
λ
¡
− mλ +
√
1 + m2 λ2
¢
1
mλ
−mα arctan mλ
− m2 αλ ln √1+m
.
2 λ2
¡
¢
Mit dem Grundmaß µ(DIII ) = 2m l2 αλ m1 + π2 α + λ nach (2.13) können damit
nun die geometrischen Wahrscheinlichkeiten des folgendes Satzes angegeben werden.
160
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Tabelle 6.8: Zufallsexperiment III, Fälle N.2, N.3
Grenzen
θ
Viel-
ρ
ζ
fach-
Fall
i
θi1
θi2
ρi1
ρi2
ζi1
ζi2
heit
N.2
1
0
θ̂m
ρ−
m
ρ+
0
ζ0 − l
ζm
1
1
0
θm
ρ−
m
ρ+
0
ζ0 − l
ζm
1
ma ≤ l < mlm
√
λ
1+m2 λ2
<α≤
1
m
N.3
ma < mlm ≤ l
0<α≤
√
λ
1+m2 λ2
Satz 6.6.1 (Zufallsexperiment III, Fall k = m + 1). Für die in Problem 6.1 beschriebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt für den Fall k = m + 1 für die
oben unterschiedenen Fälle:
Fall N.1 : pIII (α, λ, m, m + 1) = 0 ,
Fall N.2 : pIII (α, λ, m, m + 1) = γ ·
Fall N.3 : pIII (α, λ, m, m + 1) = γ ·
(6.57)
1
m
1
m
£
£
¤
Φm + mλ(mα − 1) ,
¤
Ψm − mλ .
(6.58)
(6.59)
Die Übereinstimmung an den Grenzen der beiden Fallunterscheidungen ist hier
einfach zu zeigen, wobei wir wieder auf die Abkürzung (6.54) und die Beziehungen
(6.55) und (6.56) aus dem letzten Abschnitt zurückgreifen:
Fall N.1 = Fall N.2 für α = m1 :
£
¤
N.1
1
m
pN.2
und
III (1/m, λ, m, m + 1) = γ · m 0 + mλ( m − 1) = 0 = pIII
Fall N.2 = Fall N.3 für α = χm :
N.3
pN.2
III (χm , λ, m, m + 1) − pIII (χm , λ, m, m + 1) = γ ·
6.7
1
m
£
¤
Φm − Ψm + m2 χm λ = 0 .
Erwartungswert von XIII
P
Die Berechnung des Erwartungswertes E(XIII ) =
kpIII,k gestaltet sich wegen der
hohen Anzahl an Fallunterscheidungen für pIII nach den Angaben der letzten Abschnitte zunächst recht unübersichtlich – am Ende dieses Abschnittes werden wir
jedoch erkennen, dass sich zumindest der Wert bzw. die Funktion E(XIII )(α, λ, m)
als erstaunlich einfach erweist.
6.7. ERWARTUNGSWERT VON XIII
161
Zur Einstimmung berechnen wir die Funktionen für den Erwartungswert
E(XIII )(α, λ, m) =
m+1
X
k pIII (α, λ, m, k)
(6.60)
k=0
und die Varianz
V (XIII )(α, λ, m) =
m+1
X
¡
k − E(XIII )(α, λ, m)
¢2
pIII (α, λ, m, k)
(6.61)
k=0
der Zufallsvariable (ZV) XIII für m = 5 numerisch in Mathematica und stellen die
Flächen E(XIII )(α, λ, 5) und V (XIII )(α, λ, 5) im Bild 6.44 dar.
0.25
0.2
α 0.15
0.1
0.05
6
0
6
4
2
0
0.05
0.1
0.15 λ
0
0.05
0.1
α 0.15
0.2
EX
VX 4
2
0
0
0.2
0.05
0.1
0.15
λ
0.250.25
0.2
0.25
Bild 6.44: Erwartungswert und Varianz von XIII , m = 5
Wie zu sehen ist, fallen die Werte für zunehmende Parameter α und λ, d.h. für
kürzer werdende Nadeln und höher ansteigende Gitter, schnell auf kleine Schnittzahlen und schwanken dort auch eher schwach.
Bei der Varianz fällt auf, dass es ein lokales Maximum an Streuung bzgl. der
Schnittzahlen gibt. Wir haben die Stelle dieses Maximums numerisch für die Werte
m = 1, 2, ..., 12, 20 und 30 bestimmt und im α-λ-Diagramm aufgetragen, was im
Bild 6.45 zu sehen ist. Der Kurvenzug liegt dabei im Gebiet des Falls 3.4 bzgl.
k = bE(XIII )(α, λ, m)c. Darunter, im Bild 6.46, zeigen wir den Erwartungswert, die
Varianz und Streuung in diesen Punkten in Abhängigkeit der Zellenzahl m.
Bemerkenswert ist die Annäherung ab m ≥ 2 fast in Form einer Geraden an den
Ursprung des α-λ-Diagramms. Der Quotient λ/α für die verschiedenen Punkte ist
im Bild 6.47 über m aufgetragen. Mit
λ
α
=
l
2r
≈ 2,5
liegt also die größte Streuung der Schnittzahl unabhängig von a dann vor, wenn
die Nadellänge l ungefähr dem 2,5-fachen der Länge der GS entspricht. Für kürzere
Nadeln nimmt sie stabil in Richtung EX → 0, für längere Nadeln stabil in Richtung
EX → m + 1 ab.
162
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
λ
m= 1
0.6
0.5
0.4
0.3
2
0.2
0.1
30
12
... 5 4
0.02
0.04
3
0.06
0.08
0.1
0.12
α
Bild 6.45: Punkte mit Maxima in V (XIII )(α, λ, m)
20
15
VX
10
EX
5
σX
m
4
2
6
8
10
12
Bild 6.46: EX, V X und σX in Abhängigkeit von m
3
Quotient: λ α
2.8
2.6
2.4
2.2
5
m
10
15
20
25
30
Bild 6.47: Quotient λ/α der Punkte aus Bild 6.45
6.7. ERWARTUNGSWERT VON XIII
163
Wir untersuchen jetzt noch die Funktion E(XIII )(α, λ, m) auf analytischem Wege. Dazu betrachten wir zunächst, welche Folgen an Fallunterscheidungen der in der
Summe von E(XIII ) vorkommenden geometrischen Wahrscheinlichkeiten pIII bzgl.
der Schnittzahl k auftreten können.
l
2.3
1.2
3.4
3 2.2
3.
3.2
2.1
3.1
k
1
k+1
k +1
2.3
0
1.1
1
k-1
1
k
1.2
a
0
3.4
3.2
3.1
3.3
2.2
1.1
0
2.1
1.1
2.1
Bild 6.48: Änderung der Fallunterscheidung von k auf k + 1 im Diagramm
Das Bild 6.48 verdeutlicht für den Übergang von k > 1 Schnitten zu k + 1 < m
Schnitten, dass nur bestimmte Änderungen der Fallunterscheidungen möglich sind.
Die Fallunterscheidungen werden dabei nach unserer Ordnung für die Parameter α
und λ getroffen. Wie im Bild 6.48 dargestellt, verschieben sich die Begrenzungslinien
und -kurven für den Übergang von k zu k + 1 nach links. Daraus resultieren nur
ganz bestimmte Abfolgen an Fallunterscheidungen! So ist es etwa ausgeschlossen,
dass eine für die Schnittzahl k nach Fall 3.2 auszuwertende Funktion pIII für k + 1
nach anderen Fällen als denen nach 2.1 oder 3.1 stattzufinden hat.
Im allgemeinen merken wir, dass eine Reduzierung der Fälle um eins stattfindet,
wenn sich die Schnittzahl k um eins erhöht – bis auf die Fälle 0, bzw. 3, die stets
bzw. möglicherweise in diesem Bereich verbleiben:
k −→ k + 1 ,
0 7−→ 0 ,
1 7−→ 0 ,
2 7−→ 1 ,
3 7−→ 2, 3 .
164
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Im einzelnen gelten die folgenden Übergänge an Fallunterscheidungen bei Erhöhen
der Schnittzahl k um eins:
k=0
−→ k = 1 ,
0.1
7−→ I.1,
I.1
7−→ 0,
0.2
7−→ I.2, I.4,
I.2
7−→ 1.1,
0.3
7−→ I.3, I.5, I.6;
I.3
7−→ 1.2,
I.4
7−→ 2.1, 3.1,
I.5
7−→ 2.2, 3.2,
I.6
7−→ 2.3, 3.3, 3.4;
k
−→ k + 1 ,
k=1
−→ k = 2 ,
für 1 < k < m − 1,
0 7−→ 0,
1.1, 1.2
7−→ 0,
2.1, 2.2
7−→ 1.1,
2.3
7−→ 1.2,
3.1, 3.2
7−→ 2.1, 3.1,
3.3
7−→ 2.2, 3.2,
3.4
7−→ 2.3, 3.3, 3.4;
k =m−1
−→ k = m ,
0
7−→ 0,
1.1, 1.2
7−→ 0,
2.1, 2.2
7−→ 1.1,
2.3
7−→ 1.2,
3.1, 3.2
7−→ 2.1,
3.3
7−→ 2.2,
3.4
7−→ 2.3,
k=m
−→ k = m + 1 ,
0 7−→ N.1,
1.1, 1.2
7−→ N.1,
2.1, 2.2
7−→ N.2,
2.3
7−→ N.3.
Diese Übergänge können auch in Form gerichteter Graphen dargestellt werden,
wie sie die Bilder 6.49 und 6.50 zeigen. Dabei gibt der Graph im Bild 6.49 an,
innerhalb welcher “Knoten-Ebene“ man sich für ein bestimmtes k aufzuhalten hat,
6.7. ERWARTUNGSWERT VON XIII
0.1
165
0.2
0.3
k=0
k=1
1<k<m
I.4
I.2
I.1
1.1
2.1
1.2
I.6
3.2
2.2
3.3
2.3
3.4
3.1
0
k=m
I.5
I.3
0
2.2
2.1
1.1
2.3
1.2
k = m +1
N.2
N.1
N.3
Bild 6.49: Änderung der Fallunterscheidung von k auf k + 1 als Graph (i)
während man die baumartige Struktur von oben mit den Fällen 0 beginnend bis zu
den Fällen N durchläuft.
Das Bild 6.50 spiegelt den Graphen in einer konzentrischen Struktur wider, wobei
die auf 0 bis 2.3 reduzierten Fälle für k = m hier nicht gesondert ausgezeichnet und
in denen zum Teil zusammenfallenden Fällen von 0 bis 3.4 belassen wurden.
0.2
I.4
I.2
2.1
3.1
3.2
1.1
N.2
2.2
0
I.1
N.1 N.3
0.1
I.5
3.3
1.2
2.3
I.3
3.4
I.6
0.3
Bild 6.50: Änderung der Fallunterscheidung von k auf k + 1 als Graph (ii)
Aus den dargestellten Übergängen können 26 Folgen gewonnen werden, nach
denen sich die Abfolge der Fallunterscheidungen in den pIII (α, λ, m, k) für k = 0, 1,
..., m, m + 1 gestaltet und welche somit die Reihenfolge der Fallunterscheidungen in
der Summe des Erwartungswertes festlegen. Diese Folgen sind nach dem Graphen
166
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
im Bild 6.49:
f1 : ( 0.1, I.1, 0, ..., 0, N.1) ,
f2 : ( 0.2, I.2, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f3 : ( 0.2, I.4, 2.1, 1.1, 0 ..., 0, N.1 ) ,
f4 : ( 0.2, I.4, 3.1, ..., 3.1, 2.1, 1.1, 0 ..., 0, N.1 ) ,
f5 : ( 0.2, I.4, 3.1, ..., 3.1, 2.1, N.2 ) ,
f6 : ( 0.3, I.3, 1.2, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f7 : ( 0.3, I.5, 2.2, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f8 : ( 0.3, I.5, 3.2, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f9 : ( 0.3, I.5, 3.2, 2.1, N.2 ) ,
f10 : ( 0.3, I.5, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f11 : ( 0.3, I.5, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, N.2 ) ,
f12 : ( 0.3, I.6, 2.3, 1.2, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f13 : ( 0.3, I.6, 3.3, 2.2, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f14 : ( 0.3, I.6, 3.3, 2.2, N.2 ) ,
f15 : ( 0.3, I.6, 3.3, 3.2, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f16 : ( 0.3, I.6, 3.3, 3.2, 2.1, N.2 ) ,
f17 : ( 0.3, I.6, 3.3, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f18 : ( 0.3, I.6, 3.3, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, N.2 ) ,
f19 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 2.3, 1.2, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f20 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 2.2, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f21 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 2.2, N.2 ) ,
f22 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 3.2, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f23 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 3.2, 2.1, N.2 ) ,
f24 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f25 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, N.2 ) ,
f26 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 2.3, N.3 ) .
Die auftretenden Fortsetzungspunkte bedeuten eine Folge der selbstbezüglichen
Fälle 0, 3.1, bzw. 3.4, wobei insgesamt genau m + 1 Glieder in der Folge enthalten
sein müssen, so dass nicht beliebig lange Sequenzen der Fälle 0, 3.1 und 3.4 auftreten
können.
6.7. ERWARTUNGSWERT VON XIII
167
Für die Folge f24 z.B. ergeben sich mögliche Sequenzen der Art
f24 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 3.3, 3.2, 3.1, ..., 3.1, 2.1, 1.1, 0, ..., 0, N.1 ) ,
k :
0,
1,
2, ..., i, i + 1, i + 2, i + 3, ... j, j + 1, j + 2, ...
mit der Bedingung 1 < i < m − 4 und i + 2 < j < m − 2, so dass mindestens einmal
der Fall 3.4 und 3.1 auftritt.
Mit jeder dieser 26 Folgen kann die Summe (6.60) berechnet werden, wobei die
darin vorkommenden pIII gerade nach den Fallunterscheidungen in der jeweiligen
Folge ausgewählt werden, so dass es maximal 26 verschiedene Ausdrücke für den
Erwartungswert geben kann, in denen ggf. auch die “Sequenzparameter“ i und j
auftreten.
Das erstaunliche nun ist, dass sich in all diesen möglichen Summen derselbe
Wert einstellt, d.h. im Erwartungswert spiegeln sich die der α-λ-Ebene unterlagerten
Fallunterscheidungen gar nicht wider! Wir haben folgenden
Satz 6.7.1. Mit den geometrischen Wahrscheinlichkeiten nach den Sätzen 6.4.1,
6.5.2 und 6.6.1 im Zufallsexperiment III gilt:
E(XIII )(α, λ, m) =
1
m
1
m
+1
.
+
+λ
π
α
2
Der Beweis kann mit dem folgenden Hilfssatz geführt werden und besteht in der
konsequenten Addition der Summanden im Erwartungswert (6.60) nach den möglichen 26 Folgen an auftretenden Fallunterscheidungen, wobei für die “Sequenzen“
gerade die unten stehenden Ausdrücke verwendet werden können. Dies und den Beweis des Hilfssatzes führen wir im Anhang C unter Einsatz von Mathematica durch.
Lemma 6.7.2. Mit den nach Satz 6.5.2 angegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten der Fälle 3.1 und 3.4 gilt für i, j ∈ N, 1 < i < j < m:
γ
−1
j
X
kp3.1
III (α, λ, m, k) =
k=i
γ
−1
j
X
k=i
kp3.4
III (α, λ, m, k) =
λ
m
³¡
¢¡
¢
1 + (1 + m)α j(j + 1) − i(i − 1)
¡
¢´
−α j(j + 1)(2j + 1) − i(i − 1)(2i − 1)
¢
¡
¢
¡
i−1
Φ
−
(i
−
1)
1
−
Φi
+ i 1 − (i−1)−1
i−1
m
m
¡
¢
¡
¢
− (j + 1) 1 − j−1
Φj + j 1 − mj Φj+1 ,
m
¢
j(j + 1) − i(i − 1)
¡
¢
¡
¢
+ i 1 − (i−1)−1
Ψi−1 − (i − 1) 1 − i−1
Ψi
m
m
¡
¢
¡
¢
− (j + 1) 1 − j−1
Ψj + j 1 − mj Ψj+1 .
m
λ
m
¡
168
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
6.8
Diskussion und Vergleich
In dem letzten Abschnitt des Kapitels sollen die hier gewonnenen Ergebnisse wieder
mit den zuvor bestimmten Resultaten verglichen werden, die als Sonderfall in der
Funktion pIII enthalten sind. Wird nämlich die Strecke H mittels
l −→ ∞
zur Geraden G, so ist dies wegen
α −→ 0
als Grenzfall in den Funktionen für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten des Zufallsexperiments III abbildbar. Natürlich darf α = 0 in pIII (α, λ, m, k) nur in den
Fällen eingesetzt werden, die an der Ordinate in den α-λ-Diagrammen grenzen.
Dies sind die Fälle:
0.3
für k = 0,
I.6
für k = 1,
3.4
für 1 < k < m + 1,
N.3
für k = m + 1 = n.
Wird also in den Sätzen 6.3.1, 6.4.1, 6.5.2 und 6.6.1 jeweils in den oben aufgeführten
Fällen
α → 0 : γ = ( m1 + λ)−1 , Φκ = 1 , Ψκ = wκ
gesetzt, so erhalten wir mit
pIII (0, λ, m, 0) =
pIII (0, λ, m, 1) =
pIII (0, λ, m, k) =
1
m
¢
1 ¡
w1 − 1 ,
+λ
1
m
1 ¡ 2λ
+1+
+λ m
1
m
1 ¡2
λ + (1 −
+λ m
(6.62)
1
m
−2(1 −
pIII (α, λ, m, n) =
1
m
¢
1 ¡1
w −λ .
m m
+λ
− 2w1 + (1 −
1
)w2
m
¢
,
(6.63)
(k−1)−1
)wk−1
m
k−1
)wk
m
+ (1 −
k
)wk+1
m
¢
,
(6.64)
(6.65)
die Ergebnisse aus dem letzten Kapitel für das Testobjekt der Geraden bei endlich
vielen Gitterstrecken – vgl. die Beziehungen (6.62) mit (5.19), (6.64) mit (5.20),
sowie (6.65) mit (5.21).
6.8. DISKUSSION UND VERGLEICH
169
Auch untereinander können wir die Ergebnisse dieses Kapitels vergleichen. Zunächst erhalten wir, wie angekündigt, die Beziehungen pIII (α, λ, m, 1) des Falls k = 1
aus denen des allgemeinen Falls 1 < k < m + 1, indem dort pIII (α, λ, m, k → 1)
betrachtet wird. Allerdings gilt es die unten aufgelistete Entsprechung zu beachten,
weil es 0 Schnitte im Fall k = 1 nicht gibt und die Kurve l = (k − 1)lk−1 nach Bild
6.28 im übertragenen Sinne die Abszisse des Diagramms im Bild 6.24, oberer Teil,
ist. Es gilt also:
• das Pendant von I.1 ist 1.2, k → 1 in Beziehung (6.46) = Beziehung (6.22),
• das Pendant von I.2 ist 2.2, k → 1 in Beziehung (6.48) = Beziehung (6.23),
• das Pendant von I.3 ist 2.3, k → 1 in Beziehung (6.49) = Beziehung (6.24),
• das Pendant von I.4 ist 3.2, k → 1 in Beziehung (6.51) = Beziehung (6.25),
• das Pendant von I.5 ist 3.3, k → 1 in Beziehung (6.52) = Beziehung (6.26),
• das Pendant von I.6 ist 3.4, k → 1 in Beziehung (6.53) = Beziehung (6.27).
l = k lk = l 1
l
Ö1 + 4 l 2
l = (k +1) lk + 1
= 2 l2
I.5
I.5
I.4
0
a
2a
I.2
I.6
I.6
I.4
l
0
1/2
1
8
I.2
I.3
I.3
l
a
I.1
l = (k - 1) lk - 1 = 0
I.1
l
l
Ö 1 + l2
8
Diese Entsprechungen verdeutlicht das Bild 6.51, vgl. auch die Bilder 6.24 und 6.28.
Zudem gilt, dass es die Fälle 0, 1.1, 2.1 und 3.1 als Pendant in der Betrachtung
eines Schnittes, k = 1, nicht gibt. Sie sind neu und treten erst ab k ≥ 2 auf!
a
Bild 6.51: Die Fälle I in der Entsprechung der Fälle 1.2, 2.2, 2.3, 3.2, 3.3 und 3.4
Die Schnittbetrachtungen von k = 0 und k = m + 1 bleiben in der Herleitung
der geltenden Beziehungen pIII (α, λ, m, 0) und pIII (α, λ, m, m + 1) Sonderfälle, die
nicht aus den Funktionen pIII (α, λ, m, k) für 1 ≤ k ≤ m durch Ausweitung der
Ränder zu gewinnen sind, weil andere Annahmen getroffen wurden, diese Randfälle
k = 0 und k = m + 1 zu behandeln. Im Falle keines Schnittes, k = 0, gibt es
keine Bewegungsmuster 1 und 2, sondern nur “eine wirksame“ Zelle. Der Fall k =
m + 1 kennt keine Bewegungsmodi 2 und 3. Die Grenzverläufe in den l-λ- bzw.
α-λ-Diagrammen lassen sich dennoch mit denen des allgemeinen Falls vergleichen.
170
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
l = k lk = 0
a
l
Ö 1 + l2
0.2
0.3
0.3
l
a
l
l = (k - 1) lk - 1 = ml m
0
0.2
1
a
8
(k +1) lk + 1
= l1
0
0.1
l
0.1
l
8
Ähnlich zum vorigen Bild 6.51 veranschaulicht das Bild 6.52 diese Analogien, vgl.
auch die Bilder 6.8 und 6.42 mit 6.28.
l
l
Ö1 + m 2 l2
N.3
N.1
N.1
N.3
N.2
N.2
0
ma
l
0
1/m
a
Bild 6.52: Die Fälle 0 und N in den Grenzverläufen des Falls 1 < k < m + 1
Abschließend in diesem Kapitel bereiten wir das hier gewonnene Material und
die Erkenntnisse graphisch auf. Neu im Vergleich zu den beiden vorangegangenen
Kapiteln ist zunächst die begrenzte Länge des Testobjekts. Daher verschaffen wir
uns als erstes einen Einblick in die Funktion (α, λ) 7→ pIII (α, λ, m, k) bei festem m
und k. Das Bild 6.53 zeigt die Fläche pIII (·, ·, 5, 2). Wegen 1 < k = 2 < m + 1 = 6
setzt sie sich aus Flächenstücken der zehn Fälle 0, 1.1, ..., 3.4 zusammen – man
kann sie sich über die in Bild 6.29 gezeigte Parameterebene aufgespannt vorstellen.
Für den konkreten Fall k = 2 ist diese Parameterebene darunter im Bild 6.54 noch
einmal dargestellt. Zwei Schnitte durch diese Ebene bei λ = 0,1 und λ = 0,8 zeigen
die Bilder 6.55 und 6.56. Dabei versucht der untere Bildausschnitt zu illustrieren,
wie sich die Kurve im oberen Teil aus den einzelnen Fällen zusammensetzt. Der Lauf
durch die dabei berücksichtigten Fälle kann dem Bild 6.54 entnommen werden, in
dem die Schnitte bei λ = 0,1 und λ = 0,8 durch strichpunktierte Linien eingetragen
sind.
6.8. DISKUSSION UND VERGLEICH
171
λ
0.75
0.5
1
0.25
0.4
0.3
0.2
0
0.25
p
0.1
0.5
0.75
1
α
0
Bild 6.53: pIII (α, λ, m, k) mit m = 5, k = 2
λ
1
1.2
2.3
0.8
0.6
3.4
2.2
3.3
0.4
0.2
0
1.1
3.2
2.1
3.1
0.2
0.333
0.5
0.75
1
1.1
α
Bild 6.54: Fallunterscheidungen für k = 2 im α-λ-Diagramm
Dabei wechseln sich bei λ = 0,1 die Fälle 3.4, 3.3, 3.2 und 3.1 zunächst in
rascher Folge ab. Die Fälle 2.3, 2.2 und 1.2 treten hier nicht auf.
Der Graph für λ = 0,8 durchläuft die Fälle 3.4, 3.3, 2.3, 2.2, 1.2, 1.1 und 0 –
dagegen treten die Fälle 3.1, 3.2 und 2.1 nicht auf.
Die Tabellen 6.9 und 6.10 über den Kurven zeigen die numerischen Werte der
Intervallanfänge und -enden der einzelnen Fälle an.
172
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Tabelle 6.9: Intervalle bei λ = 0,1; m = 5, k = 2
3.4
0
3.3
3.2
λ
1+(k+1)2 λ2
√
109
109
√ λ
1+k2 λ2
√
26
52
0,09578
0,09806
√
3.1
√
λ
1+(k−1)2 λ2
√
101
101
0,09950
2.1
1.1
1
k+1
1
k
1
k−1
1
3
1
2
1
0,33333
0,5
1
p
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
α
-0.1
p
0.5
0.4
2.1
0.3
3.4
3.2
0.2 3.1
3.3
1.1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
α
-0.1
Bild 6.55: pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1; m = 5; k = 2
0
∞
6.8. DISKUSSION UND VERGLEICH
173
Tabelle 6.10: Intervalle bei λ = 0,8; m = 5, k = 2
3.4
0
3.3
√
λ
1+(k+1)2 λ2
2.3
1
k+1
√
4
13
1
3
0,30769
0,33333
2.2
λ
1+k2 λ2
√
4 89
89
0,42400
1.2
1
k
1.1
√
1
2
0,5
λ
1+(k−1)2 λ2
√
4 41
41
0
1
k−1
0,62470
p
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
0.6
0.8
1
1.2
α
1.2
α
-0.1
p
0.5
0.4
0.3
0.2
3.4
0.1
2.2
2.3
1.1
3.3
0.2
0.4
0
1
1.2
-0.1
Bild 6.56: pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,8; m = 5; k = 2
1
1
∞
174
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Interessant ist es auch, sich Schnitte bei verschiedenen Werten von m anzuschauen. Das Bild 6.57 zeigt Schnitte im Falle von λ = 0,1. Bei m = 1 durchläuft der
Graph die Fälle N des Abschnittes 6.6, weil k = 2 = m+1 gilt. Die übrigen Graphen
von m = 2, ..., 10 und m = 100 sind alle in den Fällen nach Seite 172 enthalten –
was ihr ähnliches Aussehen erklärt.
0.4
0.3
10
1
p
100
pf
2
2
0.2
10
0.1
αf
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
α
Bild 6.57: pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1; k = 2 und m = 1, 2, ..., 10, 100
Bemerkenswert ist der fixe Punkt (αf , pf = pIII (αf , 0,1, m, 2)), durch den alle
Graphen verlaufen. Er liegt im Intervall von Fall 2.1 und lautet hier mit λ = 0,1:
( αf , pf ) = ( 0,350672 , 0,292652 )
– die Werte wurden numerisch gefunden (sechs Stellen gerundet). Dass es einen
solchen Punkt gibt, erkennt man leicht aus der mit m
durchmultiplizierten Form
m
von pIII nach (6.47), Satz 6.5.2. Dann nämlich kann man die Gleichung
pf = pIII (αf , λ = const., m, k = const.)
leicht in die bzgl. m affine Form h + b · m = c bringen, wobei die Koeffizienten h, b
und c von αf und pf abhängen: h = h(αf , pf ), b = b(αf , pf ) und c = c(αf , pf ). Über
die Bedingung
µ
¶
b=0
h=c
entsteht ein nichtlineares Gleichungssystem in αf und pf , das numerisch gelöst werden kann. (Dass auch der Graph für m = 1 des Falles N.2 durch diesen Punkt geht,
ist eine Besonderheit von m = 1, k = 2.)
Abschließend wollen wir die Verteilung von XIII betrachten, d.h. Verläufe von
pIII über k. Neu ist dabei, dass diese Verläufe sowohl über λ aufgetragen werden
können – und wieder mit den vorangegangenen Kapiteln verglichen werden können
und sollen –, als auch über den “Längenparameter“ α.
6.8. DISKUSSION UND VERGLEICH
175
Die Bilder 6.58 und 6.59 zeigen zunächst die Verteilung mit α als Parameter. Die
nun als Dichtefunktionen zu interpretierenden Schnitte bei konstantem α fallen auf
Null ab, wenn kein Treffen von Testobjekt und Gitter infolge zu hoher Werte in k
zu erwarten ist.
0.6
1
p 0.4
0.8
0.2
0.6
0
0
α
0.4
2
k
0.2
4
60
Bild 6.58: pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1 und m = 5; α = 0, ..., 1, k = 0, ..., 6
0.3
p 0.2
0.3
0.1
0
0
0.2
α
5
0.1
10
k
15
20
0
Bild 6.59: pIII (α, λ, m, k) mit λ = 0,1 und m = 20; α = 0, ..., 0,35, k = 0, ..., 21
Vergleichbar mit den Ergebnissen aus den beiden Kapiteln 5 und 4 sind wieder
die Verläufe mit λ als Parameter. Das Bild 6.60 zeigt analog zu den Flächen in den
Bildern 4.12 und 5.10 auf den Seiten 76 und 100 die Dichtefunktionen von XIII .
Starke Ähnlichkeit besteht zum Verlauf für XII , vgl. Bild 5.10.
176
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
10
8
6
λ
4
2
k
4
2
6
0.5
0.4
p 0.3
0.2
0.1
0
0
1
0.8
0.6
0.4
λ
2
k
0.2
4
60
Bild 6.60: Dichtefunktionen von XIII für m = 5, α = 0,06 über k und λ geplottet – unten:
λ von 0 bis 1, oben: λ von 1 bis 10
Um den Vergleich zu erleichtern (und zu verstärken) wurde mit α = 0,06 ein relativ langes Testobjekt ausgewählt. Bei zunehmender Gitterkonstante λ unterscheiden
sich die Verläufe auch kaum noch, vgl. untere Bildausschnitte in 5.10 und 6.60. Ein
deutlicher Unterschied tritt dagegen bei sehr kleinem λ, bzw. λ = 0 zu Tage: Im
Abschnitt 5.4 diskutierten wir den Unterschied an dieser Stelle zwischen den Zufallsvariablen XI und XII , hier nun zeigt sich, dass XIII die Aspekte dieser beiden
Zufallsvariablen vereint. Es gibt wieder einen “Peak“ bei k = m + 1, der aber nicht
mehr so ausgeprägt ist wie bei XII und im Falle λ = 0 auch nicht mehr bis p = 1
reicht. Dafür fallen die Wahrscheinlichkeiten für Schnitte mit k = 0, 1, ..., m nicht
mehr bis auf Null ab, weil für das Testobjekt endlicher Länge immer die Chance
besteht, weniger Gitterstrecken zu treffen – das war bei XII mit der Geraden als
Testobjekt nicht mehr möglich, wenn λ → 0, also in ein unbegrenztes Parallelgitter
überging.
6.9. ENTROPIE DES ZE III
6.9
177
Entropie des ZE III
In Anknüpfung an den Abschnitt 3.5 diskutieren wir hier noch kurz die Entropiefunktion H für das Zufallsexperiment III. Gemäß der grundlegenden Beziehung
(3.10) haben wir nun folgende Funktion mit drei Argumenten:
HIII (α, λ, m) := −
m+1
X
pIII (α, λ, m, k) · ldpIII (α, λ, m, k) .
(6.66)
k=0
Im Bild 6.61 sind zunächst die Graphen von HIII (α, λ, m) mit m = 1 und 5 zu sehen,
d.h. diesmal die Zahl der Zellen im einzelnen Diagramm konstant lassend.
λ
0.8
0.6
0.4
0.2
3
2
H
0.2
1
0.4
α
0.6
0
0.8
λ
0.8
0.6
0.4
0.2
3
2
H
0.2
1
0.4
α
0.6
0
0.8
Bild 6.61: Entropie HIII (α, λ, m), oben: m = 1, unten: m = 5
Die Paare (α, λ) für verschiedene m, in denen HIII (·, ·, m) sein Maximum max Hm
annimmt, zeigt das folgende Diagramm im linken Bildteil, rechts ist das Verhältnis
w := max Hm /Ĥm über m aufgetragen, Ĥm nach (3.11) – es ist zu erkennen, dass
der Grad der Unbestimmtheit mit zunehmender Zahl von Elementarzellen wächst.
178
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
0.7
λ
1
m=1
w
0.98
0.6
0.96
0.5
0.94
0.4
0.92
0.3
2
0.2
3
0.1
20 1512
... 5
4α
0.9
0.88
0.86
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
m
12
4 6
8 10 12
15
20
Bild 6.62: Entropie HIII : Ortspunkte (m, λ) der Maxima und Grad w
Die durch die Zahlenwerte für m gekennzeichneten Punkte im linken Bildteil sind
übrigens nicht diejenigen aus Bild 6.45 in Abschnitt 6.7 auf Seite 162 mit der größten
Varianz, die hier, im Bild 6.62, mittels gestricheltem Kurvenzug verbunden sind. Bis
auf die Anzahl m = 1 an Zellen ist zu erkennen, dass eine höhere Ungewissheit bei
kürzeren Nadeln angenommen wird als dies für eine maximierte Varianz der Fall ist.
Dabei bleibt die Nadel aber für alle untersuchten Zellenzahlen so lang, dass sie sich
stets gemäß des Hauptfalls 3 zum Gitter verhält und es ihr somit möglich bleibt,
alle Gitterstrecken zu treffen, vgl. auch die Angaben unten und das Bild 6.63.
Dass insgesamt eher lange Nadeln für die Maxima verantwortlich sind, machen
bereits die Bilder 6.58 für m = 5 und 6.59 für m = 20 deutlich: denn bei kleinen
Werten für den Parameter α nimmt die Tendenz zur Gleichverteilung ebenso zu,
wie die für eine ansteigende Varianz. Wobei die Bilder 6.64 und 6.65 in besonderer
Weise veranschaulichen, dass die Werte in α in der Regel bei einer ungefähr gleichverteilten Zufallsvariable XIII größer als die für eine maximale Varianz sind. Gemäß
des Ergebnisses aus Diagramm 6.62 gilt
m=5
: Maximum für HIII
: (α5,1 , λ5,1 ) = (0,0945287 , 0,0583073) ,
Maximum für V XIII : (α5,2 , λ5,2 ) = (0,0314258 , 0,0812314) ,
m = 20 : Maximum für HIII
: (α20,1 , λ20,1 ) = (0,0367175 , 0,000805354) ,
Maximum für V XIII : (α20,2 , λ20,2 ) = (0,00821103 , 0,0204216) .
max HIII
C5,1
H 5,2
max VX III
C5,2
H 5,1
Bild 6.63: Beispiele für die Gitter und Nadeln mit m = 5 und α5,1;2 , λ5,1;2
6.9. ENTROPIE DES ZE III
179
0.5
p
0.3
0.1
6
0
0.05
4
k
α
0.1
2
0
0.15
0.5
p
0.3
0.1
6
0
0.05
4
k
0.1
2
0
α
0.15
Bild 6.64: pIII über α und k für m = 5: links λ5,1 und rechts λ5,2
0.5
p
0.3
0.1
20
0
15
k
0.02
10
0.04
5
α
0 0.06
0.5
p
0.3
0.1
20
0
15
k
0.02
10
0.04
5
α
0 0.06
Bild 6.65: pIII über α und k für m = 20: links λ20,1 und rechts λ20,2
180
KAPITEL 6. ZUFALLSEXPERIMENT III
Das Bild 6.67 zeigt Kurven konstanter Entropie (Isentropen) gemäß der Fläche
im Diagramm 6.66. Dadurch wird noch einmal deutlich, dass für bestimmte Entropiewerte bei “festem Gitter“ zwei Nadellängen und umgekehrt existieren, um die
entsprechende Entropie im Zufallsexperiment III zu halten.
λ
0.6
0.4
0.2
0.1
2.5
0.6
0.5
0.4
2
H
0.3
0.2
1.5
α
0.1
1
Bild 6.66: Entropie HIII , m = 5
λ 2,62
0.2
2,64
2,66
0.15
2,4
2,67
2,68
2,6
0.1
2,69
2,6
0.05
2,4
2,2
α
0
0
0.05
0.1
0.15
Bild 6.67: Höhenlinienplot der Entropie HIII , m = 5
Kapitel 7
Die Zufallsexperimente IV, V, VI
7.1
Zufallsexperiment IV
Dieses Zufallsexperiment ergibt sich aus dem des letzten Kapitels für m → ∞,
vgl. Bild 10 aus der Einführung. D.h. wir erhalten wieder ein unbeschränkt hohes
Gitter wie im Zufallsexperiment I, jetzt jedoch mit endlichem Testobjekt in Form
von Nadeln. Wir diskutieren nacheinander die verschiedenen Fälle für dieses
Problem 7.1. Wie groß ist die geometrische Wahrscheinlichkeit pIV (α, λ, k) dafür,
dass eine zufällig geworfene Nadel H der Länge l = a/α, die das Innere eines Gitters
R∞
a,2r trifft, genau k seiner Gitterstrecken schneidet?
In diesem Abschnitt verwenden wir wieder die folgenden Abkürzungen mit κ ∈ N:
√
1 − κ2 α2 − κ α arccos(κ α) − κ2 αλ ln(κ α) ,
Φκ :=
√
κλ
und
Ψκ :=
1 + κ2 λ2 − κ α arctan κ1λ − κ2 αλ ln √1+κ
2 λ2
η := ( π2 α + λ)−1 .
7.1.1
Zufallsexperiment IV: Fall k = 0
Aus dem Abschnitt 6.3, Satz 6.3.1, gewinnen wir für diesen einfachen Fall, den
Grenzwert m1 → 0 bedenkend, unmittelbar das Ergebnis des folgendes Satzes.
Satz 7.1.1 (Zufallsexperiment IV, Fall k = 0). Für die in Problem 7.1 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt:
¢
¡
Fall 0.1 : pIV (α, λ, 0) = η · − 1 + π2 α + λ ,
¡
¢
Fall 0.2 : pIV (α, λ, 0) = η · − 1 + π2 α + αλ + Φ1 ,
¡
¢
Fall 0.3 : pIV (α, λ, 0) = η · − 1 + π2 α + Ψ1 .
181
(7.1)
(7.2)
(7.3)
182
7.1.2
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
Zufallsexperiment IV: Fall k = 1
Analog zum letzten Abschnitt wird der Fall k = 1 aus dem Abschnitt 6.4 wieder über
1
→ 0 gewonnen. Aus dem Satz 6.4.1 erhalten wir unmittelbar folgendes Resultat:
m
Satz 7.1.2 (Zufallsexperiment IV, Fall k = 1). Für die in Problem 7.1 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gelten folgende Beziehungen:
Fall I.1 :
7.1.3
pIV (α, λ, 1) = η ,
Fall I.2 :
pIV (α, λ, 1) =
Fall I.3 :
pIV (α, λ, 1) =
Fall I.4 :
pIV (α, λ, 1) =
Fall I.5 :
pIV (α, λ, 1) =
Fall I.6 :
pIV (α, λ, 1) =
¡
¢
η · 1 + 2λ − 2αλ − 2Φ1 ,
¡
¢
η · 1 + 2λ − 2Ψ1 ,
¡
¢
η · 1 + 2αλ − 2Φ1 + Φ2 ,
¡
¢
η · 1 + 4αλ − 2Ψ1 + Φ2 ,
¡
¢
η · 1 − 2Ψ1 + Ψ2 ,
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
Zufallsexperiment IV: Fall 1 < k < ∞
Hier nun dient uns der Satz 6.5.2 aus Abschnitt 6.5 zur Vorlage für den Grenzübergang m1 → 0 , um den Fall 1 < k < ∞ zu behandeln. Wir erhalten den
Satz 7.1.3 (Zufallsexperiment IV, Fall 1 < k < ∞). Für die in Problem 7.1 beschriebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall 0
: pIV (α, λ, k) = 0 ,
(7.10)
£
¤
Fall 1.1 : pIV (α, λ, k) = η · (1 − k)λ + (1 − 2k + k 2 )αλ + Φk−1 ,
(7.11)
£
¤
Fall 1.2 : pIV (α, λ, k) = η · (1 − k)λ + Ψk−1 ,
(7.12)
£
Fall 2.1 : pIV (α, λ, k) = η · (1 + k)λ + (1 − 2k − k 2 )αλ
¤
(7.13)
+ Φk−1 − 2Φk ,
¤
£
(7.14)
Fall 2.2 : pIV (α, λ, k) = η · (1 + k)λ − 2k 2 αλ + Ψk−1 − 2Φk ,
¤
£
(7.15)
Fall 2.3 : pIV (α, λ, k) = η · (1 + k) λ + Ψk−1 − 2Ψk ,
¤
£
(7.16)
Fall 3.1 : pIV (α, λ, k) = η · 2αλ + Φk−1 − 2Φk + Φk+1 ,
¤
£
Fall 3.2 : pIV (α, λ, k) = η · (1 + 2k − k 2 )αλ + Ψk−1 − 2Φk + Φk+1 , (7.17)
¤
£
Fall 3.3 : pIV (α, λ, k) = η · (1 + 2k + k 2 )αλ + Ψk−1 − 2Ψk + Φk+1 , (7.18)
¤
£
(7.19)
Fall 3.4 : pIV (α, λ, k) = η · Ψk−1 − 2Ψk + Ψk+1 .
7.1. ZUFALLSEXPERIMENT IV
7.1.4
183
Zufallsexperiment IV: Fall k = ∞
Dieser Fall kann nur für eine Menge vom Maß Null zutreffen, wie wir nun bestätigen
wollen.
Wir greifen dazu das Ergebnis des Satzes 6.6.1 auf und stellen fest, dass für
ein “Nichtmitwachsen“ von l mit m i.a. der Fall N.1 zutrifft, für den auch nach
Zufallsexperiment III bereits p = 0 gilt.
In den Fällen N.2 und N.3 gilt zunächst ma ≤ l, bzw. ma < l, was für die
Grenzbetrachtung von m → ∞ nur im Zusammenhang von l = ma, d.h.
mα = m al = m m1 = 1
sinnvoll ist. In dem Fall reduziert sich (6.58) aus Satz 6.6.1 im Abschnitt 6.6 zu
£
¡
¢¤
pIII (α = m1 , λ, m, m + 1) = γ · m1 Φm ( m1 ) + mλ m m1 − 1 = 0 ,
wobei wir wieder Φκ = Φκ (α) und Resultat (6.55) aus Abschnitt 6.5 benutzt haben.
Die Beziehung (6.59) aus Satz 6.6.1 zeigt ebenfalls das unmögliche Ereignis für diesen
Fall, wenn wir zunächst in α = 1/m den Funktionswert
√
£
¤
2 λ2
1
1
√ mλ
pIII (α = m1 , λ, m, m + 1) = γ · − λ + 1+m
−
arctan
−
λ
ln
2
2
m
m
mλ
1+m λ
betrachten und dann m → ∞ ausführen:
√
£
¤
2 λ2
1
mλ
− m1 arctan mλ
− λ ln √1+m
lim − λ + 1+m
= −λ + λ − 0 = 0 .
2 λ2
m
m→∞
Satz 7.1.4 (Zufallsexperiment IV, Fall k → ∞). Für die in Problem 7.1 beschriebene geometrische Wahrscheinlichkeit gilt
pIV (α, λ, ∞) = 0 .
Damit haben wir für alle Schnitte k = 0, 1, 2, ... die geometrischen Wahrscheinlichkeiten in diesem Zufallsexperiment berechnet und können einige Aspekte
diskutieren und graphisch aufbereiten.
Das Bild 7.1 zeigt die Funktion pIV (α, λ, k) über α und λ aufgetragen und eine
große Ähnlichkeit zum Bild 6.53 aus Zufallsexperiment III, in dem auch k = 2 gilt,
wobei dort m = 5 endlich ist. Bereits der Vergleich dieser beiden Flächen zeigt,
was Bild 7.2 noch deutlicher zum Ausdruck bringt: Die bzgl. α ausgeprägten und
erhöhten Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Nadellängen sind hier, im Zufallsexperiment IV, noch stärker ausgebildet. Nur für einen engen Bereich einer “günstigen“
Nadellänge liegen erhöhte Wahrscheinlichkeiten vor, vgl. durchgezogener Verlauf für
pIV und gestrichelter für pIII und verschiedene k im Bild 7.2. Hier macht sich deutlich
bemerkbar, dass in diesem Zufallsexperiment die Randbereiche des Gitters “fehlen“,
an denen im Zufallsexperiment III für alle Nadellängen “noch einmal“ alle Schnittzahlen k möglich sind, so dass die Wahrscheinlichkeit für einen k-fachen Schnitt
hier gleichmäßiger verteilt sind. Für k = 1 zeigt sich dieses Phänomen nicht so
ausgeprägt, vgl. den rechten Teil des Bildes 7.2.
184
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
λ
0.75
0.5
1
0.25
0.5
0.4
0.3
0
p
0.2
0.25
0.5
0.1
0.75
1
α
0
Bild 7.1: pIV (α, λ, k) mit k = 2
0.4
p
p
0.6
k= 2
0.3
0.5
0.4
0.2
3
0.3
0.2
4
0.1
5
0.2
0.1
α
0.4
0.6
1
0.8
α
0.5
1
1.5
2
2.5
Bild 7.2: pIV , pIII (gestrichelt) mit λ = 0, 1; links: k = 2, 3, 4 und 5; rechts: k = 1
0.6
1
p 0.4
0.8
0.2
0.6
0
0
0.4
α
2
k
0.2
4
60
Bild 7.3: pIV (α, λ, k) mit λ = 0,1 und α = 0, ..., 1, k = 0, ..., 6
7.1. ZUFALLSEXPERIMENT IV
185
Die Dichtefunktionen in Abhängigkeit von α nach Bild 7.3 zeigen naturgemäß
nicht das in den Bildern 5.10, bzw. 6.58 in Zufallsexperiment II, bzw. III zu sehende
Anwachsen von p für k = m + 1 und kleine α – ebenfalls eine Folge, dass es hier kein
oberes und unteres Ende des Gitters gibt. Hier treten nun wieder eher Ähnlichkeiten
zum Zufallsexperiment I zu Tage. Das verdeutlichen auch die Graphiken im Bild 7.4,
die eine große Ähnlichkeit zu der im Bild 4.13 gezeigten Dichtefunktion haben.
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
10
8
6
λ
4
2
k
4
2
6
0.5
0.4
p 0.3
0.2
0.1
0
0
1
0.8
0.6
0.4
λ
2
k
0.2
4
60
Bild 7.4: Dichtefunktionen von XIV für α = 0,06 über k und λ geplottet – unten: λ von
0 bis 1, oben: λ von 1 bis 10
186
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
7.2
Zufallsexperiment V
In dieser vorletzten Betrachtung schließt sich der Kreis von geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Nach Ausführen des Grenzüberganges r → ∞, bzw. λ → 0 sollten
wir wieder zu den Ergebnissen aus dem klassischen Buffonschen Experiment kommen. Wir formulieren dazu unser vorerst letztes wie erstes Problem:
Problem 7.2. Wie groß ist die geometrische Wahrscheinlichkeit pV (α, k) dafür,
dass eine zufällig geworfene Nadel H der Länge l = a/α genau k Gitterstrecken des
Gitters R∞
a schneidet?
7.2.1
Zufallsexperiment V: Fall k = 0
Von denen im Bild 6.8 aufgelisteten Fällen trägt 0.3 einen “Grenzcharakter“, weil
l ≥ l1 nur l → ∞ bedeuten kann und unsere Nadel zu einer Geraden entartet. Wir
sollten p = 0 erwarten, was der Grenzwert unserer letzten Ergebnisse auch zeigt,
vgl. Beziehung (7.3):
p = lim
−1 + π2 α +
√
1 + λ2 − α arctan
π
α
2
λ→0
1
λ
λ
− αλ ln √1+λ
2
+λ
= 0.
Für die beiden verbleibenden Fälle
Fall 0.1 : 0 < l < a
⇐⇒ 1 < α < ∞ ,
Fall 0.2 : a < l < ∞ ⇐⇒ 0 < α < 1
gewinnen wir aus dem Abschnitt 7.1.1 und Satz 7.1.1 für den Grenzübergang des
Parameters λ → 0 das Ergebnis:
Satz 7.2.1 (Zufallsexperiment V, Fall k = 0). Für die in Problem 7.2 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall 0.1 :
pV (α, 0) =
−1 + π2 α
2l
=1−
π
α
πa
2
(Buffon!) ,
(7.20)
Fall 0.2 :
pV (α, 0) =
−1 + π2 α +
√
1 − α2 − α arccos α
.
π
α
2
(7.21)
7.2. ZUFALLSEXPERIMENT V
187
Die Beziehung (7.21) stellt das Ergebnis für “lange Nadeln“ dar, d.h. für den
Fall l > a, wie es den Angaben im Abschnitt 6.3 entspricht. Mit α = al kann daraus
das bekannte Gesetz in a und l der Form
√
¡
−1 + π2 α + 1 − α2 − α arccos α
a ¢
pV α = , 0 =
π
α
l
2
r
2 l
a2
2 l
2
a
= −
1 − 2 − arccos
+1+
πa
πa
l
π
l
´ 2
√
2 1³
a
= 1−
l − l2 − a2 − arccos .
πa
π
l
abgeleitet werden, so dass man die geometrische Wahrscheinlichkeit für den Schnitt
einer “langen Nadel“ mit dem Gitter zu
¡a ¢
p = 1 − pV , 0
l
· ³
¸
´
√
a
2 1
2
2
l − l − a + arccos
.
=
π a
l
erhält.
7.2.2
Zufallsexperiment V: Fall k = 1
Um dieses Zufallsexperiment zunächst bzgl. seiner Fälle zu analysieren, gehen wir
zum Abschnitt 6.4 zurück. Hier liefern die über Satz 6.4.1 aufgelisteten Fallunterscheidungen nur noch drei Bereiche für l, bzw. α:
I.1
:
I.2
:
I.3
:
I.4
0
<
a ≤
l
<
a
⇔
1
< α
<
∞,
1
,0
2
< 21
< α
≤
1,
< α
<
0,
l
<
2a < l1 → ∞ ⇔
<
l
<
2a
⇔0
:
2a ≤
l
<
l1 → ∞
⇔
0
< α
≤
1
2
I.5
:
l1 → ∞, 2a ≤
l
<
2l2 → ∞
⇔
0
< α
≤
0,
I.6
:
l
<
∞
⇔
0
< α
<
0.
l1 → ∞
2a < 2l2 → ∞
<
,
1
2
,
Es ist zu erkennen, dass I.3 und I.5 für λ = 0 zu widersprüchlichen Fallbeschreibungen werden, die also in diesem Zufallsexperiment auszusortieren sind –
dies resultiert letztlich aus l1 , l2 → ∞, d.h. auch die Diagonalen gehen über alle
Grenzen und sind für eine Fallunterscheidung nicht mehr sinnvoll einsetzbar. Wir
gelangen dann zu drei Fällen, die wir mit dem Präfix V.I kennzeichnen, um an den
Fall k = 1 mit der I zu erinnern und mit der V an die in diesem stochastischen
Experiment notwendig gewordene Einschränkung hinzuweisen.
188
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
Dabei liefert Fall I.1 den Fall V.I.1, der Fall I.2 den Fall V.I.2 und der Fall I.4
schließlich den Fall V.I.3:
V.I.1
:
0
<
l
< a
V.I.2
:
a ≤
l
<
V.I.3
: 2a ≤
l
<
⇐⇒
1 <
α
<
∞,
2a ⇐⇒
1
2
<
α
≤
1,
∞ ⇐⇒
0 <
α
≤
1
2
.
Die Fälle I.3 und I.5 fallen wie gesagt aus dem Schema des Szenarios V. Der
noch konsistent zu interpretierende Fall I.6 mit l → ∞, bzw. α = 0 ergibt nach
Beziehung (6.27) tatsächlich p = 0, d.h. der Schnitt einer Geraden mit genau einer
Gitterstrebe wird – wie erwartet – zum unmöglichen Ereignis.
Für die anderen drei Fälle liefern dann nach dem oben gesagten die Beziehungen
(6.22), (6.23) und (6.25) die folgenden Funktionen.
Satz 7.2.2 (Zufallsexperiment V, Fall k = 1). Für die in Problem 7.2 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall V.I.1 :
pV (α, 1) =
1
π
α
2
=
2 l
πa
(Buffon!) ,
(7.22)
Fall V.I.2 :
· µ
¶
¸
√
¡ ¢
2 1
pV (α, 1) =
1 − 2 1 − α2 + 2 arccos α ,
π α
(7.23)
Fall V.I.3 :
¶
¸
· µ
p
√
¡ ¢
¡ ¢
2 1
2
2
pV (α, 1) =
1−2 1 − α + 1 − (2α) +2 arccos α −2 arccos 2α .
π α
(7.24)
7.2.3
Zufallsexperiment V: Fall 1 < k < ∞
Analog zu unseren Überlegungen bzgl. der Fallunterscheidungen im vorigen Abschnitt, schrumpft auch diesmal wieder für λ → 0 die Anzahl der Fälle zusammen.
Von den zehn Unterteilungen 0, 1.1, ..., 3.4 des allgemeinen Zufallsexperiments III
nach Abschnitt 6.5 verbleiben die folgenden vier Fälle, deren Bezeichnungen wir
wieder die römische V voranstellen:
7.2. ZUFALLSEXPERIMENT V
0
189
< α <
∞,
⇐⇒
1
k
< α ≤
1
k−1
(k + 1)a
⇐⇒
1
k+1
< α ≤
1
k
∞
⇐⇒
nach Fall 0
:
V.1
nach Fall 1.1
: (k − 1)a ≤ l <
ka
V.2
nach Fall 2.1
:
V.3
nach Fall 3.1
:
ka
< l <
1
k−1
V.0
≤ l <
(k + 1)a ≤ l <
(k − 1)a ⇐⇒
,
1
k+1
0 < α ≤
,
.
Die Unterscheidungen nach 1.2, 2.2, 2.3 und 3.2, 3.3, 3.4 entfallen also. Allenfalls ließe sich aus 3.4 noch der konsistente Fall l → ∞ ⇔ α = 0 gewinnen, für den
dann die Beziehung p = pIII (α, 0, m → ∞, k) nach (6.53) den Wert p = 0 ergibt.
Für die oben festgehaltenen vier Fälle liefern dann als Pendant die Fälle 0,
1.1, 2.1 und 3.1 nach den Beziehungen (6.44), (6.45), (6.47) und (6.50) nach Satz
6.5.2 oder auch die Beziehungen (7.10), (7.11), (7.13) und (7.16) nach Satz 7.1.3 die
folgenden Funktionen.
Satz 7.2.3 (Zufallsexperiment V, Fall 1 < k < ∞). Für die in Problem 7.2 beschriebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall V.0 :
pV (α, k) = 0 ,
(7.25)
Fall V.1 :
·
¸
¡
¢
2 1p
pV (α, k) =
1 − (k − 1)2 α2 −(k−1) arccos (k−1)α ,
π α
(7.26)
Fall V.2 :
2
pV (α, k) =
π
·
µ
¶
√
1 p
2
2
2
2
1 − (k − 1) α − 2 1 − k α
α
µ
¡
¢
¡
− (k − 1) arccos (k − 1)α − 2k arccos kα
¶¸
¢
,
(7.27)
Fall V.3 :
2
pV (α, k) =
π
·
µ
¶
p
√
1 p
1 − (k − 1)2 α2 − 2 1 − k 2 α2 + 1 − (k + 1)2 α2
α
µ
¶¸
¡
¢
¡ ¢
¡
¢
− (k − 1) arccos (k − 1)α − 2k arccos kα + (k + 1) arccos (k + 1)α
.
(7.28)
190
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
Für dieses Ergebnis findet man auch in der Literatur einige Hinweise. Wir vergleichen dazu die Sätze 7.2.1, 7.2.2 und 7.2.3 mit den in [4], S. 27f, Punkt 1.1.10,
angegebenen Ergebnissen von Diaconis, vgl. auch direkt [36], für die lange Nadel.
Zunächst halten wir folgende Abkürzung fest, wieder auf die in Definition 2.2.6
eingeführten Winkel zurückgreifend:
δk :=
2
2k
sin θ̂k −
θ̂k .
πα
π
(7.29)
Aufgrund der Definition 2.2.6 und der Beziehung
q
sin θ̂k =
1 − cos2 θ̂k2 =
√
1 − k 2 α2
bemerken wir nun, dass sich mit (7.29) die Wahrscheinlichkeiten für den Fall 0.2 im
Satz 7.2.1 zu
Fall 0.2 :
21
2 1√
2
+1+
1 − α2 − arccos α
πα
πα
π
21
21
2
= 1−
+
sin θ̂1 − θ̂1
πα πα
π
21
= 1−
+ δ1
πα
pV (α, 0) = −
(7.30)
und für die Fälle V.I.3 im Satz 7.2.2, bzw. V.1, V.2 und V.3 im Satz 7.2.3 zu
1
Fall V.1 :
pV (α, k) = δk−1 ,
(7.31)
Fall V.2 :
pV (α, k) = δk−1 − 2 δk ,
(7.32)
pV (α, k) = δk−1 − 2 δk + δk+1
(7.33)
Fall V.3, V.I.3 :
schreiben lassen.
1
Dabei ist θ̂0 ergänzend zur Definition 2.2.6 so festzulegen, dass in Beziehung (7.33) der Fall
V.I.3: k = 1 als Sonderfall enthalten ist. Offensichtlich erfüllt einmal mehr θ0 := π2 diesen Anspruch
in sinnvoller Fortsetzung für ν = 0 in Definition 2.2.6.
7.2. ZUFALLSEXPERIMENT V
191
Außerdem führen wir folgende Größen und Beziehungen ein:
β :=
l
1
= , bβc := größter ganzzahliger Anteil in β , ω := bβc + 1 .
a
α
Für bβc ≥ 2 gelten dann für die Schnitte k = 0, 1, 2, ..., ω, ω + 1 die folgenden Fälle
und Beziehungen nach den oben notierten Funktionswerten (7.30), (7.31), (7.32)
und (7.33):
k = 1 : Fall V.I.3 :
2β
+ δ1 ,
π
p1 = δ0 − 2δ1 + δ2 ,
k = 2 : Fall V.3
..
.
:
pk = δk−1 − 2δk + δk+1 ,
..
.
k = ω − 2 : Fall V.3 :
pk = δk−1 − 2δk + δk+1 ,
k = ω − 1 : Fall V.2 :
pk = δk−1 − 2δk = δω−2 − 2δω−1 ,
k = 0 : Fall 0.2
:
k = ω : Fall V.1 :
k = ω + 1 : Fall V.3 :
p0 = 1 −
pk = δk−1 = δω−1 ,
pk = 0 ,
was den Angaben in [4] entspricht.
7.2.4
Zufallsexperiment V: Fall k = ∞
Wie im vorigen Abschnitt kann auch dieser Grenzfall nur für eine Menge vom Maß
Null zutreffen – und dann auch wieder nur, wenn die Nadel zur Geraden wird:
l → ∞. Für endlich lange Nadeln wird bei genügend großem k stets der Fall V.0
des obigen Unterabschnittes zutreffen, so dass dann stets p = 0 gilt.
Für eine Gerade, d.h l → ∞, folgt α → 0 und wir erhalten mit
p
p
√
1 − (k − 1)2 α2 − 2 1 − k 2 α2 + 1 − (k + 1)2 α2
lim
=0
α→0
α
als Grenzwert nach Fall V.3, Beziehung (7.28), dafür ebenfalls das unmögliche Ereignis:
·
µ
¶¸
2
p=
0 − (k − 1) · 1 − 2k · 1 + (k + 1) · 1
= 0.
π
Satz 7.2.4 (Zufallsexperiment V, Fall k → ∞). Für die in Problem 7.2 beschriebene
geometrische Wahrscheinlichkeit gilt
pV (α, ∞) = 0 .
192
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
3
2
α
2
1
4
k
6
8
10 0
Bild 7.5: Dichtefunktionen von XV über α geplottet
Auch dieser Abschnitt soll mit einer Graphik beendet werden: Das Bild 7.5 zeigt
in Abhängigkeit des einzig verbleibenden Parameters α die Dichtefunktionen der
Zufallsvariablen XV und liefert uns damit einen vollständigen Überblick über das
klassische Buffon-Experiment für beliebige Nadellängen und eine beliebige Anzahl
von Schnitten – als einen der vielen Spezialfälle des Zufallsexperiments III. Dabei ist
zu erkennen, wie für zunehmendes α, d.h. abnehmende Nadellänge, nach und nach
die Schnittereignisse k > 1 zu unmöglichen Ereignissen werden, bis schließlich ab
α > 2 nur noch p0 , p1 > 0 verbleiben.
7.3
Zufallsexperiment VI
Als Nachtrag behandeln wir hier noch das im Bild 11 aus der Einführung dargestellte
Zufallsexperiment VI: Im Gitter Rna = Cam , n = m + 1, das aus dem im Abschnitt
m
2.1 definierte Gitter Ca,d
mit d → ∞ entsteht, kommen Testobjekte in Form von
Strecken zu liegen – der Nadelwurf auf ein Gitter endlich vieler paralleler Geraden.
Problem 7.3. Wie groß ist die geometrische Wahrscheinlichkeit pVI (α, m, k) dafür,
dass eine zufällig geworfene Nadel H der Länge l = a/α genau k der insgesamt n
Gitterstrecken des Gitters Rna schneidet?
Wir behandeln dieses Problem in Rückgriff auf die in Abschnitt 6.5 gewonnenen
Ergebnisse für das Zufallsexperiment III und betrachten wie im vorigen Abschnitt
den Grenzübergang d = 2r → ∞, d.h. λ → 0. Der Fall VI ist nur die Kombination
aus den Resultaten des Falls III und den Überlegungen zum Fall V. Denn die im
folgenden aufgelisteten Resultate sind aus den Beziehungen (6.6) bis (6.8), (6.22) bis
(6.27), (6.44) bis (6.53), sowie (6.57) bis (6.59) vor dem Hintergrund der im letzten
Abschnitt reduzierten Fallunterscheidungen bzgl. l, bzw. α gewonnen.
7.3. ZUFALLSEXPERIMENT VI
7.3.1
193
Zufallsexperiment VI: Fall k = 0
Die drei Fälle 0.1, 0.2 und 0.3 des Abschnittes 6.3 verringern sich wie im Pendant
zu dieser Untersuchung, dem Abschnitt 7.2.1, wegen l1 → ∞ wieder auf die beiden
Unterscheidungen:
Fall 0.1 : 0 < l < a
⇐⇒ 1 < α < ∞ und
Fall 0.2 : a ≤ l < ∞ ⇐⇒ 0 < α ≤ 1 .
Der Fall 0.3 mit a < l1 → ∞ < l bedeutet das Anwachsen von H zu einer Geraden.
Hierfür liefert die Beziehung (6.8) mit λ → 0 unter Berücksichtigung von
lim arctan
λ→0
1
π
=
λ
2
das zu erwartende Ergebnis
−1 + π2 α + 1 − α ·
1
+ π2 α
m
p = pIII (α, λ = 0, m, 0) =
π
2
= 0.
Für die obigen Fälle erhalten wir aus Satz 6.3.1 mit λ = 0 die folgenden Aussagen:
Satz 7.3.1 (Zufallsexperiment VI, Fall k = 0). Für die in Problem 7.3 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall 0.1 :
−1 + π2 α
pVI (α, m, 0) = 1
,
+ π2 α
m
Fall 0.2 :
pVI (α, m, 0) =
7.3.2
−1 + π2 α +
(7.34)
√
1 − α2 − α arccos α
.
1
π
+
α
m
2
(7.35)
Zufallsexperiment VI: Fall k = 1
Wie im Abschnitt 7.2.2 analysiert, basiert dieser Fall auf die folgenden auch hier
geltenden Unterscheidungen
VI.I.1
:
0
<
l
<
a
⇐⇒
1
< α
<
∞,
VI.I.2
:
a
≤ l
<
2a ⇐⇒
1
2
< α
≤
1,
VI.I.3
: 2a
≤ l
<
∞ ⇐⇒
0
< α
≤
1
2
,
wobei wir den Präfix auf VI erhöht haben. Da wieder die Fälle I.3 und I.5 aus dem
Schema fallen, liefern die Beziehungen (6.22), (6.23) und (6.25) des Szenarios III
unter Berücksichtigung von λ → 0 die folgenden Funktionen.
194
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
Satz 7.3.2 (Zufallsexperiment VI, Fall k = 1). Für die in Problem 7.3 beschriebenen
geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall VI.I.1 :
1
+1
m
1
+ π2 α
m
pVI (α, m, 1) =
,
(7.36)
Fall VI.I.2 :
1+
pVI (α, m, 1) =
1
m
√
− 2 1 − α2 + 2α arccos α
,
1
+ π2 α
m
(7.37)
Fall VI.I.3 :
pVI (α, m, 1) =
1
m
h
1
1+
+ π2 α
1
m
√
¡
− 2 1 − α2 + 1 −
¡
+ 2α arccos α − 2 1 −
7.3.3
1
m
¢
1
m
¢p
1 − (2α)2
i
α arccos(2α) .
(7.38)
Zufallsexperiment VI: Fall 1 < k < m + 1
Analog zu unseren Überlegungen bzgl. der Fallunterscheidungen im Abschnitt 7.2.3,
bilden wieder die vier Unterscheidungen
⇐⇒
1
k−1
1
k
1
k+1
< α ≤
⇐⇒
0
< α ≤
VI.0
nach Fall 0
:
0
< l <
(k − 1)a ⇐⇒
VI.1
nach Fall 1.1
: (k − 1)a
≤ l <
ka
⇐⇒
VI.2
nach Fall 2.1
:
ka
≤ l <
(k + 1)a
VI.3
nach Fall 3.1
:
(k + 1)a
≤ l <
∞
< α <
∞,
< α ≤
1
k−1
1
,
k
1
k+1
,
die Basis der aus dem Satz 6.5.2 und den Beziehungen (6.44), (6.45), (6.47) und
(6.50) mit λ → 0 abgeleiteten Aussagen:
Satz 7.3.3 (Zufallsexperiment VI, Fall 1 < k < m + 1). Für die in Problem 7.3
beschriebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Fall VI.0 :
pVI (α, m, k) = 0 ,
(7.39)
Fall VI.1 :
1
·
+ π2 α
¡
¢¡p
¡
¢¢
1 − (k−1)−1
1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)α arccos (k − 1)α ,
m
pVI (α, m, k) =
1
m
(7.40)
7.3. ZUFALLSEXPERIMENT VI
195
Fall VI.2 :
pVI (α, m, k) =
h¡
1−
1
m
1
·
+ π2 α
p
¡
¢¢
1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)α arccos (k − 1)α
(k−1)−1 ¢¡
m
¡
−2 1 −
k−1
m
¢¡√
1−
k 2 α2
¢i
− kα arccos(kα) ,
(7.41)
Fall VI.3 :
pVI (α, m, k) =
h¡
1−
1
m
(k−1)−1
m
1
·
+ π2 α
¢¡p
¡
−2 1 −
¡
+ 1−
k
m
¡
¢¢
1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)α arccos (k − 1)α
k−1
m
¢¡√
¢
1 − k 2 α2 − kα arccos(kα)
¢¡p
¡
¢¢i
2
2
1 − (k + 1) α − (k + 1)α arccos (k + 1)α
.
(7.42)
Wie im Abschnitt 7.2.3 entfallen also die Unterscheidungen nach 1.2, 2.2, 2.3
und 3.2, 3.3, 3.4. Nur in 3.4 ließe sich noch der konsistente Fall l → ∞ ⇔ α = 0
interpretieren, für den dann die Beziehung p = pIII (α = 0, λ = 0, m, k) nach (6.53)
den Wert p = 0 liefert.
7.3.4
Zufallsexperiment VI: Fall k = m + 1
Von den Fallunterscheidungen nach Abschnitt 6.6 bleiben wegen lm → ∞ und λ = 0
die beiden
1
m
N.1 :
0 < l < ma < ∞ ⇐⇒
< α < ∞ und
N.2 :
0 < ma ≤ l < ∞ ⇐⇒ 0 < α ≤
1
m
übrig. Der Fall N.3 kann als l → ∞, bzw. α = 0 aufgefasst werden, wofür die
Beziehung (6.59) das bekannte Ergebnis
p = pIII (α = 0, λ = 0, m, m + 1) =
1 ¡1
1
m
m
−0
¢
= 1
liefert. Die beiden oben aufgelisteten Fälle ergeben mit λ = 0 nach Satz 6.6.1 die
folgenden Wahrscheinlichkeiten:
196
KAPITEL 7. DIE ZUFALLSEXPERIMENTE IV, V, VI
Satz 7.3.4 (Zufallsexperiment VI, Fall k = m+1). Für die in Problem 7.3 beschriebene geometrische Wahrscheinlichkeit gilt
Fall N.1 :
pVI (α, m, m + 1) = 0 ,
(7.43)
Fall N.2 :
pVI (α, m, m + 1) =
1
m
¡√
¢
1 − m2 α2 − mα arccos(mα)
.
1
+ π2 α
m
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
(7.44)
1
0.8
0.6
0.4
α
2
k
0.2
4
60
Bild 7.6: Dichtefunktionen von XVI über α geplottet, m = 5
Bei einer endlichen Anzahl von Gitterstrecken wird wieder das bei k = m + 1
und kleine α in Bild 7.6 gezeigt Phänomen deutlich, dass die geometrische Wahrscheinlichkeit für dieses Schnittereignis deutlich ansteigt und hier sogar p → 1 wird.
Was sich also in den Zufallsexperimenten I, IV und V für α → 0 über alle Schnitte
k ∈ N verteilt, akkumuliert sich in den Zufallsexperimenten II, III mit endlich vielen
Gitterstrecken und wird hier im stochastischen Experiment VI mit dem Gitter aus
endlich vielen Gittergeraden sogar zum sicheren Ereignis.
Teil III
Ein rechnergestütztes
Zufallsexperiment
197
Kapitel 8
Elemente und Ergebnisse des
rechnergestützten
Zufallsexperiments
Für das Zufallsexperiment III von Strecken als Testelemente auf einem endlichen
Gitter soll in diesem Teil noch ein rechnergestütztes Zufallsexperiment, also eine
Simulation nach der Monte-Carlo-Methode durchgeführt werden.
Vom Standpunkt unserer analytisch abgeleiteten und bereits vorliegenden Ergebnisse des letzten Teils aus gesehen mag dieses Experiment unnötig erscheinen. Um
ein Problem der stochastischen Geometrie als Ganzes zu beleuchten, bietet es aber
interessante Einblicke, mit welcher Methodik die Fragestellung auch angegangen
werden kann und dann eher dem Gebiet der experimentellen Mathematik zuzuordnen ist. Kurz: Dieser Teil, das Problem durch eine Simulation zu lösen, weist ganz
andere Muster und Überlegungen auf. Zudem macht es einen nicht unerheblichen
und spannenden Teil der Forschung aus, verschiedene Gebiete in einer Arbeit zu
vereinen und aus verschiedenen Perspektiven zu untersuchen und zu verstehen.
8.1
Durchführung
Das Bild 8.1 zeigt die Elemente des im folgenden ausgeführten rechnergestützten
Zufallsexperiments. Danach werden Strecken der Länge l 1 durch ihren Mittelpunkt
M = (xM , yM ) und den Fallwinkel ψ gekennzeichnet.
Der Mittelpunkt und der Fallwinkel der Nadeln sind gleichverteilte Zufallsvariablen. Für den Winkel soll der Wertebereich zwischen Null und einem Vollwinkel
liegen – wir arbeiten also hier bewusst nicht mit dem Intervall [0, π] oder die Symmetrie ausschöpfend mit [0, π/2] der letzten Kapitel, sondern wollen das Experiment
ganz neu und unabhängig von unseren bisher angestellten Überlegungen angehen,
um eine möglichst unabhängige Arbeitssituation zu schaffen.
1
In der im folgenden benutzten Schreibmaschinenschrift (Courier) für den Quellcode der Simulation, verwenden wir das Symbol L als Länge der Nadel, um Verwechslungen zwischen l und 1 zu
vermeiden.
199
200
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
y
Dx
y
ma
H1
H4
l
y
C
yM
H2
x0
M
H3
H
Dy
-r
0
r
x
0
xM
x
y0
Bild 8.1: Konfiguration des rechnergestützten Zufallsexperiments
Auf welchem Bereich der Mittelpunkt und damit die Nadel als solche zufällig
platziert werden soll, ist weniger klar. Tatsächlich kann es nicht das Innere K des
Gitters C selbst sein! Denn dann wären Nadeln wie H1 , vgl. linker Teil im Bild 8.1,
die doch ausdrücklich zugelassen sind, gar nicht in der Simulation enthalten. Wir
würden dann nur Nadeln wie H2 und H3 erhalten, was keine adäquate Darstellung
unseres Problems ist.
Wir lassen daher für die Bereiche möglicher Mittelpunkte ein gößeres “Fenster“
mit der Breite ∆x > 2r und der Höhe ∆y > ma zu, um auch Nadeln wie H1
erzeugen zu können. Natürlich ergeben sich damit auch unter Umständen Strecken
wie H4 , die nicht zu werten sind. Damit diese in nicht zu hoher Zahl entstehen und
die Simulation ineffizient machen, sollte der Streifen um K nicht zu groß gemacht
werden. Wir wählen ihn hier auf jeder Seite von K zu l/2 aus.
Danach ergibt sich folgende Konfiguration unserer Simulation, wobei die Ri ,
i = 1, 2, 3, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen seien: Gegeben sei ein Gitter
m
C = Ca,2r
, auf das Nadeln, d.h. Strecken mit dem Mittelpunkt M = (xM , yM ) und
dem Fallwinkel ψ nach Bild 8.1 zufällig zu liegen kommen, d.h. es gilt:
xM = R1 · ∆x + x0 , yM = R2 · ∆y + y0 , ψ = R3 · 2π ,
mit
x0 = −r − l/2 , y0 = −l/2 ,
∆x = r + l/2 − x0 = 2r + l , ∆y = ma + l/2 − y0 = ma + l .
Es werden dabei in einem Durchgang nI Nadeln auf das Fenster
[x0 , x0 + ∆x] × [y0 , y0 + ∆y]
platziert und die absoluten Häufigkeiten Hk aller Nadeln mit H∩K sortiert nach den
Schnittzahlen k = 0, 1, 2, ..., m, m + 1 mit den Gitterstrecken GS von C aufaddiert.
8.2. PROGRAMME ...
201
Bei nH < nI Treffern, d.h. Nadeln im Fenster, die das Innere des Gitters C treffen,
ergibt sich dann die experimentell ermittelte geometrische Wahrscheinlichkeit für
das Problem 6.1 des Zufallsexperiments III als relative Häufigkeit zu
pk,j =
Hk
nH
im j-ten Durchgang.
Außerdem sollen die so ermitteltenPWahrscheinlichkeiten pk,j noch über nA DurchA
pk,j .
gänge gemittelt werden: p̄k = n1A · nj=1
8.2
Programme ...
Nach den Vorgaben des im Abschnitt 8.1 beschriebenen rechnergestützten Experiments, kann nun die Umsetzung in Form einer Simulation erfolgen. Dabei überlegen
wir uns zunächst noch unabhängig von der Implementierung in einer bestimmten
Hochsprache, welche Bausteine wir für den Algorithmus benötigen. Danach ist bereitzustellen:
• Der zufällige Wurf einer Nadel H.
• Die Bestimmung, ob H ∩ K =
6 ∅ ist.
• Das Aufzählen der Anzahl der Schnitte von H und C.
• Das Festhalten der relativen Häufigkeiten der Schnittzahlen und
• die Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeiten daraus,
• gemittelt über mehrere Durchläufe.
Mathematica zeichnet sich unter anderem dadurch aus, dass es sehr bequem
möglich ist, Pseudocode (= intuitive Beschreibung eines Algorithmus’ noch losgelöst
von einer Hochsprache oder anderen Codierungen) umzusetzen und daneben noch
graphische Elemente zu berücksichtigen – eine hervorragende Werkstatt für den Test
von Ideen! Daher soll die Umsetzung der oben aufgelisteten Punkte zunächst und
prototypisch in Mathematica entwickelt werden.
Geht es um die reine Verarbeitung von Zahlenwerten, so gibt es natürlich Formen
(Laufzeitprogramme und Executeables), die den Code schneller abarbeiten. Da wir
hier letztendlich mit hohen Anzahl von Nadelwürfen und Durchgängen arbeiten
möchten, übertragen wir den Prototypen des nächsten Abschnittes aus der Mathematica-Werkstatt in die Sprache C innerhalb einer Entwicklungsumgebung von
C++.
8.2.1
... in Mathematica
Das Bild 8.2 veranschaulicht den grundsätzlichen Ablauf unserer Simulation. Zunächst
wählen wir die Parameter aus:
202
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
• m = m: Anzahl der Gitterzellen.
• a = a: Abstand der Gitterstrecken (GS).
• r = r: Radius der GS.
• l
= L: Länge der Nadeln.
H3
q = 0
sk = 0
q = 1
sk = 0
q = 2
sk = 1
q = 3
sk = 2
q = 4
sk = 2
q = 5
sk = 2
H2
Test
H1
H2
HaufK > 0
kein Test
Test
Bild 8.2: Algorithmus für die Simulation von Zufallsexperiment III
Das Fenster [x0 , x0 + ∆x] × [y0 , y0 + ∆y] ergibt sich daraus nach dem letzten
Abschnitt. Danach werden nacheinander Nadeln H = H auf das so definierte Fenster
platziert, d.h. der Mittelpunkt
xM = Random[] * ∆x + x0; yM = Random[] * ∆y + y0;
und der Fallwinkel
Ψ
= Random[]*2π;
werden aus der in Mathematica vorliegenden auf [0, 1] gleichverteilten ZV
Random[]
gewonnen. Die Nadel H wird in der Form ihres Anfangs- und Endpunktes
xA = xM − L2*Cos[Ψ]; yA = yM − L2*Sin[Ψ];
xE = xM + L2*Cos[Ψ]; yE = yM + L2*Sin[Ψ];
PA = {xA, yA}; PE = {xE, yE};
H = {PA, PE};
gespeichert, wobei L2 := L/2. Dann wird geprüft, ob für die Nadel H = H die
Aussage H ∩ K 6= ∅ zuftrifft.
Hier benötigen wir zum ersten mal ein Unterprogramm, das den Schnitt zweier
Strecken detektiert – das ist eine typische Aufgabenstellung aus der algorithmischen
Geometrie, die in [49] behandelt und hier übernommen wird, wir kommen darauf
am Ende dieses Abschnittes zurück. Vorläufig setzen wir dazu einfach das Modul
8.2. PROGRAMME ...
203
intersect[G, H] ein, das eine 1 für den Fall liefert, wenn die beiden Strecken G
und H – abgespeichert in ihrer Anfangs-Endpunkteform – sich schneiden, andernfalls
gibt intersect eine 0 zurück.
Wir beantworten die Frage danach, ob H das Innere des Gitters trifft zweiteilig.
Zunächst prüfen wir, ob H einen Schnitt mit einer der Grenzlinien der Berandung
von K aufweist, die wir GSoben, GSunten, GSlinks und GSrechts nennen; das ist
bereits hinreichend für einen “Treffer“, d.h. der Bejahung der Frage nach einem
gemeinsamen Punkt von K und H: dann wird das Merkmal HaufK = 1 gesetzt,
andernfalls bleibt es Null. Dieses Kriterium ist aber nicht notwendig, denn die Nadel
kann auch in das Innere fallen, d.h. H ⊂ K, ohne die Grenze von K zu berühren
bzw. zu schneiden. In diesem Fall wird geprüft, ob der Mittelpunkt der Nadel M in
K liegt:
Abs[xM] ≤ r && yM ≥ 0 && yM ≤ m*a .
Ist das zutreffend, wird ebenfalls das Merkmal HaufK = 1 gesetzt. Das Bild 8.2
zeigt drei Beispiele von hiernach verschieden platzierten Nadeln: H1 erfüllt das erste
Kriterium, denn es schneidet GSunten und GSrechts, die Nadel H2 schneidet die
Umrandung von K nicht, fällt jedoch ganz in das Innere des Gitters, denn es gilt
|xM,2 | ≤ r und 0 ≤ yM,2 ≤ ma, schließlich ergibt H3 keinen Treffer, weder trifft die
Nadel die Berandung, noch liegt xM,3 zwischen −r und r.
Ist nach diesen beiden Prüfbedingungen HaufK > 0 erfüllt, setzen wir den Zähler
der Treffer nH um eins nach oben und gehen zum eigentlich Test über und zählen
die Anzahl der Schnitte von H mit den GS des Gitters auf. Dazu durchlaufen wir in
einer Schleife alle GS = GS und prüfen wieder, ob ein Schnitt dieser beiden Stecken
H und GS vorliegt, vgl. Bild 8.2. Der Fall eines k-fachen Schnittes wird in einem Feld
absHfk mit m+2 Plätzen gespeichert und aufaddiert, so dass hierin am Ende der inneren Schleife die absoluten Häufigkeiten gespeichert vorliegen. Die approximierten
geometrischen Wahrscheinlichkeiten für die k-fachen Schnitte ergeben sich dann aus
der Division dieses Feldes durch die hochaddierten Treffer in nH als relative Häufigkeiten. Über eine äußere Schleife werden diese dann noch in mehreren Durchgängen
gemittelt.
(Anm.: Abweichend zur Darstellung im Bild 8.2 wird also immer nur eine Nadel zufällig
in das Fenster platziert, geprüft, ob es das Innere des Gitters trifft und wenn ja, die
Schnittzahl festgestellt, erst dann kommt es zum Wurf der nächsten Nadel usw.)
Nachfolgend ist nun in drei Blöcken der so in Mathematica zusammengesetzte
Algorithmus zu lesen: zunächst die Parameter des Gitters und Testobjekts im Input
In[1], dann die Fenstermaße in der Eingabe In[6] und schließlich die oben geschilderte Prozedur unter Input In[10]. – Achtung: wichtig ist, dass zuvor noch die am
Ende dieses Abschnittes erläuterten Module ccw und intersect definiert werden!
Wir haben dabei 500 Nadeln in der inneren Schleife auf das Fenster platziert
und über 20 Durchgänge in der äußeren Schleifen gemittelt. Output Out[15] zeigt
die Anzahl der Treffer in diesen 20 Durchgängen an: rund 72 % der Nadeln treffen
das Gitter. Im Output Out[16] wird dann das Feld pMittel aufgelistet mit den
gemittelten relativen Häufigkeiten.
204
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
In[1]:= a = 2; r = 4; L = 5; m = 6;
λ = a/(2 r) // N; α = a/L // N;
GSunten
= {{−r, 0}
, { r, 0}};
GSoben
= {{−r, m*a}, { r, m*a}};
GSlinks
= {{−r, 0}
, {−r, m*a}};
GSrechts = {{ r, 0}
, { r, m*a}};
Print[StringForm["λ = ‘1‘, α = ‘2‘", λ , α]]
λ = 0.25, α = 0.4
In[6]:= L2 = L/2;
∆x = 2r + L; ∆y = m a + L; x0 = −(r + L2); y0 = −L2;
In[10]:= nA = 20;
pMittel = {};
absHfk
= {};
Treffer = {};
For[i = 1, i ≤ m + 2, i++,
pMittel = Append[pMittel, 0];
absHfk
= Append[absHfk,
0]];
For[j = 1, j ≤ nA, j++,
nI = 500;
nH = 0;
absHfk = 0*absHfk;
For[i = 1, i ≤ nI, i++,
Ψ
= Random[]*2π;
xM = Random[]*∆x + x0; yM = Random[]*∆y + y0;
xA = xM − L2*Cos[Ψ]; yA = yM − L2*Sin[Ψ];
xE = xM + L2*Cos[Ψ]; yE = yM + L2*Sin[Ψ];
PA = {xA, yA}; PE = {xE, yE}; H = {PA, PE};
HaufK = 0;
HaufK = HaufK + intersect[GSunten,
H];
HaufK = HaufK + intersect[GSoben,
H];
HaufK = HaufK + intersect[GSlinks,
H];
HaufK = HaufK + intersect[GSrechts, H];
If[HaufK == 0,
If[Abs[xM] ≤ r && yM ≥ 0 && yM ≤ m*a, HaufK = 1]];
If[HaufK > 0,
nH = nH + 1;
sk = 0;
For[q = 0, q <= m, q++,
GS = {{−r, q*a}, {r, q*a}};
sk = sk + intersect[GS, H];];
absHfk[[sk+1]] = absHfk[[sk+1]] + 1];
];
8.2. PROGRAMME ...
205
Treffer = Append[Treffer, nH];
pMittel = pMittel + absHfk/nH // N;
];
Treffer
pMittel/nA
Out[15]= { 348, 360, 366, 365, 365, 355, 359, 368, 373, 358,
337, 356, 358, 356, 359, 344, 370, 360, 352, 368 }
Out[16]= { 0.252775, 0.412056, 0.272224, 0.0629454, 0., 0., 0., 0. }
Dabei enthält die in Out[16] gezeigte Liste pMittel als ersten Eintrag die relative Häufigkeit aller Treffer für keinen Schnitt mit dem Gitter, dann die für einen
Schnitt, zwei Schnitte usw. bis hin zu sieben Schnitten. Aufgrund der Länge der
Nadeln sind dabei mehr als drei Schnitte nicht möglich.
Ein Vergleich mit den in Kapitel 6 berechneten geometrischen Wahrscheinlichkeiten
pIII (α, λ, m, 0) = 0,261 nach Fall 3.3 ,
(8.1)
pIII (α, λ, m, 1) = 0,421 nach Fall 3.2 ,
pIII (α, λ, m, 2) = 0,259 nach Fall 2.1 ,
pIII (α, λ, m, 3) = 0,059 nach Fall 1.1 ,
pIII (α, λ, m, k) = 0
nach Fall 0 für k ≥ 4 ,
mit α = 0,4; λ = 0,25 und m = 6 zeigt ein recht ordentliches Resultat, das bei rund
360 Nadeltreffern über 20 Durchgänge natürlich nicht überragend gut ist. Wir werden im nächsten Abschnitt mit kompilierten Quellcode in C mit 100000 Nadelwürfen
in 1000 Durchgängen arbeiten.
Bevor wir dies tun, möchten wir aber noch zwei graphische Ergebnisse zeigen,
um die Mathematica leicht bereichert werden kann. Dazu werden die Mittelpunkte
und die Nadeln in die Graphikelemente Point und Line umgewandelt:
PM = {xM, yM};
PG = Graphics[{PointSize[0.023], Point[PM]}]; PP = Append[PP, PG];
PA = {xA, yA}; PE = {xE, yE};
H
= {PA, PE};
HG = Graphics[{Thickness[0.0035], Line[H]}]; HH = Append[HH, HG];
Zusammen mit dem ähnlich erzeugten Gitter und seinen ebenfalls als Graphikelemente umgesetzten linken und rechten Grenzlinien Grenzex1 und Grenzex2,
können die in Bild 8.3 gezeigten Abbildungen dann über
AR = (m*a + 2L)/(2(r + L));
Show[Gitter, PP, HH, Graphics[Dashing[{0.025, 0.018}]], Grenzex1, Grenzex2,
PlotRange → {{−r − L, r + L}, {−L, m*a + L}}, AspectRatio → AR];
206
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
Bild 8.3: Zwei Durchgänge mit je 12 Nadeln
erstellt werden. Das Bild 8.3 zeigt übrigens links 11 Treffer und rechts 10 an und
soll noch kurz von Hand ausgewertet werden – ein solches Experiment könnte also
in diesem Rahmen durchaus auch rechnerungestützt durchgeführt werden:
Durchgang 1
Durchgang 2
Häufigkeiten
Häufigkeiten
absolut
relativ
absolut
relativ
Mittel
Treffer
11
10
k : 0
2
0,182
3
0,300
0,241
1
5
0,455
5
0,500
0,477
2
3
0,273
2
0,200
0,236
3
1
0,091
0
0
0,045
Immerhin – das ist für 21 Treffer verglichen mit (8.1) kein übermäßig schlechtes
Ergebnis.
Abschließend jetzt noch der Quellcode für die Detektion eines Schnittes zweier
Strecken nach der Beschreibung in [49]. Im rechten Teil des Bildes 8.4 sind einige
Fälle gezeigt, die es zu berücksichtigen gilt: Schnittpunkt in den Strecken, Endbzw. Anfangspunkt der einen liegt auf der anderen Strecke (das wird hier bzw. in
[49] als Schnitt gewertet – was aber belanglos ist, da es wieder eine Menge von
verschwindendem Maß ergibt) und die Fälle mit keinem Schnittpunkt, aber einmal
so, dass sich die Geraden durch die Strecken außerhalb dieser und einmal innerhalb
der einen schneiden – eine große Vielfalt.
Das Problem wird hier jedoch nicht so direkt angegangen, indem der Schnittpunkt der durch die Strecken definierten Geraden ermittelt und dann geprüft wird,
ob dieser auch in die Strecken fällt.
8.2. PROGRAMME ...
A
207
C
D
B
Bild 8.4: Punkte und Strecken
Vielmehr werden in einer Vorroutine ccw drei Punkte daraufhin untersucht, ob
sie gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) durchlaufen werden, wenn wir
uns vom ersten zum zweiten und dann zum dritten bewegen. Für die Punkte A, B
und C im Bild 8.4, links, ist das beispielsweise der Fall, für die Punkte A, B und D
hingegen nicht.
Den in [49] angegebenen Code übersetzten wir in Mathematica, wobei die Punkte
als Listen der Form {x, y} ihrer kartesischen Koordinaten der Ebene abgespeichert
sind. Es gilt dann:
ccw[Punkt0 , Punkt1 , Punkt2 ] := Module[{dx1, dx2, dy1, dy2},
dx1 = Punkt1[[1]] − Punkt0[[1]]; dy1 = Punkt1[[2]] − Punkt0[[2]];
dx2 = Punkt2[[1]] − Punkt0[[1]]; dy2 = Punkt2[[2]] − Punkt0[[2]];
If[dx1*dy2 > dy1*dx2, 1,
If[dx1*dy2 < dy1*dx2, −1,
If[dx1*dy2 == dy1*dx2,
If[dx1*dx2 < 0 || dy1*dy2 < 0, −1,
If[dx1*dx1 + dy1*dy1 ≥ dx2*dx2 + dy2*dy2, 0, 1]], 0]]]]
Aus dem Code kann abgelesen werden, dass per Multiplikation die Steigung der
Geraden durch die Punkte Punkt0 und Punkt1, sowie Punkt0 und Punkt2 verglichen
wird. Die dreiwertige Funktion liefert eine 1, wenn die Punkte mathematisch positiv
und eine -1, wenn sie im Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Der Wert 0 ergibt sich,
wenn der Punkt2 auf der Strecke von Punkt0 nach Punkt1 liegt. Für die anderen
kollinearen Fälle stellt sich ein: 1 für Punkt1 zwischen Punkt0 und Punkt2, -1 für
Punkt0 zwischen Punkt1 und Punkt2.
Damit kann nun sehr bequem der Schnittpunkt zweier Strecken festgestellt werden – hier wieder die Umsetzung des Codes aus [49] in Mathematica:
intersect[Linie1 , Linie2 ] := Module[{Pkt11, Pkt12, Pkt21, Pkt22},
Pkt11 = Linie1[[1]]; Pkt12 = Linie1[[2]];
Pkt21 = Linie2[[1]]; Pkt22 = Linie2[[2]];
If[ccw[Pkt11, Pkt12, Pkt21]*ccw[Pkt11, Pkt12, Pkt22] ≤ 0 &&
ccw[Pkt21, Pkt22, Pkt11]*ccw[Pkt21, Pkt22, Pkt12] ≤ 0, 1, 0]]
Die Strecken werden dabei in der Form einer Liste
Linie = { Punkt1, Punkt2 }
208
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
aus Punkten – also einer Liste von Listen – der Funktion intersect übergeben.
Danach werden die Endpunkte der einen Strecke geprüft, ob sie auf “verschiedenen
Seiten“ der anderen Strecke liegen und umgekehrt. Die Funktion gibt im Falle eines
Schnittpunktes den Wert 1 zurück, andernfalls den Wert 0.
8.2.2
... und in C
Die Implementierung in C folgt den Ideen aus den vorangehenden Abschnitten. Der
Code ist weniger kompakt als der in Mathematica, weil hier alle Größen zu deklarieren
sind, listenartige Strukturen nicht so bequem unterstützt werden und die Ausgabe
(auf File) über gesonderte Befehle laufen – in Mathematica genügt die Angabe der
Variable ohne abschließendes Semikolon.
Hier zunächst die Listings der beiden Funktionen ccw und intersect, die hier
in Form von Unterprogrammen mit den Namen pkt orient und str schnitt umgesetzt wurden.
void str schnitt (long double Linie1[][2], long double Linie2[][2],
int *schnitt)
{
void pkt orient (long double Punkt0[],
long double Punkt1[],
long double Punkt2[],
int *drehsinn);
long double Punkt11[2], Punkt12[2], Punkt21[2], Punkt22[2];
int seite L1 P21, seite L1 P22, seite L2 P11, seite L2 P12;
Punkt11[0]=Linie1[0][0];
Punkt12[0]=Linie1[1][0];
Punkt21[0]=Linie2[0][0];
Punkt22[0]=Linie2[1][0];
pkt
pkt
pkt
pkt
Punkt11[1]=Linie1[0][1];
Punkt12[1]=Linie1[1][1];
Punkt21[1]=Linie2[0][1];
Punkt22[1]=Linie2[1][1];
orient(Punkt11,Punkt12,Punkt21,&seite
orient(Punkt11,Punkt12,Punkt22,&seite
orient(Punkt21,Punkt22,Punkt11,&seite
orient(Punkt21,Punkt22,Punkt12,&seite
if ((seite L1 P21*seite L1 P22) <= 0 &&
(seite L2 P11*seite L2 P12) <= 0)
*schnitt = 1;
else
*schnitt = 0;
}
void pkt orient (long double Punkt0[],
long double Punkt1[],
long double Punkt2[],
int *drehsinn)
{
L1
L1
L2
L2
P21);
P22);
P11);
P12);
8.2. PROGRAMME ...
209
long double dx1,dx2,dy1,dy2;
dx1 = Punkt1[0] − Punkt0[0]; dx2 = Punkt2[0] − Punkt0[0];
dy1 = Punkt1[1] − Punkt0[1]; dy2 = Punkt2[1] − Punkt0[1];
if (dx1*dy2 > dy1*dx2) *drehsinn = 1;
if (dx1*dy2 < dy1*dx2) *drehsinn = −1;
if (dx1*dy2 == dy1*dx2)
if (dx1*dx2 < 0 || dy1*dy2 < 0)
*drehsinn = −1;
else
if ((dx1*dx1+dy1*dy1) >= (dx2*dx2+dy2*dy2))
*drehsinn = 0;
else
*drehsinn = 1;
}
Und schließlich listen wir noch den Quellcode mit dem Hauptprogramm auf, siehe
unten und nächste Seiten. Die Eingangsparameter stehen zwischen den gestrichelten
Trennlinien, die Ausgabe erfolgt auf das File zzahl.txt.
Ein typisches Ergebnis sieht dann so aus – dabei wurden aus α und λ bei festem
Abstand der GS von a = 1 noch Werte für r und l angegeben, damit man sich
leichter die Verhältnisse am Gitter vorstellen kann:
Nadelwurf auf endlichem Gitter
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
alpha = 0.40000000 , lambda = 0.25000000 , m = 6
a = 1.00000000 , r = 2.00000000 , L = 2.50000000
Durchgang = 1000 , Anzahl = 100000
p 0 = 0.26103861
p 1 = 0.42090084
p 2 = 0.25864365
p 3 = 0.05941689
p 4 = 0.00000000
Treffer im Mittel = 72238.10500000
Hauptprogramm:
#include "stdafx.h"
main( void )
{
void pkt orient (long double Punkt0[],long double Punkt1[],
long double Punkt2[], int *drehsinn);
void str schnitt (long double Linie1[][2], long double Linie2[][2],
int *schnitt);
// −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
const long double alpha = 0.4 ;
const long double lambda = 0.25 ;
const int
m
= 6 ;
210
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
const int Durchgang
=
1000;
const int Nadelanzahl = 100000;
// −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
int k lauf[m+2] = 0;
int n, i, j, q, HaufK, g strecke, s, Treffer;
long double Gitter unten [2][2] = {0.0}; long double Gitter oben [2][2] = {0.0};
long double Gitter links [2][2] = {0.0}; long double Gitter rechts[2][2] = {0.0};
long double Gitter strecke[2][2]= {0.0}; long double Nadel[2][2] = {0.0};
long double T ges = 0.0, p mittel[m+2] = 0.0, p[m+2];
long double a, r, L, psi, pi, L2, zz, Dx, Dy, x0, y0, xM, yM, rx, ry;
FILE *ifp; ifp = fopen ("zzahl.txt","w");
srand( (unsigned)time( NULL ) );
fprintf(ifp," \n"); fprintf(ifp,"Nadelwurf auf endlichem Gitter\n");
fprintf(ifp,"−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−\n"); fprintf(ifp," \n");
a = 1.0; r = a / (2.0*lambda); L = a / alpha; n = m + 1;
pi = 4.0 * atan(1.0); L2 = 0.5 * L;
Dx = 2.0 * (r + L2); Dy = m * a + 2.0*L2;
x0 = −(L2 + r); y0 = − L2;
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
unten[0][0]
unten[1][0]
oben[0][0]
oben[1][0]
links[0][0]
links[1][0]
rechts[0][0]
rechts[1][0]
=
=
=
=
=
=
=
=
−r;
r;
−r;
r;
−r;
−r;
r;
r;
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
Gitter
unten[0][1]
unten[1][1]
oben[0][1]
oben[1][1]
links[0][1]
links[1][1]
rechts[0][1]
rechts[1][1]
=
=
=
=
=
=
=
=
0.0;
0.0;
m*a;
m*a;
0.0;
m*a;
0.0;
m*a;
fprintf(ifp,"alpha = %12.8f , lambda = %12.8f , ", alpha, lambda);
fprintf(ifp,"m = %i \n", m); fprintf(ifp," \n");
fprintf(ifp,"a = %12.8f , r = %12.8f , L = %12.8f \n", a, r, L);
fprintf(ifp,"\n");
fprintf(ifp,"Durchgang = %i , Anzahl = %i \n", Durchgang, Nadelanzahl);
fprintf(ifp," \n");
for (j = 1; j <= Durchgang; j++)
{
for (q = 0; q <= n; q++) k lauf[q] = 0;
Treffer = 0;
for (i = 1; i <= Nadelanzahl; i++)
{
zz = rand()/32767.0; psi = 2.0*pi*zz;
zz = rand()/32767.0; xM = zz * Dx + x0;
zz = rand()/32767.0; yM = zz * Dy + y0;
8.2. PROGRAMME ...
rx = L2 * cos(psi); ry = L2 * sin(psi);
Nadel[0][0] = xM − rx; Nadel[0][1] = yM − ry;
Nadel[1][0] = xM + rx; Nadel[1][1] = yM + ry;
HaufK = 0;
str schnitt(Gitter unten, Nadel,&s); HaufK = HaufK +
str schnitt(Gitter oben, Nadel,&s); HaufK = HaufK +
str schnitt(Gitter links, Nadel,&s); HaufK = HaufK +
str schnitt(Gitter rechts,Nadel,&s); HaufK = HaufK +
if (HaufK == 0)
if (xM >= −r && xM <= r && yM >= 0 && yM <= m*a)
HaufK = 1;
211
s;
s;
s;
s;
if (HaufK > 0)
{
Treffer = Treffer + 1;
g strecke = 0;
for (q = 0; q <= m; q++)
{
Gitter strecke[0][0] = −r; Gitter strecke[0][1] = q*a;
Gitter strecke[1][0] = r; Gitter strecke[1][1] = q*a;
str schnitt(Gitter strecke,Nadel,&s);
g strecke = g strecke + s;
}
k lauf[g strecke] = k lauf[g strecke] + 1;
}
}
for (q = 0; q <= n; q++)
p mittel[q] = p mittel[q] + (long double) k lauf[q] / Treffer;
T ges = T ges + Treffer;
}
for (q = 0; q <= n; q++)
{
p[q] = p mittel[q]/Durchgang;
fprintf(ifp,"p %i = %12.8f \n", q, p[q]);
}
T ges = (long double) T ges/Durchgang;
fprintf(ifp," \n");
fprintf(ifp,"Treffer im Mittel = %12.8f \n", T ges);
fclose(ifp);
return 0;
}
212
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
8.3
Ergebnisse
Mit dem in Abschnitt 8.2.2 gezeigten Quellcode in C wurden die Ergebnisse der Fälle
nach Tabelle 8.1 berechnet. Es sind dort die Parameter, Trefferzahlen, analytisch
bestimmten geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk und die als relative Häufigkeiten
p̄k aus der Simulation gerechneten, sowie die Fallnummerierungen aufgelistet. Es gilt
für die gesamte Tabelle:
const int m = 7 ;
const int Durchgang
=
1000;
const int Nadelanzahl = 100000;
D.h. es wurden über 1000 Durchgänge die relativen Häufigkeiten aus je 100000
Nadelwürfen gemittelt, die auf ein Gitter aus 7 Zellen, d.h. 8 Gitterstrecken fielen.
Das dabei abgearbeitete Feld an Punkten aus dem α-λ-Diagramm ist in Bild 8.5
dargestellt. Der obere Teil zeigt 21 der 22 Punkte in der Übersicht – der erste Punkt
(α = 10, λ = 2) nach Tabelle 8.1 entfällt in der Darstellung –, im unteren Teil sind
exemplarisch die Raster der Fälle nach Abschnitt 6.5 für k = 2 und 7 darüber gelegt.
1
λ
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
α
1
λ
0.8
k =7
k =2
0.6
0.4
0.2
11 1
87 6
1
3
1
2
Bild 8.5: Punkte der Tabelle 8.1 im α-λ-Diagramm
1
α
8.3. ERGEBNISSE
213
Tabelle 8.1: Ergebnisse des Zufallsexperiments, pk analytisch, p̄k experimentell; Dezimalstellen abgeschnitten
pk
Fall
p̄k
Fall
k=0
Fall
1
2
pk
p̄k
3
4
5
pk
p̄k
6
pk
0,93597733
p̄k
0,93597178
pk
7
0.1
λ
parameter
a
Gitter-
r
abmes-
l
sungen
Treffer im Mittel T̄
α = 10
0,06402822
0
λ=2
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r = 0,25
pk
0
0
0
l = 0,1
p̄k
0
0
0
T̄ = 93359,953
pk
0,42008527
0
α = 1,1
p̄k
0,42012961
0,57987039
0
λ = 0,1
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 0,909090
p̄k
0
0
0
T̄ = 92528,539
pk
0,34735296
p̄k
0,34736160
0,64661626
0,00602214
λ = 0,1
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 1,052631
p̄k
0
0
0
T̄ = 91447,676
pk
0,30999603
p̄k
0,31004959
0,65572299
0,03422742
λ = 0,1
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 1,176470
p̄k
0
0
0
T̄ = 90522,935
0.2
0.2
0,57991472
0,64662993
0,65577946
I.1
Gitter-
0
0.1
0,06402266
8
α
I.1
I.2
I.2
0,00601710
0,03422449
1.1
1.1
α = 0,95
α = 0,85
214
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
pk
0,27732103
0.2
p̄k
0,27734766
0,64101552
0,08163682
λ = 0,1
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 1,333333
p̄k
0
0
0
T̄ = 89390,564
pk
0,24754429
p̄k
0,24752431
0,60068151
0,15179417
λ = 0,1
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 1,538461
p̄k
0
0
0
T̄ = 87941,633
pk
0,21986546
p̄k
0,21986706
0,52766883
0,25246411
λ = 0,1
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 1,818181
p̄k
0
0
0
T̄ = 86046,215
pk
0,19374834
p̄k
0,19377226
pk
0,02611066
p̄k
0.2
0.2
0.2
0,64106952
0,60066268
0,52768669
0,43524607
I.2
I.2
I.2
I.4
0,08160944
0,15179302
0,25244784
0,34489491
1.1
1.1
1.1
2.1
α = 0,75
α = 0,65
α = 0,55
α = 0,45
0,43531130
0,34482728
λ = 0,1
0
0
a=1
0,02608915
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 2,222222
p̄k
0
0
0
T̄ = 83431,549
pk
0,16860625
p̄k
0,16860735
pk
0,15928570
p̄k
1.1
0.2
0,38022934
I.4
0,29187870
2.1
α = 0,35
0,38019098
0,29184393
λ = 0,1
0
0
a=1
0,15935775
0
0
r=5
pk
0
0
0
l = 2,857142
p̄k
0
0
0
T̄ = 79629,167
pk
0,14329693
p̄k
0,14328003
pk
0,17516534
p̄k
0,17509658
pk
p̄k
1.1
0.2
0,33563616
I.4
0,33566934
0,22326924
3.1
α = 0,25
0,22327215
λ = 0,1
0
a=1
0,12268189
0
r=5
0
0
0
l =4
0
0
0
T̄ = 73559,679
3.1
0,12263229
2.1
8.3. ERGEBNISSE
215
pk
0,12828842
0.2
0,31147014
I.4
p̄k
0,12827005
pk
0,14942043
p̄k
0,14948197
pk
0,00278909
p̄k
0,00279090
pk
0,11094460
p̄k
0,11101538
pk
0,13967591
p̄k
0,13967459
pk
0,05812533
p̄k
0,05814435
pk
0,53807792
p̄k
0,53803650
0,41423036
0,04773314
λ = 1,0
pk
0
0
0
a=1
p̄k
0
0
0
r = 0,5
pk
0
0
0
l = 1,428571
p̄k
0
0
0
T̄ = 69738,288
pk
0,40615728
p̄k
0,40618183
pk
0,01404519
p̄k
0,31146978
3.1
1.1
0.2
0,11542450
3.1
0.3
λ = 0,1
2.1
a=1
0,08585243
r=5
0
0
l = 5,128205
0
0
T̄ = 68394,994
0,28447724
I.4
0,10423351
0,03098191
0,41418943
0,41339860
0,19220177
3.1
0,19211202
3.1
0,07857918
2.1
0,00078051
3.1
I.5
0,04773263
0,16639892
a=1
r=5
N.2
0,00077829
I.3
α = 0,14
λ = 0,1
0,07856742
0,03101063
0.3
0,08590414
α = 0,195
0,11539786
0,10430307
3.1
3.1
0,20673702
0,28439425
3.1
0,20670324
l = 7,142857
T̄ = 60751,6
1.2
2.2
α = 0,7
α = 0,45
0,41346312
0,16631982
λ = 0,6
0
0
a=1
0,01403523
0
0
r = 0,833333
pk
0
0
0
l = 2,222222
p̄k
0
0
0
T̄ = 66709,398
pk
0,27225312
p̄k
0,27232263
pk
0,07329502
p̄k
0,07329022
pk
0,01196839
p̄k
0,01199448
pk
0,22102514
p̄k
0,22106914
pk
0,09187389
p̄k
0,09189395
pk
0,01727597
p̄k
0,01727228
1.1
0.3
0,40998170
I.6
0,40990618
3.4
0,03618516
0,00769576
3.4
0,38644688
2.3
0,04881851
I.6
0,01128377
0,01127539
0,00198472
0,18487800
3.4
0,02804093
N.3
0,01035686
0,01035927
l = 7,692307
T̄ = 40774,633
3.4
α = 0,1
λ = 0,4
3.4
0,02807204
3.4
a=1
r=1
0,18484935
0,04883617
3.4
3.4
0,00197650
0,38637242
3.4
0,01992174
α = 0,13
λ = 0,5
0,01994926
0,00769742
0.3
3.4
0,16669347
0,03616984
3.4
0,16671435
a=1
r = 1,25
N.3
l = 10
T̄ = 36695,459
216
KAPITEL 8. ZUFALLSEXPERIMENT
pk
0,15399491
p̄k
0,15400214
pk
0,12815447
p̄k
0,12812481
pk
0,04560526
p̄k
0,04563030
pk
0,28223296
p̄k
0,28221996
pk
0,07149446
p̄k
0,07150167
pk
0,01289304
p̄k
0,01287178
pk
0,20702728
p̄k
0,20712637
pk
0,10410686
p̄k
0,10404097
pk
0,02346342
p̄k
0,02348397
pk
0,15543071
p̄k
0,15537046
pk
0,12244836
p̄k
0,12241818
pk
0,03656667
p̄k
0,03653095
pk
0,12157284
p̄k
0,12159533
pk
0,12940750
p̄k
0,12941867
pk
0,04749846
p̄k
0,04754409
pk
0,10907568
p̄k
0,10912910
pk
0,12816690
p̄k
0,12814915
pk
0,04193216
p̄k
0,04194318
0.2
0,32280289
I.4
0,32276063
3.1
0,08765033
0,00349507
3.1
1.1
0,00350163
0.3
0,41028472
I.6
0,41030695
3.4
0,03517821
0,00485868
3.4
1.2
0,00485525
0.3
0,36509139
I.6
0,36507199
3.4
0,05993529
0,01477488
3.4
2.2
0,32300501
0,32312622
3.4
0,07992188
0,02569223
3.4
0,28932070
3.2
0,09134342
I.6
0,03501258
3.4
0,28537839
3.3
0,08719556
I.6
0,02995114
0,02989689
0,01932918
3.4
3.4
a=1
0,01932495
r=1
0
l = 6,666666
0
T̄ = 44070,319
0,18881555
3.4
0,03630106
0,00048422
0,19229639
0,05338040
0,01125832
0,18724820
0,06540761
0,03318863
0,18906751
0,05994684
0,06928577
0,06924481
α = 0,14
λ = 0,3
3.4
a=1
r = 1,666666
N.2
l = 7,14285714
T̄ = 47465,313
3.4
α = 0,12
λ = 0,2
3.4
a=1
r = 2,5
N.2
l = 8,333333
T̄ = 48261.842
3.4
α = 0,1
λ = 0,15
3.4
a=1
r = 3,333333
N.3
l = 10
T̄ = 47172,909
3.4
α = 0,05
λ = 0,2
3.4
0,05990900
3.4
α = 0,15
λ = 0,5
0,18915361
0,08733313
3.4
3.4
0,03311251
0,28524113
3.4
0,16372870
0,06540716
0,03505125
0.3
T̄ = 58240,495
0,18718173
0,09126993
3.4
0
0,01124415
0,28941931
3.4
l = 6,25
0,05339431
0,02566399
0.3
0
0,19229712
0,07995462
3.3
r = 3,125
0,00048380
I.6
a=1
0,06326429
0,03632423
0,01475285
0.3
3.1
0,18884502
0,05987079
3.3
0,06322439
α = 0,16
λ = 0,16
0,16374690
0,03517253
2.3
3.1
0,19510174
0,08761448
2.1
0,19507263
a=1
r = 2,5
N.3
l = 20
T̄ = 27818,836
Teil IV
Thema mit Variationen
217
219
Vorbemerkungen
In diesen ergänzenden Kapiteln werden erste Pfade gelegt, das im Hauptteil
mit “Buffon im Wandel der Gitter“ verfolgte Motiv zu variieren und zu erweitern.
Dabei soll es mehr um eine Diskussion gehen, wie unser Blick auf die Landschaft
der stochastischen Geometrie auf Basis der bisher behandelten Zufallsexperimente
vergrößert werden kann.
Insbesondere sind bei Variation des Testobjektes und der Dimension in einigen
der folgenden Kapitel die anfänglichen Fragen nach bewegungsinvariantem Maß und
einer adäquaten Fassung der Gitter mit Hilfe bezogener Parameter erneut zu stellen.
Zunächst behandeln wir als Pendant zum Zufallsexperiment I aus Kapitel 4 den
Schnitt von Ebenen mit einem Kreis- oder Kreisscheibengitter auf einem Zylinder
im dreidimensionalen Raum. Dies kann als ein Beginn gesehen werden, stochastische Geometrie auf Mannigfaltigkeiten zu treiben. Durch das Testobjekt “Ebene“
bleibt das Testelement allerdings nicht in der Mannigfaltigkeit eingebettet, sondern
die Konfiguration hängt vielmehr von der Einbettung beider Objekte – Gitter wie
Testelement – in den sie umgebenden Raum ab.
Danach kehren wir in die Ebene zurück und betrachten den Fall eines “geschlossenen“ Gitters; variieren also das Schnittereignis unseres Themas. Dies bedeutet,
dass das Testobjekt vollständig in das Innere des Gitters zu fallen hat – womit Geraden als Testobjekte bereits durch die Fragestellung auszuschließen sind. Zwar stellt
sich wieder eine hohe Zahl an Fallunterscheidungen ein, jedoch kann eine kompakte
Formel über eine Hilfsfunktion angegeben werden, die sich mit lediglich vier Maßen
darstellen lässt.
Steigen wir bzgl. unserer Parallel-Gitter aus den ersten drei Teilen dieser Arbeit eine Dimension hinunter, so gelangen wir zu Zufallsexperimenten “auf der Linie“. Hier steht einer rigorosen Betrachtung eindimensionaler Mannigfaltigkeiten
mit eingebetteten Testobjekten keinerlei Schwierigkeiten im Wege. Es werden als
Gegenstücke die Zufallsexperimente III und dasjenige im geschlossenen Gitter behandelt. Zwar sind alle Berechnungen von sehr simpler Natur, dennoch ist es lohnend
und recht instruktiv, die Ergebnisse für diese einfachen Fälle konkret abzuleiten. –
Denn mit einer bloßen Grenzwertbetrachtung unserer Ergebnisse aus dem ebenen
Fall sind die Resultate nicht ohne weiteres zu erlangen, wie wir sehen werden!
220
Kapitel 9
Parallel-Gitter von Kreisen auf
dem Zylinder
9.1
Ein Zufallsexperiment auf einem Zylinder
Als ein Pendant zum ersten Problem aus Abschnitt 4.1 betrachten wir hier eine Erweiterung in drei Dimensionen. Dabei entspricht nach Bild 9 in der Einführung dem
Parallelgitter von Strecken nun eine vertikale äquidistante Schichtung von Kreisen
oder auch Kreisscheiben C auf einem Zylinder und dem Testobjekt der “unendlich“
langen Nadel eine Ebene E, vgl. Bild 9.1.
E
C
Bild 9.1: Gitter von Kreisen auf dem Zylinder und Schnitt mit einer Ebene
Es soll jetzt analog zum ersten Kapitel untersucht werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Ebene das Gitter aus Kreisen auf dem Zylinder trifft. Da Schnitte
je Gitterkreis immer paarweise auftreten – bis auf die tangentialen Fälle mit jeweils
verschwindendem Maß –, wird nach Bild 9.1 das Treffen der Ebene als Testobjekt
mit einem Kreis einfach gezählt. Stellen wir uns das Gitter C in Form von Kreisscheiben vor, wird diese Zählung eines Schnittereignisse in Form von Kreissehnen
noch sinnfälliger.
221
222 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
Nach der Diskussion des geeigneten, d.h. bewegungsinvarianten Maßes im nächsten Abschnitt auf Basis des Anhangs A, lassen sich mit Hilfe weitgehender Analogieschlüsse aus dem Kapitel 4 die Ergebnisse zur Zufallsvariablen XI auf eine
entsprechende Erweiterung Y übertragen.
9.2
Das Maß einer Zufallsebene
Analog zur Geraden aus dem Abschnitt 1.3.1 kann das Dichteelement des invarianten
Maßes für die zufälligen Ebenen nach Anhang A, Satz A.2.1 in Polarkoordinaten
(ρ, φ, τ ) zu
dE = c sin φ dρ dφ dτ
(9.1)
angegeben werden, wobei wieder c = const. ist und im folgenden stets o.B.d.A.
zu 1 gesetzt wird. Das Bild 9.2 zeigt die Position einer Ebene in den angegebenen
Koordinaten.
z
r
E
f
C
y
t
x
Bild 9.2: Kugel- bzw. Polarkoordinaten (ρ, φ, τ ) im 3-dimensionalen Euklidischen Raum
zur Beschreibung einer Ebene
Da das Gitter C wieder homogen über den Zylinder verteilt ist, genügt es, die
Messungen der Schnittereignisse S von Ebenen des Kreisgitters auf das Maß der
Menge Q zu beziehen, das alle Ebenen umfasst, welche die Mittellinie des Zylinders zwischen zwei Kreisen treffen. Wir können als Bezugsmaß also wieder eine
Elementarzelle betrachten und dafür das Maß
Z
Z 2π Z π/2 Z a cos φ
µ(Q) =
dE =
sin φ dρ dφ dτ = π a
(9.2)
D
τ =0
φ=0
ρ=0
ansetzen – vgl. Bild 9.3, das diejenige Perspektive zeigt, welche die Ebene E des
9.2. DAS MASS EINER ZUFALLSEBENE
223
Bildes 9.2 als Gerade projiziert. Um die Analogie zum Kapitel 4 noch besser herzustellen, werden wir wieder mit dem Winkel
θ :=
π
−φ
2
arbeiten. Damit kann das Dichteelement (9.1) zu
dE = cos θ dρ dθ dτ
(9.3)
notiert werden – wobei der Vorzeichenwechsel als konstanter Faktor c = −1 unerheblich ist und in (9.3) unterdrückt wurde. Genauso unerheblich ist die Integration
über τ von 0 bis 2π bei dem rotationssymmetrischen Zylinder bzw. Kreisgitter K in
Hinsicht auf die geometrische Wahrscheinlichkeit als Verhältnis zweier Maße. Denn
die Mengen bzw. Ereignisse S, die wir betrachten werden, sind immer bzgl. der
z-Achse rotationssymmetrisch, so dass der bei der Integration über τ entstehende
Faktor von 2π gekürzt werden kann.
z
Streckenabschnitt [0, a]
(line segment)
E
a
C
Zylinder
r
x-y-Ebene
f
q
0
r
Bild 9.3: Ebenen, die Strecke [0, a] auf der z-Achse treffend
Fazit: Für alle analogen Zufallsexperimente aus Kapitel 4 am Kreisgitter C ist
das invariante Maß dG = dρ dθ gegen dE = cos θ dρ dθ auszutauschen, um wieder
zu analogen Aussagen über geometrische Wahrscheinlichkeiten am Kreisgitter C
auf dem Zylinder zu kommen. Anstelle der Dichte bzw. des Maßes (9.1) bzw. (9.2)
werden wir in diesem Kapitel also mit der Dichte
dE = cos θ dρ dθ
(9.4)
bzw. dem Bezugsmaß
Z
Z
µ(D) =
π/2
Z
a sin θ
dE =
D
cos θ dρ dθ =
θ=0
ρ=0
a
2
(9.5)
arbeiten. Darin ist D die Menge aller Ebenen mit 0 ≤ θ < π/2, 0 ≤ ρ < a sin θ ist,
wobei die Polarkoordinate τ wie vereinbart nicht näher spezifiziert ist.
224 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
9.3
Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen Schnitt
Es sollen zunächst die geometrischen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, mit
denen das Testobjekt E keinen bzw. mindestens einen der Kreise des Gitters K
trifft. Wie im Abschnitt 2.1 führen wir wieder das Höhen-Breiten-Verhältnis
λ=
a
a
=
d
2r
ein, ebenso den Winkel θ1 = arctan λ1 . Jetzt verläuft die Argumentation völlig analog
zu Abschnitt 4.2, wenn der Begriff Gerade G durch Ebene E ersetzt wird – wobei
der Winkel 0 ≤ τ < 2π wie im Abschnitt zuvor diskutiert unwesentlich bleibt. Wir
gelangen dann zum Pendant der Menge S0\ hier in Form von S0 , die nun alle Ebenen
umfasst, die das Gitter C nicht schneiden (die Symmetrie wird über τ eingefangen):
S0 =
©
E | θ1 ≤ θ <
ª
π
−
∧ ρ+
0 ≤ ρ < ρ1 .
2
Ihr Maß in Analogie zu (4.2) gemäß der hier ausgewählten Beziehung (9.4) ist dann
Z
π/2
µ(S0 ) =
θ=θ1
Z
µ
ρ−
1
ρ=ρ+
0
cos θ dρ dθ = r λ − r
π
1
− arctan
2
λ
¶
(9.6)
= r λ − r arctan λ .
Damit erhalten wir die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
p0 (λ) =
µ(S0 )
1
= 1 − arctan λ ,
µ(D)
λ
(9.7)
dass eine zufällige Ebene E das Gitter C keinmal und
pE (λ) = 1 − p0 (λ) =
1
arctan λ ,
λ
(9.8)
dass sie es (mindestens einmal) schneidet. Das Bild 9.4 zeigt die Wahrscheinlichkeit
von p0 und das Bild 9.5 die von pE jeweils in Abhängigkeit des Parameters λ. Dabei
enthält das Bild 9.5 als gestrichelten Verlauf das analoge Ergebnis pG (λ) aus Kapitel
4, nach dem nämlich eine Gerade das Streckengitter mindestens einmal trifft. Dabei
ist zu erkennen, dass das Treffen des Kreisgitters mit einer Ebene wahrscheinlicher
ist als das Treffen des Streckengitters mit einer Geraden!
Als Grenzwerte erhält man mit l’Hospital wieder
¶
µ
1
= 0 , bzw.
lim p0 (λ) = lim 1 −
λ→0
λ→0
1 + λ2
lim p0 (λ) = 1 ,
λ→∞
9.3. KEIN UND MINDESTENS EIN SCHNITT
225
1
p0
0.8
0.6
0.4
0.2
λ
2
4
6
8
10
Bild 9.4: Wahrscheinlichkeit, dass E das Gitter C nicht trifft in Abhängigkeit von λ
1
pE
0.8
0.6
p
0.4
G
0.2
λ
2
4
6
8
10
Bild 9.5: Wahrscheinlichkeiten: E trifft das Kreis-Gitter (durchgezogen: pE (λ)), G trifft
das Strecken-Gitter (gestrichelt: pG (λ))
d.h. bei entsprechendem Absinken bzw. Anwachsen der Abstände der Gitterkreise
sinkt bzw. wächst die Wahrscheinlichkeit p0 auf das unmögliche bzw. sichere Ereignis. Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnittes im folgenden Satz zusammen.
Satz 9.3.1. Ist C das in Abschnitt 9.1, Bild 9.1, definierte Gitter paralleler Kreise
a
, so ist die geometrische
vom Radius r im Abstand a auf einem Zylinder und λ = 2r
Wahrscheinlichkeit p0 (λ) dafür, dass eine zufällige Ebene E das Gitter C nicht trifft
nach der Beziehung (9.7) gegeben. Die geometrische Wahrscheinlichkeit pE (λ), dass
E das Gitter C mindestens einmal trifft, ist nach Beziehung (9.8) gegeben.
226 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
9.4
Zufallsvariable auf das Kreis-Gitter
In Analogie zum Abschnitt 4.3 soll jetzt die Zufallsvariable Y betrachtet werden,
welche die möglichen Ebenen E ∈ D auf die Anzahl der Treffer mit dem Gitter C
abbildet:
Y (λ) : D −→ N0
(9.9)
E 7−→ Y (λ; E) := Anzahl der Treffer von E mit dem Gitter C .
Um die Verteilung von Y zu studieren, geben wir wieder die Wahrscheinlichkeiten
pk (λ) :=
µ(Y −1 ({k}))
, k = 0, 1, 2, ...,
µ(D)
(9.10)
an, d.h. pk steht für die Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern einer Ebene E mit
dem Gitter C in Abhängigkeit des Parameters λ.
So wie im vorigen Abschnitt 9.3 können wir diese Wahrscheinlichkeiten einfach
dadurch gewinnen, indem wir “formal“ über die Mengen (4.9), (4.10) und (4.11) mit
dem Maß (9.4) integrieren – “formal“, weil diese Mengen jetzt analog zu D für alle
Ebenen mit den entsprechenden Eigenschaften stehen:
2
pk (λ) =
a
Z
dE , k = 0, 1, 2, ...
Sk (a,r)
Dabei bleiben alle Definitionen von Winkeln nach Abschnitt 4.3 erhalten. Aus den
Mengenangaben (4.9) bzw. (4.10) bzw. (4.11) ergeben sich die folgenden geometrischen Wahrscheinlichkeiten für keinen Treffer bzw. 2n, n = 1, 2, ..., bzw. 2n + 1,
n = 0, 1, 2, ..., Treffer:
2
p0 (λ) =
a
2
p2n (λ) =
a
1
=
λ
=
Z
Z
θ0
θ2n
ρ−
1
ρ+
0
θ1
θ2n−1
µ
Z
Z
cos θ dρ dθ = 1 −
ρ+
−(n−1)
ρ−
n
1
arctan λ ,
λ
2
cos θ dρ dθ +
a
Z
θ2n
θ2n+1
Z
ρ−
n+1
ρ+
−n
(9.11)
cos θ dρ dθ
1
1
1
− 2 arctan
+ arctan
arctan
(2n + 1)λ
2nλ
(2n − 1)λ
¶
¢
1¡
2 arctan(2nλ) − arctan((2n + 1)λ) − arctan((2n − 1)λ) , (9.12)
λ
9.4. ZUFALLSVARIABLE AUF DAS KREIS-GITTER
2
p2n+1 (λ) =
a
1
=
λ
Z
Z
θ2n
θ2n+1
µ
ρ+
−n
0
2
cos θ dρ dθ +
a
Z
θ2n+1
θ2n+2
Z
227
ρ−
n+1
cos θ dρ dθ
0
1
1
1
arctan
− 2 arctan
+ arctan
(2n + 2)λ
(2n + 1)λ
2nλ
¶
¢
1¡
2 arctan((2n + 1)λ) − arctan((2n + 2)λ) − arctan(2nλ) . (9.13)
λ
=
Es ist zu erkennen, dass die Fälle nach einer geraden und ungeraden Anzahl von
Treffern jetzt wieder nur noch für den Fall keines und mehr oder gleich eines Treffers
zu unterscheiden sind, denn mit k = 2n folgt aus (9.12) und mit k = 2n + 1 aus
(9.13) die Beziehung
pk =
¢
1¡
2 arctan(k λ) − arctan((k + 1)λ) − arctan((k − 1)λ) .
λ
Das Bild 9.6 zeigt die Verläufe von pk , k = 0, 1, 2, ..., über λ. Im Vergleich zu
den Verläufen der pk aus dem Kapitel 4 für das ebene Strecken-Gitter nach Bild
4.9, zeigt das Bild 9.7 nun nahe dem Ursprung, dass sich die Verläufe pk für das
Kreisgitter auf dem Zylinder überschneiden.
1
p
0.8
k =0
0.6
0.4
1
0.2
... 2
λ
2
4
6
8
10
Bild 9.6: Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 0, 1, ..., 10
228 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
0.5
p
0.4
k=1
0.3
2
0.2
...
3
λ
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Bild 9.7: Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 1, ..., 10
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Satz 9.4.1. Ist C das in Abschnitt 9.1, Bild 9.1, definierte Gitter paralleler Kreise
a
vom Radius r auf einem Zylinder im Abstand a und λ = 2r
≥ 0, so sind die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk (λ) dafür, dass eine zufällige Ebene E das Gitter C
genau k-mal trifft nach den folgenden Beziehungen gegeben:
p0 (λ) = 1 −
pk (λ) =
1
arctan λ ,
λ
(9.14)
¢
1¡
2 arctan(k λ) − arctan((k + 1) λ) − arctan((k − 1) λ) , (9.15)
λ
k = 1, 2, ...
Für λ → 0 sind dabei die entsprechenden Grenzwerte pk → 0 zu setzen.
Auch für diese Folge von Funktionen (pk (λ))k=0,1,2,... soll zunächst noch einmal
explizit bewiesen werden, dass ihre Summe eins ist. Dazu formulieren wir den folgenden Hilfssatz:
Lemma 9.4.2. Für die nach (9.14) bzw. (9.15) gegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Zm :=
m
X
k=0
pk (λ) = 1 −
¢
1¡
arctan(m + 1)λ − arctan mλ , m = 1, 2, ... (9.16)
λ
9.4. ZUFALLSVARIABLE AUF DAS KREIS-GITTER
229
Beweis. Zunächst gilt als Induktionsanfang für m = 0 einfach
Z0 = 1 −
1
(arctan(0 + 1)λ − 0) = p0 .
λ
Als Schluss von m → m + 1 ergibt sich nach Induktionsvoraussetzung:
m+1
X
pk = Zm + pm+1
k=1
= 1−
= 1−
1¡
arctan(m + 1)λ − arctan mλ
λ
¢
− 2 arctan(m + 1)λ + arctan(m + 2)λ + arctan mλ
¢
1¡
arctan((m + 1) + 1)λ − arctan(m + 1)λ .
λ
¤
Daraus folgt jetzt unmittelbar das
Korollar 9.4.3. Für die nach (9.14) bzw. (9.15) gegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
∞
X
pk = lim Zm = 1 , λ > 0 .
m→∞
k=0
Weiter ergibt sich analog zum vierten Kapitel, dass die Wahrscheinlichkeit pE
nach (9.8) als Grenzwert
∞
X
pk
pE = 1 − p0 =
k=1
dargestellt werden kann. Das Bild 9.8 zeigt pE (λ) als Grenzkurve der darunter dargestellten pk (λ), wobei die Konvergenz im Ursprung wieder nicht gleichmäßig ist.
1
0.8
Σ
0.6
k=1
0.4
2
0.2
... 3
λ
1
Bild 9.8: Die Summe pE =
2
P∞
k=1 pk
3
4
5
und die Wahrscheinlichkeiten pk (λ), k = 1, ..., 10
230 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
Schließlich gehen wir noch auf den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y ein.
Das Bild 9.9 zeigt zunächst ihre Dichtefunktion in Abhängigkeit des Parameters
λ. Dazu kann man sich den Verlauf einer Dichtefunktion wieder als ein Schnitt der
Fläche für λ = const. vorstellen, wobei die Werte der diskreten Funktion durch einen
Polygonzug miteinander verbunden sind.
0.6
4
p 0.4
3
0.2
0
0
2
λ
2
1
k
4
60
Bild 9.9: Dichtefunktionen von Y für verschiedene λ
Auch hier formulieren und beweisen wir zunächst als unterstützende Maßnahme
das folgende Lemma.
Lemma 9.4.4. Für die nach (9.14) bzw. (9.15) gegebenen geometrischen Wahrscheinlichkeiten gilt
Vm :=
m
X
k pk (λ) =
k=0
¢
1¡
(m + 1) arctan mλ − m arctan(m + 1)λ , m = 0, 1, 2, ...
λ
(9.17)
Beweis. Zunächst gilt als Induktionsanfang für m = 0 einfach V0 = 0. Als Schluss von
m → m + 1 ergibt sich nach Induktionsvoraussetzung:
m+1
X
pk = Vm + (m + 1) pm+1
k=1
=
1¡
(m + 1) arctan mλ − m arctan(m + 1)λ
λ
+ 2(m + 1) arctan(m + 1)λ
− (m + 1) arctan(m + 2)λ − (m + 1) arctan mλ
=
¢
¢
1¡
((m + 1) + 1) arctan(m + 1)λ − (m + 1) arctan((m + 1) + 1)λ . ¤
λ
9.5. AUSBLICK
231
Aus diesem Hilfssatz kann jetzt der Erwartungswert angegeben werden:
Korollar 9.4.5. Für die nach (9.9) definierte Zufallsvariable Y gilt folgender Erwartungswert:
π/2
.
E(Y (λ)) =
λ
Beweis. Aus Lemma 9.4.4 folgt für m ≥ 0 zunächst
m
X
kpk (λ) =
k=0
¡
¢´
1³
arctan mλ − m arctan(m + 1)λ − arctan mλ .
λ
(9.18)
Darin kann der zweite Teil in der Klammer der Form
¡
¢
1¡
1
1 ¢
lim m arctan(m + 1)λ − arctan mλ = lim
arctan( + 1)λ − arctan λ
m→∞
x→0 x
x
x
über l’Hospital zu
lim
d
dx
arctan( x1 + 1)λ − arctan x1 λ
d
dx x
x→0
= lim
x→0
x(2 + x)λ3
=0
(x2 + λ2 )(λ2 + 2xλ2 + x2 (1 + λ2 ))
abgeschätzt werden. Somit gilt nach (9.18) die Beziehung
∞
X
k=0
¡
¢´
1³
arctan mλ − m arctan(m + 1)λ − arctan mλ
m→∞ λ
´
π
1 ³π
−0 =
.
=
λ 2
2λ
kpk (λ) =
lim
¤
a
ist der Erwartungswert von Y also gleich dem halben
Unter Auflösung von λ = 2r
Kreisumgang des Gitters dividiert durch den Abstand der Kreise auf dem Gitter:
πr
E(Y ) =
.
a
9.5
Ausblick
Abschließend betrachten wir noch als kurzen Ausblick das Pendant des Zufallsexperiments II im Kapitel 5 auf einem endlich hohen Zylinder – und das in dieser Form
nicht erweiterbare Experiment III!
Zunächst sei nach Bild 9.10 ein Zylinder der Höhe ma, m ∈ N, a > 0, und vom
Radius r > 0 mit einem Kreisscheibengitter
C = { (x, y, z) | x2 + y 2 ≤ r2 , z = νa, ν = 0, 1, ..., m }
(9.19)
gegeben, der in zufälliger Weise von einer Ebene E geschnitten wird.
In vollständig analoger Weise zum Vorgehen aus dem letzten Abschnitt, kann
man aus den Mengenangaben des Kapitels 5 bzgl. des Zufallsexperiments II darüber
folgende Aussage gewinnen:
232 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
r
E
C
a
Bild 9.10: Gitter von Kreisscheiben auf endlichen hohem Zylinder mit m = 5 Zellen
Satz 9.5.1. Ist C das in (9.19) definierte Gitter aus m ≥ 1 Elementarzellen bzw.
n = m + 1 paralleler Kreise vom Radius r > 0 auf einem Zylinder im Abstand a > 0
a
und λ = 2r
, so trifft eine zufällige Ebene E das Gitter C genau k-mal nach folgenden
geometrischen Wahrscheinlichkeiten:
p0 (λ, m) =
pk (λ, m) =
λ − arctan λ
, k = 0,
π 1
+λ
2m
(9.20)
¢
1 ³ ¡
k−1
2
1
−
arctan(kλ)
π 1
m
+λ
2m
¡
¢
¡
k
− 1− m
arctan((k + 1)λ) − 1 −
(9.21)
´
¢
k−2
arctan((k
−
1)λ)
,
m
1 ≤ k ≤ m,
pm+1 (λ, m) =
π 1
2m
−
1
arctan(mλ)
m
π 1
+λ
2m
, k = m + 1.
(9.22)
Offenbar erhält man für m → ∞ die Aussage des Satzes 9.4.1 über das unbeschränkte Kreisgitter.
Beweis. Wir gehen zunächst analog zu Abschnitt 9.2 vor: Als Bezugsmaß der Menge
D aller Ebenen E, die den Zylinder K als konvexe Menge im Raum treffen, für die also
E ∩ K 6= ∅ gilt, erhalten wir mit der Dichte (9.4)
dE = cos θ dρ dθ
und in Analogie zum Grundmaß (2.10) des ZE II die Beziehung
Z
µ(D) =
Z
dE =
D
π/2 Z ρ+
m (θ)
θ=0
ρ=ρ−
0 (θ)
cos θ dρ dθ =
a
1
· m · ( π2 m
+ λ) .
2λ
(9.23)
9.5. AUSBLICK
233
Jetzt gehen wir weiter nach Kapitel 5 vor und bestimmen die Maße der Mengen Sk\
bzw. Tk\ im Sinne der hier geltenden Dichte, fassen sie also wegen der Rotationssymmetrie
als Mengen Sk bzw. Tk aller Ebenen auf, die K bei gegebener Schnittzahl treffen. Gemäß
der Angabe (5.2) gilt als erstes
Z
µ(S0 ) = m · µ(T0 ) = m ·
π/2
Z
ρ−
ν
ρ=ρ+
ν−1
θ=θ1
cos θ dρ dθ =
a
· m · (λ − arctan λ)
2λ
und weiter nach (5.7), (5.8) und (5.9) für 1 ≤ k ≤ m, vgl. Seiten 92ff:
µ(Tk,1 ) =
m Z
X
θk−1
Z
ρ+
ν−(k−1)
ρ=ρ−
ν
ν=k−1 θ=θk
a
= (m − k + 2) 2λ
µ(Tk,2 ) =
m−1
X Z θk
ν=k
Z
θ=θk+1
a
= (m − k) 2λ
µ(Tk,3 ) =
=
m−1
X Z θν
−λ
1+k2 λ2
ρ−
ν+1
ρ=ρ+
ν−k
λ
1+k2 λ2
¢
1
1
− arctan kλ
,
+ arctan (k−1)λ
cos θ dρ dθ
¢
1
1
,
− arctan kλ
+ arctan (k+1)λ
Z
θm
2a sin θ cos θ dθ +
ν=k θ=θν+1
m−1
X
ν=k
=
¡
¡
cos θ dρ dθ
2a sin θ cos θ dθ
θ=0
a(1 + 2ν)λ2
a
+
(1 + ν 2 λ2 )(1 + (ν + 1)2 λ2 ) 1 + m2 λ2
a(m2 − k 2 )λ2
(1 + k 2 λ2 )(1 + m2 λ2 )
+
a
a
=
,
2
2
1+m λ
1 + k 2 λ2
so dass wir
µ(Sk ) = µ(Tk,1 ) + µ(Tk,2 ) + µ(Tk,3 )
¡
a
1
= 2λ
· − 2(m − k + 1) arctan kλ
1
1
+ (m − k + 2) arctan (k−1)λ
+(m − k) arctan (k+1)λ
¢
erhalten. Schließlich liefert die Menge (5.10) mit der hier verwendeten Dichte noch
Z
µ(Sm+1 ) =
θm
θ=0
Z
ρ+
0
ρ=ρ−
m
cos θ dρ dθ =
a
2λ
1
arctan mλ
.
Mit der Beziehung
arctan x1 = arccot x =
π
2
− arctan x , x > 0 ,
und dem Bezugsmaß µ(D) nach (9.23) ergeben sich daraus jetzt nach
pk (λ, m) =
die Angaben im Satz 9.5.1. ¤
µ(Sk )
µ(D)
234 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
1
0.8
pM
0.6
m=1
2
0.4
pE
0.2
λ
4
2
6
8
10
Bild 9.11: Wahrscheinlichkeiten für E trifft das Kreisgitter: pM : m = 1, 2, ..., 5, 10, 20
Zellen (zunehmend in Pfeilrichtung); pE : m → ∞
1
0.8
p
M
0.6
p
0.4
G
0.2
m=1
2
4
λ
6
8
10
Bild 9.12: Vergleich: Ebenen auf Kreisgitter: pM ; Geraden auf Rechteckgitter: pG , m = 1
hervorgehoben
Das Bild 9.11 zeigt zusammen mit der Kurve für Ebenen pE auf einem unbegrenzt
hohen Zylinder nach Bild 9.5 die Wahrscheinlichkeit
pM := 1 − p0 (λ, m)
für (mindestens) einen Schnitt einer Zufallsebene mit dem Gitter auf einem endlich
hohen Zylinder. Die Kurve pE wird als Grenzwert angenommen, wenn die Anzahl
der Zellen über alle Grenzen geht.
Im Bild 9.12 darunter werden die Trefferwahrscheinlichkeiten pG von Geraden
auf einem Rechteckgitter mit einer endlichen Anzahl von Zellen mit den Wahrscheinlichkeiten pM verglichen; wobei wieder m = 1, 2, ..., 5, 10, 20 Zellen und der
Grenzverlauf aufgetragen sind. Bei gleicher Anzahl von Zellen gilt stets pM > pG :
9.5. AUSBLICK
235
Die Zufallsebenen tendieren also eher als die Zufallsgeraden dazu, das entsprechende Gitter zu schneiden. Hervorgehoben durch den hinweisenden Pfeil ist der Verlauf
von pG für m = 1 Zelle im Rechteckgitter – der einzige Fall, in dem ein Verlauf der
pG überhaupt in die Region der pM gelangt.
Werden die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk für das k-fache Treffen der
Zufallsebenen mit dem Gitter bei fester Anzahl an Zellen m über den Parameter λ
und die Schnittzahl k = 0, 1, ..., m aufgetragen, erhalten wir die Darstellung nach
Bild 9.13. Die Schnitte mit λ = const. können wieder als Dichtefunktion von E 7→ k
aufgefasst werden.
Ähnlich zur bestehenden Analogie zwischen den Zufallsexperimenten I in der
Ebene nach Kapitel 4 und denjenigen auf einen unbegrenzt hohen Zylinder der vorangegangenen Abschnitte, lässt sich Bild 9.13 mit Bild 5.10 aus Kapitel 5 vergleichen,
wobei die gleiche Charakteristik der Zusammenhänge deutlich wird.
1
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
4
3
2
λ
2
1
k
4
60
Bild 9.13: pk über λ und k mit m = 5
Damit ist die Analogie zwischen dem ersten und zweiten Zufallsexperiment und
der Korrespondenz zum Kreisscheibengitter auf dem Zylinder erschöpft: Das Zufallsexperiment III mit den endlich langen Nadeln lässt sich nicht ohne weiteres auf
den Raum übertragen. Das Pendant zu den Nadeln wären Kreisscheiben, folgt man
der Analogie der Gitterstrecken im Rechteck zum Gitter auf bzw. in dem Zylinder.
Die beiden Übertragungen in diesem Kapitel “leben“ von der Rotationssymmetrie der Ebenen bzgl. des Zylinders und ihrer projizierenden Sicht auf Geraden bei
Blickrichtung in der Ebene. Genau diese Voraussetzung ist bei Kreisscheiben nicht
mehr erfüllt, da die genaue Lage in der als Strecke projizierten Sicht nicht eindeutig ist, wie das Bild 9.14 veranschaulicht: Hier schneidet H zwar den Zylinder Z,
so dass H ∩ Z 6= ∅ gewahrt bleibt, aber nicht das Gitter C, obwohl dies für seine
Projektion auf die Ebene gilt. Die im Kapitel 6 angegebenen Mengen Sk und deren
236 KAPITEL 9. PARALLEL-GITTER VON KREISEN AUF DEM ZYLINDER
Grenzen können diesmal also nicht zur Integration über ein geeignetes Maß herangezogen werden! Nur für Streifen auf Zufallsebenen, die bei fester Breite l parallel
zur x-y-Ebene verliefen, vgl. Bild 9.15, wäre das noch möglich.
Z
H
C
Bild 9.14: Kreisscheiben als Testelemente
Z
H
x-y-E
Bild 9.15: Streifen als Testelemente
Kapitel 10
Geschlossene Gitter
In diesem Kapitel sollen “geschlossene Gitter“ betrachtet werden, was bedeutet, dass
das Testobjekt T ganz im Inneren K der Gittereinhüllenden zu liegen hat: T ⊂ K.
Damit entfallen sofort Geraden als Testobjekte und auch bei den Nadeln haben wir
bei m Zellen nur noch mit maximal m − 1 Schnitten zu rechnen.
Ähnlich zu unseren “offenen Gittern“ betrachten wir am Ende dieser Arbeit noch
die Form in einer Dimension, also linienartige Mannigfaltigkeiten. Dieses Kapitel soll
dem ebenen Fall gewidmet sein.
10.1
Zufallsexperiment im ebenen, geschlossenen
Gitter
Das hier zugrunde liegende Gitter ist identisch zu dem im Kapitel 2 dargestellten.
Es ändert sich jedoch die Fragestellung nach der geometrischen Wahrscheinlichkeit
von k Schnitten eines Testobjektes H in Form einer Strecke der Länge l, wenn dieses
stets vollständig im Inneren K der Einhüllenden von C liegen muss, d.h. H ⊂ K zu
gelten hat, vgl. Bild 10.1.
Zelle
Gitter
m
C a, 2 r
Einhüllende
K
n=4
m=3
Gitterstrecke
3
K = int K
2
2
a
Nadel H
1
1
d = 2r
H_K
Bild 10.1: Zufallsexperiment im ebenen geschlossenen Gitter
237
238
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Als Parameter definieren wir wieder den auf die Länge des Testobjekts und die
Gitterbreite bezogenen Abstand der Gitterstrecken:
a
l
α=
und
λ=
a
.
2r
Als Besonderheit dieses Zufallsexperiments erhalten wir nicht ein Grundmaß,
sondern deren vier in Abhängigkeit der Parameter α und λ und der Zellenzahl m.
Diese ergeben sich aus der Bewegung des Testobjekts H innerhalb der Menge K,
wonach vier Fälle zu unterscheiden sind:
B1:
0 < l < min(2 r, m a)
B2:
2r ≤ l < ma
B3:
B4:
⇐⇒ max(λ,
ma ≤ l < 2r
1
)
m
⇐⇒
1
m
⇐⇒
λ<α≤
max(2 r, m a) ≤ l < mlm ⇐⇒
√
< α,
< α ≤ λ,
λ
1+m2 λ2
1
m
,
< α ≤ min(λ,
1
).
m
Damit teilt sich die α-λ-Parameterebene bereits bzgl. des Grundmaßes in vier Teilbereiche nach Bild 10.2 auf; für die “Diagonalbeziehung“ l < m lm vgl. auch Abschnitt
2.2, Satz 2.2.3.
l
B2
B4
a=
l
Ö 1 + m 2 l2
l
B3
ma
2r
B1
0
1/m
a
Bild 10.2: Bereiche unterschiedlicher Grundmaße
Die Mengen aller Nadeln der festen Länge l, die sich je nach den oben aufgeführten Fällen zum Gitter C bzw. dessen Abmessungen verhalten, bezeichnen wir mit
Bj , j = 1, ..., 4. Für die Berechnung der Maße µ(Bj ) führen wir neue Größen ein:
Dies sind einmal die Funktionen σν+ , σν− und der Winkel Θ.
Beginnen wir bei den neuen Funktionen σ, die in Abhängigkeit der ν-ten Gitterstrecke und des Winkels θ einen Abschnitt der Koordinate ρ nach Bild 10.3 markieren:
Definition 10.1.1. Sei H eine unter dem Fußpunktwinkel θ fallende Nadel der
Länge l.
(i) Liegt H mit ihrem in erweiterten Polarkoordinaten bezeichneten Anfangspunkt
(θH , ρH , ζH ) auf der ν-ten Gitterstrecke und mit ihrem Endpunkt (θH , ρH , ζH + l) auf
10.1. ZUFALLSEXPERIMENT IM EBENEN, GESCHLOSSENEN GITTER 239
die in kartesische Koordinaten beschriebene Gerade (x = r, y), d.h. gilt ζH = ζν und
ζH + l = ζ + , so bezeichne σν+ die Koordinate ρH der Nadel.
(ii) Analog sei σν− die Koordinate ρH der Nadel, wenn H mit ihrem Anfangspunkt
auf der Geraden (x = −r, y) und ihrem Endpunkt auf der ν-ten Gitterstrecke liegt,
also ζH = ζ − und ζH + l = ζν gilt.
z
y
l
-
H
En
zn
sn+(q)
r
na
+
En
z+
l
q
-r
sn-(q)
r
x
z
Bild 10.3: Zur Definition der Funktionen σν+ , σν−
Auf die in Definition 2.2.9 festgelegten Funktionen ζν und ζ ± zurückgreifend,
ergeben sich also die Koordinaten von ρ = σν± zweier nach Definition 10.1.1 liegenden
Nadeln, wenn folgende Bedingungen an der ν-ten Gitterstrecke gelten:
ζ + − ζν = l , bzw.
!
(10.1)
!
(10.2)
ζν − ζ − = l .
Mit Korollar 2.2.10 bestimmen wir zunächst die folgenden Beziehungen für die
Koordinate ρ, die aus (10.2) und (10.1) folgen:
ζ + − ζν =
r cos θ + ν a sin θ − ρ
= l ⇒ ρ = ν a sin θ + (r − l sin θ) cos θ = σν+ ,
sin θ cos θ
ζν − ζ − =
ρ + r cos θ − ν a sin θ
= l ⇒ ρ = ν a sin θ + (l sin θ − r) cos θ = σν− .
sin θ cos θ
Bemerkung 10.1.2. Für die in Def. 10.1.1 beschriebenen Koordinaten σν+ , bzw.
σν− gelten die folgenden Beziehungen:
σν+ = ν a sin θ + (r − l sin θ) cos θ ,
(10.3)
σν− = ν a sin θ + (l sin θ − r) cos θ .
(10.4)
240
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Außerdem benötigen wir noch in Ergänzung zur Definition 2.2.6 den nach Bild
10.4 gezeichneten Winkel Θ, der seine Bedeutung als maximaler Fallwinkel der Nadel
H innerhalb von K hat, wenn die Länge l von H größer als die Gitterbreite 2 r ist,
also in den Fällen B2 und B4.
y
r
Q
l
Q
-r
r
x
z
Bild 10.4: Zur Definition des Winkels Θ
Definition 10.1.3. Gegeben sei ein Gitter der Breite 2 r > 0 und eine Nadel der
Länge l > 2 r. Dann definieren wir
Θ := arcsin
2r
.
l
(10.5)
Da wir in der Beschreibung der geometrischen Wahrscheinlichkeiten besonders
an der Verwendung relativer Größen in Form der Gitter-Längen-Parameter α und λ
interessiert sind, halten wir noch fest, dass sich (10.5) auch im Falle von
0<α≤λ
also für die Fälle B2 und B4 zu sin Θ =
α
λ
(10.6)
notieren lässt. Damit haben wir alle weiteren Größen und Beziehungen gewonnen,
um nun die Grundmengen in den Fällen B1, B2, B3 und B4 und deren Maße
zusammenzustellen.
Wie oben bereits erwähnt, umfassen die Mengen Bj , j = 1, ..., 4, alle Nadeln H,
die in das Innere K des Gitters C nach den Unterscheidungen B1, B2, B3 und B4
fallen, wobei der Index j mit der Nummer des entsprechenden Falles korrespondiere.
Aufgrund der in den Koordinaten (θ, ρ, ζ) abschnittsweise erklärten Gitterberandung und die in Abschnitt 3.3 diskutierte Achsensymmetrie nutzend, stellen wir die
Mengen
[ \
Bj\ :=
T(j,i)
i=1
aller Nadeln der entsprechenden Bedingungen und die in das Gitter unter einem Fußpunktwinkel von 0 ≤ θ < π/2 fallen wieder als Vereinigung von geeignet festgelegten
Teilmengen
©
ª
\
T(j,i)
= H | θi1 ≤ θ < θi2 ∧ ρi1 ≤ ρ < ρi2 ∧ ζi1 ≤ ζ < ζi2
(10.7)
10.1. ZUFALLSEXPERIMENT IM EBENEN, GESCHLOSSENEN GITTER 241
dar; die Grenzen θi1 , θi2 , etc. sind dabei unter Umständen je nach j verschieden,
\
was in der Angabe von T(j,i)
der Lesbarkeit wegen nicht näher ausgeführt wurde,
uns aber nun im Aufstellen der Intervallgrenzen als nächstes beschäftigen soll. Die
Bilder 10.5, 10.6, 10.7 und 10.8 veranschaulichen die Bewegungen der Nadel in den
einzelnen Fällen nach B1, B2, B3 und B4.
m
r
-
z
r
zm
-
rm
zm
+
rm
z
+
sm
+
z -l
-
qm
+
sm
0
s
0
0
s
r
H
q
z0
z
+
q
+
r0
+
+
z0
z
z
r
r0
z
Bild 10.5: Bewegung von H für 0 < l < min(2r, ma) (B1)
Beginnen wir mit der Betrachtung der im Fall B1 möglichen Bewegung der
Nadel. Nach Bild 10.5 können genau sechs Intervalle abgelesen werden:
θm ≤ θ < π/2 ∧ σ0− ≤ ρ < ρ+
∧ ζ − ≤ ζ < ζ0 − l ,
0
−
−
+
θm ≤ θ < π/2 ∧ ρ+
0 ≤ ρ < ρm ∧ ζ ≤ ζ < ζ − l ,
+
+
θm ≤ θ < π/2 ∧ ρ−
m ≤ ρ < σm ∧ ζm ≤ ζ < ζ − l , vgl. Bild 10.5, links,
und
−
0 ≤ θ < θm ∧ σ0− ≤ ρ < ρ−
m ∧ ζ ≤ ζ < ζ0 − l ,
+
0 ≤ θ < θ m ∧ ρ−
m ≤ ρ < ρ0
∧ ζm ≤ ζ < ζ0 − l ,
+
+
0 ≤ θ < θ m ∧ ρ+
0 ≤ ρ < σm ∧ ζm ≤ ζ < ζ − l , vgl. Bild 10.5, rechts.
Die damit korrespondierenden sechs Teilmengen (10.7) sind in der Tabelle 10.1
in den Zeilen i = 1, ..., 6 unter der zusammenfassenden Rubrik B1, vgl. erste Spalte
der Tabelle, aufgelistet.
Ganz analog ergeben sich die Grenzen der Intervalle in den anderen Teilmengen
(10.7) für die Fälle B2, B3 und B4.
So lesen wir aus der Darstellung nach Bild 10.6 ab und bei großen Fußpunktwinkeln startend, dass die Nadel zunächst nicht mehr so “flach“ fallen kann, um in
θ den vollen Wert von π/2 zu erreichen: Die Nadel kann sich nur bei Θ beginnend
anfangen aufzurichten, bis die erste Intervallgrenze θm erreicht wird. Die drei Intervallgrenzen des Indizes i = 1, 2, 3 bzgl. der Koordinaten ρ und ζ sind aber für
θm ≤ θ < Θ denen des Falls B1 gleich. Drehen wir die Nadel weiter, vgl. Bild 10.6
242
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
ganz rechts, so sind die Intervallgrenzen i = 4, 5, 6 sogar vollständig identisch mit
denen des ersten Falls! Die Tabelle 10.1 listet diese sechs Intervallgrenzen unter der
Rubrik B2 auf.
-
-
rm
z
qm
rm
zm
zm
-
-
s0
z
+
-
s0
+
sm
r
Q
z
z
H
q
+
sm
+
r
q
+
z0 r 0
z0
z
z
+
r0
Bild 10.6: Bewegung von H für 2r ≤ l < ma (B2)
Im Fall B3 nach Bild 10.7 ist die Bewegung einer “flach fallenden“ Nadel innerhalb eines Winkelbereiches von θm ≤ θ < π/2 identisch zum Fall B1, denn die Länge
der Nadel ist kleiner als die Gitterbreite. Dagegen ist das Aufrichten der Nadel wegen l ≥ ma limitiert und kann nur innerhalb des Intervalls θ̂m ≤ θ < θm stattfinden,
was im rechten, unteren Teil des Bildes 10.7 durch Kennzeichnung der Winkel θm
und θ̂m veranschaulicht wird. – So kommt es zu den Einträgen in der Tabelle 10.1
\
für diesen Fall zur Beschreibung der Mengen T(j,i)
.
-
rm
z
-
r
zm
rm
-
-
+
sm
-
s0
r
zm
+
q
z
z0
z
s0
z
+
r0
z
-
+
+
sm
q
z0
+
z
r0
qm
qm
H
Bild 10.7: Bewegung von H für ma ≤ l < 2r (B3)
Der letzte Fall B4 kombiniert nur noch die Einschränkungen bzgl. der Bewegungsfreiheit im Winkel θ der vorangegangenen. Dem Bild 10.8 ist zu entnehmen,
dass sich die mit i = 1, 2, 3 indizierten Intervalle für θm ≤ θ < Θ nach Fall B2
einstellen und die mit i = 4, 5, 6 gekennzeichneten Intervalle unter θ̂m ≤ θ < θm
dem Fall B3 entsprechen.
10.1. ZUFALLSEXPERIMENT IM EBENEN, GESCHLOSSENEN GITTER 243
qm
qm
qm
Q
H
H
Bild 10.8: Bewegung von H für max(2r, ma) ≤ l < mlm (B4)
\
Zusammengefasst sind die Intervallgrenzen zur Beschreibung der Mengen T(j,i)
nach (10.7) in der Tabelle 10.1 aufgelistet, wobei wir abkürzend und die Ähnlichkeiten unterstreichend, zum Teil auf die vorangehenden Fälle verweisen und nur die
eigentlichen Unterschiede in der “Laufweite“ des Winkels θ explizit nennen.
Tabelle 10.1: Fälle B1, B2, B3 und B4
Grenzen
θ
ρ
ζ
Fall
i
θi1
θi2
ρi1
ρi2
ζi1
ζi2
B1
1
θm
π
2
σ0−
ρ+
0
ζ−
ζ0 − l
2
ρ+
0
ρ−
m
ζ−
ζ+ − l
3
ρ−
m
+
σm
ζm
ζ+ − l
σ0−
ρ−
m
ζ−
ζ0 − l
5
ρ−
m
ρ+
0
ζm
ζ0 − l
6
ρ+
0
+
σm
ζm
ζ+ − l
4
B2
B3
1, 2, 3
θm
θm
Θ
wie im Fall B1
4, 5, 6
wie im Fall B1
1, 2, 3
wie im Fall B1
4, 5, 6
B4
0
θ̂m
θm
wie im Fall B1
1, 2, 3
wie im Fall B2
4, 5, 6
wie im Fall B3
Damit können wir nun die stets aus sechs Summanden (vgl. Tabelle 10.1) bestehenden Maße
\
µ(Bj ) = 2 · µ(Bj ) = 2 · µ
6
¡[
i=1
\
T(j,i)
¢
= 2
6 Z
X
i=1
θi2
Z
ρi2
Z
ζi2
dH
θi1
ρi1
ζi1
244
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
gemäß der Beziehung (3.7) berechnen. Interessant dabei ist, dass die folgenden Summen der Integrale über ρ und ζ im Fall B1 – und damit in allen Fällen, vgl. unsere
vorangegangene Diskussion und ein weiteres Mal Tabelle 10.1 – gleich sind:
f (θ) :=
3 Z
X
i=1
ρi2
Z
ζi2
dζdρ =
ρi1
ζi1
=
6 Z
X
i=4
ρi2
Z
ζi2
dζdρ
ρi1
ζi1
l2
(cos θ − m α) (λ sin θ − α) .
λ
(10.8)
Damit erhalten wir in sehr übersichtlicher Weise die Maße der Bj zu
Z
π/2
µ(B1 ) = 2
f (θ)dθ ,
(10.9)
0
Z
Θ
µ(B2 ) = 2
f (θ)dθ ,
(10.10)
0
Z
π/2
µ(B3 ) = 2
f (θ)dθ ,
(10.11)
θ̂m
Z
Θ
µ(B4 ) = 2
f (θ)dθ .
(10.12)
θ̂m
Die Lösungen dieser Integrale fassen wir in folgendem Satz zusammen:
Satz 10.1.4. Die Grundmaße für den zufälligen Wurf einer Nadel im geschlossenen
Gitter ergeben sich für die Fälle B1, B2, B3 und B4 als Lösung der Integrale
(10.9), (10.10), (10.11) und (10.12) zu
¢
l2 ¡
m π α2 + λ − 2 α(1 + m λ) ,
λ
q
¡ ¢2
l2 ³
µ(B2 ) =
2mαλ 1 − αλ − 2mαλ −
λ
(10.13)
µ(B1 ) =
α2
λ
+2mα2 arcsin
µ(B3 ) =
¡ α ¢´
λ
,
√
l2 ¡
m π α2 − 2α + 2α 1 − m2 α2
λ
¢
−m2 α2 λ − 2mα2 arccos(mα) ,
µ(B4 ) =
(10.14)
(10.15)
q
√
¡ ¢2
l2 ³
2mαλ 1 − αλ + 2α 1 − m2 α2
λ
2
− αλ − λ − m2 α2 λ
´
¡ ¢
+2mα2 arcsin αλ − 2mα2 arccos(mα) .
(10.16)
10.1. ZUFALLSEXPERIMENT IM EBENEN, GESCHLOSSENEN GITTER 245
Es bleibt noch anzumerken, dass die Maße an den Rändern der Begrenzungen
übereinstimmen. Beginnen wir mit der Begrenzung α = λ =: χ zwischen den Bereichen B1 und B2, sowie B3 und B4, vgl. Bild 10.2:
α=λ=χ :
¡
¢
µ(B1 ) = µ(B2 ) = l2 mχ(π − 2) − 1 ,
p
¡
µ(B3 ) = µ(B4 ) = l2 mπχ − m2 χ2 − 2 + 2 1 − m2 χ2
¢
−2mχ arccos(mχ) .
Schließlich gilt auf der vertikalen Begrenzung α = m1 zwischen den Bereichen B1
und B3, sowie B2 und B4 die Übereinstimmung der folgenden Maße:
α=
1
:
m
µ(B1 ) = µ(B3 ) = l2
³π − 2
´
−1 ,
mλ
³ r
µ(B2 ) = µ(B4 ) = l2 2 1 −
1
m2 λ2
+2
−
1
m2 λ2
−2
¡ 1 ¢´
1
arcsin
.
mλ
mλ
Anmerkung: Betrachtet man das Bild 10.2 genauer, kann festgestellt werden,
dass die Bedingungen B2 und B3 einander entsprechen und durch Drehen der Gitterumrandung auseinander hervorgehen 1 . Dies spiegelt sich auch in den Maßen
µ(B2 ) und µ(B3 ) wider. Führen wir nämlich die Bezeichnungen
u := m a
und
v := 2 r
ein – uniformisieren also das Gitter von außen –, so erhalten wir nach einigen Umformungen aus der Angabe (10.14) die Beziehung
µ(B2 ) = 2ul
¡q
1−
¡ v ¢2
l
¢
¡ ¢
− 1 − v 2 + 2uv arcsin vl
und aus (10.15) die Gleichung
µ(B3 ) = 2vl
¡q
1−
¡ u ¢2
l
¢
¡ ¢
− 1 − u2 + 2vu arcsin ul ,
womit die Symmetrie offenkundig wird; denn die Drehung der äußeren Hülle des Gitters vertauscht gerade die Abmessungen u und v, was µ(B2 ) und µ(B3 ) in stimmiger
Weise ineinander übergehen lässt.
1
Da wir Aussagen in den Parametern α und λ treffen möchten und für uns die beiden Abmessungen ma und 2r auch zwei verschiedene Bedeutungen haben – einmal längs, ein andermal quer
zum Gitter, dem eigentlichen Brennpunkt unseres Interesses –, belassen wir es im folgenden bei
dieser Unterscheidung.
246
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
10.2
Die Wahrscheinlichkeit für keinen und mindestens einen Schnitt
Für den Nadelwurf im geschlossenen Gitter sollen nun die geometrischen Wahrscheinlichkeiten für keinen und mindestens einen Schnitt der Nadel H mit dem Gitter
C berechnet werden. Die Beantwortung dieser Frage ist nach unseren Vorüberlegungen aus dem letzten Abschnitt nicht mehr schwer und soll in zwei Schritten geschehen: Sinngemäß kann die obige Argumentation auf die Bewegung in dem Gitter als
Ganzes nun bzgl. einer Elementarzelle wiederholt werden.
ν
Schritt1: Das Bild 10.9 versucht zu verdeutlichen, dass die Menge S0 = ∪m
ν=1 S0
aller Nadeln H, die das Gitter C nicht treffen, einfacherweise die Vereinigung der
Mengen S0ν ist, welche die Nadeln enthalten, die in der ν-ten Elementarzelle liegen
und C nicht treffen. Offensichtlich gilt paarweise S0ν ∩ S0υ = ∅, ν 6= υ. Außerdem
sind alle Maße µ(S0ν ) dieser “Elementarmengen“ einander gleich, so dass wir
µ(S0 ) = m · µ(S01 )
erhalten und mithin die Frage nach der Menge und dem Maß aller Nadeln, die C
nicht treffen, nur für die erste Elementarzelle zu beantworten brauchen.
ma
...
Gitter
Elementarzelle
a
Nadeln H
0
Bild 10.9: Nadeln in der ersten Elementarzelle, die das Gitter nicht treffen
Schritt2: Die Mengen und die Maße dieser Nadeln können unmittelbar abgelesen
werden – nach folgendem Prinzip: Wird in den Ergebnissen des ersten Abschnittes
“temporär“ m = 1 gesetzt, so erhalten wir sofort alle Fälle für die Nadeln in der
ersten Elementarzelle, die das Gitter nicht schneiden (können). Werden die Pendants der Bereiche Bj bzw. Mengen Bj mit Oj bzw. Oj bezeichnet, so erhalten wir
aus Bild 10.2 das Bild 10.10, das alle Bereiche der Fallunterscheidungen für Nadeln
anzeigt, die das Gitter nicht schneiden – so wie die Bj die Nadeln gruppierten, die
das Gitter nicht verlassen, mithin den Rand nicht schneiden! Die Entsprechung ist
also vollkommen: Die Nadellängen werden wieder am “verbotenen Gebiet“ durch
die Diagonallänge l1 limitiert und es kann bzgl. einer Elementarzelle nur vier unterschiedliche Fälle geben.
10.2. KEIN UND MINDESTENS EIN SCHNITT
l
a=
O2
O4
l
Ö1 + l
247
Elementarzelle
2
a
Nadel
l
2r
O3
O1
0
1
a
Bild 10.10: Bereiche für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p0 (i)
Die Maße der Mengen Oj können aus Satz 10.1.4 des letzten Abschnittes abgelesen werden:
¢
l2 ¡ 2
π α + λ − 2 α(1 + λ) ,
λ
r
¡ α ¢2
¡ α ¢´
l2 ³
α2
2
µ(O2 ) =
2αλ 1 −
− 2αλ −
+ 2α arcsin
,
λ
λ
λ
λ
µ(O1 ) =
√
¢
l2 ¡ 2
πα − 2α + 2α 1 − α2 − α2 λ − 2α2 arccos α ,
λ
r
√
¡ α ¢2
l2 ³
α2
2
µ(O4 ) =
2αλ 1 −
+ 2α 1 − α −
− λ − α2 λ
λ
λ
λ
´
¡
¢
α
2
2
− 2α arccos α .
+ 2α arcsin
λ
µ(O3 ) =
(10.17)
(10.18)
(10.19)
(10.20)
Um daraus zu geometrischen Wahrscheinlichkeiten zu gelangen, sind diese Maße
jetzt nach Schritt 1, s.o., mit m für die Anzahl der Elementarzellen zu multiplizieren
und mit den Maßen der Grundmengen Bj zu bewerten, d.h. zu dividieren. Das Bild
10.11 legt dazu die Bereiche Bj und Oj , j = 1, ..., 4, nach den Bildern 10.2 und
10.10 “übereinander“: Wir kommen damit auf sechs Fallunterscheidungen Sς und
Mengen S0,ς , ς = 1, ..., 6, aller Nadeln, die das Gitter (in der ersten Elementarzelle)
nicht treffen.
Auf der nächsten Seite listen wir dazu unter Angabe der Übersicht nach Bild
10.11 noch einmal die anstehenden Fälle auf – dabei vermitteln die durchgezogenen und gestrichelt gezeichneten Linien, auf welcher Seite der bezeichnete Bereich
offen ist. Anschließend werden dann die geometrischen Wahrscheinlichkeiten für die
entsprechenden Mengen bzw. Ereignisse bestimmt.
248
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
l
a=
S2
l
Ö1 + l
2
S4
S6
S1
S3
S5
a
1
1/m
0
Bild 10.11: Bereiche für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p0 (ii)
Dem Durchschnitt der Fallunterscheidungen gemäß, ist also zwischen folgenden
Nadeln bzgl. ihrer Länge zu unterscheiden, die das Gitter nicht schneiden, vgl. Bild
10.11 und in ausführlicher Darstellung Bild 10.12:
S1:
S2:
S3:
0 < l < min(2 r, a)
2r ≤ l < a
0 < a ≤ l < min(2 r, m a)
⇐⇒
max(λ, 1) < α ,
⇐⇒
1 < α ≤ λ,
⇐⇒
max(λ,
λ
max( √1+λ
2,
S4:
max(2 r, a) ≤ l < min(l1 , m a)
⇐⇒
S5:
ma ≤ l < 2r
⇐⇒
S6:
max(2 r, m a) ≤ l < l1
⇐⇒
1
)
m
λ<α≤
√ λ
1+λ2
1
m
< α ≤ 1,
1
)
m
< α ≤ min(λ, 1) ,
,
< α ≤ min(λ,
1
).
m
Mit den Beziehungen (10.13), (10.14), (10.15) und (10.16) für die µ(Bj ) nach
Satz 10.1.4 und den Angaben (10.17), (10.18), (10.19) und (10.20) für die µ(Oj ),
gilt nun für die geometrische Wahrscheinlichkeit, dass kein Schnitt von Nadeln und
Gitter auftritt:
p(S0,1 ) =
m µ(O1 )
,
µ(B1 )
p(S0,2 ) =
m µ(O2 )
,
µ(B2 )
p(S0,3 ) =
m µ(O3 )
,
µ(B1 )
p(S0,4 ) =
m µ(O4 )
,
µ(B2 )
p(S0,5 ) =
m µ(O3 )
,
µ(B3 )
p(S0,6 ) =
m µ(O4 )
.
µ(B4 )
(10.21)
10.2. KEIN UND MINDESTENS EIN SCHNITT
l
249
S2
l
Ö1 + l
2
a
ma
a
S4
S1
S6
a=
l
ma
Ö1 + m 2 l2
a
a
ma
l
2r
l
S5
ma
2r
S3
0
a
1
1/m
Bild 10.12: Ausführliche Darstellung zu allen Fallunterscheidungen
Insbesondere für “kurze Nadeln“, die nicht mehr als eine Gitterstrecke schneiden
können, d.h. deren Abmessungen sich zum Gitter nach Fall S1 verhalten, sei das
Ergebnis hier vorangestellt: nach Beziehungen (10.13) und (10.17) gilt
p(S0,1 ) =
m(π α2 + λ − 2 α (1 + λ))
,
m π α2 + λ − 2α(1 + m λ)
(10.22)
was mit dem Ergebnis nach [3], Kapitel 6, S. 106f, übereinstimmt. Das Ergebnis
wird dort aus etwas allgemeineren Zusammenhängen über konvexe Mengen herausgearbeitet, aber über kurze Nadeln hinaus nicht ergänzt.
0.8
0.6
p
0.4
0.2
0
2
0.2
1.5
0.4
1
α
0.6
0.5
0.8
λ
1
0
Bild 10.13: p0 über die Parameter α und λ für m = 3
250
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Dividiert man wie im vorangegangenen Fall die Maße der Mengen Bj und Oj in
der Weise nach der Zusammenstellung (10.21), so erhalten wir die Beziehungen im
folgenden Satz, wobei wir die p(Sj ) wieder als Funktionen der Parameter α, λ und
m: p0 (α, λ, m) schreiben. Das voranstehende Bild 10.13 zeigt das Ergebnis graphisch
λ
für m = 3; deutlich ist die “verbotene Zone“ α < √1+λ
2 an p0 = 0 zu erkennen.
m
Satz 10.2.1. Wird eine Nadel der Länge l zufällig in ein Gitter C = Ca,2r
platziert,
so dass es vollständig in dessen Innerem zu liegen kommt, ergeben sich die folgena
den Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit der Parameter α = al , λ = 2r
und der
Gitterzellenzahl m sowie der auf Seite 248 angeführten Fallunterscheidungen:
S1:
S2:
S3:
p0 (α, λ, m) =
p0 (α, λ, m) =
p0 (α, λ, m) =
m(π α2 +λ−2 α (1+λ))
m π α2 +λ−2α(1+m λ)
S5:
p0 (α, λ, m) =
p0 (α, λ, m) =
√ α2
2
1−( λ ) −2αλ− αλ +2α2 arcsin( α
))
λ
√ α2
,
α2
α
2
2mαλ
1−( λ ) −2mαλ−
√
2
2mαλ
(10.24)
+2mα arcsin( λ )
,
(10.25)
√
2
1−( α
)2 +2α 1−α2 − αλ −λ−α2 λ
λ
α
2
)−2α arccos α)
λ
√+2α αarcsin(
α2
2
2
1−( λ ) −2mαλ−
λ
+2mα arcsin( α
)
λ
,
(10.26)
√
m(πα2 −2α+2α 1−α2 −α2 λ−2α2 arccos α)
√
mπα2 −2α+2α 1−m2 α2 −m2 α2 λ−2mα2 arccos(mα)
√
p0 (α, λ, m) =
λ
√
m(πα2 −2α+2α 1−α2 −α2 λ−2α2 arccos α)
m π α2 +λ−2α(1+m λ)
m(2αλ
S6:
(10.23)
m(2αλ
m(2αλ
S4:
,
√
2mαλ
+2α2 arcsin( α
)−2α2 arccos α)
λ
√
2
1−( α
)2 +2α 1−m2 α2 − αλ −λ−m2 α2 λ
λ
.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
α
0.5
(10.27)
√
2
1−( α
)2 +2α 1−α2 − αλ −λ−α2 λ
λ
+2mα2 arcsin( α
)−2mα2 arccos(mα)
λ
p0
,
1
1.5
2
Bild 10.14: p0 als Parameterlinien in λ über α für m = 3
(10.28)
10.2. KEIN UND MINDESTENS EIN SCHNITT
251
Das Bild 10.14 zeigt die geometrischen Wahrscheinlichkeiten p0 in Form von
Parameterlinien für λ = 0 bis 1 in Schritten von 0,1 und λ = 1,2 , 1,5 , 2 und 10
über α aufgetragen – diese Linien sind Schnitte der Fläche in Bild 10.13 für die eben
angegebenen Werte λ = const.
Es ist nicht verwunderlich, dass mit ansteigendem α die Wahrscheinlichkeit für
keinen Schnitt mit den Gitterstrecken zunimmt, bzw. umgekehrt mit steigender Nadellänge (α fallend) abnimmt. Erstaunlicherweise aber gibt es Bereiche in Abhängigkeit von λ, in denen das nicht monoton geschieht! Im folgenden Bild 10.15 ist p0 für
m = 3 und λ = 0,15 , 0,2 und 0,3 über die Nadellänge l aufgetragen. Wie wir sehen,
a
tritt dieser Effekt nur bei breiten Gittern auf, d.h. niedrigen Werten in λ = 2r
. Bei
eher hohen bzw. schlanken Gittern mit eher größeren Werten in λ verschwindet der
Effekt!
1
0
0.8
p
0.6
0.4
0,15
0.2
0,2
0,3
1
2
3
l
4
5
6
7
Bild 10.15: p0 als Parameterlinien in λ über l für m = 3
Dieses Verhalten kann qualitativ folgendermaßen erklärt werden. Zunächst: Bei
immer kürzer werdenden Nadeln geht p0 → 1, d.h. ein Nicht-Treffen des Testobjektes
mit den Gitterstrecken wird zunehmend wahrscheinlicher bis zum sicheren Ereignis.
Je länger dagegen die Nadeln werden, um so mehr fällt die Wahrscheinlichkeit für
ein Nicht-Treffen; jetzt wird es immer wahrscheinlicher, dass die Nadeln eine der
Gitterstrecken treffen und es geht p0 → 0.
In einem tendenziell eher hohen Gitter sinkt p0 monoton zu Null ab – wie diskutiert und es sinnfällig ist. Fallen die länger werdenden Nadeln in ein eher breites
Gitter, so ist ihre Bewegung stärker eingeschränkt, vgl. Bild 10.7, das zeigt, wie die
“langen Nadeln“ in ihrer “Zulässigkeit“ der Bedingung H ⊂ K immer mehr limitiert werden. Die Verläufe für λ = 0,15 und 0,2 im Bild 10.15 zeigen, dass es nun zu
größeren Bereichen kommt, in denen die Wahrscheinlichkeit p0 nach einem leichten
Anstieg konstant bleibt, bevor sie schließlich doch zu Null wird und werden muss –
nämlich bei Erreichen der Länge l1 der Diagonalen.
In diesem Bereich mit einem Plateau in p0 aber liegen alle “zulässigen“ Nadeln
bereits so flach im Gitter, weil sie im Gegensatz zu kurzen Nadeln so stark in ihrer
Drehung gehindert werden, dass es wieder zu einem Anstieg in der Wahrscheinlichkeit kommt, dass die flach fallenden Nadeln auch in einer Gitterzelle verbleiben.
252
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
So geht dieser Effekt denn auch konsequenterweise zurück, wenn die Anzahl der
Gitterzellen erhöht wird, d.h. die Parameter λ durchaus gleich bleiben, die Höhe
des Gitters aber über m zunimmt. Das Bild 10.16 zeigt das Verblassen des Effektes
schon bei m = 5.
1
0
0.8
p
0.6
0.4
0,15
0.2
0,3
1
2
l
0,2
3
4
5
6
7
Bild 10.16: p0 als Parameterlinien in λ über l für m = 5
Extrem ausgeprägt ist dieses Verhalten dann bei m = 2 (bei einer Gitterzelle,
d.h. m = 1 ist natürlich stets p0 = 1, weil das Treffen der einzigen Gitterstrecken
am Rand des Gitters nur für eine Menge an Nadeln vom Maß Null zutrifft). Hier
werden Werte in der geometrischen Wahrscheinlichkeit von fast 50% erreicht, mit
dem die Nadel die einzige in der Mitte liegende Gitterstrecke nicht trifft!
1
0
0.8
p
0.6
0,15
0.4
0,2
0,3
0.2
l
1
2
3
4
5
6
7
Bild 10.17: p0 als Parameterlinien in λ über l für m = 2
Anmerkung zur Darstellung und zum Einsatz des Parameters α: Die Verläufe von
p0 in den Bildern 10.15, 10.16 und 10.17 über die Länge l der Nadeln aufgetragen, sind
auf den ersten Blick sehr anschaulich – gegenüber den Einsatz des bezogenen Parameters α = a/l haben sie jedoch den entscheidenden Nachteil, dass bei sich änderndem
Höhen-Breiten-Verhältnis λ des Gitters die Abszisse
schlecht skalierbar ist und über viele
√
1+λ2
Größenordnungen “wandert“: 0 < l < l1 = a λ . Eine so kompakte Übersicht wie in
den Bildern 10.13 und 10.14 geboten, wird erst durch den Einsatz von α möglich.
10.3. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
10.3
253
Wahrscheinlichkeit für genau einen Schnitt:
k=1
Die im letzten Abschnitt dargestellte Methodik, die geometrische Wahrscheinlichkeit
p0 für keinen Schnitt zwischen Nadel und einer Gitterstrecke im geschlossenen Gitter
zu berechnen, soll nun auf den Fall k = 1 erweitert werden. Dabei beginnen wir,
auch die Notation weiter zu systematisieren und ins allgemeine zu treiben.
Dazu betrachten wir ein Gitter der Höhe κ a und Breite 2 r nach Bild 10.18 und
stellen nach unseren Ergebnissen im Vorspann 10.1 fest, dass es vier Fälle, Mengen
und Maße aller Nadeln gibt, die in die dargestellte “Box“ fallen.
l
Qk2
Qk4
ka
Qk1
k lk
Qk3
2r
0
a
1/k
Bild 10.18: Fallunterscheidungen für Nadeln in einem Gitter der Höhe κa
Diese Fallunterscheidungen sind nach Abhängigkeit der Nadellänge l bzgl. der
Gitterabmessungen a, 2r, bzw. dazu äquivalent nach Parameter α bzgl. der Parameter κ und λ folgendermaßen zu treffen:
Qκ1:
0 < l < min(2 r, κ a)
Qκ2:
2r ≤ l < κa
Qκ3:
Qκ4:
κa ≤ l < 2r
max(2 r, κ a) ≤ l < κlκ
⇐⇒ max(λ, κ1 ) < α ,
⇐⇒
1
κ
⇐⇒
λ<α≤
⇐⇒
< α ≤ λ,
√
λ
1+κ2 λ2
1
κ
,
< α ≤ min(λ, κ1 ) ,
vgl. Bild 10.18, rechts – also ganz analog zu denen, welche die “ganze Box“ (κ = m)
aus dem Vorspann auf Seite 238 betreffen. Wir kürzen die Fallunterscheidungen mit
Q ab und bezeichnen danach die Mengen aller Nadeln, die in das Rechteck fallen
mit Qκ und nach den Fällen unterschieden mit Qκ,j , j = 1, 2, 3 und 4, sowie κ ∈ N.
Die Maße können ebenfalls, ohne eine neue Rechnung anstellen zu müssen, aus
dem Vorspann übernommen werden.
Korollar 10.3.1. Die Maße der Mengen Qκ,j , j = 1, 2, 3 und 4, aller Nadeln für
den zufälligen Wurf im geschlossene Gitter der Höhe κa und Breite 2r ergeben sich
254
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
für die Fälle Qκ1, Qκ2, Qκ3 und Qκ4 aus Satz 10.1.4 zu
³ £
´
¤
l2
µ(Qκ,1 ) = λ · α πκα − 2κλ − 2 + λ ,
(10.29)
µ(Qκ,2 ) =
l2
λ
q
· α 2κλ 1 − ( αλ )2 −
µ(Qκ,3 ) =
l2
λ
¤
£ √
· α 2 1 − κ2 α2 − κ2 αλ − 2κα arccos(κα) + πκα − 2 ,(10.31)
µ(Qκ,4 ) =
l2
λ
q
³ £
¡ ¢2
· α 2κλ 1 − αλ −
£
α
λ
¤
+ 2κα arcsin( αλ ) − 2κλ ,
α
λ
+ 2κα arcsin
(10.30)
¡α¢
λ
´
¤
+2 1 − κ2 α2 − κ2 αλ − 2κα arccos(κα) − λ .
√
(10.32)
Um im folgenden nicht stets für die einzelnen Schnittzahlen k = κ die Länge
nach Fall Qκ4 einschränken zu müssen, setzen wir im folgenden das Maß µ(Qκ,4 )
λ
unter der Grenze α < √1+κ
2 λ2 stetig fort in und mit der folgenden
Definition 10.3.2. Für eine Nadel H der Länge l definieren wir bzgl. einer Box K
a
der Abmessungen κa und 2r, bzw. mit α = al und λ = 2r
folgende Funktion:

µ(Qκ,1 ),





 µ(Qκ,2 ),
µ(Qκ,3 ),
q(α, λ, κ) :=



µ(Qκ,4 ),



0,
H entspricht Fall Qκ1 ,
H entspricht Fall Qκ2 ,
H entspricht Fall Qκ3 ,
(10.33)
H entspricht Fall Qκ4 ,
H 6⊂ K .
Der Idee des Schrittes 1 aus dem letzten Abschnitt folgend, kann jetzt wieder
die Menge aller Nadeln Q2 in einem Gitter der Höhe 2a als Mengen S01 und S02 der
Nadeln mit keinem Schnitt der Gitterstrecke in den beiden Elementarzellen und der
Menge S11 der Nadeln mit einem Schnitt der Gitterstrecke vereinigt werden, vgl. Bild
10.19:
Q2 = S01 ∪ S02 ∪ S11 .
(10.34)
Da diese drei Mengen paarweise disjunkt sind, folgt aus (10.34) nun
µ(Q2 ) = µ(S01 ) + µ(S02 ) + µ(S1 )
(10.35)
für das Maß dieser Mengen. Da µ(S01 ) = µ(S02 ) = µ(Q1 ) und µ(Q2 ) bekannt sind:
µ(Q1 ) = q(α, λ, 1) , µ(Q2 ) = q(α, λ, 2) ,
erhalten wir aus (10.35) das Maß der Menge aller Nadeln, die in einem Gitter der
Höhe 2a die (einzige) Gitterstrecke genau einmal schneiden zu
µ(S11 ) = q(α, λ, 2) − 2 · q(α, λ, 1) .
(10.36)
10.3. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
zweite
2a
255
S11
Q2
S02
und
a
erste
Elementarzelle
Q1
S01
0
Bild 10.19: Schnittmengen im Gitter der Höhe 2a
Da ein Gitter der Höhe ma aus m − 1 Gitterstrecken besteht und das Gitter und
der Nadelwurf isotrop darauf stattfindet, also keine der Elementarzellen bevorzugt
ist, kann das Maß der Menge S1 aller Nadeln mit genau einem Schnitt zu
µ(S1 ) =
m−1
X
µ(S1i ) = (m − 1) · µ(S11 )
(10.37)
i=1
bestimmt werden. Aus (10.36) und (10.37) ergibt sich damit die geometrische Wahrscheinlichkeit
¡
¢
(m − 1) · q(α, λ, 2) − 2 q(α, λ, 1)
p(S1 ) =
(10.38)
q(α, λ, m)
für eine Nadel im geschlossenen Gitter genau eine der Gitterstrecken zu treffen. Das
Bild 10.20 macht das Prinzip noch einmal deutlich, nach dem wir vorgegangen sind.
Die Menge Sm aller Nadeln im Gitter C wird mit q(α, λ, m) = µ(Qm ) gemessen. Das
Maß der Menge an Nadeln in dieser Gesamtmenge mit genau einem Schnitt, kann
man sich daraus wie durch ein “Filter“ herausgesiebt vorstellen, wobei dieses Filter
nach und nach über das ganze Gitter C geschoben wird.
ma
(m - 1) m( S11)
...
q(a, l, m)
C
2a
a
0
Bild 10.20: Prinzip zur geometrischen Wahrscheinlichkeit von S1
Anmerkung: Durch die Definition der Funktion q ist sichergestellt, dass im Falle
von l > 2l2 , also einer Nadellänge, die größer als die Diagonallänge im “Filtergitter“
256
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
der Höhe 2a ist, die geometrische Wahrscheinlichkeit für genau einen Schnitt zwischen Nadel und Gitter verschwindet, denn es gilt:
q(α, λ, 1) = q(α, λ, 2) = 0
für l > l1 , bzw. l > 2l2 > l1 . Eine Form wie (10.38) basierend auf der Funktion q
nach (10.33) und den Maßen in Satz 10.3.1 kann in Mathematica leicht umgesetzt
werden, vgl. Anhang B auf Seite 350. Das Bild 10.21, das p1 über α und λ für ein
Gitter mit drei Elementarzellen zeigt, wurde auf Basis der obigen Beziehungen mit
all den vorkommenden Fallunterscheidungen in Mathematica erzeugt.
λ
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
p 0.4
0.2
0
2
1.5
1
α
0.5
0
Bild 10.21: p1 (α, λ, 3)
Wir wollen uns nicht im einzelnen die Mühe machen, für alle in (10.38) verborgen
gebliebenen Fallunterscheidungen die expliziten Beziehungen von p1 anzugeben. Dies
soll nur stichpunktartig entlang unserer folgenden Diskussion geschehen.
l
l
Q12
Q22
Q14
Q24
Q11
Q21
Q13
Q23
0
1/2
1
a
0
1/2
1
Bild 10.22: Die zu berücksichtigenden Fälle für Q1 und Q2
a
10.3. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR GENAU EINEN SCHNITT: K = 1
257
Das Bild 10.22 zeigt zunächst einige Fälle zur Bestimmung von µ(Q1 ) und µ(Q2 ),
um die Wahrscheinlichkeit nach genau einem Schnitt in der Form
¡
¢
(m − 1) · µ(Q2 ) − 2 µ(Q1 )
p1 =
(10.39)
µ(Qm )
zu gewinnen. Schieben wir die Bilder zusammen, so erkennen wir, dass es allein für
den Zähler sechs Fallunterscheidungen gibt, denn µ(Q1 ), bzw. µ(Q2 ) kann je nach
Nadel-Gitter-Konfiguration gemäß der Fälle Q11, Q12, Q13 oder Q14, bzw. Q21,
Q22, Q23 oder Q24 bestimmt werden. Für die geometrische Wahrscheinlichkeit
kommt dann noch der Nenner mit dem Maß µ(Qm ) hinzu, der ebenfalls zwei Fälle
beiträgt – wegen m1 < 12 < 1 nämlich α S m1 .
Wenn wir explizit mit den Maßen µ(Qκ ) arbeiten, ist zudem der in der Definition
λ
von q enthaltene Fall von α < √1+κ
2 λ2 zu berücksichtigen, denn die Maße der Mengen
Qκ sind unterhalb dieser Grenzkurve nicht sinnvoll auszuwerten, bzw. ergeben negative Funktionswerte, während in der Beziehung (10.39) dann nur verschwindende
Werte geboten sind.
l
(5)
(9)
(2)
(4)
Q14 Q12
(14)
(8)
(13)
Qm4
(12)
(7)
Qm2
Q23 Q21
(11)
Qm3
Qm1
(10)
0
Q13 Q11
Q24 Q22
1/m
(1)
(3)
(6)
1/2
1
a
Bild 10.23: Alle zu berücksichtigenden Fälle für k = 1
Das Bild 10.23 stellt alle vierzehn Fälle dar, nach denen (10.39) auszuwerten ist,
wenn man zu den expliziten Angaben von p1 gelangen möchte. Die grau schattierten Symbole deuten den “Verzweigungspunkt“ der Fallunterscheidungen an. (Dabei
erinnern wir noch einmal daran, dass im Grunde genommen bereits alle Informationen mit der Funktion q und den Angaben nach Satz 10.3.1 vorliegen, um in “Besitz“
quantitativer Aussagen über p1 zu sein – wie ja auch Bild 10.21 zeigt.)
Wir erproben uns jetzt an dem Fall (1) mit der “kleinsten“ Nadel, für die nach
Bild 10.23 offenbar
¡
¢
(m − 1) · µ(Q2,1 ) − 2 µ(Q1,1 )
(m − 1) · (2α − λ)
=
p1 =
µ(Qm,1 )
πmα2 − 2mαλ − 2α + λ
258
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
gilt – jetzt mit der Doppelindizierung der Qκ nach den Fällen j, also: Qκ,j –, was
noch recht überschaubar ist. Alle folgenden Angaben übernehmen wir direkt aus
Mathematica mit denen die Berechnungen angestellt wurden: Etwas aufwändiger ist
schon der Fall (2) mit
¡
¢
(m − 1) · µ(Q2,2 ) − 2 µ(Q1,2 )
p1 =
µ(Qm,2 )
=
−α + 2 m λ2
¡p
(m − 1) α
¢
.
1 − ( αλ )2 − 1 + 2 m α λ arcsin( αλ )
Schließlich möchten wir noch den Unterschied in den Fällen (4) und (5) nach dem
Diagramm in Bild 10.23 zeigen. Dabei zeigen die Grenzlinien mit der teilweisen
Schraffur an, wo die Maße der jeweiligen Mengen Qκ,4 , bzw. Fälle Qκ4 mit κ = 1,
λ
2 oder κ = m verschwinden. Zunächst gilt dabei für ein α > √1+λ
2 die Beziehung
p1
¡
¢
(m − 1) · µ(Q2,2 ) − 2 µ(Q1,4 )
=
µ(Qm,2 )
¢
¢
¡ 2
¡√
(m − 1) 2λ − 4 α λ 1 − α2 + λ + α2 (1 + 2 λ2 ) + 4 α2 λ arccos(α)
¡
¡p
¢
¢
=
.
α −α + 2 m λ2
1 − ( αλ )2 − 1 + 2 m α λ arcsin( αλ )
Wird nun α kleiner als
p1
√ λ
,
1+λ2
so ist µ(Q1,4 ) = 0 zu berücksichtigen, was
¡
¢
(m − 1) · µ(Q2,2 )
=
µ(Qm,2 )
¡
¢
¢
¡p
1 − ( αλ )2 − 1 + 4 α λ arcsin( αλ )
(m − 1) −α + 4 λ2
¢
¡p
=
−α + 2 m
1 − ( αλ )2 − 1 λ2 + 2 m α λ arcsin( αλ )
ergibt. Für den Fall (13) nach Bild 10.23 verschwindet der Zähler in p1 und wir erhalten das unmögliche Ereignis eines Schnittes; weil l länger als die zweite Diagonale
ist, sind nur noch mehr als zwei Schnitte möglich. Vorsicht ist übrigens im Gebiet
(14) geboten, denn hier verschwinden Zähler und Nenner, so dass p1 nicht mehr
auszuwerten ist – wir verlassen hier das Gebiet der zulässigen Nadeln, die noch in
das Gitter fallen können.
Damit wollen wir es belassen, die geometrische Wahrscheinlichkeit p1 explizit
anzugeben, denn es handelt sich in allen Fällen um Kombinationen der “Bausteine“
(10.29) bis (10.32). Besser ist es tatsächlich, p1 in der kompakten Form (10.38) zu
behalten und die darin vorkommenden Beziehungen (10.29) bis (10.32) nach den
angegebenen Fallunterscheidungen zu “programmieren“, um zu Auswerteformen zu
kommen. Hieran kann man sehen, dass der Rechner nicht nur als “Simulator“ oder
“Integrator“ gute Dienste leistet, sondern auch bei vorliegender analytischer Lösung
ein effizienter “Verwalter“ an Teilfunktionen ist.
10.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 0 ≤ K ≤ M − 1
10.4
259
Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 0 ≤ k ≤
m−1
Die Angabe der geometrischen Wahrscheinlichkeiten für den k-fachen Schnitt einer
Nadel mit dem “geschlossenen“ Gitter folgt nun den Prinzipien der letzten beiden
Abschnitte. Zunächst stellen wir fest, dass ein mögliches Ereignis für k > 1 nur
eintritt, wenn die Länge l der Nadel
(k − 1)a < l < (k + 1)lk+1
erfüllt. Denn nur dann kann die Nadel überhaupt k Gitterstrecken treffen und andererseits bleibt es ausgeschlossen, dass stets mehr als k Gitterstrecken geschnitten
werden. Dies verdeutlicht das Bild 10.24 im α-λ-Diagramm; die eingezeichneten Gitter veranschaulichen die hier nicht mehr erreichbare Schnittzahl k = 3.
l
0
0
0
p>0
1/(k +1)
1/(k -1)
a
Bild 10.24: Bereich für k Schnitte mit p > 0
Die Bestimmung der Menge Sk aller Nadeln im Gitter, die dieses genau k-mal
treffen, kann jetzt wieder rekursiv mit Hilfe der “vorangehenden“ Mengen Sν , 0 ≤
ν < k geschehen. Denn analog zu den Überlegungen aus den beiden vorherigen
Abschnitten gilt für die Menge Qk+1 aller Nadeln in einem geschlossenen Gitter der
Höhe (k + 1)a die Darstellung
Qk+1 =
k+1
[
i=1
S0i
∪
k
[
i=1
S1i
∪
k−1
[
i=1
S2i
∪ ··· ∪
2
[
i=1
i
Sk−1
∪
1
[
Ski
(10.40)
i=1
als disjunkte Vereinigung aller Schnittmengen Sνi an Nadeln in einer “Box“ der
Höhe (k + 1)a, welche die Elementarzellen i bis i + ν bei ν Schnitten des Gitters
überstreichen. Dies verdeutlicht noch einmal das zu 10.20 analoge Bild 10.25, in
dem die eingezeichneten Nadeln stellvertretend für die Gesamtheit der Nadeln dieser
Menge mit keinem, einem usw. Schnitten stehen. Dieser repräsentative Ausschnitt
innerhalb der Menge Qk+1 kann jetzt wieder (m − k)-mal über das isotrope Gitter
“geschoben“ werden, um die Menge Sk aller Nadeln im Gitter C zu erfassen.
260
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
ma
...
}
...
C
S 12
...
Qk + 1
(k +1) a
S02
S21
S11
(m - k)
a
S01
0
Bild 10.25: Prinzip zur geometrischen Wahrscheinlichkeit von Sk
Nach diesem Prinzip und aufgrund der Isotropie des Gitters, d.h. wegen
µ(Sν1 ) = µ(Sν2 ) = · · · = µ(Sνk+1−ν ) ,
gewinnen wir aus (10.40) die Beziehung
µ(Sk1 )
= µ(Qk+1 ) −
k−1
X
(k + 1 − ν) µ(Sν1 ) .
(10.41)
ν=0
Hierin kann man sich den Ausdruck (k + 1 − ν) µ(Sν1 ) unter der Summe als Maß
der Menge aller Nadeln vorstellen, die einen ν-fachen Schnitt in der Box der Höhe
(k + 1)a mit dem Gitter bilden. Wegen der Isotropie gilt
µ(Sν ) = (m − ν)µ(Sν1 ) , bzw. µ(Sν1 ) =
µ(Sν )
, ν = 0, 1, ..., m − 1 ,
m−ν
und wir gelangen zu
k−1
X
¤
k+1−ν
µ(Sν )
µ(Sk ) = (m − k) · µ(Qk+1 ) −
m−ν
ν=0
£
(10.42)
als rekursive Beziehung für die Maße der Mengen an Nadeln mit einem k-fachen
Schnitt des Gitters C. Nach Division durch µ(Qm ) erhalten wir wegen
pν =
µ(Sν )
µ(Qm )
daraus folgendes
Lemma 10.4.1. Gegeben sei ein Gitter C mit m Elementarzellen der Höhe a und
Breite 2r; die Länge der Diagonale des Gesamtgitters sei Lm . Für die geometrische
10.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 0 ≤ K ≤ M − 1
261
Wahrscheinlichkeit einer Nadel der Länge 0 < l < Lm genau k Gitterstrecken von
C zu schneiden gilt die Rekursionsgleichung:
k−1
X
k+1−ν ¤
pk = (m − k) · Pk+1 −
pν
m
−
ν
ν=0
£
mit
Pk+1 :=
(10.43)
qk+1
q1
und dem Rekursionsbeginn p0 = m .
qm
qm
a
die in (10.33) der Definition
Dabei sind qκ := q(α, λ, κ) mit α = al und λ = 2r
10.3.2 beschriebenen Funktionswerte an den Stellen κ = 0, 1, ..., m − 1.
Eine explizite Darstellung von pk in den Funktionen qν kann man mit Hilfe der
Z-Transformation oder darstellender Funktionen gewinnen. In diesem Fall ist diese
aber recht einfach zu erkennen, was wir im nächsten Satz und Beweis zeigen werden.
Satz 10.4.2. Die Lösung der Rekursionsgleichung (10.43) ist
pk =
¢
m−k¡
qk−1 − 2qk + qk+1 , k = 0, 1, ..., m − 1,
qm
(10.44)
wobei q0 = q−1 = 0 sei und im übrigen wieder qκ := q(α, λ, κ), κ = k − 1, k, k + 1,
nach der Beziehung (10.33) ist.
Beweis. Die Gültigkeit von (10.44) kann leicht über vollständige Induktion gezeigt werden. Es gilt zunächst als Induktionsanfang (I.A.) für k = 0 das bekannte Ergebnis
p0 = m
q1
,
qm
vgl. (10.21) im Abschnitt 10.2. Mit der Induktionsvoraussetzung (I.V.)
pν =
¢
m−ν¡
qν−1 − 2qν + qν+1
qm
für alle ν = 0, 1, ..., k liefert die Rekursionsbeziehung (10.43) der Form
k−1
X
k+1−ν ¤
Rk := (m − k) · Pk+1 −
pν
m−ν
£
ν=0
nun zunächst für das Argument k + 1 die Darstellung:
k
X
£
Rk+1 = (m − (k + 1)) · Pk+2 −
k+2−ν
m−ν
pν
¤
ν=0
= (m − (k + 1)) ·
£ qk+2
qm
−
k
X
k+2−ν
qm
¡
¢¤
qk−1 − 2qk + qk+1
ν=0
=
m−(k+1) £
qk+2
qm
−
k
X
ν=0
¡
¢¤
(k + 2 − ν) qk−1 − 2qk + qk+1 .
(10.45)
262
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Der Subtrahend in der eckigen Klammer lässt sich nun in Form einer Teleskopsumme stark
vereinfachen. Um das zu sehen, betrachten wir eine Teilsumme aus ν = κ − 1, κ und κ + 1
und verfolgenden den Funktionswert qκ dabei:
ν =κ−1 :
ν=κ
(k + 2 − κ + 1) qκ
: + (k + 2 − κ)
(−2qκ )
ν = κ + 1 : + (k + 2 − κ − 1) qκ
= 0.
Wegen q−1 = q0 = 0 verschwinden damit alle Summanden qκ von κ = 1 bis κ + 1 = k bzw.
κ = k − 1. Damit verkürzt sich die gesamte Summe zu
k
X
(k + 2 − ν)(qν−1 − 2qν + qν+1 ) =
ν=0
(k + 2 − (k − 1)) (qk )
+ (k + 2 − k) (−2qk + qk+1 )
= 2qk+1 − qk
und in (10.45) erhalten wir damit
Rk+1 =
=
¢
qk+2 − (2qk+1 − qk )
¢
m−(k+1) ¡
qk − 2qk+1 + qk+2 ,
qm
m−(k+1)
qm
¡
d.h. die Rekursion liefert Rk+1 = pk+1 nach (10.44), was den Beweis abschließt. ¤
Damit haben wir eine komplette Lösung ausgedrückt in den qk nach Definition 10.3.2 vorliegen. Eine explizite Angabe der pk nach allen Fallunterscheidungen
werden wir nicht mehr unternehmen. Nach Bild 10.26 wäre das durchaus möglich.
Darin sind die vier Fälle nach denen der Nenner qm aufzuteilen wäre dargestellt und
stellvertretend die vier Fallunterscheidungen an α ≶ 1/k, α ≶ λ eingezeichnet. Außerdem ist zu beachten, dass im Falle k = m − 1 die Unterteilung bei α = 1/(k + 1)
mit der von 1/m zusammenfällt. Für ein 1 < k < m − 1 erhält man so zusammen
mit den beiden Bereichen 0 insgesamt 19 Fälle, nach denen die µ(Qν,j ) in (10.29)
bis (10.32) in den qν nach Definition 10.3.2 zusammen mit den Fällen, nach denen
für die µ(Qν ) = 0 zu setzten ist, zu kombinieren sind.
Abschließend zeigen wir noch einige graphische Ergebnisse und stellen die pk für
Schnittzahlen von k = 0, 1, 2, 3 und 4 bei einer Zellenzahl von m = 10 über α und
λ dar, vgl. Bilder 10.27 bis 10.31.
Dabei haben wir die Beziehung (10.44) aus Satz 10.4.2 benutzt, zusammen mit
der abschnittsweise definierten Funktion qν nach Definition 10.3.2. In Mathematica
lässt sich damit bequem eine auswertbare Funktion angeben, die für numerische und
graphische Belange ihren Dienst verrichtet.
10.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 0 ≤ K ≤ M − 1
263
l
0
Qk2
Qk4
0
Qk1
Qk3
Qm2
Qm4
Qm3
0
Qm1
1/m
1/(k +1)
1/k
1/(k- 1)
a
Bild 10.26: Alle zu berücksichtigenden Fälle für k > 1
1
0.8
0.6
0.4
p 0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
λ
0.5
1
α
0.2
1.5
2
2.5
Bild 10.27: p0 (α, λ, 10)
Die Bilder 10.27 und 10.28 für k = 0 und k = 1 sind uns qualitativ schon aus
den beiden vorhergehenden Abschnitten bekannt. Die Darstellung liegt hier übrigens
gegenüber denen in den Bildern 10.13 und 10.21 gedreht vor! In den Bildern 10.13
und 10.21 liegt der Ursprung (α, λ) = (0, 0) rechts, hier nun durchgehend links.
264
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
1
0.8
0.6
0.4
p 0.2
0
1
0.8
0.6
λ
0.4
0.5
0.2
1
α
1.5
2
Bild 10.28: p1 (α, λ, 10)
1
0.8
0.6
0.4
p 0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
λ
0.5
0.2
α
1
1.5
Bild 10.29: p2 (α, λ, 10)
Die Schnittzahlen k = 0 und k = 1 zeigen noch einen Wert von p0 , p1 > 0 im
λ
√ λ
.
gesamten Gebiet für α > √1+λ
2 , bzw. α >
1+4λ2
Ab k > 1 tritt dann die in Bild 10.24 gezeigte Limitierung zu Tage. Dies ist in
den Bildern 10.29, bzw. 10.30, bzw. 10.31 an p2 = 0, bzw. p3 = 0, bzw. p4 = 0
1
1
1
für α > 2−1
= 1, bzw. α > 3−1
= 12 , bzw. α > 4−1
= 31 zu erkennen. Außerdem
λ
√ λ
verschwinden die pk , k = 2, 3 und 4 auch für α < √1+9λ
, bzw.
2 , bzw. α <
1+16λ2
λ
α < √1+25λ2 .
10.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 0 ≤ K ≤ M − 1
1
0.8
0.6
0.4
p 0.2
0
265
1
0.8
0.6
λ
0.4
0.2
0.4
α
0.2
0.6
0.8
1
Bild 10.30: p3 (α, λ, 10)
1
0.8
0.6
0.4
p 0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
λ
0.1
0.2
α
0.2
0.3
0.4
0.5
Bild 10.31: p4 (α, λ, 10)
Schön zu beobachten ist auch, wie pk → 1 strebt, wenn λ → ∞, also das Gitter
immer schmaler wird und die Länge l = ka beträgt. Dann verbleibt fast nur noch
die vertikale Position für die Nadel, in der sie stets k Gitterstrecken schneidet und
schon den Zufallsexperimenten in einer Dimension im letzten Kapitel nahekommt
– was bei λ → ∞ tatsächlich exakt der Fall ist und auf der nächsten Doppelseite
auch gezeigt werden soll! Wir sehen das in allen Bildern gemäß der Längenbeziehung
l = ka, bzw. α = k1 – selbst für k = 0, wo neben λ dann auch α → ∞ strebt, um
sich p → 1 anzunähern.
266
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Der Fall λ → ∞ bei endlicher Anzahl m an Gitterzellen: Wie im letzten Absatz
angekündigt, geht das ebene geschlossene Gitter bei 2r → 0, bzw. λ → ∞ in das eindimensionale geschlossene Punktgitter über, vgl. Abschnitt 11.4 des nächsten Kapitels
und die Idee gemäß des folgenden Bildes 10.32.
C
C
H
H
Bild 10.32: Ein Weg in die Dimension 1
Im Vorgriff auf die kommenden Resultate für das geschlossene Gitter erhalten wir diese
tatsächlich bereits hier, wenn wir mit Hilfe der allgemeinen Lösung
pk = (m − k)
qk−1 − 2qk + qk+1
, k > 0,
qm
aus Satz 10.4.2 und der “Karte“ im Bild 10.33, vgl. auch Bild 10.26, für die zu berücksichtigenden Fälle der Funktionen q.
l
Q(k+1)2
Qm2
Qk2
0
0
0
1/m
1/(k + 1)
1/k
1/(k - 1)
a
Bild 10.33: Die Fälle für λ → ∞
den Grenzübergang λ → ∞ durchführen. Die dunkel gefärbten Kreise zeigen dabei die
Fälle für die folgenden Bereiche des Längen-Parameters α an:
1
m
<
1
k+1
<
1
k
<
1
k−1
<
∞.
Es ist zu erkennen und deckt sich mit der Diskussion und Darstellung nach Bild 10.24,
1
1
1
dass p = 0 für die Parameterbereiche m
< α ≤ k+1
und k−1
< α < ∞ gilt. Dagegen
erhalten wir für
10.4. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR K SCHNITTE: 0 ≤ K ≤ M − 1
1
k+1
1
k
1
k
: pk = (m − k)
0 − 2 · 0 + µ(Qk+1,2 )
µ(Qm,2 )
1
k−1
: pk = (m − k)
0 − 2µ(Qk,2 ) + µ(Qk+1,2 )
V (α, λ, k − 1)
= (k − m)
µ(Qm,2 )
V (α, λ, m)
< α ≤
< α ≤
267
= (m − k)
V (α, λ, k + 1)
,
V (α, λ, m)
mit den Maßen der Qκ,j nach Korollar 10.3.1 und den daraus gebildeten Funktionen
³q
V (α, λ, κ) := 2 κ λ
1−
α2
λ2
2
´
¡ ¢
− 1 + 2 κ αλ arcsin αλ − α , α, λ > 0 , κ ∈ N .
Unterstützt vom Grenzübergang
lim V (α, λ, κ) = −κ α2 + 2 κ α2 − α = α(κ α − 1)
λ→∞
erhalten wir nun die Wahrscheinlichkeiten
1
k+1
1
k
1
k
:
1
k−1
:
< α ≤
< α ≤
lim pk = (m − k)
³
k ´ (k + 1)α − 1
(k + 1)α − 1
= 1−
,
1
mα − 1
m
α− m
lim pk = (k − m)
³
k ´ 1 − (k − 1)α
(k − 1)α − 1
= 1−
,
1
mα − 1
m
α− m
λ→∞
λ→∞
vgl. mit den Angaben in (11.17) aus Abschnitt 11.4.2. Die Beziehung (11.16) für die Wahrscheinlichkeit p0 keines Schnittes kann einfacher Weise aus Satz 10.2.1, Gleichung (10.24)
nach Fall S2, ermittelt werden, indem man analog zur obigen Grenzwertbetrachtung jetzt
für 1 < α :
lim p0 (α, λ, m) =
λ→∞
α−1
m(α − 1)
=
1
mα − 1
α− m
bestimmt; im Falle von 0 < α ≤ 1 gilt p0 → 0 für λ → ∞.
Für das offene eindimensionale Gitter gelingt diese Ableitung der Beziehungen für
die geometrischen Schnittwahrscheinlichkeiten indes (leider) nicht, denn auch bei beliebig
kurzen Gitterstrecken darf die Nadel H eine uneingeschränkt “freie“ Lage bzgl. des Gitters
einnehmen, solange sie nur die Einhüllende desselben trifft, siehe Bild 10.34.
C
H
Bild 10.34: Kein Weg in die Dimension 1
¤
268
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
10.5
Rechnergestütztes Zufallsexperiment
Wir nutzen unser im Abschnitt 8.2.2 vorgestelltes Simulationsprogramm in C noch,
um auch eine Simulation für den Nadelwurf im geschlossenen Gitter rechnergestützt
durchzuführen.
Die notwendige Abänderung, um vom offenen zum geschlossenen Gitter zu gelangen, ist sehr einfach: Der Test, ob eine zufällig platzierte Nadel die Gitterberandung
schneidet oder die Nadel ganz im Inneren des Gitters zu liegen kommt, wird nur
noch auf die zuletzt genannte Bedingung eingeschränkt.
Dazu ist lediglich der auf Seite 211 dargestellte Test ab Zeile 4 so zu verändern,
dass eine im Deklarationsteil des Programms eingeführte boolsche Größe
bool
innen;
genau dann den Wahrheitswert true zugewiesen bekommt, wenn die Nadel keine der
Randlinien trifft, aber der Mittelpunkt der Nadel in das Innere des Gitters fällt:
HaufK = 0;
str schnitt(Gitter unten, Nadel,&s); HaufK = HaufK +
str schnitt(Gitter oben, Nadel,&s); HaufK = HaufK +
str schnitt(Gitter links, Nadel,&s); HaufK = HaufK +
str schnitt(Gitter rechts,Nadel,&s); HaufK = HaufK +
innen = false;
if (HaufK == 0)
if (xM >= −r && xM <= r && yM >= 0 && yM <= m*a)
innen = true;
s;
s;
s;
s;
if (innen)
{
...
}
...
Eine Simulation der Konfiguration aus dem letzten Abschnitt mit α = 0,25
und λ = 0,15 bei m = 10 Elementarzellen ergibt dann beispielsweise das folgende
Simulationsprotokoll:
Nadelwurf im geschlossenen Gitter
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
alpha = 0.25000000 , lambda = 0.15000000 , m = 10
a = 1.00000000 , r = 3.33333333 , L = 4.00000000
Durchgang = 1000 , Anzahl = 100000
p 0 = 0.07342681
p 1 = 0.14330682
p 2 = 0.16566899
p 3 = 0.26797029
p 4 = 0.34962709
p 5 = 0.00000000
Treffer im Mittel = 19629.17600000
10.6. DISKUSSION UND VERGLEICH
269
Ein Vergleich dieser Simulation mit der rekursiv, analytisch gewonnenen Berechnung zeigt eine gute Übereinstimmung, wie die nachfolgende Tabelle auflistet.
Tabelle 10.2: Ergebnis des Zufallsexperiments, pk analytisch, p̄k experimentell; Dezimalstellen abgeschnitten
k
0
1
2
pk
p̄k
0,0733409
0,0734268
0,143276
0,143306
0,165609
0,165668
k
3
4
5
pk
p̄k
0,268135
0,267970
0,349639
0,349627
0
0,000000
Natürlich sinkt die Trefferanzahl mit der dargestellten, einschränkenden Bedingung noch weiter ab und auch das Protokoll zeigt nur noch eine magere Ausbeute von
19,6 % an insgesamt fallenden Nadeln, die den Bedingungen genügen, vollständig
in das Gitter zu fallen. Um das Experiment effizienter zu machen, kann man die
Berandung, in welche die Mittelpunkte der Nadeln fallen dürfen, kleiner machen.
10.6
Diskussion und Vergleich
Auch für das geschlossene Gitter schauen wir uns wieder die Dichtefunktionen in
Abhängigkeit von λ an. Das Bild 10.35 zeigt verschiedene Graphiken, in denen der
Parameter α bei konstanter Zellenzahl von m = 5 variiert wurde. Dabei nimmt α
die folgenden Werte an, wenn man die Bilder von oben, links nach rechts, unten
verfolgt:
¡
¢
α = 4 , 1,8 , 1,2 , 0,6 , 0,4 , 0,3 , 0,2 , 0,1 .
Bei abnehmender Größe des Parameters α stellt man dabei fest, dass die geometrische Wahrscheinlichkeit wie eine “Welle“ vom linken mit k = 0 zum rechten
Rand mit k = m − 1 läuft und schließlich für sehr kleine Werte in α gegen den Rand
mit λ = 0 “brandet“.
Das hängt natürlich damit zusammen, dass sehr kurze Nadeln (großes α) hohe
Wahrscheinlichkeiten eher für kein Treffen des Gitters aufweisen und in der Länge
zunehmende Nadeln (kleineres α) dagegen mehr Schnitte zeigen – je nach Länge
werden dabei einige Schnittzahlen auch gar nicht angenommen und es gilt p = 0.
Geht α gegen Null, so bleibt der immer länger werdenden Nadel schließlich nur noch
in einem sehr breiten Gitter, d.h. bei sehr kleinen Werten in λ, Platz.
Außerdem fällt auf, dass für größer werdendes λ die Werte der geometrischen
Wahrscheinlichkeit immer mehr der Konstanz zuneigen. Dies erklärt sich aus der
270
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
1
1
p
3
2
0
0
1
1
2
k
3
p
3
2
0
0
λ
1
1
2
k
40
1
3
λ
40
1
p
3
2
0
0
1
1
2
k
3
p
3
2
0
0
λ
1
1
2
k
40
1
3
λ
40
1
p
3
2
0
0
1
1
2
k
3
p
3
2
0
0
λ
1
1
2
k
40
1
3
λ
40
1
p
3
2
0
0
1
1
2
k
3
40
λ
p
3
2
0
0
1
1
2
k
3
40
Bild 10.35: Dichtefunktionen im geschlossenen Gitter
λ
10.6. DISKUSSION UND VERGLEICH
271
mit wachsendem λ zunehmenden Schlankheit des Gitters, das mehr und mehr nur
noch sehr “steil fallenden Nadeln“ Raum bietet und gemäß ihrer Länge dabei mit
diesen immer eine oder zwei Schnittanzahlen aufweist. Wir nähern uns dann mehr
und mehr dem Zufallsexperiment auf einer Linie, dem wir uns im nächsten und
abschließenden Kapitel zuwenden werden.
Beenden möchten wir diese kleine Studie über das geschlossene Gitter wieder
durch den Zirkelschlag zum Buffonschen Ausgangsproblem. Denn mit
m , 2r → ∞
=⇒
1
m
, λ → 0
(10.46)
gelangen wir wieder zum Zufallsexperiment V und sollten die Ergebnisse des Abschnittes 7.2 erhalten.
Beginnen wir mit dem einfachen Fall von p0 für “kurze Nadeln“ nach (10.22),
der mit der Grenzwertbetrachtung (10.46) übergeht in
p0 =
=
lim
m(π α2 + λ − 2 α (1 + λ))
m π α2 + λ − 2α(1 + m λ)
lim
α(π α − 2) + λ(1 − 2α)
2
2l
=
1
−
=
1
−
,
λ
1
πα
πa
π α2 + m − 2α( m + λ)
1/m, λ→0
1/m, λ→0
was wieder dem bekannten Ergebnis (7.20) entspricht. Darüber hinaus können wir
mit unserem Gesetz
pk =
¢
m−k¡
qk−1 − 2qk + qk+1 , k = 0, 1, ..., m − 1,
qm
(10.47)
aus Satz 10.4.2 folgende Argumentation führen. Für eine zunehmende und über alle
Grenzen gehende Anzahl m von Zellen wird stets k < m gelten, so dass die Funktion
qm = q(α, λ, m) im Nenner gemäß den Unterscheidungen nach Seite 253 stets nach
Fall Qm1 auszuwerten ist, d.h. nach Definition 10.3.2 der Funktion q und dem
Korollar 10.3.1 über die hierin versammelten Maße gilt stets
qm =
l2
m
λ
¡
· π α2 +
λ
m
¢
− 2α( m1 + λ) .
(10.48)
Da die qκ , κ = k − 1, k, k + 1 nur endliche Bestandteile enthalten, können wir die
geometrische Wahrscheinlichkeit (10.47) damit bereits in die Form
pk =
=
bringen.
lim
1/m → 0
k ´ qk−1 − 2qk + qk+1
λ³
1
−
λ
l2
m πα2 + m
− 2α( m1 + λ)
λ qk−1 − 2qk + qk+1
l2
πα2
(10.49)
272
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Werden nun wieder die folgenden Größen
β :=
l
1
= , bβc := größter ganzzahliger Anteil in β , ω := bβc + 1
a
α
zur Beschreibung der Nadel in Relation zum Gitter eingeführt, d.h. gilt für die Länge
l der Nadel die Ungleichung
(ω − 1)a ≤ l < ωa ,
so stellen wir danach fest, dass für alle Schnittzahlen k = 0, 1, ..., ω −2 die in pk nach
(10.47) vorkommenden Funktionen qκ stets nach Fall Qκ3 auszuwerten sind, denn
für k ≤ ω − 2 gilt immer bis zu dem größten in pk vorkommenden Index κ = k + 1
von q die Relation
κ=k+1≤ω−1
Mit den Zusammenhängen θ̂κ
Abkürzung (7.29)
=⇒
κa ≤ (ω − 1)a ≤ l .
√
= arccos(κα) und sin θ̂κ = 1 − κ2 α2 sowie der
2
2k
θ̂k
sin θ̂k −
πα
π
nach Abschnitt 7.2.3 können wir nun zunächst für die qκ nach Fall Qκ3 die Beziehung
δk :=
qκ = q(α, λ, κ)
¡ √
¢
2
= lλ · 2α 1 − κ2 α2 − κ2 α2 λ − 2κα2 arccos(κα) + πκα2 − 2α
¢
¡
2
= lλ · κπα2 − 2α + 2α sin θ̂κ − 2κα2 θ̂κ − κ2 α2 λ
(10.50)
feststellen, vgl. die Angabe des Maßes µ(Qκ,3 ) nach (10.31).
Für p0 , d.h. k = 0 mit q−1 = q0 = 0 nach (10.49), resultiert daraus nun bereits
das erste Ergebnis
p0 = lim
λ→0
λ q1
πα2 − 2α + 2α sin θ̂1 − 2α2 θ̂1
2β
=
= 1−
+ δ1 .
2
2
2
l πα
πα
π
Ist 0 < k < ω − 1 summieren wir die qκ für κ = k − 1, k, k + 1 zunächst jeweils
nach Fall Qκ3 und die obige Notation nutzend zu
qk−1 − 2qk + qk+1 =
¡
2
= lλ · (k − 1)πα2 − 2α + 2α sin θ̂k−1 − 2(k − 1)α2 θ̂k−1 − (k − 1)2 α2 λ
− 2k
πα2 + 4α − 4α sin θ̂k
+ 4k
α2 θ̂k
+ 2 k2
α2 λ
¢
+(k + 1)πα2 − 2α + 2α sin θ̂k+1 − 2(k + 1)α2 θ̂k+1 − (k + 1)2 α2 λ
¡
2
= lλ ·
2 α sin θ̂k−1 − 2 · 2α sin θ̂k + 2 α sin θ̂k+1
¢
(10.51)
−2(k − 1)α2 θ̂k−1 + 2 · 2 k α2 θ̂k − 2(k + 1)α2 θ̂k+1 − 2 α2 λ
10.6. DISKUSSION UND VERGLEICH
273
auf. Für k = ω − 1 ist qk+1 jetzt nach Fall Qκ1 und qk , qk−1 sind wieder bzw. noch
nach Fall Qκ3 auszuwerten, so dass wir für dieses k nun
qk−1 − 2qk + qk+1 =
=
l2
λ
¡
· (k − 1)πα2 − 2α + 2α sin θ̂k−1 − 2(k − 1)α2 θ̂k−1 − (k − 1)2 α2 λ
+ 4k
α2 θ̂k + 2 k 2
¢
+(k + 1)πα2 − 2α − 2(k + 1)αλ + λ
¡
2
= lλ ·
2 α sin θ̂k−1 − 2 · 2α sin θ̂k + (k 2 + 2k − 1)α2 λ
¢
−2(k − 1)α2 θ̂k−1 + 2 · 2 k α2 θ̂k − 2(k + 1)αλ + λ
− 2k
πα2 + 4α − 4α sin θ̂k
α2 λ
(10.52)
erhalten. Schließlich sind für k = ω die Funktionen qk+1 und qk nach Fall Qκ1 und
nur qk−1 nach Fall Qκ3 auszuwählen, wonach gilt:
qk−1 − 2qk + qk+1 =
=
l2
λ
¡
· (k − 1)πα2 − 2α + 2α sin θ̂k−1 − 2(k − 1)α2 θ̂k−1 − (k − 1)2 α2 λ
− 2k
πα2 + 4α + 4kαλ − 2λ
+(k + 1)πα2 − 2α − 2(k + 1)αλ + λ
¡
2
= lλ ·
2 α sin θ̂k−1 − (k − 1)2 α2 λ
¢
−2(k − 1)α2 θ̂k−1 + 2(k − 1)αλ − λ .
¢
(10.53)
Setzt man nun die Summe qk−1 −2qk +qk+1 nach (10.51) in die Beziehung (10.49)
für die geometrische Wahrscheinlichkeit pk ein und führt λ → 0 durch, so erhält man
mit Hilfe der Abkürzungen (7.29), s.o., das Gesetz
pk = δk−1 − 2 δk + δk+1
für 0 < k < ω − 1 .
Analog können auf diese Weise auch die Summen der qκ nach (10.52) und (10.53)
in (10.49) eingesetzt werden. Nach dem Grenzübergang λ → 0 erhalten wir so
pk = δk−1 − 2 δk = δω−2 − 2 δω−1
für k = ω − 1
und
pk = δk−1 = δω−1
für k = ω .
Außerdem ist
pk = 0
für k ≥ ω + 1 ,
weil eine Nadel der Länge l < ωa nicht mehr als ω Gitterstrecken schneiden kann.
274
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Damit haben wir abschließend wieder das Resultat aus dem Zufallsexperiment
V nach Abschnitt 7.2 in der Form nach Diaconis vorliegen, vgl. [4], S. 27f, Punkt
1.1.10, bzw. [36]:
Bemerkung 10.6.1. Für den zufälligen Nadelwurf gelten im offenen wie im geschlossenen Gitter nach Grenzübergang von
1
, λ −→ 0 ,
m
d.h. in einem Gitter mit unendlich vielen Gittergeraden im äquidistantem Abstand
a > 0, die folgenden geometrischen Wahrscheinlichkeiten für einen k-fachen Schnitt
einer Nadel der Länge l, welche der Bedingung
j1k
a
+ 1 , α :=
(ω − 1)a ≤ l < ωa
mit ω :=
α
l
genügt:
2β
+ δ1 ,
π
k = 1 : p1 = δ0 − 2δ1 + δ2 ,
..
..
.
.
k = 0 : p0 = 1 −
1 ≤ k ≤ ω − 2 : pk = δk−1 − 2δk + δk+1 ,
..
..
.
.
k = ω − 2 : pω−2 = δω−3 − 2 δω−2 + δω−1 ,
k = ω − 1 : pω−1 = δω−2 − 2 δω−1 ,
k = ω : pω = δω−1 ,
k ≥ ω + 1 : pω = 0 ,
wobei für die δk die Abkürzung
δk :=
2k
2
sin θ̂k −
θ̂k
πα
π
mit
θ̂k = arccos kα
steht.
10.7
Ausblick: Ereignisse auf dem Rand
In Form eines kurzen Ausblicks sollen abschließend Ereignisse untersucht werden, die
als Synthese aus den Ergebnissen des offenen und geschlossenen Gitters betrachtet
und behandelt werden können.
10.7. AUSBLICK: EREIGNISSE AUF DEM RAND
275
Das Treffen des Randes
Zunächst noch unabhängig von einem Gitter kann als erstes die Frage nach dem
Maß und der geometrischen Wahrscheinlichkeit gestellt werden, mit der Nadeln in
ein “gelochtes“ Gebiet nach Bild 10.36 fallen.
R
cl K1
int K 2
B2
D1
Bild 10.36: Nadeln auf ein gelochtes Gebiet
Danach sind zwei konvexe (hier rechteckige) Mengen K1 und K2 mit K2 ⊂ K1
gegeben und wir fragen nach der Menge aller Nadeln H, für die
H ∩ cl K1 \ int K2 6= ∅
{z
}
|
=: R
erfüllt ist. Mit den einzelnen Ereignismengen
D1 := {H | H ∩ cl K1 6= ∅} und
B2 := {H | H ⊂ int K2 }
gilt wegen
B2 ⊂ D 1
nun für das Maß der Menge aller Nadeln, welche die Restmenge R = cl K1 \ int K2
treffen
µ(D1 \ B2 ) = µ(D1 ) − µ(B2 ) .
(10.54)
Mit anderen Worten ist D1 \ B2 diejenige Menge an Nadeln, die den Abschluss von
K1 treffen, aber nicht als Ganzes im Inneren von K2 liegen. Dabei bestimmt sich
in (10.54) µ(D1 ) nach Korollar 2.3.2.2 und für µ(B2 ) sind die Fallunterscheidungen
und Ergebnisse nach Satz 10.1.4 einzusetzen, wobei die Höhe ma und Breite 2r der
Rechteckmengen jeweils an die Gestalt von K1 bzw. K2 anzupassen ist.
Anm.: Offenbar kommt es bzgl. der Gültigkeit von Beziehung (10.54) nur auf K2 ⊂ K1
an, nicht auf die Lage von K2 innerhalb von K1 , was bei einer Gleichverteilung der Nadeln
in K1 bzw. K2 unmittelbar verständlich ist.
276
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Wir gehen an dieser Stelle nur noch kurz auf den Spezialfall K = K1 = K2 ein
und erhalten dann die Ereignismengen D = D1 = DIII nach Abschnitt 2.3.2 und
B = B2 gemäß der vorangegangenen Abschnitte dieses Kapitels. Offenbar gilt dann
R = K = cl K1 \ int K2 , wobei wir der Ereignismenge an Nadeln auf diesen Rand
von K eine besondere Bezeichnung geben:
Definition 10.7.1. Die Menge an Nadeln, die den Rand K einer Rechteckmenge K
treffen, bezeichnen wir mit ∂D := D \ B; in Anlehnung an die Grundmenge D an
Nadeln im offenen Gitter und B als Menge der Nadeln im geschlossenen Gitter.
Aus den oben angestellten Betrachtungen ergibt sich wegen B ⊂ D unmittelbar
folgendes Ergebnis; danach zeigen wir noch den nachfolgenden Satz.
Korollar 10.7.2. Das Maß der Menge aller Nadeln ∂D, die den Rand der Einhüllenm
den des Gitters Ca,2r
treffen, bestimmt sich zu
µ(∂D) = µ(D) − µ(B) ,
(10.55)
wobei µ(D) = µ(DIII ) nach Gleichung (2.13) und µ(B) gemäß der Fallunterscheidungen dieses Kapitels nach den Beziehungen (10.13), bzw. (10.14), bzw. (10.15),
bzw. (10.16) gilt.
Satz 10.7.3. Gegeben sei eine Rechteckmenge K der Breite d und Höhe h und eine
darauf zufällig platzierte Nadel H der Länge l, d.h. es gelte H∩K 6= ∅, dann trifft die
Nadel H den Rand der Menge K mit der je nach Fallunterscheidung geometrischen
Wahrscheinlichkeit
R1 : 0 < l < min(d, h) ⇐⇒ max(Ξ, 1) < Γ :
¢
¡
pR1 = 2% · 1 + Ξ − 41 Ξ/Γ ,
(10.56)
R2 : d ≤ l < h ⇐⇒ 1 < Γ ≤ Ξ :
(10.57)
p
¡
¢
pR2 = % · 1 + π2 Γ + 12 Γ/Ξ + 2 Ξ − Ξ 1 − Γ2 /Ξ2 − Γ arcsin(Γ/Ξ) ,
R3 : h ≤ l < d ⇐⇒ Ξ < Γ ≤ 1 :
(10.58)
√
¡
¢
pR3 = % · 2 + 21 Γ Ξ + Ξ − 1 − Γ2 + Γ arccos(Γ) ,
√
(10.59)
R4 : max(d, h) ≤ l < LK ⇐⇒ Ξ/ 1 + Ξ2 < Γ ≤ min(Ξ, 1) :
¡
pR4 = % · 1 + π2 Γ + Ξ + 12 Ξ/Γ + 12 Γ(1 + Ξ2 )/Ξ
p
√
¢
− 1 − Γ2 − Ξ 1 − Γ2 /Ξ2 + Γ arccos(Γ) − Γ arcsin(Γ/Ξ) ,
sonst : pR = 1,
wobei Γ := hl , bzw. Ξ := hd charakteristische Parameter der Nadel zum Rechteck,
bzw. des Rechtecks selbst sind und LK die Länge der Diagonalen des Rechtecks K,
sowie % = (1 + π2 Γ + Ξ)−1 ist.
10.7. AUSBLICK: EREIGNISSE AUF DEM RAND
277
Anm.: Natürlich ist keine der Ausdehnungen d oder h gegen die andere bevorzugt,
so dass bzgl. dieser Abmessungen “symmetrische“ Beziehungen vorliegen. So liefert
beispielsweise der Fall R1 in absoluten Abmessungen das Ergebnis
pR1 = l ·
4d + 4h − l
4Υ + 4Γ − 1
=
,
2dl + 2hl + πdh
2 Υ + 2 Γ + πΥ Γ
(10.60)
mit Υ = d/l und erneut Γ = h/l. Es war aber erstens wieder unser Ziel, relative Größen einzuführen, welche die drei Werte d, h und l auf zwei reduzieren, so
dass auch wieder geeignete Graphiken nach Bild 10.37 erstellt werden können und
zweitens sollten Γ und Ξ in Anlehnung an α und λ definiert werden, die eine klare
“Richtung“ in Rechteckmengen zum Ausdruck bringen –, nämlich die des Gitters C,
bei der die Gitterstrecken von der Länge d sind und sich in Richtung der Ausdehnung
h mehren. Zudem hat die Paarung Γ, Ξ den Vorteil, die Länge des Testobjekts auf
den ersten Parameter zu beschränken und mit den zweiten Parameter einen reinen
Formfaktor von K in Händen zu halten – um den geringen Preis der Symmetriebrechung in den Beziehungen (10.56) bis (10.59).
Ξ
8
10
6
4
2
10
0.8
p 0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
Γ
15
20
Bild 10.37: Wahrscheinlichkeit p: Nadel trifft den Rand von K
Beweis. Nach unseren Überlegungen zu Beginn dieses Abschnittes und dem Korollar
10.7.2 gilt für das Treffen des Randes einer Nadel
pR =
µ(∂D)
µ(D) − µ(B)
=
.
µ(D)
µ(D)
Mit der Beziehung (2.13) nach Satz 2.3.2.2 für µ(D) und den Gleichungen (10.13) bis
(10.16) gemäß Satz 10.1.4 für die µ(Bj ), j =1, ..., 4, folgt daraus über
Γ = m α und Ξ = m λ
unmittelbar die Aussage im Satz 10.7.3. ¤
278
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Als Spezialfall des Satzes 10.7.3 halten wir noch folgendes Resultat fest, vgl. auch
Bild 10.38:
Korollar 10.7.4. Wird eine Nadel H der Länge l auf ein Quadrat K der Seitenlänge
b in zufälliger Weise platziert, so dass H ∩ K 6= ∅ gilt, dann beträgt die geometrische
Wahrscheinlichkeit
 8 Γ−1
,
1 < Γ,


 Γ (4+π2 Γ)
√
√
1+2 Γ +4 Γ(1− 1−Γ2 )+4 Γ2 arccos Γ
2
pR =
,
< Γ ≤ 1,
Γ (4+π Γ)
2


√

1,
0 < Γ ≤ 22 ,
dass die Nadel den Rand des Quadrats trifft, wobei Γ = b/l ist.
pR
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
Γ
Bild 10.38: Treffen des Randes eines Quadrats
Anm.: Diese Beziehung für kurze Nadeln auf dem Quadrat, bzw. diejenige für ein
allgemeines Rechteck (10.60) ist nicht zu verwechseln mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit
2l(d + h) − l2
pLa :=
(10.61)
πd h
im Laplaceschen Zufallsexperiment, vgl. [4] oder [6], nach der eine zufällig platzierte
Nadel in der Ebene ein unbegrenztes Rechteckgitter schneidet, vgl. auch rechter Teil im
Bild 10.39. Für die beiden Resultate gilt die Ungleichung im Falle kurzer Nadeln, d.h.
0 < l ≤ min(d, h):
pR1 =
4l(d + h) − l2
2l(d + h) − l2
>
= pLa .
πdh + 2l(d + h)
πd h
(10.62)
(Um das zu sehen, bringe man die Differenz pR1 − pLa auf einen gemeinsamen Bruch
und diskutiere die im Zähler erscheinende “Parabel“: f (l) := l2 − 2l(d + h) + πdh, für die
f (l) ≥ 0 gilt, wenn 0 < l ≤ min(d, h) ist.)
Die Ungleichung (10.62) ist auch aus geometrischer Sicht verständlich: Im Bild 10.39
ist links eine einzelne Rechteckgitterzelle zu erkennen, auf der die Nadeln H in zufälliger
Weise unter der Bedingung H ∩ K 6= ∅ platziert sind; rechts fallen die Nadeln zufällig auf
die gesamte Ebene, in die C als unbeschränktes Gitter eingebettet ist – hier ist “jede Nadel
zulässig“, da außerhalb einer bestimmten Elementarzelle platzierte Nadeln ebenfalls “in
C“ fallen. Das Gitter erscheint also unter stochastischem Blickwinkel “größer“ als die bloße
Zelle K und ein Treffen des Randes ist daher unwahrscheinlicher, als wenn alle fallenden
Nadeln eine ausgewählte Zelle zu treffen haben!
10.7. AUSBLICK: EREIGNISSE AUF DEM RAND
279
C
K
h
d
Bild 10.39: Nadeln auf beschränkte Gitterzelle und unbeschränktem Gitter
Interessant ist noch, dass wir mit unserer Betrachtung bzgl. des Randes einer Zelle K
in der Art eines Baukastens auch die Beziehung (10.61) zeigen können! Die zentrale Idee
beleuchtet das Bild 10.40: Danach nummerieren wir ein zunächst aus n×n Elementarzellen
Ki bzw. Ereignissen Di (für diese kleine Randstudie identifizieren wir diese zwei Begriff
miteinander), i = 1, ..., n2 , bestehendes Gitter Cn in der gezeigten, “diagonalen“ Weise
durch und betrachten dann nach der Siebformel
µ(H ∩ Cn 6= ∅) =
2
µ(
n
[
2
∂Di ) =
i=1
n
X
X
k=1 1≤i1 <...<ik
(−1)k−1 µ(∂Di1 ∩ ... ∩ ∂Dik )
(10.63)
≤n2
von Poincaré-Sylvester (vgl. [45]) das Maß der Vereinigung aller Nadeln, die auf die Ränder
der Elementarzellen fallen – für kurze Nadeln wertet sich die rechte Seite leicht aus, wie
wir gleich sehen werden.
n
...
h
...
...
...
Fk
Hk
...
Dk
Gk
...
Ek
...
...
Dn2
D7
...
D4
D8
...
D2
D5
D9
...
D1
D3
D6
D10
d
Cn
n
Bild 10.40: Unbeschränktes Gitter als Baukasten von Gitterzellen
280
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Hierfür nämlich treten auf der rechten Seite von (10.63) nur die Maße µ(∂Di ) und
diejenigen der Durchschnitte von zwei und drei Randmengen auf: µ(∂Di1 ∩ ∂Di2 ) und
µ(∂Di1 ∩ ∂Di2 ∩ ∂Di3 ) – mehr Ränder von Elementarzellen kann eine “kurze Nadel“ nicht
umfassen, so dass die übrigen Durchschnitte leer bleiben!
Die Indizierung der Durchschnitte in der Formel (10.63) von Poincaré-Sylvester und die
“diagonale“ Nummerierung der Elementarzellen nach Bild 10.40 sorgt nun weiter dafür,
dass wir (in endlichen Gittern zunächst nur ) für hinreichend im Innern gelegene Elementarzellen Dk mit k ∈ I und I eine geeignete Indexmenge, so dass die Dk weder am
unteren, oberen, noch rechten Rand von Cn liegen, folgende, “clusternde“ Berechnung
vornehmen können:
[
X¡
µ(
∂Di ) =
µ(∂Dk ) − µ(∂Dk ∩ ∂Ek ) − µ(∂Dk ∩ ∂Fk )
(10.64)
i∈I
k∈I
− µ(∂Dk ∩ ∂Gk ) − µ(∂Dk ∩ ∂Hk )
+ µ(∂Dk ∩ ∂Ek ∩ ∂Gk ) + µ(∂Dk ∩ ∂Fk ∩ ∂Gk )
¢
+ µ(∂Dk ∩ ∂Fk ∩ ∂Hk ) + µ(∂Dk ∩ ∂Gk ∩ ∂Hk ) ,
dabei seien die Elementarzellen Ek , Fk , Gk und Hk die in der nach Bild 10.40 gezeigten
Weise an Dk angrenzenden. Da der k-te Summand hierin für alle k ∈ I gleich ist, können
wir den Index k unterdrücken und die Berechnung der Summanden auf der rechten Seite
von (10.64) exemplarisch nach Bild 10.41 einmalig gestalten.
F
H
D
F
D
F
H
D
D
G
D
G
H
D
G
D
D
G
E
E
Bild 10.41: Die Durchschnitte an Nadelmengen für k = 2 und 3
Hier wird gezeigt und durch je zwei Nadeln verdeutlicht, welche geometrischen Bedeutungen die Durchschnitte der Randmengen in (10.64) haben: Es sind entweder Mengen an
Nadeln auf einer gemeinsamen Seite oder einer gemeinsamen Ecke.
Für die Angabe des Maßes der Menge an Nadeln, die nach Bild 10.42 “auf einer Ecke“
fallen, d.h. mindestens zwei sich an einer Ecke berührende Elementarzellen schneiden,
geben wir unter Einsatz unserer üblichen von θ abhängigen Funktionen das Integral
Z
µEcke :=
0
π/2 Z ρ+
ν
σν+
Z
ζν
dζ dρ dθ =
ζ + −l
l2
4
an. Unter Nutzung des Korollars 1.4.2 definieren wir auch noch
µSeite,b := 2b l
als das Maß aller Nadeln der Länge l, die auf einer Seite der Länge b liegen.
10.7. AUSBLICK: EREIGNISSE AUF DEM RAND
281
+
z -l z
n
rn+
sn+
z
+
Bild 10.42: Zum Maß der Menge an Nadeln “auf einer Ecke“
Es gilt also insgesamt
µ(∂D) = µ(D) − µ(B) = 4l(d + h) − l2 ,
µ(∂D ∩ ∂E) = µ(∂D ∩ ∂H) = 2 · µEcke
= l2 /2 ,
µ(∂D ∩ ∂F ) = µSeite,d
= 2d l ,
µ(∂D ∩ ∂G) = µSeite,h
= 2h l ,
µ(∂D ∩ ∂E ∩ ∂G) = µ(∂D ∩ ∂F ∩ ∂G)
= l2 /4 ,
= µ(∂D ∩ ∂F ∩ ∂H) = µ(∂D ∩ ∂G ∩ ∂H) = µEcke
womit wir einen der bzgl. k je gleichen Summanden in (10.64) zu
4l(d + h) − l2 − 2 ·
l2
l2
− 2d l − 2h l + 4 ·
2
4
= 2l(d + h) − l2
(10.65)
angeben können. Nun wird mit zunehmender Zahl n von Zellen auch die Anzahl der
innenliegenden Zellen dominant gegenüber der außenliegenden, d.h. µ(H ∩ Cn 6= ∅) in
(10.63) kann über (10.64) mit (10.65) immer genauer zu
¡
¢
µ(H ∩ Cn 6= ∅) ≈ n2 · 2l(d + h) − l2
(10.66)
abgeschätzt werden.
Das Maß aller auf die Einhüllende Kn des Gitters Cn fallenden Nadeln ist nach Korollar
1.4.2 aus Fläche und Umfang von Kn bestimmt und beträgt:
µ(H ∩ intKn 6= ∅) = πn2 hd + 2ln(d + h) .
(10.67)
Mit den Maßen (10.66) und (10.67) erhalten wir nun mit der Grenzwertbetrachtung
pLa =
=
lim
n→∞
µ(H ∩ Cn 6= ∅)
µ(H ∩ intKn 6= ∅)
n2 · (2l(d + h) − l2 )
2l(d + h) − l2
=
n→∞ πn2 hd + 2ln(d + h)
πd h
lim
das Ergebnis aus dem Laplaceschen Experiment. ¤
282
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Das Treffen des Gitters vom Rand aus
Nachdem wir die Frage nach dem Treffen des Randes der Gittereinhüllenden beleuchtet haben, wollen wir hier noch kurz auf Schnitte mit dem Gitter unter der
Nebenbedingung eingehen, dass die Nadeln auf dem Rand zu liegen kommen. Das
Bild 10.43 veranschaulicht die Mengenbeziehungen, die hier gültig sind: D umfasst
alle Nadeln, die überhaupt mit der Gittereinhüllenden einen Punkt gemeinsam haben, B als Teilmenge von D enthält nur die Nadeln, die vollständig im Inneren der
Gittereinhüllenden liegen, und Sk beinhaltet alle Nadeln mit k-fachem Schnitt des
Gitters C.
W
D
B
Sk
Bild 10.43: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wie im Abschnitt zuvor, kann nun die Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines k-fachen Schnittes unter der Bedingung, dass die Nadeln auf dem Rand der
Gittereinhüllenden liegen, in Form der bedingten Wahrscheinlichkeit
p(Sk |∂D) =
µ(Sk ∩ ∂D)
µ(∂D)
(10.68)
beantwortet werden. Mit dem Nenner
µ(∂D) = µ(D) − µ(B)
und dem Zähler
µ(Sk ∩ ∂D) = µ(Sk \ B) = µ(Sk ) − µ(Sk ∩ B)
haben wir dabei bereits alle Maße behandelt, um diese geometrischen Wahrscheinlichkeiten auch vollständig angeben zu können! Wir wollen uns indes auf diejenigen
beschränken, mit der eine Nadel der Länge l < d – also kürzer als die Gitterbreite –
das Gitter unter dieser Bedingung überhaupt trifft.
Anm.: Es bleibt festzuhalten, dass D\B bzw. Sk \B zwar bedeutet Nadeln auszuschließen, die nicht mindestens einen Punkt mit der Restmenge R gemeinsam haben, aber es
bedeutet nicht, das Gitter C auch auf diese und in Bild 10.44 schattiert dargestellte Restmenge zu beschränken; C bleibt vielmehr “intakt“ und Schnitte von Nadeln mit C zählen
auch außerhalb der Restmenge. Dies wird besonders sinnfällig, wenn wir die Restmenge
auf den Rand der Gittereinhüllenden einschränken, wie es rechts im Bild 10.44 angedeutet
ist: auch unter dieser Bedingung wollen wir die Schnitte mit C messen und schließen nur
Nadeln (gestrichelt gezeichnet) aus, die R nicht treffen.
10.7. AUSBLICK: EREIGNISSE AUF DEM RAND
283
R
R
C
C
Bild 10.44: Zählen der Schnitte mit dem Gitter
m
Satz 10.7.5. Gegeben sei ein Gitter C = Ca,d
, d = 2r. Eine Nadel H der Länge
l < d, die in zufälliger Weise den Rand der Einhüllenden des Gitters trifft, schneidet
das Gitter C selbst mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit

4α−1
0 < l < a ⇔ 1 < α,

1
4 α ,
4α− m
+m

λ

 2
α (3−2 ln α)
a ≤ l < ma ⇔ m1 < α ≤ 1 ,
pR,C = 1 −
4 α ,
1
+m
4α− m
λ



α(3−2 ln α)
 4 1 2 1√
, ma ≤ l < 2r ⇔ λ < α ≤ m1 ,
−
1−m2 α2 +mα+2+2 α arccos(mα)
mλ
mλ
wobei in den Parametern α =
λ
a
l
>λ=
a
d
> 0 gilt.
Beweis. Die geometrische Wahrscheinlichkeit pR,C ergibt sich aus (10.68) in der Form
pR,C = 1 − p(S0 |∂D) = 1 −
µ(S0 ) − µ(S0 ∩ B)
,
µ(D) − µ(B)
wobei µ(D) nach (2.13), Korollar 2.3.2.2 einzusetzen ist. Je nach Fallunterscheidung gilt
damit jetzt:

0.1 )−m·µ(O )
µ(SIII
1

, 1 < α,

µ(D)−µ(B1 )



0.2 )−m·µ(O )
µ(SIII
3
1
pR,C = 1 −
, m
< α ≤ 1,
µ(D)−µ(B1 )



0.2 )−m·µ(O )

 µ(SIII
3
1
, λ<α≤ m
,
µ(D)−µ(B3 )
0.1
0.2
mit µ(SIII
), bzw. µ(SIII
) nach (6.3), bzw. (6.4) aus Kapitel 6 und den Maßen µ(Bj ) und
µ(Oj ), j = 1, 3, nach (10.13), (10.14), Satz 10.1.4 und (10.17), (10.19) aus diesem Kapitel.
¤
Bemerkenswerterweise kommt die Kreiszahl π nicht mehr in diesen geometrischen Wahrscheinlichkeiten vor! Um das noch stärker zu betonen, nehmen wir den
Einfluss der oberen und unteren Gitterstrecke durch m → ∞ als Berandung aus
der Betrachtung zurück und formulieren folgendes Resultat – dabei erkennen wir,
dass auch λ in der geometrischen Wahrscheinlichkeit selbst nicht mehr vorkommt,
sondern nur noch als Intervallgrenze eine Rolle spielt:
284
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Korollar 10.7.6. Treffen zufällig geworfene Nadeln H der Länge l < 2r ein Parallelgitter C = R∞
a,2r der Breite d = 2r mit unbegrenzt vielen Gitterstrecken im Abstand
a am Rand der Einhüllenden: H ∩ (±r, y) 6= ∅, so schneiden sie (mindestens einmal)
das Gitter C selbst mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit:
( 1
,
1 < α,
4α
pC =
1 − 41 α(3 − 2 ln α) , 0 < α ≤ 1 ,
Rand
y
a
2r
= λ < α bedeutet.
...
dabei gilt wieder α = al , so dass l < 2r also
pC
1.0
H
0.8
0.6
C
0.4
+r
-r
0
0.2
x
l
1
2
3
4
5 a
...
0
Bild 10.45: Treffen des Gitters vom Rand aus
Die Kreiszahl taucht auch nicht auf, wenn wir dieses vom Rand aus gesehene
“halbe“ Gitter C auf ein “volles“ C̄ ergänzen, d.h. den Nadelwurf auf das klassische
von Buffon betrachtete Parallelengitter beziehen, dabei aber nur Nadeln zählen,
die eine vorgegebene Gerade treffen, die senkrecht zu den Parallelen des Gitters
verläuft, wie es das Bild 10.46 zeigt: links das halbe, vom Rand aus, und rechts
das volle, von einer Geraden G aus zu treffende Gitter. Exemplarisch sind 15 rechts
und links je gleiche Nadeln eingezeichnet, wobei deutlich zu erkennen ist, wie die
Wahrscheinlichkeit für ein Treffen des Gitters zunimmt, wenn dieses vom halben
zum vollen am Rand gespiegelt wird.
Welche Wahrscheinlichkeit das klassische Buffonsche Experiment für mindestens
einen Treffer zwischen Nadel und Gitter zeigt, wenn die Nadel auf einen Schnitt mit
der Geraden bedingt wird, geben wir hier zum Abschluss dieses Kapitels noch kurz
an. Dabei bedienen wir uns ein weiteres mal der “Bausteintechnik“, berechnen also
mit den Mitteln der bereits erzielten Resultate diese Wahrscheinlichkeit.
Nach Bild 10.47 können wir uns dazu das volle Gitter C̄ aus der Zusammenfügung
zweier halber Gitter C 0 und C 00 an einer gemeinsamen Grenze vorstellen. Dabei
macht Bild 10.48 deutlich, dass natürlich alle Grenzen bzw. Ränder zu “vernähen“
sind und wir uns C̄ letztlich auch als einen Zylinder vorstellen können. Die Nadeln
sind dann Teilbögen von Schnittellipsen auf diesem Zylinder.
10.7. AUSBLICK: EREIGNISSE AUF DEM RAND
285
H
C
G
C
Bild 10.46: Treffen des halben und ganzen Gitters von einer Geraden aus
C
C
C
Bild 10.47: Zusammenfügen zweier “halber“ Gitter zu einem “vollen“ (i)
...
G
C
...
H
Bild 10.48: Zusammenfügen zweier “halber“ Gitter zu einem “vollen“ (ii)
286
KAPITEL 10. GESCHLOSSENE GITTER
Die Frucht dieser Betrachtung ist jetzt, dass wir für die Trefferwahrscheinlichkeit
aller Nadeln auf einer zu C̄ orthogonalen Geraden mit dem Gitter C̄ selbst die
Beziehung
p(C̄) = p(C 0 ∪ C 00 ) = p(C 0 ) + p(C 00 ) − p(C 0 ∩ C 00 ) = 2pC − p(C 0 ∩ C 00 )
angeben können, wobei wir letztlich nur noch p(C 0 ∩ C 00 ) bestimmen müssen. Für
kurze Nadeln (1 < α) ist C 0 ∩ C 00 = ∅ mit p(C 0 ∩ C 00 ) = 0 und für lange Nadeln
(0 < α ≤ 1) gilt nach Bild 10.49 für beliebiges ν ∈ Z:
Z θ̂1 Z ρ+ν Z ζν
1
0
00
p(C ∩ C ) =
·2
dζ dρ dθ = 1 − α + α ln α .
2a l
0
ρ+
ζν−1 −l
ν−1
z n-1 - l
zn
rn+
C
a
l
q1
C
+
rn-1
C
H
G
Bild 10.49: Nadeln mit gemeinsamen Treffern von C 0 und C 00
1
p
0.8
volles
0.6
Gitter
0.4
0.2 halbes
Gitter
1
2
3
4
α
5
Bild 10.50: Treffen des ganzen Gitters von Linie und des halben vom Rand aus
Danach haben wir mit diesen Beziehungen und dem Korollar 10.7.6 für das halbe
Gitter nun das folgende, abschließende Ergebnis, vgl. auch Bild 10.50.
Korollar 10.7.7. Werden Nadeln der Länge l zufällig auf ein Parallelgitter C̄ =
a
R∞
a , α = l , geworfen, so beträgt die geometrische Wahrscheinlichkeit, C̄ mindestens
einmal unter der Bedingung zu schneiden, dass auch eine zu C̄ orthogonale Gerade
getroffen wird:
( 1
,
1 < α,
2α
pC̄ =
1 − α2 , 0 < α ≤ 1 .
Kapitel 11
Punktgitter auf Linien
In dieser abschließenden Betrachtung reduzieren wir die Dimension um eins, so dass
wir Zufallsexperimente auf Linien erhalten. Diese sehr einfachen Fälle sind recht
instruktiv zum Verständnis der Zufallsexperimente in den Hauptkapiteln und runden
die dort erhaltenen Ergebnisse ab.
11.1
Ein Zufallsexperiment auf einer Linie
Schränken wir die Bewegungsfreiheit der Testobjekte der vorangehenden Kapitel
auf eine Dimension ein, kommen wir sinnvollerweise zu Strecken H der Länge l, die
innerhalb der “Linie“ eingebettet sind. Geraden kommen nicht in Betracht, weil sie
mit dem Raum, innerhalb dessen das Zufallsexperiment auszuführen ist, identisch
wären. Das Gitter ist wieder analog zur Definition 2.1.1 zu
©
ª
C = x ∈ R | x = ν a, ν = 0, ..., m
(11.1)
festgelegt. Als den Innenraum, kurz: das Innere des Gitters C bezeichnen wir das
offene Intervall K = ]0, ma[ . Das Bild 11.1 zeigt den zufälligen Nadelwurf auf ein
solches Gitter von Punkten im Abstand a.
l
H
0
a ...
ma
K
x
r
Bild 11.1: Gitter von Punkten auf einer Linie
Fällt die Nadel H unter der Bedingung, dass lediglich H ∩ K 6= ∅ erfüllt ist,
sprechen wir wieder vom Zufallsexperiment auf oder im offenen Gitter, da ein Teil
der Nadel auch außerhalb des Inneren K des Gitters C zu liegen kommen darf.
Das Zufallsexperiment unter der restriktiveren Bedingung H ⊂ K wird dagegen
287
288
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
als Nadelwurf im geschlossenen Gitter bezeichnet. Beide Wurfbedingungen werden
im folgenden diskutiert. Als Parameter definieren wir wieder das Gitter-LängenVerhältnis
a
α= .
l
a
Im weiteren Verlauf werden wir sehen, dass durchaus auch λ = 2r
zumindest für
Vergleichszwecke mit den Zufallsexperimenten in der Ebene wieder eine gewisse Bedeutung zukommt.
11.2
Zufällige Strecken auf dem Punktgitter
Als Grundlage für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten wird wieder ein bewegungsinvariantes Maß der Strecke H auf dem Grundgitter benötigt. Dazu beschreiben wir zunächst die Nadel
H = [ρ, ρ + l] =: I(ρ, l)
nach Bild 11.1 durch ihre Koordinate ρ als Abstand des “Anfangspunktes“, bzw.
linken Randes der Nadel vom Ursprung eines der Linie aufgeprägten Koordinatensystems, welches durch das nach Definition (11.1) angegebene Gitter festgelegt wird
und der erste Gitterpunkt eben diesen Ursprung markiert.
Da die einzige Kongruenzabbildung T auf der Linie eine Verschiebung um s auf
dieser ist, geht jede Bewegung der Nadel H = I(ρ, l) in eine Strecke H∗ = I(ρ + s, l)
über. Wegen ρ∗ = ρ+s und damit dρ∗ /dρ = 1 erhalten wir als bewegungsunabhängige Dichte einer Nadel auf der Linie
dH = c dρ
mit c = const.,
wobei wir im folgenden einfacherweise wieder c = 1 setzen. Das Maß einer Menge
oder Ereignismenge E von Nadeln auf der Linie können wir damit in der Form
Z
µ(E) =
dH
(11.2)
E
messen. Insbesondere sind danach die “Grundmengen und -maße“ der Zufallsexperimente zu bestimmen. Je nach Zufallsexperiment im offenen oder geschlossenen
Gitter, erhalten wir
J := { H = I(ρ, l) | − l < ρ < m a }
(11.3)
als Menge aller Nadeln auf das offene Gitter und
B := { H = I(ρ, l) | 0 < ρ < m a − l }
als die Menge an Nadeln im geschlossenen Gitter.
(11.4)
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
289
Die im weiteren Verlauf wieder eine wichtige Rolle spielenden Maße dieser Mengen aller “möglichen“ Fälle, können nach (11.2) nun zu
Z ma
³1
´
µ(J) =
dρ = ma + l = ml
+α
(11.5)
m
−l
und
Z
ma−l
µ(B) =
0
³
1´
dρ = ma − l = ml α −
m
(11.6)
bestimmt werden. Damit sind wir gerüstet, nun in die Diskussion der beiden Typen
von Zufallsexperimenten einzusteigen. Wir handeln zunächst den offenen Typ, dann
den geschlossenen ab.
11.3
Offenes Gitter in einer Dimension
11.3.1
Wahrscheinlichkeit für keinen Schnitt: k = 0
In diesem und den folgenden Abschnitten stellen wir jetzt wieder die Frage nach der
geometrischen Wahrscheinlichkeit für k Schnitte zwischen der Strecke bzw. Nadel H
und dem oben definierten Gitter C aus den Punkten x = 0, a, ..., ma.
Wir beginnen danach zu fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich kein Schnitt
zwischen Nadel und Gitter einstellt, also k = 0 gilt. Als erster offensichtlicher Unterschied zu unserer Untersuchung im zwei- oder auch dreidimensionalen Fall gilt
für den Fall a ≤ l < ∞, bzw. 0 < α ≤ 1 in Form des Nadel-Gitter-Parameters die
Wahrscheinlichkeit p0 = 0. Hier macht sich also die fehlende Bewegungsfreiheit der
Nadel quer zum Gitter sofort bemerkbar.
Nichttriviale Wahrscheinlichkeiten gibt es hier offenbar nur für den Fall 0 < l < a,
bzw. 1 < α < ∞. Die Menge S0 aller Strecken H der Länge l mit H ∩ K 6= ∅, die C
nicht schneiden entspricht m-mal der Bedingung 0 < ρ < a − l:
S0 = { H = I(ρ, l) | (ν − 1)a < ρ < νa − l, ν = 1, ..., m } .
Das Maß dieser Menge im Sinne unserer in Abschnitt 11.2 definierten Dichte ist
Z a−l
µ(S0 ) = m
dρ = m(a − l) ,
0
woraus sich nach (3.1) die geometrische Wahrscheinlichkeit
p0 = p(S0 ) =
µ(S0 )
m(a − l)
α−1
=
=
1
µ(J)
ml( m + α)
α + m1
ergibt. Wir halten fest:
(
p0 (α, m) =
0
, falls 0 < α ≤ 1 ,
α−1
1
α+ m
, falls 1 < α < ∞ .
(11.7)
290
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
Wie zu erkennen ist, stimmen die Werte von p0 am Rand der Fallunterscheidungen
für α = 1 überein und betragen p0 (1, m) = 0.
Es ist bemerkenswert, dass wir das Resultat (11.7) aus dem Ergebnis nach Abschnitt 6.3, Satz 6.3.1 gewinnen können. Dazu ist in der Fallbeschreibung nach Seite
115 formal λ → ∞ zu betrachten, d.h. im ebenen Gitter geht r → 0, bzw. für die
Grunddiagonalen gilt für alle k > 0 der Übergang lk → a, so dass wir hier die Fälle
0.1 :
0 < l < a = l1 ⇐⇒ 1 < α < ∞ ,
0.2 :
a ≤ l < l1 = a ⇐⇒ 1 < α ≤ 1 und
0.3 :
a = l1 ≤ l < ∞
⇐⇒ 0 < α ≤ 1
erhalten. In den Beziehungen (6.6), (6.7) und (6.8) der pIII nach Satz 6.3.1 ist nun
• formal λ = 0 zu setzen (das Gitter wirkt in Richtung ζ homogen, d.h. r → ∞),
• dann der Faktor π2 von α zu unterdrücken (das Gitter wirkt homogen, weil
keine Drehung von H stattfindet).
Damit erhalten wir folgende Übereinstimmung mit (11.7):
−1+α
1
+α
m
Fall 0.1 :
p0 =
Fall 0.2 :
p0 = 0 ,
Fall 0.3 :
p0 = 0 .
,
Gemäß unserem oben beschriebenen Vorgehen reduziert sich nach Bild 6.8 auf
Seite 115 der Fall 0.2 also auf den Punkt l = a, bzw. α = 1 und es bleiben die
eigentlichen Fälle 0.1 und 0.3 übrig.
Mit dieser “Rezeptur“ zur Reduzierung der Dimension um eins – gestützt von
unseren kommenden formalen Betrachtungen –, kann man auch die anderen und
nun folgenden Schnitt-Fälle erledigen, womit sich die Fülle der Ergebnisse des Zufallsexperiments III einmal mehr entfaltet!
11.3.2
Wahrscheinlichkeit für einen Schnitt: k = 1
Da sich hier sehr einfache Beziehungen für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
einstellen, könnte der Fall k = 1 im nächsten Abschnitt subsumiert werden. Um die
vollständige Analogie zum Kapitel 6 zu wahren, behandeln wir diesen Fall jedoch
wieder gesondert.
Das Bild 11.2 zeigt die wieder notwendig zu berücksichtigenden Fallunterscheidungen bzgl. der Länge l der Nadel H. Danach haben wir drei Fälle zu unterscheiden, denen wir wieder Bezeichnungen geben, wie wir sie bereits im Abschnitt 6.4
verwendet haben – nicht zuletzt, um die Analogie zwischen dem ebenen und eindimensionalen Nadelwurf zu wahren und deutlich zu machen.
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
0
a
2a
...
291
ma
x
I.1
I.3
I.6
l
H
...
Bild 11.2: Fallunterscheidungen und -bezeichnungen für k = 1 Schnitt
Liegt die Nadellänge l von H zunächst zwischen 0 und dem Abstand a zum ersten
Gitterpunkt (Fall I.1), dann kann H mit jedem Gitterpunkt über ihre volle Länge
genau einen Schnitt bilden. Wächst l weiter an, so haben wir den Fall a ≤ l < 2a
zu berücksichtigen, denn nun kann die Nadel H zwar mit jedem Gitterpunkt einen
Schnitt bilden, aber nicht mehr über ihre volle Länge, denn es ergeben sich unter
Umständen Schnitte mit bereits zwei Gitterpunkten. Dieser Fall wird I.3 genannt –
wieder in Analogie zum ebenen Fall. Wird l schließlich größer als 2a, so kann eine
Nadel dieser Länge nur noch mit den beiden äußeren Gitterpunkten genau einen
Schnitt bilden. Über diesen mit I.6 bezeichneten Fall hinaus gibt es keine weiter
zu berücksichtigenden Fallunterscheidungen bzgl. der Länge l zum Abstand a der
Gitterpunkte. Die folgende Übersicht listet die diskutierten Fallunterscheidungen
auf und drückt sie auch wieder in dem bezogenen Parameter α = al aus:
I.1
:
0
<
l
< a
⇐⇒
1
< α
<
∞,
I.3
:
a
≤
l
<
2a
⇐⇒
1
2
< α
≤
1,
I.6
: 2a
≤
l
<
∞
⇐⇒
0
< α
≤
1
2
.
Danach können wir nun die Menge aller Nadeln aufstellen, die gemäß der obigen
Fallunterscheidungen zu klassifizieren sind.
Fall I.1: Ist l < a, so kann H offensichtlich m + 1-mal in voller Länge l über die
Gitterpunkte bewegt werden, d.h. die Menge der Strecken mit einem Schnitt ist
S1I.1 = { H = I(ρ, l) | νa − l < ρ < νa, ν = 0, 1, ..., m }
mit dem Maß
Z
µ(S1 ) =
dH =
I.1
S1I.1
m Z
X
ν=0
νa
dρ = (m + 1) · l .
(11.8)
νa−l
Fall I.3: Ist die Nadellänge l gleich dem Gitterabstand a oder überschreitet diesen,
so sind wie oben diskutiert unter bestimmten Umständen bereits zwei Schnitte mit
Gitterpunkten möglich, die es hier in unserer Betrachtung genau eines Schnittes zu
vermeiden gilt. Im Sinne der im Bild 11.3 dargestellten Bewegungen von Strecken
292
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
nach Fall I.3 ergibt sich somit
S1I.3 = { H = I(ρ, l) | − l < ρ < a − l ∨ (m − 1)a < ρ < ma }
∪ { H = I(ρ, l) | (ν − 1)a < ρ < (ν + 1)a − l, ν = 1, ..., m − 1 }
als die Menge aller Nadeln der Länge a ≤ l < 2a mit einem Schnitt des Gitters. Das
Maß ist einfacherweise:
µ(S1I.3 ) = 2a + (m − 1)(2a − l) = 2am − lm + l .
Gitterpunkte
k=1
Schnitt
(11.9)
l
I.3
0
a
(n-1) a
na
2a . . .
(n+1) a
. . . (m-1) a ma
x
H
r
Bild 11.3: “Günstige“ Nadelbewegungen für k = 1 im Fall I.3
Fall I.6: Wird l schließlich gleich oder länger als 2a, kann es zwischen Nadel H
und den “innenliegenden“ Gitterpunkten νa, ν = 1, ..., m − 1, des Gitters C keine
einfachen Schnitte mehr geben. Lediglich eine nur auf einen der “Eckpunkte“ 0
oder ma fallende Nadel kann genau einen Schnitt mit dem Gitter bilden. Die dabei
möglichen Bewegungen mit einem Schnitt beschreibt die Menge
S1I.6 = { H = I(ρ, l) | − l < ρ < a − l ∨ (m − 1)a < ρ < ma }
aller dieser Nadeln, wobei gilt:
µ(S1I.6 ) = 2a .
(11.10)
Aus den Maßen (11.8), (11.9) und (11.10) der jeweiligen Menge S1 in den einzelnen, oben aufgelisteten Fallunterscheidungen ergibt sich mit
p1 = p(S1 ) =
folgendes Ergebnis für k = 1 Schnitt:
 1

 m +1
1
2α − 1 +
p1 (α, m) = 1
·

+
α

m
2
α
m
µ(S1 )
µ(S1 )
=
µ(J)
ml( m1 + α)
, falls 1 < α < ∞ (Fall I.1) ,
1
m
, falls
1
2
< α ≤ 1 (Fall I.3) ,
, falls 0 < α ≤
1
2
(11.11)
(Fall I.6) .
Im nächsten Abschnitt diskutieren wir, wie dieses und die dort aufgestellten geometrischen Wahrscheinlichkeiten auch wieder aus denen des Zufallsexperiments III
gewonnen werden können.
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
11.3.3
293
Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 1 < k < m + 1
Zunächst sind wieder Fallunterscheidungen bzgl. der Länge l, bzw. des Gitter-Längen-Parameters α zu treffen – wir folgen ein weiteres Mal den Pendants der Fallbezeichnungen nach Abschnitt 6.5, wonach für den eindimensionalen Fall
l
<
(k − 1)a
⇐⇒
1
k−1
< α
<
∞,
: (k − 1)a
≤ l
<
ka
⇐⇒
1
k
< α
≤
1
,
k−1
2.3
:
ka
≤ l
<
(k + 1)a
⇐⇒
1
k+1
< α
≤
1
,
k
3.4
:
(k + 1)a
≤ l
<
∞
⇐⇒
0
< α
≤
1
k+1
0
:
1.2
0
<
übrigbleiben. Dies sind die einzigen Fälle, die es zu berücksichtigen gilt. Denn für
alle Nadeln mit der Länge l < (k − 1)a kann es zu keinem k-fachen Schnitt mit dem
Gitter kommen, weil die Nadeln zu kurz sind. Ebenso gleichartig verhalten sich alle
Nadeln mit einer Länge von l ≥ (k + 1)a; denn überdeckt eine solche Nadel genau k
Gitterpunkte, so können es nur die k am Rande des Gitters liegenden Punkte sein.
Im folgenden diskutieren wir diese Fälle im einzelnen und stellen die Mengen
aller Nadeln zusammen, die diesem Fall zuzuordnen sind und genau k Schnitte mit
dem Gitter C bilden.
Fall 0: Ist l < (k − 1)a, so kann H keine k Gitterpunkte schneiden, so dass wir
einfacherweise erhalten:
Sk0 = ∅
und
µ(Sk0 ) = 0 .
(11.12)
Fall 1.2: Analog zum Fall I.1 aus dem letzten Abschnitt vermag eine Nadel der
Länge l mit der Bedingung (k − 1)a ≤ l < ka genau k Gitterpunkte so abzudecken,
dass sie ihre “volle Länge hierbei einsetzten“ kann, d.h. sie wird durch keine anderen
Gitterpunkte in ihrer Bewegung eingeschränkt, die unter Umständen bewirkten, dass
sich mehr als k Schnitte mit dem Gitter ergäben.
Genauer: In der Bedingung zur Fallbeschreibung von 1.2 bewirkt (k − 1)a ≤ l,
dass sich eine Überdeckung von k Gitterpunkten mit der Nadel einstellen können
und l < ka sichert, dass es bei keiner Bewegung der Nadel auf dem Gitter zu mehr
als k Schnitten kommt. Denn stellen wir uns nach Bild 11.4 eine Nadel vor, die
beginnend bei dem ν-ten Gitterpunkt genau k davon überdeckt, so folgt aus l < ka
jetzt:
l < ka
⇒
νa − a < νa + (k − 1)a − l
⇒
(ν − 1)a < (ν + k − 1)a − l ,
d.h. von der Koordinate x = (ν + k − 1)a des letzten der k Gitterpunkte kann die
volle Länge l abgezogen werden, ohne dass die Nadel den Gitterpunkt x = (ν − 1)a
294
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
unmittelbar vor dem ν-ten trifft. Genauso kann der Schluss
l < ka
⇒
νa + l < νa + ka
⇒
νa + l < (ν + k)a ,
gezogen werden, d.h. wird die Länge auf die Koordinate des ν-ten Gitterpunktes
addiert, so wird die Nadel dennoch nicht den unmittelbar nach den k Gitterpunkten
angrenzenden Gitterpunkt überdecken.
0
...
a
(n- 1) a
na
. . . (n+ k - 1) a (n+k) a . . .
H
x
k Schnitte
r
Bild 11.4: Nadelbewegungen im Fall 1.2
Aus diesen kleinen Berechnungen ergibt sich auch bereits die Menge aller Nadeln, die der Bedingung 1.2 genügen und einen k-fachen Schnitt mit dem Gitter C
aufweisen. Denn die Rolle des ν-ten Gitterpunktes kann jeder Gitterpunkt ν = 0
beginnend bis zur Bedingung ν + k − 1 = m, d.h. ν = m − k + 1 übernehmen. Es
gilt also:
Sk1.2 = {H = I(ρ, l) | (ν + k − 1)a − l < ρ < νa, ν = 0, ..., m − k + 1} ,
so dass sich hier folgendes Maß einstellt:
µ(Sk ) =
1.2
m−k+1
X Z νa
ν=0
(ν+k−1)a−l
dρ =
m−k+1
X
(−ka + a + l)
ν=0
= (m − k + 2) · (l − (k − 1)a) .
Fall 2.3: Nun kann die Nadel sich nicht mehr “ungehindert“ über k mögliche Gitterpunkte ν1 a, ..., νk a bewegen, wenn diese im “Inneren“ des Gitters liegen, d.h.
wenn 0 < ν1 und νk < m ist. Denn wegen der Teilbedingung l ≥ ka kann es unter
Umständen auch zu mehr als k Schnitten mit dem Gitter kommen.
Nach Bild 11.5 darf sich die Koordinate des linken Nadelpunktes ganz analog
zum Fall I.3 nur innerhalb einer Gitterzelle bewegen, wenn es im Inneren des Gitters nicht zu mehr als k Schnitte kommen soll. D.h. bei einem Ensemble von k
Gitterpunkten, das bei dem ν-ten beginne, ν > 0, ist die Bedingung ρ + l < (ν + k)a
zu wahren. Diese Schnittbetrachtung gilt also für Punkte von ν = 1 beginnend bis
zur Bedingung ν + k = m, d.h. ν = m − k.
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
0
...
a
(n- 1) a
na
295
. . . (n+ k - 1) a (n+k) a . . .
x
H
k Schnitte
r
Bild 11.5: Nadelbewegungen im Fall 2.3
Darüber hinaus sind aber noch an den Rändern je k Gitterpunkte abdeckbar, die
von einer größeren Menge von Nadeln geschnitten werden können. Denn wegen der
fehlenden Gitterpunkte links, bzw. rechts, können die Nadeln hier über eine Länge
von a bewegt werden, bzw. fallen.
Wir haben damit insgesamt folgende Menge an Nadeln, die der Bedingung 2.3
genügen und genau k Schnitte mit dem Gitter C aufweisen:
Sk2.3 = { H = I(ρ, l) | (k − 1)a − l < ρ < ka − l
∨ (m − k − 2)a < ρ < (m − k − 1)a }
∪ { H = I(ρ, l) | (ν − 1)a < ρ < (k + ν)a − l, ν = 1, ..., m − k } .
Das nach (11.2) festgelegte Maß für den eindimensionalen Fall liefert uns nun
Z
µ(Sk ) =
Z
ka−l
(m−k−1)a
dρ +
2.3
(k−1)a−l
dρ +
(m−k−2)a
m−k
X Z (k+ν)a−l
ν=1
dρ
(ν−1)a
¡
¢
= 2a + (m − k) · (k + 1)a − l
¡
¢
= m − k + 2 + k(m − k) a − (m − k)l .
Fall 3.4: Mit Nadeln der unter Bedingung 3.4 angeführten Beziehung (k + 1)a ≤ l
sind Schnitte in der genauen Anzahl k nur noch am Rand möglich. So zeigt zum
Beispiel das Bild 11.6 für den linken Rand einige Nadeln, welche die ersten k Gitterpunkte von ν = 0 beginnend bis ν = (k − 1)a bedecken, bzw. schneiden. Eine
dazu symmetrische Betrachtung ist am rechten Rand möglich. Es ergibt sich damit
die folgende Menge
Sk3.4 = { H = I(ρ, l) | (k − 1)a − l < ρ < ka − l
∨ (m − k − 2)a < ρ < (m − k − 1)a }
an Nadeln des Falls 3.4, die das Gitter C genau k-mal schneiden und deren Maß
beträgt:
µ(Sk3.4 ) = 2 a .
296
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
0
a
. . . (k - 1) a ka
x
...
H
k Schnitte
Bild 11.6: Nadelbewegungen im Fall 3.4 am linken Rand
Insgesamt erhalten wir damit für Schnitte 1 < k < m + 1 mit Hilfe der obigen
Maße wieder über
µ(Sk )
µ(Sk )
pk = p(Sk ) =
=
µ(J)
ml( m1 + α)
die folgende geometrische Wahrscheinlichkeit:

0



³
´



(k−1)−1

1− m
(1 − (k − 1)α)
1
³³
´
pk = 1
·
¡
¢´
¡
(k−1)−1

k
+
α

m
1
−
+
k
1
−
α
−
1−

m
m



 2α
m
, Fall 0 ,
, Fall 1.2 ,
¢
k
m
(11.13)
, Fall 2.3 ,
, Fall 3.4 .
Unserer Rezeptur von Seite 290 folgend, können wir dieses Ergebnis auch aus
dem Zufallsexperiment III der Ebene gewinnen. Zunächst erhalten wir für die Fallunterscheidungen auf der Seite 138 über λ → ∞, bzw. lk → a:
0
:
0
1.1
:
1.2
:
(k − 1)a
2.1
:
entfällt als nicht konsistent,
2.2
:
2.3
:
3.1
:
entfällt als nicht konsistent,
3.2
:
entfällt als nicht konsistent,
3.3
:
3.4
:
ka
(k + 1)a
<
≤
≤
≤
l
<
(k − 1)a
⇐⇒
l
= (k − 1)a
⇐⇒
l
<
⇐⇒
ka
l
= ka
⇐⇒
l
<
⇐⇒
(k + 1)a
1
k−1
1
k
1
k+1
< α
<
∞,
α
=
1
,
k−1
< α
≤
1
,
k−1
α
=
1
,
k
< α
≤
1
,
k
l
= (k + 1)a
⇐⇒
α
=
1
,
k+1
l
<
⇐⇒
0 < α
≤
1
k+1
∞
.
Gehen wir für diese Fälle nun weiter nach der Rezeptur auf Seite 290 im Satz
6.5.2 vor, d.h. betrachten wir jetzt den Grenzübergang λ → 0 und unterdrücken den
ggf. entstehenden Faktor π2 von α in den auf Seite 153ff angegebenen geometrischen
Wahrscheinlichkeiten pIII , so gelangen wir wieder zu den Angaben in (11.13).
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
297
Dabei liefert pIII im Fall 1.1 nach Rezeptur für λ → 0 und anschließendem
1
Einsetzen von α = k−1
den Wert pk = 0, so wie die Beziehung (11.13) im Fall
1.2 – was natürlich eine Folge der Stetigkeit von pk und pIII an den Grenzen der
Fallunterscheidungen ist.
Analog ist pIII im Fall 2.2 nach der Durchführung unserer Rezeptur für α = k1
gleich pk = m2 · k1 − m1 + k1 nach (11.13) im Fall 2.3 für diesen Wert von α.
1
Schließlich stimmt auch der nach Rezeptur aus pIII nach Fall 3.3 in α = k+1
2
1
gewonnene Wert mit pk nach (11.13) im Fall 3.4 überein: pk = m · k+1 .
Außerdem erkennen wir, dass die geometrische Wahrscheinlichkeit p1 nach Angabe (11.11) in dieser allgemeinen Form pk enthalten ist. Dazu ist der Fall 0 als nicht
zutreffend auszuschließen und die Fälle 1.2, 2.3 und 3.4 liefern mit k = 1 jeweils
die Resultate der Fälle I.1, I.3 und I.6.
Es bleibt noch anzumerken, dass für k = m die Fälle 2.3 und 3.4 zusammenfallen
und dann pm = m2 α ergeben.
11.3.4
Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: k = m + 1
Abschließend betrachten wir wieder den Fall k = m + 1. Ähnlich zu unserer vorhergehenden Diskussion treten die folgenden Unterscheidungen auf:
N.1
:
0
N.2
:
N.3
: ma
<
≤
l
<
ma
⇐⇒
l
= ma
⇐⇒
l
<
⇐⇒
∞
1
m
0
< α
<
∞,
α
=
1
,
m
< α
≤
1
m
.
N.1
Im Fall N.1 werden keine m + 1 Schnitte erreicht: Sm+1
= ∅. Für Nadeln der
Länge gemäß N.3 dagegen ist die Ereignismenge
N.3
N.3
Sm+1
= {H = I(ρ, l) | ma − l < ρ < 0} mit µ(Sm+1
) = l − ma .
Insgesamt kann die geometrische Wahrscheinlichkeit in diesem Fall also nach

 0
pm+1 =

1
−α
m
1
+α
m
, Fall N.1,
, Fall N.3
(11.14)
angegeben werden.
Auch dieser Fall kann aus den Beziehungen für die Ebene nach Satz 6.6.1 gewonnen werden. Wenden wir nämlich wieder das oben beschriebene rein formale
Vorgehen auf die Angaben (6.57), (6.58) und (6.59) an, so erhalten wir das Ergebnis (11.14) und für Fall N.2 mit α = m1 die Wahrscheinlichkeit pm+1 = 0 für ein
unmögliches Ereignis, wie es auch (11.14) für diesen Wert von α vorhersagt.
298
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
1
p
1
0.8
k=0
6
0.6
0.4
0.2
2
5
4
3
α
1
0.5
1.5
2
2.5
3
Bild 11.7: pk für m = 5 und k = 0, 1, ..., 6
Das Bild 11.7 gibt abschließend alle unter (11.7), (11.11), (11.13) und (11.14) aufgelisteten geometrischen Wahrscheinlichkeiten graphisch für m = 5 in Abhängigkeit
des Parameters α wieder.
Dabei ist zu erkennen, wie die pk abschnittsweise definiert sind und für ansteigendem Parameter α, d.h. kürzer werdende Nadel, ab k ≥ 2 zu Null werden. Einzig
für genau einen Schnitt k = 1 ist für α > 0 überall p1 6= 0.
Geht α → 0, so streben alle pk → 0 mit 0 ≤ k ≤ m = 5, d.h. für eine immer
länger und “mehr und mehr zur Geraden“ werdende Nadel, erreicht pm+1 den Wert
1 und es wird zum sicheren Ereignis, dass die Nadel alle Gitterpunkte schneidet.
11.3.5
Erwartungswert
Nachdem wir uns also über alle geometrischen Wahrscheinlichkeiten im offenen Gitter der Dimension eins einen Überblick verschafft haben, soll für die in Abschnitt 3.4
eingeführte Zufallsvariable jetzt noch der Erwartungswert bestimmt werden. Dabei
bezeichnen wir die ZV in Anlehnung an das ebene Pendant auch hier mit XIII .
In der Summe
m+1
X
E(XIII ) =
k · pk
(11.15)
k=0
sind also je nach Fallunterscheidung bzgl. α die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
nach (11.7), (11.11), (11.13) und (11.14) einzusetzen. Das sieht scheinbar wieder
nach einer hohen Zahl verschiedener Summen in (11.15) aus. Tatsächlich können
nur sechs Folgen an Fallunterscheidungen
fν : ( pk )0≤k≤m+1
in (11.15) auftreten. Um das einzusehen, betrachten wir das Bild 11.8, in dem die
möglichen Fallunterscheidungen für die pk in Abhängigkeit von α über k = 0, 1, ...,
m, m + 1 aufgetragen sind.
Es ist zu erkennen, dass nur die unten aufgelisteten sechs Folgen an Fällen auftre-
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
299
l = const.
k=0
0.3
0.1
} }} }}
} }}
}}
}}}
0 … m1
k=1
1 1
5 4
1
3
1
2
I.6
3.4
2.3
}
k=3
3.4
I.3
I.1
1.2
0
}
0
3.4 2.3 1.2
…
a
0
2.3 1.2
}
}
k=4
} }
k=2
1
}
}
k = m 3.4 = 2.3 1.2
0
}
k = m +1
N.3
N.1
Bild 11.8: Abfolge an Fällen in Abhängigkeit von α
ten können, wobei wir hier stellvertretend für die pk die Fallbezeichnungen angeben:
f1 : ( 0.1, I.1, 0, ..., 0, N.1) ,
f2 : ( 0.3, I.3, 1.2, 0, ..., 0, N.1 ) ,
f3 : ( 0.3, I.6, 2.3, 1.2, 0 ..., 0, N.1 ) ,
f4 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 2.3, 1.2, 0 ..., 0, N.1 ) ,
f5 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, 2.3, N.3 ) ,
f6 : ( 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4, N.3 ) .
Dabei laufe die Serie der Fälle 3.4 in den Folgen f4 , f5 und f6 jeweils von k = 2
bis h ∈ N, wobei h < m − 1 in Folge f4 , h = m − 1 in Folge f5 und h = m in Folge
f6 gelte:
¡
¢
f4 : 0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4 , |{z}
2.3 , 1.2, 0 ..., 0, N.1 ,
|
{z
}
f5 :
f6 :
¡
¡
k=2,...,h<m−1
k=h+1
k=2,...,h=m−1
k=m
¢
2.3 , N.3 ,
0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4 , |{z}
{z
}
|
0.3, I.6, 3.4, ..., 3.4 , |{z}
N.3
|
{z
}
k=2,...,h=m
¢
.
k=m+1
Für die Abfolge an Fällen in den Angaben der pk nach (11.7), (11.11), (11.13)
und (11.14) kann auch ein gerichteter Graph angegeben werden, wie er in Bild 11.9
zu sehen ist. Dabei werden die Knoten von k = 0 bis k = m + 1 in Abhängigkeit
des Parameters α durchlaufen, wobei mit zunehmendem k die Kanten nur in den
eingezeichneten Richtungen verfolgt werden dürfen.
300
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
0.3
0.1
k=0
k=1
I.6
I.3
I.1
2.3
1.2
1 < k < m +1
3.4
0
k = m +1
N.1
N.3
Bild 11.9: Abfolge an Fällen in Abhängigkeit von α als gerichteter Graph
Für den Erwartungswert nach (11.15) bedeutet dies, dass es sechs Summen mit
den pk nach den Folgen f1 , ..., f6 auszuwerten gilt. Im folgenden geben wir die
Fallunterscheidungen als hochgestellten Index der pk an:
f1 : E(XIII ) = 1 · pI.1
1 =
1 + m1
,
α + m1
1.2
f2 : E(XIII ) = 1 · pI.3
1 + 2 · p2 =
1 + m1
,
α + m1
f3 : E(XIII ) = 1 · p1 + 2 · p2 + 3 · p3
I.6
2.3
f4 : E(XIII ) = 1 · pI.6
1 +
h<m−1
X
1.2
1 + m1
=
α + m1
2.3
1.2
k · p3.4
k + (h + 1) · ph+1 + (h + 2) · ph+2 =
k=2
f5 : E(XIII ) = 1 · p1 +
I.6
h=m−1
X
k · pk + m · pm + (m + 1) · pm+1
3.4
2.3
N.3
k=2
f6 : E(XIII ) = 1 · p1 +
I.6
h=m
X
N.3
k · p3.4
k + (m + 1) · pm+1 =
k=2
1 + m1
,
α + m1
1 + m1
=
,
α + m1
1 + m1
.
α + m1
Damit haben wir folgenden Satz gewonnen:
Satz 11.3.1. Mit den geometrischen Wahrscheinlichkeiten nach (11.7), (11.11),
(11.13) und (11.14) gilt:
E(XIII ) =
m+1
X
k=0
k pk =
1 + m1
.
α + m1
11.3. OFFENES GITTER IN EINER DIMENSION
11.3.6
301
Diskussion
Es bleibt noch zu erwähnen, dass der Fall m → ∞ eines “unendlich langen“ (oder
auch aufgerollten und damit homogenen) Gitters mit dem Abstand a zwischen den
Gitterpunkten in dem hier untersuchten Fall von m Zellen, bzw. m + 1 Gitterpunkten enthalten ist. Dies entspricht dem eindimensionalen Pendant von Fall IV, der
ebenfalls aus dem Zufallsexperiment III ableitbar ist, vgl. Kapitel 7.
Darüber hinaus kann dieser Fall geometrisch gesehen nach der Konfiguration
im Bild 11.10 aufgefasst werden. Dazu wird das Gitter C = {0, a, ..., mr} zu einem Kreis, oder allgemein einer geschlossenen eindimensionalen Mannigfaltigkeit
“aufgewickelt“, vgl. Bild 11.10, links. Im mittleren Bildteil bemerken wir, dass es
auf die Anzahl der Zellen gar nicht ankommt, solange das Verhältnis α von a zu
l gewahrt bleibt. Das führt schließlich dazu, dass es genügt, eine Elementarzelle
mit identifiziertem Anfangs- und Endpunkt zu betrachten, was ganz rechts im Bild
dargestellt ist.
0
0
0
ma
l
a
a
l
K
a
.
..
H
H
H
K
K
Bild 11.10: Punktgitter mit identifizierten Anfangs- und Endpunkt
Wird die “gebogene Nadel“ H so an die Kontur der Mannigfaltigkeit K angepasst, dass die Längen erhalten bleiben, gelten alle oben abgeleiteten Resultate
mit m → ∞ für dieses zu Zufallsexperiment IV analoge Gefüge. Das Bild 11.11
verdeutlicht dies für den ebenen Fall. Werden die zwei äußeren Gitterstrecken eines
endlichen Gitters miteinander identifiziert, so erhalten wir aus Zufallsexperiment III
das mit IV bezifferte. Die Nadel H folgt dabei je nach “Fallwinkel“ unterschiedlichen
Ellipsen auf dem Hüllzylinder.
H
K
Bild 11.11: Zufallsexperiment IV in kompakter Darstellung
Damit haben wir wieder ein Zufallsexperiment der geometrischen Wahrscheinlichkeit auf einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit in Form eines Zylinders – diesmal aber ganz neuer Form als im Kapitel 9.
302
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
11.4
Geschlossenes Gitter in einer Dimension
Wir teilen unser Vorgehen wieder nach der Anzahl der Schnitte des Testobjekts mit
dem Gitter ein. Abweichend zu unserem vorangegangenen Zufallsexperiment stellen
wir zunächst fest, dass bei gegebener Länge l von H nur noch zwei Schnittzahlen
möglich sind! Insbesondere sind mehr als m − 1 Schnitte nicht möglich. Im einzelnen
ergeben sich Schnitte der Anzahl
•
k=0
nur für 0 < l < a ⇐⇒ 1 < α ,
•
k=1
nur für 0 < l < a ⇐⇒ 1 < α oder a ≤ l < 2a ⇐⇒
1
< α ≤ 1,
2
1
1
<α≤
oder
k
k−1
1
1
ka ≤ l < (k + 1)a ⇐⇒
<α≤ .
k+1
k
• 1 < k < m nur für (k − 1)a ≤ l < ka ⇐⇒
11.4.1
Wahrscheinlichkeit für keinen Schnitt: k = 0
Kein Schnitt des Testobjektes H mit dem Gitter ist nur zu erwarten, wenn für
die Länge l von H wie im vorigen Abschnitt beschrieben 0 < l < a gilt. Wie im
vorhergehenden Abschnitt 11.3.1 kommen wir wieder zur Menge
S0 = { H = I(ρ, l) | (ν − 1)a < ρ < νa − l, ν = 1, ..., m }
aller Nadeln H, die C nicht schneiden, deren Maß sich zu
µ(S0 ) =
m Z
X
ν=1
Z
νa−l
a−l
dρ = m
(ν−1)a
dρ = m(a − l)
0
bestimmt. Nach (3.1) kann daraus die geometrische Wahrscheinlichkeit
p0 = p(S0 ) =
m(a − l)
α−1
µ(S0 )
=
=
1
µ(J)
ml( m + α)
α + m1
angegeben werden. Wir halten fest:
(
0
, falls 0 < α ≤ 1 ,
p0 =
α−1
, falls 1 < α < ∞ .
α− 1
(11.16)
m
11.4.2
Wahrscheinlichkeit für k Schnitte: 0 < k < m
Genau k > 0 Schnitte zwischen dem Testobjekt H der Länge l und dem Gitter C
sind nur für (k − 1)a ≤ l < (k + 1)a möglich. Weiter ist dabei wie im Vorspann
aufgeführt zwischen den beiden Fällen
(k − 1)a ≤ l < ka
und
ka ≤ l < (k + 1)a
11.4. GESCHLOSSENES GITTER IN EINER DIMENSION
303
zu unterscheiden – ist H kürzer als (k − 1)a, wird es zu weniger als k Schnitten
kommen, und bei einem H, das länger als (k + 1)a ist, wird die Schnittzahl k stets
überschreiten.
Wir haben also die beiden Fälle
1
1
<α≤
,
k
k−1
1
1
ka ≤ l < (k + 1)a ⇐⇒
<α≤
k+1
k
Q1 :
(k − 1)a ≤ l < ka ⇐⇒
Q2 :
zu untersuchen, wobei für k = 1 im Fall Q1 der Bruch
interpretieren ist.
1
k−1
als Grenzwert → ∞ zu
Die Mengen aller Testobjekte in den beiden aufgeführten Fällen sind
SkQ1 = {H = I(ρ, l) | (ν + k − 1)a − l < ρ < νa , ν = 1, ..., m − k }
und
SkQ2 = {H = I(ρ, l) | (ν − 1)a < ρ < (k + ν)a − l , ν = 1, ..., m − k } .
Ihre Maße ergeben sich zu
Q1
µ(Sk ) =
m−k
X Z νa
ν=1
und
Q2
µ(Sk ) =
m−k
X Z (k+ν)a−l
ν=1
dρ = (m − k) · (l − (k − 1)a)
ρ=(ν+k−1)a−l
dρ = (m − k) · ((k + 1)a − l) .
ρ=(ν−1)a
Somit erhalten wir folgende geometrische Wahrscheinlichkeit, wobei wir als Abkürzungen für die beiden Fälle mit den unmöglichen Ereignissen noch die Bezeichnungen Q01 und Q02 eingeführt haben:

0
,





 1 − (k − 1)α ,
k
1− m
·
pk =
α − m1 
(k + 1)α − 1 ,





0
,
1
k−1
<α<∞
(Fall Q01),
1
k
<α≤
1
k−1
(Fall Q1),
1
k+1
<α≤
1
k
(Fall Q2),
1
m
≤α≤
1
k+1
(11.17)
(Fall Q02).
Im Fall von Q01, bzw. Q02 ist die Nadel zu kurz, bzw. zu lang, um k Schnitte zu
erzeugen. Außerdem hat stets l ≤ ma zu gelten, damit die Nadel H ⊂ K vollständig
in den Innenraum des Gitters fällt, was sich im Fall Q02 in der unteren Grenze von
1/m für den Parameter α widerspiegelt.
304
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
Die abschnittsweise formulierte Funktion ist an den Rändern wieder stetig, dabei
gilt insbesondere pk = 1 für α = 1/k. Dies ist in den Verläufen nach Bild 11.12 der
pk über α gut zu erkennen.
p
1
1
3
0.8
0.6
k=0
4
0.4
2
0.2
α
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Bild 11.12: pk für m = 5 und k = 0, 1, 2, 3, 4
Das Bild zeigt auch, dass ab α > 1/2, d.h. l < 2a, immer ein Schnitt zwischen
Nadel und Gitter möglich ist. Für diese besondere Schnittzahl extrahieren wir aus
(11.17) noch gesondert die Angabe

, 1 < α ≤ ∞ (Fall Q1),

 1
1 − m1 
2α − 1 , 12 < α ≤ 1 (Fall Q2),
p1 =
·
α − m1 


0
, m1 ≤ α ≤ 21 (Fall Q02).
11.4.3
Eine alternative Berechnung von pk
Interessant ist noch folgende Alternative, die geometrischen Wahrscheinlichkeiten
pk zu bestimmen, wobei wir nur die Angabe des Maßes (11.6) gebrauchen! Die
Idee hinter dieser Berechnung beruht auf der Beobachtung, dass es nur zwei Fälle –
nämlich Q1 und Q2 – von k Schnittereignissen gibt.
Wir definieren zunächst die Mengen
Aν,k := { H = I(ρ, l) | νa < ρ < (ν + k)a − l }
an Nadeln, die mit ihrer “vollen Länge“ zwischen den Gitterpunkten νa und (ν +k)a
liegen – diese weisen offenbar höchstens k − 1 Schnitte mit dem Gitter auf! Es ergibt
sich für die Aν,k nun ganz in Analogie zur Berechnung von (11.6) ein Maß von
³
1´
µ(Aν,k ) = kl α −
(11.18)
k
ganz unabhängig von ν, weshalb wir uns im folgenden auf ν = 0 beschränken können
und noch
Ak := A0,k
definieren. Dabei gilt also stets
µ(Ak ) = µ(Aν,k ) , ν = 0, 1, ...
(11.19)
11.4. GESCHLOSSENES GITTER IN EINER DIMENSION
305
Fall (k − 1)a ≤ l < ka (Q1): Das Maß für die Menge aller Nadeln mit genau k
Schnitten ist nach Bild 11.13 folgendermaßen herleitbar.
Die Menge Ak+1 beinhaltet alle Nadeln H, für die H ⊂ [0, (k + 1)a[ gilt. Unter
der Bedingung Q1 sind dies offensichtlich alle Nadeln im Intervall [0, (k + 1)a[ mit
genau k − 1 und genau k Schnitten zum Gitter. (Anm.: I(ρ, l) mit ρ = 0 bildet zwar
auch einen Schnitt, kann aber wieder als stochastisch unmöglich gesehen werden, da diese
Lage vom Maß null ist).
0
A 0, k
A 1, k
Q1
Sk
}
}
}
...
a
ka
(k + 1) a
...
H
...
...
}
Ak + 1
k Schnitte
Bild 11.13: Disjunkte Mengen an Nadeln
Die ersten beiden Mengen an Nadeln haben wir oben in diesem Unterabschnitt
eingeführt: es sind A0,k und A1,k . Die Menge an Nadeln in Ak+1 mit genau k Schnitten
des Gitters, wird mit ŜkQ1 bezeichnet – es gilt also ŜkQ1 ⊂ SkQ1 . Wir haben also
folgende Zusammenstellung an Nadeln
Ak+1 = ŜkQ1 ∪ A0,k ∪ A1,k ,
wobei die rechts stehenden Mengen paarweise disjunkt sind, so dass wir mit (11.19)
die Maße
µ(ŜkQ1 ) = µ(Ak+1 ) − 2 · µ(Ak )
¢
¡
¢
¡
1
− 2 · kl α − k1
= (k + 1)l α − k+1
¡
¢
= l 1 − (k − 1)α
ins Spiel bringen können! Da sich für alle ν = 0, 1, ..., m − k − 1 eine bzgl. des Maßes
gleichartige Menge ŜkQ1 an Nadeln ergibt, ist
¡
¢¡
¢
k
µ(SkQ1 ) = (m − k) · µ(ŜkQ1 ) = ml 1 − m
1 − (k − 1)α
(11.20)
und wir können also das Maß aller Nadeln mit genau k Schnitten zum Gitter lediglich
aus der Angabe des Maßes der Art (11.18) bestimmen. Aus (11.20) können wir mit
¡
¢
µ(B) = ml 1 − m1
unmittelbar die in (11.17) unter Q1 notierte geometrische Wahrscheinlichkeit angeben.
306
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
Fall ka ≤ l < (k + 1)a (Q2): Dieser Fall ist besonders einfach, denn nun besteht
Ak+1 selbst nur aus den Nadeln H ⊂ [0, (k + 1)a] mit k Schnitten zum Gitter:
ŜkQ2 = Ak+1
und wir haben
µ(SkQ2 ) = (m − k) · µ(ŜkQ2 ) = (m − k) · µ(Ak+1 )
¡
1 ¢
= (m − k) · (k + 1)l α −
k+1
¢¡
¢
¡
k
= ml 1 − m (k + 1)α − 1 ,
woraus sich mit µ(B) die unter Q2 genannte geometrische Wahrscheinlichkeit in
(11.17) ergibt. (Diese Überlegungen folgen natürlich den Ideen aus Kapitel 10 für
das ebene Gitter, vgl. auch die Grenzwertbetrachtung auf den Seiten 266f.)
11.4.4
Erwartungswert
Abschließend soll wieder die mittlere Anzahl an Schnitten einer Nadel mit dem
“geschlossenen Gitter“ angegeben werden:
E(X) =
m−1
X
k pk ,
(11.21)
k=0
wobei X die ZV sei, die den Wurf von Nadel auf die Anzahl der Schnitte mit dem
Gitter abbildet und die pk nach (11.17) einzusetzen sind. Diese Summe ist leicht
auszuwerten, denn sei bei gegebenem Parameter α eine ganze Zahl κ so bestimmt,
dass
1
1
<α≤
(11.22)
κ
κ−1
gilt, sind nur zwei Summanden aus (11.21) ungleich Null:
pk = pQ02
=0
k
pk = pQ2
k =
Q1
pk = pk
¡
¢
1 − κ−1
m
(κ − 1 + 1)α − 1
1
α− m
κ ¡
¢
1− m
1
−
(κ
−
1)α
=
α − m1
pk = pQ01
=0
k
für
k < κ − 1,
für
k = κ − 1,
für
k = κ,
für
k > κ.
Damit können wir den Erwartungswert zu
E(X) =
m−1
X
k pk
k=0
= (κ − 1) ·
κ ¡
¡
¢
¢
1− m
1 − κ−1
m
(κ
−
1
+
1)α
−
1
+
κ
·
1
1 1 − (κ − 1)α
α− m
α− m
11.4. GESCHLOSSENES GITTER IN EINER DIMENSION
=
1+
1
m
−
307
2
m
α
κ+ m
κ (κ − 1)
1
α− m
bestimmen, wobei nach Vorgabe (11.22) von α sich die ganze Zahl κ zu
κ =
j1k
α
+1
ergibt. Darin ist b1/αc der größte ganzzahlige Anteil im Kehrwert von α.
4
5
4
3
3
2
EX
2
1
α
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Bild 11.14: Erwartungswerte im offenen (gestrichelt) und geschlossenen Gitter für verschiedene m = 2, 3, 4 und 5 über α
Das Bild 11.14 zeigt die Verläufe von E(X) im offenen und geschlossenen Gitter
für die Anzahlen m = 2, 3, 4 und 5 Gitterzellen über den Parameter α aufgetragen,
dabei sind die Graphen des offenen Gitter gestrichelt gezeichnet. Die strichpunktierten Senkrechten markieren jeweils den “verbotenen“ Bereich α < 1/m für den
Nadelwurf im geschlossenen Gitter. Für α > 1 gilt insbesondere
1 − m1
.
E(X) =
α − m1
Offenbar ergibt sich die Tendenz bei abnehmendem α > 1/m, also länger werdender
Nadel, und zunehmender Zellenzahl m, dass im geschlossenen Gitter mehr Schnitte
als im offenen erzielt werden. Was durchaus verständlich ist, denn das geschlossene
Gitter lässt keine Nadelwürde “auf seinem Rand“ zu, während im offenen Gitter
der außerhalb des Gitters gelegene Teil einer Nadel “auf dem Rand“ keine Schnitte
erzielt – das geschlossene Gitter erscheint kleiner als das offene!
Die einzige Ausnahme von dieser Tendenz liegt bei m = 2 vor. Hier schlägt zu
Buche, dass im offenen Gitter bei hinreichend langer Nadel auch drei Gitterpunkte
getroffen werden können, was im geschlossenen nicht möglich ist. So ergeben sich
bei einer Nadel, die länger als das Gitter ist auch mehr und mehr und schließlich
bis zu m + 1 Schnitte im Mittel auf einem offenen Gitter, was für das geschlossene
Gitter nicht zutreffen kann.
308
KAPITEL 11. PUNKTGITTER AUF LINIEN
11.4.5
Diskussion
Für m → ∞ fallen die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pk nach (11.13) des offenen Gitters mit den Beziehungen für die pk nach (11.17) des geschlossenen zusammen
und es gilt dann

1
1

∨ k−1
< α < ∞,
, 0 < α ≤ k+1
 0

1
1
(k + 1)α − 1 , k+1
< α ≤ k1 ,
pk = ·
α 

 1 − (k − 1)α , 1 < α ≤ 1
k
k−1
mit dem Erwartungswert
E(XIV ) = 1/α = l/a .
Dieses Ergebnis stimmt also überein mit unseren Überlegungen aus dem Abschnitt 11.3.6: Der Diskussion für m → ∞, bzw. der “geschlossenen Fortsetzung“
des offenen Gitters.
Das Bild 11.15 zeigt die Funktion pk in Abhängigkeit von α und k. (Anm.: Dabei
ist die α-Achse nicht äquidistant aufgeteilt, sondern durchläuft α = k1 von k = 8 bis 1 und
dann gleichmäßig bis α = 2.) Dabei ist zu erkennen, dass immer nur maximal zwei
Schnittzahlen angenommen werden, d.h. für einen Parameter α mit
1
ν+1
<α≤
1
ν
ist
pν = 1 + ν −
1
α
und pν+1 =
1
α
−ν.
1
0.8
0.6
0.4 pk
0.2
8
2
7
α
6
1
5
4
3
k
2
1
0.125
0
1
α= 1 3
pk
0.8
0.6
0.4
1 2
0.2
k
1
2
3
4
5
6
7
8
Bild 11.15: oben: pk für m → ∞ über α und k; unten: von α = 1/3 bis 1/2
309
Zusammenfassung
Es wird das Experiment von Buffon, eine Nadel in zufälliger Weise auf ein Gitter
paralleler Geraden zu platzieren und die geometrische Wahrscheinlichkeit für das
Treffen einer oder mehrerer Geraden zu bestimmen, aufgegriffen und für räumlich
begrenzte Gitter betrachtet.
Begrenzt bedeutet dabei, dass die Geraden zu Strecken gleicher Länge werden
und in der weiteren Untersuchung auch nur noch in begrenzter Anzahl vorliegen. Als
Testobjekte werden Geraden und Strecken, die Buffonschen Nadeln, verwendet. Wir
gehen die Problemstellung, für das jeweilige Gitter und ausgewählte Testobjekt die
geometrische Wahrscheinlichkeit für das k-fache Treffen der Objekte zu bestimmen,
schrittweise an: Menge, Maß, Wahrscheinlichkeit.
Dabei ist die geometrische Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis S innerhalb eines
Parameterraums Ω das Verhältnis
p=
µ(S)
µ(D)
der Maße der Mengen S und D als “Grundmenge“ aller möglichen Ereignisse. Die
Menge D erfasst hier grundsätzlich alle Testobjekte T , welche den Innenraum K
der Einhüllenden des Gitters C treffen: T ∩ K 6= ∅. Im Sinne der Integralgeometrie,
die Inhaltsmessung von Punktmengen auf Mengen anderer geometrischer Formen
auszudehnen, werden die Testobjekte durch das Integral
Z
µ(S) =
f (u1 , u2 , ..., un ) du1 ∧ du2 ∧ ... ∧ dun
S
gemessen, wobei die Dichte f bezüglich maßstabserhaltenden Bewegungen invariant ist; man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer kinematischen Dichte. Durch Einführung eines solchen bewegungsinvarianten Maßes kann (erst) sinnvoll und paradoxiefrei von “zufälliger Platzierung“ auf dem Gitter gesprochen und
danach operiert werden. Die “Koordinaten“ (u1 , u2 , ..., un ) beschreiben dabei das
Testobjekt im Parameterraum Ω = Rn . Zusammen mit S, D ∈ S = σ(I n ), der Borelschen σ-Algebra der rechts halboffenen Intervalle, sind damit alle Probleme der
stochastischen Geometrie in einem “natürlichen“ Maßraum (Ω, S, µ) angesiedelt. –
Im vierten Teil untersuchen wir auch eine verwandte Fragestellung im Raum auf
einer gekrümmten Fläche und werden dort das bewegungsunabhängige Maß einer
Ebene als Testobjekt aufstellen.
Nach dieser grundlegenden Übersicht werden die hier vorkommenden Gitter
m
einführen, die den Typ
C definiert, wobei wir die Schreibweise Rna,2r bzw. Ca,2r
des Gitters beschreibt. Dabei bedeutet n die Anzahl der Gitterelemente in Form
von Strecken und gelegentlich auch Geraden. Im allgemeinen arbeiten wir mit den
m = n + 1 im Gitter enthaltenen Elementarzellen. Die Größen a und d = 2r geben den äquidistanten Abstand und die Länge der Gitterelemente an – nehmen die
Gitterelemente die Form von Strecken an, so liegen diese grundsätzlich unversetzt
310
ZUSAMMENFASSUNG
übereinander, d.h. in der hier verwendeten Einbettung des Gitters C in die Ebene
sieht dieses stets so aus:
©
ª
C = (x, y) ∈ R2 | − r ≤ x < r, y = ν a
mit ν = 0, 1, 2, ... Für das ursprüngliche Gitter im Buffonschen Experiment ist
n → ∞ und d → ∞. Im Kapitel 9 wird als Pendant hierzu auch ein Gitter von
übereinander geschichteten Kreisen bzw. Kreisscheiben betrachtet, ebenso wie im
Kapitel 11 eines aus Punkten auf einer Linie.
Für den Innenraum K = Ix × Iy , Ix = ] − r, r[ , Iy = ]0, ma[ o.a. geeignet, der
Gitter bestimmen wir die Menge D aller Testobjekte, die mit diesen mindestens
einen gemeinsamen Punkt aufweisen und berechnen µ(D).
Im zweiten und zentralen Teil der Arbeit werden die beiden vorangehenden Bausteine aus Testobjekten und Gitter zusammen in der Weise untersucht, indem nach
der geometrischen Wahrscheinlichkeit gefragt wird, mit der Testobjekte T unter der
Bedingung T ∩ K 6= ∅ einen k-fachen Schnitt mit dem Gitter C aufweisen.
Dazu wird µ(Sk ) berechnet, d.h. das Maß der Menge Sk aller betrachteten Testobjekte, die einen k-fachen Schnitt mit dem Gitter C bilden. Wie schon bei Berechnung der Grundmaße greifen wir dabei auf die im vorigen Abschnitt eingeführten
Koordinaten am Gitter zurück, die es in besonders adäquater Weise erlauben, die
Mengen Sk zu formulieren und über diese zu integrieren.
Am Ende jedes Kapitels diskutieren wir die in p = µ(Sk )/µ(D) gewonnenen
Ergebnisse und geben geometrisch motivierte Deutungen des Verhaltens der Wahrscheinlichkeiten. Außerdem betrachten wir die Zufallsvariable
X : D → N0 , T 7→ X(T ) := # { Schnitte T mit C }
und ermitteln den Erwartungswert E(X).
Die geometrischen Wahrscheinlichkeiten werden nach und nach für verschiedene
Gittertypen und Testobjekte bestimmt – dieses Zusammenkommen wird als Zufallsexperiment bezeichnet. Die allgemeinste Form in diesem Zusammenhang hat
dabei das Zufallsexperiment III: begrenztes Gitter mit endlicher Anzahl von Gitterstrecken und Testobjekte in Form von Strecken. Die Ergebnisse enthalten über
Grenzwertbetrachtungen die der anderen Zufallsexperimente – insbesondere kann
das ursprüngliche Buffonsche Experiment für k Schnitte der Nadel mit dem Gitter
nachvollzogen werden, vgl. [36] oder [4], S. 27f, Punkt 1.1.10, von (Diaconis, 1976).
Im dritten Teil wird zusätzlich mit einer Monte-Carlo-Methode der Nadelwurf
des Zufallsexperiments III simuliert. Die Methode wird in Form von Mathematicaund C-Programmen durchgeführt und mit den analytisch gewonnenen Ergebnissen
aus dem dritten Teil verglichen.
Im vierten Teil wird die hier angestellte Untersuchung auch unter der Bedingung
T ⊂ K durchgeführt, d.h. die Testobjekte treffen nicht nur das Innere des Gitters C,
sondern haben ganz darin zu liegen. Auch die Dimension des Gitters und Testobjekts
kann verschiedenartig verändert werden. Den Nadelwurf “auf der Linie“ behandeln
wir am Ende dieser Abhandlung.
311
Ausblick
Ungelöste Probleme sollten viel mehr beachtet, formuliert, gesammelt
und weitergegeben werden. Sie würden das Interesse an Wissenschaft
wecken und den Erkenntnisfortschritt fördern, ...
Gerhard Vollmer, Wissenschaftstheorie im Einsatz, [66]
Jede Arbeit wirft weitere Fragen auf – zwar wurde versucht, das Gebiet der begrenzten Gitter im engeren Sinne der Rechteckgitter ebenso kompakt wie umfassend
abzuhandeln, aber es gibt natürlich weitere Aspekte, die sich diesen Untersuchungen
anschließen können.
Ein erster Versuch wurde im vierten Teil dieser Abhandlung unternommen, die
Fragestellungen bzgl. der Dimension (Zylinder im R3 und eindimensionale Mannigfaltigkeit) und der Fallbedingungen (geschlossenes Gitter und Ereignisse auf dem
Rand) zu verändern. Im folgenden sollen weitere Probleme ganz unterschiedlichen
Charakters kurz beleuchtet werden, die sich aus dem Umfeld der stochastischen Geometrie auf beschränkte Gitter ergeben. Dabei wird jeweils in Form eines “Einstiegs“
versucht, einen ersten Schritt in die Landschaft dieses Problems zu wagen – jeder
der kleinen Abschnitte aber soll mit einer Frage beendet werden!
Testelemente
Naheliegend ist zunächst die Betrachtung verschiedener Testkörper. Ein einfacher
Fall ist der zufällige Wurf von Kreisen auf ein beschränktes Rechteckgitter – links
“kleine Kreise“, deren Durchmesser kleiner als die Höhe einer Elementarzelle sind,
rechts “große Kreise“:
C
Insbesondere für kleine Kreise lässt sich die Wahrscheinlichkeit für zumindest
einen Schnitt mit dem Gitter C rasch beantworten und ergibt
¡
¢¡
¢
1 + m1 4 + αλ
¢
¡
¢
pK = ¡
4α π + αλ + m1 4 + αλ
a
mit α = al , λ = 2r
, wobei a, bzw. 2r wieder die Höhe, bzw. Breite einer Elementarzelle, m deren Anzahl und l der Umfang des Kreises ist.
312
AUSBLICK
Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit kann der folgenden Skizze entnommen
werden: p = µ(S)/µ(D) gestaltet sich als Verhältnis zweier Flächen. Und zwar des
(m + 1)-fachen der Einhüllenden einer Gitterstrecke zur der des gesamten Gitters,
wobei die Ränder der Einhüllenden den Abstand 2πl von den Gitterstrecken bzw. der
Einhüllenden des Gitters selbst einnehmen. Die Flächen der “günstigen“ Kreismittelpunkte dürfen sich dabei natürlich nicht überlappen.
S
D
Für m → ∞ und λ → 0 (infolge 2r → ∞) erhält man insbesondere die Aussage
nach [4], Theorem 1.1.6 über konvexe Mengen auf einem unbegrenzten Gitter:
p=
1
l
=
.
πα
πa
Interessant ist die Frage, vgl. wieder [4], Abschnitt 1.1.5, ob die mittlere Anzahl
an Schnitten zwischen Testelement und Gitter wieder nur von der Länge abhängt,
wie es bei einem unbegrenzten Gitter der Fall ist?
An die Untersuchungen [27], [28] und [31] anknüpfend, wäre die (vermutlich
schwierige) Betrachtung von Ellipsen als Testobjekt das ideale Bindeglied zwischen
Nadeln und Kreisen:
l
h
s
C
a
Was kann man über die Wahrscheinlichkeit pE für (mindestens) einen Schnitt
einer Ellipse mit einem begrenzten Gitter im einfachsten Fall h < s < a herausfinden? Die Wahrscheinlichkeit pE wird vermutlich zwischen den Verläufen von pH
für eine Nadel und pK (α) für einen Kreis nach folgendem Diagramm liegen: pK
und pH (α) = 1 − pIII (2α, λ, m, 0) für mindestens einen Schnitt mit dem Gitter (Nadellänge = halber Kreisumfang und hier: λ = 0,5 und m = 5)!?
313
1
p
0.8
0.6
pK
0.4
pH
0.2
1 π
α
0.5
1
1.5
2
Gitter
Noch allgemeinere Ergebnisse als im Zufallsexperiment III bekäme man z.B. für versetzt angeordnete Gitterstrecken oder allgemein Gitter, die durch Kurven begrenzt
werden, die als Einhüllende eine konvexe Menge ergeben, wie zum Beispiel in der
folgenden Weise dargestellt:
Auch Czuber betrachtete in [1], Abschnitte 71 und 73, bereits begrenzte Gitter
und nannte diese “Fenster“. Dabei wird nach der Wahrscheinlichkeit von Schnitten
einer Geraden mit den “Scheiben“ des Fensters der folgenden Art gefragt:
Hieran lässt sich natürlich im Sinne dieser Arbeit anknüpfen: Nadeln können auf
dieses “offene Laplacesche Gitter“ oder in das “geschlossene Gitter“ fallen.
Ähnlich wie die “Betrachtung auf dem Rand“ nach Abschnitt 10.7 können auch
Gitter mit “Nebenbedingungen“ untersucht werden. Die beiden Fälle links im folgenden Bild haben wir hier bereits behandelt:
314
AUSBLICK
Allein: Die gestrichelt gezeichnete Gerade, auf der die Nadeln zu liegen haben,
kann aber auch “nahe“ des Randes oder in einem anderen als rechten Winkel zum
Gitter verlaufen, vgl. die rechte Hälfte des obigen Bildes. Ganz davon abgesehen, dass
die Nadeln auf anderen Kurven als Nebenbedingung eingeschränkt werden können.
Was haben diese Nebenbedingungen für Auswirkungen auf die “klassische Wahr2l
scheinlichkeit“ p = πa
?
Das bringt uns auch zum Gedanken, die Frage nach dem Treffen des Randes
von allgemeinen konvexen Mengen zu stellen. Kreisförmige, konzentrische Gitter
mit Kreisen und Sphären als Testobjekte werden auch in [5] betrachtet!
Für eine Kreisscheibe K vom Radius r > 0 und Nadeln H der Länge l ist
die Trefferwahrscheinlichkeit des Kreisrandes von Nadeln mit H ∩ K 6= ∅, die also
überhaupt die Scheibe berühren, leicht zu bestimmen und beträgt
p
β(2 + 1 − β 2 ) + arcsin β
p∂K =
, 0 < β ≤ 1,
π
+ 2β
2
wobei β :=
l
2r
das Verhältnis von Nadellänge zum Durchmesser ist.
r H
r
r
q
0
l
z
Dabei berechnet sich nach dem obigen Bild p∂K = 1−µ(S0 )/µ(D) aus den Maßen
√2
√
2
r2 −ρ2 −l
Z2π r Z−(l/2)
Z
¡w¢
π
µ(S0 ) =
dζ dρ dθ = 2π r2 arctan
− wl
l
2
√
ρ=0
θ=0
ζ=−
r2 −ρ2
p
mit w = (2r)2 − l2 für die Menge S0 der “innenliegenden“ Nadeln, die keinen
Schnitt mit dem Rand bilden, und µ(D) = πF + lU = π 2 r2 + 2πlr nach Korollar
1.4.2 für die Grundmenge.
315
Das folgende Bild zeigt Simulationen1 in Mathematica mit dem je angegebenen
Parameter β sowie den berechneten p∂K und experimentell bestimmten Werten p̄∂K
für die Wahrscheinlichkeit (gemäß der Anordnung der Bilder), es werden jeweils 100
Nadeln platziert:
β = 0,125 ,
p∂K = 0,274 ,
p̄∂K = 0,28 ;
β = 0,25 ,
p∂K = 0,480 ,
p̄∂K = 0,47 ;
β = 0,50 ,
p∂K = 0,761 ,
p̄∂K = 0,77 ;
β = 0,75 ,
p∂K = 0,926 ,
p̄∂K = 0,91 .
Was lässt sich nun über Ellipsen als Berandung aussagen? Oder ist es effektiver, beliebige konvexe Formen durch Polygonzüge zu approximieren und für diese
Formen eine zu p∂K analoge Beziehung aufzustellen? Was passiert, wenn wir die
Betrachtungen der Testobjekte aus dem ersten Artikel dieses Ausblicks mit den
Gitterkonfigurationen dieses Abschnittes kombinieren?
1
Wie testet man hier effektiv, ob H den Rand trifft? Wir haben dazu den Rand des Kreises
diskretisiert und mit einem 40-Eck operiert – also 10 Teilstücke je Quadrant –, so dass wieder nur
der Schnitt zweier Strecken (H mit den Randstücken) mit den gegebenen Mitteln zu detektieren
war. Die Nadeln fallen zufällig auf ein Rechteckgebiet, in das der Kreis eingebettet ist, wobei wieder
nur Treffer H ∩ K 6= ∅ mit dem Kreisinneren K ausgewertet werden.
316
AUSBLICK
Verteilungen
Außerdem kann es interessant sein, eine Verteilung auf die Nadellängen l der
Testobjekte zu betrachten und daraufhin die Zufallsvariable X der Trefferanzahlen
mit dem Gitter zu untersuchen.
Diese Fragestellung ergibt sich in natürlicher Weise bei weitergehender Betrachtung des Falls einer Nadel und der Länge, die das Gitter “sieht“. Dazu stellen wir
uns nach Art des folgenden Bildes den Wurf der Nadeln vereinfacht so vor, dass der
Winkel φ eine gleichverteilte ZV in [0, π/2] ist und die Nadel unter diesem festen
Winkel auf das Gitter C fällt:
L
o
f
2
pL
C
effektiver
Querschnitt l
L l
0
Mit [47], Kapitel 5 über Funktionen auf ZV, können wir der Zufallsvariable
l = g(φ) = L cos φ
nun die Verteilungs- und Dichtefunktion (vgl. rechter Bildteil)
F (l) = p(g(φ) < l) = 1 −
2
π
arccos Ll , f (l) =
√
2/π
L2 −l2
zuordnen, nach denen die effektiven Nadelquerschnitte verteilt sind, die das Gitter
treffen. Was kann jetzt über die mittlere Anzahl von Treffern gesagt werden?
Hier ein Beispiel aus der Simulation mit 50 Nadeln und m = 6, a = 2, 2r = 10,
l = 6, so dass α = 0,3̄ und λ = 0,2 gilt:
Die Auswertung des Zufallsexperiments in Form von relativen Häufigkeiten p̄k
erbringt gegenüber den analytisch gewonnenen Werten pk nach ZE III aus Kapitel
6 große Änderungen mit sich, wie die folgende Tabelle zeigt:
317
k
p̄k
pk
p̃k
0
0,34
0,2202
0,2632
1
0,42
0,3984
0,4925
2
0,20
0,2321
0,2443
3
0,04
0,1492
0
4
0
0
0
5
0
0
0
6
0
0
0
7
0
0
0
Mittelwert
0,94
1,31
0,98
Die Schnittzahl 0 wird nun wegen der kürzeren Nadelquerschnitte gehäuft angenommen, lediglich die Wahrscheinlichkeit für k = 2 wird noch ungefähr aus der
analytischen Beschreibung getroffen. Eine Berechnung der pk mit einer mittleren
Länge von ˜l = 2L
≈ 3,8197 und α̃ ≈ 0,5236 ergibt nach der letzten Zeile der Tabelπ
le eine geringfügig bessere Schätzung für die experimentellen Befunde – kann aber
letztlich nicht als adäquat gelten, weil dadurch die Verteilung der l nur angenähert
wiedergegeben wird, wie auch die Unterdrückung p̃3 = 0 anzeigt.
Hier ist eine Untersuchung vonnöten, wie sie in [6], S. 13, angestellt wurde, welche
die Verteilung des Testobjekts in den pk durch deren Momente einbringt: Wie sind
die Ergebnisse des ZE III geeignet zu modifizieren?
Auch die in [5], [6] und [37] angestellten Untersuchungen des Nadelwurfes in
einem schwachen Magnetfeld weisen in diese Richtung der Forschung, den Fall der
Nadel eingehender zu modellieren.
Sensitivitäten
Die vorangegangenen Fragestellungen sind eng verwandt mit denen nach der
Sensitivität der geometrischen Wahrscheinlichkeiten auf Abänderungen der geometrischen Konfiguration. Die oben genannten Aspekte bzgl. der Verteilung können
dabei dem Testobjekt zugeordnet werden. Ebenso kann man auch “Störungen“ des
Gitters untersuchen.
Wir betrachten ein simulatives Beispiel mit m = 6, a = 2, 2r = 10, l = 5, so
dass α = 0,4 und λ = 0,2 gilt. Dabei sei nun aber das übliche Rechteckgitter so
abgeändert, wie es im linken Teil des folgenden Bildes zu sehen ist:
Die Auswertung des mittleren (ZE III) und rechten (ZE II) Zufallsexperiments in
Form von relativen Häufigkeiten p̄k erbringt gegenüber den analytisch gewonnenen
Werten pk des ungestörten Gitters nach Kapitel 6 und Kapitel 5 folgende Aufstellung
(bei je 50 Nadeln H und Geraden G):
318
k
H: p̄k
pk
G: p̄k
pk
AUSBLICK
0
0,12
0,2356
0,02
0,0540
1
0,4
0,4204
0,12
0,2489
2
0,42
0,2798
0,08
0,1878
3
0,06
0,0642
0,18
0,1352
4
0
0
0,14
0,0952
5
0
0
0,18
0,0669
6
0
0
0,04
0,0474
7
0
0
0,24
0,1646
Überraschenderweise gibt es Bereiche bzgl. der Schnittzahl k, die sehr empfindlich
sind und solche, die eine Verschiebung der Gitterstrecken kaum merken. In beiden
Fällen, Nadeln wie Geraden, sind die Ereignisse mit keinem Schnitt des Gitters
jetzt unterrepräsentiert – das ist nicht verwunderlich, denn die “eng zulaufenden“
Gitterstrecken bieten nur noch eine geringer freie Weglänge. Interessant ist der Fall
k = 2: Bei Nadeln wird diese Schnittzahl sehr viel häufiger als im ungestörten
Gitter angenommen, die Geraden dagegen, vermögen das Gitter außer an den beiden
äußeren Gitterstrecken kaum noch in dieser Schnittzahl zu treffen.
Wird das Gitter “rein stochastisch“ gestört, wie das folgende Bild mit Tabelle der
Auswertung zeigt, reagieren die Nadeln erstaunlich robust in ihrem Schnittverhalten
gegenber der analytischen Vorhersage bzgl. des ungestörten Gitters. Die Aussage
bzgl. Geraden dagegen wird wieder bei einigen k empfindlich verletzt.
k
H: p̄k
pk
G: p̄k
pk
0
0,24
0,2356
0,04
0,0540
1
0,48
0,4204
0,12
0,2489
2
0,28
0,2798
0,16
0,1878
3
0
0,0642
0,10
0,1352
4
0
0
0,06
0,0952
5
0
0
0,06
0,0669
6
0
0
0,12
0,0474
7
0
0
0,34
0,1646
Flächen- und Längenschätzer
In [3], unter Abschnitt 1.6.8 und Punkt 4, wird die geometrische Wahrscheinlichkeit diskutiert, mit der eine konvexe Menge K des Flächeninhaltes F und des
Umfangs L innerhalb einer größeren konvexen Menge K0 mit Hilfe von zufälligen
319
Strecken (sogen. line segments) H der Länge l detektiert werden kann, vgl. nachfolgendes Bild. Wenn alle Strecken innerhalb von K0 zu liegen kommen, gilt2
p̂ =
πF + lL
µ(H ∩ K 6= ∅)
=
.
µ(H ⊂ K0 )
µ(H ⊂ K0 )
K0
K
H
K0
K
K0
K
H
H
Auf Basis der letzten Beziehung und unter den folgenden Annahmen kann ein
“brauchbarer“ Flächenschätzer für K0 entwickelt werden, der nur Schnitte mit den
Gitterstrecken (GS) von C zählt:
• K sei die Einhüllende eines Gitters C mit m Zellen und dem Parameter λ,
• K liege so frei in K0 , dass die Strecken H die Menge K in allen Lagen ohne
Einschränkung treffen können – mit anderen Worten: K hat den Abstand l
vom Rand ∂K0 ,
• K0 sei ein Rechteck der Fläche A und mit den Seitenlängen b > 0 und c > 0;
wir definieren χ := b/c und nehmen 13 ≤ χ ≤ 3 an,
• die Strecken H mögen sich nach Fall B1: 0 < l < min(b, c), vgl. Kapitel 10,
Satz 10.1.4, verhalten.
Steht uns ein “Gerät“ zur Verfügung, das nach Voraussetzung nur die Gesamtschnitte NS der zufälligen Strecken H der Anzahl NH mit den GS des Gitters C zählt, so
kann diese Wahrscheinlichkeit in der folgenden bedingten Wahrscheinlichkeit eingesetzt werden:
pk = p(H trifft C k-mal | H trifft K ) =
p(H trifft C k-mal ∩ H trifft K )
p̄k
=
,
p(H trifft K )
p̂
wobei die pk die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pIII aus dem ZE III nach Kapitel
6 sind. Die zunächst unbekannten geometrischen Wahrscheinlichkeiten p̄k gehen nun
in den Erwartungswert Ē der mittleren Anzahl der Schnitte mit dem Gitter C ein:
m+1
m+1
X
X
NS
= Ē =
k p̄k = p̂
k pk = p̂ EIII .
NH
k=0
k=0
2
Hier, i.G. zur Angabe in [3], ohne Faktor 2, wegen der “unorientierten“ Strecken, vgl. auch
Korollar 2.3.2.2.
320
AUSBLICK
Mit der Beziehung aus Satz 6.7.1 für EIII haben wir dann weiter
πF + lL
NS
= p̂ EIII =
·
NH
µ(H ⊂ K0 )
1
m
1
2m·2r l
+1
(πF + lL)
und schließlich einen empirischen Zusammenhang für das Maß M := µ(H ⊂ K0 ) in
der Form
LC · LH
M = 2
NS
mit LC = 2r(m+1) als Länge des Gitters C, d.h. seiner gesamten GS und LH = NH l
als Länge aller ausgebrachten Nadeln.
Für den Fall einer rechteckigen Grundmenge K0 mit den Seitenlängen b und c
haben wir nach [3], Abschnitt 1.6.8, Punkt 4 3 :
M = µ(H ⊂ K0 ) = π A − 2(b + c) + l2 .
Darin nun kommen neben dem Flächeninhalt A = bc auch die Seitenlängen b und c
selbst vor! Definieren wir noch
Λ :=
2 LC LH
M
=
·
·
,
l2
NS l
l
so können wir folgende Gleichung für den Flächeninhalt gewinnen:
q
2
π (Λ − 1) χ + 2 (χ + 1) + 2 (χ + 1) π (Λ − 1) χ + (χ + 1)2
A
=
.
l2
π2 χ
Im nächsten Bild nun ist zu erkennen, dass dieses Flächen-Längen-Verhältnis nur
wenig über χ = cb im angenommenen Bereich [ 13 , 3] schwankt.
3
Ebenso kann man in Beziehung (10.13) mα = c/l und mλ = c/b setzen, wobei allerdings m
“temporär“ auf die Höhe von K0 bezogen ist und nicht mit der Zellenzahl m des Gitters C in K
zu verwechseln ist!
321
140
A
l2
Λ = 350
130
120
300
110
100
250
0.3333
1
2
χ
3
Berechnen wir den Mittelwert der Funktionenschar in Λ, so wird dieser bei ca.
χ ≈ 2, bzw. χ ≈ 0,5 angenommen. Wir können also die Beziehung für lA2 um χ, d.h.
um die Seitenlängen b und c, reduzieren und erhalten:
p
π(Λ − 1) + 9 + 3 2π(Λ − 1) + 9
A
=
.
l2
π2
Beispiel: Es sei der Flächeninhalt eines Rechtecks K0 mit den Angaben
b = 30 , c = 46 , d.h. A = 1380
zu schätzen. Wir wählen nun (hierfür ist natürlich eine grobe Kenntnis über die Größenordnung von b und c erforderlich)
folgendes Gitter C: a = 2 , 2r = 12 , m = 5 und einen “Detektor“ der Länge: l = 4
aus und platzieren C folgendermaßen in die Menge K0 :
C
K0
Anm.: Aus praktischen Gründen der Simulationsumgebung haben wir C bzw. dessen
GS parallel zur Grundlinie von K0 angeordnet, was aber nicht wesentlich ist!
322
AUSBLICK
Lassen wir nun unser “Gerät“ in K0 eine Zufallsfahrt antreten, die NH = 100 Detektionen vornimmt, also den Boden 100-mal in zufälliger Weise je in der Länge 4 scannt.
Das folgende Bild zeigt eine solche Fahrt, wobei zufällig platzierte Nadeln den (zufällig)
eingeschalteten Scanner simulieren und markieren:
Wir haben damit folgende Auswertung für à als Schätzung für die Größe A:
NS = 16
(aufsummierte Schnitte, d.h. Detektionen des Gitters) ,
LC
= 6 · 12 = 72 (totale Länge von C) ,
LH
= 4 · 100 = 400 (totale Länge des Scannens) ,
Ã
l2
=⇒
Λ = 225 ,
= 83,65 ,
=⇒
A ≈ Ã = 1338 ,
was in guter Näherung den tatsächlichen Flächeninhalt abschätzt.
¤
Auch für die Länge können wir auf Basis der Ergebnisse des Kapitels 11 einen
Schätzer angeben. Mit den Maßen nach (11.5) und (11.6) 4 erhalten wir zunächst
p̂ =
ma + l
µ(H ∩ K 6= ∅)
=
µ(H ⊂ K0 )
L−l
mit den Bezeichnungen gemäß des nachstehenden Bildes. Über die Diskussion bedingter Wahrscheinlichkeiten kommen wieder die pk für das offene Gitter nach Abschnitt 11.3 ins Spiel und daraus weiter der Erwartungswert EIII nach Unterabschnitt
11.3.5 und mit NS als Gesamtzahl der Schnitte des Punktgitters mit den Detektorstrecken und NH als ihre Anzahl haben wir gemäß Satz 11.3.1 nun
ma + l 1 + m1
NS
= p̂ EIII =
·
.
NH
L − l al + m1
4
Dort, in (11.6), ist wieder “temporär“ ma = L für die Grundmenge K0 zu setzen.
323
Daraus erhalten wir den Schätzer für die Grundlänge L:
L
NC · NH
=
+1
l
NS
mit
NC := n = m + 1 .
L
a
l
Beispiel: Es sei die Länge L = 40 des Intervalls K0 = [−20, 20] zu schätzen. Wir wählen
dazu ein Gitter C mit a = 3, m = 4 und eine Detektierspur der Länge l = 6 aus und
platzieren C folgendermaßen in die Menge K0 :
Die Auswertung der Detektionsfahrt mit den in vertikaler Richtung eingezeichneten
20 Scannvorgängen ergibt:
NS = 18 , NC = 5 , NH = 20 =⇒ L ≈ L̃ = l
was in guter Näherung die Länge von K0 abschätzt.
³N · N
´
C
H
+ 1 = 39,333 ,
NS
¤
Natürlich bleiben auch hier wieder eine Reihe von Fragen: Wie groß ist die Varianz der einzelnen Schätzer? Aufgrund der Herleitung ist Erwartungswerttreue anzunehmen. Gibt es eine optimale Form des Gitters, um die Varianz zu beeinflussen
und den Suchvorgang so kurz wie möglich zu halten? Kann hier die Entropie gewinnbringend ins Spiel gebracht werden?
324
AUSBLICK
Diskrete Betrachtungen
In der Einführung von [2] umreißt W. Blaschke das Gebiet der geometrischen
Wahrscheinlichkeiten als dasjenige, bei dem die betrachteten Möglichkeiten von stetigen Veränderlichen abhängen.
Im Zeitalter der Digitalisierung und zellulären Automaten kann der Versuch
gewagt werden, das Gebiet auch auf diskrete Vorgänge zu erweitern. Stochastische
Modelle für vielerlei solcher in Betracht kommenden Konfigurationen bietet [58], u.a.
wird dort auf zufällige Mosaike eingegangen. Reichhaltiges Material als Grundlage
konkreter Berechnungen bietet [65]: einerseits in Form von Gittern (etwa OstwaldMuster oder archimedische Zerlegungen), andererseits in Form von Bewegungsmodi
der Testkörper (diskrete Bewegungsgruppen).
In [64] präsentiert S. Golomb eine anregende Übersicht zu Fragestellungen über
Polyominos, auch [65] geht auf diese diskreten Figuren ein – es werden dabei i.a.
Packungsprobleme behandelt. Hier nun sollen stochastische Aspekte in den Vordergrund gestellt werden.
Beispielsweise gibt es für vier Grundquadrate fünf Möglichkeiten der Anordnung,
Polyominos (Tetrominos) zu formen, vgl. [64], [65] 5 :
Eine konkrete Fragestellung im Sinne einer diskreten stochastischen Geometrie
könnte nun etwa lauten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei zufälliger Auswahl
und Orientierung eines der fünf Polyominos das im folgenden Bild grau hervorgehobene Gitter auf einem n×n “Brett“ bei “freier Weglänge“ von q Einheiten getroffen,
wenn die Polyominos mindestens einen der Gitterplätze zu treffen haben, wie rechts
beispielhaft mit acht Tetrominos gezeigt:
q
5
Für 5 Quadrate (Pentominos) gibt es 12 Figuren, 6 Quadrate (Hexominos) lassen sich schon
zu 35 Grundfiguren gemäß der Polyomino-Anordnung zusammenstellen, für 24 Quadrate beträgt
die Anzahl sagenhafte 654 999 700 403, vgl. [65] – das ist “Sand“ in stochastischer Hinsicht.
325
Es tritt hierbei ein stark kombinatorischer Aspekt in den Vordergrund, – der
übrigens auch bei der Bestimmung der Mengen Sk im sechsten Kapitel nicht von
der Hand zu weisen ist! Durchaus eine Gemeinsamkeit dieser “Geometrien“.
Bezeichnen wir die fünf Tetrominos auf der letzten Seite der Reihe nach mit I, L,
T, Z und Q, so haben wir die folgenden Grundmaße, dass ein n × n Brett getroffen
wird, und daneben die Schnittmaße, mit der mindestens eine der m Gitterstrecken
getroffen wird (die Quotienten µ(I)/µ(SI ), µ(L)/µ(SL ), usw. ergeben dann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p(I), p(L), usw.):
µ( I ) = 2(n + 3)n ,
µ(SI ) = m(1( n + 3) + 1(4n)) ,
µ(L) = 8((n + 2)n + n) ,
µ(SL ) = m(4(2n + 2) + 4(3n + 1)) ,
µ(T) = 4((n + 2)n + n) ,
µ(ST ) = m(2(2n + 2) + 2(3n + 1)) ,
µ(Z) = 4((n + 1)n + (n + 1)) ,
µ(SZ ) = m(2(2n + 2) + 2(3n + 1)) ,
µ(Q) = 1((n + 1)n + (n + 1)) ,
µ(SQ ) = m(1(2n + 2)) .
Mit n = (q + 1)m − q, wobei q ≥ 0 die “freie Weglänge“ ist, kommt man auf folgende Wahrscheinlichkeiten bei zufälliger Auswahl eines der Tetrominos bei ebenso
beliebiger und zufälliger Orientierung, eine der Gitterstrecken zu treffen:
¡
¢
p = 51 p( I ) + p(L) + p(T) + p(Z) + p(Q)
=
m (9−54 q+73 q 2 −24 q 3 +24 m3 (1+q)3 −m2 (1+q)2 (−73+72 q)+2 m (27−46 q−37 q 2 +36 q 3 ))
10 (m−q+m q) (1+m−q+m q)2 (3+m−q+m q)
.
q
5
10
15
20
1
0.8
0.6
p
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
m
Eine in Mathematica erstellte Simulation zeigt eine gute Übereinstimmung, wie
die folgende Tabelle auflistet (p analytisch, p̄ simulativ aus 20 Durchgängen mit je
100 Tetrominos):
p
p̄
m = 5, q = 10
0,2557
0,2635
m = 2, q = 20
0,2001
0,2060
m = 4, q = 4
0,5366
0,5280
m = 12, q = 3
0,6185
0,6025
326
AUSBLICK
100 Tetrominos : m = 5 , q = 10 : p̄ = 0,25 ; p̄ = 0,28
100 Tetrominos : m = 2 , q = 20 : p̄ = 0,18 ; p̄ = 0,21
In Anbetracht der hohen Anzahl an verschiedenen Formen von Polyominos mit
zunehmender Anzahl ihrer Bausteine stellt sich natürlich die Frage, ob dieser Weg
der richtige ist, Aussagen über Trefferwahrscheinlichkeiten zu erzielen.
Gibt es evtl. kontinuierliche Pendants an Testkörpern – z.B. Kreise mit mittlerem
“Durchmesser“ der Polyominos oder einer Verteilung auf dem Durchmesser, um
verschiedene Formen besser “einfangen zu können – mit denen die geometrischen
Wahrscheinlichkeiten in guter Näherung berechnet werden können?
327
100 Tetrominos : m = 9 , q = 3 : p̄ = 0,62
Berechnungsmethoden
Der Fokus kann auch auf die Art der Berechnungen gerichtet werden. Diese
Arbeit ist wie viele ähnliche geprägt von der Bestimmung vielerlei Integrale. Im
Abschnitt 10.7 wurde der Versuch unternommen, nach dem Motto vorzugehen: So
wenig wie nötig integrieren, so viel wie möglich auf Mengenbasis operieren.
Es liegt auf der Hand, dass eines der zentralen Bereiche der Integralgeometrie
nicht umhinkommt (und kommen soll), geeignete Maße zu diskutieren und konkret
zu bestimmen! Dennoch war es erstaunlich, wie weitreichende Ergebnisse in der
Untersuchung “auf dem Rand“ durch die Kombination in der Art eines “Baukastens“
erzielt werden konnten.
Die Frage lautet: Wie viele “Basisintegrale bzw. -maße“ sind in einer geometrischen Konfiguration zu lösen, um eine gegebene oder gar maximale Anzahl von
geometrischen Wahrscheinlichkeiten in der Konfiguration abzuleiten?
Die Sicht “ über das Gitter“
Spannende Fragen erhalten wir auch, wenn wir “über das Gitter“ schauen: Einmal, indem nach Eigenschaften der fallenden Testkörper geforscht wird (vom Gitter
also abgesehen und über dieses “hinweg geschaut“ wird), dann aber auch im Sinne
von “das Gitter als Ganzes sehen“, um globale Eigenschaften zu beleuchten. Abschließend je ein Beispiel für diese Aspekte.
1. Die konvexe Hülle der Nadeln. Betrachten wir die Gesamtheit der fallenden Nadeln nach n Würfen, so können diese zusammen mit der Gittereinhüllenden
durch eine konvexe Hülle eingespannt werden. Der Flächeninhalt A dieser Hülle ist
offenbar nach oben beschränkt durch den Inhalt F eines “abgerundeten Rechtecks“,
das den Abstand l von der Gittereinhüllenden hat. Simulationen mit verschiedenen
328
AUSBLICK
Werten an Nadeln zeigen, wie der zu f := FA definierte Flächenanteil der konvexen
Hülle sich dem Maximalwert asymptotisch nähert. Was kann darüber hinaus bzgl.
des Anwachsens der Anzahl der Punkte q auf der Hülle ausgesagt werden?
Hier vier Simulationen mit n Nadeln – dabei gilt a = 2, 2r = 8 und m = 6, l = 5,
so dass λ = 0,25 und α = 0,4 ist:
n = 10 :
n = 100 :
f = 0,4190 , q = 7;
f = 0,7375 , q = 13;
n = 50 : f = 0,5830 , q = 12;
n = 500 : f = 0,8216 , q = 22.
Der unten gezeigte Verlauf von f¯ über lg n mittelt das simulativ gewonnene
Verhältnis über je 6 Durchläufe pro Nadelanzahl n:
1
0.8
f
0.6
0.4
0.2
lg n
0.5
1
1.5
2
2.5
3
329
Im Falle des eindimensionalen Pendants ist eine Aussage über ein mittleres f =
bei n fallenden Nadeln Hk = I(ρk , l), k = 1, ..., n, als Verhältnis der Längen
A
F
A := max {ρk + l, L + l} − min {ρk , l} , F = L + 2l
1≤k≤n
1≤k≤n
leicht zu gewinnen. Dabei sollen die Nadeln H im Sinne des Kapitels 11 auf das
offene “Gitter“ bzw. die Einhüllende K fallen: H ∩ K 6= ∅.
Die Fragestellung läuft darauf hinaus, den Erwartungswert der ZV A zu berechnen, was wir indirekt tun werden, indem wir zunächst den der ZV
Yn : J × ... × J −→ R
(ρ1 , ..., ρn ) 7−→
min {ρk , l}
1≤k≤n
(mit J nach (11.3) und L := ma) bestimmen werden,
veranschaulicht. Die Verteilungsfunktion von Yn ist

, falls

 0
p(∃k : ρk ∈ [0, x[) , falls
H(x) = p(Yn < x) =


1
, falls
Y
wie es das nächste Bild
−∞ < x < 0 ,
0 ≤ x ≤ l,
l < x < ∞.
A
Hk
H
K
0
rk
x
l
l +L
2l + L
x
Bezeichnen wir das Ereignis ρi ∈ [0, x[ eines Nadelwurfes mit Qi , so gilt mit der
Siebformel von Poincaré-Sylvester
p(∃k : ρk ∈ [0, x[) = p(Q1 ∪ Q2 ∪ ... ∪ Qn )
n
X
X
=
(−1)k−1 p(Qi1 ∩ ... ∩ Qik ) ,
k=1 1≤i1 <...<ik ≤n
x k
wobei stets p(Qi1 ∩ ... ∩ Qik ) = ( l+L
) ist. Wir haben also:
µ ¶³
³
x ´n
n
x ´k
p(∃k : ρk ∈ [0, x[) = 1 −
(−1)
=1− 1−
.
k
l
+
L
l
+
L
k=1
n
X
k
L n
Wegen H(l) = 1 − ( l+L
) < 1 ist die Verteilung von Yn unstetig und wir haben mit
der Dichte
x ´n−1
n ³
1−
, 0 ≤ x ≤ l,
h(x) = H 0 (x) =
l+L
l+L
330
AUSBLICK
zur Bestimmung des Erwartungswertes folgende Rechnung anzustellen:
Z l
L ³ L ´n
l+L
EYn =
−
x · h(x)dx + l · (1 − H(l)) =
.
n+1 n+1 l+L
0
Nun ist einfacherweise EA = L + 2l − 2EYn und der zu erwartende Wert Ef für das
Verhältnis f ergibt sich mit χ := l/L zu:
¡ ¡ L ¢n
¢
2n · l + 2 l+L
+ n−1 ·L
Ef =
(n + 1) · (2l + L)
³n−1
´ 1
n
1
1
2
=
+
+
.
n + 1 1 + 1/(2χ)
n + 1 n + 1 (1 + χ)n 1 + 2χ
Die folgenden Bilder zeigen verschiedene Auswertungen von Ef . Darunter sind
zwei exemplarische Durchgänge von n = 16 Nadeln im Simulationsexperiment mit
l = 6, L = 10 zu sehen. Die abschließende Tabelle stellt das experimentell aus 2000
Durchgängen gemittelte f¯ den berechneten Werten Ef für χ = 0,6 gegenüber.
1
1
Ef
0.9
0.95
0.8
n = 10
0.9
χ = 0,6
0.7
n = 60
Ef
0.85
n= 5
0.8
0.6
χ
n
20
40
60
80
0.5
100
1
1.5
2
2.5
3
χ = 0,6 :
n
Ef
f¯
n
Ef
f¯
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,5568
0,5551
0,6335
0,6359
0,6918
0,6898
0,7368
0,7357
0,7720
0,7745
0,7999
0,7994
0,8224
0,8223
0,8407
0,8381
0,8558
0,8540
10
12
14
16
18
20
30
60
100
0,8685
0,8671
0,8883
0,8887
0,9031
0,9034
0,9144
0,9148
0,9234
0,9243
0,9307
0,9305
0,9530
0,9532
0,9761
0,9761
0,9855
0,9856
331
2. Perkolation. Angenommen, die Nadelwürfe stellen Kristallisationsvorgänge
in einem Korn dar, welches durch das Gitter modelliert sei. Ohne die verbindende
Wirkung der Nadeln untereinander zu berücksichtigen, können wir danach fragen,
wie viele Nadeln (Keime o.ä.) werden im Mittel benötigt, um das Gitter vollständig
zu verbinden, d.h. ab wieviele Nadeln ist das Gitter ein zusammenhängendes Ganzes (Kristall), wenn nur die Nadel-Gitterstrecken-Verbindungen zählen. In den drei
folgenden Bildern ist dargestellt, was wir hier in freier Anlehnung an den in [45] diskutierten Begriff der Perkolation verstehen. Danach vermögen von 15 (ganz links)
insgesamt gefallenen Nadeln 4 (ganz rechts) eine Zusammenhangskomponente über
das ganze Gitter zu spannen – das Gitter nicht oder nur einfach treffende Nadeln
(mitte) nehmen nicht am Keimvorgang teil:
Hier ist noch einmal von Bild zu Bild gezeigt, wie die 15 Nadeln gefallen sind:
Die fett gezeichnete Nadel mit der Nummer ist die aktuell platzierte (der aktuell
sich bildende Keim), “ein Bild später“ bleibt diese Nadel als tragende Verbindung
(Korn) von einer zur anderen Gitterstrecke bestehen (3, 9, 12 und 15) oder löst sich
als gestrichelt gezeichnete Nadel (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14) auf:
3
1
5
2
4
7
10
8
9
6
13
11
12
15
14
Die letzte Nadel “schließt“ gerade die Perkolation. Hier wurden also 15 Nadeln
benötigt, um einen zusammenhängenden “Kristall“ am Gitter wachsen zu lassen.
332
AUSBLICK
Das folgende Bild aus einer Simulationsstudie 6 gibt einen Anhalt, mit welchen
Schwankungen zu rechnen ist (a = 2, 2r = 10, l = 5, m = 6, so dass α = 0,4, λ = 0,2
und 7 GS vorliegen): links nach 5 Nadeln, rechts erst nach 52 Nadeln eintretende
Perkolation:
Auch eine Verdopplung der Nadellänge auf l = 10 gibt immer noch starke
Schwankungsbreiten: links 2 Nadeln (das wirklich Minimum dieser Konfiguration),
rechts 28 Nadeln:
Was kann man nun über die benötigte mittlere Anzahl aussagen? Hier nur ein
erster Ansatz für den einfachsten Fall: m = 2 und einer Nadellänge a < l < 2a, so
dass lediglich die Schnitte 0, 1 und 2 mit den geometrischen Wahrscheinlichkeiten p0 ,
p1 und p2 (nach Kapitel 6) auftreten können. Zur Abkürzung setzen wir im folgenden
gelegentlich p01 := p0 + p1 = 1 − p2 .
6
Die Simulation in Mathematica baut auf den Nadelwurf aus Kapitel 8 auf und stoppt mit
der benötigten Anzahl N an Nadeln, wenn das Mengensystem A an Indizes der bereits zusammenhängenden Gitterstrecken die vollständige Menge {0, 1, ..., m} enthält. Dabei entsteht A aus
der fortgesetzten Vereinigung zweier Mengen Ai ∪ Aj , wenn Ai ∩ Aj 6= ∅ ist – bis sich A nicht mehr
in der Anzahl seiner Mengen verkleinern lässt. Nach neuem und n-ten Nadelwurf Hn wird dann
die Menge An = {ν | Hn ∩ GSν 6= ∅, ν = 0, 1, ..., m} dem System A hinzugefügt, womit ein neuer
Prozess der Umordnung und Zusammenfassung in A einsetzt.
333
Im Sinne des nachfolgenden Bildes können wir die Wahrscheinlichkeit p̂n , dass
nach dem Wurf von n Nadeln eine Perkolation auftritt, zu
µ ¶
n
p̂n =
gν
(1 − p2 )n−ν pν2
ν
ν=0
n
X
angeben,¡ wobei
gν eine Gewichtungsfunktion ist, welche die “günstige“ Wahrschein¢
n
lichkeit ν (1 − p2 )n−ν pν2 des Treffens zweier GS auf eine Perkolation wertet.
1 Nadel
2 Nadeln
p012
3 Nadeln p013
p2
p01
p01 p2
p012 p2
p01 p22
p012 p2
p22
p01 p2
p012 p2
p01 p22
p01 p22
p23
Die Gewichtung gν erhalten wir nun aus folgender “Binärwortbetrachtung“: Offenbar tritt nur dann keine Perkolation auf, wenn bei ν Nadeln alle die beiden oberen
(Binärwort 00...0
| {z }) oder die unteren (Binärwort 11...1
| {z }) Gitterstrecken treffen, so dass
ν
ν
bei 2ν “Wörtern“ gerade 2ν −2 verbleiben, um eine Perkolation zu bilden. Wir haben
also:
(
0
, ν = 0,
gν =
1 − 1/2ν−1 , ν > 0 .
00
01
010
011
10
11
2 Nadeln
3 Nadeln
000
001
100
101
110
111
334
AUSBLICK
Die Verteilungsfunktion der Anzahl an Nadeln für die Perkolation ist damit
p̂n =
n ³
X
ν=1
µ ¶
1 ´ n
1
1 − ν−1
(1 − p2 )n−ν pν2 = 1 + (1 − p2 )n − n−1 (2 − p2 )n
2
ν
2
für n > 0 und ihre Dichte (vgl. nachfolgendes Bild)
fn+1 = p̂n+1 − p̂n = p2
³1
´
n
n
(2
−
p
)
−
(1
−
p
)
.
2
2
2n
f
0.2
0,6
0.15
...
0.1
0,2
0.05
p2 = 0,1
10
20
30
40
50
n
Der Erwartungswert und damit die mittlere Anzahl an Nadeln N , die für eine
Perkolation in diesem (einfachsten) Fall benötigt werden, beträgt also
N=
∞
X
n · fn =
n=1
3
.
p2
An dem Plot der Dichte und der Gleichung für N ist unmittelbar zu erkennen,
dass für Perkolationen umso mehr Nadeln gebraucht werden, je kleiner die Trefferwahrscheinlichkeit p2 ist – hier die einzige Chance, mehr als eine Gitterstrecke zu
treffen und damit einen “Kristall“ zu bilden.
Wir betrachten abschließend ein konkretes Beispiel mit a = 2, 2r = 4, l = 3
und der Zellenzahl m = 2, d.h. α = 0,6̄ , λ = 0,5. Hier betragen die geometrischen
Wahrscheinlichkeiten
p0
p1
p2
p3
=
=
=
=
0,342092 ,
0,583107 ,
0,0748008 ,
0,
Satz
Satz
Satz
Satz
6.3.1,
6.4.1,
6.5.2,
6.6.1,
Fall
Fall
Fall
Fall
0.2,
I.2,
1.1,
N.1.
Für eine Perkolation in diesem Gitter sind also im Mittel N ≈ 40 Nadeln der
angegebenen Länge erforderlich.
335
100 Simulationsdurchgänge in Mathematica ergeben eine gemittelte Anzahl von
39,7. Dem flachen Verlauf der Dichtefunktion f für p2 = 0,1 auf der vorigen Seite
ist bereits zu entnehmen, dass die Zahl der Nadeln bis zur einsetzenden Perkolation wieder stark schwankt, wie auch das folgende Bild als Schnappschuss von vier
Simulationen zeigt (oben: 10, 26, unten: 51, 64 Nadeln):
Für eine Nadel mit nicht mehr als zwei Treffermöglichkeiten der Gitterstrecken,
also pk = 0 für k ≥ 3, lässt sich das eben angegebene Resultat sogar sinngemäß für
Werte m > 2 erweitern. Dabei gilt
(
0
, ν = 0,
gν =
P (m, ν)/mν , ν > 0
für die Gewichtung mit
P (m, n) := Anzahl der Perkolationen bei n Nadeln und m Elementarzellen
µ ¶
m
X
m−κ m
=
(−1)
κn .
κ
κ=1
336
AUSBLICK
Die Funktion P bzw. g kann auch als “klassisches Belegungsproblem“ gedeutet
werden (vgl. [45]), wonach jede von n Kugeln unabhängig von den anderen in m
Behältern gelegt wird: Dann gibt P die Anzahl der Konfigurationen an, dass kein
Behälter leer bleibt, und g die Wahrscheinlichkeit dafür. Im Falle von n < m verschwindet P offenbar und bei n = m entspricht die Anzahl genau den Permutationen
der Nadeln, so dass wir also
1 ≤ n < m : P (m, n) = 0 ,
n = m : P (m, m) = m!
erhalten – damit gilt auch gν = 0 für alle 0 ≤ ν < m. Diese Beziehungen ergeben
sich
© n ªinsbesondere aus dem Zusammenhang mit den Stirlingschen Zahlen zweiter Art
, siehe z.B. [45], [56] oder [69], in der Weise
m
nno
P (m, n) = m!
.
m
(Die eingängige Notation für die Stirlingschen Zahlen zweiter Art ist dem wunderbaren Buch [56] entnommen,
© n ª vgl. Seite 258: “This notational kinship helps us
remember the meaning of m
, which can be read ’n subset m’.“)
Für die Wahrscheinlichkeit, nach n Nadeln bei m Elementarzellen eine Perkolation zu erhalten, gilt analog zur obigen Angabe wieder
µ ¶³
µ ¶
n
m
X
X
κ ´n
P (m, ν) n
n−ν ν
κ m
1
−
p̂m,n =
(1
−
p
)
p
=
(−1)
p2
2
2
ν
κ
ν
m
m
ν=1
κ=0
für n > 0. Die Dichte dieser Verteilung ist
fm,n = p̂m,n − p̂m,n−1
µ ¶³
m
X
κ ´n−1 κ
κ−1 m
1 − p2
,
= p2
(−1)
κ
m
m
κ=1
woraus sich Nm als Erwartungswert ergibt:
Nm =
∞
X
n · fm,n
n=0
µ ¶³
m
X
κ ´n−1 κ
κ−1 m
.
=
n · p2
(−1)
1 − p2
m
m
κ
n=0
κ=1
∞
X
Wegen absoluter Konvergenz der Reihe über n können wir die Summen vertauschen
und gelangen mit
∞
³
X
κ ´n−1 ³ m ´2
=
n · 1 − p2
m
κ · p2
n=0
zu
µ ¶
m
m X
κ−1 m 1
Nm =
·
(−1)
.
p2 κ=1
κ κ
337
Die Berechnung der darin enthaltenen Summe kann in dem Buch [56], S. 281f,
verfolgt werden. Wir nehmen in diesem Ausblick die Abkürzung über Mathematica
und erhalten
1
Binomial[m, k], {k, 1, m}]
k
In[1]:=
Sum[(-1)k-1
Out[1]=
EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + m]
Darin ist EulerGamma die Euler-Konstante, siehe [51] oder auch wieder [56] und [69]:
n
¡X
¢
1
γ = lim
− ln n ≈ 0,577215665...
n→∞
k
k=1
und PolyGamma[0,1+m] verweist wegen der 0 im ersten Argument auf die Digammafunktion
Γ0 (n)
ψ(n) =
= −γ + Hn−1 ,
Γ(n)
siehe erneut das Manual [51], das sich auch als nützliches Nachschlagewerk eignet.
Schließlich erhalten wir damit für die mittlere Anzahl Nm an Nadeln, bei m
Elementarzellen eine Perkolation zu erzielen:
Nm =
m · Hm
,
p2
P
1
wobei Hm = m
k=1 k die m-te harmonische Zahl ist. Für verschiedene Anzahlen m
an Elementarzellen hier eine tabellarische Übersicht (bis m = 10) und Graphik (bis
m = 100) zu den Mittelwerten Nm an Nadeln:
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nm
1
p2
3
p2
11
2 p2
25
3 p2
137
12 p2
147
10 p2
363
20 p2
761
35 p2
7129
280 p2
7381
252 p2
500
Nm p2
400
300
200
100
m
20
40
60
80
100
338
AUSBLICK
Hier noch drei Durchgänge mit m = 5 und α = 2/3, λ = 1/2, es beträgt dann
p2 = 0,0876443 und damit nach Tabelle Nm = 130,3: dabei fallen links 24, in der
mitte 92 und rechts 266 Nadeln bis zur Perkolation.
Was kann man über die Anzahl N für eine Aussage treffen, wenn auch mehr
als zwei Gitterstrecken geschnitten werden können? Natürlich wird die Anzahl N
geringer ausfallen – hier drei Durchgänge mit α = 1/4, λ = 1/2 und von links nach
rechts mit 6, 13 und 23 Nadeln:
Spannend zu untersuchen sind sicherlich auch andere Perkolationsmodelle auf
dem Gitter; etwa solche, bei denen nach und nach erst dann weitere Elementarzellen
hinzutreten, wenn die vorhandenen durch Nadeln nach Art einer Leiter miteinander
verbunden sind. Ein weites Feld an möglichen Konfigurationen, um evtl. stochastisch
getriebene Wachstumsprozesse der Natur nachzubilden.
Anhang A
Bewegungsinvariantes Maß einer
Ebene im Raum
A.1
Fußpunktform
Um den Haupttext der Variationen zum Thema schlank zu halten, handeln wir hier
in Form eines Anhanges das bewegungsinvariante Maß einer Ebene im Raum ab.
Dabei folgen wir zunächst unseren grundlegenden Überlegungen zur Gerade in der
Fußpunktform im ersten Kapitel, Abschnitt 1.3.
z
To
n
*
no
T
F
F*
T
n*
E
E*
T
n
z
0
x
x
h
y
Bild A.1: Festlegung und Transformation einer Ebene durch den Fußpunkt F
Danach sei eine nicht den Ursprung enthaltende Ebene E durch den Fußpunkt
F = (ξ, η, ζ) festgelegt, vgl. Bild A.1, so dass
~n := (ξ, η, ζ)T ⊥ E
ist, d.h. für einen Ortsvektor ~r der Ebene E gilt h ~n, ~r − ~n i = 0. Wird diese Ebene
einer Bewegung aus (O(3), R3 ) unterworfen, so transformieren sich die Ortsvektoren
wieder gemäß der Beziehung
~r ∗ = A~r + ~s ,
339
det A = ±1 .
340ANHANG A. BEWEGUNGSINVARIANTES MASS EINER EBENE IM RAUM
Der Normalenvektor ~n∗ der transformierten Ebene E ∗ nach Bild A.1 kann jetzt der
Gleichung (1.4) aus Abschnitt 1.3.1 entnommen werden, denn die im Haupttext am
zentralen Testobjekt der Geraden entwickelte vektorielle Beziehung ist unabhängig
von der Dimension des Vektorraumes gültig:
³
h A~n, ~s i ´
∗
~n = 1 +
A~n .
k ~n k2
Die Dimension schlägt sich jetzt aber in der Ableitung ∂~n∗ /∂~n nieder: Denn mit der
komponentenweise notierten Matrix


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
und den Abkürzungen
~n0 := A~n
haben wir zunächst
und
h := 1 +
h ~n0 , ~s i
k ~n k2



ξ0
a11 ξ + a12 η + a13 ζ
~n ∗ = h~n0 = h  η 0  = h A~n =  a21 ξ + a22 η + a23 ζ 
ζ0
a31 ξ + a32 η + a33 ζ
und damit
∂~n∗
∂~n

¯ ∂ξ∗ ∂ξ∗ ∂ξ∗ ¯
¯
¯
∂ξ
∂η
∂ζ
∂(ξ ∗ , η ∗ , ζ ∗ ) ¯¯ ∂η∗ ∂η∗ ∂η∗ ¯¯
=
= ¯ ∂ξ ∂η ∂ζ ¯
¯ ∂ζ ∗ ∂ζ ∗ ∂ζ ∗ ¯
∂(ξ, η, ζ)
¯
¯
∂ξ
∂η
∂ζ
¯
¯ hξ ξ 0 + ha11 hη ξ 0 + ha12 hζ ξ 0 + ha13
¯
= ¯¯ hξ η 0 + ha21 hη η 0 + ha22 hζ η 0 + ha23
¯ hξ ζ 0 + ha31 hη ζ 0 + ha32 hζ ζ 0 + ha33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= h2 · det A · (h + h ∇h, ~n i)
= ± h2 · (h + h ∇h, ~n i) .
(A.1)
Das Skalarprodukt in der Klammer ist wieder
h ∇h, ~n i = ξ hξ + η hη + ζ hζ =
= −
h A~n, ~s i − 2h A~n, ~s i
ξ 2 + η2 + ζ 2
h A~n, ~s i
= 1 − h,
k ~n k2
so dass wir aus (A.1) abschließend erhalten:
∂(ξ ∗ , η ∗ , ζ ∗ )
= ± h2 .
∂(ξ, η, ζ)
(A.2)
A.2. EBENE IN DER POLARFORM
341
Für die Dichte f eines bewegungsinvarianten Maßes einer Ebene in der Fußpunktform haben wir somit nach (1.2) die Transformationsvorschrift
∂(ξ ∗ , η ∗ , ζ ∗ )
f (ξ, η, ζ) = f (ξ , η , ζ )
= ± h2 f ∗ (ξ ∗ , η ∗ , ζ ∗ )
∂(ξ, η, ζ)
∗
oder
∗
∗
∗
k ~n∗ k2
f
2
=
±
h
=
,
f∗
k ~n k2
d.h. f ist umgekehrt proportional zu k ~n k2 = ρ2 , dem Quadrat des Abstands der
Ebene vom Ursprung:
f = c1
1
c1
= 2
, c1 ∈ R\{0} .
2
k ~n k
ξ + η2 + ζ 2
Damit haben wir eine Darstellung eines bewegungsinvarianten Maßes
Z
µ(S) =
f (ξ, η, ζ) dξ ∧ dη ∧ dζ
S
einer Menge S von Ebenen im Raum gefunden.
Satz A.1.1. Es ist f = c1 (ξ 2 + η 2 + ζ 2 )−1 die bewegungsinvariante Dichte für eine
Menge von Ebenen im Raum in der Fußpunktform und
dE = c1
dξ ∧ dη ∧ dζ
ξ 2 + η2 + ζ 2
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Ebenen in dieser Form,
wobei c1 ∈ R\{0} eine Konstante ist.
A.2
Ebene in der Polarform
Im Kapitel 9 arbeiten wir wieder mit der praktischen Polarform nach Bild A.2. Hier
wird der Fußpunkt durch die drei Koordinaten (ρ, φ, τ ) beschrieben, also dem Abstand der Ebene vom Ursprung und den beiden Winkeln τ als ∠(x-Achse, UrsprungLotpunkt) und φ als Neigung der Gerade vom Ursprung zum Fußpunkt gegenüber
der z-Achse. Mit


sin φ cos τ
~no =  sin φ sin τ 
cos φ
kann die Ebene bzw. die Ortsvektoren ~r dieser dann wieder in der Hesseschen Normalform
h ~no , ~r i = ρ
dargestellt werden.
342ANHANG A. BEWEGUNGSINVARIANTES MASS EINER EBENE IM RAUM
z
no
T
r
f
E
0
t
y
x
Bild A.2: Ebene in der Polarform
Ein bewegungsinvariantes Maß in den Koordinaten (ρ, φ, τ ) können wir nun mit
Hilfe des Transformationsgesetztes (1.2) aus Satz A.1.1 gewinnen, wonach mit
ξ = ρ sin φ cos τ ,
η = ρ sin φ sin τ ,
ζ = ρ cos φ
und
ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ρ2 > 0
die Beziehung
g(ρ, φ, τ ) =
f (ξ, η, ζ) ·
(ξ, η, ζ)
(ρ, φ, τ )
¯
¯ sin φ cos τ ρ cos φ cos τ −ρ sin φ sin τ
¯
1
¯ sin φ sin τ ρ cos φ sin τ
ρ sin φ cos τ
·
= 2
ξ + η 2 + ζ 2 ¯¯
cos φ
−ρ sin φ
0
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
· ρ2 sin φ = sin φ .
ρ2
gilt.
Satz A.2.1. Es ist g = c2 sin φ die bewegungsinvariante Dichte für eine Menge von
Ebenen im Raum in der Polarform und
dE = c2 sin φ dρ ∧ dφ ∧ dτ
(A.3)
das Element des invarianten Maßes für eine Menge von Ebenen in dieser Form,
wobei c2 ∈ R\{0} eine Konstante ist.
Anhang B
Zum Einsatz von Mathematica
B.1
Einsatzgebiete von Mathematica in dieser Arbeit
Der Inhalt dieser Arbeit ist weniger ein konzeptioneller, er ist vielmehr stark daran orientiert, Eigenschaften zu berechnen. Daher eignet sich die Anwendung eines
Systems der Computeralgebra in besonderer Weise.
Der Einsatz von Mathematica in dieser Untersuchung erstreckt sich auf drei typische Gebiete für den Gebrauch des Rechners bzw. einer symbolverarbeitenden
Software und umspannt damit unser mathematisches Labor dieser Arbeit:
R
Integration : die Berechnung der Maße µ(S) = S dT ,
Plotten : die Darstellung funktionaler Zusammenhänge, insbesondere das 3D-Plotten der zusammengefassten Funktion pIII (α, λ, m, k),
Zufallsexperiment : das Modellieren und Ausführen eines rechnergestützten Zufallsexperiments.
In den folgenden Abschnitten dieses Anhangs gehen wir auf alle diese Aspekte
näher ein, wobei der Schwerpunkt auf die Integration bzw. sogar “Integrationsumgebung“ gelegt werden soll. Insbesondere behandeln wir hier nur den rechentechnisch
aufwändigsten Fall, nämlich das Zufallsexperiment III.
Gegenüberstellung von Ausdrücken aus der Mathematik und der Syntax
in Mathematica
Ohne einen Einführungskurs in Mathematica im Rahmen dieses Anhangs geben zu wollen oder zu können, soll dieser kurze Vorspann auf einige grundsätzliche
Schreibweisen aufmerksam machen, die im folgenden von Bedeutung sind. Mathematica gestattet es, mathematische Ausdrücke und Zusammenhänge in sehr natürlicher
Weise zu notieren und zur Lösung zu bringen. Die umseitige Tabelle zeigt eine Übersicht der hier häufig gebrauchten Elemente dieses Tools – auf weitere Eigenheiten
und besondere Möglichkeiten gehen wir auch im folgenden Text verschiedentlich und
vertieft ein:
343
344
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
mathematische
Syntax in
Notation
Mathematica
Wertzuweisung
m=7
m=7
Def. einer Funktion
1
θ(k) = arctan kλ
theta[k ] := ArcTan[1/(k λ)]
Abfrage
ist k = 1 ?
k == 1
Zusammenfassung
(k − 1)α
(k−1) α
Tupel
(x1 , x2 )
{x1, x2}
Argument
f (x)
f[x]
übliche
sin, cos
Sin, Cos
Funktionen
tan, arctan
Tan, ArcTan
ln
Log
1. Gleichheitszeichen
2. Klammern
3. Funktionen
4. Operationen
Vereinfachen
Integrieren
Anweisung
Rb
f (x)dx
a

 a , falls x ≤ 1 ,
 b , sonst
Simplify
Integrate[f[x], {x, a, b}]
If[x ≤ 1, a, b]
Das Arbeiten mit bzw. im Programm Mathematica findet in Form eines Dialogs
statt. Dabei weist man Mathematica einen Input zu und erhält in Form eines Outputs
eine Antwort auf die Berechnungs- oder Graphikanweisung. Die Eingabestatements
werden mit In[1], In[2], etc. und die Ausgaben mit Out[1], Out[2], usw. von Mathematica automatisch fortlaufend nummeriert und angezeigt.
B.2
Integration der Dichten
Alle in dieser Arbeit vorkommenden Maße wurden mit Mathematica gelöst. Bei den
formulierten Sätzen handelt es sich also im weiteren Sinne um computergestützte
Beweise – wobei alle hier vorkommenden Integrale auch durchaus “händisch“ gelöst
werden können, so dass sich der Einsatz des Rechners eher auf Bequemlichkeit und
Effizienz denn auf eine prinzipielle Eigenart der hier behandelten Probleme gründet
– also etwa eine “zu große kombinatorische Anzahl“ der auftretenden Fälle bestünde!
B.2. INTEGRATION DER DICHTEN
345
Für das in Kapitel 6 behandelte Zufallsexperiment III mit seinen drei Koordinaten stellen wir nun an ausgewählten Beispielen die implementierten Funktionen
und ihren Einsatz zur Berechnung einiger Maße dar.
Zunächst wurden die im Abschnitt 2.2, Seite 35ff eingeführten Funktionen am
m
Gitter C = Ca,2r
nach den Prinzipien der oben erläuterten Syntax in Mathematica
umgesetzt:
In[1]:= theta[k ] := ArcTan[1/(k λ)]
thetaDach[k ] := ArcCos[k α]
rhoMinus[ν ] := ν * a * Sin[θ] − r * Cos[θ]
/. {r → a/(2 λ)} /. { a → α L}
rhoPlus[ν ]
:= ν * a * Sin[θ] + r * Cos[θ]
/. {r → a/(2 λ)} /. {a → α L}
zeta[ν ] :=
−ν * a + ρ * Sin[θ]
/. {a → α L}
Cos[θ]
zetaMinus =
−r − ρ * Cos[θ]
/. {r → a/(2 λ)} /. {a → α L}
Sin[θ]
zetaPlus =
r − ρ * Cos[θ]
/. {r → a/(2 λ)} /. {a → α L}
Sin[θ]
Dabei ist wie oben geschildert der mit In[1] gekennzeichnete Block der Input an
Mathematica, wobei die sieben Definitionen bzw. Zuweisungen intern als In[1] bis
In[7] abgelegt sind. Die Funktionen werden mit Hilfe des Symbols := definiert und
deren Argumente durch das underscore in der Definitionsklammer gekennzeichnet.
Bei den Funktionen ζ ± wurde auf explizite Argumente verzichtet, da sie die Ränder
des Gitters markieren und nicht von einer Gitterstrecke abhängen. Mit der nachgeschalteten Zuweisungen /. {r → a/(2 λ)} können Größen wie hier r eine lokale
Änderung erfahren. Durch die oben aufgelisteten Zuweisungen wird insbesondere
erreicht, dass die in absoluten Abmessungen formulierten Funktionen im späteren
Einsatz gleich Ergebnisse liefern, die relative Größen in Form der hier verwendeten
Parameter α und λ enthalten.
Als erstes bestimmen wir die Funktion h1 aus Abschnitt 2.3 durch die Eingabe
folgender Sequenz an Befehlen:
In[8]:=
Out[8]=
h1 = 2 Simplify[
Simplify[Integrate[ 1, {ρ,
{ζ,
Simplify[Integrate[ 1, {ρ,
{ζ,
Simplify[Integrate[ 1, {ρ,
{ζ,
rhoMinus[0], rhoPlus[0]},
zetaMinus − L, zeta[0]}]] +
rhoPlus[0], rhoMinus[m]},
zetaMinus − L, zetaPlus}]] +
rhoMinus[m], rhoPlus[m]},
zeta[m] − L, zetaPlus}]]]
2 L2 α (Cos[θ]+ m (α + λ Sin[θ]))
λ
346
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
Die Eingabe Simplify bedeutet, dass Mathematica den nachfolgenden, in eckigen Klammern beinhalteten Ausdruck versuchen soll, so stark wie möglich zu vereinfachen. Dann weisen wir die Summe der drei Integrale dem Symbol h1 zu. Wir
integrieren dabei die Dichte dH = dρ dζ über ρ und ζ in den angegebenen Grenzen durch Angabe von {ρ, rhoMinus[m], rhoPlus[m]} und {ζ, zeta[m] − L,
zetaPlus}. Dann können wir µ(DIII ) durch Eingabe von
In[9]:=
Out[9]=
Integrate[h1, {θ, 0, π/2}]
α
2 L2 α (1 + m π
2 + m λ)
λ
gewinnen. Das entspricht unserer Angabe im Korollar 2.3.2.2, bis auf unser Ausklammern der Größe m. In diesem Sinne lassen sich alle im Text aufgeführten Integrale
lösen. So kann man etwa die den Bewegungstyp 3 beschreibende Funktion h3 aus
In[10]:=
Out[10]=
h3 = Simplify[
Simplify[Integrate[ 1, {ρ,
{ζ,
Simplify[Integrate[ 1, {ρ,
{ζ,
Simplify[Integrate[ 1, {ρ,
{ζ,
rhoMinus[ν + k − 1], rhoPlus[ν − 1]},
zeta[ν] − L, zeta[ν − 1] − L}]] +
rhoPlus[ν − 1], rhoMinus[ν + k]},
zeta[ν] − L, zeta[ν + k − 1]}]] +
rhoMinus[ν + k], rhoPlus[ν]},
zeta[ν + k], zeta[ν + k − 1]}]]]
L2 α (−Cos[θ] + (1+k)λSin[θ] + α (1+k−(−1+2k+k2 )λ Tan[θ]))
λ
generieren. Das entspricht der Angabe (6.32) auf Seite 149, wobei wir h3 dort etwas
anders geschrieben haben. Auf diese Weise können die Funktionen
¡
¢
2
h1 = L2 α
−(k−1)α
+
Cos[θ]
−
(k−1)λ
Sin[θ]
+
(k−1)
α
λ
Tan[θ]
λ ¡
α α + λ Sin[θ] − (−1+2k) α λ Tan[θ]¢
h2 = L2 λ
¡
¢
2 α
2
h3
= L
λ −Cos[θ] + (1+k)λ Sin[θ] + α (1+k−(−1+2k+k )λ Tan[θ])
h3D = 2 L2 α2 Tan[θ]
erzeugt werden, die für h1 (θ, k), h2 (θ, k), h3 (θ, k) und ĥ3 (θ, k) nach (6.30), (6.31),
H.f
(6.32) und (6.33) stehen und mit denen die Maße µ(SIII
) berechnet werden können.
Das wollen wir jetzt abschließend in diesem Abschnitt noch an dem recht überschaubaren Beispiel des Falles 2.1 im Zufallsexperiment III zeigen. Nach (6.37) auf Seite
151 gilt:
In[1]:=
F21 = 2 Simplify[
Simplify[(m − k + 2)*
Integrate[h1,{θ, thetaDach[k], thetaDach[k − 1]}]] +
Simplify[2*Integrate[h2, {θ, 0, thetaDach[k]}]] +
Simplify[(m − k)*Integrate[h3, {θ, 0, thetaDach[k]}]]]
B.2. INTEGRATION DER DICHTEN
Out[1]=
¡
α³
(−2 + k − m) −
2L
λ
347
q
2
2
1 − (−1 + k) α2 +
√
1 − k2 α2 − α λ + k α λ
+(−1 + k) α ArcCos[(−1 + k) α] + (α − k α) ArcCos[k α]
+α λ Log[(−1 + k) α] − 2 k α λ Log[(−1 + k) α]
+k2 α λ Log[(−1 + k) α] − α λ Log[k α] + 2 k α λ Log[k α]
¢
¡ √
−k2 α λ Log[k α] − (k − m) − 1 − k2 α2 + λ + k λ − k α λ
−k2 α λ + (1 + k) α ArcCos[k α] + (−1 + 2 k + k2 ) α λ Log[k α]
¡
¢´
+2 α ArcCos[k α] + λ (1 − k α + (−1 + 2 k) α Log[k α])
¢
(Darin bedeutet Log in Mathematica den natürlichen Logarithmus, vgl. Tabelle
auf Seite 343.) Dieses Ergebnis kann jetzt noch über Expand ausmultipliziert und
dann den Termen nach geordnet wieder über Simplify anders zusammengesetzt
werden. Eine gute Portion Handarbeit bleibt einem nicht erspart, wenn man “eigene
Ordnungskriterien“ einbringen möchte. Nach Division des Maßes µ(DIII ) gelangen
wir dann jedenfalls zum Ausdruck
pIII (α, λ, m, k) =
1
m
µ
¶
·
2
k
1
λ (1 − kα) + 1 −
(k + 1) λ (1 − kα)
m
+ π2 α + λ m
µ
¶µ
p
(k − 1) − 1
+ 1−
1 − (k − 1)2 α2 − (k − 1)αλ
m
¡
¢
2
¡
−(k − 1)α arccos (k − 1)α − (k − 1) αλ ln (k − 1)α
¢
¶
µ
¶µ
¶¸
√
k−1
2
−2 1−
1 − k 2 α2 − kα arccos(kα) − k αλ ln(kα) ,
m
nach der Angabe (6.47) auf Seite 154 im Satz 6.5.2, wobei wir dort noch mit den
eigens eingeführten Abkürzungen γ und Φ gearbeitet haben, so dass wir abschließend
auf die Funktion
h
pIII (α, λ, m, k) = γ ·
2
m
¡
λ (1 − kα) + 1 −
¡
+ 1−
(k−1)−1
m
¢¡
k
m
¢
(k + 1) λ (1 − kα)
¢
¡
− (k − 1)αλ + Φk−1 − 2 1 −
k−1
m
¢
i
Φk
für die geometrische Wahrscheinlichkeit des Nadelwurfes im offenen Gitter nach Fall
2.1 kamen.
348
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
B.3
Zusammenfassung zu p(α, λ, m, k)
Das im vorigen Abschnitt behandelte Aufstellen der Teilausdrücke für die Funktion
pIII für die verschiedenen Fälle 0.1, ..., 0.3, I.1, ..., I.6, 1.1, ..., 3.4, ... N.3 mündet
mit all den Fallunterscheidungen darin, abschließend 22 Teilfunktionen in Händen zu
halten. In diesem Abschnitt soll geschildert werden, wie diese Funktionen zunächst
für das offene Gitter zu einer gebündelt werden können, so dass wir damit die im
Abschnitt 8.3 gezeigte Gegenüberstellung von Simulationsexperiment und analytischer Lösung bequem berechnen können – ohne für jedes a, r und l erst den Fall zu
bestimmen, sondern dies vielmehr in der Funktion vornehmen lassen – und weiter
darauf auch graphische Methoden anwenden können, ohne die Funktion stückeln zu
müssen.
Das Auflisten aller Teilfunktionen würde einige Seiten beanspruchen, so dass
wir uns darauf beschränken, zunächst die Funktion des Falls 3.4 als exemplarisches
Beispiel zu zeigen wie sie in Mathematica gewonnen wurde und nun eingesetzt werden
kann:
µ
pF34[α , λ , m , k ] :=
−2 + k ¢
2λ ¡
+ 1−
m
m
q
2
1 + (−1 + k) λ2
q
¡
¡
k¢
−1 + k ¢ p
2
1 + k2 λ2 + 1 −
1 + (1 + k) λ2
−2 1 −
m
m
¡
−2 + k ¢
1
−(−1 + k) 1 −
α ArcTan[
]
m
(−1 + k) λ
¡
−1 + k ¢
1
+2 k 1 −
α ArcTan[ ]
m
kλ
¡
k¢
1
− (1 + k) 1 −
α ArcTan[
]
m
(1 + k) λ
−2 + k ¢
(−1 + k) λ
2¡
]
−(−1 + k) 1 −
α λ Log[ q
m
2
1 + (−1 + k) λ2
¡
−1 + k ¢
kλ
+2 k2 1 −
α λ Log[ √
]
m
1 + k2 λ2
¶Áµ
¶
k¢
(1 + k) λ
1 πα
2¡
− (1 + k) 1 −
]
α λ Log[ q
+
+λ
m
m
2
2
1 + (1 + k) λ2
Man muss sich dazu vorstellen, dass alle Teilfunktionen der Fälle 2 ≤ k ≤ m in
dieser Weise vorliegen. Dann können mit den Hilfsfunktionen
λ
VkMinus1[λ , k ] := p
1 + (k − 1)2 λ2
Vk[λ , k ] := √
λ
1 + k2 λ2
λ
VkPlus1[λ , k ] := p
1 + (k + 1)2 λ2
B.3. ZUSAMMENFASSUNG ZU P (α, λ, M, K)
349
über die folgende Eingabe von “Wenn-Dann“-Sequenzen
pk[α , λ , m , k ] :=
If[α <= VkPlus1[λ, k], pF34[α, λ, m, k],
If[VkPlus1[λ, k] < α && α <= 1/(k + 1) && α <= Vk[λ, k],
pF33[α, λ, m, k],
If[Vk[λ, k] < α && α <= 1/(k + 1) && α <= VkMinus1[λ, k],
pF32[α, λ, m, k],
If[VkMinus1[λ, k] < α && α <= 1/(k + 1),
pF31[α, λ, m, k],
If[1/(k + 1) < α && α <= Vk[λ, k],
pF23[α, λ, m, k],
If[1/(k + 1) < α && Vk[λ, k] < α && α <= 1/k && α <= VkMinus1[λ, k],
pF22[α, λ, m, k],
If[1/(k + 1) < α && VkMinus1[λ, k] < α && α <= 1/k ,
pF21[α, λ, m, k],
If[1/k < α && α <= VkMinus1[λ, k],
pF12[α, λ, m, k],
If[1/k < α && VkMinus1[λ, k] < α && α <= 1/(k − 1) ,
pF11[α, λ, m, k], 0]]]]]]]]];
alle Fälle für 2 ≤ k ≤ m in einer Funktion pk[] gebündelt werden. Das kann man
nun ebenso für die Fälle aus k = 0, k = 1 und k = m + 1 tun, wobei wir die Funktionen p0[], p1[] und pm1[] erhalten, die dann wiederum zu der abschließenden
Funktion
p[α , λ , m , k ] := If[k == 0, p0[α, λ, m],
If[k == 1, p1[α, λ, m],
If[1 < k && k <= m, pk[α, λ, m, k],
If[k == m + 1, pm1[α, λ, m], 0]]]];
zusammengefasst werden können. Mit dieser “finalen“ Funktion p[] kann nun bequem gearbeitet werden. Zum Wert dieser “kompakten“ Fassung ein erläuterndes
Beispiel. Bei festem λ, m und k etwa kann die geometrische Wahrscheinlichkeit pIII
nun über α in einem Kurvenzug erfasst werden, wie wir es bereits im Abschnitt
6.8 diskutiert haben – die stückweise Definition bleibt in weiteren Anwendungen
verborgen:
350
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
Plot[p[α, λ, m, k] /. {λ → 0.1, m → 5, k → 2}, {α, 0, 1.2},
PlotRange → {−0.04, 0.4}, PlotStyle → {Thickness[0.005]},
AxesLabel → {alpha, p}, AspectRatio → 0.56];
p
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
alpha
Es gibt auch noch eine Variante der Zusammenfassung, in der die Fallbezeichnungen neben den Funktionswerten mit angegeben werden. Dies ist einfach möglich,
indem die Teilfunktionen in p0, p1, pk und pm1 ihren Output als Liste liefern, z.B. angefangen für den Fall 3.4: { pF34[], 34 }, usf. Diese Art von zusammenfassender
Funktion eignet sich gut, um neben der Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeit auch den Fall parat zu haben, der bei gegebenen Parametern greift. Zum
Plotten o.ä. eignet sie sich hingegen weniger, es sei denn, man arbeitet in diesen
Fällen nur mit dem ersten Listenelement p[][[1]].
Auch die in (10.33) definierte Funktion q in dem Kapitel über geschlossene
Gitter nach Abschnitt 10.3 auf Seite 254 wurde aus einzelnen Bestandteilen zusammengefasst und in Mathematica so zur Berechnung angegeben:
q[α , λ , κ ] := If[α ≤ Vk[λ, κ], 0,
If[α > λ && α > 1/κ, q1[α, λ, κ],
If[α ≤ λ && α > 1/κ, q2[α, λ, κ],
If[α > λ && α ≤ 1/κ , q3[α, λ, κ], q4[α, λ, κ]]]]];
Dabei wurden die Funktionen q1, q2, q3 und q4 in Abhängigkeit der Parameter
α, λ und κ nach den Beziehungen (10.29), (10.30), (10.31) und (10.32) nach Korollar
10.3.1 in Mathematica definiert.
Die Auflösung der Rekursionsgleichung (10.43) in Form der Beziehung
pk =
¢
m−k¡
qk−1 − 2qk + qk+1 , k = 0, 1, ..., m − 1,
qm
mit q0 = q−1 = 0 und qκ := q(α, λ, κ) aus Satz 10.4.2 kann nun in der folgenden
Weise geschehen:
B.4. PLOTTEN MIT MATHEMATICA
pB[α , λ , m , k ] :=
351
m−k
*
b[α, λ, m ]
If[k == 0, q[α, λ, k + 1],
If[k == 1, (−2 * q[α, λ, k] + q[α, λ, k + 1]),
(q[α, λ, k − 1] − 2 * q[α, λ, k] + q[α, λ, k + 1])]]
Das Auftreten und Einbringen der Funktion b im Nenner ist wesentlich, wobei
diese weitestgehend mit q identisch ist – insbesondere in der Erfassung der Grenzen
von α und Einbindung der q1, ..., q4 –, aber anstelle der Null als Funktionswert für
das Unterschreiten von
λ
α≤ √
1 + κ2 λ2
wurde ein Wert ² > 0 gesetzt, der vermeidet, dass es im “verbotenen Gebiet“, das ja
bei Rechnungen und Plots nicht ausgeschlossen werden soll, zu keinem verschwindenden Nenner in der Definition von pB = pk für das geschlossene Gitter kommt:
b[α , λ , κ ] := If[α ≤ Vk[λ, κ], ∈,
If[α > λ && α > 1/κ, q1[α, λ, κ],
If[α ≤ λ && α > 1/κ, q2[α, λ, κ],
If[α > λ && α ≤ 1/κ , q3[α, λ, κ], q4[α, λ, κ]]]]];
mit z.B. ∈ = 1 > 0 oder einem anderen Wert.
In Form dieser Beziehung für pB = pk wurden die Berechnungen der analytischen
Ergebnisse des Abschnittes 10.5 gewonnen und ebenso die graphischen Darstellungen in den Bildern 10.27 bis 10.35 erstellt. Wobei wir auf letzteres jetzt noch kurz
eingehen werden.
B.4
Plotten mit Mathematica
Die gewonnenen analytischen Ergebnisse können in einer Vielzahl von Graphen aufgetragen werden. Sehr praktisch macht sich dabei wie im letzten Abschnitt bereits
geschildert die aus allen Einzelfällen zusammengesetzte Funktion p.
Natürlich interessieren wir uns hier verstärkt für den Plot von pIII über das
ordnende Parameterfeld (α, λ), wie es für die Fallunterscheidungen maßgeblich ist,
und für die Verteilung der Zufallsvariable XIII in Form der pk = p(α, λ, m, k).
Ähnlich wie im Plot-Befehl kann in Mathematica auch die Funktion Plot3D
eingesetzt werden, um z.B. die Fläche nach Bild 6.53 auf Seite 171 zu erzeugen.
Schwieriger wird es für die ganzzahligen Variablen m und k, denn diese sind in
der Definition bzw. Zusammenfassung von p über die Fallunterscheidungen auch nur
als ganzzahlige Werte sinnvoll.
352
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
Soll also die in p steckende Dichtefunktion von XIII u.a. über k aufgetragen werden, so bietet es sich an, zunächst eine Funktionsauswertung per Table vorzunehmen
und dann mittels ListPlot3D einen Graphen zu erstellen. So ist z.B. das Bild 6.59
auf Seite 175 durch diese Sequenz entstanden:
lambda = 0.1;
mZelle = 5;
p3D = Table[p[alpha/30, lambda, mZelle, k], {alpha, 0, 30}, {k, 0, mZelle + 1}];
PL1 = ListPlot3D[p3D, PlotRange → {0, 0.63}, MeshRange → {{0, 6}, {0, 1}},
AxesLabel → {StyleForm[″k″, FontSize → 14,
FontFamily → ″Times″,
FontSlant → ″Oblique″],
StyleForm[″α″, FontSize → 14,
FontFamily → ″Symbol″],
StyleForm[″p″, FontSize → 14,
FontFamily → ″Times″,
FontSlant → ″Oblique″]},
ImageSize → 320];
0.6
p
1
0.4
0.8
0.2
0.6
0
0
0.4
α
2
k
0.2
4
60
B.5
Zufallsexperiment mit Mathematica
Schließlich wurde in Mathematica auch das im dritten Teil, Kapitel 8, beschriebene
rechnergestützte Zufallsexperiment modelliert und daraus graphische Darstellungen
gewonnen. Zwar wurde wegen der höheren Rechengeschwindigkeit die finale Form
des Experiements dann auch in der Hochsprache C implementiert, aber für die Konstruktion des Grundaufbaus tat Mathematica einmal mehr seinen flexiblen Dienst.
B.5. ZUFALLSEXPERIMENT MIT MATHEMATICA
353
Im Abschnitt 8.2.1 ist der Mathematica-Code im einzelnen erläutert, so dass wir
hier zunächst nur kurz auf die formalen Aspekte eingehen wollen und abschließend
das Verhalten der Monte-Carlo-Simulation beleuchten:
• Für die Funktionen ccw und intersect hat sich die Form des Module mit
seinen lokalen Größen angeboten.
• Auch Mathematica verfügt über das For-Konstrukt, um Schleifen abarbeiten
zu können. Zwar ist es grundsätzlich besser, weil rechentechnisch effizienter,
Gleichungen u.ä. aufzulösen bzw. geschlossen zu behandeln bzw. vektoriell zu
c
formulieren und abzuarbeiten (ganz ähnlich wie in dem Programm Matlab°
)
aber im Zufallsexperiment mit seinen nacheinander ausgeführten Nadelwürfen
war dieses Element unabdingbar.
• Mathematica besitzt mit dem Befehl Append eine sehr praktische Art, Elemente in Listen aufzunehmen bzw. diese aneinander zu hängen, vgl. auch Seite
205f im Abschnitt 8.2.1 bzgl. der Graphikelemente wie Punkte und Linien zur
Darstellung der Nadeln.
In diesem Zusammenhang gehen wir kurz auf die Anzahl der das Gitter treffenden Nadeln ein. So können z.B. über Treffer = Append[Treffer, nH];
die zunächst je Durchgang in nH hochaddierten und abgespeicherten Anzahlen
der Treffer der Nadeln mit dem Inneren des Gitters in der Größe Treffer zu
einer Liste zusammengesetzt werden, die dann etwa als ListPlot graphisch
auftragbar ist und die Schwankung der Trefferzahlen über die Durchgänge
veranschaulicht; hier eine Graphik über 20 Durchgänge mit jeweils 50 Nadeln,
sowie m = 7, a = 1, r = 5 und l = 4, so dass α = 0,25 und λ = 0,1:
ListPlot[Treffer, PlotJoined → True];
44
42
40
38
36
34
32
5
10
15
20
Die Treffer sind dabei binomialverteilt – als “Treffererfolge“ nH vom Umfang
einer bestimmten Anzahl nI von Nadelwürfen –, wie auch die nächsten Graphiken deutlich machen, die aus 200 Durchgängen extrahiert wurden und wie
oben die Trefferanzahlen über die 200 Zufallsexperimente mit je 50 Nadeln
zeigen und diese unten in Form eines Histogramms auswerten:
354
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
42.5
40
37.5
35
32.5
50
100
150
200
27.5
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
27.5 30. 32.5 35. 37.5 40. 42.5 45.
Oben sieht man dabei wieder die absolute Zahl von Treffern auf das Gitter der
je 50 Nadeln mit Mittelpunkt im Fenster und ihre Schwankungen von Durchgang
zu Durchgang. Unten dann die Auswertung des experimentell gewonnenen Datenmaterials in Form eines auf 100% skalierten Histogramms und die Approximation
durch die Dichte der Binomialverteilung (durchgezogene Kurve)
µ
I)
p(n
nH
=
¶
nI
pnH (1 − p)nI −nH · 100% , nH Trefferzahl von 1, 2, ..., nI ,
nH
wobei hier nI = 50 und für die Trefferwahrscheinlichkeit
³
´
1
π
4r
l
m
+
α
+
λ
m
2
µ(DIII )
2 α m1 + π2 α + λ
p=
=
=
≈ 0,73565
µ(W )
π ∆x ∆y
π ( m1 + α)(α + λ)
gilt, dabei ist W das Ereignis, dass der Nadelmittelpunkt M das Fenster ∆x × ∆y,
vgl. Bild 8.1, Seite 200, trifft.
B.5. ZUFALLSEXPERIMENT MIT MATHEMATICA
355
Anm.: Das Maß dieser Menge W an Strecken kann man analog zu µ(DIII ) nach (2.12)
gewinnen, wenn in der dort angegebenen Beziehung l = 0 in den unteren Integrationsgrenzen der Integrale über ζ gesetzt wird, d.h. jeweils nur beginnend von ζ − , bzw. ζm integriert
wird, was genau die Bewegung des Nadelmittelpunktes abbildet und abschließend 2r als
Breite mit ∆x und ma als Höhe mit ∆y substituiert wird.
Mit dem Erwartungswert nI · p, vgl. [45], können auch die mittleren Trefferanzahlen T̄ aus Tabelle 8.1, Seiten 213ff, abgeschätzt werden; so gilt z.B. für die oben
verwendeten Parameter mit nI = 105 Nadeln im Abschnitt 8.3 in guter Näherung,
vgl. Seite 214, unten:
T̄ = 73559,679 ≈ 105 · 0,73565 = 73565 .
Verhalten der Monte-Carlo-Simulation bzgl. der Rechengenauigkeit
Abschließend möchten wir noch eine Aussage zur Rechengenauigkeit der Ergebnisse aus dem rechnergestützten Zufallsexperiment nach [50] angeben. Danach gilt
für den Fehler
¯
¯
nA
¯ 1 X
¯
b
¯
¯
pk,j − pk ¯ = | p̄k − pk | ≈ √
(B.1)
δpk := ¯
¯ nA
¯
N
j=1
√
eine Proportionalität zu 1/ N mit N als Anzahl der Nadelwürfe, pk,j als Versuchsergebnis im j-ten Experiment bzw. p̄k als gemitteltes Ergebnis und pk als exakte
Wahrscheinlichkeit für das k-fache Treffen des Gitters, b schließlich ist eine Konstante, die man aus den Versuchsbedingungen extrahieren oder, wie wir es nun im
folgenden tun werden, abschätzen kann. 1
Um diese Überlegungen numerisch zu verdeutlichen, betrachten wir also noch
die Auswertung eines rechnergestützten Zufallsexperiments, wobei wieder m = 7,
a = 1, r = 5 und l = 4 seien, womit die Parameter α = 0,25 und λ = 0,1 betragen,
insbesondere interessiert uns k = 2 nach Fall 3.1, vgl. dazu auch Seite 214, unten.
Wir führen dazu wieder das in Kapitel 8 beschriebene rechnergestützte Zufallsexperiment aus und nehmen Auswertungen mit einfachen Durchgängen der folgenden
Anzahl an Nadelwürfen vor, die das Gitter treffen
N = (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560) ;
im Code, vgl. unten, werden die N in Form der Liste NAi zusammengehalten. Dabei
wurde über die Sequenz an Befehlen mit dem While-Statement in der inneren Schleife, vgl. Seite 204, anstelle des For-Konstruktes sichergestellt, dass die in der Liste
N aufgeführten Nadeltreffer auch erreicht werden, so dass zur weiteren Auswertung
vergleichbare Ergebnisse vorliegen:
1
In [50] wird die Beziehung (B.1) aus Abschätzungen auf Basis der Normalverteilung gewonnen,
die über den zentralen Grenzwertsatz in Erscheinung tritt, weil die Ermittlung der pk durch gemittelte relative Häufigkeiten letztlich auf der Summation von Zufallsvariablen der Art X : Nadelwurf
→ Treffer von k GS beruht.
356
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
...
NAi = { 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560 };
...
For[j = 1, j ≤ Dimensions[NAi][[1]], j++,
nI = NAi[[j]];
nH = 0;
absHfk = 0 * absHfk;
sk = 0 * sk;
While[nH ≤ nI,
Ψ = Random[]*2π;
...
If [HaufK > 0,
...
If[sk == 2, Zaehler2 = Zaehler2 + 1];];
];
prel2 = N[Zaehler2/nH]; Listep2 = Append[Listep2, prel2]; ]
ListPlot[Listep2, PlotJoined −> True];
Analog zu der Liste an Treffern, vgl. Code auf Seite 204f, wurden hier speziell
die je Ni Nadelwürfe erzielten relativen Häufigkeiten von zwei Schnitten mit dem
Gitter in einem Array Listep2 zusammengestellt.
Damit erhalten wir die folgenden, graphisch aufbereiteten Ergebnisse, wobei die
gestrichelt gezeichnete Linie den Wert p2 = 0,22326924 nach der analytischen Auswertung markiert, wenn wir viermal die oben gezeigte Liste N von Nadelwürfen
abarbeiten und durchsimulieren (i als Index der Liste N ):
p2
p2
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
2
4
6
8
i
10
p2
i
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
p2
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
2
4
6
8
i
10
i
B.5. ZUFALLSEXPERIMENT MIT MATHEMATICA
357
Die Ordinate zeigt neben p2 die relativen Häufigkeiten im rechnergestützten Experiment für das Schnittereignis k = 2. Auf der Abszisse ist dabei der Index der
Listenelemente N aufgetragen, was die Graphiken übersichtlicher gestaltet als eine
gedrängte Darstellung über die Inhalte der Liste N selbst. √
Gemäß der Beziehung (B.1) sollte nun die Größe b = δp2 Ni (nahezu) eine Konstante sein. Die folgende Graphik zeigt jetzt an der mit b gekennzeichneten
√ Ordinate
wieder über den Laufindex i der Durchgänge die berechneten Werte δp2 Ni :
b
b
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
2
4
6
8
i
10
b
i
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
b
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
2
4
6
8
i
10
i
Die eingezeichneten Linien parallel zur Abszisse geben je den Mittelwert von
√
δp2 Ni in den vier Versuchsdurchläufen an, wonach sich die Werte
0,393399 ;
0,251312 ;
0,224887 ;
0,355883
ergeben, die wir wiederum zu
b ≈ 0,31
mitteln und so als eine Schätzung für b annehmen. Unsere Aussage zur Rechengenauigkeit in der Simulation nach der Monte-Carlo-Methode für die geometrische
Wahrscheinlichkeit p2 lautet also
0,31
δp2 = √ .
N
(B.2)
Mit (B.2) können wir nun z.B. für den Fall m = 7, a = 1, r = 5 und l = 4, d.h.
α = 0,25 und λ = 0,1 nach Seite 214, unten, bestätigen, dass bei rund 73560 Treffern
in 1000 Durchgängen
δp2 = √
0,31
≈ 3,61 · 10−5
73560 · 1000
358
ANHANG B. ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA
gilt, d.h. vier übereinstimmende Nachkommastellen der exakten Angabe von p2 und
den “gemessenen“ relativen Häufigkeiten p̄2 zu erwarten sind. Erst bei deutlich absinkenden Trefferzahlen, vgl. etwa den Fall α = 0,05 und λ = 0,2 in Tabelle 8.1 auf
Seite 216, geht die Anzahl übereinstimmender Ziffern zurück, verbleibt aber immer
noch bei drei.
Die abschließende Graphik zeigt noch die Verteilung der in 1000 Duchgängen bei
je 100 Nadeln erzielten relativen Häufigkeiten als Schätzung für p2 :
8
6
4
2
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
p2 rel
8
6
4
2
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
p2 rel
Dabei wurden die Histogramme (oben mit Kategorien von ∆p = 0,02, unten
mit 0,01) durch eine Normalverteilung (durchgezogener Kurvenzug) mit einem Erwartungswert von p2 (analytisch gewonnener Wert) und einer Streuung von 0,048
“eingefangen“.
Diese Art der Streuung hatte uns im Kapitel 8, Abschnitt 8.3, dazu veranlasst,
über mehrere Durchgänge von Nadelwürfen noch den Mittelwert als Schätzung für
die pk zu verwenden.
Anhang C
Zum Erwartungswert von XIII
Der Beweis des Satzes 6.7.1 im Kapitel 6 auf Seite 167 lässt sich mit Hilfe des
Lemmas 6.7.2 auf bloßes Addieren zurückführen, was hier konsequent mit Mathematica durchgeführt werden soll. In allen Fallunterscheidungen kann dabei mit den
Abkürzungen Φk und Ψk nach Satz 6.5.2 gearbeitet werden, ohne dass es von Bedeutung ist, was hinter diesen Symbolen liegt, da lediglich ihre Indizierung maßgeblich
ist und ähnliche Zusammenhänge also für alle Wahrscheinlichkeiten gelten, die analog strukturiert sind. Dabei denken wir an die Ergebnisse in den Kapiteln 4 und 5,
in denen die geometrischen Wahrscheinlichkeiten die Funktionen wk enthalten, die
analog zu den hier vorkommenden Φk und Ψk gestaffelt sind –, so dass E(XI ) und
E(XII ) sich auch als Sonderfall von E(XIII ) ergeben.
Zunächst weisen wir also die folgenden beiden Summen im Lemma 6.7.2 nach,
wobei wir durch das “vorgeschaltete“ γ −1 deutlich machen, dass es uns letztlich nur
auf den Zähler der Ausdrücke ankommt:
s (i, j) := γ
3.1
−1
j
X
kp3.1
III (α, λ, m, k)
k=i
³¡
¢¡
¢
=
1 + (1 + m)α j(j + 1) − i(i − 1)
¡
¢´
−α j(j + 1)(2j + 1) − i(i − 1)(2i − 1)
¢
¡
¢
¡
i−1
Φ
−
(i
−
1)
1
−
Φi
+ i 1 − (i−1)−1
i−1
m
m
¡
¢
¡
¢
− (j + 1) 1 − j−1
Φj + j 1 − mj Φj+1 ,
m
λ
m
s (i, j) := γ
3.4
=
−1
kp3.4
III (α, λ, m, k)
k=i
¢
j(j + 1) − i(i − 1)
¢
¡
¢
¡
Ψi−1 − (i − 1) 1 − i−1
Ψi
+ i 1 − (i−1)−1
m
m
¡
¢
¡
¢
− (j + 1) 1 − j−1
Ψj + j 1 − mj Ψj+1 .
m
λ
m
¡
j
X
(C.1)
359
(C.2)
360
ANHANG C. ZUM ERWARTUNGSWERT VON XIII
Beweis von Lemma 6.7.2. Wir ordnen als erstes die Angaben der Zähler in p3.1
III nach
3.4
(6.50) und pIII nach (6.53) in der folgenden Weise um:
z 3.1 (k) := γ −1 p3.1
III (α, λ, m, k)
¡
¢¡
¢ ¡
¢¡
¢
2
k
= m
λ (1 − kα) + 1 − (k−1)−1
− (k − 1)αλ + 1 − m
(k + 1)αλ
m
¡
¢
¡
¢
¡
¢
k
+ 1 − (k−1)−1
Φk−1 − 2 1 − k−1
m
m Φk + 1 − m Φk+1 ,
z 3.4 (k) := γ −1 p3.4
III (α, λ, m, k)
¡
¢
¡
2
= m
λ + 1 − (k−1)−1
Ψk−1 − 2 1 −
m
k−1
m
¢
¡
Ψk + 1 −
k
m
¢
Ψk+1 ,
so dass wir die Staffelung der Φk , bzw. Ψk von den Termen in k ohne diese Abkürzungen
trennen. Für die Ausdrücke der Art
¡
¢
¡
¢
¡
¢
k
z(k) := 1 − (k−1)−1
Ωk−1 − 2 1 − k−1
m
m Ωk + 1 − m Ωk+1
mit Ωκ = Φκ oder Ψκ , κ = k − 1, k, k + 1, ergibt sich nun bei Addition des Produkts
k · z(k) von i > 1 bis j > i die Teleskopsumme
j
X
k=i
k · z(k) =
i (1 −
+ (i + 1)(1 −
+ (i + 2)(1 −
+ (i + 3)(1 −
i−2
m )Ωi−1
¯
i−1
¯
m )Ωi
i
m )Ωi+1
i+1
m )Ωi+2
−2i
(1 −
− 2(i + 1)(1 −
− 2(i + 2)(1 −
i−1
m )Ωi
i
m )Ωi+1
i+1
m )Ωi+2
+ (i + 1)(1 −
··· −
+ (κ + 1)(1 −
{
i
m )Ωi+1
i+1
m )Ωi+2
+ ···
· · · + (κ − 1)(1 −
+
κ−1
m )Ωκ
2 κ (1 −
κ−1
m ) Ωκ
κ−1
m )Ωκ
+ ···
− ···
+
· · · + (j − 3)(1 −
+
· · · − 2(j − 2)(1 −
+ (j − 1)(1 −
=
}|
i (1 −
∓ ···
+
+
=0
¯z
¯
¯+
j−3
m )Ωj−2
− 2(j − 1)(1 −
¯
¯
j (1 − j−2
(1 −
m )Ωj−1 ¯ − 2 j
¡
i 1−
¡
− (i − 1) 1 −
i−2
m
¢
¢
i−1
m
Ωi−1
Ωi
j−3
m )Ωj−2
j−3
m )Ωj−2
+ (j − 2)(1 −
j−2
m )Ωj−1
¯
j−2
m )Ωj−1 ¯
+ (j − 1)(1 −
j−1
m )Ωj
j−1
m )Ωj
+
¡
− (j + 1) 1 −
¡
+
j 1−
¯
j (1 −
j
m
)Ωj+1
j−1 ¢
m Ωj
j
m
¢
Ωj+1 .
(C.3)
Jetzt wenden wir uns den Summanden in z 3.1 (k), bzw. z 3.4 (k) ohne Φκ , bzw. Ψκ zu.
Hier gilt für den ersten Summanden
¡
¢¡
¢ ¡
¢¡
¢
k
2
λ (1 − kα) + 1 − (k−1)−1
−
(k
−
1)αλ
+
1
−
(k
+
1)αλ
b3.1 (k) := m
m
m
¡
¢ 6
2
= m λ 1 + (1 + mα) − m α λ · k
361
und für den zweiten einfacherweise
b3.4 (k) =
2
m
λ.
Werden jetzt wieder k · b3.1 (k) und k · b3.4 (k) von i > 1 bis j > i addiert, erhalten wir mit
Hilfe von
j
X
k
=
k=i
j
X
j
X
k
−
k=1
k2 =
k=i
j
X
i−1
X
k
=
k=1
k2 −
k=1
i−1
X
k2 =
k=1
j(j + 1) (i − 1)i
−
2
2
und
j(j + 1)(2j + 1) (i − 1)i(2i − 1)
−
6
6
die Summen
j
X
(k) =
2
m
=
λ
m
k · b3.4 (k) =
2
m
3.1
k·b
k=i
j
X
j
¡
¢X
λ 1 + (1 + mα)
k −
k=i
6
m
αλ
j
X
k2
k=i
¡
¢¡
¢
1 + (1 + mα) j(j + 1) − i(i − 1)
¡
¢
λ
−m
α j(j + 1)(2j + 1) − i(i − 1)(2i − 1) ,
λ
k=i
j
X
k =
λ
m
¡
¢
j(j + 1) − i(i − 1) .
(C.4)
(C.5)
k=i
Wird nun (C.3)
addiert, ergeben sich für
k = Φk , bzw. Ψk zu (C.4),
Pj mit Ω3.1
Pj bzw. (C.5)
3.4
3.4
s3.1 (i, j) =
k
·
z
(k),
bzw.
s
(i,
j)
=
k
·
z
(k)
die in (C.1), bzw. (C.2)
k=i
k=i
angegebenen Beziehungen.
¤
Damit können wir jetzt den Satz 6.7.1 über den Erwartungswert von XIII beweisen, was letztlich auf 26 verschiedene Summationen der kpH.f (k) und s3.1 (i, j), bzw.
s3.4 (i, j) hinausläuft. Diese Summationen sollen hier mit Mathematica durchgeführt
werden.
Beweis von Satz 6.7.1. Wir definieren in Mathematica zunächst folgende Größen für
die sechs Ausdrücke z I.f := γ −1 pIII (α, λ, m, k = 1), f = 1, ..., 6, vgl. Satz 6.4.1:
In[1]:=
zI1 = 1 +
zI2 = 1 +
zI3 = 1 +
zI4 = 1 +
zI5 = 1 +
zI6 = 1 +
1
;
m
1
+ 2λ − 2αλ − 2Φ[1] ;
m
1
+ 2λ − 2Ψ[1] ;
m
³
³
1 2
2´
+ λ+2 1−
αλ − 2Φ[1] + 1 −
m m
m
³
³
1´
1 2
+ λ+4 1−
αλ − 2Ψ[1] + 1 −
m m
m
³
1 2
1´
+ λ − 2Ψ[1] + 1 −
Ψ[2] ;
m m
m
1´
Φ[2] ;
m
1´
Φ[2] ;
m
362
ANHANG C. ZUM ERWARTUNGSWERT VON XIII
dann für die neun von Null verschiedenen Ausdrücke z H.f (k) := γ −1 pIII (α, λ, m, k), 1 < k <
m + 1, mit den Haupt- und Nebenfällen H und f nach Satz 6.5.2 die als von k abhängigen
Mathematica-Funktionen:
In[7]:=
³
¢
k − 2 ´¡
z11[k ] := 1 −
(k − 1)2 αλ − (k − 1)λ + Φ[k − 1] ;
m
³
¢
k − 2 ´¡
z12[k ] := 1 −
− (k − 1)λ + Ψ[k − 1] ;
m
³
2
k´
z21[k ] := λ(1 − kα) + 1 −
(k + 1) λ (1 − kα)+
m
m
´
³
³
¢
k − 1´
k−2 ¡
− (k − 1)αλ + Φ[k − 1] − 2 1 −
Φ[k] ;
1−
m
m
³
2
k´
(k + 1) λ (1 − kα)+
z22[k ] := λ(1 − kα) + 1 −
m
m
³
´
³
¢
k−2 ¡
k − 1´
1−
− (k − 1)kαλ + Ψ[k − 1] − 2 1 −
Φ[k] ;
m
m
³
³
³
2
k´
k − 2´
k − 1´
(k + 1) λ + 1 −
Ψ[k − 1] − 2 1 −
Ψ[k] ;
z23[k ] := λ + 1 −
m
m
m
m
³
¢
2
k − 2 ´¡
z31[k ] := λ(1 − kα) + 1 −
− (k − 1)αλ + Φ[k − 1] −
m
m
³
³
¢
k − 1´
k ´¡
2 1−
Φ[k] + 1 −
(k + 1)αλ + Φ[k + 1] ;
m
m
³
¢
2
k − 2 ´¡
z32[k ] := λ(1 − kα) + 1 −
− (k − 1)kαλ + Ψ[k − 1] −
m
m
³
³
¢
k − 1´
k ´¡
2 1−
Φ[k] + 1 −
(k + 1)αλ + Φ[k + 1] ;
m
m
³
³
³
¢
2
k − 2´
k − 1´
k ´¡
Ψ[k − 1] − 2 1 −
Ψ[k] + 1 −
(k + 1)2 αλ + Φ[k + 1] ;
z33[k ] := λ + 1 −
m
m
m
m
³
³
³
2
k − 2´
k − 1´
k´
Ψ[k − 1] − 2 1 −
Ψ[k] + 1 −
Ψ[k + 1] ;
z34[k ] := λ + 1 −
m
m
m
m
und schließlich die Größen zN2 und zN3 für die beiden von Null verschiedenen Beziehungen
für z N.f := γ −1 pIII (α, λ, m, m + 1), f = 2, 3, vgl. Satz 6.6.1:
In[16]:=
¢
1¡
Φ[m] + m λ(m α − 1) ;
m
¢
1¡
zN3 =
Ψ[m] − m λ ;
m
zN2 =
Für die Sequenzen an fortlaufenden Additionen der Ausdrücke kz 3.1 (k), bzw. kz 3.4 (k) von
je i > 1 bis j > i greifen wir auf das Ergebnis von Lemma 6.7.2 zurück und definieren
ebenfalls zwei Mathematica-Funktionen, die nun von den Werten i und j abhängig sind,
vgl. die Summen (C.1) und (C.2):
In[18]:=
³
³
i − 1´
i − 2´
Φ[i − 1] − (i − 1) 1 −
Φ[i]−
s31[i , j ] := i 1 −
m
m
³
´
³
´
j−1
j
(j + 1) 1 −
Φ[j] + j 1 −
Φ[j + 1]+
m
m
³
¢¡
¢
λ ¡
1 + (1 + m)α j(j + 1) − i(i − 1) −
m
¡
¢´
α j(j + 1)(2j + 1) − i(i − 1)(2i − 1) ;
363
In[19]:=
³
³
i − 2´
i − 1´
s34[i , j ] := i 1 −
Ψ[i − 1] − (i − 1) 1 −
Ψ[i]−
m
m
³
´
³
´
j−1
j
(j + 1) 1 −
Ψ[j] + j 1 −
Ψ[j + 1]+
m
m
¢
λ¡
j(j + 1) − i(i − 1) ;
m
Dabei sei betont, dass für die in den vorangegangenen Ausdrücken verwendeten Funktionen
Φ und Ψ, bzw. deren Funktionswerte Φ[k] und Ψ[k] für die verschiedenen k in Mathematica keine näher spezifizierten Angaben vorhanden sein müssen! Die Ausdrücke Φ[k] und
Ψ[k] werden also wie allgemeine, nicht näher bestimmte und mit k indizierte Symbole
interpretiert.
Jetzt können wir mit diesen Funktionen in Mathematica auf die im Abschnitt 6.7, Seite
166, beschriebenen 26 Arten die Summe
γ −1
m+1
X
k pIII (α, λ, m, k) = γ −1
k=0
m+1
X
k · pIII (α, λ, m, k)
k=1
m−1
X
¡
k · pH.f
= γ −1 1 · pI.f
(α,
λ,
m,
1)
+
III (α, λ, m, k)
III
k=2
¢
+ m · pIII (α, λ, m, m) + (m + 1) · pN.f
III (α, λ, m, m + 1)
H.f
= z
I.f
+
m−1
X
k · z H.f (k)
k=2
+ m · z H.f (m) + (m + 1) · z N.f (m + 1)
(C.6)
berechnen, wobei die Sequenzen der Fälle 3.1 und 3.4 gerade mit den Funktionen s3.1 (i, j)
und s3.4 (i, j) abgedeckt werden. Durch die Multiplikation mit γ −1 betrachten wir also nur
den Zähler von E(XIII ) und sollten jetzt in allen 26 Arten den Wert
1+
1
m
erhalten, um den Satz 6.7.1 abschließend zu beweisen, was auch der Fall ist, wie uns Mathematica jetzt auf folgende Weise in der Bestimmung von (C.6) unterstützt und bestätigt:
In[20]:=
Out[20]=
In[21]:=
Out[21]=
In[22]:=
Out[22]=
In[23]:=
Out[23]=
(∗ f1 ∗) zI1
1
1+
m
(∗ f2 ∗) Simplify[zI2 + 2 ∗ z11[2]]
1
1+
m
(∗ f3 ∗) Simplify[zI4 + 2 ∗ z21[2] + 3 ∗ z11[3]]
1
1+
m
(∗ f4 ∗) Simplify[zI4 + s31[2, j] + (j + 1) ∗ z21[j + 1] + (j + 2) ∗ z11[j + 2]]
1
1+
m
364
ANHANG C. ZUM ERWARTUNGSWERT VON XIII
In[24]:=
Out[24]=
In[25]:=
Out[25]=
In[26]:=
Out[26]=
In[27]:=
Out[27]=
In[28]:=
Out[28]=
(∗ f5 ∗) Simplify[zI4 + s31[2, m − 1] + m ∗ z21[m] + (m + 1) ∗ zN2]
1
1+
m
(∗ f6 ∗) Simplify[zI3 + 2 ∗ z12[2]]
1
1+
m
(∗ f7 ∗) Simplify[zI5 + 2 ∗ z22[2] + 3 ∗ z11[3]]
1
1+
m
(∗ f8 ∗) Simplify[zI5 + 2 ∗ z32[2] + 3 ∗ z21[3] + 4 ∗ z11[4]]
1
1+
m
(∗ f9 ∗) Simplify[zI5 + 2 ∗ z32[2] + 3 ∗ z21[3] + 4 ∗ zN2] /. {m → 3}
4/3
Die Folge f9 tritt nur für m = 3 auf und wird daher in Mathematica durch die lokale
1
= 43 ergibt. Es gilt weiter:
Zuweisung /. {m → 3} konkretisiert, was wieder 1 + m
In[29]:=
Out[29]=
In[30]:=
Out[30]=
In[31]:=
Out[31]=
In[32]:=
Out[32]=
(∗ f10 ∗) Simplify[zI5 + 2 ∗ z32[2] + s31[3, j]
+ (j + 1) ∗ z21[j + 1] + (j + 2) ∗ z11[j + 2]]
1
1+
m
(∗ f11 ∗) Simplify[zI5 + 2 ∗ z32[2] + s31[3, m − 1] + m ∗ z21[m] + (m + 1) ∗ zN2]
1
1+
m
(∗ f12 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z23[2] + 3 ∗ z12[3]]
1
1+
m
(∗ f13 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z33[2] + 3 ∗ z22[3] + 4 ∗ z11[4]]
1
1+
m
In[33]:=
(∗ f14 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z33[2] + 3 ∗ z22[3] + 4 ∗ zN2] /. {m → 3}
Out[33]=
4/3
Auch die Folgen f14 , bzw. f16 treten nur für eine feste Anzahl an Gitterstrecken auf,
nämlich für m = 3, bzw. m = 4, so dass wir die Auswertung der Summen hier wieder lokal
mit /. {m → 3}, bzw. /. {m → 4} vorgenommen haben:
In[34]:=
Out[34]=
In[35]:=
Out[35]=
(∗ f15 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z33[2] + 3 ∗ z32[3] + 4 ∗ z21[4] + 5 ∗ z11[5]]
1
1+
m
(∗ f16 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z33[2] + 3 ∗ z32[3] + 4 ∗ z21[4] + 5 ∗ zN2] /. {m → 4}
5/4
365
In[36]:=
Out[36]=
In[37]:=
Out[37]=
In[38]:=
Out[38]=
In[39]:=
Out[39]=
In[40]:=
Out[40]=
In[41]:=
Out[41]=
In[42]:=
Out[42]=
In[43]:=
Out[43]=
(∗ f17 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z33[2] + 3 ∗ z32[3] + s31[4, j]
+ (j + 1) ∗ z21[j + 1] + (j + 2) ∗ z11[j + 2]]
1
1+
m
(∗ f18 ∗) Simplify[zI6 + 2 ∗ z33[2] + 3 ∗ z32[3] + s31[4, m − 1] + m ∗ z21[m]
+ (m + 1) ∗ zN2]
1
1+
m
(∗ f19 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, j] + (j + 1) ∗ z23[j + 1] + (j + 2) ∗ z12[j + 2]]
1
1+
m
(∗ f20 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, j] + (j + 1) ∗ z33[j + 1] + (j + 2) ∗ z22[j + 2]
+ (j + 3) ∗ z11[j + 3]]
1
1+
m
(∗ f21 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, m − 2] + (m − 1) ∗ z33[m − 1] + m ∗ z22[m]
+ (m + 1) ∗ zN2]
1
1+
m
(∗ f22 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, j] + (j + 1) ∗ z33[j + 1] + (j + 2) ∗ z32[j + 2]
+ (j + 3) ∗ z21[j + 3] + (j + 4) ∗ z11[j + 4]]
1
1+
m
(∗ f23 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, m − 3] + (m − 2) ∗ z33[m − 2] + (m − 1) ∗ z32[m − 1]
+ m ∗ z21[m] + (m + 1) ∗ zN2]
1
1+
m
(∗ f24 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, i] + (i + 1) ∗ z33[i + 1] + (i + 2) ∗ z32[i + 2]
+ s31[i + 3, j] + (j + 1) ∗ z21[j + 1] + (j + 2) ∗ z11[j + 2]]
1
1+
m
In[44]:=
(∗ f25 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, i] + (i + 1) ∗ z33[i + 1] + (i + 2) ∗ z32[i + 2]
Out[44]=
1
1+
m
+ s31[i + 3, m − 1] + m ∗ z21[m] + (m + 1) ∗ zN2]
In[45]:=
Out[45]=
(∗ f26 ∗) Simplify[zI6 + s34[2, m − 1] + m ∗ z23[m] + (m + 1) ∗ zN3]
1
1+
m
1
Wir sehen also, dass in allen 26 Summationen der Zähler 1+ m
erscheint und wir somit
den durchgehenden Erwartungswert E(XIII ) =
¤
1
+1
m
1
π
+
α+λ
m
2
nachgewiesen haben.
366
ANHANG C. ZUM ERWARTUNGSWERT VON XIII
Auf P
Basis der Größen zI, z11[k], etc. in Mathematica kann auch der Konsistenzbeweis m+1
k=0 pIII = 1 für die Verteilung von XIII geführt werden. Dazu benutzt
man analog zu den Funktionen s3.1 und s3.4 die leicht nachzuweisenden Beziehungen
t (i, j) := γ
3.1
−1
j
X
p3.1
III (α, λ, m, k)
k=i
³ ¡
¢
¢
¡
¢´ ¡
λ
= m
2 1 + (1 + m)α − 3α i + j · j − i + 1
¡
¢
¡
¢
i−1
+ 1 − (i−1)−1
Φ
−
1
−
Φi
i−1
m
m
¢
¡
¢
¡
− 1 − j−1
Φj + 1 − mj Φj+1 ,
m
t (i, j) := γ
3.4
−1
j
X
(C.7)
p3.4
III (α, λ, m, k)
k=i
=
¡
¢
·2 j−i+1
¡
¢
¡
¢
+ 1 − (i−1)−1
Ψi−1 − 1 − i−1
Ψi
m
m
¡
¢
¡
¢
− 1 − j−1
Ψj + 1 − mj Ψj+1 .
m
λ
m
(C.8)
Satz C.0.1. Für die geometrischen Wahrscheinlichkeiten pIII in den Sätzen 6.3.1,
6.4.1, 6.5.2 und 6.6.1 gilt
m+1
X
pIII (α, λ, m, k) = 1 .
(C.9)
k=0
Beweis. Wir führen diesen Beweis wieder in bzw. unterstützt von Mathematica durch
und übernehmen alle Größen zI1, ..., zI6, zN2, zN3 und die Funktionen z11[k], ..., z34[k]
aus dem obigen Beweis zum Satz 6.7.1, s.o. Außerdem benötigen wir nun noch die Größen
z 0.f := γ −1 pIII (α, λ, m, 0) für k = 0:
In[46]:=
π
α + λ;
2
π
z02 = −1 + α + α λ + Φ[1] ;
2
π
z03 = −1 + α + Ψ[1] ;
2
z01 = −1 +
Die Beziehungen (C.7) und (C.8) werden umgesetzt zu:
In[49]:=
In[50]:=
³
³
i − 1´
i − 2´
Φ[i − 1] − 1 −
Φ[i]−
t31[i , j ] := 1 −
m
m
³
´
³
´
j−1
j
1−
Φ[j] + 1 −
Φ[j + 1]+
m
m
³
¢
¡
¢ ´¡
¢
λ ¡
2 1 + (1 + m)α − 3α j + i
j−i+1 ;
m
³
³
i − 2´
i − 1´
t34[i , j ] := 1 −
Ψ[i − 1] − 1 −
Ψ[i]−
m
m
³
´
³
´
¢
j−1
j
λ¡
1−
Ψ[j] + 1 −
Ψ[j + 1] + 2 j − i + 1 ;
m
m
m
367
Mit
In[51]:=
γ=
1
m
1
;
π
+ 2α+λ
können wir nun wieder die 26 möglichen Abfolgen an Fallunterscheidungen der pIII in der
Summe (C.9) abarbeiten und erhalten durchgehend:
In[52]:=
Out[52]=
(∗ f1 ∗) Simplify[z01 + zI1] ∗ γ
1
In[53]:=
Out[53]=
(∗ f2 ∗) Simplify[z02 + zI2 + z11[2]] ∗ γ
1
In[54]:=
Out[54]=
(∗ f3 ∗) Simplify[z02 + zI4 + z21[2] + z11[3]] ∗ γ
1
In[55]:=
Out[55]=
(∗ f4 ∗) Simplify[z02 + zI4 + t31[2, j] + z21[j + 1] + z11[j + 2]] ∗ γ
1
In[56]:=
Out[56]=
(∗ f5 ∗) Simplify[z02 + zI4 + t31[2, m − 1] + z21[m] + zN2] ∗ γ
1
In[57]:=
Out[57]=
(∗ f6 ∗) Simplify[z03 + zI3 + z12[2]] ∗ γ
1
In[58]:=
Out[58]=
(∗ f7 ∗) Simplify[z03 + zI5 + z22[2] + z11[3]] ∗ γ
1
In[59]:=
Out[59]=
(∗ f8 ∗) Simplify[z03 + zI5 + z32[2] + z21[3] + z11[4]] ∗ γ
1
In[60]:=
Out[60]=
(∗ f9 ∗) Simplify[z03 + zI5 + z32[2] + z21[3] + zN2/.{m → 3}] ∗ γ/.{m → 3}
1
In[61]:=
Out[61]=
(∗ f10 ∗) Simplify[z03 + zI5 + z32[2] + t31[3, j] + z21[j + 1] + z11[j + 2]] ∗ γ
1
In[62]:=
Out[62]=
(∗ f11 ∗) Simplify[z03 + zI5 + z32[2] + t31[3, m − 1] + z21[m] + zN2] ∗ γ
1
In[63]:=
Out[63]=
(∗ f12 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z23[2] + z12[3]] ∗ γ
1
In[64]:=
(∗ f13 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z33[2] + z22[3] + z11[4]] ∗ γ
Out[64]=
1
In[65]:=
(∗ f14 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z33[2] + z22[3] + zN2/.{m → 3}] ∗ γ/.{m → 3}
Out[65]=
1
In[66]:=
Out[66]=
(∗ f15 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z33[2] + z32[3] + z21[4] + z11[5]] ∗ γ
1
In[67]:=
(∗ f16 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z33[2] + z32[3] + z21[4]
Out[67]=
1
+ zN2/.{m → 4}] ∗ γ/.{m → 4}
368
ANHANG C. ZUM ERWARTUNGSWERT VON XIII
In[68]:=
Out[68]=
In[69]:=
(∗ f17 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z33[2] + z32[3] + t31[4, j]
+ z21[j + 1] + z11[j + 2]] ∗ γ
1
Out[69]=
(∗ f18 ∗) Simplify[z03 + zI6 + z33[2] + z32[3] + t31[4, m − 1]
+ z21[m] + zN2] ∗ γ
1
In[70]:=
Out[70]=
(∗ f19 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, j] + z23[j + 1] + z12[j + 2]] ∗ γ
1
In[71]:=
(∗ f20 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, j] + z33[j + 1]
+ z22[j + 2] + z11[j + 3]] ∗ γ
1
Out[71]=
In[72]:=
Out[72]=
In[73]:=
Out[73]=
In[74]:=
Out[74]=
In[75]:=
Out[75]=
In[76]:=
(∗ f21 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, m − 2] + z33[m − 1]
+ z22[m] + zN2] ∗ γ
1
(∗ f22 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, j] + z33[j + 1] + z32[j + 2]
+ z21[j + 3] + z11[j + 4]] ∗ γ
1
(∗ f23 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, m − 3] + z33[m − 2] + z32[m − 1]
+ z21[m] + zN2] ∗ γ
1
(∗ f24 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, i] + z33[i + 1] + z32[i + 2]
+ t31[i + 3, j] + z21[j + 1] + z11[j + 2]] ∗ γ
1
Out[76]=
(∗ f25 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, i] + z33[i + 1] + z32[i + 2]
+ t31[i + 3, m − 1] + z21[m] + zN2] ∗ γ
1
In[77]:=
Out[77]=
(∗ f26 ∗) Simplify[z03 + zI6 + t34[2, m − 1] + z23[m] + zN3] ∗ γ
1
¤
Wir sind uns bewusst, dass die beiden vorangegangenen Beweise einerseits stark
auf das korrekte Arbeiten der “Maschine“ basieren, andererseits aber auch ohne Mathematica hätten geführt werden können und der durchaus überschaubare Rahmen
an Rechnungen auch (allerdings viel raumfüllender) von Hand und bzgl. der Größe
m per vollständiger Induktion hätte erledigt werden können – von daher sind beide
Beweise keine mittlerweile fast schon klassischen “Maschinenbeweise“.
Symbolverzeichnis
Durch die häufige Verwendung des Symbols p als geometrische Wahrscheinlichkeit
für das Treffen des Testobjektes mit dem ausgewählten Gitter kommt diese Bezeichnung in vielen Zusammenhängen vor, insbesondere werden je nach Kontext auch
verschiedene Indizes zugelassen!
Ausdrückliches Ziel dieser Arbeit ist es, die Funktionen pI , pII , ..., pVI aufzustellen, daher wird p an zentraler Stelle immer mit diesen römischen Zahlen als
Index der Zufallsexperimente gebraucht. In Diskussionen, Vorüberlegungen und Zusammenhängen aus denen klar hervorgeht in welchem Zufallsexperiment wir uns
befinden, wird dann z.T. der Funktionswert von pi , i = I, II, ..., VI, für einen kfachen Schnitt von Testobjekt und Gitter auch einfacherweise mit pk oder p0 , p1 ,
usw. abgekürzt. Ein ähnliches Vorgehen gilt für die Mengen S der Testobjekte eines
Schnittereignisses, die ebenfalls an zentraler Stelle mit dem Index des Zufallsexperiments gekennzeichnet werden, bei allgemeinen Überlegungen und Vorarbeiten
aber auch die kursiv gesetzte Schnittzahl k aufweisen, bzw. mit arabischen Ziffern
versehen sind.
Zum Teil hat sich auch der mehrfache Einsatz von anderen Symbolen in verschiedenen Zusammenhängen nicht vermeiden lassen. Diese Übersicht gibt die betroffenen
Zeichen dann mehrfach ihrer entsprechenden Bedeutung nach wieder. Aus den Stellen im Haupttext sollte zusätzlich deutlich werden, für welche Größe das aufgelistete
Symbol steht.
Geometrie, Maße und Mengen
a
Abstand der Gitterelemente bzw. -strecken voneinander
α
Gitter-Nadel-Parameter
A
allg. Punkt, insbesondere Schnittpunkt
A
allg. Flächeninhalt
A
“Bewegungsmatrix“ für Testobjekte
b
Parameter bzgl. Rechengenauigkeit in Monte-Carlo-Methode
b
Seitenlänge
b3.f (k)
Summand im Ausdruck z 3.f (k), f = 1, 4
β
=
a
l
1
α
369
370
SYMBOLVERZEICHNIS
B
Menge, Grundereignis “geschlossenes Gitter“
Bj
Grundereignis “geschlossenes Gitter“ nach Fall j = 1, ..., 4
B
= σ(I n ), Borelsche σ-Algebra
c
allg. Konstante
C
allg. Bez. für ein Gitter als Menge aus Gitterstrecken
m
Ca,d
= Rna,d , begrenztes Gitter
d
Länge der Gitterstrecken, d = 2r
dE
Element des bewegungsinvarianten Maßes von E (Ebene)
dG
Element des bewegungsinvarianten Maßes von G (Gerade)
dH
Element des bewegungsinvarianten Maßes von H (Nadel)
∂D
Grundereignis auf dem Rand des Gitters
δk
=
δp
Rechengenauigkeit in Simulation zur Ermittlung von p
D
Menge, Grundereignis “offenes Gitter“
∆x , ∆y
Fensterbreite in x- bzw. y-Richtung im Experiment
D
η
Diagonale, insbesondere im Quadrat
¡
¢−1
= π2 α + λ
E+ , E−
Punkt auf linkem (−r, y) bzw. rechtem (r, y) Rand von K
−
E+
ν , Eν
Eckpunkt links (−r, νa) bzw. rechts (r, νa) im Gitter
E(X), EX
Erwartungswert der ZV X
E
Testobjekt “Ebene“
f
Index Fixpunkt
f, f ∗
Dichte, Dichte nach Koordinatentransformation
f
Hilfsfunktion; Folge an Fallunterscheidungen
F, F∗
Fußpunkt von Gerade oder Ebene, von transformiertem Objekt
F
Flächeninhalt einer konvexen Menge
g
γ
Hilfsfunktion
¡
¢−1
= m1 + π2 α + λ
γ
= 0,577215665..., Euler-Konstante (im Ausblick, S. 337)
GS, GSν
allg. Gitterstrecke, GS (−r < x < r, ν a), ν ∈ N
G
Testobjekt “Gerade“
2
πa
sin θ̂k −
2k
θ̂
π k
SYMBOLVERZEICHNIS
371
Γ
= hl , Höhen-Längen-Parameter
h, ĥ
Abkürzung; Hilfsfunktion h(θ) oder h(θ, k)
h
Höhe, insbesondere einer Rechteckmenge
H
Entropie eines ZE nach C. Shannon
Hk
absolute Häufigkeiten für k-fachen Schnitt: H ∩ C
H
Testobjekt “Nadel“
i, j
allg. Index für Summation; Fallunterscheidung
i
Index für Zufallsexperimente I, II, ..., VI
I(ρ, l)
Nadel der Länge l auf Linie mit Anfangspunkt ρ
J
Menge, Grundereignis “offenes Gitter“ auf Linie
J
=
k
Anzahl Schnitte zwischen Testobjekt und Gitter
k
in der Form ka auch Höhe eines Teilgitters
κ
allg. Index, insbes. für Schnitte und Höhe von Teilboxen
K
= int K; auch: Kreise als Gitter; konvexe Menge
K
Einhüllende von C
l
Länge der Nadel H
lk
=
ld
= log2 , dualer Logarithmus
L
allg. Länge, Umfang
L
Länge der Nadel in Mathematica
λ
Gitterparameter
m
Anz. Elementarzellen der Breite 2 r und Höhe a im Gitter
m
in der allg. Diskussion: Dimension des Parameterraums
µ
Maß einer Menge
M
= (xM , yM ), Nadelmittelpunkt
n
= m + 1, Anzahl der Gitterstrecken
n
allg. Anzahl, Anzahl gefallener Nadeln, Laufindex
nH
Anzahl der “Treffer“ H ∩ K 6= ∅ im rechnergest. ZE
nI
Anzahl der “Durchgänge“ im rechnergestützten ZE
~n, ~n∗
Normalenvektor, transformierter Normalenvektor
∂(u∗1 ,u∗2 ,...,u∗n )
,
∂(u1 ,u2 ,...,un )
1
k
Jacobische Funktionaldeterminante
der Diagonallänge im Rechteck 2r × ka
a
2r
372
SYMBOLVERZEICHNIS
~no
Einheitsnormalenvektor
ν
Index, Laufvariable über die Gitterstrecken, ν = 0, 1, ..., m
N
Indexmenge ⊂ Z
N
Anzahl an rechnergestützten ZE in Monte-Carlo-Methode
Ξ
= hd , Höhen-Breiten-Parameter
Υ
= dl , Breiten-Längen-Parameter
ω
= bβ c + 1, ganze Zahl
ω
allg. Differentialform
O
Menge an Nadeln mit keinem Schnitt des geschlossenen Gitters
Oj
Menge O gemäß der Fälle j = 1, ..., 4
Ω
Parameterraum
Ωκ
Abkürzung für Φκ oder Ψκ im Anhang C
(Ω, S)
Messraum
p
geometrische Wahrscheinlichkeit: Treffen Testobjekt u. Gitter
p̄
gemittelte geometr. Wahrscheinlichkeit im rechnergestützten ZE
p(A|E)
bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A,
wenn Ereignis E bereits eingetreten
π
Kreiszahl
Pk
=
φ
Kugelkoordinate, allg. Winkel
ϕ
= π/2 − θ
ψ
Hilfswinkel; Fallwinkel der Nadel im Experiment
χκ
=
qk
qm
mit q s.u.
√ λ
,
1+κ2 λ2
√
κ∈N
1 − κ2 α2 − κ α arccos(κ α) − κ2 αλ ln(κ α)
Φk
=
Ψk
=
q
Funktion der Grundmaße im geschlossenen Gitter
Q
von B eingeschränkte Menge an Ereignissen
Qκ
Menge von Nadeln, die in eine Box der Höhe κa fallen
Qκ,j
Qκ nach den Fällen j = 1, ..., 4
Q
Quadrat
r
Radius der Gitterelemente
~r, ~r ∗
allg. Ortsvektor, Ortsvektor des transformierten Objekts
√
κλ
1 + κ2 λ2 − κ α arctan κ1λ − κ2 αλ ln √1+κ
2 λ2
SYMBOLVERZEICHNIS
373
ρ
Polar- bzw. Kugelkoordinate
−
ρ+
ν , ρν
−
ρ-Koordinate von E+
ν , Eν
%
= (1 +
R, Random
gleichverteilte ZV zwischen 0 und 1
R
Rand- oder Restmenge clK1 \ intK2
Rna
Gitter mit n GS in Form von Geraden im Abstand a
Rna,d
Gitter mit n GS der Länge d
R∞
a,d
Gitter mit abzählbar unendlich vielen GS
s3.f (i, j)
Summe der γ −1 kp3.f
III (α, λ, m, k) von i bis j, f = 1, 4
~s
Translationsvektor
σ
Länge der Sekante: G ∩ konvexe Menge K
σν+ , σν−
Funktionen ρ = σν± einer Nadel in “Ecklage“
σX
Streuung der ZV X
S
von B oder D eingeschränkte Menge an Ereignissen
Sk
Menge an Testobjekten mit k-fachem Schnitt des Gitters
S0ν
Menge an Nadeln mit keinem Schnitt des Gitters,
Nadel in der ν-ten Zelle liegend
Skν
Menge an Nadeln mit k-fachem Schnitt des Gitters, k > 0,
Nadel in der ν-ten Zelle beginnend, bzw. GSν schneidend
S\
Menge an Testobjekten aus S mit Fußpunktwinkel 0 ≤ θ < π/2
S10 , S100
symmetrische Partitionierung von S1
Sl , S r
Menge an Geraden auf Q, die linke, bzw. rechte Seite treffen
Su , S o
Menge an Geraden auf Q, die untere, bzw. obere Seite treffen
S\ , S ]
Menge an Geraden auf Q, die best. D treffen
S[
Menge an Geraden auf Q, die beide Diagonalen treffen
S
Mengensystem
t3.f (i, j)
Summe der γ −1 p3.f
III (α, λ, m, k) von i bis j, f = 1, 4
θ
Polar- bzw. Kugelkoordinate
θ0
= π/2
θk
1
, k > 0, Diagonalwinkel
= arctan kλ
θ̂k
= arccos kα, k > 0, Sehnenwinkel
τ
Kugelkoordinate
π
2
Γ + Ξ)−1
374
SYMBOLVERZEICHNIS
T
von D eingeschränkte Menge an Ereignissen, Teilmengen von S
T
Transformation
Tm
Summe der pk bis m im Zufallsexperiment I
T
allgemeines Testobjekt
Θ
maximaler Fußpunktwinkel im geschlossenen Gitter bei l > 2r
Um , V m
Summe kpk bis m in ebener und räumlicher Betrachtung
V (X), V X
wk
Varianz der ZV X
√
= 1 + k 2 λ2
W
Ereignis: Nadelmittelpunkt von H im Fenster ∆x × ∆y
x0
Fensteranfang in x-Richtung im Experiment
X
ZV: Menge der Geraden, Nadeln → Anzahl der Treffer mit Gitter
y0
Fensteranfang in y-Richtung im Experiment
Y
ZV: Menge der Ebenen → Anzahl der Treffer mit Gitter
z 0.f (k)
= γ −1 p0.f
III (α, λ, m, k = 0) für die Fälle 0.f
z I.f (k)
= γ −1 pI.f
III (α, λ, m, k = 1) für die Fälle I.f
z H.f (k)
= γ −1 pH.f
III (α, λ, m, k) für die Fälle H.f
z N.f (k)
= γ −1 pN.f
III (α, λ, m, k) für die Fälle N.f
Z, Zν
Zelle bzw. ν-te Zelle eines Gitters
Zm
Summe der pk bis m bzgl. Kreisgitter
ζ
dritte Polarkoordinate
ζν
Funktion ζ = ζν (θ, ρ) eines Punktes A auf Gitterstrecke νa
ζ +, ζ −
ζ-Koordinate von E+ , E−
(x, y, z)
kartesische Koordinaten
(ξ, η, ζ)
kartesische Fußpunktkoordinate von E
ZE
Zufallsexperiment
ZV
Zufallsvariable
geometrische Wahrscheinlichkeiten
p
allg. geometrische Wahrscheinlichkeit Treffen Testobjekt/Gitter
pG
... für mindestens einen Schnitt Gerade/Gitter
pE
... für mindestens einen Schnitt Ebene/Gitter
pk
... für das k-fache Treffen eines Gitters
SYMBOLVERZEICHNIS
pI (λ, k)
... k-fache Treffen von G des Gitters R∞
a,2r , Problem 4.1
pII (λ, m, k)
... k-fache Treffen von G des Gitters Rna,2r , Problem 5.1
pIII (α, λ, m, k)
... k-fache Treffen von H des Gitters Rna,2r , Problem 6.1
pIV (α, λ, k)
... k-fache Treffen von H des Gitters R∞
a,2r , Problem 7.1
pV (α, k)
... k-fache Treffen von H des Gitters R∞
a , Problem 7.2
pVI (α, m, k)
... k-fache Treffen von H des Gitters Rna , Problem 7.3
pi
geometrische Wahrscheinlichkeit im ZE i = I, II, ..., VI
p(A|B)
bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B
allgemeine Mengen, Gruppen
∅
leere Menge
D\B
Menge D ohne Menge B
cl K
Abschluss von K
int K
Inneres von K
N
natürliche Zahlen
N0
N ∪ {0}
R
reelle Zahlen
Z
ganze Zahlen
(O(m), Rm )
Gruppe der maßstabserhaltenden Bewegungen im Rm
Klammerungen
h·, ·i
Skalarprodukt
[·], (·)
allg. Klammerung
{·}
Mengenklammern
{ }
Listenklammer in Mathematica
b·c
Gaußklammern
[ ]
Argumentenklammer in Mathematica
[·, ·]
geschlossenes Intervall
[·, ·[
rechts offenes Intervall
k·k
= k · k2 , euklidische Norm
375
376
SYMBOLVERZEICHNIS
besondere Zeichen
:=
gleich nach Definition
¤
Ende eines Beweises
/.
Trennzeichen zur lokalen Zuweisung in Mathematica
→
lokale Zuweisung in Mathematica
&&
Verknüpfung von Aussagen mit Logisch-UND
||
sowie Logisch-ODER in Mathematica
ld
= log2 , logarithmus dualis, binärer Logarithmus
Fallunterscheidungen im ZE III
H.f
Hauptfall H und Nebenfall f
mit den Hauptfällen:
0
kein Schnitt mit dem Gitter: k = 0, vgl. Seite 114
I
genau ein Schnitt mit dem Gitter: k = 1, vgl. Seite 130
k Schnitte mit dem Gitter: 1 < k < n, vgl. Seiten 137f:
0
keine k Schnitte möglich
1
k, aber nicht k + 1 Schnitte möglich
2
k + 1 Schnitte möglich, aber nicht mehr
3
mehr als k + 1 Schnitte möglich
N
m + 1 Schnitte mit dem Gitter: k = n, vgl. Seite 158
Der Quellcode aus Mathematica bzw. C++ im Kapitel 8 ist in den LATEX- Schreibmaschinenschriften cmtex10 und cmtt10 gesetzt, um Listings und Eingaben für
die Simulation von anderen, allgemeinen Bezeichnungen abzusetzen. Im Symbolverzeichnis wurden hieraus nur zentrale Größen aufgenommen.
Literaturverzeichnis
Standardwerke der Integralgeometrie
[1]
Emanuel Czuber, Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, B. G.
Teubner, Dresden, 1884
[2]
Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Integralgeometrie, 3. Auflage, Deutscher
Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1955
[3]
Luis A. Santaló, Integral Geometry and Geometric Probability, AddisonWesley, London, 1976
[4]
A.M. Mathai, An Introduction to Geometric Probability, Gordon and Breach
Science Publishers, Australia, 1999
Übersichten
[5]
Andrei Duma, Beiträge zur Theorie geometrischer Wahrscheinlichkeiten,
Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik, SM-DU-276, Gerhard Mercator
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Index
abschätzen, 355
Achsensymmetrie, 11, 56, 150
Algorithmus, 201
Ameisen, 11
Anfangspunkt, 202
Append, 353
Approximation, 354
Aufgaben, 101
Baukasten, 279
Bayes, 102
Befehl, 353
begrenzt, 9
Bertrand, Joseph, 5, 6, 14, 30
bewegungsinvariantes Maß, 7
Bewegungsmodus, 62, 122, 124
Bewegungsmuster, 122, 144
Bewegungstyp, 143
Bezugsmaß, 44–46, 48
Binomialverteilung, 354
Bogenlänge, 5
Boltzmann, 60
boolsche Größe, 268
Borel, Émile, 5
Borelsche σ-Algebra, 13, 55
Buffon, 284
Buffon im Wandel der Gitter, 9
Buffon, Graf von, i, ii, 3, 35
Buffonsches Experiment, 3, 14, 186
C, C++, 208
Cartan, Elie, i, 7, 14
Clausius, Rudolf, 60
Code, 201, 205, 207, 355
Crofton, ii
Czuber, ii
Deklarationsteil, 268
Deltheil, i
Detektor, 321
Diaconis, 190, 274
Diagonalbereich, 68
Diagonale, 35, 36, 38, 103
Diagramm
α-λ, 37, 113, 139, 171
l-λ, 37, 113, 120, 139, 148
Dialog, 344
Dichtefunktion, 20, 72, 75, 99, 175
Differentialform, 15
Dimension, 13, 221
Diskussion, 99, 168, 219
Drehung, 41
Duma, Andrei, ii, iii
Ebene, 221, 339
Ecke, 280
Eckpunkte, 102
Eigen, Manfred, 3
Einbettung, 219
Einhüllende, 34
Elementarzelle, 14, 254, 278
Endpunkt, 202
Endpunkte, 35
Entropie, 60, 81, 105, 177
Enveloppe, 27
Erwartungswert, 60, 77, 96, 160, 298, 306,
308, 359
Euler-Konstante, 337
Expand, 347
Fallunterscheidung, 47, 114, 121, 137, 138,
164, 290, 291
Fallwinkel, 3, 202
Fehler, 355
Fenster, 200, 354
Flächeninhalt, 321
383
384
Flächenmaß, 5
Flächenschätzer, 319
Folge, 163, 166, 298, 363
For, 355
Formel von Poincaré-Sylvester, 279, 329
Formfaktor, 277
Fußpunktform, 20, 23, 339
Fuge, 4
Funktion
Endpunkte ρ±
ν , 41, 42
Gitterstrecke ζν , 42, 43
in Mathematica, 348
Nadel in Ecklage σν± , 238, 239
Ränder ζ ± , 42, 43
Funktionaldeterminante, 16
Funktionenschar, 320
gelochtes Gebiet, 275
Geodätische, 12
Geometrie
algorithmische, 203
stochastische, ii, 13
geometrische Wahrscheinlichkeit, i
Gerade, 284
Achsenabschnittsform, 20
Fußpunktform, 16
Hessesche Normalform, 21
Hesseschen Normalform, 22
Normalform, 21
Steigungsform, 21
Gitter, 8, 33, 35
endliches, 11
geschlossenes, 237, 288
halbes, 284
Kreis-, 221
offenes, 237, 288
unbegrenztes, 278
Gitterbreite, 282
Gittereinhüllende, 282
Gitterparameter, 34
kleine, 99
Gitterpunkt, 288, 291
Gitterstrecke, 9, 33, 35, 38, 39, 120, 137
Graph, gerichteter, 164, 299
Graphikelemente, 205, 353
INDEX
Grenzübergang, 266
Grenzfall, 168
Grenzverlauf, 170, 234
Grenzwert, 186
Grenzwertsatz
zentraler, 355
Grundlänge, 37
Grundmenge, 13, 240
Höhenlinienplot, 180
harmonische Reihe, 337
harmonische Zahl, 337
Hauptfall, 137
Hauptprogramm, 209
Hilfsfunktion, 149, 151
Histogramm, 354, 358
homogen, 44
Homogenität, 3
Hyperbel, 78
Infinitesimalrechnung, 5
Informationsgewinn, 60
Integralformeln, ii
Integralgeometrie, i, 3, 5
Integrate, 346
Integrationsumgebung, 343
invertiert, 9
isotrop, 254
Isotropie, 3
Jacobi, 16
Jaynes, 60
Komplexität, 10
Konfiguration, 53, 200
Kongruenzabbildung, 288
konvexe Menge, 11, 28–30
Kreisgitter, 12
Kreisscheibe, 221
Kreissehne, 221
Kreiszahl, π, 5, 283
Kriterium, 203
Kugel, 5
Laplace, 278
Laplace, Pierre Simon de, i
INDEX
Leptothorax albipennis, 10
Linie, 287
Liste, 350, 353
ListPlot, 353
ListPlot3D, 352
Log, 347
Parallelgitter, i
unbegrenzt, 176
Parameter, 34
Parameterdimension, 13
Parameterebene, 170
Parameterraum, 4, 14
Parametersatz, 15
Maß
Perkolation, 331
bewegungsinvariantes, 7, 14, 55
Planck, 60
von Ebenen, 222, 339
Plot, 350–352
von Geraden, 44, 45
Plotten, 351
von Strecken, 46, 48
Poincaré, 279, 329
Maßraum, 13, 309
Poincaré, Henri, i, 7, 14
Magnetfeld, 317
Polarform, 341
Mathematica, iii, 12, 55, 76, 82, 201, 343, Polarkoordinaten, 22, 36, 46
359, 361
Polygonzug, 75
mathematisches Labor, iii, 343
Polynom, 79
Maximum, 178
Polyomino, 324
Menge vom Maß Null, 35, 102
Popper, Karl Raimund, iii
Mengensystem, 13
Problem, 11, 311
Messraum, 13
Programm, 201
Mittelpunkt, 199
Projektion, 42
Modell, 11
Pseudocode, 201
Module, 353
Punktgitter, 266, 287
Momente, 317
Monte-Carlo-Methode, i, 11, 12, 199, 355 Quadrat, 101, 103, 278
Quellcode, 209
Nachkommastellen, 358
Nadel
Rand, 275, 282
auf Ecke, 281
Raster, 9
endliche, 8
Rechengenauigkeit, 355
kurze, 269
Rechteck-Gitter, 33
lange, 8, 117, 190, 274
Rechteckgitter, 278
Nadelbewegung, 144
Rechteckmenge, 275
Nadellänge, 4
Reihe, 82
Nadelmittelpunkt, 3, 4, 354
unendliche, 81
Nadeln
Rekursionsgleichung, 261
kurze, 278
relative Häufigkeiten, 201, 212
Nadelwurf, 3
Restmenge, 275
Nebenfall, 137
Santaló, 101
Neumann, John von, ii
Satz von Bayes, 102
Normalform, 16
Scanner, 322
Normalverteilung, 355, 358
Schätzer, 323
Paradoxon, 5, 6, 30
Schätzung, 318, 357
Parallel-Gitter, 8, 9, 33
Schleife, 203
385
386
Schnitt zweier Strecken, 203, 206
Schnittmuster, 68
Schnittzahl, 36, 88, 99, 201
Schnittzahlen, 91, 99
Schwankung, 354
Sets of Lines, 101
Shannon, Claude, 60
Siebformel, 279, 329
Siebvorgang, 11
Simplify, 346
Simulation, 199, 202, 268, 353
Simulationsprotokoll, 209, 268
Spiel, 3
Sprachgebrauch, 11
Standardisierung, 60
stereologisch, 11
stetig, 134
Stetigkeit, 155
Stirlingschen Zahlen, 336
Stochastik, 3
Stoka, Marius, ii, iii
Streuung, 358
Sylvester, 279, 329
Symbol, 369
Symmetrie, 41, 57, 58, 104
Symmetriebrechung, 277
symmetrisch, 11
Synthese, 274
INDEX
Unbestimmtheit, 60
unendliche Reihe, 81
Unterprogramm, 203, 208
Varianz, 160, 178
Variation, 219
Vergleich, 99, 168
Verhalten, 99
Verteilung, 73, 99
Vollmer, Gerhard, 311
W-Maß, 14
Wahrscheinlichkeit
bedingte, 101, 102, 104, 282
geometrische, 5, 13, 14, 54
geometrische in I, 72
geometrische in II, 95
geometrische in III, 119, 134, 154, 160
geometrische in IV, 182
geometrische in V, 186, 188, 189, 191
geometrische in VI, 193, 194, 196
Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3
While, 355
Winkel Θ, 240
Winkel θk , θ̂k , 40
Winkeldefinitionen, 40
Wirkungsquerschnitt, 86, 89
Zelle, 11, 33–35, 278
zentraler Grenzwertsatz, 355
Ziffern, übereinstimmende, 358
Testelement, 219
Zufallsebene, 222, 339
Testkörper, 8
Testobjekt, 8, 9, 34, 40, 44, 63, 111, 181, Zufallsexperiment, 8, 10, 11, 44, 53, 109,
199, 221, 237, 287
277, 302
I, 63
Tetraeder, 102
II, 83
Tetromino, 324
III, 109
Thermodynamik, 60
IV, 181
Treffen zweier Mengen, 11
Laplacesches, 278
Treffer, 203, 354
rechnergestützt, 199, 212, 268, 352
Trefferanzahlen, 353
V,
186
Trefferzahlen, 353
VI, 192
Typ-1,-2,-3, 90
Zufallsvariable, 59, 176
Zusammenfassung, 309
Ueberlagerung, 92
in Mathematica, 348
Ulam, Stanislaw, ii
Zylinder,
12, 221, 231
Umschlagverhältnis, 38
Lebenslauf
Name:
Roger Böttcher
Geburtsdatum und -ort:
17.02.1965, Bremen
Ausbildung und berufliche Tätigkeiten:
1971 - 1977
• Grundschule in Bremen
1977 - 1981
• Realschule in Bremen; Abschluss: Mittlere Reife
1981 - 1984
• Ausbildung zum Technischen Zeichner bei MesserschmidtBölkow-Blohm GmbH, Werk Bremen; Abschluss: absolvierte
Fachprüfung zum Technischen Zeichner (Maschinenbau)
1984 - 1985
• Fachoberschule Maschinentechnik in Bremen; Abschluss:
Fachhochschulreife
1985 - 1986
• Grundwehrdienst in der Bundeswehr, Schule Technische Truppe 2 (Nachschub)
1986 - 1990
• Studium des Maschinenbaus an der Hochschule Bremen, Fachrichtung Prozessdynamik und -regelung; darin enthalten: Praxissemester bei Klein, Schanzlin & Becker AG, Bereich Neukonstruktion; Diplomarbeit bei MBB-ERNO Raumfahrttechnik GmbH, Thema: Adaptive Regelung eines Materialprobeofens im Rahmen eines Raumfahrtmissionsexperiments (Bremer Ingenieurpreis 1990); Abschluss: Diplom-Ingenieur (FH)
1990
• Ingenieur bei MBB-ERNO Raumfahrttechnik GmbH; Projekt: Lageregelung eines Satelliten und Schätzung des Erdmagnetfeldes aus seiner Eigenbewegung im geostationären Orbit
seit 1990
• Mitarbeiter der BASF AG in Ludwigshafen am Rhein:
1990 - 2001
◦ Entwicklungsingenieur für Regelungstechnik und
seit 2001
◦ Industriemathematiker im Bereich Simulationstechnik
1991 - 2001
• Studium der Mathematik an der FernUniversität in Hagen;
Diplomarbeit über komplexe algebraische Kurven; Abschluss:
Diplom-Mathematiker
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