Mechanik III / Prof

Mechanik III / Prof. Popov / Vorlesung 15.
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Genaralisierte Kräfte, Lagrangesche Gleichungen 2. Art mit nicht konservativen Kräften.
Die virtuelle Arbeit bei einer kleinen Drehung
ist
I. Verallgemeinerte (generalisierte) Kräfte
δ W = P1δ s1 sin ϕ − P2δ s2 sin ϕ .
Gegeben sei ein Massenpunkthaufen
Da aber δ s1 = aδϕ , δ s2 = bδϕ , ist
δ W = ( Pa
1 − P2 b ) sin ϕ ⋅ δϕ .
G
Wenn alle Körper um δ ri verschoben werden
(das sind die "virtuellen Verrückungen"), werden
die zwischen den Körpern wirkenden
konservativen Kräfte eine Arbeit
∂U
∂U
∂U
dW = − dU = −
dx1 −
dy1 −
dz1...
∂x1
∂y1
∂z1
verrichten. Wir wissen, daß "Arbeit=Kraft x
Weg". Daraus ist ersichtlich, daß
∂U ∂U ∂U
−
- Komponenten der Kraft
,−
,−
∂x1 ∂y1 ∂z1
sind. In verallgemeinerten Koordinaten gilt
∂U
∂U
∂U
dW = − dU = −
dq1 −
dq2 − ... −
dqi − ...
∂q1
∂q2
∂qi
∂U
In Analogie werden die Ableitungen −
∂qi
verallgemeinerte Kräfte genannt, so daß die
Regel "Arbeit= verallgemeinerte Kraft x
verallgemeinerte Verschiebung" auch weiterhin
gilt.
Ähnlich werden auch verallgemeinerte
nichtkonservative Kräfte definiert.
Wenn die Arbeit bei einer beliebigen virtuellen
Verschiebung ist gleich
dW = Q1dq1 + Q2 dq2 + ...Qi dqi + ...
so nennt man Qi die der verallgemeinerten
Koordinate qi entsprechende verallgemeinerte
Kraft.
Beispiele für verallgemeinerte Kräfte
Beispiel 1. Zu finden ist die verallgemeinerte
Kraft, die dem Winkel ϕ entspricht.
Die verallgemeinerte Kraft ist gleich
δW
Qϕ =
= ( Pa
1 − P2 b ) sin ϕ = M o :
δϕ
Einem Drehewinkel entsprechende generalisierte
Kraft ist Kraftmoment.
Beispiel 2.
Ein
Zentrifugalregler
kann sich um die
vertikale Achse
drehen. Gewicht
jeder Kugel ist G,
andere Teile
können als
gewichtslos
angenommen
werden.
Verallgemeinerte
Koordinaten sind
sprechenden verallgemeinerten Kräfte.
Lösung:
δ s1 = δ s2 = l ⋅ δα . Die virtuelle Arbeit bei
Änderung des Winkels α ist
δ Wα = −G ⋅ δ s1 ⋅ sin α − G ⋅ δ s2 ⋅ sin α =
−2G ⋅ l ⋅ δα ⋅ sin α
Daraus für die verallgemeinerte Kraft:
Qα = −2G ⋅ l ⋅ sin α .
δ Wϕ = 0 ⇒ Qϕ = 0 .
Beispiel 3:
Ein Luftballon steht unter Druck P.
Verallgemeinerte Koordinate ist das Volumen
des Ballons. Zu berechnen ist die
verallgemeinerte Kraft.
Lösung: Die auf die Oberfläche des Ballons
wirkende Kraft ist gleich F = p ⋅ 4π r 2 . Die
Arbeit dieser Kraft bei einer kleinen
Vergrößerung des Radius dr ist gleich

4
dW = F ⋅ dr = p ⋅ 4π r 2 ⋅ dr = p ⋅ d  π r 3  = p ⋅ dV
3

.
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Genaralisierte Kräfte, Lagrangesche Gleichungen 2. Art mit nicht konservativen Kräften.
Die verallgemeinerte Kraft ist
dW
QV =
= p - Druck ist verallgemeinerte Kraft, die
dV
der verallgemeinerten Koordinate "Volumen"
entspricht.
II. Lagrangesche Gleichungen 2. Art
Die uns bekannten Lagrangeschen Gleichungen 2.
Art
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂qi ∂qi
können auch in der folgenden Form geschrieben
werden:
d ∂K ∂K ∂U
−
+
=0
dt ∂qi ∂qi ∂qi
oder
∂U
d ∂K ∂K
−
=−
= Qi .
∂qi
dt ∂qi ∂qi
Eine Bewegung kann sich aber nicht ändern, wenn
wir Kräfte einer Natur durch die gleichen Kräfte
anderer Natur ersetzen. Daraus folgt, daß die
d ∂K ∂K
Gleichung
−
= Qi auch dann gilt, wenn
dt ∂qi ∂qi
Qi beliebige verallgemeinerte Kräfte (nicht
unbedingt konservative) sind.
Wenn wir die Kräfte als eine Summe aus
konservativen und nicht konservativen Kräften
darstellen, so gilt:
∂U
d ∂K ∂K
( kons .)
( n . kons .)
( n . kons .)
−
= Qi
+ Qi
=−
+ Qi
.
∂qi
dt ∂qi ∂qi
Diese Gleichung kann in der folgenden Form
geschrieben werden:
d ∂L ∂L
( n . kons .)
−
= Qi
dt ∂qi ∂qi
Lagrangesche Gleichungen 2. Art
für Systeme mit
nicht konservativen Kräften
Beispiel
Gegeben sei eine abgesetzte Rolle mit den Radien
r und R auf einer schrägen Ebene im
Erdschwerefeld. Sie wird über einen Faden und
eine Feder-Dämferkombination gehalten. Die
Ruhelänge der Feder sei l. Man ermittle die
Bewegungsgleichungen des Systems.
Lösung.
1
1
1
2
L = mx 2 + Θϕ 2 − c ( x * − l ) + mgx sin α
2
2
2
Die Dämpferkraft ist eine nicht konservative
Kraft. Die zugehörige virtuelle Arbeit ist
δ WDämpfer = −bx * δ x * .
Die Koordinaten x, x*,ϕ sind abhängig.
1. Bindung: Die Rolle rollt: x = Rϕ .
2. Bindung: x * liegt auf der
x* = ( R + r ) ϕ .
Rolle:
Daraus folgen die Zusammenhänge zwischen
den Koordinaten:
R+r
ϕ = x/R,
x* =
x.
R
Die Lagrangefunktion:
2
1
Θ
1 R+r

L =  m + 2  x 2 − c 
x − l  − mgx sin α
2
R 
2  R

Die virtuelle Kraft des Dämpfers:
2
R + r)
(
xδ x ⇒
δ WDämpfer = − b
R2
2
R + r)
(
Qx = − b
x .
R2
Die gesuchte Bewegungsgleichung berechnet
sich mit
d ∂L ∂L
−
= Qx
dt ∂x ∂x
zu
Θ
R+r R+r


x+c
x − l  − mg sin α =
 m + 2  
R 
R  R


(R + r)
= −b
R2
2
x