No Slide Title - Administracja SGH

Zinssätze und Renten 1
Finanzwirtschaft
Teil II: Bewertung
Zinssätze und Renten
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 2
Agenda
Effektivzinsen
Spot-Zinsen
Forward-Zinsen
Bewertung
Kennziffern
Zusammenfassung
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 3
Lineare Unterjährige Verzinsung und Effektivzins I
• Wenn der Zinssatz quotiert ist als 16%, mit
halbjährlichen Zahlungen, dann ist der tatsächliche
Zins 8% für 6 Monate.
• Sind 8% über 6 Monate das gleiche wie 16% pro
Jahr?
• Wenn € 1.000 für ein Jahr zu 16% investiert
werden, dann haben Sie € 1.160 am Ende des
Jahres.
• Wenn Sie 8% pro Periode für zwei Perioden
investieren, dann haben Sie ZW = €1.000 (1,08)2
= €1.000 1,1664 = €1.166,40, oder €6,40 mehr.
• Die „16% mit halbjährlichen Zahlungen“ sind der
quotierte Zinssatz und nicht der effektive Zins.
• Der Effektivzins beträgt 16,64%.
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Zinssätze und Renten 4
Lineare Unterjährige Verzinsung und Effektivzins II
• Eine Bank verlangt 1% Zinsen pro Monat auf
Autokredite. Was ist der Effektivzins?
– Der Jahreszins ist 1% 12 = 12%.
– Der Effektivzins ist = (1,01)12 - 1
= 1,126825 - 1 = 12,6825%
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 5
Lineare Unterjährige Verzinsung und Effektivzins III
Nehmen wir an rn =5%
k
1 (jährlich)
2 (halb-jährlich)
12 (monatlich)
365 (täglich)
8.760 (stündlich)
Wert von € 1
in 1 Jahr
1,050000
1,050625
1,051162
1,051268
1,051271
Effektivzins
5,0000%
5,0625%
5,1162%
5,1268%
5,1271%
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Zinssätze und Renten 6
Lineare unterjährige Anpassung
• Sei rn der Nominalzins und k die Anzahl der unterjährigen
Zinsperioden.
• Unter Annahme, dass sich der Zinssatz in jeder unterjährigen
Zeitperiode durch lineare Anpassung des Nominalzinses
bezüglich der Länge der Zeitperiode berechnet, ergibt sich
hier
als Zins für jede der k unterjährigen Zeitperioden.
• Ein Euro, der heute investiert wird, entspricht dann (1+
Euros in einem Jahr.
• Dies entspricht einem jährlichen Effektivzins
(1+
) = (1+
)k oder
= (1+
)k
wobei
)k-1
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Zinssätze und Renten 7
Agenda
Effektivzinsen
Spot-Zinsen
Forward-Zinsen
Bewertung
Kennziffern
Zusammenfassung
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 8
Zinsstrukturkurve
• Unser Ziel ist die Bewertung risikoloser
Zahlungsflüsse.
• Dazu werden Informationen über Zinssätze und
Zinsfaktoren benötigt.
• Diese Informationen werden durch die
Zinsstrukturkurve wiedergegeben.
• Die Information ist abhängig vom betrachteten
Markt in unterschiedlichen Formen verfügbar.
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Spot (Kassa-) Zinssätze
Zinssätze und Renten 9
• Definition:
Der „Spot“ Zinssatz rt ist die (annualisierte) „Rendite“ am
Markt, um einmalige, risikolose Zahlungen zum Zeitpunkt
t zu bewerten.
• Wichtig
– rt wird nur auf die Zahlungen zum Zeitpunkt t angewandt.
– rt ist der „durchschnittliche Zinssatz“ zwischen heute und t.
– rt ist verschieden für verschiedene Zeitpunkte t.
• Definition:
– Die Menge der Spot Zinssätze für verschiedene Zeitpunkte
(r1; r2;…; rt; …) ergibt die Zinsstrukturkurve;
– Diese beschreibt die Verbindung zwischen Spot
Zinssätzen und Laufzeiten.
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Zinssätze und Renten 10
Beispiel: Normale Zinsstrukturkurve
Laufzeit
1/12 1/4
1/2
1
2
5
10
15
20
30
…
Zins rt (%)
3,00 3,10 3,25 3,50 4,00 4,85 5,50 6,20 7,00 7,50 …
8,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
28
21
14
7
0,00
0
Zinssatz
(in %)
7,00
Jahre
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Zinssätze und Renten 11
Beispiel: Inverse Zinsstrukturkurve
Laufzeit
1/12 1/4
1/2
1
2
5
10
15
20
30
…
Zins rt (%)
7,50 7,00 6,20 5,50 4,85 4,00 3,50 3,25 3,10 3,00 …
8,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
28
21
14
7
0,00
0
Zinssatz
(in %)
7,00
Jahre
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Zinssätze und Renten 12
Wie erhalten wir die Zinsstrukturkurve?
• Im Markt sind Informationen über den Zeitwert des
Geldes in vielfältiger Form gegeben, z.B. Anleihen
mit verschiedenen Laufzeiten.
• Annahme: Eine hinreichend „dichte“ Anzahl von
Anleihen wird im Markt gehandelt.
• Diese Preise geben uns dann hinreichend
Informationen, um andere risikolose Zahlungsflüsse zu bewerten.
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Zinssätze und Renten 13
Nullkuponanleihen
• Nullkuponanleihen (NKA, im Englischen „Zerobonds“) sind die einfachsten Rentenmarktpapiere.
• Definition: Eine Nullkuponanleihe mit Laufzeit t ist
eine Anleihe, die 1€ zum Zeitpunkt t zahlt.
• Wir bezeichnen deren Preis mit Bt
• Alternativ erfolgt die Quotierung in Bruchteilen des
Nennwertes.
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Zinssätze und Renten 14
Nullkuponanleihen (Beispiel)
• Der aktuelle Preis einer 3-Jahres Nullkuponanleihe
sei B3 = € 0,85.
• Der 3-Jahres Spot Zinssatz ist dann
• Preise von Nullkuponanleihen geben Informationen über Spot Zinssätze, d.h. anstelle quotierter
Zinssätze können wir quotierte Preise von Nullkuponanleihen benutzen.
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Zinssätze und Renten 15
Agenda
Effektivzinsen
Spot-Zinsen
Forward-Zinsen
Bewertung
Kennziffern
Zusammenfassung
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Zinssätze und Renten 16
Forward Zinssätze („Forward Rates“)
0
1
2
3
t
...
Forward Zins in einer
Periode für 2 Perioden
Forward Zins in einer
Periode für t-1 Perioden
Spot Zins rt
• Der Forward Zinssatz ist ein heutiger Marktzins für eine
Zeitperiode bestimmter Länge, die in der Zukunft beginnt.
• Dies ist zu unterscheiden vom Spot-Zinssatz: Der SpotZinssatz ist ein heutiger Marktzins für eine Zeitperiode
bestimmter Länge, die heute beginnt.
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Zinssätze und Renten 17
Kurzfristiger Forward Zinssatz
0
1
2
3
t
...
Kurzfristiger
Forward Zins
in Periode 2
Kurzfristiger
Forward Zins
in Periode 3
Spot Zins rt
• Wir bezeichnen kurzfristige (einperiodige) Forward
Zinssätze zwischen t-1 und t mit ft
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 18
Beispiel zu Zinsänderungen und NKA
• Nehmen Sie an, die jährlichen Zinssätze für Ihr
Bankkonto seien wie folgt:
Zinssatz
2012
2013
2014
3%
3%
4%
• Dann ist der BW von €1 erhalten am Ende von:
– 2012: € 1 / 1,03 = € 0,971
– 2013: € 1 / (1,03 1,03)= € 0,943
– 2014: € 1 / (1,03 1,03 1,04) = € 0,906
• Dies sind die Preise der NKA.
• Gleichzeitig sind dies die Diskontfaktoren für
Barwerte!
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Zinssätze und Renten 19
Beispiel: Forward Zinssatz
0
1
Spot Zins r1
2
Forward Zins f2
Spot Zins r2
• Die Spot Zinssätze seien r1 = 4,0% und r2 = 4,6%.
• Wenn Sie € 1000 für zwei Jahre investieren, wie viel Geld haben
Sie dann in 2 Jahren? Um wie viel wächst Ihr Geld im zweiten
Jahr?
• Die Investition ergibt über 1 Jahr:
€ 1.000 1,04 = € 1.040,00
• Die Investition ergibt über 2 Jahre:
€ 1.000 1,0462 = € 1.094,12
• Die darin enthaltene implizite Rendite für das zweite Jahr ist:
f2 = € 1.094,12 / € 1.040,00 – 1 = 5,2%
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Zinssätze und Renten 20
Zinssätze und Nullkuponanleihen
• Gegeben seien Forward Zinssätze ft und Spot
Zinssätze rt-1, rt
• D.h. Nullkuponanleihen haben den Preis
• Wir diskontieren € 1 vom Zeitpunkt t auf den
Zeitpunkt t-1 und erhalten € 1/(1+ft)
• Diese Zahlung hat heute einen Wert von Bt-1/(1+ft)
• Sie hat aber auch den Wert Bt
• Damit muss gelten: Bt-1/(1+ft) = Bt oder
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 21
Beispiel: Nullkuponanleihen und Forward Zinssätze I
• Gegeben seien folgende Preise für NKA:
t
Bt
1
0,9615
2
0,9140
3
0,8614
4
0,8072
5
0,7543
• Welche Spot und Forward Zinssätze beinhaltet
dies?
• Für das zweite Jahr:
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Zinssätze und Renten 22
Beispiel: Nullkuponanleihen und Forward Zinssätze II
• Insgesamt ergibt sich:
t
Bt
rt
ft
1
0,9615
2
0,9140
3
0,8614
4
0,8072
5
0,7543
4%
4,6%
5,20%
5,1%
6,11%
5,5%
6,71%
5,8%
7,01%
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Zinssätze und Renten 23
Agenda
Effektivzinsen
Spot-Zinsen
Forward-Zinsen
Bewertung
Kennziffern
Zusammenfassung
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 24
Struktur
• Eine Anleihe zahlt Kupons (K1;K2;…; KT) und
zusätzlich zum Zeitpunkt T den Nennwert N.
0
1
2
3
4
T
Zeit
K
K
K
K
K+N
ZF
• Kupons K: Die versprochenen Zinszahlungen je
Periode
• Laufzeit T: Die Anzahl der Jahre (bisher Perioden)
bis der Nennwert zurück gezahlt wird.
• Nennwert N: Der Betrag, der am Ende der Laufzeit
zurück gezahlt wird.
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Zinssätze und Renten 25
Anleihen
• Wie werden Anleihen bewertet?
Eine Anleihe ist ein Portfolio aus Nullkuponanleihen
• Eine Anleihe besteht aus
– Kt Einheiten einer Nullkuponanleihe, die zum
Zeitpunkt t=1,…,T ausläuft,
– N Einheiten einer Nullkuponanleihe, die zum
Zeitpunkt T ausläuft.
• Der Preis der Anleihe muss sein
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 26
Warum ist dies der Preis?
• Wir können die Preise von Anleihen durch das
Prinzip der Arbitrage-Freiheit bestimmen.
• Der Preis einer Anleihe sollte gleich dem eines
Portfolios mit gleichen Zahlungsflüssen sein.
• Der Preis der Anleihe ist dann gleich den Kosten
der Erstellung des Portfolios (Summe der Preise
der Bestandteile).
• Viele Preise werden bestimmt, indem ein Portfolio
mit gleichen Zahlungsflüssen gebildet wird.
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Zinssätze und Renten 27
Beispiel einer Anleihebewertung
• Nehmen Sie an, Preise von Nullkuponanleihen seien wie
folgt
t
Bt
1
2
3
4
5
0,952 0,898 0,863 0,807 0,757
• Betrachten Sie eine Anleihe mit Nennwert € 1.000, einer
Laufzeit von 5 Jahren und Kuponzahlungen von € 50 zu
den Zeitpunkten t=1,2,3,4,5.
• Was sollte der Preis der Anleihe sein?
• Preis = 50 0,952 + 50 0,898 + 50 0,863 + 50 0,807 +
(50+1000) 0,757 = 970,85
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Zinssätze und Renten 28
Agenda
Effektivzinsen
Spot-Zinsen
Forward-Zinsen
Bewertung
Kennziffern
Zusammenfassung
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 29
Kennziffern einer Anleihe
• Laufender „Yield“: Der jährliche Kupon geteilt
durch den aktuellen Preis der Anleihe.
• Der „Yield-to-Maturity“ (YTM) (Deutsch:
Verfallrendite) einer Anleihe ist der Term yT, für
den gilt
T
Kt
N

Preis  
t
T
(
1

y
)
(
1

y
)
t 1
T
T
• Kuponrate: Der jährliche Kupon geteilt durch den
Nennwert der Anleihe.
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Zinssätze und Renten 30
Illustration des YTM
Zins
Zinsstrukturkurve
YTM
Fristigkeit
Beachte:
• YTM ist für eine bestimmte Anleihe
• Eine andere Anleihe wird i.d.R. einen anderen YTM haben
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 31
Beispiel YTM (Problemstellung)
• Ein Unternehmen habe Anleihen mit Restlaufzeit
von 10 Jahren, Nennwert € 1.000, YTM 8% zu
aktuellem Preis von € 850.
• Die Anleihen zahlen jährlich mit erster Zahlung in
genau einem Jahr.
• Was ist die Kuponrate der Anleihen?
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 32
Beispiel YTM (Auflösung)
• Einsetzen in die Bewertungsformel für Anleihen:
Preis = K [1-1/(1+yT)t]/yT + N/(1+yT)t
€ 850 = K [1-1/(1+0,08)10]/0,08 + €1.000/(1,08)10
€ 850 = K 6,7101 + € 463,19
K = € 57,65
• Daher ist die Kuponrate
€ 57,65 / € 1.000= 0,05765 = 5,765%.
• Der laufende Yield ist €57,65 / € 850 = 6,7818%
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Zinssätze und Renten 33
Bezeichnungen
• Pari:
– Zu Pari: Preis eines Wertpapiers, der genau
dem Nennwert entspricht
– Unter Pari: Preis eines Wertpapiers, der unter
dem Nennwert liegt
– Über Pari: Preis eines Wertpapiers, der über
dem Nennwert liegt
• Kurs eines Wertpapiers: Preis als Bruchteil des
Nennwertes ausgedrückt
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Zinssätze und Renten 34
Beispiel einer Anleihe zu Pari
• Eine Postbank Anleihe A
– Habe einen Nennwert von € 1.000.
– Die jährlichen Kupons sind € 100.
– Laufzeit ist 20 Jahre.
– Der Marktzins für ähnliche Anleihen beträgt 10% p.a.
• Was ist der Preis der Anleihe?
– Barwert des Nennwertes
= € 1.000 [1/1,1020] = € 1.000 0,14864 = € 148,64
– Barwert der Kuponzahlungen
= € 100 [1 - (1/1,1020)]/0,10 = € 100 8,5136 = €851,36
• Wert der Anleihe = € 148,64 + € 851,36 = € 1.000
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Zinssätze und Renten 35
Beispiel einer Anleihe unter/über Pari
• Zwei weitere Postbank Anleihen B, bzw. C mit
Nennwert € 1.000 zahlen Kupons i.H.v. € 80, bzw.
€ 120.
• Barwerte:
– Anleihe B = € 829,73
– Anleihe C = € 1170,27
• Warum wird Anleihe B unter Pari und Anleihe C
über Pari gehandelt?
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Zinssätze und Renten 36
Anleihepreise und Zinsen
• Eine Anleihe, deren Kuponrate gleich dem YTM ist,
wird zu Pari bewertet.
• Begründung:
– Der Kupon K ist gleich der Kuponrate rKupon
multipliziert mit dem Nennwert N
N  rKupon 
1
1 
Preis 
YTM  1  YTM T

N
 
T



YTM
1

– Wenn die Kuponrate rKupon = YTM, dann
vereinfacht sich diese Gleichung zu:

1
Preis  N 1 
T


1

YTM


N
 
N
T
 1  YTM 
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Zinssätze und Renten 37
Inkonsistenzen in YTM I
(Beispiel zur Diskontierung YTM vs. Kassazinsen)
• Kassazinsen rt für einen Zeithorizont t seien
t
1
2
3
rt
10%
12%
14%
• Eine 2-Jahres Anleihe mit einem 8% Kupon und
Nennwert € 100 hat den Preis € 93,4 und damit YTM von
11,9%.
• Eine 3-Jahres Anleihe mit einem 10% Kupon und
Nennwert € 100 hat den Preis € 91,3 und damit YTM von
13,7%.
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Zinssätze und Renten 38
Inkonsistenzen in YTM II
(Beispiel zur Diskontierung YTM vs. Kassazinsen)
• Preise durch Kassazinsen ausgedrückt:
Zahlungsflüsse zu gleichen Zeitpunkten werden
mit dem gleichen Zinssatz diskontiert.
Zahlungsflüsse zu verschiedenen Zeitpunkten
werden mit verschiedenen Zinssätzen diskontiert.
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Zinssätze und Renten 39
Inkonsistenzen in YTM III
(Beispiel zur Diskontierung YTM vs. Kassazinsen)
• Preise durch YTM ausgedrückt:
Zahlungsflüsse der gleichen Anleihe zu
verschiedenen Zeitpunkten werden mit dem
gleichen Zinssatz diskontiert.
Zahlungsflüsse von verschiedenen Anleihen zu
gleichen Zeitpunkten werden mit verschiedenen
Zinssätzen diskontiert.
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 40
Agenda
Effektivzinsen
Spot-Zinsen
Forward-Zinsen
Bewertung
Kennziffern
Zusammenfassung
SGH 2016 – Finanzen ©2016
Zinssätze und Renten 41
Zinssätze
• Zinssätze hängen vom Zeithorizont ab.
– Wichtig: Für Diskontierungen sollte immer (!) der
Zinssatz für die entsprechende Laufzeit genommen
werden.
• Spot-Zinsen können aus der heutigen Zinsstrukturkurve
abgelesen werden.
• Für Perioden, die in der Zukunft beginnen, werden
Forward-Zinssätze benutzt.
• Anleihepreise und Marktzinsen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen.
• Wenn Kupons größer/gleich/kleiner dem Marktzins sind,
dann ist der Marktpreis der Anleihe größer/gleich/kleiner
dem Nennwert.
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Zinssätze und Renten 42
Anleihebewertung
–
–
–
–
–
K = Kupon, der je Periode gezahlt wird
r = Kassa-Zinssatz je Periode
T = Anzahl der Perioden
N = Nennwert
B = Preis der Nullkuponanleihe
• Yield-to-Maturity (YTM) einer Anleihe ist der Term yT, für
den gilt
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