Relativistische Quantentheorie

Relativistische Quantentheorie
Vorlesung gehalten im SS 97
von
G.Roepstorff
Literatur
1. Bjorken, Drell: Relativistic Quantum Mechanics, 1964. Deutsche
U bersetzung als Taschenbuch bei B.I., 1966
2. Corinaldesi, Strocchi: Relativistic Wave Mechanics, 1963
3. Rose: Relativistic Electron Theory, 1961. Deutsche U bersetzung in
zwei Banden bei B.I., 1971
4. Roman Advanced Quantum Theory, 1965
5. Bethe, Jackiw: Intermediate Quantum Mechanics, 1968
6. Landau, Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band IV:
Relativistische Quantentheorie, 1980
7. Itzykson, Zuber: Quantum Field Theory, 1988 (Kapitel 2+3)
Inhaltsverzeichnis
1 Quantenmechanik: Ruckblick und Erganzungen
1.1
1.2
1.3
1.4
Grundbegriffe und Strukturen : : : : :
Elektromagnetische Felder : : : : : : :
Schrodinger-Bild und Heisenberg-Bild
Der Eigendrehimpuls des Elektrons : :
2 Relativistische Wellengleichungen
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Zerlegung nach ebenen Wellen : : : : : : : : : : : : :
Wigner-Rotationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Das relativistische H-Atom : : : : : : : : : : : : : :
Die Foldy-Wouthuysen-Transformation : : : : : : : :
3.4.1 Die FW-Transformation fur freie Teilchen : :
3.4.2 Die FW-Transformation im allgemeinen Fall :
3.5 Die Ladungskonjugation : : : : : : : : : : : : : : : :
3.6 Neutrinos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Die Klein-Gordon-Gleichung : : : : : : : : : : : :
Das Coulomb-Problem fur ein spinloses Teilchen
Die Dirac-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : :
Der nichtrelativistische Limes : : : : : : : : : : :
Gamma-Matrizen und Lorentz-Kovarianz : : : :
Die van-der-Waerden-Darstellung : : : : : : : : :
Einfache Konsequenzen der Kovarianz : : : : : :
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:
5
3 Elektronen und Positronen
3.1
3.2
3.3
3.4
4 Greensche Funktionen
Die Poisson-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : :
Die inhomogene Wellengleichung : : : : : : : : : :
Die Schrodinger-Gleichung : : : : : : : : : : : : : :
Der Feynman-Propagator : : : : : : : : : : : : : :
4.4.1 Der freie Propagator : : : : : : : : : : : : :
4.4.2 Der Streuoperator fur ein aueres Potential
4.4.3 Der Propagator fur ein aueres Potential :
4.5 Der differentielle Wirkungsquerschnitt : : : : : : :
4.6 Die Mott-Streuformel : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1
4.2
4.3
4.4
5 Die zweite Quantisierung
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5.1 Bose-Teilchen (Bosonen) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.1 Die kanonische Vertauschungsrelation (ein Freiheitsgrad) : : : :
5.1.2 Die kanonischen Vertauschungrelationen (viele Freiheitsgrade) :
5.1.3 Eine basisfreie Formulierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.4 Die Quantisierung des Skalarfeldes : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Fermi-Teilchen (Fermionen) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2.1 Die kanonische Antivertauschungsrelation (ein Freiheitsgrad) :
3
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13
13
18
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30
33
33
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43
43
45
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52
52
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58
58
61
63
65
67
71
71
71
73
74
76
80
80
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
Die kanonischen Antivertauschungsrelationen (viele Freiheitsgrade)
Der Dirac-See : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Eine basisfreie Beschreibung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Die Quantisierung des Dirac-Feldes : : : : : : : : : : : : : : : : :
4
81
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84
85
1 Quantenmechanik: Ruckblick und Erganzungen
1.1 Grundbegriffe und Strukturen
Die Quantenmechanik besteht aus zwei unterschiedlichen Teilen, dem mathematischen
Rahmen und der statistischen Interpretation. Der erste Teil dient der begrifflichen
Prazisierung und stellt den Ausgangspunkt fur konkrete Rechnungen dar. Der zweite
Teil schafft eine Beziehung zu den Experimenten. Wir werden die beiden Bereiche nicht
getrennt behandeln, aber die Grundbegriffe nennen.
Der Zustandsbegriff. Die erreichbaren Zustande eines physikalischen Systems
werden durch Wellenfunktionen beschrieben. Allgemein gesprochen handelt es sich
hierbei um Elemente (Vektoren) eines Hilbertraumes H. Der Hilbertraum ersetzt den
Phasenraum der klassischen Physik. Eindeutigkeit der Zuordnung wird erst erreicht,
wenn wir zu normierten Wellenfunktionen ubergehen und daruberhinaus zwei (normierte) Wellenfunktionen als aquivalent erklaren, wenn sie sich um eine konstante Phase
unterscheiden:
, 1 = ei 2
(1)
1 2
Man kann die erwunschte Eindeutigkeit auch dadurch erreichen, da man Zustande
durch Projektoren P beschreibt:
P = d.h. P = ( ; )
( 2 H)
(2)
k k2
k k2
Da der Wertebereich von P genau alle Vielfachen des Vektors enthalt, nennen wir
solche Projektoren eindimensional. Die Projektorenschreibweise ist jedoch ungeeignet
fur die Formulierung und Anwendung des Superpositionsprinzips. Sind namlich 1
und 2 zwei beliebige Wellenfunktionen des gleichen physikalischen Systems, so ist ihre
Superposition
= a 1 + b 2;
a; b 2 C
(3)
wieder eine realisierbare Wellenfunktion. Da die relative Phase der Koeffizienten a und
b hierbei entscheidend eingeht, spricht man auch von einer koharenten Superposition.
Die Beugung am Doppelspalt demonstriert diese Art der U berlagerung.
Daneben gibt es die Moglichkeit der inkoharenten Superposition, bei der die relative
Phase zweier Zustande keine Rolle spielt. Hierbei konstruiert man Dichtematrizen und
erweitert so den Zustandsbegriff. Seien etwa 1 und 2 zwei orthogonale Zustande und
(4)
D = pP + (1 ? p)P ; 0 < p < 1;
2
1
so beschreibt D, Dichtematrix genannt, einen Zustand, bei dem 1 mit der Wahrscheinlichkeit p und 2 mit der Wahrscheinlichkeit 1 ? p realisiert sind. Diese Art der
Addition entspricht der Vorschrift der klassischen statistischen Physik, und wir sprechen demgema von einer gemischten Gesamtheit oder einem statistischen Ensemble.
Wir unterscheiden also zwischen reinen Zustanden (Wellenfunktionen) und gemischten
Zustanden (Dichtematrizen). Letztere sind dadurch charakteriert, da sie eine Zerlegung der Art (4) gestatten. Der Sinn der Unterscheidung liegt darin begrundet, da
Zustande unsere Kenntnis von einem physikalischen System wiedergeben, und unsere
5
Kenntnis nur dann maximal ist, wenn der Zustand rein ist, hingegen unvollstandig,
wenn er sich als eine Mischung darstellt.
Observable Groen. Jeder Groe, die in einem Experiment gemessen werden
kann, entspricht ein (linearer) Operator A auf dem Hilbertraum H. Da die gemessenen
Werte { in geeigneten Einheiten { reelle Zahlen sind, ist zu fordern, da der Operator
A selbstadjungiert ist: A = A. Also nicht hr ist eine Observable sondern (h=i)r. Sie
stellt den Impuls dar. Es gibt Observable, die durch Differentialoperatoren dargestellt
sind (Impuls, kinetische Energie), aber auch solche, die durch Multiplikationsoperatoren
beschrieben werden (Ort, potentielle Energie). Die konkrete Gestalt jedoch hangt von
der Wahl der Darstellung von H ab. Neben der Ortsdarstellung benutzt man auch die
Impulsdarstellung. Zwischen beiden vermittelt die Fourier-Transformation.
Schrodinger-Gleichung. Die zeitliche Entwicklung eines Anfangszustandes 0 {
die Bahn t im Hilbertraum H { wird durch eine Differentialgleichung, die SchrodingerGleichung, beschrieben:
@ =H
ih @t
(5)
t
t
Hier hat H die Bedeutung der Gesamtenergie. Die konkrete Gestalt von H hangt von
dem jeweiligen Problem ab. Es gilt das Korrespondenzprinzip: Hat das klassische nTeilchenproblem die Hamilton-Funktion
n 1
X
Hklass = 2m p2 + V (x1; : : : ; xn );
(6)
=1
so ist ihm ein quantenmechanisches Modell mit dem Hamilton-Operator
2
n ?
X
h
(7)
H = 2m + V (x1; : : :; xn)
=1
(in der Ortsdarstellung) zugeordnet. Er entsteht formal durch die Ersetzung
p ! P = hi r;
wobei der Teilchenindex ist. Ein physikalisches System, dem man einen HamiltonOperator zuordnen kann, ist energetisch abgeschlossen ; denn seine Energie ist erhalten.
Ist daruberhinaus das Potential invariant gegenuber Translationen, d.h. gilt
V (x1 + a; : : :; xn + a) = V (x1 ; : : :; xn)
(8)
fur alle a 2 IR3, so ist der Gesamtimpuls erhalten, und das System ist abgeschlossen im
engeren Sinne .
Die Schrodinger-Gleichung gestattet, das System sowohl fur t > 0 (Zukunft) als
auch fur t < 0 (Vergangenheit) zu verfolgen. Invarianz gegen Zeitumkehr druckt sich
so aus: Ist t eine Losung der Schrodinger-Gleichung, so auch ? t. Allgemein gilt: Die
Symmetrien eines Modells der klassischen Mechanik haben ihre Entsprechung in der
Formulierung dieses Modells in der Quantenmechanik.
Erwartungswerte. Zum Hilbertraum gehort, da fur seine Elemente ein Skalarprodukt definiert ist. Seine Existenz ist notwendig, damit man den Erwartungswert einer
6
Observable definieren kann. Ist eine Wellenfunktion und A ein selbstadjungierter
Operator, so heit die reelle Groe
) = Spur (P A)
(9)
hAi = ((;;A
)
der Erwartungswert der Observable A im Zustand . Gilt hAi 0 fur alle Erwartungswerte, so heit A ein positiver Operator. Erwartungswerte lassen sich auch fur Zustande
einfuhren, die durch Dichtematrizen beschieben werden:
hAi = Spur (DA)
(10)
Damit diese Erweiterung des Begriffes "Erwartungswert\ sinnvoll ist, mu man nur
fordern: D = D > 0 und Spur D = 1. Anhand von Erwartungswerten kann man
erlautern, wie Dichtematrizen aus reinen Zustanden entstehen. Wir betrachten eine
koharente Superposition aus zwei orthonormierten Wellenfunktionen
= a1 + b2 ;
(i ; k ) = ik
(11)
Durch jaj2 + jbj2 = 1 erreichen wir, da bereits normiert ist. Wir setzen
jaj2 = p; jbj2 = 1 ? p; 0 < p < 1 ab = jajjbjei
Fur eine beliebige Observable A finden wir dann den Erwartungswert
(; A) = p(1 ; A1) + (1 ? p)(2; A2) + 2jajjbjRe (1 ; A2)ei
(12)
(13)
Nun mitteln wir uber die relative Phase der beiden Zustande und erhalten
1 Z 2 d (; A) = p( ; A ) + (1 ? p)( ; A ) = Spur (DA)
(14)
1
1
2
2
2 0
mit D = pP + (1 ? p)P , der inkoharenten Supersposition der beiden Zustande.
Da die Wellenfunktion komplexwertig und nicht eindeutig ist, kann sie nicht unmittelbar aus physikalischen Beobachtungen gewonnen werden. Sie ist also nur mittelbar
eine physikalische Groe. Wahlen wir etwa fur ein Elektron die Ortsdarstellung, so ist
sein Zustand { zu einen festen Zeitpunkt { durch eine Wellenfunktion (x) beschrieben,
und wir haben die Freiheit, die Normierungsbedingung
Z
d3x j (x)j2 = 1
1
2
zu fordern. Die statistische Interpretation sagt, da { Normierung vorausgesetzt { das
Quadrat
(x) = j (x)j2
(15)
die Wahrscheinlichkeitsdichte fur den Aufenthalt des Elektrons darstellt d.h. fur ein
Gebiet G IR3 ist
Z
WG = d3x j (x)j2
(16)
G
7
die Wahrscheinlichkeit fur den Aufenthalt in G. Dies darf nicht so gedeutet werden, als
ob die ganze Physik des Teilchens in (x) codiert ware. Die Verteilung der Mewerte
fur den Impuls P { kurz die Impulsverteilung { kann nicht durch die Ortsverteilung
(x) ausgedruckt werden.
Die Schrodinger-Gleichung
!
2
@
?
h
ih @t (x; t) = 2m + V (x) (x; t)
(17)
bestimmt eine zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion und damit aller Wahrscheinlichkeiten. Insbesondere wird die Ortverteilung t-abhangig: (x; t). Es ist interessant,
da diese durch ein Kontinuitatsgleichung { ahnlich der der Maxwellschen Theorie {
eingeschrankt ist:
@ (x; t) + r j (x; t) = 0
(18)
@t
wobei
h ( (r ) ? (r ) )
(19)
= j j2; j = 2mi
gesetzt wurde. Aus der Definition der Stromdichte folgt eine bemerkenswerte Aussage:
Ist { nach Wahl einer geeigneten Phase { eine reelle Wellenfunktion, so gilt (r ) =
(r ) , d.h. j = 0. Dies ist in der Regel der Fall fur die Grundzustande der Atome,
insbesondere fur den Grundzustand des H-Atoms. Solche Zustande sind also nicht nur
stationar in dem Sinne, da @=@t = 0 und somit r j = 0, sondern auch in dem Sinne,
da j uberhaupt verschwindet. Fur ein einzelnes Elektron (Ladung e), konnen wir
ej als den elektromagnetischen Strom ansehen, der durch die Bewegung des Elektrons
hervorgerufen wird. Auch dieser Strom verschwindet im Grundzustand des H-Atoms.
1.2 Elektromagnetische Felder
Elektromagnetische Felder beeinflussen die Bewegung von Ladungstragern. Umgekehrt
erzeugen Ladungstrager ein elektromagnetisches Feld. Wird der zweite Effekt, also
die Ruckwirkung der Ladung auf das Feld, vernachlassigt, so sprechen wir von einem
aueren Feld.
Befindet sich das Elektron (Masse m, Ladung e) in einem aueren Feld { beschrieben
durch ein skalares Potential (x; t) und ein Vektorpotential A(x; t), so gilt aufgrund
des Korrespondenzprinzips fur den Energie-Operator1 :
!2
1
h
e
H (t) = 2m i r ? c A(x; t) + e(x; t)
(20)
Er ist im allgemeinen zeitabhangig und kann nicht unmittelbar durch die Feldstarken
selbst ausgedruckt werden. Diese sind bekanntlich
E = ?r ? 1c @t@ A; B = r A
(21)
1
Wir benutzen das Gausche Masystem.
8
Es ist vorteilhaft, schon hier von einer relativistischen Schreibweise Gebrauch zu machen. Wir betrachten zu diesem Zweck einen Vierervektor IP ( = 0; 1; 2; 3) mit den
Komponenten
@ ? e; IPk = h @ ? e Ak ; (k = 1; 2; 3)
(22)
cIP0 = ih @t
i @xk c
einfuhren mit x = fx1; x2; x3g und A = fA1; A2; A3g. Die Schrodinger-Gleichung nimmt
dann die Form an:
3
X
cIP0 = 21m (IPk )2 :
(23)
k=1
Wir gehen noch einen Schritt weiter und betrachten Ableitungsoperatoren
@ = @x@ ; @ = @x@
mit x = fct; xg und x = fct; ?xg, soda x0 = x0 = ct. Aus der Maxwellschen Theorie
ubernehmen wir das Konzept des Viererpotentials und des Feldstarkentensors:
A = f; Ag; F = @ A ? @ A
(24)
Aus den Definitionen folgt die Beziehung
(25)
IP = ih@ ? ec A
und daraus die Kommutatorrelation
[IP ; IP ] = i hce F (26)
Damit die Kontinuitatsgleichung (18) weiterhin Gultigkeit hat, mu die Stromdichte j
geeignet definiert werden:
j k = 21m (IPk ) + (IPk )
(k = 1; 2; 3):
(27)
Scheinbar sind in den drei Gleichungen (23), (26) und (27) die Potentiale zu Gunsten
der Feldstarken eliminiert worden. Da die Wellenfunktion dennoch von von den Potentialen abhangt, zeigen die Eichtransformationen. Die Maxwell-Theorie definiert eine
Umeichung als eine Ersetzung der Art
A ! A + @ In der Quantenmechanik eines Elektrons wird sie begleitet durch die Transformation
! expf?i ehc g . Nur so kann die Form der Schrodinger-Gleichung gewahrt werden.
Da die (reelle) Eichfunktion i.allg. von x und t abhangt, sind die alte und die neue
Wellenfunktion nicht aquivalent. Ein Elektron, das ein Raumgebiet passiert, in dem
zwar F = 0 jedoch A 6= 0 gilt, spurt die Anwesenheit des Potential dadurch, da
es eine Transformation seiner Phase erfahrt. Zwar kann durch eine Eichtransformation
erreicht werden, da A = 0 lokal gilt, i.allg. jedoch nicht global . Der Effekt ist durch
ein Interferenz-Experiment nachweisbar (Aharonov-Bohm-Effekt).
9
1.3 Schrodinger-Bild und Heisenberg-Bild
Wir wollen zur Vereinfachung annehmen, da der Hamilton-Operator nicht explizit von
der Zeit abhangig ist. Die Losung der Schrodinger-Gleichung schreibt man dann formal
als
Ut = e?i(t=h )H (t 2 IR):
(28)
t = Ut ;
Die zeitliche Evolution respektiert Superpositionen:
(a; b 2 C)
(a + b)t = a t + bt
(29)
Somit ist Ut eine linearer Operator. Er ist zudem invertierbar: Ut?1 = U?t. Wegen der
Erhaltung des Skalarproduktes
( t ; t) = ( ; )
(30)
ist Ut daruberhinaus unitar: Ut?1 = Ut. Schlielich gilt
Ut Ut0 = Ut+t0 ;
U0 = 1l
(31)
und wir sprechen deshalb von einer unitaren Gruppe von Transformationen. Genauer,
die Abbildung t 7! Ut ist eine unitare Darstellung der additiven Gruppe IR (=Gruppe
der Zeittranslationen).
Von physikalischem Interesse ist eigentlich nur die zeitliche Entwicklung aller Erwartungswerte. Diese Entwicklung kann aber auf zweierlei Weise beschrieben werden, was
durch eine einfache Identitat ermoglicht wird:
(Ut ; AUt ) = ( ; UtAUt ):
Fuhren wir fur jede Observable A ihre zeitliche Entwicklung durch
At = UtAUt = ei(t=h )H Ae?i(t=h )H
ein, so lautet unsere Identitat einfach ( t; A t) = ( ; At ). Die beiden Seiten der
Gleichung entsprechen dem Schrodinger-Bild bzw. dem Heisenberg-Bild.
Schrodinger-Bild: Zustande sind zeitabhangig und werden durch die SchrodingerGleichung ih _ = H beschrieben. Observable dagegen sind zeitunabhangig. Ein
Zustand heit stationar, wenn alle Erwartungswerte zeitlich konstant sind, d.h.
wenn nach Wahl einer geeigneten t-abhangigen Phase _ = 0 gilt.
Heisenberg-Bild: Observable sind zeitabhangig und werden durch die HeisenbergGleichung ihA_ = [A; H ] beschrieben. Zustande dagegen sind zeitunabhangig.
Eine Observable A heit Erhaltungsgroe, wenn alle Erwartungswerte zeitlich konstant sind, d.h. wenn A_ = 0 gilt.
10
1.4 Der Eigendrehimpuls des Elektrons
Die Aufspaltung des Atomstrahls im Stern-Gerlach-Experiment in zwei Teilstrahlen
zeigt, da Elektronen { auch wenn ihr Bahndrehimpuls gleich Null ist { noch einen
Eigendrehimpuls, Spin genannt, besitzen, und zwar mit zwei moglichen Einstellungen
(unabhangigen Polarisationen). Das mathematische Modell eines Teilchens mit dem
Spin s = 1=2 { unter Vernachlassigung aller weiteren Freiheitsgrade { geht deshalb von
einem zweidimensionalen Hilbertraum aus. Ein solcher Zustandsraum kann stets mit
dem Raum C2 identifiziert werden. Seine Elemente { Spinoren genannt { sind Paare
von komplexen Zahlen:
!
!
!
a
1
0
u = b = a 0 + b 1 ; kuk2 = jaj2 + jbj2
(32)
!
!
1
0
Die beiden Basisvektoren 0 und 1 stehen fur die Zustande "Spin nach oben\
(in z-Richtung) bzw. "Spin nach unten\ (entgegen der z-Richtung). Nach Normierung
(jaj2 + jbj2 = 1), interpretieren wir die Zahlen p = jaj2 und 1 ? p = jbj2 als Wahrscheinlichkeiten. Durch (32) wird eine koharente Superposition der beiden Spinpolarisationen
beschrieben, wobei die relative Phase von a und b wichtig wird. Eine inkoharente
U berlagerung mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten wird durch die Dichtematrix
!
!
!
p
0
1
0
0
0
D = 0 1 ? p = p 0 0 + (1 ? p) 0 1
(33)
beschrieben. Fur p = 1=2 geht D in den vollig unpolarisierten Zustand uber:
!
1
1
0
D=2 0 1
Der Erwartungswert des Spins s = (h=2) ist
hsi = h2 u u bzw. hsi = h2 Spur (D)
mit = f1; 2; 3g den Pauli-Matrizen:
!
!
!
0
1
0
?
i
1
0
1 = 1 0
2 = i 0
3 = 0 ?1
(34)
(35)
(36)
Die Energie, die der Spin s in einem homogenen Magnetfeld B besitzt, ist durch sein
magnetisches Moment verursacht:
e B s = ? eh B = ? B H = ? mc
(37)
B
2mc
Man bezeichnet B = eh=(2mc) als das Bohrsche Magneton. Wir konnen die hermitesche Matrix H als Hamilton-Operator des Spinsystems auffassen. Die zeitliche Entwicklung eines Spinors u (klassisch: Prazession des Eigendrehimpulses um die Richtung des
11
Magnetfeldes mit der Winkelgeschwindigkeit ! = eB =(mc)) lat sich explizit angeben.
Man scheibt wie gewohnt
ut = Utu; Ut = e?i(t=h )H = ei(t=2)!
(38)
und errechnet
Ut = cos(!t=2) + in sin(!t=2)
(39)
wobei wir die Winkelgeschwindigkeit nach Betrag und Richtung zerlegt haben: ! = !n.
Zeigt das Magnetfeld in die 3-Richtung, so gilt n = f0; 0; 1g und somit
!
i!t=2
e
0
(40)
Ut = 0 e?i!t=2
Die zeitliche Evolution eines Polarisationszustandes, der durch eine Dichtematrix D
beschrieben wird, ist durch
Dt = UtDUt
(41)
gegeben. Nur der unpolarisierte Zustand (34) hat die Eigenschaft, da er durch kein
Magnetfeld beeinflut werden kann.
Interessant ist, da Ut in jedem Fall eine unitare 2 2-Matrix mit Determinante 1
darstellt und da wir alle solche Matrizen auf diese Weise erhalten konnen. Sie bilden
eine Gruppe, die man mit SU(2) bezeichnet (fur "spezielle unitare Gruppe in 2 Dimensionen\). Mehr noch: Zu jedem Element U 2SU(2) existiert eine Drehung R(U ) 2SO(3)
des IR3, definiert durch die Wirkung auf die Pauli-Matrizen:
3
X
U iU = R(U )ik k
(42)
k=1
Es gilt R(U1U2) = R(U1)R(U2). Die Beziehung zwischen U und R ist 2:1. Denn sowohl
U also auch ?U fuhren zur gleichen Drehung R. Die Matrix Ut , wie oben konstruiert,
entspricht einer Drehung R(Ut) mit der Drehachse n und dem Drehwinkel !t.
Bei Einbeziehung der translatorischen Freiheitsgrade eines Elektrons ist es notwendig, zur Pauli-Gleichung ih@ t=@t = H t uberzugehen. Sie benutzt zur Beschreibung
eines Zustandes zweikomponentige Wellenfunktionen:
!
!
!
1
0
1 (x)
(x) =
= 1(x) 0 + 2(x) 1
(43)
2 (x)
Aus dem Normquadrat k k2 = k 1k2 + k 2k2 ergibt sich zwangslaufig das Skalarprodukt und damit die Struktur eines Hilbertraumes. Die Polarisation des Elektrons wird
also ortsabhangig beschrieben. Fur das Elektron des Wasserstoffatoms, das sich in einem Magnetfeld befindet, ist der Hamilton-Operator eine 2 2-Matrix, deren Elemente
Operatoren sind:
h2 ? e2 ? e B (L + 2s)
H = ?2m
(44)
jxj 2mc
Hier bezeichnet L = fL1; L2; L3g den Bahndrehimpuls. Nur die Anwesenheit des Spins s
sorgt dafur, da in der Pauli-Gleichung die beiden Komponenten 1 und 2 miteinander
gekoppelt werden. Die Pauli-Gleichung fuhrt zu einer Erklarung des Zeeman-Effektes
(Aufspaltung der Spektrallinien im aueren Magnetfeld).
12
2 Relativistische Wellengleichungen
2.1 Die Klein-Gordon-Gleichung
Aufgrund der speziellen Relativitatstheorie transformieren sich Energie und Impuls eines
Teilchens wie Komponenten eines Vierervektors:
p = fp0; p1; p2; p3g = fE=c; pg (E > 0)
(45)
Die Theorie gestattet die Konstruktion einer invarianten Groe, die wir mit der Masse
m des Teilchens in Verbindung bringen:
p2 := (p0)2 ? (p1)2 ? (p2 )2 ? (p3)2 = m2 c2
(46)
Unter `Masse' verstehen wir grundsatzlich die `Ruhmasse' des Teilchens. Indem wir die
deBroglie-Beziehungen
E = h!; p = hk
(47)
beibehalten, konnen wir die ebene Welle mit der Frequenz ! und dem Wellenvektor k
auch durch die Teilchengroen ausdrucken:
i i
(48)
(x) = expfi(kx ? !t)g = exp h (px ? Et) = exp ? h px
mit
px = p x = p x = Et ? px
Die Welle (48) erfullt die Differentialgleichung
( + (mc=h)2) = 0
(49)
(Klein-Gordon-Gleichung). Hier bezeichnet
@2 ? = @ @ = c12 @t
2
den d'Alembert-Operator (auch Wellen-Operator genannt). Beachte: In (49) geht die
Compton-Wellenlange
h
= mc
(h = 2h)
(50)
des Teilchens ein. Fur m = 0 geht die Klein-Gordon-Gleichung in die Wellengleichung
uber, die der Theorie elektromagnetischer Wellen zugrunde liegt.
Mit der Gleichung (49) sind drei Schwierigkeiten verknupft:
o
ni
(
px
?
ET
)
, existieren auch Losun1. Neben den Losungen positiver
Energie,
exp
ni
o h
gen negativer Energie, exp h (px + ET ) .
2. Die KG-Gleichung enthalt die Zeitableitung in zweiter Ordnung. Zur Bestimmung
der zeitlichen Entwicklung benotigt man neben der Wellenfunktion bei t = 0
noch deren erste zeitliche Ableitung _ bei t = 0.
13
3. Zwar ist die Kontinuitatsgleichung @ j = 0 fur den Strom
j = ihc2 (@ ? @ )
(51)
trivialerweise erfullt, jedoch kann
= 1c j 0 = ih(_ ? _ )
(52)
nicht als Dichte fur den Aufenthalt des Teilchens gedeutet werden, weil dieser
Ausdruck nicht positiv definit ist.
Dem ersten Einwand begegnen wir durch eine Uminterpretation der ebenen Wellen
negativer Energie. Wir sagen: Eine Welle mit dem Viererimpuls f?E=c; pg entspricht
einem Antiteilchen mit dem Viererimpuls fE=c; ?pg. Das Antiteilchen hat damit {
wie das Teilchen { nur positive Energien, und sein Viererimpuls transformiert sich wie
gewohnt unter Lorentz-Transformationen.
Es lat sich nun zeigen, da jede Losung der KG-Gleichung eine Zerlegung nach positiven und negativen Frequenzen und damit nach Teilchen- und Antiteilchenamplituden
besitzt. Wir gehen dabei so vor, da wir in einem ersten Schritt eine Fourier-Zerlegung
nur bezuglich der Abhangigkeit von x vornehmen:
Z
1
(53)
(x) = (2h)3=2 d3 p a(p; t)e(i=h)p x
Aus der KG-Gleichung folgt
!
1 d2 + 1 p2 + m2 c2 a(p; t) = 0
(54)
c2 dt2 h2
h2
also
!
d2 + E 2 a(p; t) = 0; E = cqm2 c2 + p2
(55)
dt2 h2
mit der Losung
1
?
(i=h
)Et
(i=h
)Et
(56)
+ v(?p)e
a(p; t) = 2E u(p)e
wobei der Vorfaktor 1=(2E ) aus Grunden gewahlt wurde, die gleich deutlich werden.
Die Losung (x) der KG-Gleichung ist somit die Summe von zwei Integralen:
(x) = (+)(x) + (?)(x)
(57)
Z
3
(58)
(+)(x) = (2h1 )3=2 d2Ep u(p)e(i=h )(p x?Et)
Z 3
(?)(x) = (2h1 )3=2 d2Ep v(?p)e(i=h )(p x+Et)
(59)
Substituieren wir im zweiten Integral p ! ?p, so gewinnen wir die Darstellung
Z d3 p 1
(60)
(x) = (2h)3=2 2E u(p)e?(i=h )px + v(p)e(i=h )px
14
Soll die Losung ein Teilchen beschreiben, so setzen wir v(p) = 0. Soll sie ein Antiteilchen
beschreiben, so setzen wir u(p) = 0. Es bleibt die Schwierigkeit zu erlautern, was
eine koharente Superposition aus Teilchen und Antiteilchen bedeuten soll. Eine solche
Konstruktion scheint { nach allem was wir wissen { physikalisch unsinnig zu sein.
Dem zweiten Einwand begegnen wir dadurch, da wir neben (x) auch
ih @ (x)
0(x) = mc
(61)
2 @t
als unabhangige Funktion einfuhren. Mit
!
!
2
0
mc
= ;
H = mc2 ? h2m?1 0
(62)
0
folgt dann eine Gleichung, die formal die Struktur der Schrodinger-Gleichung besitzt:
@ =H
(63)
ih @t
Sie ist der KG-Gleichung aquivalent. Die Dichte nimmt darin die Form
= mc2 (0 + 0 )
(64)
R
an. Wir mochten nun das Integral d3x (x; t), das t-unabhangig ist, durch die Fourieramplituden ausdrucken. Dazu beachten wir:
Z 3 (65)
(t = 0) = (21h)3=2 d2Ep u(p) + v(?p) e(i=h )px
Z 3 0(t = 0) = (21h)3=2 2dmcp2 u(p) ? v(?p) e(i=h )px
(66)
Das Integral uber x lat sich ausfuhren vermoge der Regel
Z
d3x e(i=h )(p0 ?p)x = (2h)33(p0 ? p)
(67)
(gultig im Sinne der Distributionen). Beachtet man dann noch
u(p) + v(?p) u(p) ? v(?p) + u(p) ? v(?p) u(p) + v(?p)
= 2 ju(p)j2 ? jv(?p)j2
so lautet das Ergebnis:
Z
Z d3p 3
(68)
d x (x) = 2E ju(p)j2 ? jv(p)j2
Nach Integration uber x verschwinden also die Interferenzterme zwischen u(p) und
v(p). Das Ergebnis zeigt, da es sinnvoll ist, die folgenden Normierungsbedingungen
einzufuhren:
Z d3p
Z
2
3
Teilchen:
j
u
(
p
)
j
=
1
;
v
(
p
)
=
0
)
e
d
x (x) = e
2
E
Z
Z d3p
2
j
v
(
p
)
j
=
1
;
u
(
p
)
=
0
)
e
d3 x (x) = ?e
Antiteilchen:
2E
15
Wir erhalten in beiden Fallen einen Hilbertraum von Zustanden fur Spin-0-Teilchen mit
der Ladung e bzw. ?e.
Die Umformulierung (63) der KG-Theorie verbirgt ihre Lorentz-Invarianz. Eine andere mehr befriedigende Formulierung geht davon aus, da man das Lorentz-kovariante
Vektorfeld
ih @ (x)
(x) = mc
(69)
als eine fundamentale Wellenfunktion einfuhrt und die KG-Gleichung durch ein Paar
von Gleichungen ersetzt:
ih@ (x) = mc (x)
ih@ (x) = mc(x)
(70)
(71)
Die Lorentz-Invarianz ist nun offensichtlich, und alle Ableitungen treten nur noch in
erster Ordnung auf.
Dem dritten Einwand begegnen wir dadurch, da wir die Existenz eines Ortsoperators aufgeben und damit den Begriff der Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Die KGGleichung beschreibt spinlose Teilchen (auch skalare Teilchen genannt). Werden sie in
einem Experiment erzeugt, so geschieht ihr Nachweis durch Detektoren, die den Impuls
feststellen (z.B. durch die Festellung von Energie und Flugrichtung). Andere physikalische Groen existieren nicht. Die Kenntnis des Zustandes ist maximal, wenn wir die
Wellenfunktion u(p) bzw. v(p) kennen.
Der Ort x und die Zeit t treten erst in Erscheinung, wenn das Teilchen wechselwirkt,
etwa mit dem Photon-Feld vermoge seiner Ladung e. Der elektromagnetischen Strom
ej (x) ist dann die entscheidende Groe, in die Ort und Zeit als Variable eingehen.
Beide geben an, wann und wo ein Photon emittiert oder absorbiert wurde. In der Feldtheorie wird die Vorstellung von Operatoren, die Ort und Zeit messen, vollig aufgegeben
zugunsten einer Beschreibung, wobei x nurmehr eine Ereignisvariable darstellt, von der
die Feldgroen abhangen.
Fur die Klein-Gordon-Theorie heit dies konkret: Nur wenn wir (x) nicht als die
Dichte fur den Aufenthalt interpretieren, vermeiden wir Paradoxien. An ihre Stelle tritt
die Ladungsdichte e(x), von der wir nicht erwarten, da sie positiv definit ist.
Wir wollen uns nun naher mit der Losung (60) auseinandersetzen. Die Behauptung
ist, da d3p=(2E ) fur das Massenhyperboloid
Hm = fp 2 IR4 j p2 = m2 c2; p0 mcg
(72)
ein Lorentz-invariantes Integrationsma darstellt. Grund hierfur ist die Formel
1 Z d4p(p )(p2 ? m2c2 )f (p) = Z d3p f (E=c; p)
(73)
0
c2
2E
gultig fur alle integrierbaren Funktionen f (p) = f (p0; p). Hier bezeichnet () die Diracsche Deltafunktion, und
1 falls p > 0
0
(p0) =
(74)
0 sonst
16
Die Formel (73) ist eine einfache Folge der Zerlegung
(p2 ? m2 c2 ) = (p20 ? E 2=c2)
2 c
= 2E (p0 ? E=c) + (p0 + E=c)
(75)
und der daraus resultierenden Formel
2
(p0 )(p2 ? m2 c2) = 2cE (p0 ? E=c)
(76)
Die Formel (75) wiederum beruht auf einer sehr allgemeinen Regel: Ist die reellwertige
und differenzierbare Funktion u(x) von einer reellen Variablen x so beschaffen, da sie
nur einfache Nullstellen x besitzt, so gilt
X
(u(x)) = ju0(1x )j (x ? x)
(77)
x
wobei die Summe sich uber alle Nullstellen erstreckt. Man weist dies nach, indem man
sich zunachst klar macht, da alle Beitrage nur von den Umgebungen der Nullstellen
herkommen und da in der Nahe einer Nullstelle x die Funktion approximiert werden
kann:
u(x) u0(x)(x ? x)
(78)
Sodann mu man nur (ax) = jaj?1(x) beachten, um zu dem Ergebnis (77) zu gelangen.
Nun ist offensichtlich, da (75) aus (77) folgt, wenn man u(p0) = p2 ? m2 c2 = p20 ? (E=c)2
setzt.
Die Ankopplung an ein aueres elektromagnetisches Feld geschieht wieder vermoge
des Prinzips der minimalen Ersetzung:
(79)
ih@ ! IP = ih@ ? ec A
Auf diese Weise erhalten wir aus der KG-Gleichung eine neue Gleichung der Form
(IP IP ? m2 c2)(x) = 0
(80)
die nun die Wechselwirkung eines spinlosen Teilchens der Masse m mit dem Viererpotential A(x) beschreibt. Bevorzugen wir eine Darstellung, in der nur erste Ableitungen
auftreten, so konnen wir auch schreiben:
IP(x) = mc
(81)
IP (x) = mc(x)
(82)
Der elektromagnetische Strom bekommt die Form
(83)
ej = ec2 (IP) + (IP )
3
= emc ( + )
(84)
wobei die Darstellung durch und vorzuziehen ist, weil sie das explizite Auftreten
des Viererpotentials vermeidet.
17
2.2 Das Coulomb-Problem fur ein spinloses Teilchen
Es ist offensichtlich, wie aus den vorigen Formeln das relativistische Coulomb-Problem
entsteht. Fur ein spinloses Teilchen der Ladung ?e im Coulomb-Feld eines (unendlich schwer angenommenen) Kerns der Ladung Ze am Ort r = jxj = 0 gilt A =
f?Ze2 =r; 0; 0; 0g. Dies entspricht der Ersetzung
@ ! ih @ + Ze2
ih @t
(85)
@t r
oder { gleichbedeutend { der Ersetzung
2
(86)
H ! H ? Zer
in (63), oder auch der modifizierten KG-Gleichung
0
1
!
2 2
2 2
1
m
c
iZe
@
@2
A
(87)
c @t ? hr ? + h2 (x) = 0:
Wir suchen stationare Losungen der Form
(x; t) = f (x)e?(i=h )Et (E > 0)
(88)
und gelangen so zu der t-unabhangigen Gleichung
2 4
2
2
(89)
(? + v(r))f (x) = 0;
v(r) = m c ? (E2 +2 Ze =r)
h c
die einer Schrodinger-Gleichung ahnelt mit einem Potential, das sowohl einen 1=r-Anteil
wie auch einen 1=r2-Anteil besitzt (beide anziehend). Gehen wir deshalb genau so vor
wie gewohnt und setzen
f (x) = u`(r)Y`m(n); x = rn
(90)
mit den Kugelfunktionen Y`m(n), so folgt:
#
"
2
2
1
`
(
`
+
1)
?
(
Z
)
2
EZ
d
2
(91)
? r dr2 r +
? hcr + k u`(r) = 0
r2
wobei wir gesetzt haben (gultig im Gauschen Masystem):
2 4
2
2
(92)
= hec = 137;1036:: k2 = m c 2?2 E
h c
in der Erwartung, da E < mc2 fur gebundene Zustande gilt. Man nennt auch die
Feinstrukturkonstante wegen ihrer besonderen Rolle bei der Beschreibung der Feinstruktur der Spektrallinien.
Schlielich konnen wir durch eine geignete Skalierung erreichen, da alle Groen
dimensionslos werden. Hierzu setzen wir
L(L + 1) = `(` + 1) ? (Z)2
(93)
s = 2kr; = EZ
hck ;
18
und betrachten die Radialwellenfunktion u` als eine Funktion von s. Dies ergibt:
" 2
#
1 d s + ? 1 ? L(L + 1) u (s) = 0
(94)
`
s ds2 s 4
s2
Mit dieser Schreibweise wurde erreicht, da das Problem formal genau so aussieht, wie
die Radialwellengleichung bei dem nichtrelativistischen H-Atom. Mit einer einzigen
Abweichung: L ist nicht mehr ganzzahlig! Dies beeintrachtigt jedoch nicht die Analyse,
die wir ubernehmen. Konkret: Exponentiell gedampfte Losungen erhalten wir genau
dann, wenn
= L + 1 + n; n = 0; 1; 2; 3; : : :
(95)
gilt; n ist die Radialquantenzahl, (nun nicht mehr ganzzahlig) entspricht der Hauptquantenzahl. Wir wollen dennoch, wie allgemein ublich, weiterhin n + ` +1 die "Hauptquantenzahl\ nennen.
Die Losungen werden durch zugeordnete Laguerre-Polynome beschrieben:
u`(s) = sLe?s=2 L(2n L+1)(s)
(96)
Hier gilt nun nicht mehr, wie in der Quantenmechanik, da der obere Index des LaguerrePolynoms, 2L + 1, ganzzahlig ist. Dies ist auch gar nicht notwendig. Die Definition
der Laguerre-Polynome L(n)(z) ist allgemein genug, um den Fall = 2L + 1 > 0
einzuschlieen:
! m
n
X
z
n
+
m
()
(97)
Ln (z) = (?1) n ? m m
!
m=0
Die Bedingungsgleichungen fur den Eigenwert E , abhangig von ` und n, lauten nun:
p EZ
= L+1+n
(98)
m2 c4 ? E 2
L(L + 1) = `(` + 1) ? (Z)2; (L > 0)
(99)
Es folgt (wir wahlen die positive Wurzel)
q
L + 21 = (` + 21 )2 ? (Z)2
und somit
2 0
E = mc2 641 + @
q Z 1 2
n + + (` + 2 ) ? (Z)2
1
2
(100)
12 3?1=2
A 75
(101)
Man erkennt drei Eigenschaften:
1. Die zufallige Entartung, die fur die nichtrelativistische Behandlung charakteristisch ist (n und ` mit gleicher Summe fuhren zur gleichen Energie), ist hier aufgehoben. Eine solche Aufhebung fuhrt zur sogenannten Feinstruktur der EnergieNiveaus.
19
2. Fur Z 1 geht (101) in die Formel
(Zc)2
E = mc2 ? 2(m
n + ` + 1)2
uber. Die Differenz E ? mc2 entspricht der Energie des Bindungszustandes, wie
man sie in der Quantenmechanik angibt.
3. Fur Z > 21 und ` = 0 erhalten wir keine vernunftige Losung: E ist dann komplex!
Dies heit, da spatestens fur Kernladungszahlen Z > 137=2 die Anwendbarkeit
der relativistischen Quantentheorie aufhort.
Die aus dieser Analyse resultierende Feinstruktur der Eigenwerte stimmt nicht vollig
uberein mit der Feinstruktur, gewonnen auf der Basis der Dirac-Gleichung. Dies soll
spater deutlich gemacht werden. Es zeigt uns, da der Spin des Elektrons selbst dort
eingeht, wo man es nicht erwartet: Bei der Ankopplung an ein skalares Potential.
2.3 Die Dirac-Gleichung
Aufgrund formaler Argumente fand Dirac 1928 eine Gleichung, die besser als die KleinGordon-Gleichung geeignet war, ein Elektron zu beschreiben. Er ging dabei von dem
Schrodinger-Ansatz aus,
@ =H ;
ih @t
(102)
wahlte aber fur den Energie-Operator H einen Ansatz, der linear in den raumlichen
Ableitungen war:
H = ?ihc r + mc2
(103)
Ausfuhrlich:
(104)
r = 1 @x@ 1 + 2 @x@ 2 + 3 @x@ 3
Dirac war sich bewut, da die Koeffizienten i nicht einfach "Zahlen\ sein konnten.
Sonst ware ja ein Vektor, der eine ausgezeichnete Richtung im Raum festlegen wurde.
Also nahm er an, da die Groen i und in Wirklichkeit n n-Matrizen sind. Gleichzeitig mute er annehmen, da die Wellenfunktion n Komponenten besitzt, die er
zweckmaig in einer Spalte anordnete (als eine n 1-Matrix):
2 3
66 12 77
= 66 .. 77
4. 5
n
Damit wird (102) zu einem System von n gekoppelten Gleichungen. Wellenfunktionen
mit mehreren Komponenten dieser Art, wollen wir Spinoren nennen.
Wenn diese Gleichungen ein freies Teilchen der Masse m beschreiben sollen, so ist die
Mindestforderung, da aus ihnen die richtige Energie-Impuls- Beziehung, also die KleinGordon-Gleichung fur alle Komponenten von folgen mu. Das fuhrt zur Bedingung
H 2 = ?h2c2 + m2 c4
(105)
20
Nun ist
H 2 = ?h2 c2
3
X
j;k=1
j k @x@ j @x@ k
3
X
?ihmc3 (j + j ) @x@ j
+ m c
2
j =1
2 4
Hier konnen wir die Ersetzung
j k ! 12 (j k + k j )
vornehmen und erhalten durch einen Vergleich mit (105) die algebraischen Bedingungen
j k + k j = 2jk 1l; j + j = 0; 2 = 1l
(106)
Dirac nahm ferner an, da die Spinoren , zu festen Zeiten t, Elemente eines Hilbertraumes sind mit dem Skalarprodukt
Z
0
( ; ) = d3x (x; t) 0(x; t)
(107)
als eine Zeile interpretiert wird (als eine 1 n-Matrix):
= [ ; ; : : :; ]
1
2
n
Damit die Energie H bezuglich dieses so gewahlten Skalarproduktes reelle Erwartungswerte bekommt, mussen die Matrizen i und hermitesch sein.
wobei der konjugierte Spinor
Behauptung 1 Die Dimension n der Dirac-Matrizen mu gerade sein.
Zum Beweis nutzen wir, da offenbar 2i = 2 = 1l gilt. Die Eigenwerte aller DiracMatrizen sind also 1. Sodann folgt aus (106)
i = ? ?1 i also Spur i = ?Spur i und somit Spur i = 0. Ebenso
= ??i 1 i
und somit Spur = 0. Da die Spur die Summe aller Eigenwerte ist, mu die Anzahl
der positiven Eigenwerte (+1) und die der negativen Eigenwerte (-1) gleich sein. Also
ist die Dimension gerade.
Behauptung 2 Die kleinste Dimension, in der Dirac-Matrizen existieren ist n = 4.
Wir haben nur zu zeigen, da n = 2 ausgeschlossen ist. Nehmen wir also an,
da n = 2 sei. Dann konnen wir die i mit den Pauli-Matrizen identifizieren, da
sie die gleichen Relationen erfullen. Sei M eine beliebige 2 2-Matrix. Dann existieren
komplexe Zahlen c0 ; : : :; c3, so da
M = c01l + c1 23 + c2 31 + c3 12
21
Aus i = ?i folgt [; M ] = 0. Da dies fur alle Matrizen M gilt und die Algebra
dieser Matrizen irreduzibel ist, kann nur ein Vielfaches der Einheit 1l sein. Da die
Spur von verschwindet, gilt = 0, was 2 = 1l widerspricht.
Wir wenden uns dem interessanten Fall n = 4 zu und finden hier Dirac-Matrizen
der Form
!
!
0
1l
0
i
i = 0
= 0 ?1l
(108)
i
Wir haben hier eine Blockform gewahlt: Jede Eintragung entspricht einer 2 2-Matrix.
Die i sind die Pauli-Matrizen. Man kann zeigen, da jede andere Wahl zu dieser
Darstellung aquivalent ist in dem Sinne, da zwei beliebige Darstellungen durch eine
unitare Transformation ineinander uberfuhrt werden konnen. Dies garantiert, da, bei
Wahl von n = 4, nur eine Dirac-Theorie existiert.
Bemerkenswert an der Dirac-Theorie ist, da es hier eine Kontinuitatsgleichung
@ +rj = 0
(109)
@t
mit 0 gibt. Dazu setzt man
= ; j = c (110)
Zum Beweis von (109) multipliziert man die Dirac-Gleichung
@ = ?ihc r + mc2 ih @t
von links mit und die konjugierte Dirac-Gleichung
?ih @t@ = ihcr + mc2 von rechts mit und bildet die Differenz der rechten bzw.
R der linken Seiten, so entsteht
gerade (109). Aus der Kontinuitatsgleichung folgt, da d3x eine Erhaltungsgroe ist.
Es bleiben zwei Probleme, die wir zuruckstellen wollen:
1. In welchem Sinne ist die Dirac-Gleichung Lorentz-kovariant, d.h. wie transformiert
sich der Spinor (x) unter einer Lorentz-Transformation?
2. Ist garantiert, da sich j (x) = fc; j g dabei wie ein Vierervektor transformiert?
2.4 Der nichtrelativistische Limes
Da ein Dirac-Spinor vier (statt zwei) Komponenten hat, sind wir zu recht mitrauisch,
ob die Dirac-Theorie geeignet ist, Elektronen zu beschreiben. Das Vertrauen in die neue
Theorie konnen wir nur starken, indem wir die Freiheitsgrade bei gegebenen Impuls
des Teilchens untersuchen. Es genugt, das Ruhsystem des Teilchens zu wahlen, wenn
wir schon wissen, da die Theorie Lorentz-kovariant formuliert ist. Fur ein ruhendes
Elektron lautet die Dirac-Gleichung
@ = mc2
ih @t
(111)
22
Bei Wahl von , wie im vorigen Abschnitt vorgenommen, ergeben sich vier unabhangige
Losungen:
2 e?(i=h )mc t 3 2 0 3 2 0 3 2 0 3
66 0 77 66 e?(i=h )mc t 77 66 0 77 66 0 77
(112)
64 0 75 64 0 75 64 e(i=h )mc t 75 64 0 75
e(i=h )mc t
0
0
0
Die ersten beiden gehoren zu positiver, die letzten beiden zu negativer Frequenz. Also
auch hier treffen wir auf die Teilchen-Antiteilchen-Symmetrie. Die ersten beiden Losungen verbinden wir mit den beiden Spin-Zustanden des Elektrons, die letzten beiden
Losungen mit den Spin-Zustanden des Positrons. Entsprechend verfahren wir, wenn
wir Protonen-Antiprotonen oder Neutronen-Antineutronen beschreiben.
Doch wie ist die Verbindung zur Paulischen Spintheorie? Zu Beantwortung fuhren
wir die bekannte Ersetzung
ih@ ! ih@ ? ec A
(113)
in der Dirac-Gleichung durch, beachten A = f; Ag und erhalten den Energie-Operator
(114)
H = c hi r ? ec A + mc2 + e
Hier konnen wir auch schreiben
2
2
2
2
H = H0 + H1; H1 = ?e A + e;
(115)
wobei H1 die Wechselwirkungsenergie bezeichnet. Dadurch wird deutlich, da c in der
Dirac-Theorie die Rolle der Geschwindigkeit ubernimmt (nicht zu identifizieren mit Impuls/Masse). Denn klassisch { etwa in der Lagrange-Funktion { geben wir diese Energie
durch den Ausdruck ? ec v A + e wieder. Die Vorstellung von c als Geschwindigkeit
ist auch im Einklang mit der Definition der Stromdichte (110).
Fur den Limes c ! 1 ist es bequem, den Dirac-Spinor durch zweikomponentige
Subspinoren auszudrucken:
!
?
(i=h
)mc t
(116)
=e
wobei wir und als raum- und zeitabhangig ansehen, jedoch langsam veranderlich in
t verglichen mit dem Vorfaktor e?(i=h )mc t. Die Dirac-Gleichung erhalt in dieser Darstellung die Form von zwei gekoppelten Gleichungen
@ = cP + e
ih @t
(117)
@ = cP + e ? 2mc2
(118)
ih @t
2
2
mit P = (h=i)r ? (e=c)A. Die zweite dieser Gleichungen approximieren wir so:
0 = cP ? 2mc2 23
Hierbei haben wir Gebrauch gemacht von zwei Annahmen:
jej mc2 ;
hj=
_ j mc2
Das Ergebnis zeigt uns, da gegenuber um einen Faktor 1=c kleiner ist. Man nennt
deshalb die groen Komponenten\und die kleinen Komponenten\der Wellenfunktion . Nun k"onnen wir eliminieren mit dem"Ergebnis:
!
2
(
P
)
@
(119)
ih @t = 2m + e wobei P = (h=i)r ? (e=c)A gesetzt wurde. Beachtet man, da die Komponenten des
Vektors P nicht miteinander vertauschen und da
P P = i ech B
gilt (B = Magnetfeld), so folgt (s. Anmerkung unten)
(P )2 = P 2 ? ech B
Nun setzen wir noch s = 21 h und fassen zusammen:
2
3
!2
@
h
e
1
e
ih @t = 4 2m i r ? c A ? mc s B + e5 (120)
Dies ist aber gerade die Pauli-Gleichung fur eine zweikomponentige Wellenfunktion.
Hierbei ist noch nicht angenommen, da das Magnetfeld schwach ist. Vernachlassigen
wir hingegen den in A quadratischen Term und nehmen auch noch an, da B = r A
homogen ist, so konnen wir A = 21 B x setzen und erhalten
" 2
#
e
?
h
@
(121)
ih @t = 2m ? 2mc B (L + 2s) in volliger U bereinstimmung mit (44). Insbesondere haben wir auf diese Weise gezeigt,
da das gyromagnetische Verhaltnis g = 2 fur den Spin aus der Dirac-Gleichung folgt:
Ein fruher Triumpf der Dirac-Theorie!
Anmerkung. Bekanntlich erfullen die Pauli-Matrizen die Relationen
i (j; k; `) = (1; 2; 3) zyklisch
j k = 1l ` j=k
Diese kann man auch ohne Verwendung von Komponenten so zusammenfassen: Fur alle
Vektoren a; b gilt
(a )(b ) = a b + i(a b) Diese Formel behalt auch dann ihre Gultigkeit, wenn a und b Komponenten besitzen,
die nicht miteinander kommutieren (z.B. Differentialoperatoren).
24
2.5 Gamma-Matrizen und Lorentz-Kovarianz
Wir schreiben heute die Dirac-Gleichung nicht mehr in der ursprunglichen, von Dirac
angegebenen Form, sondern in einer mehr zweckmaigen Form, die der Symmetrie aller
Komponenten fx0; x1; x2; x3g Rechnung tragt. Zu diesem Zweck fuhren wir -Matrizen
ein:
0 = ; i = i (i = 1; 2; 3)
(122)
ein. Aufgrund der algebraischen Beziehungen, die die Dirac-Matrizen untereinander
erfullen, finden wir nun:
+ = 2g 1l
(123)
wobei g = diagf1; ?1; ?1; ?1g den metrischen Tensor der Raumzeit bezeichnet. Die
-Matrizen sind nun nicht mehr hermitesch. Vielmehr gilt: Die Matrizen 0, i 1, i 2,
i 3 sind hermitesch (die Vorfaktoren haben die Quadrate 1, ?1, ?1, ?1), was man auch
so formulieren kann:
( ) = 0 0
(124)
In der Dirac-Darstellung haben die -Matrizen die Gestalt
!
!
0
1l
0
i
i = ? 0
0 = 0 ?1l
(125)
i
Das System der -Matrizen erlaubt die Konstruktion einer 4 4-Matrix a= aus irgendeinem Vierervektor a vermoge der Vorschrift
a= = a = a0 0 + a1 1 + a2 2 + a3 3
(126)
d.h., a= wird als eine Summe von vier Matrizen dargestellt, und die Abbildung a 7! a= ist
linear. Ferner konnen wir die Relationen (123) nun ohne Benutzung von Komponenten
formulieren:
a==b + =ba= = 2ab1l
(127)
Hier bezeichnet ab das Lorentz-invariante Produkt der Vierervektoren a und b.
Wir gehen einen Schritt weiter und erlauben auch die Konstruktion einer Matrix @=,
deren Elemente Differentialoperatoren sind:
@= = @ ; @ = @=@x
Die Dirac-Gleichung eines freien Teilchens der Masse m nimmt nun die sehr einfache
Gestalt
(ih@= ? mc) (x) = 0
(128)
an. Bei Ankopplung an ein aueres elektromagnetisches Feld wird hieraus:
ih@= ? ec A= ? mc (x) = 0
(129)
Das Relativitatsprinzip verlangt, da bei einem Wechsel des Bezugssystems, d.h. unter
einer Lorentz-Transformation x0 = x, die Wellenfunktion ubergeht in eine transformierte Wellenfunktion 0, derart, da eine Beziehung der Art
0 (x0 ) = S () (x)
(130)
25
besteht. Dies entspricht der passiven Auffassung einer Lorentz-Transformation (ein
Zustand, zwei Beobachter). Wir gelangen zu der aktiven Auffassung (ein Beobachter,
zwei Zustande) durch eine einfache Umschreibung:
0(x) = S ()
(?1x)
(131)
Es mu moglich sein, die Matrix S () so zu wahlen, da 0(x) wiederum Losung der
Dirac-Gleichung (128) ist. Dann operiert die Lorentz-Gruppe vermoge (131) auf dem
linearen Raum der Losungen der Dirac-Gleichung. Eine Rechnung zeigt uns, wann die
Bedingung erfullt ist:
!
@
0
(ih@= ? mc) (x) = ih @x ? mc S () (?1x)
!
@
?
1
= ih ( ) @y ? mc S () (y) (y = ?1x)
!
@
= S () ih @y ? mc (y) = 0
Die letzte Zeile folgt unter der Voraussetzung da
S () = (?1) S ()
gilt, was wir auch so schreiben konnen:
S () S ()?1 = (?1) (132)
In Worten: Grundsatzlich wirkt eine Lorentz-Transformation auf die -Matrizen und
erzeugt so ein neues System von Matrizen,
^ = (?1) ;
mit den gleichen algebraischen Eigenschaften:
^^ + ^ ^ = g 1l
Relativistische Kovarianz ist gewahrleistet, wenn jedes so erzeugte neue System von
-Matrizen aus dem alten System durch eine A quivalenztransformation { abhangig von
{ hervorgeht: Dies ist der Inhalt der Forderung (132). Weder haben wir die Matrizen
S () bislang konstruiert noch haben wir ihre Existenz bewiesen. Der nachste Abschnitt
dient dieser Aufgabe.
2.6 Die van-der-Waerden-Darstellung
Fur die Konstruktion der Matrizen S () ist eine andere Darstellung der -Matrizen
geeigneter, die van-der-Waerden-Darstellung:
!
!
0
?
0
1l
i
0
i
= 1l 0
= (i = 1; 2; 3)
(133)
0
i
26
In dieser Darstellung erhalten wir:
!
0 1l + x x
x= = x01l ? x (134)
0
Eine bemerkenswerte Konstruktion erkennen wir in dem rechten oberen Block: Jedem
Punkt x des Minkowski-Raumes ist eine hermitesche 2 2-Matrix x zugeordnet vermoge
der Vorschrift
!
0 + x3 x1 ? ix2
x
0
(135)
x = x 1l + x = x1 + ix2 x0 ? x3
Die Beziehung zwischen den Punkten x und den hermiteschen Matrizen ist 1:1 und
linear. Mehr noch, es gilt
Det x = (x0)2 ? x2 x2
(136)
d.h. die Determinante erweist sich als Lorentz-invariant. Dies gibt uns die Moglichkeit,
eine Lorentz-Transformation aus einer Matrix-Transformation zu gewinnen. Sei namlich
a eine beliebige (komplexe) 2 2-Matrix. Dann gilt
Det (axa) = jDet aj2Det x
Andererseits ist axa durch Konstruktion hermitesch, so da ein Punkt x0 existiert, fur
den x0 = axa gilt. Man erkennt, da die Abbildung x 7! x0 linear ist. Wir schreiben
deshalb x0 = x, und, da von der Matrix a abhangig ist: = (a). Fordern wir
noch, da Det a = 1 gilt, so haben wir
Det x0 = Det x
und (a) ist eine Lorentz-Transformation. Man bezeichnet
SL(2; C) = fa 2 GL(2; C) j Det a = 1g
als die spezielle lineare Gruppe in zwei Dimensionen (GL(2,C) ist die volle lineare
Gruppe).
Zur Erinnerung: In der Quantenmechanik tritt bei der Behandlung des Spins die
unitare Gruppe SU(2) auf, und zwar in der Weise, da jeder Matrix u 2SU(2) eine
Rotation R(u) des IR3 zugeordnet ist. Die Lorentz-Transformationen (a) erweitern die
Abbildung in folgendem Sinne: Bei Wahl von a = u 2SU(2) gilt
!
1
0
(u) = 0 R(u)
Man erkennt dies unmittelbar an den Definitionen. Den Unterschied zwischen R(u) und
(u) verwischend, nennen wir im folgenden (u) eine "Rotation\.
Wir notieren eine Reihe von Tatsachen (einige ohne Beweis).
0
1. Es gilt die Darstellungsrelation (ab) = (a)(b). Zum Beweis berechnen wir
(ab)x(ab) = a(bxb)a = ax0a = x00
wobei x0 = (b)x und x00 = (a)x0 gesetzt wurde. Aufgrund der Konstruktion gilt
(ab)x = x00 = (a)(b)x
fur alle Punkte x und somit folgt unsere Behauptung.
27
2. Die Gruppe SL(2,C) ist zusammenhangend, und die Abbildung a 7! (a) ist
stetig. Folglich ist das Bild der Gruppe SL(2,C) eine zusammenhangende Untergruppe der Gruppe L aller Lorentz-Transformationen. Eine Analyse (siehe die
U bungen) zeigt, da man alle Elemente der eigentlichen orthochronen LorentzGruppe erreicht. Es handelt dabei um Lorentz-Transformationen mit Det = 1
und 0 0 > 0. Diese Gruppe wird mit L"+ bezeichnet.
3. Die Abbildung
SL(2,C) ! L"+; a 7! (a)
ist 2:1. Genauer: Die Matrizen a und ?a haben das gleiche Bild (a). Zur
Erinnerung: Die Abbildung u 7! R(u) ist auch 2:1. Denn R(?u) = R(u).
4. Die Gruppe SL(2,C) ist einfach zusammenhangend (jeder geschlossene Weg in
der Gruppe lat sich stetig auf einen Punkt { die Einheit { zusammenziehen).
Die Gruppe L"+ ist jedoch nicht einfach zusammenhangend (es gibt zwei Klassen

homotoper Wege). Die Gruppe SL(2,C) heit die universelle Uberlagerungsgruppe
"
von L+. Sie hat doppelt so viele Gruppenelemente und hebt so den nicht einfachen
Zusammenhang auf. Umgekehrt kann man durch die A quivalenzrelation a ?a in
SL(2,C) eine zweifach zusammenhangende Gruppe gewinnen (die zu L"+ aquivalent
ist).
Zweidimensionale Darstellungen D der Gruppe SL(2,C) sind leicht zu finden. Sei a 2
SL(2,C) beliebig.
Die Vorschrift D(a) = a definiert eine Darstellung. Sie entsteht durch komplexe
Konjugation aller Matrixelemente.
Die Vorschrift D(a) = (a?1) = (a)?1 definiert ebenfalls eine Darstellung. Sie
entsteht durch Invertieren und U bergang zur adjungierten Matrix.
Satz. Die beiden vorgenannten Darstellungen sind aquivalent, d.h. es gilt
!
0
?
1
?
1
?
1
a = a ;
=
1
0
(137)
Die Matrix ist unitar, und die Pauli-Matrizen erfullen die Beziehung
? i = i (i = 1; 2; 3)
(138)
Die Aussagen bestatigt man durch einfaches Nachrechnen. Die letzte Aussage kann man
auch so fassen:
x01l ? x = (x0 1l ? x ) = x
(139)
Fuhren wir in der Transformationsformel x0 = axa an allen Matrixelementen die komplexe Konjugation aus, so ergibt sich:
x0 = axa
28
(140)
Die Beziehung (134) konnen wir nun so schreiben:
!
0
x
x= = x 0
Ziel unserer Bemuhungen sollte sein, die Transformationsmatrix S (a) zu finden, die die
Bedingungen
S (a)x=S (a)?1 = x=0 ; x0 = (a)x
(141)
fur alle Punkte x erfullt. Es zeigt sich, da die Matrix
!
!
a
0
a
0
(142)
S (a) = 0 a?1 = 0 a
dies leistet. Denn
!
!
!
! 0 x
a 0
a 0 = 0 x0
0 a
x0 0
x 0
0 a
Die Bedingungen (141) sind in der Tat nichts anderes als eine basisunabhangige Formulierung von
S (a) S (a)?1 = ((a)?1) (Beachte: ?1 = gT g, d.h. (?1) = , gultig fur jede Lorentz-Transformation ).
Die Matrizen S (a) sind block-diagonal. Dies legt nahe, den Dirac-Spinor nach
zweikomponentigen Spinoren zu zerlegen:
!
= Die Vorschrift 0(x0) = S (a) (x), x0 = (a)x, gewinnt damit eine sehr einfache Gestalt:
0(x0) = a(x); 0(x0) = a?1(x)
Man sagt deshalb: Die Darstellung S : a 7! S (a) der SL(2,C) zerfallt in die Teildarstellungen a ! a und a ! a?1. Sie ist damit reduzibel und direkte Summe dieser
Teildarstellungen.
Fazit: Die Dirac-Theorie ist relativistisch kovariant und benutzt eine reduzible 4-dimensionale Darstellung der SL(2,C) zur Transformation ihrer Zustande. Die Darstellung
ist nicht unitar.
Um zu ergrunden, warum vier Dimensionen notwendig sind, erweitern wir die Gruppe
+ der Lorentz-Transformationen um die Raumspiegelung:
x = fx0; xg ! x0 = fx0; ?xg
(143)
Die so entstehende groere Gruppe L" heit die orthochrone Lorentz-Gruppe. Ihr
gehoren alle Matrizen 2 L an mit 0 0 > 0. Kovarianz der Dirac-Theorie im erweiterten Sinne liegt vor, falls es eine Matrix gibt, die eine Raumspiegelung an den
-Matrizen ausfuhrt (im Sinne einer A hnlichkeitstransformation). Tatsachlich gilt
0 fur = 0
0
0
= ? i fur = i = 1; 2; 3
(144)
L"
29
und die Raumspiegelung ist durch
0 (x0) = 0
(x)
(145)
realisiert. Nach Zerlegung in zweikomponentige Spinoren (s. oben) bedeutet dies aber
eine Vertauschung der Rollen von und :
0(x0) = (x);
0 (x0) = (x)
(146)
Die Darstellung der groeren Gruppe ist somit irreduzibel, d.h. eine Zerlegung ist nicht
mehr moglich.
2.7 Einfache Konsequenzen der Kovarianz
Wir wenden uns nun der Untergruppe SU(2) zu, deren Elemente u wir mit Drehungen
(u) verknupfen. Wir sehen sofort, da
!
u
0
S (u) = 0 u
unitar ist. Folglich transformiert sich die Dichte = unter Drehungen wie ein
Skalar: 0(x0) = (x). Den Spin-Operator gewinnen wir wie ublich durch U bergang zur
Lie-Algebra der SU(2) in der hier vorliegenden Darstellung. Die Lie-Algebra der SU(2)
selbst wird ja durch die Pauli-Matrizen i erzeugt. Folglich wird die Lie-Algebra der
Darstellung S (u) durch eine Verdopplung der Pauli-Matrizen gewonnen. Dies zeigt uns,
da der Spin-Operator der Dirac-Theorie durch
!
h
0
= 2 0 (147)
gegeben ist. Diese Form ist korrekt nicht nur bei Verwendung der van-der-WaerdenDarstellung der -Matrizen sondern auch fur die Dirac-Darstellung.
Sodann bemuhen wir uns um eine kompakte Schreibweise fur den Strom
j = fc; j g; =
Da 0 = f1l; g gilt, konnen wir
j = c ;
;
j = c = 0
(148)
schreiben. Dieser Schreibweise liegt eine veranderte Vorschrift zur Konstruktion des
adjungierten\ Spinors zugrunde. Man liest allgemein als "psi-quer\, mu sich aller"dings
huten, darunter eine bloe komplexe Konjugation zu verstehen.
In Erweiterung dieser Konstruktion definieren wir fur jede 4 4-Matrix A die adjungierte Matrix als
A = 0A 0
30
wahrend fur jeden Skalar die komplexe Konjugation bezeichnet. Dann gelten die
offensichtlichen Regeln:
= ( Skalar, Spinor)
A = A; (A Matrix, Spinor)
AB = B A; (A; B Matrizen)
( 1, 2 Spinoren)
1 2 =
2 1
Nun folgt unmittelbar:
= ; S (a) = S (a)?1
(149)
Wir sagen deshalb, die -Matrizen seien pseudo-hermitesch und die Darstellung S (a) der
SL(2,C) sei pseudo-unitar. Aufgrund der obigen Regeln ist reell und transformiert
sich wie ein Vektor (genauer: wie ein Vektorfeld):
0 (x0 ) 0 (x0 ) = S (a) (x) S (a) (x)
= (x) S (a) S (a) (x)
= (x) S (a)?1 S (a) (x)
= [(a)] (x) (x)
Der Strom der Dirac-Theorie hat somit das korrekte Verhalten:
j 0(x0) = j (x); x0 = x
Diese Formel gilt auch dann, wenn 2 L". Dazu hat man nur den Spezialfall einer
Raumspiegelung zu untersuchen, was trivial ist.
Da die Darstellung S (a) reduzibel ist, gibt es Matrizen, die mit ihr vertauschen.
Diese Matrizen bilden notwendig eine Algebra, und man erkennt sofort, da sie zweidimensional ist:
!
!
!
1l 0 = 1 ( + ) 1l 0 + 1 ( ? ) 1l 0
(150)
2
2
0 1l
0 1l
0 ?1l
(; 2 C). Mit anderen Worten: Die Algebra wird erzeugt durch die Einheit und die
Matrix
!
1l
0
5 = 0 ?1l
(151)
Die 5-Matrix hat bemerkenswerte Eigenschaften:
Sie antivertauscht mit allen anderen -Matrizen :
5 + 5 = 0
Insbesondere gilt 05 0 = ?5, d.h. wahrend sich wie ein Skalar transformiert,
ist 5 eine Pseudo-Skalar (erhalt ein Vorzeichen unter einer Raumspiegelung).
Wahrend sich wie ein Vektor transformiert, ist 5 ein Axialvektor
(erhalt ein extra Vorzeichen unter einer Raumspiegelung).
31
Die Matrizen 12 (1l + 5) und 21 (1l ? 5) sind Projektoren im Spinorraum: Sie projizieren auf die beiden (unter S (a)) invarianten Unterraume.
Es liege irgendeine Darstellung der -Matrizen vor. Dann kann man die fur diese
Darstellung spezifische 5-Matrix in jedem Fall durch die Gleichung
5 = i 0 1 2 3
erhalten.
Schlielich begegnet man gelegentlich den Matrizen
= 2i [ ; ]
(152)
Sie sind antisymmetrisch in den Indices und . Die Bilinearform ist reell
und transformiert sich wie ein antisymmetrischer Tensor (analog dem Feldstarke-Tensor
F der Maxwell-Theorie). Der Spin-Operator kann (unabhangig von der gewahlten
Realisierung der -Matrizen ) durch die Vorschrift
= h2 f23; 31; 12g
(153)
konstruiert werden.
32
3
Elektronen und Positronen
Wir werden von nun an eine Vereinfachung aller Formeln vornehmen, indem wir Maeinheiten so einfuhren, da h = c = 1 gilt. Die Dirac-Gleichung lautet nun (i@= ? m) = 0.
3.1 Zerlegung nach ebenen Wellen
In einem ersten Schritt zerlegen wir die allgemeine Losung der Dirac-Gleichung nach
positiven und negativen Frequenzen:
(x) =
(+) (x) + (?) (x)
(154)
Dies ist moglich, weil alle Komponenten des Dirac-Spinors der Klein-Gordon-Gleichung
genugen. Sodann konnen wir schreiben:
Z 3
(+) (x) = (2 )?3=2 d p u(p)e?ipx
(Elektronen)
(155)
2E
Z 3
(?) (x) = (2 )?3=2 d p v (p)eipx
(Positronen)
(156)
2E
Hier bezeichnen u(p) und v(p) pSpinoren, die vom Impuls p abhangen. Wie fruher gilt
p = (p ) = fE; pg und E = m2 + p2. Aus der Dirac-Gleichung folgen die beiden
Bedingungen
(p= ? m)u(p) = 0;
(p= + m)v(p) = 0
(157)
Setzen wir m > 0 voraus, so existiert ein ausgezeichnetes Bezugssystem, das Ruhsystem
des Teilchens. Dies bedeutet: Es gibt eine spezielle Lorentz-Transformation Lp, die dem
Teilchen den Impuls p erteilt (englisch: boost ):
pR = fm; 0; 0; 0g
LppR = p;
(158)
Der Transformation Lp entspricht eine Matrix lp 2SL(2,C), so da Lp = (lp) und
lp pR lp = p
d.h.
lplp = p =m
(159)
Die Losung wird eindeutig, wenn wir lp = (p =m)1=2 setzen. In der Tat, fur physikalische
Impulse p ist die hermitesche Matrix p positiv definit, und so ist die Wurzel lp. Auf die
Ebene der Dirac-Matrizen ubertragen bedeutet dies:
S (lp)p=R = p=S (lp)
(160)
Daraus folgt: Losen u(pR) und v(pR) die Gleichungen
so losen
(p=R ? m)u(pR ) = 0;
(p=R + m)v(pR) = 0
u(p) = S (lp)u(pR);
v(p) = S (lp)v(pR)
33
(161)
die Gleichungen (157). In der Dirac-Darstellung der -Matrizen nehmen die Bedingungen (161) die Gestalt
!
!
0
0
1l
0
2m 0 ?1l u(pR ) = 0;
2m 0 0 v(pR) = 0
an. Die vier unabhangigen Losungen entsprechen dem Resultat, das wir schon fruher
(Seite 19) fanden:
2 p2m 3
2 0 3
66 0 77
66 p2m 77
1
1
u(pR; 2 ) = 64 0 75 u(pR; ? 2 ) = 64 0 75
0
0
2 0 3
2 0 3
7
7
6
6
v(pR; 21 ) = 664 p20m 775 v(pR; ? 12 ) = 664 00 775
p
2m
0
Wir definieren Standard-Losungen zu gegebenen Impuls p durch
u(p; ) = S (lp)u(pR; );
v(p; ) = S (lp)v(pR; )
( = 21 )
(162)
wobei aufgrund unserer Konstruktion die Spin-Polarisation im Ruhsystem charakterisiert.
Wir treffen nun eine immer wiederkehrende Vereinbarung. Gegeben zwei beliebige
Dirac-Spinoren u und v, es soll uv als eine Matrix (vom Rang 1), dagegen vu als ein
Skalar (komplexe Zahl) aufgefat werden. Dies erspart uns das Schreiben von vielen
Indices.
Die Vollstandigkeitsrelationen
!
X
1l
0
u(pR; )u(pR; ) = 2m 0 0 = p=R + m
!
X
0
0
v(pR ; )v(pR; ) = 2m 0 ?1l = p=R ? m
gehen uber { nach Transformation vom Ruhsystem in das aktuelle Bezugssystem { in
die Relationen
X
u(p; )u(p; ) = p= + m
(163)
X
v(p; )v(p; ) = p= ? m
(164)
In vollig analoger Weise erhalten wir die Orthogonalitatsrelationen
u(p; )u(p; 0) = 2m0
(165)
v(p; )v(p; 0) = ?2m0
(166)
34
Aus den Standard-Losungen konstruieren wir die allgemeinste Losung:
X
X
u(p) = a (p)u(p; ); v(p) = b (p)v(p; )
(167)
Die hier auftretenden komplexen Amplituden a (p) und b (p) sind unabhangig und frei
wahlbar. Sie sind Wellenfunktionen fur Elektronen und Positronen in der Impulsdarstellung. Die Spin-Polarisation bezieht sich auf das Ruhsystem.
Um einen Hilbertraum zu erhalten, benotigen wir ein Skalarprodukt fur Losungen
der Dirac-Gleichung. Es genugt jedoch, eine Definition der Norm zu haben. Wir benutzen das von Dirac vorgeschlagene Integral
Z
k k2 = d3x (x) (x);
(168)
Bei dem Versuch, die Norm durch die Fourier-Amplituden auszudrucken stoen wir auf
das Problem, bestimmte Produkte der u's und v's auszuwerten. Es gilt { wie man leicht
nachweist {
u(p; ) u(p; 0) = v(p; ) v(p; 0) = 2p0 ;
(169)
Speziell fur = 0:
u(p; )u(p; 0) = v(p; )v(p; 0) = 2E 0 ;
dagegen
u(p; )v(p0; 0) = v(p; )u(p0; 0) = 0;
Diese Relationen benutzend findet man die Gleichung
k k2 = kak2 + kbk2;
p0 = fE; ?pg
(170)
(171)
(172)
falls fur die Fourier-Amplituden a und b geeignete Normen eingefuhrt werden:
Z 3 X
Elektronen e?: kak2 = d2Ep ja (p)j2
Z 3 X
Positronen e+ : kbk2 = d2Ep jb (p)j2
Wir erhalten somit einen Hilbertraum, der direkte Summe zweier Einteilchen-Raume
ist: H = He? He+ . Da diese Definition der Normen kak und kbk korrekt ist (in dem
Sinne, da Lorentz-Transformationen auf dem Hilbertraum unitar dargestellt werden)
wurde von E. Wigner erkannt. Die Unitaritat uberrascht, weil die Darstellungsmatrizen
S (c) keineswegs unitar sind. Der nachste Abschnitt soll die Argumente von Wigner
erlautern.
35
3.2 Wigner-Rotationen
Die Aufspaltung von in (+) + (?) ist unabhangig vom Bezugssystem: Elektronenund Positronen-Anteile werden nicht gemischt. Dies gilt sogar unter Einbeziehung der
Raumspiegelung. Wir erhalten in der Impulsdarstellung die folgende Vorschrift fur einen
Wechsel des Bezugssystems:
u0(p0) = S (c)u(p); c 2 SL(2,C)
v0(p0) = S (c)v(p); p0 = (c)p
Dies ist eine unmittelbare Folge der Fourier-Transformation. Die Spinoren im veranderten Bezugssystem konnen wie gewohnt zerlegt werden:
X
u0(p0) = a00 (p0) u(p0; 0)
0
X
v0(p0) = b00 (p0) v(p0; 0)
0
Die Orthogonalitatsrelationen (165)(166) benutzend erhalten wir sofort die Transformationsgesetze
X
a00 (p0) =
U0 a (p); U = U (c; p) 2 SU(2)
(173)
X
b00 (p0) =
V0 b (p); V = V (c; p) 2 SU(2)
(174)
wobei wir definierten:
2m U (c; p)0 = u(p0; 0)S (c)u(p; );
c 2 SL(2,C)
(175)
0
0
0
?2m V (c; p)0 = v(p ; )S (c)v(p; ); p = (c)p
(176)
Weiter unten werden wir zeigen, da U = V gilt. Wir richten unser Interesse deshalb
auf U . Da es sich bei U tatsachlich um eine unitare 2 2-Matrix handelt, folgt aus
den leicht zu beweisenden Relationen
U (c?1; p0)U (c; p) = 1l; U (c; p) = U (c?1; p0)
mit dem Ergebnis U (c; p) = U (c; p)?1, d.h. U 2U(2). Schlielich kann U stetig in die
Einheit deformiert werden (etwa durch c ! 1l). Also liegt U in der Gruppe SU(2).
Etwas allgemeiner sind die Relationen
U (c0; p0)U (c; p) = U (c0c; p); p0 = (c)p; c; c0 2 SL(2,C)
(177)
c 2 SU(2) ) U (c; p) = c
(178)
Man bestatigt sie durch eine direkte Rechnung.
Wir wollen nun den Hintergrund unserer Konstruktion ein wenig beleuchten. Die
Unitaritat der Matrizen U und V garantiert die Gultigkeit von
X 0 0 2 X
X 0 0 2 X
ja0 (p )j = ja (p)j2;
jb0 (p )j = jb (p)j2
0
0
36
mit der Konsequenz, da die Normen erhalten bleiben:
ka0k = kak; kb0k = kbk:
Mehr noch, die Transformation a 7! a0 (bzw. b 7! b0) beschreibt eine unitare Darstellung
der SL(2,C) auf dem Hilbertraum der Elektronen-(bzw. Positronen-)Zustande. Man
sagt, sie sei induziert durch die Darstellung D(c) = c 2SU(2) der kleinen Gruppe SU(2):
Dies ist diejenige Untergruppe von Elementen c 2SL(2,C) mit der Eigenschaft
(c)pR = pR :
Wigner erklarte die Ruckfuhrung auf die Gruppe SU(2) (bzw. die Gruppe SO(3)) darstellungstheoretisch. Verkurzt lautet sein Argument so: Jeder Lorentz-Transformation
und jedem Impuls p ist in naturlicher Weise eine Rotation R(; p), die WignerRotation , zugeordnet:
R(; p) = L?p01Lp; p0 = p
(179)
Denn
L?p01
L
p
0
pR ?! p ?! p = p ?! pR
Da das Produkt der drei Transformationen den Vektor pR invariant lat, mu das Ergebnis eine Rotation sein.
Auf die Gruppe SL(2,C) ubertragen, heit dies: Jedem Element c 2SL(2,C) und
jedem Impuls p ist ein Element U (c; p) 2SU(2) zugeordnet:
U (c; p) = lp?01c lp;
p0 = (c)p
(180)
Man bestatigt leicht, da diese Konstruktion von U mit der vorigen, auf der Basis
der Dirac-Gleichung gewonnenen ubereinstimmt. Dazu hat man zweierlei zu beachten.
Erstens erhalten wir direkt aus der Definition (175)
2mU (c; p)0 = u(pR; 0)S(lp0 )S (c)S (lp)u(pR; )
= u(pR; 0)S (lp?01c lp)u(pR; )
Zweitens: In der Dirac-Darstellung der -Matrizen gilt
U 0 S (U ) = 0 U
fur jedes U 2 SU(2) und damit
u(pR; 0)S (U )u(pR; ) = 2mU0 v(pR; 0)S (U )v(pR; ) = ?2mU0 Ganz nebenbei haben wir somit auch gezeigt, da die Matrizen U und V { wie in
(173)(174) definiert { identisch sind.
37
3.3 Das relativistische H-Atom
Wir kehren zuruck zur Dirac-Gleichung im Ortsraum mit Ankopplung des Elektrons
(oder Positrons) an ein elektromagnetisches Potential:
(i@= ? eA= ? m) = 0
Indem wir von den Definitionen
D = IP= m1l; IP = i@ ? eA
(181)
Gebrauch machen, konnen wir die Dirac-Gleichung so schreiben: D? = 0. Hieraus
folgt D+D? = 0 mit
D+D? = IP= 2 ? m21l
= IPIP ? m2 1l
= (g IP IP ? m2 )1l ? i IP IP
= (IP2 ? m2 )1l + 21 e F
Hier benutzten wir [IP ; IP ] = ieF und
= 12 ( + ) + 21 ( ? )
= g ? i
Wir betrachten nun Ein-Elektronen-Atome der Kernladungszahl Z . Dies bedeutet die
Wahl
eA0 = ? Z
r ; Ak = 0 (k = 1; 2; 3)
Fur das hierdurch erzeugte elektrische Feld E gilt
eE = Z
r2 n; x = rn
In Komponenten: Ek = ?@k A0 = Fk0 = ?F0k ; (k = 1; 2; 3), so da
D+D? = (IP2 ? m2 )1l + k0eEk
(182)
(Summation uber k). Wir wahlen nun die vdW-Darstellung der -Matrizen , weil darin
die Matrizen k0 blockdiagonal sind:
?i 0 k
0
= 0 k i
k
Wir erhalten entkoppelte Gleichungen fur zweikomponentige Spinoren:
!
2
+
2
?
2
(IP ? m iZr n) = 0;
= (183)
?
Es gilt ferner
!2
Z
d2 r ? L2 ; L = x (?ir)
@
2
= 1r dr
IP = ? @t ? i r + ;
2
r2
38
Fur stationare Zustande mit der Energie E setzen wir (vgl. Abschnitt 2.2)
(x; t) = f(x) e?iEt;
so da
und
IP 2
= e?iEt
"
k 2 = m2 ? E 2
(
2 )
Z
E + r + f
#
2
2
2 iZ n
1
d
L
?
(
Z
)
2
Z
2
? r dr2 r +
(184)
? r + k f(x) = 0
r2
Noch konnen wir hier nicht von Radialwellengleichungen sprechen; denn die Differentialoperatoren hangen noch von der Richtung n = x=r ab. Wir wissen aber im voraus,
da die beiden Gleichungen das gleiche Spektrum ergeben; denn sie gehen durch den
algebraischen Automorphismus ! ? ineinander uber. Wir konnen uns aus diesem Grund auf die Gleichung fur f+ beschranken. Beachte: f+ ist ein Spinor mit zwei
Komponenten.
Invarianz gegenuber Rotationen ist dennoch gegeben, wenn der Ortsvektor und die
Spinpolarisation gleichzeitig "gedreht\ werden. Dies bedeutet, da der Gesamtdrehimpuls
J = L + S = L + 21 eine Erhaltungsgroe darstellt. Der Bahndrehimpuls L ist keine Erhaltungsgroe. Dennoch gilt [J ; L2] = 0, so da wir eine Basis von Spin-Kugelfunktionen jjmsi wahlen
konnen, in der die Operatoren J 2, J3 und L2 diagonal sind, d.h. die folgenden Eigenwerte annehmen:
J 2 = j (j + 1);
J3 = m;
L2 = `(` + 1);
j = 21 ; 23 ; 52 ; : : :
m = ?j; ?j + 1; : : :; j
` + s = j; s = 12
Der Wert s = 12 bedeutet, da Spin und Bahndrehimpuls parallel stehen; s = ? 12 , da
sie antiparallel stehen. In der so gewahlten Basis hat der Operator n zwangslaufig
die Gestalt
njjmsi = X nss0 jjms0i
(185)
s0
weil er ja rotationsinvariant konstruiert ist. Die beiden Zustande jjm 12 i und jjm ? 21 i
haben entgegengesetzte Paritat, die ja durch (?1)` gegeben ist. Sie sind Spinoren mit
je zwei Komponenten, auf die die Pauli-Matrizen wirken. Zugleich sind sie Funktionen
des Einheitsvektors x, d.h. sie hangen von den Winkeln und ab, wenn wir zu
Kugelkoordinaten r, , ubergehen.
Der Operator n verandert die Paritat. Somit verschwinden die Diagonalelemente
der Matrix n = (nss0 ). Da n hermitesch ist, mu auch die Matrix n hermitesch sein.
Da ( n)2 = 1l gilt, mu auch n2 = 1l gelten. Die allgemeine Losung dieses Problems
lautet:
njjmsi = eis jjm ? si; s = 21
(186)
39
In Worten, n klappt den Spin um: Die parallele Stellung geht uber in antiparallele
Stellung und umgekehrt. Durch eine geeignete Wahl der relativen Phase der beiden
Zustande konnen wir erreichen, da = 0 gilt. Dies setzen wir im folgenden voraus.
Der Spinor f+(x) zu vorgegebenen Werten j und m besitzt eine Zerlegung der Form
X
f+ = ujs jjmsi
(187)
s
wobei die Koeffizienten ujs als gewohnliche Funktionen von r aufzufassen sind und
den Radialwellenfunktionen der nichtrelativistischen Quantenmechanik entsprechen. Sie
genugen den Gleichungen
"
#
!
2
1
M
2
Z
d
u
j
?
1
=
2
2
? r dr2 r + r2 ? r + k uj+1=2 = 0
(188)
mit der Matrix
1
+ 32 ) ? (Z)2
iZ
M = (j + 2 )(j iZ
1
(j ? 2 )(j + 21 ) ? (Z)2
deren Eigenwerte wir zu L(L 1) berechnen mit
q
L = (j + 21 )2 ? (Z)2
!
(189)
(190)
Obwohl die Matrix M nicht hermitesch ist, sind ihre Eigenwerte reell, falls Z 1
erfullt ist. Eine Zerlegung von uj nach Eigenvektoren fuhrt auf zwei entkoppelte Radialgleichungen. Fur Z 1 sind die beiden Eigenlosungen nahezu mit uj1=2 identisch.
Sie entsprechen damit nahezu den Quantenzahlen ` = j 12 .
Durch unsere Analyse haben wir Gleichungen gefunden, wie sie bereits bei dem
Coulomb-Problem fur spinlose Teilchen auftraten (vgl. S.15), und wir konnen die Bedingung fur gebundene Zustande von dort her ubernehmen:
L + 1 + n mit n = 0; 1; 2; : : :
E
Z
p 2 2 = L + n + mit n+ = 0; 1; 2; : : :
(191)
?
?
m ?E
Die beiden Bedingungen entsprechen den beiden entkoppelten Radialgleichungen: Die
zweite geht aus der ersten durch die Ersetzung L ! L ? 1 hervor. Jede der beiden
Radialgleichungen beschreibt ein System von gebundenen Zustanden. Die zugehorigen
Bedingungen (191) lauten gleich, wenn wir die Hauptquantenzahl n (mit den Werten
1; 2; 3; : : :) einfuhren:
p E2Z 2 = n ? (j + 12 ) + L
(192)
m ?E
Auflosung nach E fuhrt zu der Feinstrukturformel:
2 0
12 3?1=2
A 75
qZ 1 2
(193)
E = m 641 + @
1
n ? (j + 2 ) + (j + 2 ) ? (Z)2
40
Fur Z 1 ergibt sich naherungsweise
!# 2m "
2
(
Z
)
3
(
Z
)
1
E ? m = ? 2n2 1 + n j + 1 ? 4n + O (Z)6
2
Fur Z > 1 fehlt uns eine physikalische Interpretation der Losung.
Die Energieniveaus, nur abhangig von n und j , bestimmen die Feinstruktur der
wasserstoff-ahnlichen Atome. Insbesondere wird durch die Formel eine 4j -fache Entartung aller Niveaus (mit Ausnahme des Grundniveaus, das zweifach entartet ist) vorhergesagt: Niveaus mit ` = j + 21 und ` = j ? 12 besitzen die gleiche Energie, und jedes dieser
Niveaus hat die ubliche 2j -fache Entartung bezuglich der magnetischen Quantenzahl m.
Das Ergebnis stimmt in guter Naherung mit der Beobachtung uberein. Die korrekte
Lage der Niveaus wird allerdings durch den Lamb-shift (eine Energieverschiebung aufgrund der Quantenelektrodynamik) modifiziert. Insbesondere wird die zweifache Entartung bezuglich ` aufgehoben (wie erlautert ist ` nur in Naherung eine gute Quantenzahl). Hinzu kommt eine Hyperfeinstruktur, hervorgerufen durch die Wechselwirkung
des Elektronenspins mit dem Kernspin (bei dem H-Atom fuhrt dies zu einer Dublettstruktur aller Niveaus).
spektroskop.
Bezeichnung n ` j
1S1=2
2S1=2
2P1=2
2P3=2
q
E=m
1 ? (Z)2
r q
2 0 1/2 12 1 + 1 ? (Z)2
r q
2 1 1/2 12 1 + 1 ? (Z)2
q
2 1 3/2 1 ? (Z=2)2
1 0 1/2
41
Energie
3S1=2
3D5=2
3P3=2
XX
XXX
z
XX
3P1=2
XXX
z
3D3=2
2P3=2
2S1=2
1S1=2
PP
PP
q
P
2P1=2
XXX
XX
z
= Lamb shift
Feinstruktur, Lamb shift und Hyperfeinstruktur des H-Atoms
42
3.4 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation
Wir kehren zuruck zu der Frage, wie die Pauli-Gleichung fur zweikomponentige Spinoren
aus der Dirac-Gleichung fur vierkomponentige Spinoren hervorgeht. Unter nichtrelativistischen Bedingungen haben wir bereits im Abschnitt 2.4 eine Antwort gegeben.
Sobald wir jedoch relativistische Korrekturen in die Pauli-Gleichung einbeziehen wollen,
haben wir bislang keine systematische Methode vorgestellt, die uns solche Korrekturen
zu berechnen gestattet. Dies soll nun nachgeholt werden.
Es bietet sich an, von der ursprunglichen Form der Dirac-Gleichung auszugehen:
@ = H ; H = m + P + A 1l; P = 1 r ? eA
(194)
i @t
0
i
wobei
!
0 1l 0 = 0 ; = 0 ?1l
= (195)
Wir wissen, da bei ruhenden (Anti-)Teilchen eine Entkopplung stattfindet, derart, da
das Elektron und das Positron beschreibt. Wir fragen, ob fur genugende schwache
Felder A0 und A ebenfalls eine Entkopplung erzielt werden kann, und zwar durch eine
unitare Transformation:
@ 0 = H0 0
0 = eiS ;
i @t
(196)
(S ein hermitescher Operator). Die Forderung besteht nun darin, da der transformierte
Hamilton-Operator blockdiagonal sein soll:
H
0
+
0
H = 0 ?H
(197)
?
Dann wurde H+ die Energie eines Elektrons, H? die Energie eines Positrons beschreiben
(im aueren Feld). Wir erwarten, da H 0 eine Entwicklung nach Potenzen von m?1
(besser: von der Compton-Wellenlange h=(mc)) besitzt,
H 0 = m + eA01l + Q1m?1 + Q2m?2 + : : :
(198)
wobei es gilt, die unbekannten (Differential-)Operatoren Qn zu bestimmen.
Es kann nicht erwartet werden, da H 0 selbst ein Differentialoperator ist, wenn wir
alle Terme in (198) aufsummiert haben, so wenig wie eiS eine lokale Transformation
ist. Auch uber Existenz und Eindeutigkeit wird nichts ausgesagt. Man erhalt einen
Eindruck von der Art der Foldy-Wouthuysen-Transformation, wenn man das einfache
Beispiel A0 = A = 0 betrachtet.
3.4.1 Die FW-Transformation fur freie Teilchen
Fur freie Teilchen ist es zweckmaig, die Impulsdarstellung zu wahlen. Darin hat die
Energie die Form H = m + p. Wir zerlegen den Impuls nach Betrag und Richtung,
p = pn, machen den Ansatz
iS = n
43
( 2 IR)
(199)
und beachten, da die Matrizen k = k antihermitesch sind. Wir finden:
S 2 = ?2 j k nj hk = 2jk nj nk 1l = 21l
d.h.
Sn
Hieraus folgt
2k 1l falls n = 2k
= 2k S falls n = 2k + 1
X in n
sin S
S
=
cos
1l
+
i
n=0 n!
= cos 1l + sin n
Der transformierte Hamilton-Operator hat die Gestalt
H 0 = eiS He?iS
= (cos 1l + sin n)(m + p n)(cos 1l ? sin n)
= (cos 1l ? sin n)(m1l + p n)(cos 1l ? sin n)
= (A1l + B n)
= A + B n
(beachte ( n)2 = ?1l) mit
A = 2p sin cos + m(cos2 ? sin2 )
= p sin 2 + m cos 2
B = p(cos2 ? sin2 ) ? 2m sin cos = p cos 2 ? m sin 2
Damit H 0 blockdiagonal wird, mu B = 0 gelten. Dies bestimmt den Winkel :
tan 2 = mp
d.h.
sin 2 = Ep ; cos 2 = m
(200)
E; A = E
p
mit E = m2 + p2 und dem Ergebnis
E 1l 0 0
H = A = E = 0 ?E 1l
(201)
Wie zu erwarten war, gilt H = E 1l, d.h. sowohl Elektronen wie Positronen haben die
Energie E .
Kehren wir zur Ortsdarstellung zuruck, so ist E durch den Pseudo-Differentialoperator
p 2
1 2 + : : :
m ? = m ? 21m ? 8m
3
representiert, der eine 1=m-Entwicklung besitzt. Brechen wir diese ab, so entsteht
ein lokaler Operator als Naherung von H 0. A hnlich haben wir uns das Verhalten von
H 0 vorzustellen, wenn das Elektron (Positron) sich in einem schwachen aueren Feld
bewegt.
eiS =
44
3.4.2 Die FW-Transformation im allgemeinen Fall
Wir setzen voraus, da die Potentiale A0 und A zeitunabhangig sind. Das erlaubt uns,
einen t-unabhangigen Operator S zu wahlen, so da
1
X
H 0 = eiS He?iS = H + n1! [iS; [iS; [iS; H ]| {z ]]}
n=1
n
Wir zerlegen die Hamilton-Operatoren geeignet:
H 0 = m + G0 + U 0
H = m + G + U;
indem die Terme G und G0 als "gerade\ angesprochen werden, weil sie blockdiagonal
sind. Hingegen haben die "ungeraden\ Terme U und U 0 nur Eintragungen in den Nebenblocken (sie transformieren in und umgekehrt). Naturgema beginnen wir mit
U = P
G = eA01l;
Ziel der FW-Transformation ist es, U 0 = 0 zu erreichen bis auf Terme hoher Ordnung
in 1=m. Die Transformation vollziehen wir in drei Schritten.
1. Schritt. Wir bestimmen den Operator S in einer Weise, da er von der Ordnung
m?1 ist und sein Kommutator mit m den ungeraden Anteil von H zum verschwinden
bringt:
H 0 = H + [iS; H ] + : : : = m + G + U + [iS; m ] + : : :
d.h. U + [iS; m ] = 0 oder
iS = 21m U = 21m P
Sodann berechnen wir die notigen Korrekturen:
U + [iS; H ] = 21m [U; G] + m1 U 2
1 [iS; [iS; H ]] = ? 1 U 2 ? 1 [U; [U; G]] ? 1 U 3
2
2m
8m2
2m2
1 [iS; [iS; [iS; H ]]] = 1 U 3 + : : :
6
6m2
und erhalten (durch Abbruch der Reihenentwicklung)
1 [U; [U; G]] + : : :
G0 = G + 21m U 2 ? 8m
2
1 U3 + : : :
U 0 = 21m [U; G] ? 3m
2
Das Ergebnis des ersten Schrittes ist, da U 0 nunmehr die Ordnung m?1 besitzt.
45
2. Schritt. Wir fuhren eine zweite unitare Transformation durch, diesmal mit dem
erzeugenden Operator (der Ordnung m?2)
iS 0 = 21m U 0
und erhalten den neuen Energie-Operator als
H 00 = m + G00 + U 00 = eiS0 H 0e?iS0 = m + G0 + U 0 + [iS 0; H 0] + : : :
wobei wir auch hier auf hohere Terme verzichten. Ergebnis:
G00 = G0 + : : :; U 00 = 21m [U 0 ; G0] + : : :
Das Ergebnis des zweiten Schrittes ist, da U 00 nunmehr die Ordnung m?2 besitzt.
3. Schritt. Schlielich fuhren wir eine dritte unitare Transformation durch mit dem
erzeugenden Operator (der Ordnung m?3)
iS 00 = 21m U 00
mit dem Ergebnis
H 000 = m + G000 + U 000 = eiS00 H 00e?iS00 = m + G0 + : : :
indem U 00 +[iS 00 ; m ] = 0 genutzt wurde. Das heit: In der von uns gewahlten Naherung
gilt G000 = G00 = G0 und U 000 = 0. Wir haben somit nur noch die Terme in G0 zu
analysieren:
U 2 = ( P )2 = 1l( 1i r ? eA)2 ? 2e B
[U; G] = ?ie rA0 = ie E
[U; [U; G]] = ie[ P ; E ]
e[X
r; E ]
= e j k (@j Ek ) + 4e (E 1i r)
jk
= e1l div E + 4e (E 1i r)
Terme, die bilinear in den Komponenten des Potential A sind, wurden hierbei vernachlassigt. Ebenso wurde benutzt, da r E = 0 gilt.
Der transformierte Hamilton-Operator ist in der gewunschten Naherung blockdiagonal und hat die Form
1
e
000
2
1
H = m + 2m ( i r ? eA) ? m B + eA0
e
1
(202)
? 8m2 div E + 4 (E i r)
Die letzten beiden Terme beschreiben relativistische Korrekturen zur Pauli-Theorie.
46
Schreiben wir H 000 in der Form (197), so erhalten wir die beiden Hamilton-Operatoren, H+ fur das Elektron, H? fur das Positron:
1
2
1
H = m + 2m ( i r ? eA) eA0 1l ? me S B
e
1
(203)
8m2 div E + 4S (E i r)
mit dem Spin-Operator S = 12 . Der Operator H? geht aus dem Operator H+ durch
eine dreifache Operation hervor:
i ! ?i
komplexe Konjugation
e ! ?e
Ladungsumkehr
S ! ?S
Spinumkehr
Wir stellen somit fest, da Teilchen und Antiteilchen die entgegengesetzte Ladung tragen. Eine letztlich befriedigende Begrundung der drei genannten Operationen jenseits
der Storungstheorie erhalten wir durch Ruckkehr zur Dirac-Theorie. Dort werden die
drei Operationen zu einer Operation zusammengefat, die man Ladungskonjugation
nennt (siehe hierzu den nachsten Abschnitt).
Gehen wir von einem Zentralpotential V (r) = eA0(r) aus, so erhalten wir
x ; S (eE 1 r) = ? e dV S L; L = x 1 r
eE = ? dV
i
i
dr r
r dr
und somit
H+ = m + 21m ( 1i r ? eA)2 + eA0 1l ? me S B
e 1l divE
?
(204)
S
L
+ 2me2r dV
dr
{z
}
|
|8m2 {z }
Spin-Bahn-Kopplung
Darwin-Term
In dem Coulomb-Potential eines wasserstoffahnlichen Atoms gilt
e dV = Z ; e divE = ?4Z 3(x)
r dr r3
Der Darwin-Term wirkt also wie ein -formiger Beitrag zum 1=r-Potential. In einer
naherungsweisen Berechnung der Feinstruktur von Atomen geht man von der approximativen Gestalt (204) der Energie aus. Nur fur kleine Werte von Z ist ein solches
Vorgehen gerechtfertigt.
3.5 Die Ladungskonjugation
Es soll nun gezeigt werden, wie eine Transformation 7! c des Dirac-Spinors ausgefuhrt werden kann, so da c einer Dirac-Gleichung mit entgegengesetzter Ladung
genugt:
(i@= ? eA= ? m) = 0
(205)
c
(i@= + eA= ? m) = 0
(206)
47
Zunachst folgt aus (205) die Gleichung
(?i@=T ? eA=T ? m) T = 0
(ein hochgestelltes T bezeichnet die transponierte Spinoren bzw. Matrizen). Falls wir
eine Matrix C finden mit
C T = ? C ;
(207)
so leistet die Transformation
c (x) = C (x)T
(208)
das Gewunschte. Wir nennen dann c den ladungskonjugierten Spinor . Zur Konstruktion von C beachten wir, da sowohl in der Dirac- als auch in der van-der-WaerdenDarstellung der -Matrizen die Relationen
= 0; 2
T = ? falls
(209)
falls = 1; 3
gelten, die Matrix C also die Relationen
? C falls = 0; 2
C = C falls = 1; 3
zu erfullen hat. Eine mogliche Wahl ist C = i 2 0, so da man in der Dirac-Darstellung
die folgende Matrix erhalt:
0 0 0 0 ?1 1
B 0 0 1 0 CC
(210)
C=B
B@ 0 ?1 0 0 CA
1 0 0 0
In jedem Fall gelten die Beziehungen
C ?1 = C = C T = ?C; C = C
(211)
und
C5 = 5C; C = C:
Da C unitar ist, andert die Ladungskonjugation die Normierung nicht:
c c = ( T ) T = = 0 0 = (212)
Da die Ladungskonjugation ! c antilinear und normerhaltend ist, sagen wir, sie
sein antiunitar . Sie lat sich ausdehnen zu einer Operation, die auf komplexe Zahlen,
Spinoren und Matrizen wirkt:
Ist 2 C, so bezeichnet c die konjugiert komplexe Zahl.
Ist u 2 C4, so ist uc = C uT .
Ist A 2 C44, so setzen wir Ac = C AT C ?1
48
Man uberzeugt sich leicht, da die Operation Ladungskonjugation zweifach angewandt
die identische Abbildung ergibt.
Insbesondere finden wir ( )c = ? und
( )c = ?
Dies rechtfertigt unsere fruhere Behauptung, da die Ladungskonjugation auch den Spin
umkehrt.
Wir betrachten die ebene Welle eines Elektrons mit dem Impuls p:
X
(x) = u(p) e?ipx;
u(p) = u(p; )a (p)
Dann hat die ladungskonjugierte Welle die Form c(x) = v(p) eipx mit
v(p) = u(p)c = Cu(p)T
und beschreibt somit ein Positron. Da die Normierung, wie gezeigt, unter der Ladungskonjugation erhalten bleibt und der Spin sein Vorzeichen andert, mussen die
Basis-Spinoren v(p; ?) und u(p; )c bis auf eine Phase ubereinstimmen. Im Lichte
der gefundenen Symmetrie zwischen Teilchen und Antiteilchen, ist es sinnvoll, eine Umdefinition der Basis-Spinoren v(p; ) vorzunehmen:
v(p; ) = u(p; )c = Cu(p; )T ; = 12
(213)
Denn diese Definition berucksichtigt die Spinumkehrung. Folgerichtig schreiben wir den
Anteil negativer Frequenz einer Losung der freien Dirac-Gleichung
Z 3
X (?) (x) = (2 )?3=2 d p v (p)eipx ;
v
(
p
)
=
b (p)v(p; )
(214)
2E
und nennen b (p) die Wellenfunktion eines Positrons (vgl. die A nderung gegenuber
(167)). Denn diese Definition berucksichtigt die komplexe Konjugation als wesentliches
Merkmal der Ladungskonjugation.
Die allgemeine Losung der freien Dirac-Gleichung hat nun die Form
Z 3 X
(215)
a (p)u(p; )e?ipx + b (p)v(p; )eipx
(x) = (2)?3=2 d2Ep
und eine Ladungskonjugation vertauscht lediglich die Rollen von a (p) und b (p):
Z 3
c (x) = (2 )?3=2 d p X b (p)u(p; )e?ipx + a (p)v (p; )eipx
(216)
2E Wir betrachten nun die chirale Zerlegung des Dirac-Spinors,
=
R + L;
R
= 21 (1l + 5) ;
49
L
= 21 (1l ? 5)
(217)
(R steht fur rechtshandig, L fur linkshandig). Wegen @=5 = ?5 @= gilt
(i@= ? eA=)
(i@= ? eA=)
R
L
= m
= m
L
R
Solange m > 0 gilt, koppelt die Dirac-Gleichung links- und rechtshandige Anteile miteinander. Auch der Dirac-Strom verknupft rechts mit links:
= L R + R L
(218)
Aus 5c = ?5 folgt
( c )R = ( L )c ;
( c)L = ( R)c
(219)
Unter Ladungskongugation werden somit linkshandige Spinoren zu rechtshandigen Spinoren und umgekehrt. Auch das Verhalten der Zerlegung = (+) + (?) fur Losungen
der freien Dirac-Gleichung sagt uns, da unter einer Ladungskonjugation Teilchen und
Antiteilchen miteinander vertauscht werden:
(
() )c
= ( c)()
(220)
Eine Theorie, die rechts- und linkshandige Spinoren nicht gleichbehandelt (schwache Wechselwirkung) ist also weder invariant unter Raumspiegelung (P) noch unter
Ladungskonjugation (C), moglicherweise aber invariant unter dem Produkt (PC).
3.6 Neutrinos
Die Chiralitat, d.h. der Unterschied zwischen rechts- und linkshandigen Spinoren, wird
besonders deutlich im Fall der Neutrinos, also von Spin-1/2-Teilchen mit Masse Null.
Die Dirac-Gleichung freier Neutinos reduziert sich auf @= = 0. Wegen @=5 = ?5@=,
folgt hieraus
@= R = @= L = 0
(221)
Mit anderen Worten, bei dem U bergang m ! 0 (aquivalent bei hochenergetischen
Elektronen) tritt eine Entkopplung der Spinoren verschiedener Chiralitat ein.
Aus 5S (a) = S (a)5 fur jedes a 2SL(2,C) folgt das Transformationsgesetz
0
0
R (x )
0 0
L (x )
= S (a) R(x);
= S (a) L(x)
x0 = (a)x
d.h. auch ein Wechsel des Bezugssystems mischt die Spinoren verschiedener Chiralitat
nicht. Erst wenn wir eine Raumspiegelung vornehmen, sehen wir, da sie ihre Rolle
vertauschen:
0
0
R (x )
0 0
L (x )
= 0 L(x);
= 0 R(x)
x0 = fx0; ?xg
A hnliches gilt fur die Ladungskonjugation (hier besser Teilchen-Antiteilchen-Konjugation genannt), wie wir im vorigen Abschnitt sahen.
50
Benutzen wir die vdW-Darstellung der -Matrizen , so gilt ganz einfach
!
!
!
0
= ;
R= 0 ;
L= und es folgen die Weyl-Gleichungen
@ = ? r;
@ = r
(222)
@t
@t
Man sieht es diesen Gleichungen nicht an, da sie relativistisch kovariant sind. Aufgrund
unserer Analyse ist dies aber sichergestellt.
Wir betrachten nun eine ebene Welle mit rechtshandiger Polarisation:
(x) = 0 e?ipx ;
p = fjpj; pg; 0 2 C2
Die Weil-Gleichung sagt uns, da p0 0 = p0 gilt. Schreiben wir p = jpjn, so folgt
die Gleichung
n= 1
auf allen rechtshandigen Zustanden: Spin und Impuls sind parallel.
Wir betrachten nun eine ebene Welle mit linkshandiger Polarisation:
(x) = 0 e?ipx;
p = fjpj; pg; 0 2 C2
Die Weil-Gleichung sagt uns, da p00 = ? p0 gilt. Es folgt
n = ?1
auf allen linkshandigen Zustanden: Spin und Impuls sind antiparallel.
Man nennt allgemein die Projektion des Spins auf die Impulsrichtung die Helizitat
einer ebenen Welle. Die theoretisch moglichen Werte fur das Neutrino sind 12 . Die
Helizitat eines masselosen Teilchens (Neutrino, Photon, Graviton etc.) ist Lorentzinvariant; die Helizitat eines massiven Teilchens (Elektron, Proton, Neutron etc.) ist
abhangig vom Bezugssystem.
Die Natur hat sich entschieden. Diejenigen Teilchen, die wir Neutrinos nennen, sind
linkshandig (haben Helizitat ? 12 ). Deren Antiteilchen, die Antineutrinos, sind folglich
rechtshandig (haben Helizitat 12 ), weil die Ladungskonjugation die Helizitat umkehrt.
Was wir Neutrino nennen, was Antineutrino, unterliegt einer Konvention.
Beide Teilchen, Neutrino und Antineutrino einer Sorte, werden durch einen DiracSpinor mit (1l + 5) = 0 beschrieben. Genauer: Nach der Zerlegung = (+) + (?)
beschreibt (+) das Neutrino und ( (?))c = ( c)(+) das zugehorige Antineutrino. Wir
kennen heute drei Sorten von Neutrinos: e , , .
51
4
Greensche Funktionen
Partielle Differentialgleichungen beherrschen die theoretische Physik. Losungen zu gegebenen Randbedingungen beschreibt man am besten durch die zugehorige Greensche
Funktion. Bevor diese Methode auf die Dirac-Gleichung angewandt wird, soll das Prinzip an anderen Beispielen erlautert werden.
4.1 Die Poisson-Gleichung
In der Elektrostatik sucht man die Losung der Poisson-Gleichung
= ?
(223)
(geeignete Einheiten vorausgesetzt) fur ein Potential (x) zu gegebener Ladungsdichte
(x) und Randbedingungen (z.B. = 0 an einer Metalloberflache). Fur den einfachsten
Fall des unendlich ausgedehnten Raumes und Verschwinden des Potentials im Unendlichen lautet die Losung bekanntlich
Z
0
(224)
(x) = d3 x0 4jx(x?)x0 j
Hier ist
G(x; x0) = (4jx ? x0j)?1
(225)
die Greensche Funktion, die den genannten Randbedingungen zugeordnet wird. Sie
erfullt die Differentialgleichung
? G(x; x0 ) = 3(x ? x0 )
(226)
4.2 Die inhomogene Wellengleichung
Die Maxwellschen Gleichungen fuhren bekanntlich auf die inhomogene Wellengleichung
A = j (227)
fur ein Viererpotential A(x) zu gegebener Stromverteilung j (x). Zwei Losungen der
inhomogenen Gleichung unterscheiden sich stets um eine Losung der homogenen Wellengleichung A = 0, also um eine freie elektromagnetische Welle. Spezielle Potentiale
sind durch
Z
x0 )
t0 = t + jx ? x0j
Aav (x) = d3 x0 4jjx(?
0j ;
x
Z
x0 )
0
0
Aret(x) = d3 x0 4jjx(?
x0j ; t = t ? jx ? x j
gegeben. Man nennt sie die avancierte bzw. retardierte Losung. Aus Grunden der
Kausalitat bevorzugt man das retardierte Potential bei Problemen der Abstrahlung von
einer bewegten Ladung.
52
Es gibt jedoch keinen Grund, die avancierte Losung zu verwerfen. Denn, mathematisch gesehen, stellt jede Losung (also auch die avancierte) sich dar als eine Superposition
der retardierten Losung mit einer freien einlaufenden Welle:
A(x) = Aein(x) + Aret(x)
(228)
Die Interpretation der beiden Terme ist wie folgt: Wahrend Aein(x) eine Welle beschreibt, die in der fernen Vergangenheit bereits da war, hat das retardierte Potential
seine Ursache in der Stromverteilung. Andererseits konnen wir die gleiche Losung {
durch Vertauschung von Zukunft und Vergangenheit { als eine Superposition der avancierten Losung mit einer freien auslaufenden Welle darstellen:
A(x) = Aaus(x) + Aav (x)
(229)
Aus der Gleichheit der rechten Seiten von (228) und (229) folgt die Beziehung
Aaus(x) ? Aein(x) = Aret(x) ? Aav (x);
(230)
wobei die rechte Seite eine freie Welle beschreibt, die durch Abstrahlung von der Quelle
entsteht.
Die Bedingung t0 = t ? jx ? x0 j bei der Definition des retardierten Potentials kann
durch ein zusatzliches Zeitintegral
Z1
dt0 (t ? t0 ? jx ? x0j)f g
1
erzwungen werden. Es ist auf diese Weise moglich, die retardierte Losung durch ein
vierdimensionales Integral auszudrucken:
Z
Aret(x) = d4x0 Dret(x ? x0)j (x0);
(231)
mit der retardierten Greenschen Funktion
? r) = 1 (t)(t2 ? r2); x = ft; xg; r = jxj
Dret(x) = (4t r
2
Bei der Umformung haben wir von der Identitat
1
2
2
(t ? r ) = 2r (t ? r) + (t + r)
Gebrauch gemacht. Die retardierte Greensche Funktion erfullt die Gleichung
(232)
Dret (x) = 4(x)
(233)
Z
Aav (x) = d4x0 Dav (x ? x0)j (x0);
(234)
In ahnlicher Weise schreiben wir
53
mit der avancierten Greenschen Funktion
+ r) = 1 (?t)(t2 ? r2);
Dav (x) = (t4r
(235)
2
Es gilt Dav (x) = Dret(?x), Dav (x) = 4(x) und
(236)
Dret(x) ? Dav (x) D(x) = 21 (t)(t2 ? r2); (t) = (t) ? (?t)
Die hierdurch eingefuhrte D-Funktion ist eine Losung der homogenen Wellengleichung,
und (230) kann nun so geschrieben werden:
Z
Aaus(x) = Aein(x) + d4x0 D(x ? x0)j (x0)
(237)
Das rechts auftretende Integral bestimmt die von einer bewegten Ladung abgestrahlte
elektromagnetische Welle. Die Funktion D sowie die Greenschen Funktionen Dav und
Dret sind Distributionen, die ihren Trager auf dem Lichtkegel t2 ? r2 = 0 haben.
4.3 Die Schrodinger-Gleichung
In der Quantenmechanik suchen wir Losungen der Schrodinger-Gleichung
i dtd = H ; H = H0 + V
(238)
(h = 1). Wir schreiben diese Losung als t = e?itH 0 und suchen eine Umformung zu
einer Integralgleichung. Hierzu definieren wir den Operator
A(t) = e?itH ? e?itH0
und finden fur dessen Ableitung:
i dtd A(t) = He?itH ? H0e?itH0
?
itH
?
itH
= He ? H0 e ? A(t)
= V e?itH + H0A(t)
Diese Differentialgleichung fur A(t) konnen wir auch so schreiben:
e?itH0 i dtd eitH0 A(t) = V e?itH
Mit der Anfangsbedingung A(0) = 0 lat sie sich formal losen:
Zt
iA(t) = dt1 e?i(t?t1 )H0 V e?it1 H
0
Indem wir den Anfangszeitpunkt t0 beliebig wahlen, erhalten wir
Zt
iA(t ? t0) = dt1 e?i(t?t1 )H0 V e?i(t1 ?t0)H
t0
54
(239)
Wir setzen t > t0 voraus. Die Begrenzung der Integrationsvariable t1 auf das Intervall
[t0; t] lat sich durch Einfuhrung von -Funktionen beschreiben:
Zt
Z1
dt1f g = dt1 (t ? t1)(t1 ? t0)f g
t0
?1
Dies wiederum legt nahe, die folgenden Operatoren einzufuhren:
?(t) = ?i(t)e?itH
?0 (t) = ?i(t)e?itH0
Offenbar fuhrt (239) zu einer Integralgleichung fur ?(t):
Z1
?(t ? t0) = ?0 (t ? t0 ) + dt1 ?0(t ? t1) V ?(t1 ? t0)
?1
(240)
(241)
(242)
Wir betrachten speziell die Situation eines einzelnen Teilchens der Masse m, das sich
in einem Potential V bewegt. Zu einer Gleichbehandlung von Raum und Zeit gelangen
wir durch Einfuhrung der retardierten Greenschen Funktionen als Integralkerne der
Operatoren ?(t) und ?0(t) in der Ortsdarstellung (wir schreiben wieder x = ft; xg und
x0 = ft0; x0g):
Gret(x; x0) = hxj?(t ? t0 )jx0i = ?i(t ? t0 )hxje?i(t?t0 )H jx0i
(243)
0 )H0 0
0
0
0
0
?
i
(
t
?
t
0
Gret(x; x ) = hxj?0(t ? t )jx i = ?i(t ? t )hxje
jx i
(244)
Es ergibt sich somit die Integralgleichung
Z
0
Gret(x; x0) = Gret(x; x0) + d4x1 G0ret(x; x1)V (x1)Gret(x1; x0)
(245)
(sogar gultig, wenn V (x1) von t1 abhangig ist, obwohl unsere Ableitung diese Moglichkeit
nicht vorsah), wobei
!3=2 (
0 j2 )
m
j
x
?
x
m
0
0
0
(246)
Gret(x; x ) = ?i(t ? t ) 2i(t ? t0 ) exp ? 2i(t ? t0)
die sog. freie retardierte Greensche Funktion darstellt.
Aus d(t)=dt = (t) folgt
!
d
i dt ? H (t)e?itH = i(t)I
(I =Identitat) und somit
!
d
hxj i dt ? H ?(t ? t0 )jx0i = (t ? t0)3(x ? x0 ) = 4(x ? x0)
Die retardierte Greensche Funktion erfullt also die partielle Differentialgleichung
!
1
@
(247)
i @t + 2m ? V (x) Gret(x; x0) = 4(x ? x0 )
55
Die freie Funktion G0ret(x; x0) erfullt die analoge Gleichung mit V (x) = 0.
Die Gleichung (245) gestattet { gema dem Proze der sukzessiven Approximation
{ eine Reihenentwicklung nach Potenzen des Potentials:
Gret(x; x0) = G0retZ (x; x0)
+ d4x1 G0ret(x; x1)V (x1)G0ret(x1; x0)
Z
Z
+ d4x2 d4x1 G0ret(x; x2)V (x2)G0ret(x2; x1)V (x1)G0ret(x1; x0)
+
(248)
Diese Formeln begrunden die Storungstheorie fur die retardierte Greensche Funktion.
Man kann die Entwicklung anschaulich interpretieren als eine Summe uber uber Ereignisse und jedes Ereignis graphisch darstellen. Die Konvergenz der Reihe bleibt jedoch
ein wichtiges (hier ungelostes) Problem.
Die retardierte Greensche Funktion lost das Problem der Zeitentwicklung einer Wellenfunktion in dem Sinne, da
Z
(t; x) = d3x0 iGret(t; x; t0; x0) (t0; x0) (t > t0 )
(249)
gilt, aquivalent mit
(t; x) =
Z
d3x0 iG0ret(t; x; t0; x0) (t0; x0)
Z
Z
3
+ d x0 d4x1 G0ret(t; x; x1)V (x1)iGret(x1; t0; x0) (t0; x0)
Durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge erhalt man eine einfachere Relation,
die (x) erfullt (fur t > t0 ):
Z
Z
(x) = d3x0 iG0ret(x; t0; x0) (t0; x0 ) +
d4x1 G0ret(x; x1)V (x1) (x1)
(250)
t1 t0
Sie beschreibt (x) als Summe einer freien Welle und einer Streuwelle. Zur Erinnerung: Ein Streuexperiment ist dadurch charakterisiert, da eine einlaufende freie Welle
existiert, die in der fernen Vergangenheit (Zeit t0 = ?1) mit der Losung (t; x) ubereinstimmt. Diese freie Welle ist gerade durch den ersten Term in (250) charakterisiert,
so da dem Streuproblem die folgende Integralgleichung entspricht:
Z
(x) = ein(x) + d4x1 G0ret(x; x1)V (x1) (x1)
(251)
Die Wahl von ein(x) ist uns freigestellt und entspricht einer Randbedingung fur die
Losung (x) der Schrodinger-Gleichung. Andererseits hat jede Losung die Form (251),
wie wir sahen. Wenn wir in unserer Argumentation Vergangenheit und Zukunft vertauschen, so gelangen wir zu der analogen Darstellung
Z
(x) = aus(x) + d4x1 G0av (x; x1)V (x1) (x1)
(252)
56
mit einer freien auslaufenden Welle aus(x). Sie ist nun nicht mehr beliebig wahlbar, da
wir uber (x) bereits verfugt haben. Vielmehr ist sie durch die einlaufende freie Welle
ein (x) und das Potential V festgelegt. Die Definition der freien avancierten Greenschen
Funktion lautet
G0av (x; x0) = i(t0 ? t)hxje?itH0 jx0i
(253)
Die Durchfuhrung eines Streuexperimentes geschieht gewohnlich so, da die einlaufende Welle einen festen Impuls p hat und da die auslaufende Welle wiederum nach
den darin vorkommmenden Impulsen p0 analysiert wird:
x) = (2)?3=2eZipx
?3=2 d3 p0 eip0 x hp0 jS jpi
aus (0; x) = (2 )
ein (0;
Man spricht in diesem Zusammenhang von der S-Matrix und nennt hp0jS jpi das SMatrixelement zu gegebenen Anfangs- und Endimpuls.
Die Gleichungen (251) und (252) erlauben nun die Darstellung
Z
4
0
(254)
aus (x) = ein (x) + d x1 G (x; x1 )V (x1 ) (x1 )
mit
G0(x; x0) = G0ret(x; x0) ? G0av (x; x0) = ?ihxje?i(t?t0 )H0 jx0 i
Man schreibt daher (mit E = p2 =(2m) und E 0 = p02=(2m))
i (E ? E 0)f (p0 ; p)
hp0jS jpi = 3(p0 ? p) + 2m
und nennt f (p0; p) die Streuamplitude . Die Darstellung ist gultig nur fur zeitunabhangige
Potentiale. Die Quantenmechanik lehrt, da d=d
= jf (p0; p)j2 der differentielle Wirkungsquerschnitt ist, den man in einem Experiment bestimmt. Vergleiche hierzu den
Abschnitt 4.5.
In erster Ordnung der Storungstheorie setzen wir = ein in (254) und erhalten
nach einer einfachen Rechnung die sogenannte Bornsche Naherung
Z
m
0
fBorn(p ; p) = ? 2 d3x ei(p?p0)x V (x)
(255)
Von einem konstanten Faktor abgesehen, ist die Streuamplitude mit dem Fourier-transformierten Potential identisch.
Es soll nicht verschwiegen werden, da die Existenz der Streumatrix (besser: Streuoperator) S und dessen Unitaritat ein mathematisches Problem darstellt und die Entscheidung daruber von den Eigenschaften des Potentials (Abfall im Unendlichen) abhangig ist. Wir sehen dieses Problem besser, indem wir schreiben:
(t; x) = e?itH (x)
?itH0 (x)
ein (t; x) = e
ein
?
itH
0
aus (x)
aus (t; x) = e
57
Ein Zustand (x) heit Streuzustand , wenn fur ihn die beiden Asymptotenbedingungen
lim ke?itH ? e?itH0 eink t!?1
lim keitH0 e?itH ? eink = 0
t!?1
und
tlim
!1 ke
?itH ? e?itH0 aus
itH0 ?itH ? k = 0
k tlim
aus
!1 ke e
erfullt sind, d.h. wenn eitH0 e?itH in beiden Zeitrichtungen konvergiert. In diesem Fall
existieren die Mller-Operatoren
= t!1
lim eitH0 e?itH
auf dem Unterraum HStr der Streuzustande, und es gilt
= I;
= PStr
wenn PStr den Projektor auf HStr bezeichnet. Aus der Definition der Mller-Operatoren
folgt unmittelbar
eitH0 e?itH = und somit
H0 = H
Der Streuoperator S = +
? hat dann die Eigenschaft H0S = SH0 (Erhaltung der
Energie). Das Vollstandigkeitsproblem besteht nun darin, nachzuweisen, da der Wertebereich der Mller-Operatoren der gesamte Hilbertraum H ist. In diesem Fall ist der
Streuoperator unitar.
4.4 Der Feynman-Propagator
4.4.1 Der freie Propagator
Die Dirac-Theorie erlaubt ebenfalls die Konstruktion einer Reihe von Greenschen Funktionen. Sie sind alle als Matrixfunktionen aufzufassen, d.h. sie ergeben fur jeden Wert
ihrer Argumente eine 4 4-Matrix. Darunter ist eine Funktion ausgezeichnet, die man
den Feynmanschen Propagator nennt. Diesen wollen wir nur fur den Fall konstruieren,
wo wir es mit freien Teilchen zu tun haben.
Der Feynmansche Propagator SF(x) ist durch zwei Bedingungen charakterisiert:
1. Er erfullt die Differentialgleichung
(i@= ? m)SF (x) = 4(x)1l
2. Fur t = x0 > 0 besitzt SF(x) nur positive Frequenzen, fur t = x0 < 0 nur negative
Frequenzen.
58
Die erste Bedingung charakterisiert alle Greenschen Funktionen der freien DiracGleichung, wahrend die zweite (Feynmansche Rand-)Bedingung eine physikalisch motivierte Forderung darstellt, die zu einer eindeutigen Losung fuhrt.
Um die Feynmansche Funktion zu konstruieren, fuhren wir eine Fourier-Transformation aus:
Z
?
4
(256)
SF(x) = (2) d4p e?ipx S~F(p)
und erhalten aus der 1. Bedingung:
(p= ? m)S~F(p) = 1l;
also
m
S~F(p) = p= ?1 m = pp=2 +
? m2
In (256) eingesetzt fuhrt dies zu einem Integral mit singularem Integranden. Wir denken
uns die p0 -Integration zuerst (also bei festem p) ausgefuhrt und schreiben
q
p2 ? m2 = p20 ? E 2; E = m2 + p2
Der Integrand ist eine meromorphe Funktion in der komplexen Variablen p0 mit zwei
einfachen Polen auf der reellen Achse, namlich bei p0 = E . Jeder Integrationsweg
C von p0 = ?1 nach p0 = +1, der diese Pole vermeidet, definiert eine bestimmte
Greensche Funktion. Um die 2. Bedingung { die Feynmansche Randbedingung { zu
erfullen, mu der Weg so gelegt werden, wie in der Abbildung gezeigt:
Im p0
-
?E
s
?
?
C
s
E
Re p0
Grund: Fur t > 0 ist der Integrand eine fur Im p0 < 0 (untere Halbebene) abfallende
Funktion. Wir konnen somit den Integrationsweg C schlieen durch Hinzunahme eines halbkreisformigen Weges in der unteren Halbebene mit groem Radius, ohne den
Wert des Integrals zu verandern. Das so entstandene Integral werten wir mit Hilfe des
59
Residuensatzes aus; denn es schliet genau einen Pol ein, den Pol bei p0 = E :
Z d3p
Z dp0
0
p
0 ? p + m
i
px
?
ip
t
0
t>0:
SF(x) = (2)3 e C 2 e (p ? E )(p + E )
0
0
Z d3p
0
p + m
= (2)3 eipx?iEt E ?2iE
Z d3 p
?
i
= (2)3 2E e?ipx (p= + m);
p = fE; pg
= ?i(i@= + m)+(x)
(257)
mit der +-Funktion aus der Klein-Gordon-Theorie:
Z d3p
1
p = fE; pg
(258)
+(x) = (2)3 2E e?ipx;
Nun interessiert die Frage, wie sich SF(x) fur negative Zeiten verhalt. Denn dieses
Verhalten ist nun festgelegt. Fur t < 0 ist der Integrand eine fur Im p0 > 0 (obere
Halbebene) abfallende Funktion. Wir konnen somit den Integrationsweg C schlieen
durch Hinzunahme eines halbkreisformigen Weges in der oberen Halbebene mit groem
Radius, ohne den Wert des Integrals zu verandern. Das so entstandene Integral werten
wir wieder mit Hilfe des Residuensatzes aus; denn es schliet genau einen Pol ein, den
Pol bei p0 = ?E :
Z d3p
Z dp0
0
i
px
t<0:
SF(x) = (2)3 e C 2 e?ip0 t (pp0? E?)(pp ++ mE )
0
0
Z d3p
0
= (2)3 eipx+iEt ?E 2?iEp + m
Z d3 p
?
i
= (2)3 2E eipx (?p= + m);
p = fE; pg
= ?i(i@= + m)?(x)
(259)
Um von der zweiten zur dritten Zeile zu gelangen, haben wir im Integral die Substitution
p ! ?p vorgenommen. Schlielich fuhrten wir die ?-Funktion aus der Klein-GordonTheorie ein:
Z d3p
1
p = fE; pg
(260)
?(x) = (2)3 2E eipx ;
Insgesamt erhalten wir so eine fur alle Werte von t gultigen Darstellung:
SF(x) = (i@= + m)F (x)
(261)
iF(x) = (t)+(x) + (?t)? (x)
(262)
Hierbei ist F(x) der Feynman-Propagator der Klein-Gordon-Theorie. Er lost die Gleichung
( + m2 )F(x) = ?4(x)
fur die Feynmanschen Randbedingungen. Diese Gleichung und (261) zusammen mit
(i@= ? m)(i@= + m) = ?( + m2) fuhren automatisch zu (i@= ? m)SF(x) = 4 (x).
60
In der obigen Konstruktion wurde ein bestimmter Weg C vorgeschlagen. Ist er
eindeutig, also eine Folge der 2. Bedingung? Man macht sich klar: Jede andere Wahl
des Weges C wurde nicht den Effekt haben, da fur t > 0 (t < 0) nur der Pol p0 =
E (p0 = ?E ) fur den Wert des Integrals ausschlaggebend ist und somit nur positive
(negative) Frequenzen auftreten. Jede Teilforderung (entweder diejenige fur t > 0 oder
fur t < 0) reicht nicht aus, den Propagator festzulegen!
Zur Bestimmung von F(x) durch ein Integral uber Viererimpulse mussen wir {
so wie oben geschehen { die komplexe p0-Ebene betrachten. Dies ist unbequem aber
vermeidbar, wenn wir den folgenden Ausdruck einfuhren:
p2 ? m2 + i0 = p20 ? E 2 + i0 = (p0 ? E + i0)(p0 + E ? i0)
Unter i0 verstehen wir eine kleine positiv-imaginare Groe, die nach Ausfuhrung aller
Integrationen gegen Null strebt. Es ist darum moglich, quadratische (oder hohere Potenzen) dieser Groe zu vernachlassigen, ebenso, 2E i0 mit i0 zu identifizieren, weil
E > 0 gilt. Ohne komplexe Integration konnen wir jetzt schreiben:
Z
F(x) = (2)?4 d4p e?ipx p2 ? m12 + i0
(263)
Die i0-Vorschrift fuhrt dazu, da die Pole ein wenig von der reellen Achse entfernt
liegen und zwar bei E ? i0 bzw. ?E + i0, so da der Integrationsweg entlang der reellen
p0-Achse diese Pole in der korrekten Weise passiert.
4.4.2 Der Streuoperator fur ein aueres Potential
Die Dirac-Gleichung mit auerem Potential schreiben wir so, als ob es sich dabei um
eine inhomogene Differentialgleichung handelt:
(i@= ? m) = eA=
(264)
Die allgemeine Losung hat dann die Gestalt
Z
(x) = 0(x) + d4x0 SF(x ? x0)eA=(x0) (x0)
(265)
wobei (i@= ? m) 0(x) = 0 gilt und die Wahl von 0(x) einer Randbedingung entspricht.
Nun ist 0(x) i.allg. weder mit der einlaufenden noch mit der auslaufenden Welle
identisch. Diese ergeben sich vielmehr aus dem Verhalten von (265) fur t ! 1:
Z
(
x
)
=
(
x
)
?
d4x0 iS+(x ? x0)eA=(x0) (x0)
(266)
aus
0
Z
4 0
0 =(x0 ) (x0)
(267)
ein (x) =
0 (x) ? d x iS? (x ? x )eA
mit
S(x) = (i@= + m)(x);
(268)
Losungen von (i@= ? m)S(x) = 0. Beide Wellen, ein- wie auslaufend, enthalten i.allg.
zugleich positive wie negative Frequenzen. Aufgabe der Funktion 0 (x) ist es, die physikalische Randbedingung in einem Streuexperiment festzulegen. Sie lat sich durch die
61
asymptotischen Zustande ausdrucken. Denn aus (266) folgt die Gleichung
(+)
= 0(+), so da gilt:
ebenso aus (267) die Gleichung ein
(+)
(?)
0 (x) = ein (x) + aus (x)
(?)
aus
=
(?)
0 ,
(269)
Die Integralgleichung (265) zur Bestimmung von (x), zur Losung des Streuproblems
also, verlangt, da wir 0 kennen. Zwei Situationen sind hierbei hervorzuheben:
(+)
(?)
Elektronenstreuung:
aus = 0, d.h. 0 = ein
(+)
(?)
Positronenstreuung:
ein = 0, d.h. 0 = aus
Nach Wahl von 0 lat sich die Losung formal durch eine Storungsreihe ausdrucken,
d.h. als eine formale Potenzreihe nach der Kopplungskonstanten e. Hierzu schreiben
wir (265) abkurzend
= 0 + eSF A=
und erhalten die gewunschte Reihe als
=
= 0+e
0 + eSF A
2S
=SFA= 0 + e
FA
3S A
=SFA= 0 +
F =SF A
Ist (x) bekannt, so liefern die Gleichungen
Z
(+)
4 0
0 =(x0) (x0 )
(+) (x) =
ein (x) ? d x iS+ (x ? x )eA
aus
Z
(?)
(?) (x) ? d4 x0 iS (x ? x0 )eA
(
x
)
=
=(x0) (x0)
?
ein
aus
(270)
(271)
(272)
die fur die Analyse des Streuproblems notwendigen Beziehungen zwischen den asymptotischen Zustanden. Die Analyse geht von ebenen Wellen aus.
Die Streuung (p; ) ! (p0; 0) eines Elektrons fuhrt zu dem folgenden Ansatz:
= e?ipxu(p; )
Z 30
= d2Ep0 e?ip0 xu(p0; 0)hp00jS jpiElektron
Die Streuung (p; ) ! (p0; 0) eines Positrons wird analog beschrieben:
(+)
ein (x)
(+)
aus (x)
= eip0 xv(p0; 0)
Z 3
= d2Ep eipx v(p; )hp00jS jpiPositron
Im ersten Fall (Elektronstreuung) machen wir Gebrauch von den Formeln
Z
(+) (x) = hp0 0 jS jp i
(2)?3 d3x eip0 xu(p0; 0) aus
Elektron
Z
(+)
(x) = 2E3(p ? p0 )0
(2)?3 d3x eip0 xu(p0; 0) ein
Z
?
3
(2) d3x eip0 xu(p0; 0)S+ (x ? x0) = (2)?3eip0 x0 u(p0; 0)
(?)
aus (x)
(?)
ein (x)
62
Fur die letzte Zeile benutzten wir
u(p0; 0)(p=0 + m) = u(p0; 0)
X
u(p0 ; )u(p0; ) = 2E 0u(p0; 0)
Aus (271) folgt dann die Darstellung
Z
hp00jS jpiElektron = 2E3(p ? p0)0 ? i(2)?3 d4x eip0 x u(p0; 0)eA=(x) (x) (273)
Beachte: (x) hangt von p und ab.
Im zweiten Fall (Positronstreuung) machen wir Gebrauch von den Formeln
Z
(?)
(x) = hp0 0jS jpiPositron
(2)?3 d3x e?ip0 xv(p; ) ein
Z
(+) (x) = 2E 3 (p ? p0 ) 0
?
3
(2) d3x e?ip0 xv(p; ) aus
Z
(2)?3 d3x e?ip0 xv(p; )S?(x ? x0) = ?(2)?3e?ip0 x0 v(p; 0)
Fur die letzte Zeile benutzten wir
v(p; )(?p= + m) = ?v(p; )
X
0
Aus (272) folgt dann die Darstellung
v(p; 0)v(p; 0) = ?2E v(p; )
Z
hp00jS jpiPositron = 2E3(p ? p0)0 + i(2)?3 d4x e?ipxv(p; )eA=(x) (x)
(274)
Beachte: hangt von p0 und 0 ab.
Eine oft benutzte Naherung stellt die Born-Approximation dar. Hierzu setzen wir
(+)
(?) in (274) und erhalten:
in (273) bzw. = aus
= ein
Z
(275)
hp00jS ? I jpiElektron = ?i(2)?3 d4x ei(p0 ?p)xu(p0; 0)eA=(x)u(p; )
beziehungsweise
hp00jS ? I jpi
Positron
= i(2)?3
Z
d4x ei(p0 ?p)xv(p; )eA=(x)v(p0; 0)
(276)
4.4.3 Der Propagator fur ein aueres Potential
Wir kehren zuruck zu der Reihendarstellung (270) fur die Losung (x) der DiracGleichung in einem aueren Potential A (x) in Abhangigkeit von der freien Losung
0 (x), die das asymptotische Verhalten beschreibt. Man erkennt darin die Reihe
SF0 = SF + eSF A=SF + e2 SFA=SFA=SF + (277)
deren Terme unabhangig von 0 sind. Wahrend der freie Propagator SF(x ? x0) wegen
Translationsinvarianz nur von der Differenz x ? x0 abhangt, gilt dies nicht mehr fur
63
SF0 (x; x0), den Propagator mit Potential, eine Matrixfunktion, deren Reihenentwicklung
so beginnt:
Z
0
SF(x; x0) = SF(x ? x0) + e d4x1 SF(x ? x1)A=(x1)SF(x1 ? x0) + Ein Blick auf (270) zeigt, da { die Kenntnis von SF0 vorausgesetzt { die Losung der
Dirac-Gleichung wie folgt dargestellt werden kann:
=
= 0
0 + eSF A
(278)
Ausgeschrieben heit dies:
Z
(x) = 0(x) + e d4x0 SF(x ? x0)A=(x0) 0(x0)
Das Problem, die Dirac-Gleichung fur alle asymptotischen Zustande 0 zu losen, ist
damit reduziert auf das Problem, den Propagator SF0 bei gegebenen Potential A zu
bestimmen.
Es ist offensichtlich, da die Reihe (277) aus der Integralgleichung
SF0 = SF + eSF A=SF0
(279)
durch den Vorgang der sukzessiven Approximation entsteht, ferner, da durch Anwendung des Dirac-Operators auf beide Seiten von (279) die Differentialgleichung
Z
0
4
(i@= ? m)SF (x; x0) = (x ? x0)1l + e d4y 4(x ? y)A=(y)SF0 (y; x0)
entsteht, gleichbedeutend mit
(i@= ? eA=(x) ? m)SF0 (x; x0) = 4 (x ? x0)1l
(280)
Die Randbedingungen, die die Losung dieser Differentialgleichung in einer solchen Weise
festlegen, da der Feynman-Propagator entsteht, sind durch die Integralgleichung (279)
festgelegt.
Fur Feynman war die Reihe (277) Ausgangspunkt der Pfadintegralmethode . Er interpretierte die Summe bzw. die Integrale darin als eine Summe uber alle Pfade eines
klassischen Punktteilchens (auch Trajektorien oder Weltlinien genannt). Auf dem Weg
von x0 nach x hat ein Elektron die Chance, ohne Streuung vermoge des freien Propagators zum Endpunkt zu gelangen, oder aber auf dem Wege im Punkte x1 gestreut
zu werden (Einfachstreuung), schlielich in Punkten x1 ; x2; : : :; xn gestreut zu werden
(Mehrfachstreuung). Zwischen den Punkten, in denen das Elektron mit dem aueren
Potential wechselwirkt, bewegt es sich frei, d.h. gema dem freien Feynman-Propagator.
U ber alle diese Moglichkeiten ist zu summieren bzw. zu integrieren.
Diese Sichtweise macht den Streuvorgang sehr anschaulich und ist unproblematisch,
solange die Ereignisse x1; x2; : : :; xn zeitlich aufsteigend geordnet sind:
x00 < x01 < x02 < < x0n < x0
64
Zeit
x
x
6
6
6
x1
6
@
@
x
@
@
R
@
x1?
x2
?
?
2
?
?
6
x0
x0
Raum
Abbildung 1: Zwei Weltlinien eines Elektrons als Beitrag 2. Ordnung zum vollen
Feynman-Propagator SF0 (x ? x0). Links: Zwischen den Wechselwirkungspunkten x1
und x2 lauft das Elektron ruckwarts in der Zeit. Dies entspricht der Produktion eines
virtuellen e+e? -Paares im Punkte x2 und einer Paarvernichtung im Punkte x1. Rechts:
Normaler Streuvorgang. Hier ist die Identitat des Elektrons zu jedem Zeitpunkt gewahrt. Die durch Pfeile bezeichneten Strecken reprasentieren den freien Propagator
SF .
Da bei einer Integration uber die Ereignisse auch alle anderen zeitlichen Ordnungen
vorkommen, benotigt man eine Interpretation derjenigen Weltlinien, die in Teilbereichen
rucklaufig sind, d.h. in der Zeit ruckwarts laufen. Hier gibt das Elektron zu gewissen
Zeitpunkten seine Identitat auf, um an anderer Stelle neu zu entstehen (siehe die Figur).
Nun haben wir schon fruher festgestellt, da Zeitumkehr und Frequenzumkehr dasselbe
bewirken, namlich den U bergang zum Positron: Ein ruckwarts laufendes Elektron (also
ein Elektron negativer Frequenz) entspricht einem vorwarts laufenden Positron. Virtuelle Paarerzeugung und Paarvernichtung in den Wechselwirkungspunkten sind die Folge.
Nicht die Teilchenzahl ist in Streuprozessen eine Erhaltungsgroe sondern die Ladung.
Sie ist zu jedem Zeitpunkt wahrend des Streuvorganges absolut erhalten.
4.5 Der differentielle Wirkungsquerschnitt
Die Verbindung zwischen dem Streuoperator S und dem Streuexperiment erfordert eine
gesonderte U berlegung. Zunachst ist klar, da fur normierte Zustande die U bergangswahrscheinlichkeit durch jh ausjS j einij2 gegeben ist. Ebene Wellen stellen jedoch keine
normierbare Zustande dar, vielmehr gilt die Orthogonalitatsrelation
hpjp00i = 2E3(p ? p0)0
(281)
65
und die Vollstandigkeitsrelation
X Z d3 p
2E jpihpj = I
(282)
In einem groem Volumen V IR3 gilt anstelle von (281):
Z
hpjp00i = 2E (2)?3 d3x ei(p?p0)x 0
V
Wir gelangen so zu einer akzeptablen Normierung des einlaufenden Zustandes:
hpjpi = 2E (2)?3jV j
(jV j ist der Volumeninhalt von V ).
Ist das Potential A(x) zeitunabhangig, so folgt daraus die Energie-Erhaltung im
Streuproze. Dies berucksichtigen wir durch die Schreibweise
(283)
hp00jS ? I jpi = i f (p00; p)(E ? E 0)
und nennen f (p00; p) die Streuamplitude . Auch dieser Formel liegt eine Idealisierung
zugrunde: Die verstrichene Zeit T (zwischen Anfang und Ende der Streuprozesses) ist
unendlich. Fur endliches T haben wir offensichtlich die folgende Ersetzung vorzunehmen:
Z T=2
0
0
i(E ?E 0 )t = 2 sin((T=2)(E ? E ))
2(E ? E ) !
dt
e
E ? E0
?T=2
Im Sinne der Distributionen gilt
0 )) !2
2
sin((
T=
2)(
E
?
E
1
= 2(E ? E 0)
lim
T !1 T
E ? E0
so da wir { fur genugend groes T { zu einer Ratengleichung gelangen:
1 jhp00jS ? I jpij2 = 1 jf (p00; p)j2(E ? E 0)
T
23
Die Lehre, die man daraus zu ziehen hat, lautet: Nur Wahrscheinlichkeiten pro Zeit (also
Raten) haben einen Sinn im Limes T ! 1. Beachten wir nun noch die Normierung
der ebenen Wellen in einem endlichen Volumen V , so kommen wir zu der Aussage, da
die differentielle Rate fur die Streuung von N Teilchens in das Volumenelement d3p0 des
Impulsraumes, gultig fur p 6= p0 , durch
3 0
3
dR = NT d2Ep0 jhp00jS ? I jpij2 2(2EjV) j
3 0
3
= 23 d2Ep0 (22E) jf (p00; p)j2(E ? E 0)
= vjf (p00; p)j2(E ? E 0)dE 0d
(284)
66
gegeben ist. Um zur letzten Zeile zu gelangen, haben wir die Teilchendichte = N=jV j
eingefuhrt, sind zu Kugelkoordinaten k; ; fur den auslaufenden Impuls p0 ubergegangen mit
k = jp0 j; d
= sin dd; d3p0 = k2 dkd
;
haben kdk = E 0dE 0 benutzt (eine Folge von k2 + m2 = E 02) und die Geschwindigkeit
v = k=E eingefuhrt. Man nennt d
das Raumwinkelelement. Mathematisch gesehen
ist es das Oberflachenelement der Einheitssphare.
Nun erkennt man: Die Streurate dR ist der Stromdichte v der einlaufenden Teilchen
proportional, was unmittelbar plausibel ist. Der Quotient Streurate/Stromdichte wird
als Wirkungsquerschnitt bezeichnet. Im vorliegenden Fall ist es vernunftig, uber die
Endenergie E 0 zu integrieren, da sie durch die Anfangsenergie bereits festgelegt ist. Im
allgemeinen ist weder der einfallende Strahl polarisiert noch ist der Detektor in der
Lage, die Polarisation der gestreuten Teilchen festzustellen. In diesem Fall mittelt man
uber und summiert uber 0.
Als differentiellen Wirkungsquerschnitt bezeichnet man den Ausdruck
X
(285)
d = 21 jf (p00; p)j2d
;0
in d
pro Zeit hinein gestreuten Teilchen
= Zahl der
Stromdichte der einlaufenden Teilchen
R
wahrend = d der totalen Wirkungsquerschnitt ist. Die Bezeichnung erklart sich
daraus, da die Dimension einer Flache besitzt, mithin das Target (Streuzentrum) so
wirkt, als ob es dem Teilchenstrahl eine Flache entgegenstellt, die den Strahl ablenkt.
4.6 Die Mott-Streuformel
Die Formel von Rutherford fur die Streuung von geladenen Teilchen (ursprunglich Teilchen) an dem Coulomb-Potential eines Kerns (Kernladungszahl Z ) erfahrt eine Korrektur, wenn es sich bei den gestreuten Teilchen um schnelle Elektronen handelt. Die
durch die Dirac-Theorie verursachte relativistische Korrektur fuhrt zur Mott-Streuformel, die wir nun berechnen wollen. Hierzu setzen wir eA=(x) = ?Zr?1 0, so da
Z
?
3
0 0
(2) d4x ei(p0 ?p)x eA=(x) = ? jpZ
? p0j2 (E ? E ) Man nennt allgemein q = p ? p0 den Impulsubertrag . Doch ist es mitunter sinnvoll, den
Vierervektor q = p ? p0 so zu nennen. Wegen E = E 0 erweist sich namlich
q2 = (p ? p0)2 = ?q2
als eine Lorentz-Invariante.
In der Bornschen Naherung erhalten wir die Streuamplitude
f (p0 0; p) = Z u(p0; 0) 0u(p; )
q2
67
und hieraus den differentiellen Wirkungsquerschnitt
!
!2 X
d
Z
0 ; 0) 0u(p; )j2
1
j
u
(
p
=
2
2
d
q
Mott
0
(286)
Die Spinsummation lat sich ausfuhren. In einem ersten Schritt fuhrt man die Summe
auf eine Spur von Dirac-Matrizen zuruck:
X 0 0 0
R :=
ju(p ; ) u(p; )j2
0
X
X
= Spur u(p0 ; 0)u(p0 ; 0) 0 u(p; )u(p; ) 0
=
=
0
Spur (p=0 + m) 0(p= + m) 0
Spur p=0 0p= 0 + m2 Spur 0 0
Hierbei verwendeten wir die Vollstandigkeitsrelation der u-Spinoren und die Tatsache
(vgl. U bungsblatt 4), da die Spur eines Produktes von drei -Matrizen verschwindet.
Elementare Algebra fuhrt auf die Identitaten (gultig fur Vierervektoren a; b; c; d):
Spur a==b = 4a b
Spur a==b=cd= = 4(a b c d + a d b c ? a c b d)
(287)
(288)
Mit n = f1; 0; 0; 0g erhalten wir:
R = 4(2p n p0 n ? p p0 + m2 ) = 4(2EE 0 ? p p0 + m2 )
Aus E = E 0 folgt jpj = jp0j, also p p0 = p2 cos und
p p0 ? m2 = p2(1 ? cos ) = 2p2 sin2(=2)
wobei den Streuwinkel bezeichnet. Nun setzen wir = jpj=E und erhalten
2
m2 (1 ? 2 sin2(=2))
R = 8 p2 (1 ? 2 sin2 (=2)) = 8 1 ?
2
Schlielich schreiben wir fur den Impulsubertrag
q2 = 2p2(1 ? cos ) = 4p2 sin2(=2)
setzen die gewonnenen Ausdrucke fur R und q2 in d=d
= (Z=q2) 21 R ein und gewin-
nen so die Endformel
!
Z 22 m2 1 ? 2 sin2 (=2)
d
=
(289)
d
Mott 4p4 sin4(=2)
1 ? 2
Auf der rechten Seite bezeichnet der erste Quotient den Wirkungsquerschnitt nach
Rutherford, wahrend der zweite Quotient die relativistische Korrektur darstellt, die
unter anderem die Tatsache berucksichtigt, da Elektronen einen Spin haben (obwohl
68
p; u
Z
HH
H
p0 ; 0
HH
HH
H
d
Abbildung 2: Streuung von Elektronen an einem Kern der Kernladungszahl Z
dieser im Streuexperiment nicht beobachtet wird). Der Korrekturfaktor ist stets 1
und = 1 nur fur die Ruckwartsstreuung ( = ).
Was andert sich, wenn wir Positronen am gleichen Target streuen? Hier gilt in
Bornscher Naherung
0
0 0
f (p00; p) = ? Z
q2 v(p; ) v(p ; )
Die Spinsumme fuhrt jedoch auf das gleiche Ergebnis:
X
R :=
jv(p; ) 0v(p0; 0)j2
0
X
X
= Spur v(p; )v(p; ) 0 v(p0; 0)v(p0 ; 0) 0
0
0
m)
= Spur (p= ?
?
0
0
0
2
= Spur =p p= + m Spur 0 0
m) 0(p=0
An der Endformel andert sich nichts. Die Tatsache, da Positronen die entgegengesetzte
Ladung tragen, macht sich erst in der nachsten Ordnung der Storungsreihe bemerkbar:
jf j2 = jf1 + 2f2 + j2
= 2jf1j2 + 3 (f1f2 + f2f1) + Denn, wenn f1 das Vorzeichen wechselt, wechselt auch der Interferenzterm f1f2 + f2f1
sein Vorzeichen.
Die Mott-Streuformel (289) ist nicht ohne weiteres auf die Streuung von Elektronen
an Elektronen anwendbar. Denn die Gultigkeit setzt voraus, da die Target-Teilchen
keine Energie aufnehmen, also unendlich schwer sind.
Die Mott-Streuformel (289) besitzt typische Eigenschaften, die von dem schwachen
Abfall des Potentials im Unendlichen (Langreichweitigkeit) herruhrt:
Der differentielle Wirkungsquerschnitt strebt fur ! 0 gegen Unendlich.
Der totale Wirkungsquerschnitt = R (d=d
)d
existiert nicht; denn das Integral
divergiert.
Fur p ! 0 wachst d=d
unbegrenzt an: Langsame Elektronen werden besonders
stark gestreut.
69
AA
0 0
d
p ;
p; u
Z
Abbildung 3: Streuung von Positronen an einem Kern der Kernladungszahl Z
Es gilt zu bedenken, da Atomkerne durch die Elektronen der Hulle abgeschirmt erscheinen und deshalb das Potential in Wirklichkeit exponentiell abklingt. Fur die Streuung
mit niederenergetischen Elektronen kann man ein neutrales Atom in guter Naherung
wie eine statische radialsymmetrische Ladungsverteilung behandeln, die zu einer potentiellen Energie der Form
?2r
eA0(x) = ? Z
e
(290)
r
Anla gibt mit
= Zm = R?1 = Z=aBohr
Hier bezeichnet aBohr = m den Bohrschen Radius und R den Radius des kleinsten
Bohrschen Bahn in einem Atom der Kernladungszahl Z . Der Ansatz (290) beruht auf
der Vorstellung, da alle stationaren Zustande der Hullenelektronen asymptotisch
wie e?r abfallen, mithin j j2 sich wie e?2r verhalt. Eine Anwendung des Satzes von
Gau auf (290) sagt uns, da die Gesamtladung des Atoms gleich Null ist und da der
Atomkern weiterhin wie ein punktformiges Gebilde mit der Ladung Ze behandelt wird.
Eine Ersetzung des Coulomb-Potentials durch das abgeschirmte Potential hat die
Ersetzung q2 ! q2 + 42 (und sonst nichts) zur Folge. Dies ergibt eine Korrektur des
differentiellen Wirkungsquerschnittes:
1 ? 2 sin2(=2)
Z 2 2 m 2
d =
(291)
d
4(p2 sin2(=2) + 2)2
1 ? 2
Hieraus folgt ein endlicher Ausdruck fur den totalen Wirkungsquerschnitt . Gleichzeitig verschwindet die Singularitat bei p = 0, und wir erhalten:
p=0 = (Zm)2?4 = ?2 = R2
(292)
Die rechte Seite stellt gerade den Inhalt die Kreisflache dar, die durch die kleinste
Bohrsche Bahn umfahren wird. Das klassische Bild von Elektronen als Punktteilchen
benutzend konnen wir sagen: Im Grenzfall verschwindender Energie der streuenden
Elektronen wirkt ein neutrales Atom so, als ob ein Elektron genau dann gestreut wird,
wenn es diese Kreisflache trifft.
70
5
Die zweite Quantisierung
Die zweite Quantisierung ist das eigentliche Werkzeug der Feldtheorie und unverzichtbar
fur die moderne Teilchenphysik. Sie klassifiziert die Teilchen nach ihrer Statistik (Boseoder Fermi-Statistik) und erlaubt die Beschreibung der Erzeugung und Vernichtung von
Teilchen in einem Wechselwirkungsproze. Die mathematische Beschreibung geschieht
am einfachsten durch die sog. kanonischen Vertauschungsrelationen , und wir beginnen
hier mit der einfachsten Situation, der eines einzelnen Freiheitsgrades.
5.1 Bose-Teilchen (Bosonen)
5.1.1 Die kanonische Vertauschungsrelation (ein Freiheitsgrad)
Fur einen Operator a und dem ihm zugeordneten adjungierten Operator ay gelte die
kanonische Vertauschungsrelation :
[a; ay] = 1
(293)
Es ist dann leicht, eine Darstellung durch Oszillatorvariablen zu finden. Der harmonische Oszillator mit der Energie
H = 21 p2 + 21 !2q2
hat die klassische Frequenz !, wenn p und q kanonisch konjugierte Variable sind. Quantenmechnisch bedeutet dies, da die Heisenberg-Relation
[q; p] = i
erfullt ist. Diese fuhrt aber gerade dazu, da die Operatoren
q
q
q
q
a = !2 q + i 21! p; ay = !2 q ? i 21! p
die Relation (293) erfullen. Die Energie erhalt dann die Form
H = 21 !(aya + aay) = !(aya + 21 )
Der Hilbertraum H, auf den die Operatoren wirken, lat sich rein algebraisch konstruieren, indem man die Eigenzustande der Energie algebraisch charakterisiert und diese
zu einer Basis von H erklart. Man beginnt die Konstruktion mit dem Grundzustand
0, der durch
a0 = 0; k0k = 1
(294)
bis auf eine Phase festgelegt ist, und konstruiert die Anregungen des Oszillators durch
n
n = 1; 2; 3; : : :
(295)
n = p1 ay 0;
n!
Man zeigt leicht, da die so konstruierten Zustande orthonomiert sind:
(n; m) = nm
71
Wir setzen voraus, da H minimal ist in dem Sinne, da das System der Zustande n
vollstandig ist, d.h. eine Basis darstellt.
Es gelten die Darstellungsrelationen:
p
p
an = nn?1; ayn = n + 1n+1
(296)
Aus ihnen folgen unmittelbar die Aussagen
ay an = nn; aayn = (n + 1)n; H n = Enn
mit En = (n + 12 )!. Die durch (296) beschriebene Darstellung der kanonischen Vertauschungsrelation (293) ist irreduzibel auf dem Raum H: Es gibt keinen echten Unterraum,
der invariant unter der Wirkung von a und ay ware.
Der Hilbertraum erscheint hier als ein sehr abstraktes Gebilde. Man kann den Raum
jedoch sehr konkret durch Funktionen beschreiben, indem man die bekannte Realisierung
d (x)
(q)(x) = x;
(p)(x) = 1i dx
wahlt, so da
r! s 1 d
r! s 1 d
a = 2 x + 2! dx ; ay = 2 x ? 2! dx
Der Hilbertraum ist L2(IR) (Raum der quadratintegrablen Funktionen auf IR). Der
Grundzustand ist darin eine Gau-Funktion:
0(x) = (!=)1=4e?!x2=2
Die anderen Basisfunktionen n (x) sind durch Hermite-Funktionen reprasentiert (also
durch Hermite-PolynomeGau-Funktion).
In allen Anwendungen der kanonischen Vertauschungsrelation (293) ubernimmt der
harmonische Oszillator nur die Rolle eines Analogmodells. Als Energie-Operator wahlt
man H = !aya, also den Hamilton-Operator des Oszillators ohne die Nullpunktsenergie
1 !.
2
Der Vektor n beschreibt in konkreten Situationen einen Mehrteilchen-Zustand mit
n Bose-Teilchen, alle in dem gleichen Einteilchen-Zustand. Die Natur des EinteilchenZustandes ist der jeweiligen Interpretation uberlassen und in dem obigen Formalismus
unsichtbar. Man sagt, das Bose-Teilchen habe in dieser reduzierten Beschreibung nur
einen einzigen Freiheitsgrad.
Der Operator ay heit Erzeugungsoperator , da er die Zahl der Teilchen in einem
Zustand um eins erhoht. Entsprechend heit a Vernichtungsoperator , da er die Teilchenzahl um eins erniedrigt. Man nennt N = aya den Teilchenzahloperator, da sein
Spektrum mit den moglichen Teilchenzahlen ubereinstimmt. Der Grundzustand 0 , in
dem kein Teilchen vorhanden ist, wird kurz das Vakuum genannt. Man schreibt hierfur
auch oder j0i. Der Hilbertraum realisiert die einfachste Version eines Fockraumes fur
ein Bose-Teilchen.
In der statistischen Quantenphysik begegnet man der Zustandssumme
1
1
X
X
Z (!) = Spur e?H = (n; e?H n) = e?!n = 1 ? 1e?!
(297)
n=0
n=0
Bei Strahlungsproblemen ware ! die Frequenz eines Photons.
72
5.1.2 Die kanonischen Vertauschungrelationen (viele Freiheitsgrade)
Im allgemeinen ist die Zahl der linear unabhangigen Einteilchen-Zustande abzahlbar
unendlich. Jedem Basiszustand entspricht dann einem Freiheitsgrad des Systems, den
wir durch den Index i 2 IN kennzeichnen. Die kanonischen Vertauschungsrelationen
lauten in diesem Fall:
[ai; ayk ] = ik ;
[ai; ak] = [ayi ; ayk ] = 0
(298)
(i; k = 1; 2; 3; : : :). Mehrteilchenzustande liegen im Fockraum, den wir rein algebraisch
konstruieren. Die Konstruktion beginnt mit der Charakterisierung des Vakuums j0i:
ai j0i = 0; h0j0i = 1
(299)
aus dem Zustande mit den Besetzungszahlen ni konstruiert werden:
jn1n2 : : : nk i = (n1!n2! nk !)?1=2ay1n1 ay2n2 ayk n j0i
(300)
Sie sind normiert und orthogonal ("orthonormiert\): Dies folgt aus den kanonischen
Vertauschungsrelationen (298). Die Zustande jn1n2 : : : nk i bilden definitionsgema eine
Basis fur den Fockraum eines Teilchens mit Bose-Statistik. Wir sehen auf diese Weise,
da jede Basis des Einteilchen-Raumes in kanonischer Weise zu einer Basis des Fockraumes fuhrt. Als Teilchenzahl bezeichnet man den Operator
X
N = ayi ai
k
i
mit der Eigenschaft
N jn1n2 : : : nk i = (n1 + n2 + nk )jn1n2 : : : nk i
Kann man dem Freiheitsgrad i einen Energie-Eigenwert !i zuordnen, so kann man den
Energie-Operator auf dem Fockraum unmittelbar angeben:
X
H = !i ayi ai
i
Man rechtfertigt dies durch den Nachweis, da
H jn1n2 : : : nk i = (n1!1 + n2!2 + nk !k )jn1n2 : : : nk i
gilt. Insbesondere erhalt das Vakuum die Energie Null.
Die Zustandssumme errechnet man wie folgt:
1
?H jn n : : : n i = Y Z (! )
Z = Spur e?H = klim
h
n
n
:
:
:n
j
e
i
1
2
k
1
2
k
!1
i=1
(301)
wobei Z (!) durch (297) gegeben ist. Streben die Energien !i fur i ! 1 rasch gegen
+1, so existiert das unendliche Produkt. Man schreibt dann Z = e?F und nennt F
die freie Energie . Wir erhalten
1
X
(302)
F = ?1 log(1 ? e?! )
i
i=1
73
Als innere Energie U bezeichnet man den Erwartungswert des Energie-Operators in
dem kanonischen Ensemble:
He?H
U = hH i = Spur
Spur e?H
Sie lat sich aus der freien Energie berechnen:
1
d (F ) = X
!i
U = d
(303)
!
i=1 e ? 1
i
Diese Formel hat nun eine unmittelbare Anwendung auf das freie Photongas (Hohlraumstrahlung). In einem endlichen Volumen V IR3 ist das Energiespektrum diskret.
Im thermodynamischen Limes, d.h. fur V ! IR3, wird es dagegen kontinuierlich in einer
solchen Weise, da fur jede Funktion f (!) (hinreichend glatt und rasch abfallend) gilt
Z d3k
Z1
X
1
1
f (!i) = 2 (2)3 f (jkj) = 2 0 !2d! f (!)
(304)
lim
V !IR3 jV j i
Hier bezeichnet k den Impuls eines Photons und ! = jkj seine Energie. Der Faktor
2 vor dem Integral berucksichtigt die beiden Polarisationszustande des Photons bei
gegebenem Impuls. Die Vorschrift (304) fuhrt dazu, da die innere Energie pro Volumen
einen Limes in Form eines Integrals besitzt, das man auswerten kann:
Z1
2 ?4
U
=
(305)
d!
u
(
!
)
=
lim
V !IR3 jV j
15
0
Hierin bezeichnet u(!) die Spektraldichte, gegeben durch
?2 3
u(!) = e! ?! 1
(306)
(Plancksche Strahlungsformel). Mit der Messung der Spektraldichte der Hohlraumstrahlung oder auch der Schwarzkorperstrahlung wurde bestatigt, da Photonen der
Bose-Statistik unterworfen sind.
5.1.3 Eine basisfreie Formulierung
Es soll nun eine Formulierung der kanonischen Vertauschungsrelationen vorgestellt werden, die ohne die Wahl einer Basis fur den Einteilchenraum H auskommt. Die Grundannahme hierbei ist, da fur jeden Zustand 2 H Operatoren a() und ay() existieren,
die zueinander adjungiert sind. Sie sollen die Relationen
[a(); ay(0)] = (; 0);
[a(); a(0)] = [ay(); ay(0)] = 0
(307)
erfullen, fur deren Formulierung die Kenntnis des Skalarproduktes in H genugt. Die
Operatoren sollen den folgenden zusatzlichen Forderungen gehorchen:
Die Abbildung 7! ay () ist linear .
74
Die Abbildung 7! a() ist antilinear 2.
Anschaulich: Der Operator ay () erzeugt ein Teilchen mit dem Zustand , der Operator
a() vernichtet ein Teilchen. Der Zusammenhang mit der Beschreibung im vorigen
Abschnitt ist dann wie folgt. Sei fi ; i = 1; 2; 3; : : :g eine Basis in H und ai = a(i )
sowie ayi = ay (i), so folgen aus der Entwicklung eines beliebigen Zustandes
= c 1 1 + c 2 2 + c 3 3 + (ci 2 C)
die Relationen (298) und
a() = c1a1 + c2a2 + c3a3 + ay () = c1ay1 + c2ay2 + c3ay3 + Auch hier verlangen wir die Existenz des Vakuumzustandes j0i, d.h. fur alle 2 H soll
gelten
a()j0i = 0; h0j0i = 1:
(308)
Zustande mit n Teilchen entstehen durch Anwendung der Erzeugungsoperatoren auf
das Vakuum:
j1 2 : : : ni = ay(1 )ay(2) ay(n )j0i
(309)
Solche Zustande sind nicht normiert. Vielmehr gilt
h12 : : : n j12 : : : n i = Perm (i ; k )
Als Permanente einer n n-Matrix A = (aik ) bezeichnet man den Ausdruck
X
Perm A = a1(1)a2(2) an(n)
(310)
wobei uber alle Permutationen der Zahlen 1; 2; : : :; n summiert wird (in Analogie
zur Konstruktion der Determinante). Die Formel (310) folgt allein aus den kanonischen
Vertauschungsrelationen und den definierenden Eigenschaften des Vakuums. Der Beweis
geschieht durch Induktion nach n.
Die so eingefuhrten Mehrteilchenzustande sind symmetrisch unter der Vertauschung
der Einteilchenzustande i . Diese Eigenschaft ist charakteristisch fur die Bose-Statistik
identischer Teilchen. Der Raum aller Zustande dieser Art { konstruiert uber dem Einteilchenraum H { heit der Fockraum uber H und wird mit F+(H) bezeichnet. Der
Index + weist darauf hin, da die Zustande darin symmetrisch sind.
Konkreter wird die Beschreibung, wenn wir annehmen, da es sich bei H um den
Einteilchenraum eines skalaren Teilchens handelt, eines Teilchens also ohne Spin, beschrieben durch die Klein-Gordon-Gleichung. In diesem Fall lautet das Skalarprodukt:
Z d3p
0
(311)
(; ) = 2E (p)0(p)
2 Es gilt a( + 0 0 ) = a() + 0 a(0 ) fur ; 0 2 C.
75
Man schreibt demgema (allerdings rein formal):
Z d3 p
a() = 2E (p)a(p)
(312)
Z 3
ay () = d2Ep ay(p)(p)
(313)
mit
[a(p); ay(p0)] = 2E3(p ? p0);
[a(p); a(p0)] = [ay(p); ay(p0)] = 0
(314)
Man kann ay(p) als einen Operator ansehen, der ebene Wellen mit dem Impuls p =
fE; pg erzeugt: ay(p)j0i = jpi. Solche Zustande haben dann die ubliche Normierung:
hpjp0i = 2E3(p ? p0)
Auf dem Fockraum F+(H) lat sich der Energie-Impuls-Operator P entweder durch
das formale Integral
Z d3 p
P = 2E pay (p)a(p)
(315)
einfuhren, oder aquivalent durch die Relationen
[a(p); P ] = p a(p);
[P ; ay(p)] = p ay(p);
P j0i = 0:
(316)
5.1.4 Die Quantisierung des Skalarfeldes
Es sei (x) ein reelles Skalarfeld, das der Klein-Gordon-Gleichung ( + m2 )(x) = 0
genugt. Als klassische Feldtheorie betrachtet, handelt es sich hierbei um ein dynamisches System mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Fur eine solche Auffassung wird
es notwendig, die Gleichbehandlung von Raum und Zeit aufzugeben und (t; x) zu
schreiben. Gewissermaen tritt die kontinuierliche Variable x 2 IR3 an die Stelle eines Index i, mit dem man in gewohnlichen mechanischen Systemen die Freiheitsgrade
durchnumeriert.
Wir konnen eine Lagrange-Funktion
Z
L = d3x L((x); @ (x))
angeben, so da die Feldgleichung { in unserem Fall die KG-Gleichung { mit der EulerLagrangeschen Gleichung des Variationsproblems
Z
dt L = stationar
(siehe Hamiltonsches Prinzip
ubereinstimmt. Man bezeichnet L als die
R der Mechanik)
R
Lagrange-Dichte und W = d4x L = dt L als die Wirkung . Wir setzen
L = 21 (@ )2 ? 21 m2 2
(317)
R
_ t; ) bei
und fassen das Integral L = d3x L als ein Funktional auf von (t; ) und (
0
festem t = x . Funktionalableitungen von L berechnet man nach den ublichen Regeln.
Zu diesen Regeln gehort:
Z d3x 1 [r(t; x)]2 = ?(t; y):
2
(t; y)
76
Insbesondere erhalten wir den kanonisch konjugierten Impuls zu den Feldvariablen
(t; x), x 2 IR3, als
_ x)
(318)
(t; x) = _ L = @_ L = (
(t; x) @ [(x)]
und die Lagrangeschen Gleichungen
@ L ? L = 0
_ t; x) (t; x)
@t (
sind in der Tat mit der Klein-Gordon-Gleichung identisch:
@ (
2
_
@t x) ? ( + m )(x) = 0:
Indem wir das freie Feld wie ein mechanisches System behandeln, konnen wir es nach
den Vorschriften der Quantenmechanik quantisieren:
[(t; x); (t; x0)] = i3 (x ? x0):
(319)
Dies geschieht zu einer festen Zeit, etwa t = 0, und wird erganzt durch
[(t; x); (t; x0)] = [(t; x); (t; x0)] = 0:
Wir gelangen so zu den kanonischen Vertauschungsrelationen (im Ortsraum):
_ x0)]t=t0 = i3 (x ? x0 )
[(x); (
(320)
_ x); (
_ x0)]t=t0 = 0
[(x); (x0)]t=t0 = [(
(321)
Ist das klassische Feld reell, so ist das quantisierte Feld hermitesch. Die FourierZerlegung nimmt so die Form an:
Es ist nun ohne weiteres moglich, die Fourier-Amplituden durch und _ bei t = 0
auszudrucken:
Z
?
3
=
2
3
?
i
px
_
E (x) + i(x)
a(p) = (2)
d xe
t=0
Z
3
i
px
y
?
3
=
2
_ x)
d x e E (x) ? i(
a (p) = (2)
t=0
so da aus den kanonischen VR im Ortsraum die kanonischen VR im Impulsraum folgen.
Diese sind mit den im vorigen Abschnitt diskutierten VR der Operatoren a(p) und
ay(p) identisch. Man erkennt: Der Formalismus der zweiten Quantisierung, der zur
Konstruktion des Fockraumes fuhrt, ist aquivalent der kanonischen Quantisierung einer
Feldtheorie (freier Felder) im Ortsraum.
Die Analogie mit einem mechanischen System lat sich fortsetzen. Durch eine
Legendre-Transformation gelangen wir von der Lagrange-Funktion L zu der HamiltonFunktion H :
Z
Z
(322)
H = d3x _ ? L = d3x 21 [2 + (r)2 + m2 2]
77
Klassisch ist H ein Funktional von (t; ) und (t; ), quantenmechanisch jedoch ein
bestimmter Operator, fur den wir den Ausdruck
Z 3
Z 3
H = d2Ep E 21 [ay(p)a(p) + a(p)ay(p)] = d2Ep E [ay(p)a(p) + E3(0)]
(323)
erhalten. Er unterscheidet sich von dem gewunschten Ausdruck (siehe (310))
Z d3p
H = 2E Eay(p)a(p)
(324)
um die "Nullpunktsenergie\ oder "Vakuumenergie\
Z
3
1
E0 = 2 (0) d3p E
Sie ist aus zwei Grunden divergent:
R
1. Der Ortsraum ist unendlich: 3(0) = (2)?3 d3x.
2. Der Impulsraum ist unendlich, d.h. es existiert keine obere Schranke fur die
Einteilchen-Energie.
Fur einen endlichen Phasenraum wurde gelten:
Z 3 3p
E0 = 21 d(2xd
h)3 E < 1
Ist die Groe des Phasenraumes in einem Experiment veranderlich, so kann die Vakuumenergie beobachtbar werden (Casimir-Effekt). Ist der Phasenraum in keiner Richtung
beschrankt, so betrachten wir die Vakuumenergie als unbeobachtbar; sie wird dann einfach ignoriert, wie in (324) geschehen. In eine anderen Sprechweise wurde H durch die
Forderung renormiert , da das Vakuum die Energie Null bekommt.
Der Schritt von (323) nach (324) entspricht einer formalen Vorschrift, genannt WickOrdnung : Man ersetze (im Bose-Fall) Ausdrucke der Art aay grundsatzlich durch aya.
Es bleibt zu prufen, welche A nderungen eintreten, wenn wir von einem komplexen
Skalarfeld (x) ausgehen. Dies lat sich im Prinzip auf die vorige Situation zuruckfuhren
durch Zerlegung nach Real- und Imaginarteil:
(x) = p1 1(x) + i2 (x)
2
Indem wir schreiben
b(p) = p12 a1(p) ? ia2(p)
a(p) = p12 a1(p) + ia2(p)
ay(p) = p12 ay1(p) ? iay2(p)
by(p) = p12 ay1(p) + iay2(p) ,
gilt
[a(p); ay(p0)] = [b(p); by(p0)] = 2E3(p ? p0)
Alle anderen VR der Operatoren a; ay; b; by verschwinden.
78
(325)
Die Fourier-Zerlegung folgt unmittelbar:
Z d pn
o
?ipx a(p) + eipx by (p)
?
=
e
(326)
(x) = (2)
2E
Ein komplexes Skalarfeld beschreibt { nach Quantisierung { zwei Sorten von Teilchen
gleicher Masse und gleichem Spin (hier s = 0):
ay(p) erzeugt ein Teilchen mit dem Impuls p.
by(p) erzeugt ein Antiteilchen mit dem Impuls p.
Wir uberprufen den Ausdruck fur die Energie
Z
H = d x [_ _ + (r) r + m ]
3 2
3
3
2
wobei wir bereits eine bestimmte Reihenfolge der Faktoren gewahlt haben, die gewahrleistet, da H hermitesch ist. Aus dieser Reihenfolge ergibt sich:
Z dp H = 2E E ay (p)a(p) + b(p)by(p)
(327)
Erst durch Wick-Ordnung bekommt man einen Energie-Operator mit dem korrekten
Spektrum:
Z dp H = 2E E ay (p)a(p) + by (p)b(p)
(328)
Wir uberprufen auch den Operator fur die Ladung (siehe (52), wir messen Ladung in
Einheiten von e oder ?e):
Z
Q = d x j (x); j = i(_ ? _ )
(329)
3
3
3
0
0
Auf die Reihenfolge der Feldoperatoren ist auch hier zu achten, damit j ein hermitescher
Ausdruck wird. Es folgt
Z
(330)
Q = d2Ep ay(p)a(p) ? b(p)by(p)
Auch hier lat sich durch Anwendung der Wick-Ordnung ein gunstigeres Verhalten
erzielen:
Z d p
Q = 2E ay (p)a(p) ? by (p)b(p) = N ? N
(331)
Die Operatoren
Z dp
Z dp
y
(332)
N = 2E a (p)a(p); N = 2E by(p)b(p)
zahlen Teilchen bzw. Antiteilchen, die erwartungsgema die entgegengesetzte Ladung
tragen. Das Spektrum von Q besteht aus allen ganzen Zahlen: spec(Q) = ZZ.
Bose-Statistik verlangt Kommutatoren in den Grundgleichungen, die die Eigenschaften von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren festlegen, Fermi-Statistik verlangt im
Gegensatz dazu Antikommutatoren . Wollten wir das Skalarfeld nach den Regeln der
Fermi-Statistik quantisieren, so erhalten wir unsinnige Ergebnisse, wie die Ausdrucke
(322) und (325) fur H und Q zeigen. Dies ist ein erster Hinweis auf das Spin-StatistikTheorem: Teilchen mit ganzzahligen Spin sind Bosonen.
0
3
3
3
3
79
5.2 Fermi-Teilchen (Fermionen)
5.2.1 Die kanonische Antivertauschungsrelation (ein Freiheitsgrad)
Angenommen, fur einen Operator a und den ihm zugeordneten adjungierten Operator
ay gelten die kanonischen Antivertauschungsrelationen (AVR)
fa; ayg = 1; fa; ag = fay; ayg = 0
(333)
aquivalent mit
aay + ay a = 1; a = ay = 0
Daruberhinaus moge die Energie durch H = !aya dargestellt sein. Es existiert ein
denkbar einfache Darstellung der AVR durch 2 2-Matrizen:
0
1
0
0
y
a= 0 0 ; a = 1 0
so da
0
0
1
0
y
y
a a = 0 1 ; aa = 0 0
Die gleiche Darstellung kann durch Pauli-Matrizen beschrieben werden:
a = ( + i ); ay = ( ? i )
Der Grundzustand (Vakuum) ist auch hier durch die Bedingung aj0i = 0 charakterisiert.
Er ist durch einen Spinor gegeben, ebenso wie der Einteilchenzustand j1i = ayj0i:
!
!
1
0
j0i = 0 ; j1i = 1
Diese beiden Zustande bilden bereits eine Basis. Mit anderen Worten: Der Hilbertraum
(= Darstellungsraum der Operatoren a und ay ) ist zweidimensional. Er wird allgemein
mit C bezeichnet. Gewissermaen hat das Fermion darin nur einen Freiheitsgrad, der
entweder besetzt oder unbesetzt sein kann. Mehrfache Besetzung ist nicht moglich (!
Paulisches Ausschlieungsprinzip); denn es gilt (ay) = 0. Der mathematische Formalismus ahnelt somit dem eines Zwei-Niveau-Systems, bei dem die Niveaus durch eine
Energie ! getrennt sind:
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
j1i
6
!
j0i
80
Da diese Situation sehr haufig in der Physik anzutreffen ist (Spin im Magnetfeld,
Laser, Gitterfehlstelle etc.), ist es verstandlich, da die kanonischen AVR in sehr unterschiedlichen Situationen eine Rolle spielen.
Da es nur zwei unabhangige Zustande gibt, ist die Zustandssumme fur einen Freiheitsgrad sehr einfach zu berechnen:
Z (!) = Spur e?H =
1
X
n=0
hnje?H jni = 1 + e?!
(334)
5.2.2 Die kanonischen Antivertauschungsrelationen (viele Freiheitsgrade)
Wir gehen nun uber zu dem Fall, bei dem die Zahl der Freiheitsgrade abzahlbar unendlich ist, und schreiben die kanonischen AVR in der Form
fai; ayk g = ik ; fai; ak g = fayi ; aykg = 0
(335)
(i; k = 1; 2; 3; : : :). Der Vakuumzustand ist wie ublich durch
ai j0i = 0; h0j0i = 1
charakterisiert. Mehrteilchenzustande werden durch die Anwendung der Erzeugungsoperatoren ayi konstruiert:
jn n : : : nk i = ay n ay n ayk n j0i (ni = 0; 1 und k = 1; 2; 3; : : :)
(336)
Diese Zustande sind orthonormiert und bilden eine Basis im Fockraum mit FermiStatistik: Jeder Freiheitsgrad (Index i) kann hochstens einfach besetzt sein; denn es
gilt (ayi ) = 0 als Folge der kanonischen AVR. Ware die Zahl der Freiheitsgrade endlich,
sagen wir i = 1; : : :; n, so hatte der Fockraum eine endliche Dimension d = 2n und
konnte mit
Cd = C C C
(n Faktoren)
identifiziert werden.
Als Teilchenzahl bezeichnet man den Operator
X
(337)
N = ayi ai
1
1
2
1
2
k
2
2
2
2
2
i
mit der Eigenschaft
N jn n : : :nk i = (n + n + nk )jn n : : :nk i (k = 1; 2; 3; : : :)
Wir nehmen nun an, jedem Freiheitsgrad i sei ein Eigenwert !i zugeordnet. Dann ist
es moglich, den Energie-Operator auf dem Fockraum als
X
(338)
H = !i ayi ai
1
2
1
2
1
2
i
zu schreiben. Die Zustandssumme errechnet sich daraus wie folgt:
Z = Spur e?H =
81
1
Y
i=1
Z (!i)
(339)
unter Benutzung von (334). Fur die Konvergenz des Produktes ist es wiederum notwenig, da die Energien !i fur i ! 1 rasch gegen +1 streben.
Die freie Energie erhalten wir als
F = ? ? log Z = ? ?
1
1
1
X
i=1
log 1 + e?!
i
um daraus die innere Energie zu berechnen:
1
d (F ) = X
!i
U = d
(340)
!
i e +1
Die innere Energie U fur Fermionen unterscheidet sich von dem entsprechenden Ausdruck (298) fur Bosonen lediglich um ein Vorzeichen.
Das grokanonische Ensemble benutzt die Teilchenzahl N und das chemische Potential N als ein neues Paar konjugierter Variablen. Die Ersetzung H ! H ? N fuhrt auf
die grokanonische Zustandssumme und einem thermodynamischen Potential K :
Z = Spur e? H?N = e?K
Die innere Energie U = hH i und die mittlere Teilchenzahl hN i ergeben sich durch
partielle Ableitungen: Ableitungen:
@ (K ); hN i = ? @ K
hU i ? hN i = @
@
Man erhalt so die Ergebnisse
1
1
X
X
(341)
U = e ! ?!i + 1 ; hN i = e ! ?1 + 1
i
i
Die Formeln haben eine Anwendung in der Theorie des freien Elektronengases (nichtrelativistisch im Metall, relativistisch in einem Plasma
p oder in der Sternmaterie). Fur
die relativistische Energie-Impuls-Relation E = m + p finden wir im thermodynamischen Limes die Energiedichte
p
Z1
Z dp
E ?m
1
E
E
U
=
2
=
(342)
dE
lim
E
?
E
V ! jV j
(2) e
+1 m
e ? + 1
Der Faktor 2 vor dem Integral berucksichtigt die zwei Freiheitsgrade des Elektronenspins.
i
=1
3
(
=1
( i
)
)
=1
2
3
IR3
( i
)
2
2
3
(
)
2
2
(
2
)
5.2.3 Der Dirac-See
Die kanonischen AVR haben eine bemerkenswerte Symmetrie: Vertauscht man darin ai
mit ayi , so bleiben die Relationen der Form nach erhalten. Dies legt nahe, einen Zustand
j0i zu suchen { wir wollen ihn das Antivakuum nennen { , fur den gilt:
ayi j0i = 0; h0j0i = 1
(343)
Das Potential K ist verschieden von der freien Energie. Es tragt keinen besonderen Namen. Der
Zusammenhang ist durch K = F ? hN i gegeben.
3
82
Offenbar bedeuten diese Forderungen gerade, da jeder Freiheitsgrad i bereits besetzt
ist. Formal:
j0i = j11111 : : :i
(344)
Macht diese Schreibweise einen Sinn? Hierzu mu man zwei Situationen unterscheiden:
1. Die Zahl der Freiheitsgrade ist endlich. In j11111 : : :i steht eine endliche Zahl von
Einsen, und das Antivakuum liegt im Fockraum, konstruiert uber dem Vakuum.
Das Antivakuum definiert zwar eine neue Darstellung der kanonischen AVR. Sie
ist jedoch der Vakuum-Darstellung aquivalent .
2. Die Zahl der Freiheitsgrade ist unendlich. Der Zustand j11111 : : :i mit n Einsen
konvergiert nicht fur n ! 1 als Vektor im Fockraum, der das Vakuum enthalt;
denn ein solcher Limesvektor ware orthogonal zu allen Basisvektoren jn n : : : nk i
(k = 0; 1; 2; : : :), was unmoglich ist. In diesem Fall definiert das Antivakuum eine
vollig neue Darstellung der kanonischen AVR. Wir bezeichnen sie als \neu\, weil
sie inaquivalent zur Vakuum-Darstellung ist.
Dirac machte zuerst Gebrauch vom Antivakuum. Deshalb nennt man diesen Zustand
auch den Dirac-See . Zum Antivakuum gehort der Anti-Fockraum. Eine Basis darin
konstruiert man, indem man Teilchen aus dem Dirac-See entfernt:
(345)
jn n : : :nk i = an an ank j0i (ni = 0; 1)
Solche Zustande, die "Locher\ im vollbesetzten Dirac-See beschreiben, benehmen sich
wieder wie Teilchen. Im Anti-Fockraum gilt:
ai erzeugt ein Loch mit dem Freiheitsgrad i.
ayi vernichtet ein Loch mit dem Freiheitsgrad i.
Die Zahl der Locher (0; ?1; ?2; ?3; : : :) zahlt der Operator
X
N = ? aiayi
1
1
2
1
1
2
2
2
k
i
Er unterscheidet sich von der Teilchenzahl
N = Pi ayi ai um eine Konstante, namlich
P
um die (i.allg. divergente) Summe i 1 (= Zahl der Freiheitsgrade). Dies sagt, wie zu
erwarten, da N und N nicht auf dem gleichen Hilbertraum operieren, wenn die Zahl
der Freiheitsgrade unendlich ist.
Die Energie H mu fur Locher ebenfalls neu definiertP werden. Sie erhalt dadurch ein
anderes Vorzeichen. Aus dem positiven Ausdruck H = i !iayi ai wird durch Anwendung
der kanonischen AVR
X
X
H = H + !i; H = ? !i aiayi
i
i
Auch hier unterscheiden
sich H und H um eine Konstante, namlich um die (i.allg.
P
divergente) Summe i !i.
A hnliche Aussagen gelten fur andere Observable (Impuls, Drehimpuls, Ladung etc.).
Ob man in einer konkreten Situation die Vakuum-Darstellung oder der AntivakuumDarstellung der kanonischen AVR wahlt, hangt von dem angestrebten Energie-Spektrum
ab: Gilt H 0 bei Wahl der Vakuum-Darstellung, so gilt H 0 in der AntivakuumDarstellung und umgekehrt.
83
5.2.4 Eine basisfreie Beschreibung
Die Formulierung der kanonischen AVR, die ohne die Wahl einer Basis im Einteilchenraum H auskommt, nimmt an, da fur jeden Vektor 2 H Operatoren a() und ay()
existieren mit den Relationen
fa(); ay(0)g = (; 0);
fa(); a(0)g = fay(); ay(0 )g = 0;
(346)
fur deren Formulierung die Kenntnis des Skalarproduktes in H genugt. Die Operatoren
sollen den folgenden zusatzlichen Forderungen gehorchen:
Die Abbildung 7! ay () ist linear .
Die Abbildung 7! a() ist antilinear
Auch hier gilt: Der Operator ay() erzeugt ein Teilchen mit dem Zustand , der Operator a() vernichtet ein Teilchen. Der Zusammenhang mit der Beschreibung im Abschnitt
5.2.2 ist dann wie folgt. Sei fi ; i = 1; 2; 3; : : :g eine Basis in H und ai = aP(i) sowie
ayi = ay(i ), so folgen aus der Entwicklung eines beliebigen Zustandes = i ci i mit
ci 2 C die Relationen (335) und
a() =
X
i
ay () =
ci ai
X
i
ci ayi
(347)
Auch in diseser Formulierung verlangen wir die Existenz des Vakuumzustandes j0i, d.h.
fur alle 2 H soll gelten
a()j0i = 0; h0j0i = 1:
(348)
Zustande mit n Teilchen entstehen durch Anwendung der Erzeugungsoperatoren auf
das Vakuum:
j : : : ni = ay( )ay( ) ay(n )j0i
(349)
Solche Zustande sind antisymmetrisch unter Permutationen ihrer Argumente. Es gilt
1
2
1
2
h : : :n j0 0 : : : 0n i = Det (i ; 0k )
(350)
wobei rechts die Determinante einer n n-Matrix steht, die aus den Skalarprodukten zu
1
2
1
2
bilden ist. Diese Formel folgt allein aus den kanonischen Vertauschungsrelationen und
den definierenden Eigenschaften des Vakuums. Der Beweis geschieht durch Induktion
nach n.
Der Raum aller Zustande dieser Art { konstruiert uber dem Einteilchenraum H {
heit auch Fockraum uber H und wird mit F?(H) bezeichnet. Der Index - weist darauf
hin, da die Zustande darin antisymmetrisch sind.
Konkreter wird die Beschreibung, wenn wir annehmen, da es sich bei H um den Einteilchenraum eines Dirac-Teilchens handelt, eines Teilchens also mit Spin , beschrieben
durch die Dirac-Gleichung. In diesem Fall lautet das Skalarprodukt:
Z dp X
0
(351)
(; ) = 2E (p)0 (p)
1
2
3
84
( = ). Man schreibt formal:
1
2
a() =
ay () =
Z
Z
d p X (p)a (p)
2E d p X ay (p) (p)
2E 3
(352)
3
(353)
mit
fa (p); ay (p0)g = 2E (p ? p0 ) ;
0
3
fa (p); a (p0)g = fay (p); ay (p0 )g = 0 (354)
0
0
0
Man kann ay (p) als einen Operator ansehen, der ebene Wellen mit dem Impuls p =
fE; pg und der Polarisation erzeugt: ay (p)j0i = jpi. Solche Zustande haben dann
die ubliche Normierung:
hpjp00i = 2E (p ? p0)
Auf dem Fockraum F? (H) lat sich der Energie-Impuls-Operator P entweder durch
das formale Integral
Z dp X
P = 2E p ay (p)a (p)
(355)
3
0
3
einfuhren, oder { besser noch { durch die Relationen
[a (p); P ] = p a (p);
[P ; ay (p)] = p ay (p);
P j0i = 0:
(356)
Was uber Teilchen hier gesagt wurde, gilt sinngema auch fur Antiteilchen. Nur ist es
notwendig, den Einteilchenraum H der Teilchen von dem Einteilchenraum H der Antiteilchen zu unterscheiden, obwohl beide Raume ihrer Struktur nach vollig gleich sind.
So haben wir also einen Fockraum F?(H) der Teilchen und einen Fockraum F? (H) der
Antiteilchen. Derjenige Fockraum, der alle Mehrteilchenzustande (gleich ob Teilchen
oder Antiteilchen) enthalt ist F?(H H). Dies verlangt, da wir die Unterscheidung
zwischen Teilchen und Antiteilchen wie einen neuen Freiheitsgrad behandeln (beschrieben durch einen Index mit zwei Werten), und da die Operatoren a() and ay() fur
Teilchen mit den Operatoren b() und by() fur Antiteilchen antivertauschen .
5.2.5 Die Quantisierung des Dirac-Feldes
Es sei (x) ein Dirac-Feld, das der Dirac-Gleichung (i@= ? m) = 0 genugt. Es ist auch
in dieser Situation moglich, eine Wirkung
Z
W = dt L
und eine Lagrange-Funktion
Z
L = d x L (x); (x); @ (x); @ (x)
3
zu finden mit der Lagrange-Dichte
L = Re (x)(i@= ? m) (x)
85
(357)
so da die Dirac-Gleichung mit der Euler-Lagrangeschen Gleichung
@ L ? L = 0
@t _(t; x) (t; x)
ubereinstimmt. Die komplementare Gleichung
@ L ? L = 0
@t _ (t; x) (t; x)
liefert keine neue Information: Sie stimmt mit (i@= ? m) = 0 uberein. Der kanonische
Formalismus behandelt aber und wie unabhangige Variable und vermeidet auf diese
Weise eine Zerlegung der Feldkomponenten nach Real- und Imaginarteil.
Insbesondere erhalten wir den "kanonischen Impuls\ des Feldes als
(x) = @_L = (?i ) (x)
@ (x)
zusammen mit dem des Feldes :
(x) = @_ L = (?i ) (x)
@ (x)
Durch eine Legendre-Transformation finden wir die Hamilton-Funktion:
Z
H = d x _ + _ ? L
1
2
0
1
2
0
3
Z
= Re d x (m ? i r)
Z
= Re d x (i @ )
3
3
0
0
(358)
Fur das Endresultat haben wir von der Dirac-Gleichung Gebrauch gemacht.
Die Fourier-Analyse gestattet uns zu schreiben:
Z
X
a (p)u(p; )e?ipx + by (p)v(p; )eipx
(x) = (2)? = d2Ep
Damit folgt unter Beachtung der Reihenfolge der Faktoren:
Z
X y
a (p)a (p) ? b (p)by (p)
(359)
H = d2Ep E
So geschrieben, ist H nicht positiv definit. Eine Quantisierung durch kanonische VR
kommt nicht infrage. Denn selbst die Wick-Ordnung kann diesen Mangel nicht beheben.
Hier helfen jedoch die kanonischen AVR: Die Wick-Ordnung ersetzt hier Ausdrucke der
Art bby duch ?byb, und wir erhalten so den korrekten Operator fur die Energie:
Z
X y
a (p)a (p) + by (p)b (p)
(360)
H = d2Ep E
3
3 2
3
3
86
Es gilt nun H 0 wie gewunscht. Der Zusammenhang von Spin und Statistik finden
wir auch hier bestatigt. Teilchen mit dem Spin sind Fermionen.
Dirac fate Positronen als Locher in einem See von Elektronen negativer Energie auf.
Aus seiner Sicht war b (p) ein Erzeugungsoperator fur Elektronen negativer Energie und
das Vakuum durch
a (p)j0i = by (p)j0i = 0
charakterisiert, wahrend der Dirac-See j0i, gegeben durch
a (p)j0i = b (p)j0i = 0;
1
2
der eigentliche Grundzustand der Dirac-Theorie ist (alle Zustande negativer Energie
sind besetzt).
In der modernen Auffassung sind Positronen gewohnliche Teilchen (keine Locher).
In moderner Sicht ist by (p) ein Erzeugungsoperator fur Antiteilchen, und das Vakuum
wird durch
a (p)j0i = b (p)j0i = 0
charakterisiert. Die quantisierte Dirac-Theorie ist nach Einfuhrung der Wick-Ordnung
in sich konsistent.
Wir stutzen die letzte These noch dadurch, da wir den Operator der Ladung (in
Einheiten von e oder ?e) untersuchen:
Z
j = Q = d x j (x);
3
0
0
(361)
0
In der unquantisierten Theorie ist j nichtnegativ: Dies galt als ein Vorzug gegenuber
der Klein-Gordon-Gleichung. Was gilt in der quantisierten Theorie? Wir erhalten durch
direkte Rechnung ohne Wick-Ordnung zunachst:
Z d p X
y
y
Q = 2E
a (p)a (p) + b (p)b (p)
(362)
Dieser Ausdruck ist immer noch positiv definit. Die Wick-Ordnung verandert ihn jedoch
in entscheidender Weise (beachte das Minuszeichen):
Z d p X
y
y
Q = 2E
a (p)a (p) ? b (p)b (p)
(363)
Das Resultat ist indefinit und gerade deshalb korrekt. Denn Teilchen und Antiteilchen
tragen entgegengesetzte Ladung.
Aus den kanonischen AVR
0
3
3
fa (p); ay (p0)g = fb (p); by (p0)g = 2E (p ? p0 )
0
3
0
0
(364)
(alle anderen Antikommutatoren verschwinden) folgen kanonische AVR fur die Feldkomponenten:
f (x); (x0)gt t = (x ? x0 )1l
(365)
=
0
87
3
Ausgeschrieben bedeutet diese Relation, da
f (x); (x0)gt t = (x ? x0 )
=
(366)
3
0
fur ; = 1; 2; 3; 4 gilt. Zum Beweis benutze man die Fourier-Zerlegung des Feldes und
die Relationen
X
X
u(p; )u(p; ) = (p= + m) ;
0
v(p; )v(p; ) = (p= ? m)
0
Dann findet man die Darstellung
f (x); (x0)gt t = I (x ? x0) + I?(x ? x0 )
=
0
+
mit
Z
I(x) = (2)? d2Ep (p= m)eipx
Ersetzt man in I? die Integrationsvariable p durch ?p, so erhalt man
Z
Z
I (x) + I?(x) = (2)? d2Ep 2E eipx = (2)? d p eipx 1l = (x)1l
wie behauptet.
3
3
+
3
3
0
0
88
3
3
3
Anhang: Zwei Masysteme der Elektrodynamik im Vergleich
Potential :
Feldstarke:
el. Feld :
mag. Feld:
Gausches System (GS)
internationales System (SI)
A = f; Ag
F = @ A ? @ A
E = fF ; F ; F g
B = fF @ ; F ; F g
E = ? c @t A ? r
B = r A
A = f; cAg
F = @ A ? @ A
E = fF ; F ; F g
cB = fF ; F ; F g
E = ? @t@ A ? r
B = r A
K = q(E + c? v B)
j = fc; j g
K = q(E + v B)
j = fc; j g
@ j = 0
@
@t + r j = 0
@ j = 0
@
@t + r j = 0
01
02
03
23
31
12
1
Kraft auf eine
Punktladung q:
Stromdichte:
Kontinuitatsgleichung:
1
homogene
Maxwell-Gleichungen: @ F = 4c? j gleichbedeutend mit: r E = 4
r B = c j + c @t@ E
1
1
4
01
02
23
03
31
12
@ F = cj r E = r B = j + c
0
0
1
2
0
@
@t
E
inhomogene
Maxwell-Gleichungen: @ F + @ F + @ F = 0 @ F + @ F + @ F = 0
gleichbedeutend mit: r E + c @t@ B = 0
r E + @t@ B = 0
r B = 0
r B = 0
1
Lorentz-Bedingung:
Wellengleichung:
Energiedichte:
Poynting-Vektor:
Energiebilanz :
Feinstrukturkonstante:
Bohrsches
Magneton:
A=0
@
c @t + r
A = 4c j 1
A=0
1 @
c2 @t + r
A = cj 0
w = (E + B )
S@ = c E B
@t w + r S = ?j E
w = ( E + ? B )
S@ = ? E B
@t w + r S = ?j E
= e =(hc)
= e =(4 hc)
= eh=(2mc)
= eh=(2m)
1
8
2
4
2
B
2
1
2
0
2
0
1
2
0
1
2
0
B
In SI gilt c? = . Quantenmechanik und Atomphysik fuen auf dem Gauschen
System, die Quantenelektrodynamik hingegen auf dem internationalen System mit den
Vereinfachungen, die sich aus = = c = h = 1 ergeben.
2
0
0
0
0