Zumindest ein Di = 0: Die Gleichungen sind widersprüchlich und es

• D = 0: Hier gibt es 2 weitere Möglichkeiten:
- Zumindest ein Di 6= 0: Die Gleichungen sind widersprüchlich
und es existiert keine Lösung.
- Alle Di = 0: Die Lösungsmenge ist entweder leer, oder eine unendliche Punktmenge (Gerade, Ebene,. . . ).
Bemerkung — Für ein homogenes Gleichungssystem (bi = 0, i = 1, 2, . . . , n)
ist die eindeutige Lösung (wenn D 6= 0) die triviale Lösung xi = 0,
i = 1, 2, . . . , n.
Bemerkung — Ob es für den Fall D = D1 = D2 = · · · = Dn = 0 eine
Lösung gibt, läßt sich über den Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix feststellen. Im Fall einer mehrdeutigen Lösung ist die Dimension der
Lösungsschar (Gerade, Ebene, Hyperebene, . . . ) auch durch den Rang
bestimmt. Details werden später ausführlich diskutiert.
Abschließend seien einige Anwendungen von Determinanten wiederholt bzw. angeführt:
- Cramer’sche Regel zur Lösung von lineraren Gleichungssystemen (sofern eine
eindeutige Lösung existiert).
- Determinantenform einer Geraden
B = (b1 , b2 ) geht:
x
a1
b1
(im R2 ), die durch 2 Punkte A = (a1 , a2 ),
y 1
a2 1 = 0 .
b2 1
- Determinantenform einer Ebene (im R3 ), die durch 3 Punkte A = (a1 , a2 , a3 ),
B = (b1 , b2 , b3 ), C = (c1 , c2 , c3 ) geht:
x y z
a a a
1 2 3
b1 b2 b3
c c c
1
2
3
10
1
1
= 0.
1
1
- Determinantenform eines Kreises (im R2 ), der durch 3 Punkte A = (a1 , a2 ),
B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ) geht:
2
x + y 2 x y
a2 + a2 a a
1
1
2
2
2
b1 + b22 b1 b2
c2 + c2 c c
1
2
1
2
1
1
= 0.
1
1
- Determinantenform eines Kegelschnittes (im R2 ), der durch 5 Punkte A =
(a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ), D = (d1 , d2 ), E = (e1 , e2 ) geht:
x2 y 2 xy x y 1
2 2
a1 a2 a1 a2 a1 a2 1
2 2
b1 b2 b2 b2 b1 b2 1
c 2 c 2 c c c c 1 = 0 .
1 2 1 2 1 2 2 2
d 1 d 2 d 1 d 2 c 1 d 2 1
e2 e2 e1 e2 e1 e2 1
1
2
- Fläche eines Parallelogramms, das durch die beiden Vektoren ~a = (a1 , a2 )T und
~b = (b1 , b2 )T aufgespannt wird:
a a 1 2
F = |D| mit D = .
b1 b2 - Volumen eines Parallelepipeds, das durch die drei Vektoren ~a = (a1 , a2 , a3 )T
und ~b = (b1 , b2 , b3 )T , C = (c1 , c2 , c3 )T aufgespannt wird:
a1 a2 a3 F = |D| mit D = b1 b2 b3 .
c1 c2 c3 - Wronski-Determinante um linare Unabhängigkeit von (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen festzustellen.
- Jacobi-Determinante, um den Effekt von Variablentransformationen auf infinitesimale Flächen und Volumselemente zu berücksichtigen.
11
1.2
Matrizen und Vektorräume
Im Zusammenhang mit Determinanten haben wir ja schon den Begriff der n × mMatrix eingeführt (siehe Definition 1.1). Nachdem die Elemente so einer Matrix Zahlen (genauer gesagt Elemente aus einem Zahlenkörper K) sind, ist es natürlich naheliegend zu fragen, inwieweit sich die Rechenregeln von rationalen, reellen, oder
komplexen Zahlen auf Matrizen übertragen lassen. Kann man Matrizen auch addieren, subtrahieren, multiplizieren, oder sogar durch eine Matrix dividieren? Aus den
Gemeinsamkeiten des Rechnens mit Zahlen und mit Matrizen werden wir dann versuchen, die dahinterliegenden algebraischen Strukturen (Gruppe, Körper, Vektorraum)
zu abstrahieren.
Die meisten der folgenden Rechenregeln für Matrizen sind naheliegend:
1) Zwei n×m-Matrizen  und B̂ sind gleich, wenn sie elementweise übereistimmen:
 = B̂ :⇔ ∀i=1,...,n ∀j=1,...,m aij = bij .
2) Zwei n × m-Matrizen  und B̂ werden elementweise addiert. Das Ergebnis ist
eine n × m-Matrix Ĉ:
Ĉ = Â + B̂ :⇔ ∀i=1,...,n ∀j=1,...,m cij = aij + bij .
3) Die Multiplikation einer n × m-Matrix  mit einer Zahl α ist auch elementweise erklärt und liefert wieder eine n × m-Matrix B̂:
B̂ = α :⇔ ∀i=1,...,n ∀j=1,...,m bij = αaij .
4) Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur dann möglich, wenn die linksstehende Matrix gleich viele Spalten hat, wie die rechtsstehende Matrix Zeilen.
Die Multiplikation einer n × k-Matrix  mit einer k × m-Matrix B̂ liefert eine
n × m-Matrix Ĉ:
Ĉ = |{z}
 |{z}
B̂ :⇔ ∀i=1,...,n ∀j=1,...,m cij =
|{z}
n×m
n×k
k×m
k
X
l=1
5) Es gibt ein Nullmatrix
0̂ = (oij ) mit ∀i=1,...,n ∀j=1,...,m oij = 0
12
ail blj .
und eine (quadratische) Einheitsmatrix
1̂ = (lij ) mit ∀i=1,...,n ∀j=1,...,n lij = δij ,
δij =
(
1
0
i=j
,
i 6= j
wobei δij das sog. Kronecker-Symbol (Kronecker-Delta) ist.
Bemerkung — Für entsprechend dimensionierte Nullmatrizen und Einheits-
matrizen gilt:
 = |{z}
0̂ |{z}
 |{z}
0̂ = |{z}
0̂
|{z}
n×n n×m
n×m m×m
und
n×m
 = |{z}
1̂ |{z}
 |{z}
1̂ = |{z}
 .
|{z}
n×n n×m
n×m m×m
n×m
Bemerkung — Die Addition von Matrizen ist assoziativ
(Â + B̂) + Ĉ = Â + (B̂ + Ĉ)
und kommutativ
 + B̂ = B̂ +  .
Bemerkung — Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ ((ÂB̂)Ĉ = Â(B̂ Ĉ))
aber im allgemeinen nicht kommutativ! Ein nicht verschwindender Kommutator
[Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â
ist Ausdruck für die Nichtvertauschbarkeit zweier Matrizen bei Multiplikation.
Beispiel 1.8 — Nichtkommutativität der Matrizenmultiplikation:
 =
0 1
1 0
!
,
B̂ =
1 0
0 −1
!
⇒
ÂB̂ =
0 −1
1 0
!
= −B̂ Â
Bemerkung — Wird eine Summe von Matrizen mit einer Zahl multipliziert,
so gilt das Distributivgesetz:
α( + B̂) = α + αB̂ .
Ein weiteres Distributivgesetz gilt, wenn eine Summe von Zahlen mit einer
Matrix multipliziert wird:
(α + β) = α + β  .
Ferner gilt auch Distributivität, wenn eine Summe von Matrizen mit einer
Matrix multipliziert wird
Â(B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ
bzw. (Â + B̂)Ĉ = ÂĈ + B̂ Ĉ .
13