Seminar in! Mathematik / Informatik

Seminar in!
Mathematik / Informatik!
Susanne Krömker!
Vorlesung!
Montags und Freitags 11h15 – 13h00!
Raum 532!
Übungen!
Dienstags 11h15 – 13h00!
Dozent!
Filip Sadlo, Kontakt: Büro Raum 406!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
1!
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•!
•!
•!
•!
•!
Beyond the third Dimension!
Parameterisierung anhand der Boyschen Fläche!
Morse Theorie!
Gradientenfluss !
Visualisierung der Boyschen Fläche!
Attraktor-Repeller Paare!
Visualisierungstechniken!
Simpliziale Strukturen!
Glättung von Oberflächen!
Auffindung von topologisch einfachen Strukturen in
hochdimensionalen Merkmalsräumen!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
2!
Kriterien für die Seminarbescheinigung!
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•!
Regelmäßige Teilnahme an den Seminarterminen!
Dauer des eigenen Vortrags: ca. 1 Stunde plus Diskussion!
Aktive Beteiligung an den Diskussionen!
Ausarbeitung des Vortrags in LaTeX, ca. 10 Seiten"
(Template wird zur Verfügung gestellt)!
4 SWS = 4 Leistungspunkte (ECTS) in Informatik!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
3!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
4!
14h15!
Beyond the Third Dimension"
Abrollungen höherdimensionaler geometrischer Objekte "
15h30!
Boysche Fläche"
Einbettung der Projektiven Ebene, Bryant-Kusner Parametrisierung"
16h45 – 17h00 != Pause =!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
5!
17h00!
Einführung in die Morse Theorie"
Kritische Punkte und Morse Index!"
18h15!
Critical Points for Topological Changes"
in Symmetric Fractal Trees
!"
ab 19h30!
Gemeinsamer Abend im Common Room (Raum 514)!
!Pixar-Filme, Spaghetti und Pesto, Käse und Rotwein"
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
6!
10h15!
Krümmung auf unstrukturierten Daten"
Verschiedene Krümmungsbegriffe, Oberflächengitter"
11h30!
Anisotrope Diffusion und Mean Curvature Flow "
zur impliziten Glättung irregulärer Gitter"
12h45 – 13h45 != Mittagspause =!
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7!
13h45!
Diskrete Morse Komplexe in der digitalen
Graubildverarbeitung"
Theorie und Algorithmen"
15h00!
Robuste on-line Berechnung von Reeb Graphen"
Anwendungen z.B. auf Fraktale (Sierpinski)
!"
16h15!
Voraussichtliches Ende des Seminars"
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Dieter Puppe!
Albrecht Dold!
Topologe in Heidelberg!
1968 – 1996!
Topologe in Heidelberg!
1963 – 1996!
(16. Dezember 1930 – 13. August 2005)!
20. Oktober 2014!
8!
(5. August 1928 – 26. September 2011)!
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9!
Eine Topologie ist ein "
Mengensystem T bestehend aus Teilmengen
(„offene Mengen“ genannt) einer Grundmenge X,
für die die folgenden Axiome erfüllt sind:!
–! Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.!
–! Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.!
–! Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.!
Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf
X heißt topologischer Raum (X,T).!
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10!
Frage: Gibt es einen Weg über die
sieben Brücken, bei dem man jede
Brücke nur einmal passiert? Gibt es
einen Rundweg?!
Antwort: Nein, denn es dürfte maximal
zwei Ufer (Knoten) mit einer
ungeraden Zahl von
angeschlossenen Brücken (Kanten)
geben. Diese zwei Ufer könnten
Ausgangs- bzw. Endpunkt sein. Die
restlichen Ufer müssten eine gerade
Anzahl von Brücken haben, um sie
auch wieder verlassen zu können.!
Leonhard Euler, 1736!
20. Oktober 2014!
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11!
!Das Brückenproblem ist KEIN
klassisches geometrisches
Problem, da es nicht auf die präzise
Lage der Brücken ankommt, sondern
nur darauf, welche Brücke welche
Inseln miteinander verbindet. Es
handelt sich deshalb um ein
topologisches Problem,
das Euler mit Methoden löste, die
heute der "
Graphentheorie "
zugerechnet werden. Das Problem
lässt sich auf beliebige Graphen
verallgemeinern, und auf die Frage,
ob es darin einen Zyklus gibt. !
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12!
Unter einem metrischen Raum versteht man in der
Mathematik eine Menge auf der eine Metrik (auch
Abstandsfunktion) definiert ist. !
Diese Funktion ordnet je zwei Elementen des Raums einen
nicht negativen reellen Wert zu, den Abstand der beiden
Elemente zueinander.!
!(X;d) ist ein metrischer Raum, "
wenn es eine Abbildung d: X x X ! R gibt, so dass gilt:!
!(1) Definitheit !
!
!(2) Symmetrie!
!
!(3) Dreiecksungleichung
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!d(x,y) " 0 und d(x,y) = 0 # x = y!
!d(x,y) = d(y,x)!
!d(x,y) $ d(x,z)+ d(z,y)!
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13!
Eine Definition des topologischen Raumes wurde als erstes von "
Felix Hausdorff im Jahre 1914 aufgestellt. Nach heutigem Sprachgebrauch
definierte er dort eine offene Umgebungsbasis.!
Definition: "
Ein topologischer Raum (X, T) ist eine Menge von Punkten X versehen mit
einer Menge von Teilmengen T % P(X) (den offenen Mengen), die
folgenden Bedingungen genügt: !
1)# X E T und & E T!
'(
2)# Für T % T ist auch
TET
!
3)# Für endliche viele T % T ist auch
'TET
!Die Menge T der offenen Mengen wird auch als Topologie bezeichnet.!
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14!
Als Hilfsmittel definiert man den Abstand D zwischen einem Punkt x und einer
nichtleeren kompakten Teilmenge K % E unter Rückgriff auf die Metrik d des
Raums E als!
!
!
!D(x,K)
:= min { d(x,y) | y E K}!
Definition (Hausdorff-Abstand): "
zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen A und B !
()(A,B) := max {{max D(a,B) | a E A}, {max D(b,A) | b E B}}!
!Bemerkung: Der Hausdorff-Abstand misst den größten Ausreißer eines Punktes einer Menge "
zu allen möglichen Punkten der anderen Menge.!
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15!
wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen
Räumen, wie z.B. Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische
Objekte wie Strecken, Quader und ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen
Dimensionsbegriffes überein. Ihr Zahlenwert ist jedoch NICHT unbedingt eine natürliche
Zahl, sondern kann auch eine (ir)rationale Zahl sein.!
Definition (Hausdorff-Dimension): !
!Für eine Punktmenge endlicher Ausdehnung in einem 3D-Raum
betrachtet man die Anzahl N der Kugeln mit dem Radius R, die
mindestens erforderlich ist, um die Punktmenge zu überdecken. Diese
Mindestanzahl ist eine Funktion N(R) des Radius R. Je kleiner der
Radius ist, umso größer ist N. Aus der Potenz von R, mit der N(R) für
den Limes R ! 0 anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension D!
N(R) ~ 1 / RD!
# D = – limR!0 log (N) / log (R)!
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16!
N(R) ~ 1 / RD!
# D = – limR!0 log (N) / log (R)!
Für eine gewöhnliche endliche Kurve wächst die Zahl der
erforderlichen Kugeln umgekehrt proportional zum
Kugelradius. "
Eine Kurve hat daher die Hausdorff-Dimension D = 1 !
Für eine gewöhnliche endliche Fläche wie beispielsweise ein
Rechteck wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln
dagegen proportional zu 1/R2. Es gilt daher D = 2!
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17!
N(R) ~ 1 / RD!
# D = – limR!0 log (N) / log (R)!
Für den Spezialfall eines geometrischen Objekts, welches aus n disjunkten
Teilobjekten besteht, die im Maßstab 1:m verkleinerte Kopien des
Gesamtobjekts darstellen, ergibt sich für die Hausdorff-Dimension D =
log(n)/log(m). !
Beispiele für die Ähnlichkeits-Dimension:!
Ein Quadrat setzt sich aus 9 Quadraten von 1/3 Größe zusammen, seine
Hausdorff-Dimension ist D = log (9) / log (3) = 2!
Die Koch-Kurve, ein Fraktal, besteht aus 4 jeweils im Maßstab 1:3
verkleinerten Kopien der Gesamtkurve. Es ergibt sich eine nichtganzzahlige Dimension D = log (4) / log (3) = 1.2618595...!
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18!
Beispiel Sierpinski:!
Die Sierpinski Dreieck, ein Fraktal, besteht
aus 3 jeweils im Maßstab 1:2 verkleinerten
Kopien der Gesamtfläche. Es ergibt sich
eine nicht-ganzzahlige Dimension "
D = log (3) / log (2) = 1.5849625...!
Das Sierpinski Tetraeder, ein Fraktal,
besteht aus 4 jeweils im Maßstab 1:2
verkleinerten Kopien des
Gesamtfvolumens. Es ergibt sich eine
ganzzahlige Dimension "
D = log (4) / log (2) = 2!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
19!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
20!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
21!
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22!
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23!
20. Oktober 2014!
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24!
Symmetrie !
des Oktogons!
Heinz Götze, Castel del Monte, Gestalt und Symbol der Architektur Friedrichs II."
3. Auflage, Prestel, München 1991!
20. Oktober 2014!
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25!
Ein Homöomorphismus (auch Isomorphismus) ist ein zentraler Begriff im
mathematischen Teilgebiet Topologie. Er bezeichnet eine bijektive, stetige
Abbildung zwischen zwei Objekten, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Die dabei zugrundegelegte Definition der Stetigkeit ist abhängig von den
betrachteten topologischen Räumen.!
Definition (Homöomorphismus): "
X und Y seien topologische Räume. Eine Abbildung f: X ! Y ist genau
dann ein Homöomorphismus, wenn gilt:$!
1)# f ist bijektiv$!
2)# f ist stetig!
3)# die Umkehrfunktion f –1 ist ebenfalls stetig!
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26!
In der Topologie ist eine Homotopie eine stetige Deformation zwischen zwei
Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise
die Deformation einer Kurve in eine andere Kurve.!
Definition:"
Eine Homotopie zwischen zwei stetigen Abbildungen f,g: X ! Y ist eine stetige
Abbildung !
H: X x [0,1] ! Y!
!mit der Eigenschaft !
H (X,0) = f(x) und H (X,1) = g(x)!
wobei [0,1] das Einheitsintervall ist. Der erste Parameter entspricht dem der
ursprünglichen Abbildungen und der zweite gibt den Grad der Deformation an.
Besonders anschaulich wird die Definition, wenn man sich den zweiten
Parameter als „Zeit“ vorstellt."
20. Oktober 2014!
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27!
Eine Homotopie zwischen zwei stetigen Abbildungen f,g: X ! Y ist eine stetige
Abbildung !
H: X x [0,1] ! Y!
!mit der Eigenschaft !
H (X,0) = f(x) und H (X,1) = g(x)!
Sprachgebrauch: !
Man sagt f sei homotop zu g und schreibt f ~ g. !
Homotopie ist eine Äquivalenzrelation.!
Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen. !
Eine stetige Abbildung f: X ! Y heißt nullhomotop, wenn sie homotop zu
einer konstanten Abbildung ist.!
20. Oktober 2014!
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28!
Unter dem Geschlecht einer kompakten orientierbaren Fläche versteht
man in der Topologie die Anzahl der „Löcher“ (oder der „Henkel“) der
Fläche. Das Geschlecht ist eine topologische Invariante.!
Definition:!
Das Geschlecht einer Fläche ist definiert als die maximale Anzahl von
möglichen Schnitten entlang disjunkter, einfach geschlossener Kurven,
so dass die Fläche nach dem Schnittvorgang, also nach allen
gemachten Schnitten, immer noch zusammenhängend ist.!
Geschlecht 0
!Geschlecht 1
20. Oktober 2014!
!
Geschlecht 2 !
!
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Geschlecht ?!
29!
KnotPlot ist ein OpenGL Programm zur Generierung
von komplizierten toplogischen Räumen.!
!Autor: Robert Scharein
20. Oktober 2014!
!http://www.knotplot.com/!
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30!
1-Ring = nächste Nachbarn!
2-Ring = übernächste Nachbarn !
3-Ring = ...!
20. Oktober 2014!
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31!
Typische Dreiecksgitter mit !
Korrekter Orientierung ! Mehrfachkanten
20. Oktober 2014!
Randständiger!
nichtsingulärer!
Punkt:!
Mannigfaltigkeit!
20. Oktober 2014!
!
!Falscher Orientierung!
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Singulärer Punkt!
verbindet!
zwei Dreiecksfächer!
(Triangle fans)!
32!
Singulärer Punkt!
in einem typischen
Aufnahme-Resultat!
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33!
Unter einem (deterministischen) dynamischen System versteht man das
mathematische Modell eines zeitabhängigen Prozesses, der homogen
bezüglich der Zeit ist, also dessen Verlauf zwar vom Anfangszustand,
aber nicht vom Anfangszeitpunkt abhängt.!
20. Oktober 2014!
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Man betrachte für Anschauungszwecke eine bergige
Landschaft M. Die Morsefunktion f#: M R ist z.B. die
Höhenfunktion, die jedem Punkt seine Höhe zuordnet.!
Nun stelle man sich vor, die Landschaft würde mit Wasser
geflutet. Erreicht dieses eine Höhe a ist die durch das
Wasser bedeckte Fläche (die Punkte mit Höhe % a)
gleich f&1 (-', a]. Wie ändert sich die Topologie der
Region wenn das Wasser steigt? !
Intuitiv ändert sie sich nur, falls a die Höhe eines kritischen
Punktes passiert. Das ist ein Punkt, an dem die
Ableitung (Gradient) von f verschwindet. Mit anderen
Worten, die Topologie ändert sich nur, falls das Wasser
beginnt !
!(1) ein Becken zu füllen (Minimum), !
!(2) einen Sattel (Bergpass) zu überdecken, oder !
!(3) einen Gipfel (Maximum) zu überfluten. !
20. Oktober 2014!
34!
Marston Morse (1892 – 1977)!
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35!
Affensattel (Monkey Saddle)!
!f(x,y) = x 3 – 3 xy 2!
Im kritischen Punkt f(0,0) = 0 gilt, dass "
die ersten Ableitungen !
!df(x,y)/dx = 3 x 2 – 3 y 2!
!df(x,y)/dy = – 6 xy!
!verschwinden:!
!df(0,0)/dx = 0!
!df(0,0)/dy = 0!
Aber auch die zweiten Ableitungen sind in (0,0) identisch Null! Dieser
kritische Punkt ist degeneriert.!
20. Oktober 2014!
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36!
Jedem der drei Typen von generischen (nicht-degenerierten)!
kritischen Punkten !
!(1) Minima!
!(2) Sattelpunkte!
!(3) Maxima!
ordnet man eine Zahl, den Morseindex zu. !
Grob gesagt ist das die Zahl der unabhängigen Richtungen !
um den Punkt, auf denen die Funktion f abnimmt. !
Marston Morse, Oberwolfach, 1965!
Das ist für Minima 0, Sattelpunkte 1, Maxima 2.!
Kurz: Anzahl (Dimension) der instabilen Mannigfaltigkeiten!
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37!
Eine Homologie (griechisch: ()*+, homos = gleich, ,(-*+, logos = Sinn)
ist ein mathematisches Objekt bzw. eine Folge von mathematischen
Objekten, den Homologiegruppen in der algebraischen Topologie. !
Konstruktion:!
!Einem mathematischen Objekt X wird zunächst ein Kettenkomplex
zugeordnet, der Information über X enthält. !
!Ein Kettenkomplex ist eine Folge von Moduln A0, A1, ... verbunden
durch Homomorphismen dn: An ! An–1, so dass die Hintereinanderausführung je zweier dieser Abbildungen die Nullabbildung ist: !
dn o dn+1 = 0 für jedes n.!
!Dies bedeutet, dass das Bild der (n+1)-ten Abbildung stets im Kern der
n-ten Abbildung enthalten ist. "
Man denkt hier z.B. an den Randoperator: Der Rand eines Randes ist leer!!
20. Oktober 2014!
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38!
Man definiert nun die n-te Homologiegruppe von X als den
Quotientenmodul!
Hn (X) = ker (dn) / im(dn+1) (X)!
Ein Kettenkomplex heißt exakt, wenn das Bild der (n+1)-ten Abbildung
stets der Kern der n-ten Abbildung ist; die$Homologiegruppen von X
messen also, „wie unexakt“ der X zugeordnete Kettenkomplex ist.!
Beispiel: "
Der Randoperator bildet das Innere eines Modul auf Null und den Rand
auf 1 ab. Das Innere eines Randes ist der gesamte Rand. Damit ist der
Rand eines Randes leer!!
20. Oktober 2014!
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39!
Die Euler-Charakteristik ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie
eine Kennzahl (topologische Invariante) für topologische Räume, zum
Beispiel für geschlossene Flächen. Als Bezeichnung verwendet man
üblicherweise * .!
Eine geschlossene Fläche S lässt sich stets triangulieren, das heißt man
kann sie immer mit einem endlichen Dreiecksgitter überziehen. Die
Euler-Charakteristik * ist dann definiert als!
* (S) := E – K + F!
wobei mit E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und mit F die
Anzahl der Flächen (hier Dreiecke) in der Triangulierung gemeint ist.!
Ein konvexer Polyeder hat * = 2!
Beispiel: Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
40!
Thomas F. Banchoff"
Beyond the Third Dimension "
Scientific American Library (1990)!
Joel Smoller"
Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations "
Springer Series of Comprehensive Studies in Mathematics 258 (1994)!
Hamish Carr, Jack Snoeyink, Ulrike Axen"
Computing contour trees in all dimensions"
University of North Carolina at Chapel Hill (2001)!
R. V. Garimella, B. K. Swartz"
Curvature Estimation for Unstructured Triangulations of Surfaces"
Los Alamos National Lab, Technical Report!
Christian Heine, Dominic Schneider, Hamish Carr, Gerik Scheuermann"
Drawing contour trees in the plane"
IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics (2010)!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
41!
Attila Gyulassy, Vijay Natarajan, Bernd Hamann"
Efficient Computation of Morse-Smale Complexes for Three-dimensional
Scalar Functions"
IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics (2007)!
Herbert Edelsbrunner, John Harrer, Afra Zomorodian"
Hierarchical Morse-Smale complexes for piecewise linear 2-manifolds!
Mathieu Desbrun, Mark Meyer, Peter Schröder, Alan H. Barr"
Implicit Fairing of Irregular Meshes using Diffusion and Curvature"
Caltech (2000)!
V. Pascucci, K. Cole-McLaughlin, G. Scorzelli"
Multi-resolution computation and presentation of contour trees"
Lawrence Livermore National Labs (2004)!
V. Pascucci, G. Scorzelli, P.-T. Bremer, A. Mascarenhas"
Robust On-line Computation of Reeb Graphs: Simplicity and Speed"
ACM SIGGRAPH (2007)!
Vanessa Robins, Peter John Wood, Adrian P. Sheppard"
Theory and algorithms for constructing discrete Morse complexes from
grayscale digital images "
IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (2010)!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
42!
20. Oktober 2014!
Visualization & Numerical Geometry!
43!