Elektromagnetische Feldtheorie Q1-Q6 Q7-Q11 Q12-Q15

Bachelorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik
Termin Wintersemester 2010/2011
Elektromagnetische Feldtheorie
Montag, 28. 02. 2010, 10:30–12:30 Uhr
Name
Vorname
Matrikelnummer
Q1-Q6
Q7-Q11
Q12-Q15
Σ
Zur Beachtung:
• Bitte beantworten Sie die Kurzfragen auf diesen Klausurblättern und die Rechenaufgaben auf dem separat ausgeteilten Papier. Verwenden Sie für jede Rechenaufgabe jeweils einen eigenen Bogen.
• Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an.
• Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet.
• Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig gelöst
werden.
• Diese Angabe besteht aus 18 Blättern.
Hilfsmittelregelung:
Im Rahmen der Prüfung “Elektromagnetische Feldtheorie” ist die Verwendung einer
mathematischen Formelsammlung als Hilfsmittel erlaubt. Bei dieser handelt es sich
entweder um “Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik” oder um “Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler” oder
um “Råde, Westergren: Springers Mathematische Formeln”.
Die zugelassenen Hilfsmittel dürfen keine inhaltlichen Zusätze, Einlagen, Randbemerkungen, Textänderungen oder ähnliches enthalten. Unschädlich ist es allein, Markierungsstreifen anzubringen und Unterstreichungen und farbliche Hervorhebungen durch
Textmarker vorzunehmen. Bereits das Mitführen nicht zugelassener Hilfsmittel gilt unabhängig von einer Verwendungsabsicht als Täuschungsversuch.
1
Q1 (4 Punkte)
Wie lauten die vier Maxwell-Gleichungen in differentieller Form für den Fall, dass das
betrachtete Problem nur rein statische elektrische und magnetische Felder beinhaltet?
Q2 (4 Punkte)
Leiten Sie aus den beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen in differentieller Form die
inhomogenen Maxwell-Gleichungen in integraler Form ab. Verwenden Sie die Integralsätze
von Gauß und Stokes.
2
Q3 (4 Punkte)
Gegeben ist ein leitfähiger Zylinder mit dem Radius R und der Höhe h (Leitfähigkeit
σ, Dielektrizitätskonstante ǫ, magnetische Permeabilität µ). Zwischen den beiden Deckflächen des Zylinders liegt die Spannung U an (siehe Skizze). Dadurch fließt ein Strom
~ ϕ) = I·r · ~eϕ in Zylinderkoordinaten
I, der innerhalb des Zylinders das Magnetfeld H(r,
2A
erzeugt.
z
φ
U
r
R
h
*a) Berechnen Sie die elektrische Energiedichte wel (r) im Inneren des Zylinders.
*b) Berechnen Sie die magnetische Energiedichte wmag (r) im Inneren des Zylinders (der
Strom I muss nicht durch die Spannung U ausgedrückt werden).
3
c) Geben Sie die elektromagnetische Energiedichte welmag (r) im Inneren des Zylinders
an.
Q4 (3 Punkte)
Erklären Sie die physikalische Bedeutung der einzelnen Terme der Energiebilanzgleichung:
∂welmag
~ × H)
~ = −~j · E
~
+ div(E
∂t
4
Q5 (4 Punkte)
Verwenden Sie das differentielle Gaußsche Gesetz und die Lorenz-Eichung, um die Wellengleichung für das skalare elektromagnetische Potential Φ im Vakuum (ǫ = ǫ0 , µ = µ0 )
herzuleiten.
Q6 (2 Punkte)
Welche anschauliche Interpretation hat die Zerlegung
~
~ = −∇Φ − ∂ A
E
∂t
im Fall der Coulomb-Eichung?
5
Q7 (4 Punkte)
Berechnen Sie ausgehend von den Grenzflächenbedingungen für die elektrischen
~ und D
~ den Ausfallswinkel α2 in Abhängigkeit der gegebenen Größen α1 , ǫ1 und
Felder E
ǫ2 . Ist in der Zeichnung ǫ1 größer oder kleiner als ǫ2 ?
Grenzfläche
D1
ε1
ε2
n
α2
α1
D2
Q8 (3 Punkte)
In einem Plattenkondensator (Plattenbreite b, Spannung U > 0) befinden sich zwei parallel angeordnete Dielektrika mit den relativen Dielektrizitäskonstanten ǫ1 bzw. ǫ2 mit
ǫ2 > ǫ1 (siehe Skizze).
~ und
Skizzieren Sie in zwei getrennten Abbildungen den Betrag des elektrischen Feldes |E|
~ entlang der gestrichelten Schnittlinie in Abhängigkeit
der dielektrischen Verschiebung |D|
von y. Beschriften Sie die Achsen der beiden Skizzen. Zudem sind die Positionen von
y = 0, y = y1 und y = b zwingend einzutragen!
6
Q9 (4 Punkte)
Formulieren Sie für die gegebene eindimensionale Kondensatoranordnung mit ortsabhängiger Permittivität ε(x) > 0 das Randwertproblem für das elektrische Potential
Φ(x). Um welche Art Randbedingungen handelt es sich? Ist die Lösung eindeutig bestimmt?
7
Q10 (9 Punkte)
Gegeben ist das eindimensionale Randwertproblem für das elektrostatische Potential
Φ(x) auf dem Intervall Ω = (0, L) mit konstanter Dielektrizitätskonstante ǫ = ǫ0 (siehe
Abbildung). Auf der Berandung bei x = 0 gilt die inhomogene Dirichlet-Randbedingung
Φ(0) = V , auf der Berandung bei x = L gilt die inhomogene Neumann-Randbedingung
dΦ
(L) = T . Zusätzlich ist im Inneren von Ω eine nicht näher spezifizierte Raumladungsdx
dichte ρ(x) gegeben.
Zur Bestimmung des elektrostatischen Potentials Φ(x) kann es als Φ(x) = Φ0 (x) + ϕ(x)
geschrieben werden. Dabei ist Φ0 die Lösung der homogenen Poissongleichung (ρ = 0)
mit inhomogenen Randbedingungen und ϕ die Lösung der inhomogenen Poissongleichung
mit homogenen Randbedingungen.
Neumann
Dirichlet
*a) Berechnen Sie Φ0 (x).
8
*b) Wie lautet die Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte λν und die Eigenfunktionen
bν (x) für das homogene Randwertproblem? (bν (x) und λν müssen nicht berechnet
werden.)
*c) Welcher Normierungsbedingung müssen die Eigenfunktionen bν (x) genügen, damit
sie ein Orthonormalsystem in L2 (Ω) bilden?
*d) Wie berechnet sich ϕ(x) aus den Eigenwerten λν , den normierten Eigenfunktionen
bν (x) und der Raumladungsdichte ρ(x)?
9
Q11 (1 Punkt)
Hier ist eine konstitutive Stromrelation für die elektrische Stromdichte gegeben. Welche
der gekennzeichneten Terme (1-4) muss man berücksichtigen, um die Funktionsweise eines
Thermoelements berechnen zu können?
N X
~ − σα Pα ∇T
~ − qα Dα ∇nα + σα RH~jα × B
~j =
σα E
|{z} | {z } |
{z
} | {z }
α=1
1
2
4
3
Q12 (4 Punkte)
Gegeben ist ein elektrischer Dipol mit einer positiven Punktladung +q bei ~r1 = r1 ·~ez und
einer negativen Punktladung −q bei ~r2 = r2 · ~ez im Halbraum z > 0. Der Dipol befindet
sich über einer unendlich ausgedehnten ideal leitenden Platte (=x-y-Ebene). Die Platte
ist geerdet (d.h. Potential = 0).
*a) Beschreiben Sie die Ladungsverteilung ρ(~r) des Dipols mit einem mathematischen
Ausdruck unter Verwendung der δ-Funktion.
10
b) Berechnen Sie das elektrostatische Potential der Anordnung oberhalb der leitenden
Platte mit Hilfe der Greenfunktion.
Hinweis: Die Greenfunktion für den Halbraum über der Platte lautet:
1
1
1
′
−
GH (~r, ~r ) =
4πǫ |~r − ~r ′ | |~r − S~r ′ |
Der Vektor S~r ′ bezeichnet den an der x-y-Ebene (z = 0) gespiegelten Ortsvektor ~r ′ .
Q13 (4 Punkte)
Gegeben ist ein elektrostatisches Randwertproblem (RWP) auf einem Gebiet Ω. Welche
der folgenden Aussagen über die Greenfunktion für das elektrostatische Potential in diesem Gebiet sind richtig, welche falsch? (Hinweis: Falsche Antworten führen zu Punktabzug
innerhalb dieser Aufgabe!)
a) Die Greenfunktion hängt von der Geometrie des Gebiets Ω ab.
b) Die Greenfunktion hängt von der Art der Randbedingungen (Dirichlet, Neumann
oder gemischt) des RWP ab.
c) Die Greenfunktion hängt von der Ladungsverteilung innerhalb des Gebiets Ω ab.
d) Die Greenfunktion ist für reine Dirichlet-Randbedingungen eindeutig.
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Q14 (7 Punkte)
Ein Teil eines Fensters (Querschnitt unten abgebildet) wird in Bezug auf seine Wärmeleitfähigkeit untersucht. Auf der einen Seite des Fensters sei die Temperatur konstant bei
Raumtemperatur Ti , auf der anderen Seite ebenfalls konstant bei Außentemperatur Ta .
Zur Berechnung des Wärmeverlustes wurde das nebenstehende Kirchhoffsche Netzwerk
aus thermischen Widerständen als Ersatzschaltbild aufgestellt.
*a) Für das Ersatzschaltbild wurde ein linearer Zusammenhang zwischen der Temperaturdifferenz ∆T und dem Wärmefluss JQ angenommen, der mit Hilfe eines thermischen Widerstands Rth beschrieben wird. Wie lautet dieser Zusammenhang? Welche
physikalische Einheit hat der thermische Widerstand?
12
*b) Berechnen Sie den resultierenden thermischen Gesamtwiderstand Rth,ges der Anordnung aus dem Ersatzschaltbild.
c) Berechnen Sie den Wärmefluss JQ durch das Fenster nach dem vereinfachten Ersatzschaltbild in Abhängigkeit von Ti und Ta ?
*d) Welche idealisierenden Annahmen müssen an den Materialgrenzen 1 und 2 jeweils getroffen werden, damit die Anordnung in das oben gezeigte Ersatzschaltbild
überführt werden darf? Nennen Sie je eine Annahme für die Grenzfläche 1 und 2.
13
Q15 (4 Punkte)
Gegeben ist eine ebene transversale Welle im Vakuum mit gegebener Kreiswellenzahl k
und Kreisfrequenz ω = c · k:
~ r, t) = Ex · sin(kz − ωt + ϕx ) · ~ex + Ey · sin(kz − ωt + ϕy ) · ~ey
E(~
*a) Unter welchen Bedingungen ist diese Welle zirkular polarisiert?
*b) Unter welcher Bedingung ist diese Welle linear polarisiert?
14
1. Rechenaufgabe (20 Punkte)
Wir betrachten eine transversale elektromagnetische Welle (TEM-Welle), die sich in einem
Koaxialkabel ausbreitet. Der Innenradius des koaxialen Leiters beträgt a, der Außenradius
b. Dazwischen befindet sich ein isolierendes Medium mit der Permittivität ε und der
Permeabilität µ.
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(
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Wie bei einer ebenen Welle sind hierbei die elektrischen und magnetischen Feldkomponenten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. In zylindrischen Koordinaten ist das elektrische
Feld der Welle durch folgende Gleichung gegeben (die z-Achse zeigt aus der Zeichenebene
heraus):
~ r, t) =
E(~
Φ0
· cos(ωt − kz) · ~er
r · ln ab
für a ≤ r ≤ b , mit k > 0 , Φ0 ∈ R , ω > 0
~ r, t) = 0 für r < a oder r > b
E(~
~ als Funktion von r für kz − ωt = 0 und für kz − ωt = π/2.
*a) Skizzieren Sie |E|
~ r, t) gehörende Magnetfeld H(~
~ r, t).
*b) Berechnen Sie das zu E(~
~ r, t).
c) Bestimmen Sie die elektromagnetische Energiestromdichte S(~
d) Welche Leistung P (z, t) wird im Koaxialkabel übertragen?
*e) Die Welle erzeugt eine elektrische Spannung U (z, t) zwischen Innenleiter und Außenleiter. Berechnen Sie diese.
f) Welchen Strom I(z, t) erzeugt die Welle im Innenleiter?
g) Berechnen Sie das Produkt U (z, t) · I(z, t) und vergleichen Sie das Ergebnis mit
P (z, t) aus Teilaufgabe d).
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2. Rechenaufgabe (17 Punkte)
Eine ideal leitende Kugel K1 = K(~r1 , a) mit Mittelpunkt ~r1 und Radius a befindet sich
im Vakuum (ε = ε0 ) und ist mit einer elektrischen Ladung Q1 geladen. Diese befindet
sich ausschließlich auf der Kugeloberfläche ∂K1 und verteilt sich dort gleichmäßig mit
konstanter Flächenladungsdichte. Zur Vereinfachung sei zunächst der Mittelpunkt ~r1 im
Ursprung, d.h. ~r1 = ~0 (siehe Skizze).
z
¶K1
Kugel K1
y
x
2a
~ r) innerhalb
*a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes das elektrische Feld E(~
und außerhalb der Kugel K1 .
b) Berechnen Sie das elektrische Potential Φ1 (~r) zu dieser Anordnung, für welches
Φ1 (~r) → 0 für |~r| → ∞ gilt.
Für die folgenden Teilaufgaben wird der Kugelmittelpunkt ~r1 in den Halbraum z > 0
d
verschoben: ~r1 = x1~ex + ~ez mit d > 0. Das Potential Φ1 (~r) aus Teilaufgabe b) lautet
2
dann:
Φ1 (~r) =





Q1
·
4πε0 



1
für |~r − ~r1 | ≤ a
a
1
für |~r − ~r1 | > a
|~r − ~r1 |
Desweiteren wird nun bei z = 0 (x-y-Ebene) eine ideal leitende Schicht eingeschoben,
welche geerdet ist. Dadurch verändert sich das elektrische Potential zu Φ̃1 (~r) mit der
Randbedingung Φ̃1 (x, y, z = 0) = 0 (siehe Skizze). Es gelte a ≪ d/2, so dass sich die
Ladungsverteilung auf K1 näherungsweise nicht verändert.
z
Kugel K1
x
2a
d/2
x-y-Ebene,
F(x,y,z=0)=0
*c) Bestimmen Sie das elektrische Potential Φ̃1 (~r) im Halbraum z ≥ 0 außerhalb der
Kugel K1 .
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Nun wird eine weitere ideal leitende Kugel K2 = K(~r2 , a) mit Radius a und aufgebrachter
Ladung Q2 am Ort ~r2 positioniert. ~r2 ist hierbei um den Vektor l ·~ex gegenüber ~r1 parallel
d
verschoben: ~r2 = ~r1 + l · ~ex = (x1 + l)~ex + ~ez .
2
l
z
Kugel K2
Kugel K1
x
x
2a
2a
d/2
d/2
x-y-Ebene,
F(x,y,z=0)=0
Es gelte a ≪ d/2 und a ≪ l, so dass die Ladungsverteilungen auf K1 und K2 weiterhin
näherungsweise als kugelsymmetrisch angenommen werden können.
*d) Bestimmen Sie das elektrische Potential Φcon (~r) dieser Kondensatoranordnung im
Halbraum z ≥ 0 außerhalb der Kugeln K1 und K2 .
e) Bestimmen Sie die Potentialwerte V1 auf der Kugeloberfläche ∂K1 und V2 auf der
Kugeloberfläche ∂K2 näherungsweise dadurch, dass Sie das in Teilaufgabe d) berechnete Potential Φcon (~r) auf Oberflächenpunkten ~r1∗ ∈ ∂K1 bzw. ~r2∗ ∈ ∂K2 auswerten:
V1 = Φcon (~r1∗ ) und V2 = Φcon (~r2∗ ).
(Hinweis: Verwenden Sie bei den Abstandsberechnungen a ≪ d und a ≪ l.)
f) In Teilaufgabe e) wurde ein linearer Zusammenhang
Q1
V1
=M
Q2
V2
abgeleitet. Wie lautet die 2x2-Matrix M ?
*g) Wie läßt sich aus der Matrix M aus Teilaufgabe f) die Kapazitätsmatrix C gewinnen?
(Hinweis: Die Rechnung muss nicht explizit durchgeführt werden.)
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3. Rechenaufgabe (20 Punkte)
Die zu untersuchende Wechselstromschaltung besteht aus einer Spannungsquelle mit dem
Innenwiderstand Ri , die mit einer Last Z Last verbunden ist. Die Last ist aus einer Induktivität L, einer Kapazität C und einer Reihe aus n identischen Widerständen R aufgebaut
b mit der Frequenz
(siehe Abbildung). Die Spannungsquelle liefert die Wechselspannung U
ˆ
ω. Durch die Widerstandsreihe fließt der Strom I R .
Last
ÎR
L
Ri
U
U Last
R
R
C
nR
R
*a) Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm für alle Spannungen und Ströme der Last Z Last .
*b) Berechnen Sie die Impedanz der Last Z Last sowie die Gesamtimpedanz der Schaltung
bestehend aus der Last Z Last und Ri .
c) Berechnen Sie den Strom IˆR , der durch die Widerstandsreihe nR fließt.
b Last ) wird der Strom IˆR bei einer Frequenz ω0 unabhängig von der
b=U
d) Für Ri = 0 (U
Anzahl n der Widerstände. Berechnen Sie ω0 aus dem Ergebnis von Teilaufgabe c).
e) Berechnen Sie den komplexen Leistungszeiger P Last der Last Z Last für Ri = 0 und
ω = ω0 (Beachten Sie: U ef f = √12 · Û ). Wie groß ist die Scheinleistung in der Last?
*f) Nennen Sie einen Grund, weshalb der Fall “IˆR unabhängig von n” (siehe Teilaufgabe
d) in der Wirklichkeit nicht realisierbar ist.
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