Übungsblatt 1 E4, SS 2011 1) 1-D Zufallsbewegung. Für eine

Übungsblatt 1
E4, SS 2011
1) 1-D Zufallsbewegung.
Für eine eindimensionale Zufallsbewegung werden N=100 Schritte mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0.5
entweder vorwärts oder rückwärts ausgeführt (Z.B. werfen Sie 100x eine Münze, und gehen bei „Kopf“
einen Schritt vorwärts, bei „Zahl“ einen Schritt zurück). Die Schrittweite ist dabei gleich, d.h. +1 oder -1.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach den 100 zufälligen Schritten wieder am Ausgangspunkt
anzukommen? Wie groß ist typischerweise die Abweichung davon?
b) Die Schrittweite ist jetzt variiert, so dass ein Schritt vorwärts eine Schrittweite von 1.5 hat, der Schritt
rückwärts eine Schrittweite von -1 (Wahrscheinlichkeit je 0.5). Wo ist jetzt der wahrscheinlichste
Ankunftspunkt?
c) Mit Schrittweiten +1 und -1, wird jetzt die Wahrscheinlichkeit verändert, und zwar p=0.6 für den Schritt
vorwärts, und p=0.4 für den Schritt rückwärts. Wo ist jetzt der Mittelpunkt und die 1/e Breite der
Wahrscheinlichkeitsverteilung?
2) Ein Satz von Telefonleitungen soll installiert werden, um die Stadt A mit der Stadt B zu verbinden. Die
Stadt A hat 2000 Telefone. Wenn jeder Teilnehmer von A seine eigene Direktverbindung nach B
beanspruchen würde, wären 2000 Telefonleitungen notwendig. Dies wäre ziemlich verschwenderisch.
Angenommen, dass während der Hauptgeschäftszeit (8-18 Uhr, also 10 Stunden) jeder Teilnehmer in A im
Durchschnitt eine Telefonverbindung nach B für zwei Minuten benötigt und dass diese Telefongespräche
ganz und gar zufällig geführt werden. Wie groß ist dann die Minimalzahl M von Telefonleitungen nach B,
die notwendig ist, damit höchstens 1 Prozent der Anrufer aus A bei ihrer Wahl nach B nicht sofort
durchkommen.
(Anleitung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Leitungsbelegungen, welche die Anzahl verfügbarer
Leitungen übersteigt, soll kleiner als 0,01 sein. Approximieren Sie die Verteilung durch eine
Gaußverteilung).
3) Spinsystem:
Wir betrachten ein System aus N = 30 ortsfesten Teilchen mit Spinquantenzahl s = ½ und magnetischem
Moment µ0. m = M/µ0 ist das gesamte magnetische Moment M in Aufwärtsrichtung (ms = +½), in Einheiten
von µ0 gemessen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P N(m), mit der das gesamte magnetische Moment M in
,,Aufwärtsrichtung" den Wert m annimmt
a) ohne äußeres Magnetfeld (p = q =1/2) und
b) mit äußerem Feld (p = 0,7; q = 0,3),
wenn p und q = 1-p die Wahrscheinlichkeiten für ms = +1/2 bzw. ms = -1/2 sind.
Stellen Sie PN(m) in beiden Fällen graphisch dar (n1 gibt die Zahl der nach oben gerichteten Spins)!
4) Zustandssumme und Maxwell-Boltzmannverteilung
(a) Ein System aus 6 Würfeln wird beliebig oft geworfen, dabei werden nur Würfe berücksichtigt, bei denen
die Summe der Augen 8 ergibt (z.B. 1,1,1,1,1,3) . Welches ist die unter dieser „Randbedingung“ am
häufigsten auftretende Komposition (d.h Anzahl der 1er, 2er, 3er … 6er) ?
Anleitung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für sämtliche Kompositionen mit der Augensumme 8.
(b) Ein System aus 600 Würfeln wird beliebig oft geworfen, dabei werden nur Würfe berücksichtigt, deren
Augensumme 800 ergibt. Welches ist die unter dieser „Randbedingung“ am häufigsten auftretende
Komposition (d.h Anzahl der 1er, 2er, 3er … 6er) ?
Anleitung: Berechnen Sie die Zustandssumme und das Verteilungsmodul (β) für das gegebene Beispiel.
Falls Sie die Gleichung nicht nach beta auflösen können, verwenden Sie numerische oder grafische
Verfahren (z.B. iterative Annäherung mit dem Taschenrechner/Computer, Plot der Augensumme als Funktion
von beta und Ablesen des Wertes, etc.), um einen Zahlenwert für β zu finden. Berechnen Sie dann die
einzelnen n_i, für i=1..6, für das gefundene β.
(c) Wie ist in obigem Würfelbeispiel die Summe der Augen und die wahrscheinlichste Komposition für β
=0, sowie +- ∞. Diskutieren Sie die physikalische Interpretation von β=-1/kT in diesem Zusammenhang.
Gibt es ein physikalisches Beispiel für eine nach dieser Definition „negativen“ Temperatur (T<0) ?
Exercise sheet 1
E4, SS 2011
1) 1-D random walk.
For a one dimensional random walk the probability for a forward and backward step is p=0.5 (e.g. flipping a
coin, with the number move backwards, with the face move forward). Perform N=100 steps with an equal
step widths of +1 or -1.
a) How high is the probability to be back at the starting point after 100 random steps? Give the average
deviation from this point.
b) We now change the step width of the forward steps to 1.5, the backward step remains at -1, the probability
is each p=0.5. Where is the most probable end point of your random walk?
c) We now change the probability to p=0.6 for forward and p=0.4 for backward steps but keep the step width
+1 and -1, respectively. Where are the mean and the 1/e width of the probability distribution?
2) A set of telephone connections should be installed in order to connect the cities A and B. City A has 2000
telephones. If every user of city A gets a direct connection to city B, 2000 lines would be needed, which is
extremely wasteful.
We assume that each user in city A needs a telephone connection to city B for two minutes on average during
the 10 hours working hours (8.00-18.00) and that these calls are completely random. What minimal number
M of telephone connections to city B is needed in order to ensure that not more than 1% of the calls from
city A to city B do not get a direct line.
(Instruction: The sum of the probabilities for occupied lines, which is higher than the number of lines, should
be less than 1%. Approximate the probability function by a Gaussian distribution.)
3) Spin-system:
A spin-system has N = 30 localized particles with spin quantum number s = ½ and magnetic moment µ 0. m
= M/µ0 is the magnetic moment M in vertical direction (m s = +½) in units of µ0.
Calculate the probability PN(m) for the total magnetic moment M to achieve in vertical direction the value m
a) Without magnetic field (p = q =1/2) and
b) With magnetic field (p = 0,7; q = 0,3),
under the assumption that p und q = 1-p are the probabilities for ms = +1/2 and ms = -1/2, respectively.
Draw the values for PN(m) in both cases.
4) Partition function and Maxwell-Boltzmann distribution:
(a) Throw a system of six dices arbitrarily often. Count only the results which have a sum of eight
(e.g. 1, 1, 1,1 ,1 ,3). Which is the most common composition (i.e number of 1 th, 2 th, 3th … 6 es)?
Instruction: Calculate the probability of all possible compositions yielding the number eight.
(b) Throw a system of six hundred dices arbitrarily often. Count only the results which have a sum of eight
hundred. Which is now the most common composition (i.e number of 1 th, 2 th, 3th … 6 es)?
Instruction: Calculate the partition function and the Lagrange multiplier (β) for the example. Use numerical
or graphical methods (e.g. iterative approaches with the computer) to calculate β. Calculate the individual
numbers ni for i=1..6, for the number of β.
(c) Calculate the most probable composition of numbers for β =0, as well as +- ∞. Discuss the physical
interpretation for β=-1/kT in this context. Is there a physical example for a „negative“ temperature (T<0)
following this definition ?