Phys. H. Kriegel Elektrodynamik SS 2013 7. ¨Ubungsblatt Abgabe

INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. U. Motschmann
Dipl.-Phys. H. Kriegel
Elektrodynamik
7. Übungsblatt
SS 2013
Abgabe: Mo., 27. Mai 2012 bis 17 Uhr im Kasten vor A317
Fragen zu den Aufgaben: H. Kriegel, Raum A317, Tel.: 391-5187, [email protected]
15. Dipolstrahlung
(20 Punkte)
In der Vorlesung (Kapitel II, Abschnitt 10) wurde die Reihenentwicklung des retardierten
Vektorpotentials
0|
Z
j(r 0 , t − |r−r
µ0
c )
3 0
A(r, t) =
d r
(1)
4π
|r − r 0 |
für große Entfernungen r von einer inselartigen Quellverteilung ρ(r0 , t), j(r0 , t) diskutiert.
Im folgenden betrachten wir lediglich den ersten Summanden dieser Entwicklung, wobei
wir uns auf das Vakuum (µ = = 1) beschränken:
Z
r
µ0 ṗ t − c
A1 (r, t) =
mit p(t) = d3 r0 r0 ρ(r0 , t) .
(2)
4π
r
Dieser Term soll nun für den Spezialfall einer zeitlich oszillierenden Ladungs- und Stromverteilung
ρ(r, t) = ρ(r) exp (−iωt) bzw. j(r, t) = j(r) exp (−iωt)
(3)
explizit ausgewertet und diskutiert werden. Dies führt zur sog. Dipolstrahlung.
(a) Zeigen Sie, dass die Auswertung von Gl. (2) auf die Form
A1 (r, t) = A1 (r) exp(−iωt)
mit A1 (r) = −iω
µ0 exp(ikr)
P
4π
r
und dem zeitunabhängigen Dipolmoment
Z
P = d3 r0 r0 ρ(r0 )
(4)
(5)
führt. Die Wellenzahl k = 2π/λ ist wiederum durch ω = ck festgelegt.
(b) Bestimmen Sie mittels Gl. (4) das magnetische Feld und ermitteln Sie damit aus
dem Gesetz von Ampère das elektrische Feld E 1 (r, t) = E 1 (r) exp(−iωt). Für große
Entfernungen von der Quellverteilung sollte sich näherungsweise
B 1 (r) ≈
µ0 2 exp(ikr)
ck
er × P
4π
r
sowie
E 1 (r) ≈ cB 1 (r) × er
(6)
ergeben. Diskutieren Sie den Feldverlauf von E 1 und B 1 . Gehen Sie insbesondere auf
die Abnahme der Feldstärke für große r ein.
Bitte wenden −→
(c) Bestimmen Sie den zeitlichen Mittelwert des zu E 1 und B 1 gehörenden PoyntingVektors Π1 . Machen Sie sich dafür zunächst klar, dass dieser Mittelwert in der Form
< Π1 >=
1
1
Re {E ?1 (r) × B 1 (r)} =
Re {E 1 (r) × B ?1 (r)}
2µ0
2µ0
(7)
geschrieben werden kann. Der Stern bezeichnet die komplexe Konjugation. Diskutieren Sie die Abhängigkeit des Betrages |< Π1 >| vom Winkel zwischen er und P
(Skizze!).
(d) Als einfaches Beispiel für einen elektrischen Dipolstrahler bzw. Empfänger soll nun eine Linearantenne betrachtet werden. Die Antenne sei parallel zur z-Achse angeordnet
und erstrecke sich von z = −L/2 bis z = +L/2. Der Durchmesser sein vernachlässigbar klein. Nehmen Sie an, dass bei z = 0 ein Strom I0 eingespeist wird, der zu beiden
Enden der Antenne linear auf Null abfällt und berechnen Sie P.
0
0
µ0 R j(r ,t−(r−er r )/c)
Bemerkung: Ausgehend von A1 (r) = 4π
dV 0 lässt sich zeigen, dass
r
die Antenne eine Länge von L ≈ λ/2 haben muss, um gut durch einen Dipol beschrieben zu werden.
(e) Yagi-Antennen: Fernseh-Empfangsantennen bestehen meist aus mehreren Metallstäben,
die auf einer Achse vor und hinter der eigentlichen Empfangsantenne angeordnet sind
(siehe Skizze).
Empfangsantenne
D1
D2
D3
k
dR
x1
Elektromagnetische
Welle
Reflektor
Eine einfallende elektromagnetische Welle der Frequenz ω induziert zeitabängige Dipolmomente in den Metallstäben, die sich mit der einfallenden Welle überlagern und
das Signal in der Empfangsantenne schwächen oder verstärken. Die Ausrichtung und
die Abstände der Metallstäbe sollen nun für die maximale Strahlungsleistung an der
Empfangsantenne optimiert werden.
i. Wie sollten die Stäbe in der x2 − x3 -Ebene ausgerichtet sein und warum?
ii. Beschränken Sie sich nun auf die x1 -Achse und betrachten Sie nur Empfangsantenne und Reflektor. Nehmen Sie an, dass der Reflektor die Welle mit einer
Phasenverschiebung von ∆ϕR = π/2 wieder abstrahlt und bestimmen Sie allgemein die Intensität |< Π1 >| für die Summe der beiden Dipole in Abhängigkeit
von dR . Wie muss dR gewählt werden, um ein maximales Signal in der Empfangsantenne zu erhalten?