Graduiertenseminar Spieltheorie

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1 Einführung, Motivation
Graduiertenseminar Spieltheorie
Peter Sudhölter
Syddansk Universitet
6. – 8. Mai 2009
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Informationen
Koordinaten
Phone: +45 6550 2152
E-mail: [email protected]
URL: http://www.sam.sdu.dk/staff/psu
Auf meiner Homepage unter dem Link Personal Home Page“ sind
”
gegebenenfalls relevante Dokumente zu finden:
1
Zusamenfassungen der Vorlesungen (evtl.);
2
Lösungen zu ausgewählten Aufgaben (evtl.);
3
Möglicherweise weitere Dokumente.
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1 Einführung, Motivation
Info cont.
Zertifikate
Bitte wählen Sie jetzt eine der 3 folgenden Möglichkeiten zum
Scheinerwerb:
1
Erfolgreiches Bearbeiten von Übungsaufgaben während des
Kurses;
2
Ein Take Home Exam“ im Anschluss an den Kurs: Sie
”
bekommen im Sekretariat nach einer angemessenen
Vorbereitungszeit von 2 – 4 Wochen zu einem fixierten
Zeitpunkt Aufgaben, etwa um 12 Uhr an einem Freitag (e.g.,
22.05.), deren Lösungen sie binnen 24 h einreichen müssen,
also bis 12 Uhr am folgenden Montag (e.g., 25.05.);
3
Eine Hausarbeit zu einem relevanten selbst gewählten, aber
mit mir abgestimmten, Thema, die innerhalb einer
angemessenen Frist, etwa 4 Wochen, eingereicht werden muss.
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Spieltheorie: Vage Beschreibung des Begriffs
Spieltheorie (Multi-Personelle Entscheidungstheorie)
ist ein Zweig der angewandten Mathematik und wird angewendet
in den Wirtschaftswissenschaften, Politik, Ethik und anderen
Sozialwissenschaften, in der Evolutionsbiologie und Informatik
(Stichwort künstliche Intelligenz“). Heute fasst man die
”
Spieltheorie üblicherweise als Teilgebiet der Wirtschaftstheorie auf.
Allerdings war John von Neumann (1903-57), der als Begründer
der formalen Spieltheorie (1928) gilt und zusammen mit O.
Morgenstern das Fundamentalwerk “Theory of Games and
Economic Behavior” (1944) veröffentlichte, eher ein Mathematiker,
der unter anderem wichtige Beiträge zur Logik, Quantenmachanik
und Informatik geliefert hat.
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Spieltheorie: Vage Beschreibung des Begriffs cont.
Zentale Voraussetzung:
Jeder der beteiligten Spieler (mitunter auch Wirtschafts-Subjekt“,
”
-Agent“ oder Entscheidungsträger“ genannt) ist rational und
”
”
versteht es, sein Wissen“ und seine Erwartungen über das
”
”
Verhalten der anderen Spieler“ (Stichwort beliefs) zu nutzen.
Regel:
Man betrachtet nur Spiele mit mindestens 2 Spielern, da
Einpersonenspiele als Optimisierungsprobleme angesehen werden.
Technische“ Voraussetzung:
”
Jeder Spieler verfügt über eine Präferenzrelation (d.h., eine
reflexive, transitive und vollständige binäre Relation) auf der
Menge der möglichen Ergebnisse (outcomes), die seine Vorlieben“
”
repräsentiert. Also sind Arbitrage-Gewinne ausgeschlossen.
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1 Einführung, Motivation
Einige Abwendungen der Spieltheorie
Strategische Spiele und Nash Gleichgewichte
werden unter anderem benutzt, um
oligopolistischen Wettbewerb zu modellieren und zu lösen;
die Evolution in der Biologie zu erklären.
Wiederholte Spiele und deren Gleichgewichte
können Drohungen“ und Versprechen“ erklären.
”
”
Kooperative Spiele und das Core
erklären die Stabilität“ von bindenden Verträgen“ (binding
”
”
contracts) und von Allokationen in Märkten bei gegebenem
Preissystem;
werden benutzt, um Kostenaufteilungsprobleme zu
modellieren und in fairer“ Weise zu lösen.
”
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1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Spiele
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Spiele
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nicht kooperative
Peter Sudhölter
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R
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kooperative
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Abstrakte Ökonomien
Spiele
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nicht kooperative
Peter Sudhölter
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kooperative
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Abstrakte Ökonomien
Spiele
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Ökonomien
nicht kooperative
Peter Sudhölter
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kooperative
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Abstrakte Ökonomien
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Ökonomien
Spiele
nicht kooperative
Peter Sudhölter
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kooperative
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Abstrakte Ökonomien
Spiele
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Ökonomien
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nicht kooperative
kooperative
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strategische extensive
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Abstrakte Ökonomien
Spiele
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Ökonomien
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nicht kooperative
kooperative
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strategische extensive TU
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
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NTU
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Abstrakte Ökonomien
Spiele
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Ökonomien
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nicht kooperative
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kooperative
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Tauschwirtschaften · · · strategische extensive TU
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
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NTU
1 Einführung, Motivation
Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie
Wir werden wohl nur und höchstens die grünen Objekte betrachten:
Abstrakte Ökonomien
Spiele
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Ökonomien
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nicht kooperative
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kooperative
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Tauschwirtschaften · · · strategische extensive TU
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
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NTU
1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Lösungskonzept
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
(Tausch-)Ökonomie
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
(Tausch-)Ökonomie
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht
Nash Gleichgewicht
strategisches Spiel
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
(Tausch-)Ökonomie
strategisches Spiel
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht
Nash Gleichgewicht (NE) und Verperfekt, strong,
feinerungen:
NE
coalition proof . . .
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1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
(Tausch-)Ökonomie
strategisches Spiel
extensives Spiel
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht
Nash Gleichgewicht (NE) und Verperfekt, strong,
feinerungen:
NE
coalition proof . . .
NE, teilspiel perfekt, sequentiell, . . .
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
(Tausch-)Ökonomie
strategisches Spiel
extensives Spiel
NTU Spiel
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht
Nash Gleichgewicht (NE) und Verperfekt, strong,
feinerungen:
NE
coalition proof . . .
NE, teilspiel perfekt, sequentiell, . . .
core, bargaining sets, Shapley NTU Wert
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1 Einführung, Motivation
Objekte und Lösungskonzepte
Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden
Objekt
Abstrakte Ökonomie
(Tausch-)Ökonomie
strategisches Spiel
extensives Spiel
NTU Spiel
TU Spiel
Lösungskonzept
soziales Gleichgewicht
Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht
Nash Gleichgewicht (NE) und Verperfekt, strong,
feinerungen:
NE
coalition proof . . .
NE, teilspiel perfekt, sequentiell, . . .
core, bargaining sets, Shapley NTU Wert
core, bargaining sets, kernel,
viele:
nucleolus, Shapley Wert, . . .
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Bimatrix Spiele
Sei N = {1, . . .} die Menge der natürlichen und R die der reellen
Zahlen.
Ein Bimatrix Spiel
ist ein Tupel Γ = (I , J, A, B) mit I = {1, . . . , m}, J = {1, . . . , n}
für m, n ∈ N, so dass A, B reelle m × n Matrizen sind.
Interpretation:
Es gibt 2 Spieler, den “Zeilen-” und den “Spalten-Spieler”, deren
Strategieen“ die Mengen I und J sind und deren Auszahlungen“
”
”
den Matrizen A und B entnommen werden.
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
Beispiele
Gefangenendilemma: Sei I = {1, 2} = J und die Auszahlungen
durch
−1 −3
A=
0 −2
erzählen!!
−1,
0,
−1
−3
−3,
−2,
und B =
0
, gegeben, d.h.,
−2
−1
0
−3 −2
. Evtl. Geschichte“
”
Ein Koordinationsspiel
1 0
A=
= B.
0 1
Krieg der Geschlechter
2 0
1 0
A=
and B =
. Evtl. Geschichte“ erzählen!!
”
0 1
0 2
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Nichtkooperative Spiele allgemein: Erste Beispiele und
Definitionen
Definition: Ein strategisches Spiel
ist ein Tripel G = (N, (Ai )i∈N , (i )i∈N ) mit
N ist eine endliche nichtleere Menge;
Ai 6= ∅ für i ∈ N;
i ist Präferenzrelation auf A = ×j∈N Aj für i ∈ N.
Typische Annahme“:
”
i kann durch u i : A → R repräsentiert werden, d.h.,
x i y ⇔ u i (x) ≥ u i (y ) ∀x, y ∈ A.
Interpretation:
N ist die Menge der Spieler (Firmen, Tiere, Blumen, Personen, je
nach Zusammenhang); Ai . . ..
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Beispiel: Bertrand- und Cournot-Wettbewerb
Sei N die Menge der Firmen. Jede Firma i kann ein homogenes
Gut produzieren und hat eine Kostenfunktion C i : R+ → R+ (die
etwa der Vorschrift C i (y ) = c i y gehorcht).
Bertrand
Falls jede Fima i ∈ N einen Preis p i festlegt, so sieht sie sich einer
individuellen Nachfrage D i (p j )j∈N gegenüber. . . .
Cournot
Falls jede Firma i ∈ N die Produktion q i festlegt, ergibt sich der
Preis aufgrund der inversen Nachfrage P : R+ → R+ von selbst
. . ..
Hier könnten Übungsaufgaben erwähnt werden!!
Peter Sudhölter
Graduiertenseminar Spieltheorie
1 Einführung, Motivation
2 Konzepte für Strategische Spiele
Sei G = (N, (Ai )i∈N , (i )i∈N ) ein strategisches Spiel.
Definition (Nash Gleichgewicht, beste Antwort):
Für i ∈ N sei A−i = ×j∈N\{i} Aj und für a−i ∈ A−i sei
B i (a−i ) = {b i ∈ Ai | (b i , a−i ) i (ai , a−i ) ∀ai ∈ Ai } (die Menge
der besten Antworten“ von i auf a−i ). Ein Nash Gleichgewicht
”
(NE) von G ist ein Strategieprofil b
a ∈ A, das folgende Bedingung
i
i
−i
für alle i ∈ N erfüllt: b
a (a , b
a ) ∀ai ∈ Ai .
Bemerkung: Eine Stratgienprofil a ist NE genau dann, wenn
ai ∈ B i (a−i ) für alle i ∈ N.
Überprüfe, ob wir NEs für unsere Beispiele finden!!
Frage, ob jedes strategische Spiel ein NE hat!!
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Ein reines Verhandlungsspiel
2 Spieler 1 und 2: 1, die Firma, ist Monopolist bezüglich eines
Gutes und Monopsonist bezüglich Arbeit; 2, die Gewerkschaft, ist
Monopolist bezüglich Arbeit
√ und hat die Nutzenfunktion u,
definiert durch u(`, w ) = `w . Weiters sei durch
P(q) = (100 − q)+ die inverse Nachfrage und durch Q(`) = ` die
Produktion definiert. Dann ist der Profit der Firma
¯
¯ − w `, wobei `¯ = min{`, 50}. . . . (siehe
π(`, w ) = `(100
− `)
Manuskript s. 7). Also ist (0, 0) der Drohpunkt und
V = {(π(`, w ), u(`, w )) | `, w ≥ 0, ` ≤ 50} die Menge der
erreichbaren Nutzenvektoren. Man überzeugt sich, dass
2
V ∩ RN
+ = {(π, u) | 0 ≤ π ≤ 2500 − u , 0 ≤ u ≤ 50}.
Diskutiere (schwache) Pareto Optimalität und individuelle Rationalität!!
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
Ein reines Verhandlungsspiel cont.
Definition (reines Verhandlungsproblem):
Ein reines Verhandlungsproblem ist ein Tripel (N, V , d) mit
endlichem N 6= ∅ derart, dass d ∈ RN , ∅ =
6 V ⊆ d + RN
+ kompakt,
N
konvex und komprähensiv (x ∈ V , y ∈ R , d ≤ y ≤ x ⇒ y ∈ V ).
Definition (Nash Menge): Sei (N, V , d) ein Verhandlungsproblem.
Q
Ein Vektor x ∈ V , der das Nash-Produkt, i∈N (x i − d i )
maximiert, wird Nash Lösung genannt.
In unserm Beispiel . . . ist u 2 = 2500/3, π = 5000/3.
Theorem (Nash (1950))
Jedes Verhandlungsproblem besitzt genau eine Nash Lösung.
Bemerkung: Unser Beispiel kann auch als strategisches Spiel
aufgefasst ( implementiert“) werden!!
”
Peter Sudhölter
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1 Einführung, Motivation
NTU und TU Spiel
Ist N 6= ∅ endlich, so ist X ⊆ RN komprähensiv, falls X = X − RN
+.
Definition (NTU Spiel):
Ein NTU Spiel ist ein Paar (N, V ) mit endlichem N 6= ∅, so dass
für jedes ∅ =
6 S ⊆ N stets ∅ =
6 V (S) ⊆ RS abgeschlossen und
komprähensiv und V (S) ∩ (x S + RS+ ) beschränkt sind für x S ∈ RS .
Definition (TU Spiel):
Ein TU Spiel ist ein Paar (N, v ) mit endlichem N 6= ∅ so dass
v : 2N → R, v (∅) = 0.
Hier könnten gewichtete Mehrheitsspiele diskutiert werden!!
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