Übungen zur Funktionalanalysis Lösungshinweise – Blatt 9

Prof. Dr. Reiner Lauterbach
Jan Henrik Sylvester
Sommersemester 2016
Übungen zur Funktionalanalysis
Lösungshinweise – Blatt 9
Aufgabe 33. Man verallgemeinere das Lemma 3.3.3.4 (Hölder) auf eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren.
P −1
Lösung. Es seien p1 , . . . , p` > 1 und
pi = 1, fi ∈ Lpi (Ω). Dann gilt
`
Y
fi ∈ L1 (Ω)
i=1
und
Z Y
`
`
Y
kfi kLpi (Ω) .
fi dx ≤
Ω
i=1
i=1
P`−1
Beweis: (Induktion über `) Sei i=1 p−1
= q −1 . Dann ist q −1 + p−1
= 1
i
`
Qn−1
q
und i=1 |fi | ∈ L (Ω), denn
`−1
X
q
=1
p
i=1 i
und
pi
q
|fi | ∈ L q (Ω)
und damit ist (mittels der Induktionsannahme)
`−1
Y
q
|fi | ∈ L1 (Ω)
i=1
und somit auch
`−1
Y fi ∈ Lq (Ω).
i=1
Es gilt dann mit der Hölder’schen Ungleichung
`−1
Z Y
`
Y
kf` kLp` (Ω) .
|fi |
|fi | dx ≤ q
Ω
i=1
i=1
L (Ω)
Nach Induktionsannahme gilt die verallgemeinerte Höldersche Ungleichung für
Produkte von ` − 1-Funktionen und man hat daher (unter Beachtung von
pi
P`−1 q
q
q
i=1 pi = 1 und von |fi | ∈ L (Ω))
Z `−1
Y
! q1
q
|fi | dx
≤
Ω i=1
`−1
Y Z
i=1
≤
`−1
Y
q
|fi |
pi
q
pq ! q1
i
dx
Ω
kfi kLpi (Ω) .
i=1
Damit ist die verallgemeinerte Hölder’sche Ungleichung gezeigt.
1
Prof. Dr. Reiner Lauterbach
Jan Henrik Sylvester
Sommersemester 2016
Aufgabe 34. Es seien Xn für n ∈ N Banachräume. Ln (X1 , . . . , Xn ; Xn+1 ) sei
der Raum der beschränkten multilinearen Abbildungen X1 × . . . × Xn → Xn+1 .
1. Zeigen Sie: A : X1 × . . . × Xn → Xn+1 multilinear ist genau dann stetig,
wenn kA(x1 , . . . , xn )kXn+1 ≤ C ·kx1 kX1 ·. . .·kxn kXn gilt mit C > 0. Damit
wird Ln (X1 , . . . , Xn ; Xn+1 ) zum Banachraum mit Norm
o
n
kAk = sup kA(x1 , . . . , xn )kXn+1 kx1 kX1 = . . . = kxn kXn = 1 .
2. Induktiv sei L(1) (X1 ; X2 ) = L(X1 ; X2 ) und
L(n) (X1 , X2 , . . . ; Xn+1 ) = L(X1 ; L(n−1) (X2 , . . . ; Xn+1 ))
Zeigen Sie, dass die Abbildung
Tn : L(n) (X1 , X2 , . . . ; Xn+1 ) → Ln (X1 , . . . , Xn ; Xn+1 ),
Tn A(x1 , . . . , xn ) = A(x1 )(x2 ) . . . (xn )
ein isometrischer Isomorphismus ist.
3. Es seien X, Y Banachräume, F : X → Y sei stetig. Man zeige: Ist x0 ∈ X
gegeben und gibt es eine stetige lineare Abbildung L : X → Y mit
lim
h→0
kF (x0 + h) − F (x0 ) − LhkY
= 0,
khkX
so ist L dadurch eindeutig bestimmt. L heißt dann Ableitung von F im
Punkt x0 . Wir verwenden die Notation: L = DFx0 .
F heißt stetig differenzierbar, falls F in jedem Punkt x ∈ X differenzierbar
ist und die Abbildung DF : X → L(X; Y ), x 7→ DFx , stetig ist.
Geben Sie mit Hilfe der vorherigen Teilaufgaben eine sinnvolle Definition
des Raumes C k (X; Y ) der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen.
Lösung.
1. Der multilineare Fall folgt induktiv aus dem linearen.
2. Es ist
kTn AkLn (X1 ,...;Xn+1 )
=
sup
kx1 kX = ... =kxn kXn =1
kA(x1 ) . . . (xn )kXn+1
1
=
sup
kx1 kX = ... =kxn−1 kX
1
n−1
=1
kA(x1 ) . . . (xn−1 )kL(Xn ;Xn+1 )
= ...
= sup kA(x1 )kL(n−1) (X2 ,...;Xn+1 )
kx1 k=1
= kAkL(n) (X1 ,...;Xn+1 ) .
Somit ist Tn eine Isometrie und insbesondere injektiv. Ist B ∈ Ln (X1 , . . . ;
Xn+1 ) beliebig, so definiere A(x1 ) . . . (xn ) = B(x1 , . . . , xn ). Dieselbe Rechnung wie oben zeigt A ∈ L(n) (X1 , . . . ; Xn+1 ) und offensichtlich ist Tn A =
B. Also ist Tn surjektiv und damit isometrischer Isomorphismus.
2
Prof. Dr. Reiner Lauterbach
Jan Henrik Sylvester
Sommersemester 2016
3. Gibt es L1 und L2 mit dieser Eigenschaft, so muss
0 = lim
h→0
L1 h − L2 h
khkX
gelten. Ist L1 6= L2 , erhält man für h mit khkX = 1 und L1 h 6= L2 h den
Widerspruch
1
0 = lim (L1 (th) − L2 (th)) = L1 h − L2 h 6= 0.
t→0 t
Setze L(n) (X; Y ) = L(n) (X, . . . , X; Y ), Ln (X; Y ) = Ln (X, . . . , X; Y ). Definiere induktiv D1 F = DF = D̃1 F und damit
D̃k F = D(D̃k−1 F ) : U → L(k) (X; Y ), Dk F = Tk ◦ D̃k F : U → Lk (X; Y ).
Dann ist F also k-mal stetig differenzierbar, falls F (k − 1)-mal differenzierbar und die Abbildung Dk F : U → Lk (X; Y ) stetig ist. Damit definiert
man
C k (U ; Y ) = {F : U → Y | F k-mal stetig differenzierbar}
mit Norm
kF kC k =
k
X
j D F 0
.
C (U ;Lj (X;Y ))
j=1
Aufgabe 35. Für zwei Funktionen g1,2 ∈ BV0 ([0, 1]; R) gilt
Z
1
Z
f dg1 =
0
1
f dg2
0
für alle f ∈ C([0, 1]; R) genau dann, wenn gilt g1 (x) = g2 (x) für alle x ∈ R, in
denen beide Funktionen stetig sind.
Lösung. Sind g1 und g2 stetig in x0 ∈ [0, 1] und ist ohne Einschränkung g1 (x0 ) >
g2 (x0 ), so gibt es ein δ > 0, so dass für x ∈ I = [x0 − δ, x0 + δ] ∩ [0, 1] gilt
2 (x)
g1 (x) > g1 (x)+g
> g2 (x). Betrachte f ∈ C([0, 1]; R) mit f (x) ≥ 0 für x ∈
2
[0, 1], f (x) = 0 für x ∈
/ I und f (x) = 1 für x ∈ [x0 − δ/2, x0 + δ/2] ∩ [0, 1].
R1
R1
Dann ist 0 f dg1 > 0 f dg2 . Gleichheit der Integrale kann also nur gelten,
wenn g1 (x) = g2 (x) gilt an den Stellen, an denen beide Funktionen stetig sind.
Gilt g1 (x) = g2 (x) an den Stellen, an denen beide Funktionen stetig sind,
so gilt g1 (x) 6= g2 (x) höchstens an abzählbar vielen Stellen x, da g1 und g2 jeweils als Summe zweier monotoner Funktionen geschrieben werden können und
monotone Funktionen höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen haben. Bei
monotonen Funktionen existieren nämlich an Unstetigkeitsstellen rechts- und
linksseitige Grenzwerte, so dass Unstetigkeitsstellen stets Sprungstellen sind,
von denen es auf kompakten Intervallen zu jeder minimalen Sprunghöhe n1 maximal endlich viele gibt und insgesamt maximal abzählbar viele. Insbesondere
liegen die Stellen mit g1 (x) = g2 (x) dicht, so dass man bei der Berechnung der
Riemann-Stieltes-Integrale ohne Einschränkung nur solche Zerlegungen wählen
kann, bei denen an den Zerlegungspunkten g1 (x) = g2 (x) gilt.
3
Prof. Dr. Reiner Lauterbach
Jan Henrik Sylvester
Sommersemester 2016
Aufgabe 36. Es sei k ∈ C 0 ([0, 1]×[0, 1]; R) und K : C 0 ([0, 1]; R) → C 0 ([0, 1]; R)
der zugehörige Integraloperator aus Aufgabe 12. Zeigen Sie, dass K(B1 (0)) ⊆
C 0 ([0, 1]; R) relativ kompakt ist.
Lösung. Es ist
Z
1
k(s, t) · f (s) ds.
Kf (t) =
0
Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist K(B1 (0)) genau dann relativ kompakt,
wenn diese Menge punktweise beschränkt und gleichgradig stetig ist.
Zur punktweisen Beschränktheit: Es ist
|Kf (t)| ≤ kkk∞ · kf k∞ ≤ kkk∞
für f ∈ B1 (0), also ist K(B1 (0)) punktweise beschränkt.
Zur gleichgradigen Stetigkeit: Es sei ε > 0. Wähle δ > 0 so, dass |t1 − t2 | < δ
impliziert, dass |k(t1 , s) − k(t2 , s)| < ε ist für alle s ∈ [0, 1]. Dann folgt für
|t1 − t2 | < δ:
Z
|Kf (t1 ) − Kf (t2 )| ≤
0
1
|k(t1 , s) − k(t2 , s)| · |f (s)| ds ≤ ε · kf k∞ ≤ ε.
Also ist die Menge der Kf , f ∈ B1 (0) gleichgradig stetig und somit relativ
kompakt.
Die Aufgaben sollen bis zur Übung am 14. Juni 2016 bearbeitet werden.
Raum der Woche
Bezeichnung:
Definition:
Norm:
Hölderräume C k+µ (U ; Y ) mit k ∈ N, 0 < µ < 1, X und
Y
Banachräume und U ⊆ Xk Gebietk
kD f (x)−D f (y)kLk (X;Y )
f ∈ C k (U ; Y ) supx6=y
<
∞
µ
kx−ykX
kf kC k+µ (U ;Y ) =
kDk f (x)−Dk f (y)kLk (X;Y )
kf kC k (X;Y ) + supx6=y
kx−ykµ
X
Dualraum:
Dualraum zu:
Reflexiv:
Kriterium für Kompaktheit:
Kriterium für schwache Konvergenz:
Weitere Aspekte:
nein
Interpolation der C k -Räume
4