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Research Collection
Doctoral Thesis
Bau und Anwendungen eines Simulators mit Halbleitern für
einstufige Mehrspeicherstosskreise mit verteilten Leitungen
Author(s):
Heyner, Johannes Heinrich
Publication Date:
1961
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000087593
Rights / License:
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Prom. Nr. 3136
Bau und
Anwendungen
eines Simulators
mit Halbleitern für
einstufige Mehrspeicherstosskreise
mit verteilten Leitungen
Von der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH
zur
Erlangung
der Würde eines Doktors der technischen Wissenschaften
genehmigte
PROMOTIONS ARBEIT
vorgelegt
JOHANNES
HEINRICH HEYNER
dipl. El.-Ing.
von
von
Duvin
E.T.H.
(Kt. Graubünden)
Referent:
Herr Prof. E. Gerecke
Korreferent: Herr Prof. Dr. K. Berger
Juris-Verlag Zürich
1961
Meiner Mutter
und
meiner Frau
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Verdankung
Meinen herzlichsten Dank möchte ich Herrn Prof. Ed. Gerecke
unter dessen
Leitung die vorliegende Arbeit entstand.
schlägen und gab
mir manche
Mein herzlicher Dank
Direktion der Micafil
Kredites die Arbeit
AG,
Anregung, die
zum
Gelingen
gehört ebenso Herrn Direktor
Zürich
vollständig
9/48,
die durch die
aussprechen,
Er half mir mit vielen
der Arbeit
Dr.
guten Rat¬
beitrug.
R. Koller und der
Bewilligung
eines
grosszügigen
finanzierten.
Mein Dank gilt auch Herrn Prof. Dr.
K.
Berger
für die Uebernahme des Korre¬
ferates.
Zu Dank
verpflichtet bin ich ebenfalls
zeichnerischen Arbeiten mit grosser
Herrn Cand. El.
Beim Bau des Modells half mir mit grosser
Herr A.
Thüring.
-Ing. E. Bohren, der alle
Sorgfalt erledigte.
Gewissenhaftigkeit
und
Sorgfalt
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7
-
-
Inhaltsverzeichnis
Seite
Kapitel I:
Kapitel
H:
ZIEL UND ZWECK DER ARBEIT
11
DAS STOSSKREISMODELL
13
1. Einleitung
13
2. Ersatzmöglichkeiten der Funkenstrecken im Modell
15
a)
Ersatz der Funkenstrecken durch Relais
15
b)
Ersatz der Funkenstrecke durch Transistoren
15
3.
Beschreibung
4.
Berechnung der Transformationsgleichungen
des
5. Der Aufbau der
6.
21
Steuergerätes des Modellstosskreises
26
28
Modellstossanlage
Bestimmung der Grösse eines Stossgenerators
mit Hilfe der
30
Modellstossanlage
Kapitel
UNTERSUCHUNGEN AN ZWEI- UND DREISPEICHER-
D3:
STOSSKREISEN
1. Rechnerische Grundlagen
zur
Bestimmung
der
Stosspannungen
33
a)
Stosskreise mit zwei Energiespeichern
33
b)
Stosskreise mit drei Energiespeichern
39
2. Der
3.
33
Uebergang
vom
Zwei-
zum
Dreispeicherstosskreis
Untersuchungen über den Zusammenhang
die einen 1, 2/50 Stoss ergeben
a)
der
43
Stosskreisgrössen,
51
Definitionen und vereinfachende Annahmen
b) Berechnung
der
bezogenen Stosspannung V2,
51
wenn zwei
der charakteristischen Gleichung komplex sind
Wurzeln
53
Seite
c) Berechnung der Wurzelortskurven und
L,-<7 von Dreispeicherstosskreisen
<*)
der Induktivitäten
Die Wurzelortskurven der Schaltung Bild
4,
L^
und
56
Fall b
64
ß)
Die Wurzelortskurven der
Schaltung Bild 4,
y)
Die Wurzelortskurven der
Schaltung Bild 4, Fall
68
c
d) Bestimmung der Wurzeln, die eine genormte 1, 2/50 Stossergeben
71
e>c)
Drei reelle Wurzeln
71
ß)
Eine reelle und zwei
spannung
e)
4
o<)
Die
Fall
4
75
komplexe Wurzeln
Grafische Bestimmung des
den Werten R , C ,
ergeben
Zusammenhanges zwischen
und L, die einen 1, 2/50 Stoss
Re> Cß
gi
Berechnung der Gleichungen für die Schaltung Bild 4,
a
ß)
Die Berechnung der in den Bildern 31 und 32
Gleichungen für die Schaltung Bild 4, Fall b
dargestellten
f)
Die Berechnung der in den Bildern 33 und 34
Gleichungen für die Schaltung Bild 4, Fall c
dargestellten
Kapitel IV:
81
89
95
101
6) Zusammenfassung
f)
55
a
Fall
Bestimmung des Ausnutzungsgrades
dargestellten Stosskreise
Die
der drei im Bild 4
102
DIE "VERTEILTE" ZULEITUNG IM STOSSKREIS UND IM
105
STOSSKREISMODELL
105
1. Einleitung
2. Die Vierpolkonstanten der "verteilten" Zuleitung und des
109
Dämpfungswiderstandes
116
3. Die Uebertragungseigenschaften der homogenen Leitung
a) Uebertragungseigenschaften
belasteten Serieschaltung einer
eines
Dämpfungswiderstandes
b) Uebertragungseigenschaften
Spannungsteiler
homogenen Leitung und
der mit dem
Zo
117
R—
be¬
der mit der
Impedanz Z,
Serieschaltung einer homogenen, verzerrungsfreien
Z
Leitung und eines Dämpfungswiderstandes Rj.
lasteten
=
c)
Die
Zg
Uebertragungseigenschaften der mit dem Spannungsteiler
belasteten homogenen, verzerrungsfreien Leitung
140
147
d)
Die
Uebertragungseigenschaften der mit einer Kapazität be¬
homogenen, verzerrungsfreien Leitung
lasteten
e)
Die
Uebertragungseigenschaften
Widerstand
Leitung
R3
belasteten
homogenen, verzerrungsfreien
153
f) Uebertragungseigenschaften
zum Spannungsteiler
Kapitel V:
151
der mit einem ohmschen
der Zuleitung
o<) Uebertragung
der
ß) Uebertragung
des Keilstosses
vom
Prüfobjekt
Rampenfunktion
SCHLUSSBETRACHTUNG UND ZUSAMMENFASSUNG
Literaturverzeichnis
156
160
166
184
185
Leer
-
Vide
-
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11
-
-
Kapitel I
UND
ZIEL
Stossanlage besteht
Eine
last, einer Last
(Prüfling),
Dämpfungswiderständen
der
einem
aus
Stossgenerator,
sowie den
Spannungsteiler
bei einer solchen
wenn
nie zwei
ihnen
von
Berechnung
Der Grad derselben ist
Als
unabhängiger Energiespeicher.
Energiespeicher wollen
Stossanlage bezeichnen. Sie sind unabhän¬
und Induktivitäten der
Kapazitäten
gig voneinander,
einer Grund¬
Zuleitungen und den
Anlage meistens nicht möglich, da diese
Differentialgleichungen höherer Ordnung führt.
dabei gleich der Anzahl
wir die
allgemeinen
zwischen den einzelnen Elementen. Die exakte
Stosspannungsform ist
auf lineare
im
einem
ARBEIT
DER
ZWECK
zu
einem
einzigen zusammengefasst werden
können.
In früheren
als ob sie
dimensioniert,
jedoch
Veröffentlichungen
ungenau.
zu
ten und fünften
Eine
'
wurden die
Stossanlagen
so
berechnet und
waren
Verbesserung ergab die Berücksichtigung eines dritten,
Energiespeichers,
Ordnung führte.
2)
"
Energiespeicher besässen. Diese Resultate
zwei
nur
1)
Die rechnerische
3)
''
ter, wurde aber durchgeführt
was
auf
Differentialgleichungen
dieser Probleme ist schon
Behandlung
4)
.
Diese
vier¬
dritter bis fünfter
Untersuchungen ermöglichten
komplizier-
es
bei einer
gegebenen Schaltung Aussagen über die Schwingungsfreiheit der resultierenden
Stosspannung
werden,
Die
so zu
der
zu
machen. Es konnte in diesem Fall ebenfalls deren Form bestimmt
insofern der Ersatzstosskreis nicht mehr als vier
angegebene
wählen
sind,
Methode
dass eine
versagt,
in der
dieses in der Praxis
Lösung
Man findet die Antwort auf diese
keiten den
die
Zeichnung
Zusammenhang zwischen
von
häufig
Ziel
auftreten¬
Frage in der Beschränkung der Un¬
tersuchungen auf Dreispeicherstosskreise, die Normstosswellen
Spezialisierung ermöglicht
aufwies.
unbekannt und
vorgeschriebene Stosspannungsform resultiert. Ein
vorliegenden Arbeit besteht
den Problems.
Energiespeicher
einige Stosskreisgrössen
sobald
Diagrammen,
den einzelnen
erzeugen. Diese
denen
man
Stosskreisgrössen
ohne
Schwierig¬
und der Stoss-
spannungsform entnehmen kann.
Sind mehr als drei
fachung
nicht mehr
zum
wurde ein Simulator
ziertesten
Energiespeicher vorhanden,
Ziel. Um aber auch dann
gebaut,
Ersatzschaltung
Deren exakte
Während die
welcher
zu
Messung
Spannungsteiler
es
so
führt die
Stossanlagen
ermöglicht,
die
angegebene
untersuchen
Stosspannungsform
Verein¬
zu
können,
der
kompli¬
bestimmen.
ist in Wirklichkeit mit grossen
so
gebaut
werden
können,
Schwierigkeiten verbunden.
dass sie selbst bei hohen
Frequenzen (MHz) kleine Uebersetzungsfehler aufweisen, werden besonders Keilwel-
I
12
-
len durch die
Zuleitung
Prüfobjekt
vom
Grösse der Fehler abschätzen
tragungsverhalten
Leitung
für die
zum
können,
zu
Schrittfunktion,
Messteiler stark verfälscht.
wird in einem weiteren
einer mit verschiedenen
die
-
Um die
Kapitel das Ueber-
Spannungsteilern belasteten, "verteilten"
Rampenfunktion und die Keilwelle untersucht.
weiteren wird die Leitung auf dem Stosskreissimulator durch eine in 12 bzw.
dern konzentrierten
ersetzt,
abzuklären,
um
Im
50 Glie¬
wie genau die exakt berechneten Resul¬
tate Modellversuchen entnommen werden können.
Bemerkung
Die
Bei
zur
Nummerierung der Gleichungen und Bilder:
Nummerierung
Bezugnahme
auf eine
der
Gleichungen
und Bilder wird
deren Nummer
angegeben. Bei Erwähnung
einem anderen
Kapitel wird
chung (11/10)
dens der
bedeutet
vor
Kapitel wurde
am
192 df
(1960)
veröffentlichten
Zeichen. In der Liste
8g
im
sind die
Kapitels wird
Gleichung oder eines Bildes
nur
aus
Kapitels gesetzt (z. B. Glei¬
Kapitel II). Zur Erleichterung des Auffin-
oberen Seitenrand die
Die in der Arbeit verwendeten
Nr.
einer
deren Nummer die des
Gleichung (10)
kapitelweise vorgenommen.
ein Bild innerhalb eines
Gleichung oder
Kapitelnummer angegeben.
Symbole entsprechen den
Regeln
und Leitsätzen für
in der SEV-Publikation
Buchstabensymbole und
Buchstabensymbole der Regelungstechnik angegeben.
13
-
-
Kapitel n
STOSSKREISMODELL
DAS
1.
Um die
Spannungen
und Ströme in einer noch nicht
mentell im voraus bestimmen
1. Die
der
aus
jenige für
Schaltung
die
Einleitung
zu
können, gibt
resultierende
Stosspannung
gebauten Stossanlage experi¬
folgende Möglichkeiten:
es
Differentialgleichung
wird auf einem
Analog-
insbesondere die¬
oder Digitalrechner ge¬
löst.
2. Die Stossanlage wird durch ein Modell
Um einen Stosskreis berechnen
oder verteilte Widerstände
Aenderungen
mente
zur
an
R,
zu
(Simulator) nachgebildet.
können,
muss
dieser durch konzentrierte
Induktivitäten L und Kapazitäten C ersetzt werden.
der Stossanlage haben im Modell
nur ein
Auswechseln dieser Ele¬
Folge, während beim Analog- oder Digitalrechner alle Konstanten
rechnet und
eingestellt werden müssen.
duktivität ist beim Modell
Das
Hinzufügen
einer
Kapazität oder
einfach, während beim Analogrechner
eine
neu
kompliziertere
Schaltung resultiert, da zusätzliche Integratoren benötigt werden. Ausserdem
ein Modell viel übersichtlicher und anschaulicher
dieser
Arbeit,
zur
gestaltet
be¬
In¬
kann
werden. Daher wurde in
experimentellen Stosspannungsbestimmung, die Modellmethode
gewählt.
Um die verschiedensten Stosskreise rasch nachbilden
brett
entworfen,
sammengefügt
stuft,
um
auf dem die
Modellstossanlagen
möglichst
us
beim Modell eine
viele verschiedene Werte zusammensetzen
sich
abspielenden Stossvorgänge
Zeitdehnung vorgesehen.
-indukti vi täten und -widerstände bedeutend
(Siehe
II.
4.)
können,
zu
Dies hat den
wurde ein Steck¬
den Grundelementen
werden. Deren Grössen sind einem Gewichtssatz
Um die in
Modell besser
aus
R, L,
C
zu¬
entsprechend abge¬
zu
können.
genau nachbilden
Durch diese werden die
zu
können,
ist
Modellkapazitäten,
grösser als die der wirklichen Anlage.
Vorteil, dass Streuinduktivitäten
und
Streukapazitäten beim
berücksichtigt werden können, während dessen Schaltkapazitäten und
Verdrahtungsinduktivitäten vernachlässigbar werden.
Eine weitere
Forderung,
die wir
an
das Modell
stellen,
ist ein auf dem Katho-
denstrahloszillograph gut sichtbares, stehendes Oszillogramm. An
Schwierigkeit beobachtet
werden
können,
wie sich die
diesem soll ohne
Aenderungen der Stosskreis-
II
14
-
-
grossen auf die Form der Stosspannung auswirken. Dies bedingt eine mehrmalige
Wiederholung
des
stossgenerators
Nachladen der
der
Stossvorganges je
in der
Sekunde. Dadurch
gleichen Grössenordnung
Stosskapazität während
Stossgenerator
des
während dieser Zeit
liegt
Stossvorganges
von
der
die Ladezeit des Modell-
wie dessen Entladezeit.
zu
Um ein
vermeiden,
Spannungsquelle getrennt
muss
daher
werden.
Rl
c*4=
u
Bildl
Einstufiger Modellstosskreis
*
U
Sj
52
53
RL*
Schalter
=
Schalter
Stosskapazität
N*
=
Stosskreis ohne
Ro*
=
Dämpfungswiderstand
Modellgrössen
aufgeführt. S*
Spannungsquelle
Stosskapazität
wurden mit einem
*
gekennzeichnet
einstufige Modellstossanlage dargestellt.
trennt zwecks
vom
Funkenstrecke,
laden der nach dem
denen
=
=
Im Bild 1 ist eine
die
Schalter
Ladewiderstand
*
Die
handene
=
=
C
Schalter
Ladespannung des Modells
=
Stosskondensator C
während So
Stossvorgang
In dieser sind drei
periodischer Wiederholung des Stossvorganges
zum
in den
.
Sq
ersetzt die in Wirklichkeit
Abschneiden
Kapazitäten
von
Stosswellen und
vor¬
zum
Ent¬
und Induktivitäten noch vorhan¬
Energie dient. Im Vierpol N* ist die Stossanlage (ohne die Stosskapazität C )
zusammen
gefasst.
15
-
2.
E
r
möglichkeiten
satz
der
II
-
Funkenstrecken
Modell
im
der
Funkenstrecken,
Ein weiteres Problem bildet der Ersatz der
je nach den
gestellten Anforderungen auf zwei Arten möglich ist.
a)
Ersatz der Funkenstrecken durch Relais
Mechanische Relais prellen und sind daher für
unseren
silberrelais,
zudem eine extrem kurze Abreisszeit
von
einigen Nanosekunden. Bei der im
dargestellten Modellstossanlage wurden als Schalter
HG3A-1003,
das sich
aus
drei Kontaktpaaren
ein Clare-Relais des
dagegen benötigt
Zeitpunkten
Relais,
beliebig
(S„
Abschneiden des
Bild
1).
Bild 1
Typ
Nachbildung
Bei der
Stossvorganges
zu
Dessen Schaltmoment sollte
verschoben werden können. Hierbei
von
beliebigen
gegenüber
zeigt sich ein Nachteil
indem Einschaltbefehl und Einschaltmoment zeitlich nicht zusammenfal¬
len. Dazwischen
liegt eine durch die Trägheit des mechanischen Systems bedingte
Verzögerungszeit, die
variiert der
man zum
ein zweites Relais
dem des ersten
der
Queck¬
zusammensetzt, verwendet. Auf diese
Art können volle Stosswellen sehr gut simuliert werden.
Keilwellen
Zweck ungeeignet.
insbesondere Clare-Relais weisen diesen Nachteil nicht auf und haben
nicht konstant
ist, sondern
Abschneidezeitpunkt der Stosswelle,
2
um
ms
schwankt. Dadurch
sich auf dem K.O. -Bild im
was
Flattern der Abschneideflanke äussert.
Um auch Keilwellen simulieren
zu
können,
wurde der im nächsten Abschnitt be¬
schriebene Transistorschalter entwickelt.
b)
Ersatz der Funkenstrecke durch Transistoren
Die Funktionsweise des
soll
an
Hand seines in Bild 2
gebauten volltransistorisierten
dargestellten
elektronischen Schalters
Blockschemas und dem
aus
Bild 3 ersicht¬
lichen Schaltschema erläutert werden.
Durch eine
Impulsfolge wird der monostabile Multivibrator (VIII) periodisch
gestossen. Die resultierende Rechteckspannung wird über
einen Schalttransistor
tiv oder positiv
(OC 77) gegeben.
gegenüber
dem Emitter
Je nach dem ob dessen
ist,
negativen Impuls auf die
Multivibrator
(IX)
(Vin),
Basis des Transistors
dessen Rückstellzeit
Impulsformer
an-
auf
Basispotential nega¬
leitet oder sperrt der Elektronenschalter.
Einzelheiten sind aus dem exakten Schaltschema
einen
einen
von
1^
und
(Bild 3)
ersichtlich.
Tg,
Cx abhängt.
so
kippt
Gibt
man
der monostabile
Der
Impulsformer
erhöht die Flankensteilheit der resultierenden Rechteckspannung. Dadurch wird
II
16
-
-
1
A<Jbe
A/,
H
m
LTL
IX
M
OC 77
T
2
Bild 2
Blockschema des elektronischen Schalters
vin
Monostabiler Multivibrator
IX
Impulsformer
XI
Schalttransistor OC 77
T
Variable Zeitkonstante
(4..
ube
Spannung zwischen der
Basis und dem Emitter
.36
ms)
des OC 77
die Schaltzeit des beim Modell verwendeten Transistors OC 77 auf etwa 2
Je nach
dem,
ob der
(VIII)
Multivibrators
Eingang (C)
verbunden
elektronischen Schalters
Rx
(XI)
Impulsformers (IX)
des
us
gesenkt.
mit dem Punkt A bzw.
B des
lässt sich das Oeffnen bzw. Schliessen des
wird,
durch die kontinuierliche
Aenderung des Widerstandes
zeitlich stufenlos steuern.
Der Transistor OC 77 wurde
recht
gewählt,
weil
er
sich hinsichtlich der
Spannung
gut eignet. Hingegen darf dessen Kollektorstrom 250 mA nicht überschreiten.
Die beim Abschneiden
von
Stosspannungen auftretenden
Ströme können im Modell ein
Vielfaches dieses Wertes erreichen. In solchen Fällen wird der Transistor nach ei¬
nem
Vorschlag
ersetzt.
von
Herrn Prof. Ed.
Gerecke durch ein steuerbares Siliziumventil
Es wurde der "Silicon Controlled Rectifier"
General Electrice USA mit den
folgenden
Daten
("Silcorec") Typ ZJ-39a-100
der
gewählt:
Maximale Sperrspannung: 100 V
Nennstrom:
7,
5 A
Spitzenstrom: 150 A
Das Blockschema dieses Schalters ist im Bild 4
Ein
Vergleich desselben
zusätzlich
zum
anpassung ein
monostabilen Multivibrator
Kathodenfolger (X)
Schaltschema ist
Schaltung
aus
vor
(VIII)
und
dem Silcorec Schalter
(VIÜ)
und des
zeigt, dass sich
Impulsformer (IX),
(XIa)
Bild 5 ersichtlich. In diesem wurde auf die
des Multivibrators
den im Bild 3
dargestellt.
mit dem des Transistorschalters OC 77
zur
Impedanz¬
befindet. Das exakte
Darstellung der
Impulsformers (IX) verzichtet, da sie
gezeichneten übereinstimmen.
mit
-6V
o—
K)nF
C
o
l22kÖl-
OC77
11
M2
OC73
OC73-
J
vm
K
Bild 3
Schaltschema des elektronischen Schalters
Schaltfrequenz 50
Hz:
Schaltfrequenz 25 Hz:
Schalter D E offen
Schalter D E geschlossen
XI
Leer
-
Vide
-
Empty
19
-
U
-
Silcorec
Typ ZJ-39a-100
T
GE
E
M
X
Ha
Bild 4
Blockschema des Silcorecschalters
Vni
=
Monostabiler Multivibrator
IX
=
Impulsiormer
X
=
Kathodenfolger
XIa
=
Silcorec-Schalter
T
=
Variable Zeitkonstante
Der "Silcorec" weist im leitenden Zustand eine
auf,
die kompensiert werden
einer
1,
25
muss.
Dies
geschieht
V-Spannungsquelle angeschlossen
stand wirkt. Die Induktivität L dient als
den Stosskreiselementen und den
Spannungsquelle
variiert werden.
Ventilspannung
von max.
durch den Widerstand R
ist und
gleichzeitig
als
,
1,
25V
der
an
Dämpfungswider¬
Sperrdrossel für Schwingungen, die zwischen
Glättungskapazitäten
des Netzteiles der
auftreten. Mit dem Widerstand R kann diese
1,
25 V-
Kompensationsspannung
n
20
-
-
+
o
0A85
+
6V
Silcorec
£>h=?
o—
Typ ZJ-39a-100
100 Û.
Û
GE
loon
u be
0C76
J
RsD 2.3Û
^T
+1,25 V
Ha
X
Bild 5
Schaltschema des Silcorecschalters
X
=
Kathodenfolger
XIa
=
Silcorec-Schalter
L
=
Sperrdrossel
R„
=
R
=
Dämpfungswiderstand, dient gleichzeitig
Kompensation der Ventilspannung
Widerstand
zur
Regulierung
der
zur
Kompensationsspannung
21
-
3.
Beschreibung
n
-
des
Steuergerätes
des
Modellstosskreises
Im
Gegensatz
zu
den
Quecksilberrelais können die Transistor-
schalter durch eine zentral erzeugte
Impulsfolge
durch lassen sich die bei den Clare-Relais
chen
Schwankungen
und des
aus
am
besten
an
Hand seines in Bild 6
d
dt
I
i=i
d
U+
dt
Da¬
zeitli¬
Bild 7 ersichtlichen Schaltschemas erklären.
>U1
~ir~ir
gesteuert werden.
der Abschneideflanke vermeiden.
dargestellten Blockschemas
4V
und Silcorec-
(Siehe Kapitel II 2a) auftretenden
Die Funktionsweise des Gerätes lässt sich
50Hz
sehr exakt
0,2
R
ms
_nn
l l 1
l
ill
»u.30ms
I
-4*?
dt
21
21
2
d
.
iK
Bild 6
Blockschema des
Im
Steuergerätes
I
=
Impulsformer
II
=
Differenzierglied
in
=
IV
=
der Modellfunkenstrecken
Frequenzuntersetzer
Differenzierglied
V
=
Monostabiler Multivibrator
VI
=
Impulsformer
VII
=
Differenzierglieder (Transformatoren)
Impulsformer (I) wird
eckspannung umgewandelt.
eine
sinusförmige Spannung
Diese wird differenziert
den Impulse auf einen monostabilen Multivibrator
von
(IV)
dessen
die
(II),
Impulsrepetitionsfrequenz 50 bzw. 25 Hz, wodurch
eckspannung
ab
(0,
2
ms),
folgende
die
zur
Multivibrator
Verbesserung
50 Hz in eine Recht¬
und die daraus resultieren¬
(m) gegeben.
Rückkippzeit (10 oder 30 ms) beträgt nach einer
erreicht werden kann. Der
von
(V) gibt
Je nach der Wahl
weiteren Differentiation
eine
Frequenzhalbierung
eine sehr schmale Recht¬
der Flankensteilheit auf einen Im-
II
-
22
-
pulsformer (VI) gegeben wird. Dessen Kollektorkreis enthält kleine Transformatoren
(VII) (Bild 7),
die differenzierend wirken und an deren
kurz nacheinander
Schalters So
Schalters
(siehe
(0,
2
ms)
1),
Bild
während der zweite den Befehl
zum
zum
nung zwischen den einzelnen elektronischen
Impulse
Schliessen des
Schaltern,
gleichzeitig die Potentialtren¬
die somit
an
Stosschaltung eingebaut werden können. Diese sind im Modell
geordnet,
zwei
Oeffnen des
Sj gibt.
Die vorher erwähnten Transformatoren bewirken
der
Ausgängen daher
erscheinen. Der erste dient z.B.
wie
es
Bild 1
Prinzip
Orten
so an¬
zeigt.
Der zeitliche Ablauf des
dargestellt.
beliebigen
im
Triggervorganges
dieser drei Schalter ist im Bild 8
Auf der Abszissenachse ist deren Schaltzustand
gezogene Linie bedeutet:
geschlossener Schalter,
angegeben. Die vollaus¬
die punktierte:
offener Schalter.
H
Bild 7
Schaltschema des
A B
Steuergerätes
der Modellfunkenstrecken
kurzgeschlossen: Schaltkadenz 25
Ä~"B offen:
Schaltkadenz 50 Hz
Hz
+
W
Leer
-
Vide
-
Empty
25
-
n
uT1A+
-*-t
UT2A+
—>t
UT3A+
->t
v-<-
Bild 8
Darstellung
des zeitlichen Ablaufs des
der drei im Bild 1
u_,
=
Triggerspannung
Triggervorganges
angegebenen
am
Schalter
Eingang des Schalters
Sx
n
26
-
4.
Der
-
Berechnung der Transformationsgleichungen
Zusammenhang zwischen den Grössen u, i, R, L, C und t des Original-
stosskreises und denen des Modellstosskreises
die
u,
o
u
(a)
i*
=
y
R
(c)
L*
=
n.
(e)
t*
=T-t
u*
=
u
R*
=
r.
C*
=
m.C
•
Modellgrössen
Die
sen
u*, i*, R*, L*,
C* und t* ist durch
folgenden Gleichungen gegeben:
,
r, n,
m
*
sind durch einen
•
i
(b)
L
(d)
(1)
(f)
gekennzeichnet. Die Transformationsgrös-
und T können nicht vollkommen frei
gewählt werden,
denn sie sind
durch das ohm sc he Gesetz
u
und die Maxwellschen
(2)
R-i
=
Gleichungen
rot
E
=
div
D
=
-
-yp
y
(Induktionsgesetz)
(3)
(Verschiebungssatz)
(4)
miteinander verknüpft.
Aus den
Gleichungen (la, b, c)
und
(2) folgt
(5)
*
H
und somit eine erste
r
Beziehung
?
zwischen den
u
Aus den
=
(6)
r-9
Gleichungen (3) und (4) ergibt sich
u
=
u
=
Transformationsgrössen:
L-
-i-
/
für die Induktivität und die
gi dt
Kapazität
(3a)
(4a)
27
-
Aus diesen zwei
Gleichungen
II
-
folgenden Beziehungen
resultieren die
|
(?)
u=-E-?
(8)
9
•
und
Die Elimination
von
^
aus
(6... 8) ergibt
Transformationsgrössen r, n,
zwei
neue
Gleichungen zwischen den vier
und T
m
r
=
^
%=
*Y
0)
v
m
In vielen Fällen ist die Kenntnis der absoluten Werte der Ströme und
d.h.
von
ç
Die 4
und u,
die
folgenden
Spannungen,
nicht erforderlich.
Transformationsgrössen r, n,
Somit dürfen zwei
'
von
zwei
diesen frei
gewählt
m
und T müssen der
Gleichung (9) genügen.
werden. Die Wahl wird besonders durch
Forderungen eingeschränkt.
*
1. Die Schaltzeit T_ des Transistors OC 77 bzw. des
beträgt,
muss
kleiner oder
gleich der
Silcorec,
die etwa 2
us
in den Modellmasstab transformierten Funken-
*
dauer T_
T
=
T
•
T- sein. Unter der
Annahme,
dass
Tp
=
15
ns
betrage,
sollte
134 sein.
^
2. Die Ströme im Modell dürfen die für den Transistor OC 77 und den "Silcorec"
vorgeschriebenen Maximalwerte nicht überschreiten. Durch diese Bedingung sind
bei
gegebener Spannung die Minimalgrössen der Widerstände
mögliche Wert
von
R*
r
festgelegt.
=
R
In den meisten
Schaltungen
T
Dies
einer
und somit der kleinst-
=
250
wurde daher T und
und
r
=
r
angenommen.
10
Häufig betrug
(10)
entspricht einer 250-fachen Verlangsamung der Stossvorgange im Modell, und
Multiplikation der Widerstandswerte des Originalstosskreises
mit dem Faktor
10.
Aus
Gleichung (9... 10) folgt
n
=
2500
somit
und
m
=
25
(11)
II
28
-
Aus diesem Wert für
-
resultieren im Modell
n
Induktivitäten,
wegen ihrer Grösse Schwierigkeiten bereitet. Um eine
zu
deren Herstellung
ideale Induktivität
erhalten, sollte deren Gütefaktor
deren
gross,
45/25 erzielt,
am
klein sein.
Eigenkapazität hingegen
Sehr gute Resultate wurden mit
S
möglichst
günstigsten
Spulen in Philips Ferroxcube-Topfkernen
wobei eine Kombination zwischen den Materialen 3E und 3B5 sich
erwies. Diese
Töpfe besitzen einen kleinen Luftspalt, der die Kon¬
stanz der Induktivität bei veränderlicher
Sollen der Strom i und die
die
Transformationsgrössen
Werte frei bestimmt
lässt. Oft ist
u
Spannung
und
Belastung erhöht.
u
ebenfalls bestimmt
bekannt sein. Im
j>
werden, während der andere sich
jedoch der
Wert
Ug.
der
Originalstossanlage
u*
zur
Herabsetzung
u
von
aus
werden,
so
Gleichung (8) berechnen
vorgeschrieben ist,
meistens
so
und dessen Modellwert
gross wie
möglich gewählt wird.
Dessen Maximalwert ist durch die Grenzdaten des Schalttransistors OC 77
Nach diesen darf die
müssen
kann einer der beiden
festgelegt, da der Stosspannungsscheitelwert
äusseren StöreinflUssen
von
Prinzip
Spannung zwischen dem Kollektor und
gegeben.
dem Emitter 60 V nicht
überschreiten.
Somit ist p
festgelegt,
denn
es
gilt folgende Beziehung
u*
H
ust
5.
Der Aufbau der
grund
den
können,
wurde gross
Steuergerät
(1),
Modellstossanlage
ist
aus
gehalten,
aus.
Bild 9 ersichtlich. Das im Vorder¬
auf dem die Modellstosskreise
um
viele
zusammengesetzt
Kombinationsmöglichkeiten
der Ersatzfunkenstrecken
Transistorisierung klein
aus
der
Modellstossanlage
sichtbare Steckbrett
Das
rät
Aufbau
Der
Der Konstruktion
(2)
zu
haben.
fiel wegen der vollkommenen
lag der Gedanke zugrunde, das Ge¬
gleichen steckbaren Schalteinheiten aufzubauen, die bei Defekten rasch
gewechselt werden können. Diese
und einem
"Silcorec"
wer¬
aus¬
setzen sich aus einem monostabilen Multivibrator
Impulsformer zusammen, wie sie für jeden "Transistorschalter" und
zur
Steckeinheit
Steuerung benötigt
zeigt Bild 10.
werden. Den mechanischen Aufbau einer solchen
-
Der Schalter selber
durch werden die
(OC
77 bzw.
29
"Silcorec")
Zuleitungsinduktivitäten
-
ist auf dem Steckbrett montiert.
vermieden.
Bild 9
Die
Modellstossanlage
1
:
2
:
Steuergerät
3
:
Stosskapazitäten
Steckbrett
mSSmmmZSSXÊ
Bild 10
Elektronischer, transistorisierter Schalter als steckbare Einheit
1
:
Monostabiler Multivibrator
2
:
Impulsformer
II
Da¬
II
-
Bestimmung der
6.
mit
Im
folgenden soll
30
-
Grösse
Hilfe
der
eines
Model 1
Stossgenerators
stossanlage
Modellstossanlage
die Funktionsweise der
an
Hand eine Bei¬
spiels anschaulich beschrieben werden.
Zur
werden,
Prüfung
von
Ueberspannungsableitern soll
eine
dessen Stosstrom die in Bild 11 definierte und
T„, Halbwertszeit TV und den Stromscheitelwert
Stosstromanlage gebaut
vorgeschriebene Stirnzeit
aufweist.
i
Bild 11
Oszillogramm des
12 kA
Tf
=
8 jus
20
us
=
Scheitelwert des Stosstromes
=
Stirnzeit des Stosstromes
=
Halbwertszeit des Stosstromes
Ein vereinfachtes Schema der
Anlage
generator wurde durch die Kapazität
derstand
Rj:
ein
R
Zuleitungsinduktivitäten enthalten sind,
î
und der maximale
wertszeit T
L..,
dargestellt.
Der Stoss¬
Ueberspannungsableiter durch den
Dämpfungswiderstand
Bekannt sind die Werte R„ und
Stromes
CQ,
ist im Bild 12
der
und die Induktivität L« ersetzt. Um die
ten, wird zusätzlich
auch die
Stosstromes i
gewünschte
Stossform
zu
und eine Serieinduktivität
Wi¬
erhal¬
L,
in der
benötigt.
sowie der
vorgeschriebene Scheitelwert
Dämpfungswiderstand R„,
des
die Stirnzeit T„ und die Halb-
h*
Lü
Rq
=
12,5ft
12, 5J
8
us
2uH
12 kA
20
us
(12)
31
-
II
-
Bild 12
Schaltschema der
Stosskondensator
u
=
Spannung
C
=
Stosskapazität
F
=
Funkenstrecke
R
=
L
=
Rjj
Rji
Ljj
+
am
Stosstromanlage
Dämpfungswiderstand
Induktivität
Ljj
Prüf objekt
=
=
=
Ableiterwiderstand
=
Ableiterinduktivität
=
Stosstrom
i
Gesucht werden die
Stosskapazität C
,
Ueberspannungsableiter
die Induktivität L und die Ladespannung
U„
Um diese Werte bestimmen
Stosskreisdaten mit den
zu
können,
entsprechenden
aus
müssen die in
den
Gleichung (12) gegebenen
Gleichungen (10.... 11) folgenden
Transformationsgrössen multipliziert werden.
Die daraus resultierenden
r.Rü
Rü
Lü
=
5 mH
Modellgrössen lauten:
=
R
50fl
=
q
T
=
S
2
ms
T.
r.R
=
=
q
5
1252
(13)
ms
n
32
-
Die
Modellstossanlage kann
-
darnach auf dem Steckbrett
zusammengesetzt
muss
dabei die Induktivität L
*
den, bis
dies der
Es
T
Fall,
so
können die
solange variiert
1
wer-
Gleichung (13) vorgeschriebenen Werte haben. Ist
die durch die
,
gesuchten Grössen
am
Modell ermittelt werden.
betrug:
16
Umrechnung
auf die
uF
L
100 mA
U*
Originalwerte ergibt
nach
î*
Die
Stosskapazität C
und die
*
und T,
wer-
*
*
den. Es
=
=
303 mH
=
29,75
V
Gleichung (10)
C
0,64
~m
uF
~-
121 uH
=
Da der wirkliche Scheitelwert des Stromes mit 12 kA
bei bekanntem mach
Gleichung (1)
9
Aus der
Gleichung (6) folgt
der
p
Die
=
die
Transformationsgrösse ç
t-
.
10
p
.
lässt sich
berechnen.
-5
1,2
Umrechnungsfaktor
=
vorgeschrieben ist,
r
u
10
=
der
Spannung:
-4
1,2
Ladespannung des Stossgenerators beträgt
Uq
=
Uq
-^
=
29,75
Somit sind alle Grössen der
festgehaltenen,
am
•
1,2
4
•
10^
357 kV
Stosstromanlage ermittelt.
Modell gemessenen Stosstrom i
,
Diese liefert den im Bild 13
der den
am
Anfang gestellten
Forderungen genügt.
Bild 13
Oszillogramm
des Modellstoss-
stromes
i*
Scheitelwert des Modellstossstromes
Tu
T*s
=
Modellhalbwertszeit
=
Modellstirnzeit
=
Modellzeit
33
-
-
Kapitel UI
UNTERSUCHUNGEN
ZWEI-
AN
UND
DREI-
SPEICHERSTOSSKREISEN
1.
Rechnerische
der
a)
Grundlagen
zur
Bestimmung
StosSpannungen
Energiespeichern
Stosskreise mit zwei
Ra
F
Bild 1
Ersatzschaltung einer Stossanlage
I
:
Ladekreis
II
:
Stosskreis
V
Ladespannung
RL=
Ladewider stand
V
V
Stosskondensator
Dämpfungswiderstand
Entladewiderstand
Grundlast
z
=
Prüfling
Spannung
u2
an
der
Stosspannung
Stosskapazität
m
Im Bild 1 ist die
die
34
-
Stosskapazität
C
Ersatzschaltung eines Stosskreises dargestellt.
die Grundlast
,
Nehmen wir an,
dass das
diese mit der Grundlast CV
zu
das
Cb,
Prüfobjekt
Prüfobjekt
eine rein
am
Zur
Dämpfungswider¬
so
(1)
PC«
Anfang angegebene Schaltung.
Es resultiert der in
u, bestimmt
Unterscheidung der Grössen des Zweispeicherstosskreises
des im nächsten Abschnitt behandelten
den Index Null "0"
kann
zusammengefasst werden:
dargestellte Zweispeicherstosskreis, dessen Stosspannung
den soll.
Es wurden
Z_
+
Bild 2
,
der
kapazitive Last sei,
einzigen Kapazität C
einer
PCv
Dadurch vereinfacht sich die
Z
berücksichtigt.
und der Entladewiderstand R
stand R
-
von
wer¬
denen
Dreispeicherstosskreises, werden diese
gekennzeichnet (z.B.
:
u
20'
durch
'10 ).
'20
U
cO
=^=Cc
Re
=r=C
U
20
Bild 2
Zweispeicherstosskreis
Spannung
an
der
Stosskapazität
uc0
=
u20
=
Stosspannung
40
=
Entladestrom der
ho
Rq
Stosskapazität
=
Stosstrom
=
Stosskapazität
=
Dämpfungswiderstand
=
Entladewiderstand
=
Prüfling
=
Funkenstrecke
Anhand des im Bild 3
anschaulich durchführen.
dargestellten Schemas,
C
lässt sich die
Berechnung
von
u-n
35
-
iio
m
-
-lUr^
>20
t~-1
Il
,
U10
=
U20
T
7
V
Bild 3
Zweispeicherstosskreis
=
UgQ
=
Stosspannung
=
Eingangsstrom
=
Stosstrom
folgt
eine
Schaltungen ergeben
so
liegt
Ladungsverschiebung
man
auf den
send findet wieder die
Zur
C
Erleichterung
Dies ist der
Die
wobei die
Der
durch die
Fall,
wenn
Kapazität C
Spannung
werden,
der
•
£(t),
Stosskapazität C_. Anschlies¬
C_ nach C
von
er¬
Anfang
am
statt. Es wird also die
dargestellten Stosschaltung,
durch den
Prüfling soll
dass dieser durch die Kapazität C
dargestellt
die Grundlast
des
und Ströme
Cb
Prüflings die
(Î)
Zeiger IT
=
Stromes
i^g
sei.
0 ist.
Vierpole auffassen,
lassen sich nach Bild 3 als
Last darstellt.
Ein- und
Ausgangsgrössen
Diese werden meistens für
Vierpols ist
eines
sinusförmige
abgeleitet. Sie gelten aber ebenso für Spannungen und
beliebiger Kurvenform, wobei
man
die
und I durch deren
ersetzen hat. Im Bildbereich der
Vierpolgleichungen:
an
in der im Bild 3
Berechnung des
Zusammenhang zwischen den
p und die
dagegen
ist C
nachgeahmt.
der
Vierpolgleichungen gegeben.
(Ü)
Im Bild 3
.
Eingang dieser Schaltung die Schrittspannung U
Zweispeicherstossanlagen
Spannungen
operator
nach C
Ladungsverschiebung
ausserdem angenommen
Ströme
von
angegebene Funkenstrecke F,
durch die Schrittfunktion
Beim Zünden der Funkenstrecke F
aufgeladen.
im ersten Moment die ganze
im Bild 2
ersetzt die Funkenstrecke
gleichen Stosspannungsverlauf. Im Bild 2 wird
den
Spannungsquelle U
ungeladen. Gibt
Vierpoldarstellung
F im Bild 2
i,«
Beide
Schrittspannung, diese
u10
iiQ
C_ durch die
in
Kreisfrequenz j
to
durch den
Laplacetransformierte
Laplacetransformation erhält
man
die
u
Laplace-
und i
zu
folgenden
m
36
-
=
X
=
C
"10
T10
Die
Ä, B, C
Vierpolkonstanten
Im Bild 3
-
i2Q
(2)
520+ DT20
(3)
u2Q
•
B
+
und D sind hier Funktionen
von
p und lauten für die
dargestellte Schaltung:
=J-
c
PReCq
Re
(4)
B
=
-i-
q
A D
Es ist
In der
5=1
R
+
pcq
Regelungstechnik bezeichnet
spannung
funktion
ïï2
B C
-
man
das Verhältnis der
laplaclerten Ausgangs¬
laplacierten Eingangsspannung ün eines Vierpols als Uebertragungs-
zur
G(p).
Für Bild 3
gilt daher:
~
=
u10
Aus
1
=
Gleichung (2) und (5) folgt für
Go<P)
(5)
GQ(p):
G0(p)
\—
=
(6)
Ä+B-^0
"20
mit
_^
lon
_
x20
=
Y20
pCe
=
(7)
u20
Y2q
ist die
Zur
GQ(p)
(3)
Belastungsadmittanz des Vierpols.
Bestimmung
der
Stosspannung u2Q
muss
zuerst die
berechnet werden. Man setzt daher die Werte für
bzw.
(7)
in
Gleichung (6) ein, berücksichtigt
Rq
•
Cq
=
Tq
(a)
Re
Te
(b)
Rq
die
'
Ä,
Uebertragungsfunktion
B" und
Y20
aus
Gleichung
folgenden Abkürzungen
Cq
=
TR
<c>
Tc
(d)
(8)
Re
.
Ce
=
•
Ce
=
37
-
m
-
und erhält
PTC
G»
Gibt
auf die
man
0)
=
Tq Te P2
Eingangsklemmen
(Tq
+
Te
+
der im Bild 3
TR)p
+
+
1
dargestellten Schaltung eine
Schrittspannung
£(t)=0
u10(t)
so
bezeichnet
man
die
Uq
=
£
•
(t)
mit
aus
aus
Gleichung (10)
=
0,
£(t)
=
1
als
für t<0
5
für t=0
für t>0
Stosspannung.
=
"10
GoÖ>>
[u10(t)J
<10)
=u10
=
-J_1
P
(H)
bezogenen Spannung
u20
y20
lässt sich
Für deren La-
berechnet werden. Es ist
L
Durch das Einführen der
C(t)
Gleichung (5)
"20
kann
u,g(t)
Ausgangsspannung
placetransformierte u,« folgt
Ujq
•
(12)
=
Gleichung (10) folgendermassen schreiben:
J10
G„(P)
(13)
U
Einsetzen
vonuij0
y20
und G
(p)
aus
Gleichung (11) bzw. (9) ergibt:
(14)
=
TC
p2, Tq
+
Te
+
VTe
Zur Rücktransformation dieser
Nenners bestimmt werden.
Gleichung
TR
P
+
T T
q e
in den Zeitbereich müssen die Pole des
ni
38
-
-
Es sei
T
2
V
T
+
-P
rp
.
=
+
rp
.
(15)
W
rp
q
e
0 wird als charakteristische
Up)
=
rp
q
f0(p)
1
TR
+
-S
+
e
Gleichung des Zweispeicherstosskreises be¬
zeichnet.
Deren Nullstellen
PlO
=
p*Q
-(Tq
+
und
Te
+
p,Q
lauten:
TR)
*
y (Tq
man
Te
+
TR)2
-
4
Tq
Te'
(16)
2"q-e
P20
Setzt
+
diese beiden Wurzeln in
y20
Die Rücktransformation dieser
Gleichung (14) ein,
=
Y~
-,(P
Lc
so
erhält man:
h—r
-
P10)(p
-
{17)
p20)
Gleichung ergibt die bezogene Stosspannung:
pP10t
y2o«
_
p20t
(18)
Tc(PlO-P20>
Auf
analoge Weise lässt sich der Strom
aus
Gleichung (2):
i2()W
durch den
u10
ho
Prüfling berechnen. Es folgt
(19)
**
Ä^+B
l20
iplikation des Zählers und Nenners mit
420
Nach
_
Y20 ergibt:
U10'Y20
Ä
Gleichung (6), (7) und (11) erhält
+
B
man
Y20r20
(20)
39
-
m
-
u
ion
=
JPCeG0(p)
Setzt
man
G
(p)
aus
Gleichung (9) ein,
den
aus
Prüfling
dem Bild
Rq
den Stosstrom
p10
p10"p20
Stosskreise mit drei
führt
4,
Gleichung ergibt
=
Berücksichtigung
Die
und dem
(22)
Rq(p-P10)(P-P20)
PlO*
l20®
b)
folgt
so
V
^0
Die Rücktransformation dieser
von
Fall
a
der
Zuleitungsinduktivität
dem im Bild 2
ersichtlichen
Anordnung
e
P20l
"
(23)
e
p20
Energiespeichern
L zwischen dem
Stossgenerator
dargestellten Zweispeicherstosskreis auf
Dreispeicherstosskreis.
Im Bild 4 sind zwei weitere Sto s sc haitun gen
ersteren durch die
(21)
p
l20
die sich von der
angegeben,
des Entladewiderstandes R
unterscheiden.
Zur Be¬
im Bild 4
rechnung der Stosspannungen dieser Dreispeicherstosskreise werden die
angegebenen Kreise durch die im Bild 5 gezeichneten ersetzt.
Gibt
man
auf den
Eingang dieser Schaltungen die Schrittspannung
ux(t)
so
resultiert,
der
wie schon beim
£(t)
Zweispeicherstosskreis gezeigt wurde,
am
Ausgang
Vierpole die Stosspannung u,.
Zur
Bestimmung derselben müssen zunächst
dargestellten Schaltungen
Fall
Uq-
=
a:
A
=
1
die
Vierpolkonstanten der
im Bild 5
berechnet werden:
+
+
R
+
pL
R„
PC„
(24)
+
PC„
Rn
+
pL
D
=
1
40
-
Fall
-
a
-»—O
=4=Co
Ce=H
Re
Fallb
'i
F
À'3
\1
1
1
1
1
'2
H
ÛR-
rCq
c
R,
L
Bild 4
Drei verschiedene
l2
=
Spannung
=
Stosspannung
=
Entladestrom der
=
Stosstrom
-
=
=
*3
R„
=
=
Cq
L
Dreispeicherstosskreise
=
am
Kondensator
Stosskapazität C
Strom durch den Entladewiderstand
Stosskapazität
Serieinduktivität
=
Seriewiderstand
=
Entladewiderstand
=
Prüfling
=
Funkenstrecke
41
-
Fall
h
M
m
-
a
^^^rA
II
vu
L
Cq
'2
i
i
'
U2
=
V
Fallb
'l
Il
'
s-*^r\
•
i
1
^f^
i
U2
=
V
Falle
•1
>
o-
L
u,
Re
U,
7
-o-
Bild 5
Dreispeicherstosskreise
Uj
=
Schrittspannung,
u2
=
Stosspannung
=
Eingangsstrom
=
Stosstrom
ij
io
in
Vierpoldarstellung
ersetzt die Funkenstrecke F im Bild 4
m
42
-
A
Fall b:
1
=
-
+
r
R„
q
e
(25)
PL+Ra
B
pL
+
=
R„
+
PC„
A
Fall c:
1
=
+
D
+
r
e
=
3-
1+
R„
q
l+p2LCg
C
=
PCqRe
—
R„
(26)
B
+
=
pL
R
+
+
PCr
Durch Einsetzen
nen
der
von
1
+
die
Uebertragungsfunktio-
folgende Form bringen
lassen:
TRp
+
C2P
(27)
2
+
CjP
+
cQ
Gleichung
3
c2
2
c3
man
=
=
CßP
ermittelt
man
alle auf die
3
Aus der charakteristischen
D
pL
Gleichung (6) erhält
Dreispeicherstosskreise, die sich
G(p)
+
pc„
R,
A und B in
R-
—S-
die drei Wurzeln
pj, p2
und
cl
0
3
c3
Pg.
(28)
„
Mit diesen lässt sich
analog
zum
Zweispeicherstosskreis die bezogene Stosspannung
y2w
"9.W
=
berechnen:
y2(t)
=
-i
Ki
Pjt
Pot
3l
(29)
(P!-P2)(PrP3)
^-Pi)^^
(P3"pl)(p3"P2)
43
-
Für den Stosst rom
=
erhält man:
p„t
p,t
U
i2(t)
i,(t)
p1
-±
p3
e
(30)
(P3"Pl)(P3"P2^
(P2-Pi)(P2"P3)
drei Fällen a,
folgende Tabelle enthält die den
Die
p„t
e
P2
e
(p1-P2)(P1-P3)
K2
m
-
b und
c
entsprechenden Grös¬
sen:
Tabelle
Grösse
Fall
1
1
Tq
c2
"VTeTq
c3
LCqTe
LCqTe
Kl
LCe
LCe
K2
L
L
Der
Uebergang
(Bild 2) geht
Wir denken
Einfügen
Te
+
vom
der
+
TR
uns
diesen
Stosspannung,
Te
+
LCe
Zwei-
zum
TR
+
+
Tc
Te
LCq
TeTq
TR
+
+
Tc
+
TeTq
LCq(Te
+
Tc)
L(Ce+^)
l(i
+
|a-)
"e
Dreispeicherstosskreis
einer Serieinduktivität L in den Zweispeicherstosskreis
dieser in den im Bild 4 Fall
a
dargestellten Dreispeicherstosskreis
Uebergang stetig vollzogen,
lassen. Die Bilder 6... 11
u2(t)
Falle
cl
Durch das
sen
Fallb
1
c0
2.
a
1
im
indem wir L
von
über.
Null weg anwach¬
zeigen, dass sich in diesem Fall das Oszillogramm
Gegensatz
zu
demjenigen
des Stosstromes
io(t)> wenig
ändert.
Um diese
Beobachtungen
len der charakteristischen
für L
—•
theoretisch
Gleichung des
0 bestimmt werden.
begründen
zu
können,
müssen die Nullstel¬
Dreispeicherstosskreises
des Bildes 4 Fall a,
44
-
-
Bild 6
Oszillogramm der Stosspannung
Grösse der Serieinduktivität
L
=
Ug(t)
4
0,
pH
Bild 7
Oszillogramm der Stosspannung u,(t)
Grösse der Serieinduktivität
L
=
2,
8
uH
Hl
««
H
Bild 8
Oszillogramm
der
Stosspannung
Grösse der Serieinduktivität
L
=
u2(t)
10,
8
uH
-
m
45
Bild 9
Oszillogramm des Stosstromes
Grösse der Serieinduktivität
L
=
i2(t)
0,
4 uH
Bild 10
Oszillogramm
des Stosstromes
Grösse der Serieinduktivität
L
=
io(t)
2,8 pH
MBKHMI
»«
Bild 11
Oszillogramm des Stosstromes io(t)
Grösse der Serieinduktivität
L
=
10,
8
pH
ni
46
-
Die charakteristische
p3 folgt
aus
Gleichung (28)
LCqTep3
+
(LCq
Die charakteristische
durch
Gleichung dieser Schaltung mit
TeTq)p2
+
p, und
+
(Tq Tß
+
TR)p
+
(31)
+1=0
Gleichung des entsprechenden Zweispeicherstosskreises
TeTqp2
p^g
den Wurzeln p«,
und Tabelle 1:
Gleichung (15) gegeben
Deren Nullstellen
-
und
ist
und lautet:
+
p,/j
(Tq
+
Te
sind auch
+
TR)p
+
l
Lösungen
0
=
der
Gleichung (31),
wenn
sie
folgende Ungleichung erfüllen:
LCq P2 <Te
0 der Fall
Da dies für L
Pl
=
P
+
D «
(32)
ist, wird
PlO
P2
L —0
Da zwei Wurzeln der
1
(33)
P20
=
L—-0
Gleichung (31),
wenn
L gegen Null
strebt,
bekannt
sind,
lässt
sich die dritte berechnen.
Es ist
(p-Pl)(p-p2)(P"P3)
und nach
LC„
,
=
P
+
—3
+ T
T„
Ë-3-
T
,
P
+
+ T
—
LCq Te
+
—
P
LCq Te
(34)
+
LCq TQ
Gleichung (33)
(p-PlXp^tP-PsJ^ÎP-PioHP^O^P'Ps^^P
T +T
,
+
Gleichung (34)
und
(35) folgt:
1
+TR
P+
e
Aus
1
TD
~
q
Te Tq
)(P-P3)
(35)
47
-
,
3
p
+
LC„
q
+ T
T
e
I
^q
+
p
e
1
+ TD
R
p
—-
LC
e
p-p3<
T
+
q
2
—
LC
T
„
q
—~
m
-
q
T
+
LC
e
q
T
R
e
-*»p
Tq + Te
2
P
+
+
-9-
(36)
TR
+
T
e
T
Aq
Man erhält somit für die dritte Nullstelle:
(37)
«
p3
L—0
Für L
=
0 ist
p-0
=
-cd
und erst mit L> 0 wird der Wert der Wurzel
p3
endlich.
-W
P
|
[sl
-108
:2ä
-10'
-W
P»
-10*
3
Lk
A
5
6
—*•
7
LfriH]
Bild 12
Verlauf der reellen Wurzeln eines Dreispeicherstosskreises
als Funktion der Induktivität L
C
Ce
L
=
60 000 pF
R
=
30A
=
20 000
Ra
=
600 Ä
=
variabel
pF
G
(Bild 4a)
ni
48
-
-
Im Bild 12 ist der Verlauf der reellen Wurzeln des
(Bild 4a)
als Funktion der Induktivität L
dass die Wurzel p* beim Anwachsen der Induktivität bis
entnehmen,
konstant bleibt. Die Wurzel
um
L
p2
und p, streben mit zunehmendem L
bei der kritischen Induktivität L»
> L^ werden p2
und
Gleichung (29) bzw. (30) erhält
Stosstrom
i2(t)
eines
Für Bild 4 Fall
zu
einer
Gleichungen (33)
man
Dreispeicherstosskreises,
a
(P1-P2)(Pi+-a-)
(prp2)(Pi
+
Gleichungen lassen
R
R
L
sich für L—» 0 vereinfachen:
p2t
(40)
-i,
Pjt
1
Rq
Vergleich
Pje
Einfügen
Pj-P2
von
L
p2t
-
p2e
+
(P2-Pj)e
Gleichung (18) mit (40) bestätigt
ändert.
(41)
unsere
einer kleinen Serieinduktivität L in den
Stosspannungsform wenig
R
-f- )
Tc(Pl -P2)
*>
L
(39)
(p2-pi)(p2+
Li
R
(-3-+P1)(-3-+P2)
R
-s.)
pxt
1
*»
R
H
R
L—-0
Ein
P2
L
beim
L
(P2-Pi)(P2+ -a')
Pl
—3.
1
L-»0
y2(t)
Wurzelwerte
bzw. den
dessen Induktivität L-» 0 strebt.
R
Pi*
i2(t)
(37) gegebenen
Jtf
R
e
L^O
und
ist:
LCe
L—0
y2(t)
gegeneinander,
verschmelzen. Für
(38)
y2(t)~
Diese
zu
bezogene Stosspannung
die
Pi*
i2(t)«
Doppelwurzel
Diagramm
einigen uH,
zu
pj komplex.
Beim Einsetzen der durch die
in
Dreispeicherstosskreises
Wir können diesem
dargestellt.
Beobachtung,
dass sich
Zweispeicherstosskreis die
49
-
Aus Gleichung
(23)
und
m
-
(41) folgt:
R
-3t
i2(t)« WO-^e
"*
L-o
~
Wir entnehmen dieser
Zweispeicherstosskreises
i20(t)
+
Gleichung,
i2z(t)
(42)
dass die
den sind. Sie unterscheiden sich durch den Strom
L
jedoch
der Stosströme eines
Oszillogramme
und eines Dreispeicherstosskreises mit
ioz(0,
L
—»
0 verschie¬
dessen Einfluss bei kleinem
rasch abnimmt.
Zur Zeit t
=
0 ist der Unterschied zwischen
i2(t)
und
ionW
gross,
denn
L—0
U
i2Q(t
Die
aus
=
0)
=
-S- und
Rq
=
0)
=
(43)
0
Gleichung (23) und (41) folgenden Oszillogramme der Stosströme sind
Bild 13 schematisch
der Strom den
dargestellt. Aus
diesem Bild und
konstante des Stromanstieges
gegeben.
Gleichung (43)
ist
im
ersichtlich,
dass
Zweispeicherstosskreis ionft) sofort auf seinen Maximalwert springt,
während dies die kleinste Induktivität im
i2z(t)
i2(t
i«(t)
Dreispeicherstosskreis
ist dabei in erster
L— 0
Rq
Näherung
verhindert. Die Zeit¬
durch die des Stromes
50
m
-
Bild 13
Oszillogramme
Î2o
i2
i2
Tz
von
Stosströmen
=
Stosstrom eines
Zweispeicherstosskreises
=
Stosstrom eines
Dreispeicherstosskreises
=
Differenzstrom zwischen dem Stosstrom eines
Dreispeicherstosskreises und dem des ent¬
sprechenden Zweispeicherstosskreises
=
Zeitkonstante des Stromes i,
51
-
3.
Untersuchungen über
den
Zusammenhang
Stosskreisgrössen,
die
einen
Stoss
a)
in der
1,2/50
ergeben
Definitionen und vereinfachende Annahmen
um
die erhaltenen Resultate
vergleichen
zu
können. Die
Normierung besteht
Festlegung der Stirnzeit T„ und der Rückenhalbwertszeit T
s
sen
definiert
sind,
ist
1
lsl
Im Februar 1959 wurde
eine
neue
Unsere
von
1,
2
us
von
Definition für T
Berechnungen
mission wurde eine
Stosspannungsverlauf
us
der IEC
und T
die
stützen sich auf die
kleine,
IEC -Werte.
neuen
von
50
us.
spezielle Untersuchungen ist
des
1,2/5
oder des
zu
Electrotechnical Commis¬
die im Bild 15
Normstosspannung festgelegt.
Verwendung
ausserdem
(International
vorgeschlagen,
längere oder kürzere Rückenhalbwertszeit
IEC
50
Lrl
,
und eine Rückenhalbwertszeit T
Stoss bezeichnet. Für
Wie diese Grös-
.
r
Bild 14 ersichtlich.
aus
Normierter
sion)
der
us
praktischen Stossprüfungen werden mit normierten Stosspannungen durch¬
Die
geführt,
m
-
dargestellt
Diese hat eine Stirnzeit
Sie wird als der
es
eventuell
1,2/200
notwendig,
empfohlen.
Tg
1, 2/50
haben. In solchen Fällen wird
Stosses
ist.
Von dieser Kom¬
eine
von
Nach IEC
der Stosspannung überlagerte Schwingungen zugelassen,
der
sind
wenn deren
Amplitude nicht grösser als 5% des Scheitelwertes der Stosspannung ist. Unter solchen
Umständen soll als
Stosspannung
ein mittlerer
Spannungsverlauf
angenommen werden.
in
-
52
-
Bild 15
Normierter
Stosspannungsverlauf (nach IEC-Normung)
1,2 /is
50
Virtueller
Praktische Versuche zeigen,
dass oft
spannung auftreten. Dies deutet darauf
schen
Gleichung
sind in einem
des
Berücksichtigung
komplexe Wurzeln auftreten.
von
der
hin,
Schwingungen
im Scheitel der Stoss-
dass zwei Wurzeln der charakteristi¬
Dreispeicherstosskreises komplex sind. Solche Schwingungen
Zweispeicherstosskreis,
lich. Erst durch die
us
Nullpunkt der Stosspannung
wie
der
er
im Bild 2
abgebildet ist,
Zuleitungsinduktivität
Die Grösse dieser Induktivität
Länge der Zuleitung zwischen dem Stossgenerator
nicht
L > L,
hängt
in erster Linie
und dem
Prüfling ab. Auf
Grund der vorangehenden Betrachtungen sollen vereinfachende Annahmen
werden,
die
R_, R
C-, C
,
es
ermöglichen,
die
Stosspannungsform
und L bestimmen
zu
direkt
können. Wir wollen
aus
uns
mög¬
können
den
getroffen
Stosskreisgrossen
auf die
Untersuchung
Stossanlagen mit den folgenden Eigenschaften beschränken:
1. Die Stosskreise sollen sich auf eine der drei im Bild 4 gezeichneten Schal¬
tungen zurückführen lassen.
2. Es soll ein
1, 2/50 fis
Stoss resultieren.
von
53
-
b) Berechnung
der
m
-
bezogenen Stosspannung y2, wenn zwei Wurzeln
Gleichung komplex sind
der charakteristischen
Sind zwei Nullstellen der charakteristischen
stosskreises
komplex,
so
Gleichung
sollen die drei Wurzeln durch die
eines
Dreispeicher-
folgenden Ausdrücke
ersetzt werden:
Pl
=
p2
=
p3
=
nung
yo(t)
C
j
oj
für
die
bezogene Stosspan¬
komplexe Wurzeln:
(cr+joj)t
(er-jw)t
(45)
=
K,
^2
+
(Pl-o-)2
(er-
Durch Erweitern der Nenner dieser
erhält
man
bei
gleichzeitigem
y2(t)
mit
<P
man
K4 ein,
so
in dieser
erhält
arc
die
(cr-jcj-PiH-
mit deren
konjugiert komplexen
Wert
ert
-
cos(u>t
K4e
(46)
-<p)
L
**
Gleichung,
man
Gleichung
Plt
e
K,
=
joj-Pl)(2jo)
jco)
2
Zusammenfassen:
-f-
=
v3
Setzt
-
(44)
jo
dargestellten Schaltungen
Plt
y2W
+
Gleichung (29) ergibt
Das Einsetzen dieser Wurzelwerte in
der im Bild 4
Pl
cr
Pj
-
er
w
die durch die Tabelle 2
bezogene Stosspannung
gegebenen Grössen
der drei im Bild 4
für
K, und
dargestellten
Schaltungen a, bundc.
Tabelle
Fall
Grösse
K3
K4
LCe
2
Fall b
a
JcA^-cr)2
LCe
\1
Jçj2+(Pl-(r)2J
<pr»>*
^
Fall
L(Te+Tc)
c
ju2+(pfo)2]
m
54
-
Durch das Einführen der
bezogenen Stosspannung
y2(t)
vereinfacht sich
Hat die charakteristische
Wurzeln,
=
y2(t)K3
Gleichung (46):
y2(t)
so
-
e
-
K4e
cos(oj
t-
<f )
(47)
Gleichung des Dreispeicherstosskreises
setzt sich nach
e-Funktion und einer
et
Plt
=
Gleichung (47)
gedämpften
die
zwei
bezogene Stosspannung
cos-Funktion zusammen,
wie
es
komplexe
y2(t)
in Bild 16
aus
einer
darge¬
stellt ist.
Bild 16
Bezogener Stosspannungsverlauf eines Dreispeicherstosskreises
Wurzeln der charakteristischen
Gleichung p1(
cy +
jw,
a
-
ju>
Plt
x
=
y
=
e
ot
z
=
x+y
=
-K4e
at
K4e
YoW
=
Aus Bild 15 und 16
Wurzel
pj
ein
cos(u>t-<p)
bezogener Stosspannungsverlauf
folgt,
dass zwischen der Riickenhalbwertszeit T
Zusammenhang besteht.
Es
gilt die Beziehung
und der
55
-
in
-
PlTr
l
r
e
wenn
Nullpunkt
der virtuelle
Nullpunkt (t
=
0) zusammenfällt,
und
wenn
y,
=
untersuchten Dreispeicherstosskreise in erster
die
(48)
0,5
Stosspannung (siehe
der
T
=
ungefähre Grösse der Wurzel p^ angeben,
Bild
15)
1 ist. Da diese
mit dem wirklichen
Forderungen
für die
Näherung erfüllt sind, können
was
für
wir
spätere Berechnungen wichtig
ist.
Gleichung (48) folgt:
Aus
Pl-ln°-5
Tr
Somit wird
a)
1, 2/50
für den
Stoss mit T
=
50
us
Pj«»-1,4 104 s"1
b)
1, 2/200
für den
Stoss mit
Tr
200
=
(49a)
us
Pl«-4,7 103 s"1
c)
1, 2/5
für den
Stoss mit T
5
=
(49b)
us
PjÄi-1,4 105 s"1
c) Berechnung
der Wurzelortskurven und der Induktivitäten L„ und L,
von
Dreispeicherstosskreisen
Die Wurzelortskurven sind die
ristischen
stem
nur
Gleichung
geometrischen Orte der Wurzeln einer charakte¬
in der Gausschen
ein Parameter
Beim
Uebergang
Zahlenebene,
Induktivität L
von
0...
vom
Zwei-
L^,
zum
in dem untersuchten
Dreispeicherstosskreis
wandern. Im
Dreispeicherstossanlagen,
0...CO variiert.
wenn
Sy¬
geändert wird.
wie die reellen Wurzeln der charakteristischen
ten
(49c)
Gleichung,
folgenden
haben wir
bei einer
gesehen,
Aenderung der
sollen für die im Bild 4
die Wurzelortskurven bestimmt
werden,
dargestell¬
wenn
L
von
Ill
56
-
dk)
Die Wurzelortskurven der
Die
L
=
0,
in der
Schaltung Bild 4,
Fall
a
Berechnung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung (31) für
L
—
0 und L
Für
L
um
=
co
=
geben
erste
0 sind die Nullstellen
p«Q
und
komplexe Frequenz p
Tq
+
Te
+
TR
4T„T„
q e
u
K
2TqTe
P20
(Tq
Te
+
Dieser Ausdruck lässt sich in einer Reihe entwickeln.
q
=
Tq
+
Tq
+
Te
+
TR
Te
+
TR
(Tq
Te
+
TR)3
(Tq
+
Wir
(50)
TR)2
Es ist:
Te
q
+
Te
das erste
+
(Tq
TR
Glied,
(51)
TR)5
+
+
e
Te
+
(52)
TR)3
folgt:
so
-1
PlO*«
Tq
+
Te
(53)
+
TR
(54)
P20'
Für
jcj.
T„TQ
Tq
man nur
e
+
TqTe
Berücksichtigt
+
+
2(ye>
T„T„
P20
er +
Gleichung (16) gegeben.
durch
pgn
=
und erhalten:
PlO
PlO
über den Verlauf der Wurzeln
Anhaltspunkte
der Gausschen Zahlenebene für die
p-Ebene,
formen
-
Tq
Te
Tc
L—-»0 wurden die Nullstellen der charakteristischen Gleichung
stimmt.
Sie lauten:
Pl
L-0
=
PlO
'
P2
=
L-0
P20
'
P3
L-0
=
"
Rq
—
(31)
schon be¬
57
-
Ist L
=
so
œ,
lässt sich
m
-
Gleichung (31) vereinfachen.
p3
p2
+
gilt
dann:
(55)
0
=
—
Es
Te
Die Nullstellen dieser
Gleichung sind:
p,
und die
=
(56)
-—
Te
Doppelwurzel:
p2
Die Ortskurve der reellen Wurzel
in der
p-,
=
(57)
0
p-Ebene
Der Verlauf der beiden anderen Wurzeln ist
Mit wachsendem L wandern diese
Induktivität
ein
Lk
zu
da deren
bestimmt,
Um die Wurzelortskurve dieser
um
beim Erreichen der kritischen
verschmelzen. Wird
zu
das mit L
konjugiert komplexes Wurzelpaar,
auf der reellen Achse bekannt.
nur
gegeneinander,
Doppelwurzel
einer
ist somit
Gleichung (51) bzw. (56) festgelegt ist.
durch die
Anfangs- und Endpunkt
p3
=
—»
oo
L^,
so
erhält
man
gegen Null strebt.
komplexen Werte
formulieren wir die "Vietaschen Wurzelsätze" für
L >
von
p« und p,
zu
erhalten,
Gleichung (31).
Diese lauten:
LC
TT
+
—3
Ê_l
LCqTe
Tq
+
Te
+
TR
LC„T
q
=
p1
+
p2
pl p2
+
+
(58)
p3
p2 p3
+
pl p3
(60)
Pj p2 p3
q
Setzt
man
in diesen
p,
ein,
so
folgt:
=
^59^
e
e
Gleichungen für
ar+jcj
und
po
=
a-jcj
m
58
-
**q
TeTq
+
T
+
Tp
+
(61)
2cr
+
Pi
LVe
T_
-
2
2
(62)
LCqTe
1
(0-2
q
(63)
wir LC
T
aus
Gleichung (61)
(63).
ergibt:
Dies
LCq
Aus
CJ2)Pl
Berechnung der Wurzelortskurven eliminieren
Zur
und
+
e
PX
(CT2 +cj2)
Te Tq Pj
+
(CT2 +U2)
=
px
+
(64)
2er
Gleichung (62) folgt:
LCq (CT2 +w2)
-3
=
»
Ê
-
2
(65)
PlLCqC
e
Setzt
man
diese
Te xq Pl
Gleichung
(c2 +w2)
-
in
(64) ein,
2(1
+
so
erhält
man:
T+X+T
Pl2LCq)cr
=
p^ (-9
2
5.)
X+T
=
-Pl
e
_3
»
e
(66)
Die Division durch T
T
p, ergibt
unter
gleichzeitigem Umformen:
-|2
1
+
Pl
^q
-l2
1
+
u
Pl
LCC
TeTqPl
TeTqPl
Nach dieser
+
Tq+TR
e
(67)
*q
Gleichung erhalten wir für pg und p, als Wurzelortskurve einen Kreis,
wenn
1
»
pf LCq
(68)
-
und Pi nicht
von
L
abhängt.
Diese kann vereinfacht
(56) gegebenen
wenn
man
berücksichtigt.
genügt daher,
Danach
damit die Wurzel p..
=
p«0
Ungleichung (68)
Nach
+
gilt
1)<
p«
Ungleichung (32) erfüllt.
durch die
für
Gleichungen (53)
und
jedes L
(69)
1
dass
Pl2
ist,
Fall, solange
die für p-.
(Te Pl
Es
in
-
Letzteres ist der
werden,
Grenzen
59
und
und
LCq
«
unabhängig
(70)
erhält
(70)
1
von L
man
wird.
als Wurzelortskurve einen
Kreis,
so¬
lange
(71)
L«—-
ist. Dieser lässt sich
Pl
LCQ
aus
Gleichung (67) berechnen, indem
man
p.
=
p1Q
setzt und
gegenüber 1 vernachlässigt.
Die
Gleichung der Wurzelortskurve lautet
somit:
-\2
+
~2
(TeVlO>2
TeVlO
Setzt
man
nungen
beim
beim
beim
von
1
so
<
1, 2/50
1, 2/200
1, 2/5
pF ist,
Stoss
Stoss
p« ein und
folgt,
berücksichtigt,
sein muss,
L «
=
(1,4)2108
10"6
(4,7)2 106
10"6
L «
=
Stoss L «
damit die
dass in den
ausgeführten
Stoss-
dass
=
(1,4)2101010~6
Kreis
<72>
Ungleichung (71), die durch Gleichung (49) für die normierten Stosspan-
in
gegebenen Werte
anlagen C
t-WcvvI
5,1
mH
45 mH
51
,
und
/iH
komplexen Wurzeln auf dem durch Gleichung (72) gegebenen
liegen. Aus diesen Ungleichungen geht ausserdem hervor, dass die Induktivität
in
-
L in immer
Wert p-fn
flacher der Rücken der
4,
unter Annahme der
C
Ce
L
Zur
-
grösseren Grenzen variiert werden kann,
abweicht, je
Für die im Bild
ven
60
Fall
a
60 000
=
20 000 pF
=
variabel
vom
ist.
dargestellte Stossanlage wurden die Wurzelortskur¬
folgenden
=
ohne dass die Wurzel p..
Stosspannung
Werte berechnet:
R
pF
Re
=
30Ä
=
600SL
Bestimmung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung (31) verwendeten
wir die Methode von Newton
'. Diese beruht auf der Verbesserung eines bekannten
Näherungswertes für
Nullstellen,
durch
Pjq gegeben
eine der
ist. Nach dem
der in
unserem
Fall für die Wurzel p«
angegebenen Verfahren lässt sich der exakte Wert
der Wurzel berechnen. Dadurch kann die charakteristische
Gleichung (31) auf
quadratische Gleichung reduziert werden, deren Nullstellen p, und p, einfach
stimmen sind.
Aus Tabelle 3
folgen die berechneten Wurzelwerte:
eine
zu
be¬
-
6i
m
-
Tabelle
L
uH
P1
s"
0
-2,028
0,1
-2,028
0,5
-2,028
1,0
-2,028
2,0
-2,
3,0
-2,028
3,3
-2,028
028
3
p2
104
104
104
104
104
104
104
s-1
p3
-2,313 106
-
106
-2,379 106
-2,488 106
-2, 792 106
-3, 462 106
-4,092 106
-2,326
-2,028
3,5
-2,028
4,0
-2,028
104
104
104
5,0
-2,028
104
6,0
-2,028
7,5
-2,028
10
-2,028
20
-2,028
30
-2,028
40
-2,028
50
-2,028
100
-2,032
1000
-2,063
-8,
00
333
-
-
-
-
-
dem
aus
Achse
106
106
-3,783 106
-3,029 106
-2, 532 106
-2,032 106
-1,513 106
-0,782 106
-0,531 106
-0,406 106
-0,331 106
-0,182 106
-0,0462 106
442
0,646
0,961
1,679
2,129
Dessen
240
2,
233
1,679
1,415
1,
244
1,122
0,807
0,
255
106
106
106
106
106
106
106
106
106
106
106
106
106
0
dass sogar für grosse Induktivitätswerte die
den
2,
2,125
0
Gleichung (72) folgenden Kreis liegen.
um
106
106
27,58 106
12,29 106
6, 601 106
5.083 106
57,75
"[s'1]
Die resultierenden Wurzelortskurven sind im Bild 17
geht hervor,
oo
-4,317
-4,
104
104
104
104
104
104
104
104
104
104
s
-297,5
«H
3,4
=-1
n
dargestellt. Aus diesem
komplexen Wurzeln auf
Mittelpunkt
ist auf der reellen
Betrag
or
=
Î
TeTqPlO
verschoben. Der Radius des Kreises ist durch den Ausdruck
(73)
m
62
-
-
^VkAW
a
r
Te Tq PlO
(74)
gegeben.
it^^ti_-^^
:
-|__
-;-r.
,
II'"
!*.
-
-=^l*
j
/
'-"'---'
[
-_:.-..
-~—
sh
-^
r
n^
'
l
1 fl
|JU rt
WmU
-
\
1
__,
.
"^
5--- i^-ti
i--
<*3-
JC^Sti- ±±
i
it-iit"_
A
=:Î5Ï
<ä^-'-==
it-'--!-
==
=ï-iOJ
tp^3::î:-
.
.
-
_
r
—-•'„
-
.
.
:_
:z;
::
_
"
.
:l.=
.
;
L
!
JOQj Jlfl
""^ihl»»
*SIÏJ ^==J
_..-;-:-.
jL_;~r-=-
Dreispeicherstosskreises
Beispiel: Schaltung Bild 4, Fall
C
Ce
L
=
60 000 pF
Rq
+i_t
-
i
i
-
-
-=-
=
20 000
Re
=
variabel
pF
PlO' P20' P30*
Lö
-
T
30fi
=
600Ä
der
p-Ebene
=
-
—
-.
0)
komplexen Wurzelortskurve
Radius der komplexen Wurzelortskurve
CO
der
Zweispeicherstosskrelses (L
Mittelpunktskoordinate
°m
0
Wurzeln des
in
-
-
a
=
i
Ü IsïLdi
ix
=
Bild 17
Wurzelortskurven eines
^r
f
^ïfcd-ii&jïlzj^
+^£.
-
-.
S,
i--*-Sl
-+-
ïltfEE
***
ï
zt
zt
—^f-Jr--^^-
zîlf ^3f
-
\
"'
je is ai;
-
\
,
zt]ï(L_zzi:
1
Y
i
'
..
*»
^3L^t
"
-l'JJ
M*s,'*-*_
i
'
-
j.
'
^"*m
'
:
:
f
"4
'
wlAÛI k
'
'
iKx'ïît
"
'
VSiH
i
1
A
_u
!_._--
_
-
i
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-
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i
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1
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1
1
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1
^
-
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\jr
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f^T
„^œ^l^-Ej^
i—
^^^-„^.--luî-ïi^^.Jg^.^
;
f:
^ip^^^r^-
___^JBt_
.--A-.,-.,
:
-
CT
=
m
-2,283-106 s"1
'
Die Summation dieser Werte
hung.
CT
und
2,251-106s~1
=
'
r
ergibt die Grösse der Doppelwurzel p2
CTk
er
m
-
Beispiel beträgt
In dem behandelten
Zwischen
63
0-m-ar
=
und der Induktivität L existiert eine
Po
CT.:
=
534-106s_1
4,
=
=
(75)
Gleichung (61) folgende Bezie¬
aus
Diese lautet:
R
T.
9
=
p
2<r
+
(76)
-i-
+
Te
Somit lässt sich bei bekanntem
ausserdem
man
p^
durch
ov die kritische
p,Q ersetzt,
was
Induktivität L,
berechnen,
wenn
solange zulässig ist, als Ungleichung (71)
erfüllt ist.
Lk
2
=
Pl0
+
3
=
2c7k
+
PlO
~
+
e
Die
Bestimmung der Induktivität L,-, die
von
5%
<*
5%,
=
zur
Folge hat,
ist mit Hilfe
+
e
Ueberschwingen
ein
<*
Gleichung (139) möglich.
der
Stosspannung
Nach dieser
beträgt
wenn
tg^k
ist. Die Koordinaten der
"co?
von
(77)
2(CTm-°r) Y-
=
Wurzel,
"
&
=
die diese
°'954
bzw-
^k
=
43°38'
Bedingung erfüllt, sollen
bezeichnet werden. Aus Bild 17 ist ersichtlich,
mit a
-q
und
dass
CT
m
ist.
Somit
folgt
R
-9
PlO
+
2ff
(78)
m
+
Te
in
64
-
Gleichung berechneten Induktivitätswerte ergeben
Die mit dieser
als
Ueberschwingen
Setzt
ein,
so
man
erhält
t
-
in
Gleichung (77)
(78)
und
am
und
ar
~
(7g\
<80>
~
-(T
Te
=
+
a
Te
+
TR)
+
]/(T
tig,
aus
Te
+
a
+
TR)2
4T
2
Te'
(16)
e
Gleichung (79) und (80) berechneten Werte
als die
-
2T„T
q
Die
(74)
*e
TeVlO
p1Q
und
4
1e1qp10
mit
Gleichung (73)
aus
man:
=
L5%
ein etwas kleineres
5%.
für
Lk
und
Leg,
sind
solange
rich¬
Ungleichung (71)
1
L«
2.
PlOC q
erfüllt ist.
In
unserem
Beispiel beträgt
Lk
ß)
=
3,332
Die Wurzelortskurven der
Analoge Ueberlegungen,
uH
Lga,
»*
6,
66 uH
Schaltung Bild 4, Fall b
wie sie bei der
führen auf die Wurzelortskurven dieser
Deren charakteristische
und
Schaltung
Bild
4,
Fall
a
gemacht wurden,
Schaltung.
Gleichung folgt
aus
Gleichung (28)
und Tabelle 1:
ni
65
^qTep +(LCe
Für
L
=
erhält
0
man
Te
PlO
klein,
so
TR
+
+
Tc)
TR
+
i-
Tc
wird für
und
p«Q
<Te
+
TR
+
(82)
Tc)2
P2
^e
+
«
(83)
1
Gleichung (81).
somit:
Pl
p2
PlO
=
L
L—0
wurde,
vorgenommen
(84)
P20
=
—
0
Die dritte Wurzel lässt sich durch eine ähnliche
Es
(81)
°
p2q
und daher sind diese Wurzeln immer noch Lösungen der
gilt
=
4TR Tc
lin
LCqTe P3
Es
P+1
die beiden Wurzeln
2TRTc
P20
Ist L sehr
+
TeTq)p +(Te
+
Division,
wie sie in
Gleichung (36)
bestimmen.
folgt:
(85)
P3
L—0
Setzt
man in
dieser
Gleichung
L
0,
=
so
erhält
man:
P30
Für
L
=
od
reduziert sich
Gleichung (81) auf den Ausdruck
3
p
2
1
+
p
(86)
=0„
Die Nullstellen sind:
p-,
=
und
-
TR
p,
=
Po
=0
(87)
in
Analog
zu
-
dem im letzten Abschnitt behandelten
vom
Wert
p10
abweicht. Dazu ersetzt
LCe Pj (TR Pl
Da wegen
Gleichung (82)
sollen auch für
in
Ungleichung (83)
1)
«
darf,
ohne dass
p durch p« und
er¬
Umformen:
gleichzeitigem
hält unter
man
Stosskreis,
in denen L variieren
Schaltung die Grenzen bestimmt werden,
diese
Pi
66
-
und
+
(88)
1
(87)
(TR P1
+
1)<
(89)
1
ist, lässt sich Ungleichung (88) vereinfachen.
Es
genügt somit, dass
LCe
ist,
damit p*
Zur
=
Pjq
und
unabhängig
Pj2« 1
von
(90)
L wird.
Bestimmung der Wurzelortskurve für komplexe Werte
von
p, und p, for¬
Gleichung (81).
mulieren wir die "Vietaschen Wurzelsätze" für
Sie lauten:
Te
+
+
Pl
LCqTe
TR+Tc
=
O"
(91)
2<7
2
2
+u)
+
LCqTe
{02*u2)Pl
LCqTe
Auf Grund
findet
analoger Rechnungen,
(92)
2p^a
wie sie in
(93)
Gleichung (64.. .67) durchgeführt wurden,
man:
[
+
Pl
LCe
+
TR Tc Pl
Gilt Ungleichung
gegenüber
(90),
so
kann in dieser
1 vernachlässigt werden.
u>2
1+Pl*LC£
=
TR Tc Pl
Gleichung p^
durch
Te
+
Tc
(94)
TR2Tc
Pj,Q ersetzt,
und p«
LC
67
-
Dies
m
-
ergibt:
O'WVV]
+ «J
aTD
R
T
<TR Tc P10>2
Tc p10
<95>
Solange
(96)
L«-
Ce
PlO
ist,
erhält
Achse
um
man
den
Kreis,
als Wurzelortskurve einen
dessen
Mittelpunkt auf der reellen
Betrag
(97)
TR Tc ?10
verschoben ist,
und der einen Radius
(98)
LR 1c p10
Analog
hat.
zu
den im letzten Abschnitt
angestellten Betrachtungen erhält
man aus
Gleichung (75) und (78)
ff,
CT
=
und
Aus
-CT
m
k
5%
r
m
Gleichung (91) folgt
(99)
p..
+
la
+
-*—
TR
Setzt
ff
,-07
man
ein,
in dieser
so
erhält
P10+
Gleichung die
man
T
aus
(97)
und
(98)
resultierenden Werte für
ov
und
die kritische Induktivität
.1
TR Tc
d
PlO
d+l|l-W(Te
+
Tc)
+
^TR
(100)
m
68
-
-
und die Induktivität
~R„
(101)
PlO
+
TR Tc PlO
mit
Te
PlO
Die
aus
+
TR
+
Tc
1
=
4TRTc
1
-
(Te
2TRTc
Gleichungen (103)
den
Fall b sind
nur
richtig,
(104)
und
+
TR
+
(82)
Tc)'
berechneten Induktivitätswerte für Bild
4,
wenn
1
L«
Pl02ce
ist.
r)
Die Wurzelortskurven der
Die charakteristische
Schaltung
Bild
4,
Fall
c
Gleichung dieser Schaltung folgt
Gleichung (28)
aus
und
Tabelle 1:
I^q(Te
Die für L
+
Tc)p3 (LCq
+
Tq
+
Te)p2
0 resultierenden Wurzeln
=
identisch und somit durch Gleichung
für L—» 0 und L
=
+
p*g
(Te
+
und
TR + Tc)p
p,Q
(82) gegeben.
1
Die Wurzeln
(102>
°
=
sind mit denen
werden wie die der behandelten
oo
+
von
von
Bild
4,
Fall b
Gleichung (102)
Schaltungen bestimmt.
Es ist
RnR0
Pl
=
PlO
=
und
P20
L —0
L—0
Aus dieser
P2
>
=
=
-1
*
.
m
L<Rq
L—0
e
+
D
v
(103)
Re'
Gleichung folgt
p30
Für L
P3
oo
=
-
(104)
oo
erhält man:
Pl
T
e
+
T
P2
c
=
P3
(105)
69
-
Zur
Bestimmung
ni
-
der Wurzelortskurve für
komplexe Werte
von
p2
und p„ for¬
mulieren wir die "Vietaschen Wurzelsätze".
Diese lauten:
LCq
TcTR
+
LCq(Te
Te
+
TR
+
+
Pl
Tc)
Tc
„2,2
„
er
+ o
+ ,2p..cr
=
LCq(Te
+
Tc)
+
Tc)
(
LCq(Te
Durch ähnliche
Ueberlegungen
(106)
2o"
+
wie sie in
ff2
(107)
"\
+
(108)
Gleichung (64... 67) gemacht wurden, findet
man
t2
1
+
Pl
1
^q
folgenden
Wurzel
Pjq
soll untersucht
ist
solange
eine
LCq
(109)
T(T
Lösung
+
cv
+
e
für welche Induktivitätswerte p«
werden,
LCq(Te
Pl
Tc TR Pl
TeTRPl
Im
+
von
T
c
=
)
p1Q
ist. Die
Gleichung (102) als
Tc)p103 LCqP1Q2«l
+
(110)
ist.
Durch Zusammenfassen erhält
LCqP102[(Te
Da nach
Gleichung (82)
und
die
Bedingung,
+
TC>Pl0
+
1]
«
1
(111)
(105)
(Te
ist, genügt
man
+
Tc)
Pl
+
1
< 1
(112)
dass
PlO2
LCq
«
1
(113)
in
sein muss,
so
70
-
damit
lässt sich
Pj
=
p1Q
und
unabhängig
to
Te
Näherung wieder ein Kreis.
+
Tc
Aus dieser Glei¬
die Grössen
(115)
TcTR01O
1
O
ff
=
*=**
5%
aus
am
"
(117)
ffr
(118)
a
m
a
und b ersichtlich ist.
lässt sich L bestimmen:
1
RqRe
VRe
(119)
p
1
i
2d*
i
TQ + T
e
dieser
c
e
den Berechnungen für den Fall
Gleichung (106)
(116)
T
T
Tc TR PlO
ffk
Bedeutung
TcTR PlO
1-
-
r
man in
(114)
-
(TcTR Pl0>2
m
Setzt
TcTR PlO
1
Die Wurzelortskurve ist somit in erster
Aus
Ungleichung (113) erfüllt,
Ist
L wird.
=
Tc TR p10
deren
von
Gleichung (109) vereinfachen:
+
chung folgen
-
Gleichung
a^
bzw.
er
5% ein,
so
c
erhält
man
für den Fall
c
die
kritische Induktivität
1
RQRe
(Rq Re)
+
p10+
—\
TcTRPlO
1
+
1-
TcTR2Pl02
T
+
e
T„
c
1
T
+
e
T
c
(120)
71
-
ni
-
die Induktivität
bzw.
RR
q
J5%
e
(121)
<V*e>
P10+-±
TcTRPlO
mit
Te
PlO
TR+Tc
+
1
(Te
2TRTc
Zusammenfassend kann
Schaltungen,
der
gesagt werden,
+
Tc
4TRTC
1
-
Te
+
TR
+
Tc)2
dass für die drei im Bild 4
dargestellten
prinzipielle Verlauf der Wurzelortskurven Bild 17 entnommen werden
kann.
Auf Grund der
K
Berechnung
als Funktion der
und L_m
dass im Fall
a
und
dieser Kurven
gelang die Bestimmung der Induktivität
übrigen Stosskreisgrössen,
unter der
Einschränkung,
c
L<<-
PlO^q
und im Fall b
L«
—
PlO^e
sei. Diese
Bedingungen
d) Bestimmung
oO
der
sind bei
Wurzeln,
gebauten Stossanlagen
die eine genormte
meistens erfüllt.
1, 2/50 Stosspannung ergeben
Drei reelle Wurzeln
Für die im Bild 4
Gleichung (29) gegeben.
muss
diese
dargestellten Stosskreise
Zur
ist die
bezogene Stosspannung
durch
Bestimmung der Wurzeln, die einen 1, 2/50 Stoss ergeben,
Gleichung folgendermassen umgeformt
werden:
in
-
Pi*
y2w
jî
=
^(Pj-P^-Pg)
Durch den Ausdruck in der
y,(t)
ist die
72
e
p2t
e
p3t
(122)
"
P2"P3
p3'p2
P1-P3
Pl"p2
eckigen Klammer
P2l
Pjt
-
.*
e
P2"p3
P3-P2
Prp3
Pl"P2
Stosspannungsform gegeben.
(123)
Wie auch Bild 16
zeigt, folgt
aus
dem Summanden
Pjt
L
x
der Rücken der
Stosspannung,
P9t
P2"P3
p3'p2
Prp3
pl_p2
vereinfachen,
(124)
e
während durch
Plt
der Stirnverlauf derselben
Stoss
=
(125)
festgelegt ist. Gleichung (125) lässt
da in diesem Fall die
V>1
«
P2
und
sich für den
1, 2/50
folgenden Ungleichungen gelten:
(126)
Pi « P3
Somit ist
P2l
P3l
P2_
P3
Berechnet
man aus
(127)
1-*
p2
dieser Gleichung den Kurvenverlauf für verschiedene
Wurzelwerte,
wobei deren Verhältnis
El
(128)
P2
konstant
mation
ist,
zur
so
resultieren ähnliche
Deckung gebracht
Oszillogramme,
werden können. Daraus
die durch eine Zeittransfor¬
folgt,
dass für jedes Verhältnis
73
-
c nur
1,
2
Wurzelpaar p,c und p,„ existiert, bei welchem
ein
^is
m
-
erhalten.
Um dieses
zu
finden, wählen
wir ein
wir eine Stirnzeit T
beliebiges pi
von
und bestimmen
pA so, dass
?2
Durch Einsetzen dieser beiden Werte in
ist.
konstruieren,
Ts
beträgt.
Die
s
multipliziert,
s
1,2
Ts
=
so
lauten:
H
P2
Setzt
man
p,., und p,
Gleichung (122) ein,
Vernachlässigungen
der
Wurzeln,
unter
=
erhält
man
eine
nicht genau den
Gleichung (49a) gegebenen Wert
Stoss
ergeben wird.
der Konstanz
von
p< in
die wegen den verschiedenen
Stosspannung,
1, 2/50
Berücksichtigung
(129)
p3c
—
und den durch die
so
dass
us
gesuchten Wurzelwerte p2„ und p,
p2c
sich eine Kurve
entnehmen können.
der wir eine Stirnzeit T'
Diese wird mit dem Faktor
Gleichung (127) lässt
Man
muss
die Grösse
von
P2c
noch etwas
ändern,
bis das resultierende
Oszillogramm
mit der normierten Stoss-
spannung übereinstimmt.
Nach diesem Verfahren wurden die Wurzeln p.,
wurzel)
und
c
=
5 berechnet. Die Resultate sind
Tabelle
c
Die
i
[']
p2
[']
P3
aus
p,.. und p,
für
c
1
(Doppel¬
4
M
Bezeichnung der resul¬
tierenden Stosspannung
1
-1,455
104
-3,610
106
-3,610
106
Stoss
5
-1,460
104
-2,
520
106
-12,60
106
Stoss f
aus
=
Tabelle 4 ersichtlich.
e
"
diesen Werten resultierenden Stosspannungen sollen als "Stoss e" und "Stoss f
bezeichnet werden.
Sie sind im Bild 18 und 19
dargestellt.
in
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bezogenen 1, 2/50 Stosspannung.
(Stoss e)
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Bild 19
OsziUogramm
einer
bezogenen 1, 2/50 Stosspannung.
:
Sx
'
i
1
(Stoss f)
75
-
/3)
Eine reelle und zwei
Sind bei der
1, 2/50
einen
wie früher
komplexe Wurzeln
Bestimmung der drei Wurzeln,
Stoss
deren zwei
ergeben,
abgeleitet
rechnungen
wurde
Es
die in
komplex,
Gleichung (47).
aus
Gleichung (29) eingesetzt
folgt die Stosspannungsform
so
Diese lässt
sich, analog
zu
den Be¬
da
Wurzeln, vereinfachen,
mit drei reellen
p1
ist.
m
-
(130)
« a
folgt
y2(t)«ePl
l|l+
-
e^cosfoot-f)
—
CO2
(131)
Durch den zweiten Summanden
111
y*=»-
ist in erster
und to
ff.
,
+
e0"1
—
"
cos(u>t-co)
(132)
co2
Näherung die Stirn des Stosses festgelegt. Zur Bestimmung der Werte
die eine Stirnzeit
1,
von
2
us
ergeben,
muss
diesmal das Verhältnis
ai
(133)
CO
konstant
gewählt
ähnliche
Kurvenverläufe,
werden. Werte
von
er undcj
bracht werden können. Es existiert somit für
das in
Cjc,
Gleichung (132) eingesetzt eine
wie schon
dies,
die diese
,
angegeben wurde,
c
ziert,
durch die
s
=
Tg
=
1,
2
=
konstant
Stirnzeit
von
1,
nur
2
us
us
ist. Die
=
—
es
jco
,
ergibt.
gesuchten
Grössen
ge¬
und
a
Man findet
beliebiges f' und
wird mit einem Faktor
CJ
Oc
und
multipli¬
s
coc
sind
=
^-
(134)
in
Gleichung (47) eingesetzt nicht genau einen 1,
Wurzeln kann leicht
so
'
x
es
Wegen den verschiedenen Vernachlässigungen ergeben p>, p,
tt,
Deckung
zur
Wertepaar
folgenden Beziehungen gegeben:
CT
-
ein
indem der Stirnverlauf für ein
to' bestimmt wird. Das daraus resultierende T*
sodass T'
Bedingung erfüllen, geben
die wieder durch eine Zeittransformation
=
2/50
G
+
jco
und p,
=
Stoss. Der Wert der
korrigiert werden, dass der Normstoss resultiert.
in
-
In der im Bild 15
(133) genügen,
76
-
dargestellten p-Ebene liegen die Wurzeln,
auf Geraden durch den
Nullpunkt. Der Winkel
positiven jw-Achse einschliessen, hängt
tg-+
von c
(135)
Ul
45°
-1,345
50°
-1,380
55°
-1,407
60°
-1,433
70°
-1,451
104
104
104
104
104
106
-2,058
106
106
325
-2,
581
-3,156
dargestellt.
106
106
durch die
stellt.
Beträgt
Nach
1,629 106
1, 490 106
1,149 106
dass das
zunimmt.
das erste
Zeit t<
+
T)
Ueberschwingen (zur
ein
c
"
d
"
Ueberschwingen
Ueberschwingen
Zeit
von
g
im Bild 20.. .24
o< der
Stosspannung
In diesem ist der
t«)
d\
%,
so
haben wir eine
e*3%.
Gleichung (132) ist
(t
=
tx)
1
[
+
W
a(t1+T)
2
y
b
"
Stosspannungen sind
a
Zwischen den beiden Grössen <rt und "i>
aU
und
11
Gleichung (132) angenähert gegebene Stirnverlauf der Stosspannung darge¬
später (zur
y
Stoss
den wir aus Bild 25 ableiten wollen.
Zusammenhang,
besteht ein
Stoss
Bezeichnung der resultie¬
Stosspannung
727
1,
106
106
folgt,
mit kleiner werdendem Winkel ^
1, 2/50
renden
1,771
Die fünf aus dieser Tabelle resultierenden
Aus diesen Bildern
die einen
5
«[.-]
-1,771
-2,
ermittelt,
Tabelle 5.
aus
«[']
k1]
pi
Gleichung
er
=
Tabelle
+
,
die der
den diese mit der
ab. Nach Bild 17 ist:
Für verschiedene Winkel •+ wurden die Wurzeln
ergeben. Die Resultate folgen
-4»
(t
=
4
+
t)
Die Division dieser beiden
1
+
e
co2
Gleichungen ergibt:
wtl
-<p]
cosfcjf.tj+T)- cp]
Periode,
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Bild 23
Oszillogramm
einer
bezogenen 1, 2/50 Stosspannung.
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(Stoss c)
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bezogenen 1, 2/50 Stosspannung.
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Oszillogramm
(Stoss d)
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Bild 24
Oszillogramm
einer
bezogenen 1, 2/50 Stosspannung.
(Stoss g)
y*
f,
ta]
t,+T
Bild 25
Angenäherter Stirnverlauf
rt
=
Prozentuales
einer Stosspannung
Ueberschwingen
der
"
1
Stosspannung
...T-
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L-
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•
-SO-
in
yft
=
tt)
-crT
y(t
Daraus
=
<rt
(136)
t1+T)
<A
folgt:
-IT
Aus
2-ir
-ff
e
=
Gleichung (135) und (137) erhält
berschwingen
und dem Winkel +
=
die
man
Gleichung (138) ein,
so
erhält
lnc<
als
grösser
(138)
5%
sein. Setzt
^k
0,954
Gerade,
einschliesst, eingezeichnet.
zwischen dem Ue-
man
diesen Wert in
man
tg *,
Im Bild 25 wurde die
gesuchte Beziehung
:
tgi)/
Nach IEC -Normen darf «X nicht
(137)
lnd
Man
die mit der
diese
spiegelt
imaginären
an
=
43°
(139)
38'
Achse den Winkel
•4'k
der reellen Achse und erhält zwi¬
schen den Geraden den im Bild 26 schraffierten Raum. In diesem dürfen die Wurzeln
der charakteristischen
resultierende
Eine ähnliche
die Wurzeln
Gleichung
Stosspannung
von
ein
von
Dreispeicherstosskreisen liegen, ohne dass die
unzulässiges Ueberschwingen
aufweist.
Trennung der p-Ebene in ein erlaubtes und verbotenes Gebiet für
Stosskreisen wurde in
'
angegeben.
Bild 26
Trennung der p-Ebene
in ein erlaubtes und ein verbotenes Gebiet
^k
43°
38'
Liegen die Wurzeln im schraffierten Teil der Ebene,
schwingen der Stosspannung kleiner als 5%.
so
ist das Ueber¬
81
-
e)
Grafische Bestimmung des Zusammenhanges zwischen den Werten
R_, C_, R , C und L, die einen 1, 2/50 Stoss ergeben
grafischem Weg
dass eine
Die
ein Verfahren beschrieben
folgenden
Es soll im
auf
die Werte der
1, 2/50 Stosspannung
zu
Die
Stosskreisgrössen
Der
bestimmt werden
Darstellung benötigten Gleichungen sollen für
dieser
können,
die im Bild 4 auf¬
werden.
a
Zusammenhang zwischen der Stosspannungsform und den Stosskreisgrössen
die,
aus
den Gleichungen
(58.. .60) folgenden
"Vietaschen Wurzelsätze" ge¬
Diese lauten:
LCq
+
RqCqReCe
px
LCqReCe
RqCq
+
ReCe
ReCQ
+
=
LC„ R C
q
p2
+
+
(140)
p3
P2P3
+
(141)
plp3
(142)
Vi P2 P3
e
e
Nach Abschnitt
d) sind,
durch die Wahl der
berschwingens, die
+
PlP2
LCqReCe
Stösse,
so
vermittelst welchem
Berechnung der Gleichungen für die Schaltung Bild 4, Fall
ist durch
geben.
werden,
resultiert.
geführten Schaltungen bestimmt
ck)
ni
-
bei der
Stosspannungsform,
Wurzeln p.,
18... 24 sind eine Reihe der
rigen Wurzeln ersichtlich.
Beschränkung der Untersuchungen auf 1, 2/50
p, und p,
z.
B. auf Grund der Grösse des Ue-
eindeutig festgelegt. Aus den Bildern
möglichen 1, 2/50 Stosspannungsformen
Da in den
mit den
zugehö¬
folgenden Betrachtungen die Form der Stosskönnen wir in den Berech¬
spannung angenommen oder aber bestimmt werden
soll,
nungen die drei Wurzeln als Unbekannte auffassen.
Somit enthalten die drei Glei¬
chungen (140... 142) sechs voneinander unabhängige
die
Stosspannungsform,
Grössen: R , C , R, C , L und
6
e
q
q
die mit k* bezeichnet werden soll. Durch die Annahme von
drei Grössen lassen sich daher die
übrigen berechnen,
was
aber unter Umständen
in
-
82
kompliziert sein kann. Deshalb versuchen
grafisch
zu
-
wir die unbekannten
Stosskreisgrössen
ermitteln.
Aus den
Gleichungen (140... 142) folgen Beziehungen zwischen vier unabhängi¬
gen Grössen. In der Ebene kann
je
darstellen,
indem
Parameter
berücksichtigt.
man
man
jedoch
nur
Gleichungen
eine auf den Koordinatenachsen
mit drei Unbekannten
aufträgt und die dritte
als
Durch das Einführen der Zeitkonstanten
RqCq' ReCe' ReCq' LRq
und der
Kreisfrequenz
ableiten,
nation
die
L
von
grafisch
man
aus
VLC
'
Gleichung (140.. .142) Beziehungen
lassen sich aus
,
darstellen kann. Eine erste erhält
Gleichung (140)
und
(142)
bei
gleichzeitigem
pi+ ?2+ Ps+
R C
Diese
Gleichung
C
spannungsformen,
den Stoss a,
£-2-
berechnet,
Kurven
auf denen die
e
und f
ReC-
:
(143)
dargestellt.
RßC abgetragen.
d,
Auflösen nach R C
pl p2 p3
ist im Quadranten I des Bildes 27
und auf der Ordinate
durch die Elimi¬
~^r
=
(ReCe>
wurde R
man
(siehe
und RC
Auf der Abszisse
Für vier verschiedene Stoss-
Bild
20, 23,
18 und
19)
wurden die
-Wertepaare liegen müssen, damit
die angenommene Stossform resultiert.
Kurve
gibt den Zusammenhang zwischen
a
(siehe
Kurve f
gibt
Tabelle
den
(siehe
5,
Seite
von
e
Zusammenhang zwischen R„C
Tabelle
4,
Seite
und RnC
q
q
für den Stoss a
und R C
für den Stoss f
73).
dargestellte Gleichung erhält
man
durch das Um¬
(140):
1
R
=
L
In diesem
e
76).
Die im Quadranten n des Bildes 27
formen
R_C
Diagramm wurde wieder
R~C~
e
+
Pl+P2
+
P3
(144)
e
als Parameter die
Stosspannungsform gewählt
auf den Koordinatenachsen
R
—3L
und
R„C
abgetragen.
und
Bild 28
Wie Bild 27.
t)
1)
T)
T)
T)
T)
T)
Grafische
Darstellung weiterer Beziehungen zwischen den Stosskreisgrössen und den 1, 2/50 Stosspannungen
"T|
Ausnutzungsgrad der Stossanlage
=
c
=
Ausnutzungsgrad der Stossanlage fur den "Stoss a"
=
1,008
i)
*
=
Ausnutzungsgrad
*
=
1,015 T)
*
=
Ausnutzungsgrad fur
*
=
1,
020
T)
*
=
Ausnutzungsgrad fur den "Stoss d"
=
1,024 T|
*
=
Ausnutzungsgrad
fur den "Stoss e"
1,025 T]
*
=
Ausnutzungsgrad
"
fur den "Stoss f
*
*
*
*
=
=
für den "Stoss b"
den "Stoss c"
Leer
-
Vide
-
Empty
^^^&
1S»20
25^o50lMOiL,
Bild 27
Grafische
Darstellung des Zusammenhangs zwischen den Stosskreisgrössen
Schaltung Bild 4, Fall a, fur die in den Bildern 18... 23
dargestellten 1, 2/50 Stosspannungen
der
Kurven a.. .f
ergeben den Zusammenhang zwischen
die "Stösse
a.
..f"
den
Stosskreisgrössen fur
Leer
-
Vide
-
Empty
87
-
folgt der Zusammenhang zwischen den Zeit¬
Aus den Quadranten IH und IV
konstanten LR
und
und den
RgC
durch die Elimination
R C
durch
Gleichung (143)
P]l
-
ReC
R C
=
von
+
L
Gleichung (141)
aus
+
ReCe
plp2
2-Ê-
+
Gleichung folgt
aus
LC
+
Stosskreisgrössen
Wie schon
1, 2/50
C
,
bekannten
stellt,
kf,
an
der
die
An einem
:
p2p3
+
U
plp3
(145)
LI
(146)
=
q
(ReCe)pl
p2 p3
Zusammenhang zwischen den kombi¬
und den Grössen R
und R.C
LC
q
sind bei einem
durch die Wahl
soll,
e
e
q
,
und L
C
4
Dreispeicherstosskreis,
von
gegeben.
der einen
drei der sechs Grössen R
C
,
,
R
,
übrigen eindeutig festgelegt. Um die grafische Ermittlung der Un¬
entnehmen
bestimmen lassen
von
plp2P3
Hand der Bilder 27 und 28
man
Die erste erhält
das Ersetzen
(142)
gezeigt wurde,
Stoss erzeugen
L und
+
-Li
Durch die andere Halbebene des Bildes ist der
nierten
.
+
p3
(ReCe)plP2P3
Die zweite
und C
(142),
und
und das Auflösen nach R C
p2
R
Stosskreisgrössen L,
Gleichungen grafisch dargestellt.
Im Bild 28 sind zwei weitere
man
ni
-
kann,
zu
wurde eine Tabelle
erleichtern,
aufge¬
mit welchem Bild sich die drei fehlenden Grössen
(siehe Tabelle 6,
101).
Seite
Beispiel soll das Vorgehen beim Berechnen der Stosskreisgrössen
anschaulicher erläutert werden.
Von einer
Stossanlage,
kreis zurückführen
spannungsform
k.
lassen,
Stosskapazitat
C
,
L
k{
=
0,125
folgt
und erhält:
a
dargestellten
Ersatz¬
=
6,32
=
Stoss
uF
(147)
uH
a
(siehe
Bild
Nach Tabelle 6 lassen sich mit Bild 28 weitere
man
Fall
die Induktivität L und die Stoss-
gegeben:
Cq
Dazu
4,
die sich auf den im Bild
sei die
in diesem Bild in
Pfeilrichtung
den
20)
Stosskreisgrössen bestimmen.
gestrichelt gezeichneten Linien,
m
ReCe
ReCq
R0
Aus
15,0 ps
=
=
(148)
57,15 ps
=
457.TÏ
Gleichung (148) folgt:
C
Die letzte Unbekannte R
Rechteck
von
der RC
=
0,0388
uF
kann Bild 27 entnommen
-Achse
ausgehend
im
werden, indem
Gegenuhrzeigersinn
man
das gestrichelte
durchlauft.
Man
er¬
hält:
R
Als
Kontrolle,
ob
aus
im
rende
setzen
wir
Bild 29 und
Gleichung (147)
voraus¬
den entsprechenden Modellstosskreis auf
Kapitel II beschriebenen Steckbrett
Stosspannung (siehe
on
diesen Stosskreisdaten die durch
gesetzte Spannungsform folgt,
dem
22,
=
fotografieren
und
zusammen
die resultie¬
30).
Bild 29
Am Modell ermitteltes
einer
Oszillogramm
1, 2/50 Stosspannung
Tg
=
Stirnzeit
Bild 30
Gleiche Kurve
einem
T
In den
tragen, da
Oszillogrammen wurde
wir
weggelassen haben.
Umrechnung
Ein
Bild
29,
aber mit
Ruckenhalbwertszeit
der Zeitmasstab des
der Einfachheit halber die
Rucktransformation
=
wie im
anderen Zeitmasstab
Vergleich
Originalstosskreises einge¬
auf
Modellgrössen
vom
und deren
Bild 20 und 29
zeigt
eine
89
-
in
-
gute Uebereinstimmung der Stosspannungsverläufe. Dem Bild 30 kann
Rückenhalbwertszeit
im Bild 27 und 28
50
von
entnehmen. Somit ist der Beweis
us
man
eine
erbracht,
dass die
dargestellten Kurven richtig berechnet wurden, und dass diesen
Diagrammen der Zusammenhang zwischen den Stosskreisgrössen und der Stosspannungsform
ß)
entnommen werden kann.
Die
Bildern 31 und 32
Berechnung der in den
Schaltung Bild 4, Fall b
Durch ähnliche
Ueberlegungen
wie sie für den Fall
für den Fall b die in den Bildern 31 und 32
Zusammenhang
zwischen den
dargestellten Gleichungen für die
gemacht wurden, folgen
a
dargestellten Diagramme, denen
Stosskreisgrössen,
die einen
entnehmen kann. Die "Vietaschen Wurzelsätze" erhält
1, 2/50
man aus
Stoss
den
man
ergeben,
Gleichung (91.. .93).
Sie lauten:
LC»
-
+
-^
R„C„
6
q
•
R„C
q
6
=
LCeReCq
RPCP + ReCn +
?r H
RnC»
q
•
e
Die Elimination von L
aus
P2
Plp2
=
LCe'KeCq
LC
+
P1
+
+
(149)
P3*
P2P3
+
(15°)
PlP3
(151)
px P2 p3
R0C„
e
q
Gleichung (149)
und
(151)
und das Auflösen nach R C
ergibt:
1
px
RQC.
Ebenso eliminieren wir L
und lösen nach
ReCe
auf:
+
p2
+
p3
+
R C
2_3_
=
aus
(152)
ReCq'PrP2-p3
Gleichung (150) und (151), ersetzen R_C
durch
(152)
m
90
-
Pl
-«c
Recq
9
=
Durch das Umformen
von
+
+
p2
p3
-
+
^L-
+
WW^3
+
ReVPlP2p3
(153)
P1P2P3
Gleichung (152) erhält
man:
1
Pl
R C
+
p2
+
+
p3
£-3-
=
(152a)
ReCe-PlP2P3
Setzt
man
R„C
aus
Gleichung (153) ein,
pl
Vq
ReCq,plP2p3
Aus
+
p3
<Pl+P2+p3+
~
e
P2
+
ergibt das:
-^T
r3
1
+
+
so
q
—
e
>
(154)
+
P1P2+P2P3+P1P3
q
Gleichung (151) folgt
LC
=
—î
=
^C„
LCe
(155)
ReCq-plP2P3
i
=
(156)
ReCe-plp2p3
Ersetzt
so
man
resultiert
LCq
in der letzten
Gleichung R„C
durch den in
(153) gegebenen Ausdruck,
folgende Beziehung:
î
=
ReCq-plp2p3
+
~^T
ReCq
<pl+p2+p3+
(157)
^V>
ReCq
+
plp2
+
P2P3
Folgende Gleichungen wurden grafisch dargestellt:
Im Quadranten I des Bildes 31
im Quadranten II des Bildes 31
im
im
Quadranten I des Bildes 32
Quadranten II des Bildes 32
Gleichung
Gleichung
Gleichung
Gleichung
(154),
(157),
(153) und
(155).
+
P3P1
Bild 31
Grafische
Darstellung des Zusammenhanges zwischen den Stosskreisgrössen
Schaltung Bild 4, Fall b, fur die in den Bildern 18... 23
dargestellten 1, 2/50 Stosspannungen
der
Kurven
a..
.f
ergeben den Zusammenhang zwischen den Stosskreisgrössen fur die
"Stösse a...f"
ij
=
cx-
7)
*
=
Ausnutzungsgrad
der
Stossanlage (siehe Erklärung
Bild
28)
Leer
-
Vide
-
Empty
RLI-14_F
L
Bild 32
Wie Bild 31.
Grafische Darstellung weiterer
Beziehungen zwischen
Stosskreisgrossen und den 1, 2/50 Stosspannungen
den
Rq
Leer
-
Vide
-
Empty
-
r)
Die
in
-
Bildern 33 und 34
Berechnung der in den
Schaltung Bild 4, Fall c
Für diesen Fall
95
dargestellten Gleichungen für die
folgen die "Vietaschen Wurzelsätze"
aus
Gleichung (106—108):
LC„ +R„C„-R„Ce
3
6
q
q
6
-
e
qv
ReCe
ReCa
+
-5-5
LCq(ReCe
S_£
qx
C
e
e
e
q
1T7r
^3
+
p2p3
+
PlP2P3
und
In
+
ReC q
Gleichung (161)
RqCe
RqCe)
+ PoP^i
J-L_2J
+
P2
+
(159)
und
(160) ergibt:
<161)
P3
PiP-?
(162)
LI
Pl P2 P3
ersetzen wir
+
Pt
=
—
P2
-
ReCq' Pl
man
+
(R„C
+
R C
)
durch
Gleichung (162)
und lösen nach
1
Pt
=
ReCq(PlP2
P2 P3
diesen Wert für RnC
q
-R c
=
+
bzw.
auf:
RüCe
Setzt
+
(160)
Pl
=
P1P0
-(ReCe
bzw.
(159)
Plp3
(160)
Gleichung (158)
WRqCe
+
Rqce
+
(158)
P,
P1 P2 P3
)
Die Elimination von L aus
e~e
Plp2
=
RqCe)
LCJRC, + R
"•"
v2
RQCe
+
5_2
+
-•
P1+Po
e'
q
e
+
VX
-
)
(R C +R C
LC
66
=
R C
eQ
+
in
e
Pl+P2+P3
.
ReCq"Plp2p3
+
P2P3
+
»l^
Gleichung (162) ein,
+
so
»e^^Ws
erhält
(163)
man:
l
ReCq(plp2+p2p3+plp3)+(ReCq)2plp2p3
+
P1P2+P2P3+P1P3
pl p2 p3
(164)
m
96
-
Aus
Gleichung
-
163 folgt:
Pl+P2+P3
q
PlP2+P2P3+PlP3+ReCqPlP2P3
PlP2P3
-R.
Q
R c
6
,
PlP2+P2P3+PlP3
q
1
'p1+p2+p3
ReCq
Pl p2 P3
,
Pl P2 P3
1
PlP2+P2p3+Plp3+ReCq Plp2p3
(165)
Die Elimination
von
LC
(RgC
=
+
RQCe)
Beziehung
+
p2p3
lässt sich
LC
+
man
in dieser
RC
e
LC
q
|
(162) ergibt:
aus
(166)
plp3
RQC
aus
plP2p3
+
(167)
ReCq)
Gleichung (165) ein,
1
PlP2+P2p3+PlP3
|
Pl P2 P3
ReCq
i
=
Gleichung
=
+
Gleichung (160) ableiten:
PlP2P3(RqCq
Setzt
und
i
+
PlP2
Eine weitere
Gleichung (160)
aus
ReCq
erhält
PiP2+P2P3+Plp3+ReCq- Plp2p3
Pj P2 P3
+
P2P3
man:
l
Pl+P2+P3
(ReCq)2 plp2p3 ReCq(plP2
+
so
+
.
P1P3)
(168)
Vier der berechneten
Gleichungen wurden
in den Bildern 33 und 34
stellt. Es sind dies:
im
Quadranten I
im
Quadranten II des Bildes 33 die Gleichung (166),
im
Quadranten I
im
Quadranten II des Bildes 34 die Gleichung (168).
des Bildes 33 die
des Bildes 34 die
Gleichung (165),
Gleichung (164)
und
grafisch darge¬
ir
m
2D
25
anno
as
Bild 33
Grafische Darstellung des Zusammenhanges zwischen den
Stosskreisgrössen
der Schaltung Bild 4, Fall c, fur die in den Bildern 18... 23 dar¬
gestellten
Kurven
a...
f
ergeben
den
1,2/50 Stosspannungen
Zusammenhang
zwischen den
Stosskreisgrössen fur
"Stössea. ..f"
1
=
c
•
t\
*
=
50
H&l
ç,w
Ausnutzungsgrad der Stossanlage (siehe Erklärung Bild 28)
die
Leer
-
Vide
-
Empty
7
6
5
4
3
|LÄ
2
1
100 20& 300 406 560 600 TOO 600 900
Re[û]
W
Bild 34
Wie Bild 33.
Grafische Darstellung weiterer Beziehungen zwischen
Stosskreisgrössen und den 1, 2/50 Sto s Spannungen
den
Leer
-
Vide
-
Empty
101
-
ni
-
6) Zusammenfassung
Für die im Bild 4
dargestellten Schaltungen, sind
aus
und den "Stössen
sich die
übrigen
Die
von
Hand der
an
folgende
binationen
.f" ersichtlich.
a..
Bei der Wahl
von
27, 28
den Bildern
31. ..34 die Zusammenhänge zwischen den Stosskreisgrössen
(R
,
<J
R
,
,
drei
Diagramme bestimmen.
gegebenen Stosskreisgrössen erleichtern.
6
Gesuchte
Bestimmung de r gesuchten G rossen mit
Grössen
Grössen
Hilfe
von
Bild
.
Fallb
Fall
28
31
33
kf
28
32
34
Ce
kf
28
31
33
Cq
Ce
28
32
34
31
33
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Fall
L
Cq
kf
Rq
Re
Ce
L
Re
ce
Rq
Cq
L
Re
Cq
Rq
L
Re
kf
Rq
a
L
Rq
Cq
Re
Ce
kf
27
L
Rq
h
Cq
Re
Ce
27
31
33
L
Ce
Cq
Rq
Re
kf
28**
32**
34**
L
Re
Rq
Cq
Ce
kf
31
33
L
Ce
4
Rq
Cq
Re
32
34
Re
Rq
Ce
Cq
L
kf
Rq
Cq
Ce
L
kf
-
-
31
-
27
u.
28*
u.
32
33
31
33
31
33
Re
Rq
•4
Cq
Ce
L
Re
Ce
Cq
Rq
L
kf
28
32
34
Re
Ce
kf
Rq
Cq
L
28
32
34
Rq
Cq
Ce
Re
L
kf
27
Rq
Cq
kf
Re
Ce
L
27
31
33
ce
Cq
kf
Rq
Re
L
28**
32
34
**
Es ist
—
1
L)
drei dieser Grössen lassen
Gegebene
Re
und
,
Tabelle soll das Auffinden der Unbekannten für verschiedene Kom¬
Tabelle
*
C
ReCq und RqCq gegeben
ergibt Gerade
im
Quadranten I
-
u.
28**
31
u.
32
33
c
u.
34
u.
34
in
102
-
f)
Die Bestimmung des
-
Ausnutzungsgrades t\ der drei
im Bild 4
darge¬
stellten Stosskreise
Der
Ausnutzungsgrad r\
einer
Stossanlage
1]
=
ist
folgendermassen definiert:
-i
(169)
Uq
u2
U
=
Scheitelwert der Stosspannung
=
Ladespannung des Stosskreises
Für die
Schaltung Bild 4, Fall a, folgt nach Gleichung (12, 122 und 123)
T\
Setzt
man
dass beim
tigt,
in dieser
1, 2/50
Gleichung K«
so
erhält
und
pj«
(Seite 43)
ein und berücksich¬
p3
man:
^ic^
Nach
Tabelle 1
Stoss
px« p2
ist,
aus
(170)
y2(t)
K1(p1-p2)(p1-P3)
Gleichung (142)
("«
y2w
ist
"
=
-
LCeP2P3
Aus den letzten beiden
Re
Ca
q
Pl
<172>
Gleichungen folgt:
1
*-ReCqPl
?2
<173>
103
-
in
-
Auf ähnliche Weise lassen sich für die Fälle b und
stimmen.
Die
Berechnungen zeigen,
dass
c
die
tj auch bei diesen
Ausnutzungsgrade be¬
Schaltungen
durch Glei¬
chung (173) gegeben ist.
Für die in den Bildern 18... 23
y2
feste
der
die den
Ausnutzungsgrad
EC..
e
Werte,
Der
h
dargestellten Stosspannungsformen sind pj und
Legenden der Bilder
bei einer
Somit wird
entnommen werden können.
festgewählten Stosspannungsform proportional
Proportionalitätsfaktor
ist für die Stösse
Tabelle
I-"1]
.f
a..
7
[s_1]
y>)
il~-Pl-y>)
104
1,021
1,
373
104
[s_1]
ReCq
-1,380
104
1,003
1,
384
104
;
ReCq
c
-1,407
104
0,990
1,393
104
!
Stoss d
-1,433
104
0,977
1,400
104
1
ReCq
Stoss
-1,455
104
0,966
1,406
104
!
-1,460
1,407
104[s-1]
ReCq
104
Stossform
Pi
Stoss
a
-1,345
Stoss b
Stoss
e
Stoss f
Der
'
0,964
Ausnutzungsgrad des "Stosses a" soll
zu
Tabelle 7 ersichtlich,
aus
mit
*
t\
'
ReCq
RC„
e
q
ReCq
=
t\
*
=
cbT]
*
=
c„7i*
c
=
=
=
cdT]*
cen*
cfi|*
bezeichnet werden. Nach
Tabelle 7 ist
11*
l,373
=
104[s"1]ReCq
(174)
Die Ausnutzungsgrade der "Stösse b.. .f" lassen sich durch die
von
T)
*
mit den Faktoren
cb..
=
D
cc
=
1,015
Auf Grund
nutzungsgrad
von
cd
.
c,
Multiplikation
berechnen.
1,384
=
(175)
1Q08
1,373
=
1,020
Gleichung (174)
kann
cg
aus
=
1,024
c{
=
1,025
den Bildern 28 und 31.. .34 der Aus¬
der untersuchten Dreispeicherstosskreise
herausgelesen werden,
da
m
-
sich deren RC
stimmten
Ausnutzungsgrad
Wert
von
ij*
nur
gültig,
wenn
einer anderen Stossform
mit einem Faktor
-
r\ *-Achsen ersetzen lassen. Die auf diese Art be¬
-Achsen durch
f\ *-Werte sind
104
("Stoss
b..
.f") ermitteln,
multipliziert werden. Nach Tabelle
für den Stoss
il"
a:
für den Stoss b:
für den Stoss f:
c,
V
man
den
so muss
der
Will
der "Stoss a" resultiert.
7
gilt
-
105
-
Kapitel IV
DIE
ZULEITUNG
"VERTEILTE"
IM
1.
In einer Stossanlage wird die
ler gemessen. Dieser kann
(MHz)
an
den
kleine
so
Spannung
zu
Prüfobjekt
am
gebaut werden, dass
werden
Zuleitung verbunden. Diese bewirkt
der
STOSSKREIS
UND
Einleitung
Uebersetzungsfehler aufweist
Prüfling angeschlossen
IM
STOSSKREISMODELL
5)
kann,
.
mit einem
Da der Teiler
ist
er
eine mit der
Spannungstei¬
sogar für hohe Frequenzen
er
jedoch nicht unmittelbar
mit diesem durch eine "verteilte"
Länge zunehmende Verfälschung
messenden Spannung.
In den
folgenden Kapiteln soll
für eine
die
gegebenen Eingangsspannungen u..,
Leitung (siehe Bild la) bei verschiedenen,
Spannung
u, am Ende derselben berechnet
werden.
o
>
>
'
o
V
o
o
X
*
—
*4
l
>
*
Bild la
Schematische
Uj
=
Eingangsspannung
u,
=
Ausgangsspannung
=
Eingangsstrom
=
Ausgangsstrom
i,
ig
In Bild lb ist die
Darstellung einer Leitung
Leitung
als
von
Vierpol dargestellt.
der
Länge
1
IV
106
-
-
>
o
>
U,
?
U.
Aj,D] ,L] ,U]
Bild lb
Leitung in Vierpoldarstellung
Die
Es
ij
Daraus
Äl
=
Cj
=
"
•
"2
+
Sl
u2
+
Dj
folgt für die Spannung
'
"l
wobei
Y2
—
Ai
Nach
aus
aus
i2
(2)
Bt
•
r-
(3)
Y2
(4)
sei.
lässt sich die
Uebertragungsfunktion G (p) dieser
Ausgangsspannung
u,
zur
Lei¬
laplacierten Ein¬
Ï* des Vierpoles berechnen.
=
-1
"1
folgt
(1)
=
+
dem Verhältnis der laplacierten
Ga(p)
Somit
•
h
=
Gleichung (HI/10)
gangsspannung
'
Uo:
Belastungsadmittanz dieses Vierpols
tung
Vierpolkonstanten
gelten somit die Vierpolgleichungen
ul
die
undDl:
ÜJ
Ä7, BT,
Gleichung (3):
(5)
107
-
(6)
Ga(p)
Fur die
haltnis
inverse
u
des
Al
Uebertragungsfunktion
(p)
und das
komplexe Uebersetzungsver-
(7)
Ga(P)
Berechnung des Uebertragungsfehlers
berücksichtigen,
eine
Leitung verbunden sind. In Serie
der
Dampfung
zu
Schwingungen dient,
Prüf Objekt
vom
dass diese beiden Teile der
man
zur
H
Bl
+
Vierpols gilt:
HQ(p)
Bei der
IV
-
Messteiler
zum
muss
Stossanlagen nicht direkt durch
dieser ist
em
die zwischen der
Widerstand
geschaltet,
Leitungsinduktivitat
der
und der
Teilerkapazitat auftreten können.
Leitung
(siehe
der
Bild
und Widerstand betrachten
2).
Im
folgenden
soll deren
als
wir
Serieschaltung
zweier
Vierpole
Gesamtubertragungsfunktion G(p)
als Funktion
Vierpolkonstanten berechnet werden.
'3
0
>
Ä^.q.D,
>
A232.C2.D2
0
0
J
0
0
Bild 2
Kaskadenschaltung
a
=
b
=
Leitungsvierpol
u«A«
=
Eingangsgrossen
u,/i,
=
Ausgangsgrossen
und
Vierpolgleichungen der
~1
Vierpole
Dampfungsvierpol
Aj, Bg, Cg
Die
zweier
=
Ci'
T>2
im
'•
Vierpolkonstanten des Dampfungsgliedes
Bild 2
"2+5l '~2
angegebenen Schaltung lauten:
(8)
<b)
IV
108
-
u2
A2
=
-
J2
(p)
Es sei G
folgt
die
Gleichung (6)
aus
*
Uebertragungsfunktion
für
i
+
""
41
»3
Analog
wie
Ga(p)
findet
"uj
=
(Aj A2
Laplacierung
"3
ZT
=
G(P)
von
Gb(p)
die des zweiten.
+
(10)
-
-
A2+B2Y3
des zweiten Vierpols sei.
aus
Gleichung (9)
1
=
A2
+
S2
(11)
Y3
•
zwei in Serie
(Aj B2
+
Bj
in
geschalteten Vierpole
Gleichung (8a)
D2)T3
lässt
berechnen:
(12)
Gleichung (12) ergibt für:
1
=
^^Z
^T^
=-=
(Aj A2
uj
Durch
Vierpols,
Gleichungssystem (9) gegeben ist,
P2 73
Gleichungssystems (9)
Bj C2) u3
+
+
-
Dl
Gesamtübertragungsfunktion G(p) dieser
sich durch Einsetzen des
Die
B,
Gj^P)
man
Gb(p)
Die
W
(b)
*3
'
=
C2
Belastungsadmittanz
die
ïï3
D2
des ersten
=
A,
=
+
(a)
H
~
-
u3
a
Y,
*
Ga(p):
Ga(p)
wenn
B2
dass Y, durch das
Berücksichtigung,
Unter
+
~
C2
=
u3
'
-
+
Bj C2)
+
(Ax B2
_
+
_
_
(13)
B1 D2) Yg
günstiges Zusammenfassen folgt:
G(P)
=
=—
A1(Ä2
.
+
_
B2Y3)
_
+
,_
=-=—
B1(C2+D2Y3)
(14)
109
-
(15)
G(P)
Al
Ein
IV
-
+
Bl
g2
+
Ä2
+
D2 Y3
Vergleich mit Gleichung (10)
G(p)
Somit lasst sich die
(A2
B2 *3
und
Yg)
B2
(11) zeigt,
Ga(p)
=
+
dass hier
(16)
Gb(p)
•
Gesamtubertragungsfunktion G(p)
durch die
Multiplikation der
Teilubertragungsfunktionen G (p) und G. (p) berechnen.
vollständigen
Zur
einer
Kenntnis der
"verteilten" Leitung und
konstanten bekannt
2.
Die
Uebertragungseigenschaften
Dampfungswiderstandes
des
Dampf ungswide
Untersuchungen
dargestellt.
"verteilten"
der
Vierpolkonstanten
In früheren
'
''
Es zeigt sich
wurde die
jedoch,
übertragenden Frequenzen (MHz), ungenügend
zu
erhalten,
müssen
die
der Hin- und Ruckleitung
der
L,
Kapazität
Die
Vierpol¬
sein
als
Zuleitung
s
eine
Ersatz,
kann.
konzentrierte In¬
besonders bei hohen
Um genauere Resultate
werden. Nimmt
berücksichtigt
man
an,
dass die Induktivi¬
C und der Querleitwert G
bezeichnet
so
man
einer
diese als
eine
Lei¬
ho-
Leitung. Deren Vierpolkonstanten wurden schon verschiedentlich bestimmt
Berechnung
an
stände
Leitung
Langswiderstand R, die Querkapazitat
soll
der Stelle
Die
x
(siehe
Anwendung
.
jedoch der besseren Uebersicht wegen nochmals durchgeführt
werden. Dazu betrachten
dx
deren
und eventuell sogar der Ableitwiderstand zwischen
tung über deren Lange konstant verteilt seien,
mogene
r
dass dieser
zu
tät
Serieschaltung
der
müssen
sein.
und
duktivität
emes
wir einen
Bild
Ausschnitt der
homogenen Leitung
von
der
Lange
1).
des Maxwellschen
Induktionsgesetzes
auf dieses
Leitungsstuck
ergibt:
=
wobei Ri der auf die
Ri
l
+
L,
1
—
St
Längeneinheit bezogene Langswiderstand und L< die auf die
Längeneinheit bezogene Langsmduktivitat
ist.
(17)
IV
110
-
Die
-
Formulierung der Quellenfreiheit des Gesamtstromes dieses Leitungsaus¬
schnittes führt auf
-
JL
=
G,
Darin bedeutet G-,
die
den auf die
•
*
6x
u +
C,
•
l
-$ü-
(18)
it
Längeneinheit bezogenen Querleitwert
und C-, die auf
Längeneinheit bezogene Querkapazität.
Die
Laplacierung
von
4ü
Gleichung (17) und (18) ergibt:
=
(R.
+
pLx)T
=
(g,
+
pCJÜ
dx
-
4L
x
dx
Ist im
soll,
-
-
pL,
pC.
x
L
•
•
T(x, o)
(20)
u(x,o)
Uebertragungssystem keine Energie gespeichert,
so
(19)
was
verschwinden die Anfangswerte, und die Gleichung
angenommen werden
(19)
und
(20)
vereinfachen
sich:
af
-
e
=
=
(Ri+ pLi)T
(21)
(Gi+ ^i*"
(22)
Durch Umformen der zwei letzten Gleichungen erhält
zweiter
zwei
Differentialgleichungen
Ordnung:
^| r2
dx^
=
d2i
^
wobei
man
=
^2
r
•
.
•
«
-r
i
(23)
(24)
Ill
-
der
Uebertragungsbelag
und
^1
das
Uebertragungsmass
Wir machen
IV
-
T
=
1/(R
=
+
pL)(G
pC)'
+
(26)
ist.
folgenden Ansatz
k„x
u
k!
=
Durch zweimaliges Differenzieren
^f
folgt
kl
=
dx2
Einsetzen
von
Gleichung (27)
und
k2
und somit lautet die
Ersetzt
man
(28)
in der letzten
(28)
Gleichung (23) ergibt:
in
+-r
=
=
k22 ek2X
•
allgemeine Lösung
ÏÏ
(27)
e
•
k3
•
Gleichung
Differentialgleichung (23)
der
eP
+
k4
•
e"^x
(29)
die e-Funktionen durch
Hyperbelfunktionen,
so
wird
û"
Durch
hält
=
einmaliges Differenzieren
Cos
kg
kg
r x +
Sin
(30)
rx
und Einsetzen dieser
Gleichung
in
Gleichung (24)
er¬
man:
i
=
-k.
3
Sin
Rj
+
pLx
rx
k-
-
Cos
=
•
*
Rl
+
rx
(31)
PL1
Hierin ist
Rt
+ pLt
1
,
IR«
[G,
der Wellenwiderstand der
Leitung,
+
H
pL.,
_
=
+
pC
Zw
<32)
IV
112
-
Gleichung (31)
Dadurch vereinfacht sich
i
=
ks
^-
-
kfi
Sin
•
y
ZW
(siehe
Bild
ïï (x
in
Gleichung (30)
k5
-kg
r
mit
=
=
\ Zw
=
T2
Y
i)
=
=
1)
=
und
Zw
1
•
=
unter
=
ï(x)
folgen für
wobei nach
Die
Äj
=
Dj
x
(33)
px
=
o
kg
be¬
die
=
T2
Sül r
+
u2
'
Cos r
^35^
•
Cos T
+
u2
•
Sin T
(36)
+
pD(g
kg
PO'
+
und
kg
in
Gleichung (30)
der Additionstheoreme der
Cos
u2
u2
r(l
Sin
Zw
-
üj
=
ù2
Cos T
Tj
=
Z2
-^—
f
+
f (1
1
-
Sin T
+
Sin
Cos
bzw.
(33) erhält
Hyperbelfunktionen:
^(1
r(l
x)
-
-
(37)
x)
(38)
Leitung:
T
(39)
Cos P
(40)
Sin
i2
Zw
+T2
x)
der
i2 Zw
Zw
•
+T2
x)
Vierpolgleichungen
Gleichung (26)
(34)
ûf«
"
T|(R
=
Berücksichtigung
u(x)
Es
Cos
ZW
(33) eingesetzt ergibt:
Durch Einsetzen dieser Werte für
man
=2-
-
1).
T(x
Gleichung (34)
x
folgenden Randbedingungen lassen sich die Konstanten kr und
Aus den beiden
stimmen
-
T gesetzt wurde.
=
Vierpolkonstanten lauten somit:
=
Cos r
Bj
=
1W
Sin T
Cj
=
-~
Z„.
Sin P
(41)
113
-
Die homogene Leitung
Die
gehört
zu
den symmetrischen Vierpolen.
in Bild 3
Vierpolkonstanten des
IV
-
dargestellten Dämpfungsgliedes,
lassen
sich leicht berechnen.
Bild 3
Dämpfungsvierpol
Rjj
Aus Kirchhoff
=
Dämpfungswiderstand
folgen die Vierpolgleichungen
"2
T2
=
=
"3
+T3
•
"d
(42)
~3
und somit die Vierpolkonstanten
A2
Im
=
D2
=
1
C2
«D
folgenden wollen
wir für den
mit einem ohmschen Widerstand
=
(42a)
o
Fall, dass die homogene, verlustlose Leitung
abgeschlossen ist, die
Ortskurve der inversen Ue-
bertragungsfunktion H(p) bestimmen.
H(p)
1
^2
G(p)
Nach
Gleichung (39)
ist
H(p)
Für die
=
Cos T
+
Zm
zr—
homogene, verlustlose Leitung beträgt
(43)
Sin T
nach Gleichung
(57)
und
(60)
IV
114
-
r=T|LC'p
Setzt
Hyperbelfunktionen durch
setzen der
Zw=lp-
und
Tp
Gleichung (43) ein,
diese Werte in
man
=
-
(1
e
man
Zw>
+
—)
+ e
Zw,
)
-TP/1
K(l
Rn
Für p
=
jcj
beim gleichzeitigen Er¬
die e-Funktionen:
TP,,
H(p)
erhält
so
Rn
wird
H(p)
=
cjT
cos
+
j
—
sin
wT
Die Ortskurven dieser Funktion lassen sich dadurch
bestimmen,
dass
man
Z„.
cos
coT
=
und
x
coT
sin
=
y
R,
setzt,
und
Dies
coT aus diesen beiden
cos2(cJT)
Somit sind die Ortskurven
mit ihrer
Fall
Gleichungen eliminiert.
ergibt:
sin2(wT)
+
von
Wellenimpedanz (R,
1
=
H(p) Ellipsen.
=
Z
)
erhält
=
x2
+
Sl
Beim Abschluss der
man
homogenen Leitung
als Ortskurve einen Kreis. In diesem
entspricht die homogene Leitung einem idealen Verzögerungselement.
115
IV
Bild 4
Ortskurven der
inversen
verlustfreie
Uebertragungsfunktion H(p) fur eine homogene,
Leitung bei ohmscher Belastung
Kurve 1:
Ortskurve der Funktion
H(p)
fur
R,
Kurve 2:
Ortskurve der Funktion
H(p)
für
R,>
Z
Kurve 3:
Ortskurve der Funktion
H(p)
fur
R, <
Z
=
Z
(Kreis)
IV
116
-
3.
Die
-
Uebertragungseigenschaften
der
homogenen
Leitung
Bild 5
Uebertragungsglied
Es sollen die
I
:
Homogene Leitung
ü
:
Dämpfungswiderstand
III
:
Spannungsteilerersatz
Ro
=
Ersatzwiderstand des
Co
=
Ersatzkapazität des Spannungsteilers
Zo
=
Impedanz des Spannungsteilerersatzes
üebertragungseigenschaften
Gibt
untersucht werden.
Antwort
g(t)
man
die Oberfunktion
auf deren
zu
K.W.Wagner zeigte ',
Spannungsteilers
der im Bild 5
Eingang
einen
angegebenen Schaltung
Diracimpuls
2
(t),
so
ist die
G(p)
G(p)
Wie
(RjJ
•
g(t)
o
lässt sich für die
(44)
homogene Leitung g(t) als Reihenent¬
wicklung berechnen.
Will
man
das
Uebertragungsverhalten
'C(t)
Rampenfunktion
t
T
untersuchen,
lässt sich die
Uj(t)
so
der
oder einen Keilstoss
die
Spannung
u,
Leitung
t-
(t)
[t(t)
für die Schrittfunktion
-
£(t
durch eine
-
T
)J
Faltung
£(t),
von
der
Länge
von
g(t)
mit
berechnen.
u3(t)
=
g(t)
*
Ul(t)
(45)
117
-
a) Uebertragungseigenschaften
IV
-
der mit dem
Spannungsteiler
Zo belasteten Serie¬
schaltung einer homogenen Leitung und eines Dämpfungswiderstandes R„
Die
Schaltung
(41)
zu
Uebertragungsfunktion G..(p)
berechnende
ist durch
Gleichung (14) gegeben.
(42a) folgenden Vierpolkonstanten ein,
und
G,(p)
=
^
=
nun
müssen die
versucht
die
Hyperbelfunktionen
=|
Cos P
Daraus
werden,
+
(er
Rjj Y3)Cos
man
der im Bild 5
in dieser die
erhält
so
î
=
(1
ux
Es soll
Setzt
(46)
Sin P
Zw Y3
+
Originalfunktion
von
Gleichung
man:
=-^
r
dargestellten
aus
Gi
(p)
zu
bestimmen. Dazu
durch e-Funktionen ersetzt werden.
e"r
+
SinT
)
=
i
(er -e"r)
(47)
6
folgt:
Gi(p) =—r
(er
r
r
+e
)(1
^
Rp-Yg)
+
f—-r'
(er
+
-e
-
-
) Zw
(48>
Y3
und:
Gi(p)
=
(1
=2p
+ e'"'
^~
)(1
+
R^)
or
+
(l-e-2r
-
-
(49)
) Zw
Eine weitere Umformung ergibt:
G,(p)
=
~
l+Y3(Zw
+
R^)
1
+
i-=
l-Y3(Zw-Rp)
(50)
e
,2-2r
l+Y3(Zw+Rp)
Der Ausdruck
1
-
Y3 (Zw
-
Rd>
=
1
+
Y3 (2W
wird als Reflektionsfaktor der
+
r,(p)
RD)
homogenen Leitung bezeichnet.
(51)
IV
118
-
-
Die Funktion
F(p'
lässt sich in einer Reihe
Y3>
1
entwickeln,
_on
*'
r,(p)e
F(p)
L_.2r
=
(52)
r2(p)e
+
da nach
Gleichung (26)
(51)
I
<1
ist.
(53)
l-r2(p)e"2P +r2(p)2e-4r -r2(p)3e-6r
=
und
+...
oo
=23
F(p)
(
r2(p) e"2P )"
(54)
•
-
n=o
Wird dieses Resultat in
Gleichung (50) eingesetzt,
Y
G1(p)=-^4:
1
Diese
reich
+
Y3(ZW
Reihenentwicklung
transformieren,
+
der
wenn
RD)
so
(-DnT2(p)n.e-(2n+1)r
£ö
Uebertragungsfunktion
die
folgt:
(55)
lässt sich leicht in den Zeitbe¬
Leitung als verzerrungsfrei angenommen wird.
In diesem Fall ist nämlich:
J
Somit wird nach
Gleichung (26)
P
Setzt
man
für
yTJC
als
=
=
das
#
=
<*
Uebertragungsmass
VLC-"\|(P+f )(P+§J
Abkürzung
T
folgt
aus
(57)
ein,
YlcT
so
(56)
=
T
Gleichung (56) und (57)
r
=
T(p+o()
(58)
119
-
Setzt
(51)
man
und
diesen Wert
(52) ein,
so
rungsfreien Leitung
mit
chung (56)
in
man
Gleichung (50)
die
unter
für
o(T
2e
=
—
1
+
Berücksichtigung
von
Uebertragungsfunktion der homogenen,
Dämpfungswiderstand
Gx(p)
Der durch die
P
von
erhält
IV
-
(Zw
+
*D>Y.
„"TP
e-^Ffo,
Y3)
Gleichung (32) gegebene Wellenwiderstand
Z
(59)
lässt sich wegen Glei¬
ebenfalls vereinfachen.
ist in diesem Fall ein rein ohmscher
ro(p)
verzer¬
beliebige Belastungen:
^^B=V?
Z
Gleichung
eine
reich immer
gebrochene,
möglich
rationale
Widerstand,
Funktion,
(60)
und somit nach
Gleichung (52)
deren Transformation in den Zeitbe¬
ist.
li
>—
0
1
R3
ti¬
T
7
H
Bild 6
Ersatz des
Der
schaltung
Spannungsteilers durch einen Widerstand (R„) und eine Kapazität (C,)
Spannungsteiler Z,(p) soll
einer
dargestellt
Kapazität
ist.
Somit wird:
in den
folgenden Berechnungen durch die Parallel¬
und eines Widerstandes ersetzt
_
werden, wie
es
im Bild 6
IV
120
-
Setzt
man
diesen Wert in
Gleichung (48) ein,
1
-
(J_
so
+
pC3)(Zw
+
pC3)(Zw
R,
erhält
1
+
(
J_
RD)
-
+
Rjj)
Umformung ergibt:
P
+
r,(p)
Z„,
+
C3<Zw
R3C3
Z„.w_RD
-
^
p
=
C3(ZW
C3R3
C3(Zw
-
(63)
C3*Zw
man
+
*V
die reellen Werte
Ol.
(64)
er,
(65)
Rjj)
=
+
VJ
+
+
Vereinfachung der obigen Gleichung setzt
C3R3
"
!
1
R3C3
Zur
man:
(62)
r2(p)
Eine weitere
-
»D>
und
(66)
Zw
Somit
+
RD
folgt für r,(p):
r2(p)
Durch
analoge Ueberlegungen wie
für
ro(p)
P+
ofj
p+
O*.
findet
man
(67)
für den 1.
Faktor
von
Glei¬
chung (50)
1
+
Y3(ZW
+
Rp)
1
+
( i.
R,
(68)
+
pC3)(Zw
+
Rp)
C3(ZW RD)
+
p
+
0^
121
Die Resultate
G»
Die
von
Gleichung (67)
und
(68)
in
IV
Gleichung (55) eingesetzt ergeben:
-(2n+l)(p+o()
(p+«x)
C3<Zw+RD>
(69)
«J
(p+
Uebertragungsfunktion G<(p)
setzt sich
unendlich vielen
aus
Teilübertragungsfunk¬
tionen zusammen.
Gx(p)
Wobei nach
=
Gn(p)
+
G12(p)
+
G13(p)
+
..
Gln(p)
+
(70)
+
Gleichung (69) die Teilübertragungsfunktionen folgende Werte haben:
-T(p
o
Gu(p)
G12(p)
Gln(p)
Originalfunktion
+
<k)
=
C3(ZW
+
RJ5KP+ C^)
2ro(p+o(1)
-3T(p+<X)
=
C3(ZW
2
Die
.
+
Rjj)^
rQ(p +0^)
+
0-^2
n-1
-(2n-l)T(p+o<)
(71)
CgtZ^RpJtp+oi)"
g.j(t)
setzt sich ebenfalls
aus
einer Reihe
von
Teilfunktionen
zu¬
sammen:
gl(t)
Setzt
so
man
ergibt
(71)
e
die
=
=
sn(t1)^gl2(t2)
+
...glnan)
+
(72)
T).
Berechnung
der
Originalfunktionen
g,
j(t. )
...
gin(tn)
nach
Gleichung
IV
21i
gH^i)
c3(zw
1 2
3
+
(o^
1
+
Rd)
"1L4
_
2(a<1
i+3(o(r «Tj^+a^j- o^r
n-1
.fft
o
(cKj
-
V
4
von
=
\v|
v =0
t-T,
G*n(p)
Oberfunktion
CTj)2
l4
4
-î-
t
\2l5
2:
2
3
.„,_,
^x3l5
t2
t-3T,
=
mit dem Faktor
o.
gin(t_)
t
tn
...
*
e(t4)
4*5
-7- +*«!- Oi)° -i.+Cofj- Oi)*-2-
<Ȕ)
v :
e
J- £(t,)
3
_,3 -3+(0<1- o-p0
,^
fa-O^
/n-l\
z
In
e
zugehörigen
+
«•
=
Multiplikation
£(t2)
2
c3(zw+Rd)
Ca^w
<Tx)tz
-
2
VvLe-v5 1+4^- o^tg^Wj-
+
]
ff^tj,
-
Tit.
ro
2lIi(2n-l)rn-l
der
n
„
c3(zw+Rd)
*ußs>-
*lA>
+
OU,
-
'io
C3(Zw
g14(t4)
Rd)
li5^2
\
7
[l
e
2
2\
X
Rd)
=
+
-
t(t,)
e
+
C3(Zw
u
«Vi
"
1
=
gioUo)
Die
122
-
n~
'
^
=
£(tn)
4.
(73)
t-(2n-l)T
bedeutet eine
Verschiebung
um
=
(2n-l)T
(74)
Ausserdem ist laut Laplace-Theorie
f*l A>
v
(t
glA)
„
=
\
0
für
4n
> °
fürtn<0
(75)
«V
123
beginnt
Somit
nach Gleichung
(74)
(75)
und
IV
die Funktion
im
Zeitpunkt
t
=
T
tx
im
Zeitpunkt
t
=
3 T
t2
=
t
=
t
-
-
T
3T
(76)
»lnV
wie
es
einem
Zeitpunkt
Bild 7
in
dargestellt
ist.
t
(2n-l)T,
=
Die Variablen
tj,
^
t
=
t,
...
-
t^
(2n-l)T
stellen also die Zeit
von
spateren Nullpunkt weg gezahlt dar.
g,(t)A
t-T
t-3T
t=5T
—I—
+-
—i—
t,»0
t2-0
t,*o
t-0
Li1
!
t,
t,
I
!
t
3
Bild 7
Darstellung
Diese Summe
von
der zeitlichen
Verschiebung der Teilubertragungsfunktionen
=
Laufzeit der
=
0 :
Nullpunkt
=
0
Nullpunkt der
:
homogenen Leitung
der ersten Teilfunktion
zweiten Teilfunktion
Funktionen und deren zeitliche
chung (76) ersichtlich sind, entstehen
Verschiebungen,
durch die Retlektionen
eines
wie sie aus
Signals
an
Glei¬
den
Leitungsenden.
Ein
Signal das
zur
gegeben wird, erscheint
von
der
Zeit t=0
auf den
Eingang
einer
erst nach der Laufzeit t=T
am
verzerrungsfreien Leitung
Ende derselben. Diese ist
Leitungsinduktivitat und -kapazitat abhangig und betragt:
IV
124
-
T
Die Funktion
giotW'
^le
zur
(siehe Gleichung (58))
^ei* t
=
ursprüngljchen Signals
Reflektion des
3T
am
flektionsfaktor ^
am
Ende bzw.
Zwei weitere Reflektionen der Funktion
und
=
T
am
Multiplikation
giota)
und t
Leitungsende
Anfang der Leitung
am
r*
Leitungsende auftritt, entsteht durch
Zeit t
zur
Diese Reflektionen haben eine
Anfang.
deren
VlC
=
-
des
zur
Signals
=
2T
an
mit dem Re-
Folge.
erSeDen die Funktion
gista)
analog folgen alle weiteren.
Die
Schrittfunktion
Gibt
man
auf den
in Bild 3
Eingang der
dargestellten Schaltung die Schrittspan¬
nung
us(t)
so
kann die Antwort
u,(t)
nach
Zur besseren
handelten Fall
(77)
£ (t)
=
gl(t)
*
von
Uo(t)
(78a)
us(t)
Unterscheidung der verschiedenen
zu
durch zwei Indices ersetzt
kennzeichnet,
nung Aufschluss
berechnenden
Antwortspannungen
werden, wobei der
während der zweite über die Form der
erste den be¬
Eingangsspan¬
gibt.
Somit wird für die
S
=
R
=
Rampenförmig ansteigende Spannung
K
=
Keilwelle
Schrittspannung
folgende Berechnung
u3(t)
Die in
UQ
Gleichung (45) berechnet werden:
u3(t)
soll der Index
=
=
Ug(t)
durch
Ujo(t)
ersetzt.
(78a)
ulg(t)
Gleichung (78a) angegebene Faltung entspricht,
nach deren
Definition,
dem in
Gleichung (79) aufgeführten Integral:
t.
uisW
Ebenfalls laut Definition ist
=
U0-/
£(t_T)
Sl(T)
dT
<79)
125
-
(t-T)
fur
und
Eft
> 0
-
IV
-
T)
=
1
(80)
t
/ 6i<T)
d
XiW
=
(81)
0
Somit lasst sich
Gleichung (79)
vereinfachen:
ulS(t)
Nach
eine
Gleichung (81)
Integration
und
(82)
erhalt
2
Znl
man
g,
(t
)=k
slnvV
aus
e
von
(2n-l)
C3(Zw
setzt, folgt
U0 ïl(t)
man
(82)
die Antwort auf die Schrittfunktion durch
gi(f):
von
Diese soll fur das n-te Glied
Wenn
=
+
gj(T)
durchgeführt werden.
n-1
r0
(83)
RD>
Gleichung (73):
Vn
n
fö^foV^^^-^^"""^
n-1
Wr o^)'
Die
Integration
des n-ten Summanden dieser
t
n-1
(84)
(n-1).'
Gleichung ergibt:
n-1
i +
+
1*
Auf
+
2.'
<W
——~—
(n-2):
(n-1).'
analoge Weise lassen sich die restlichen Glieder
sodass
man
£(tn)
+
fur das n-te Glied der Schrittantwort
von
(85)
Gleichung (84) integrieren,
IV
126
-
fr
]
den
-
sln(Tn)dTn
=
rln (t)
folgenden Ausdruck erhält:
(86/1)
e(tn)
1
*n
MV«i-V3
n\n-l/
1-e
"«Vn
1-e
<
t[
^n
<Vn>
«Vn
.
+
+
(86/2)
> *n>
Vn/^lV2 ,<*!*/ >
^n
!,
,
'Vn'2
II
(86/3)
«U
/W
,
Ol
(86/4)
,
^iV""1"
(n-1).*
(86/n)
Die
Zusammenfassung
rinW=-57l»o
Wobei nach
1
dieser
Gleichung
nach Potenzen
t2
t
ergibt:
n-1"
t3
n
Gleichung (86)
von
a
2:
"
3:
"*
(n-i):
t^)
(87)
e(tn)
127
-
fn-l\
/n-l\ (c^-orj
/n-^c^-or,
2
-cvn^n ^
/n-l\
\
°1
/n-l\
1
)<«*T°i>
+
I J
2
(otj-ffj)2
n-lJ
3
—
n-l
+ ...+
(yo-/"1
n-l/
_n-l
V1
ff
1
/n-l\
^~+ I
n-l\
1
n-2
_n-2
n-l
/n-lWaL- aA
+
(y*/'2
xl=(
IV
3
)
(dj-ffj)
(«Cj-ffj)3
<S*
n-l
1
/n-lUoij-^)11-2
+"'"+\n-2)
ffin-3
n-l
ffjn-2
^-c;)"'-'''""1
Durch die
Anwendung
sich
(t)
jç
JTlnW
«
von
(88)
Summationsformeln auf die Gleichungen
(87)
und
(88)
lässt
sehr vereinfachen.
r1 -^nj^fc^f-y^-v^
nà^ ^Iv/^-m);
P""
6(tn)
(89)
IV
128
-
Aus Gleichung
(65)
und
(83) folgt:
2îl 1
n
1
Die Antwort auf den
-
(2n-l)
(n-1)
(90)
5w
+
RD
+
Einheitssprung
^i(t)
setzt sich wie die Stossantwort
unendlich vielen Teilfunktionen zusammen,
ri<*>
ïu+ r12
=
+
die sich
r13
aus
*
In
y*
durch die Summation
von
Gleichung (86/1) und
(86/2),
y13
durch die Summation
von
Gleichung (86/1)
(86/3),
y1
durch die Summation
von
Gleichung (86/1)
Somit lautet die
aus
für die im Bild 5
iVt)
den
...
...
Gleichungen (86), (90) und (91) resultierende Schrittantwort
[i-.-*;U)
1
<Zw+RD>
1+-
2Tll
r0
—-e
(Zw+RD>
R,
(91)
(86/n) gegeben.
dargestellte Schaltung:
2lll^-
=
••
lassen.
(86/1),
ist durch
Gleichung
aus
Gleichung (86) berechnen
Y^
„
g*(t)
i
—
+(ot1-ff1)t2
e(t»)
129
-
2t»1
(2
2
,52
r0
e
-
I
2
<Zw+V
+
V
«3-<r3
1
+
e(t3)
2:
t.2
(«.-^(ct^a,)
—t„+
—-
ft3
(Zw+RD>
l3
2
ffl
e
1+
M,+-^(«,-*)^
—
Crf3
„73
2,»1 rQ
2
2
13{_L-
1
IV
-
——
-*-
-
+
Jl
R„
+«T'l>3^2,n9
^1
1+
4
"VöK4 '"l4""!4
V
r0
(zw+Rd) |_
tc
+
e(t4)
(«r'l^3 ffl +2«1(rl+ot1
)
T"u5
^
t
2!
R,
'V'/'^'l' ^
1
<Zw
+
V
-
(n-1)
f
_.
„
n-1
/.
m
l54
4:
n-1
,
,.
jj
,.
_
f(t5)
y\
/n-l\(V_
Vv
«^(n-l)
,4
3:
j
2n1(2n-1)r0(°-1>
,rf
m=0
\ m.'
V=m
v
/
'- rv.r
e(tn)
(v-m)
|
(92)
mit
Die
tn
=
t
-
(2n-l)
T
Rampenfunktion
Auf den
Eingang der
ansteigende Spannung
in Bild 5
uR(t),
dargestellten Schaltung soll eine rampenförmig
wie sie in Bild 8
dargestellt ist, gegeben werden:
130
IV
Up(t)A
Bild 8
Die
rampenförmig ansteigende Spannung u„(t)
uR(t
T0)
=
=
U0
Es ist somit
U0
uR(t)
=
R
—^-
-
t-
(93)
£(t)
T0
Deren Unterfunktion lautet:
UR
Die
Spannung
Nach
u<R(t)
am
Gleichung (5)
(94)
=
man'ïïj,
aus
folgendermassen
Messteiler lässt sich
berechnen:
ist
*u1R(p)
Setzt
P2
T0
=
Gleichung (93) ein,
U0
-iE
-
(95)
"üR Gj^p)
t
A0
erhält
so
1
man
à •Gi(p)
p
(96)
131
-
Die
Aufspaltung dieser Gleichung
=
•
—
Nach
Gleichung (78a)
und
us(t)
Aus
Gleichung (96)
...
(78b)
(98) folgt
ulR(t)
Dieser
=
und deren Rück¬
o
e(t)
—
(97)
•
ug(t)
o
gl(t)
*
(98)
ist
gl(t)
*
Fo(p)
T0
U0
-^ G^p)
=
und
ergibt:
V
F2(p)
Fj(p)
in zwei Funktionen
transformation in den Oberbereich
F,(p)
IV
-
ulg(t)
=
=
U0- ri(t)
somit:
£(t)
—
*
T0
U0
•
^(t)
(99)
Faltung entspricht das durch die Gleichung (100a) gegebene Integral:
Un
u1R(t)
Die Antwort auf die
=
t
/
—
T0
^i(T)
(100a)
dT
0
Rampenfunktion soll
im
folgenden
mit
u
bezeichnet werden.
UxrW
F (t)
=
-2E5_
uo
Setzt
man
diese bezogene Spannung in Gleichung
Hl(t)
Daraus
folgt,
=
—
T0
/
°
so
erhält
ri(T)dT
dass sich die Antwort auf die
Schrittantwort bestimmen lässt.
(100a) ein,
Rampenfunktion durch
man
(100b)
die
Integration der
IV
-
Berechnung
Die
nach Gleichung
(92)
von
aus
Uj(t)
132
-
erfolgt ähnlich wie die
unendlich
vielen,
schobenen Teilfunktionen zusammen,
von
y. (t). Dies setzt sich
die doppelte Laufzeit der
um
deren n-te
(ft_(0)
durch
Leitung
ver¬
Gleichung (87) gege¬
ben ist.
Integration
Die
I
dT
e
J0
von
—
=
fl"
(n-1)-'
7in(t)
L
wird mit Hilfe der
1-e
<1+
l
folgenden Gleichung durchgeführt:
+
!•'
+ ...+
+
(n-2)-'
2-'
(n-l).'
(101)
Die summandenweise
Integration
kn «l
L
o-,
k
n
er,n-l
}n
-CTT
1
I
I
Jl
°1
Xq
e
von
Gleichung (87) ergibt:
n-l
k
n
,_
dT
=
0
/n-lWrtj-ff/-2 /n-lUotj-ff/-1
An-2/
k_
°i
(102/0)
n
n-l
<V
Oj«"1
\n-2/
(102/1)
C^
in
Jo
VA
fn-lxotj-oj
«i
(dj-Oi)11"2 /n-lW^-cr/"1"
(T^-l +ln-J
Oin
Lu
'
°i3
l-"ltn
/n-l\
^
2
y
1+7T
(rtj-ffj)
/n-l\
C)
(102/2)
-
kn
T2
fn
/n-l\
(rtj-Oj)'
ln-1/
k„
,
1-e
n-3
n-l\
a
-
(«j-o-j
V2
'
0
Jl
OIT
+
/n-l\
'V
ln-3/
>n-l
-cr.t
(o-lV
(o^-Q-/'3
d^"2
<?A
-
/n-l\
o;T
dT
(n-2):
oj
ln-2/
/n-l\
(04- 0"/-2
o^1
ln-2/
Oit
n-31
ln
(102/n-2)
(n-3):
I.'
6
(102/3)
2:
lnJl+-IJl+...+
1-e
.n-2
-
«Vn
<1+
(n-3):
o
/n-l^-Q/-2
l*
M"V3^.
°l
-«tfnL
oin
,'n
IV
-
r1^!"0"/
kn
"V^
133
(rtr a/'2
ojn-1
/n-l\
(ar
+U-1/
cr/-1
"
1-e
-^L
41
^iV"'3
-iin
+ ...+
+
+
(n-3).'
k
-
--
1
Tn-1
;n
J
0
Vl
-
—
<r,T
1
e
k
=
(n-i):
+
a
(n-l):
Wir addieren die Gleichungen
(102/0.. .n),
dasselbe nach Potenzen
(«j-o-p
(102/n-l)
j
n-l'
-or,t
,
1-e
ln L
<1+
aA
1
von
t und erhalten:
(102/n)
JJ
dividieren das Resultat durch
n
+...+
+
(n-2).1
(n-3).'
(n-2).'
n-l\
n
j_
dT
<"ign~2
Tq,
ordnen
IV
134
-
k
"l
n
PlnW
ffn-i
T0°l
"Vn
f
vy0+e
-
t2
t3
-1
t
11
y0+yitn+y2^-+y3^-+-(103)
wobei
/n-l\
In-l)
(otfOj)11-1
^5_
/n-Urt-cr
"
/n-lWdj-ar)2
/n-l\
(04-
a,)""2
/n-l\
h Kr*2( .)-y-*-4M(J-ip-*-,)U
.
(«j-O-j)
n-1
.n-1
(a.-a.)2
/n-l\ <*
in-lUA.-cr.f
a.
r
^-J__+(n-2)
M—1
)—i—i-+...+(n-S)[
/
2
/n-l\
y2=
2
M
V
2
ln-2/
ffl
/n-l\(«1-o1)n"2
n-lWolj-arj)
yn-i
In-lj
1
a^"2
/n-lW^-a/-1
n-1
(104)
a
Durch die in der
durch die
fachen:
o^-3
n
Gleichung (104) verwendeten Summationsformeln lässt
Gleichungen (102)
und
(103) gegebene
Ausdruck für
u«
(t)
sich der
sehr verein¬
135
(n-1)
Hin«
T0°ï
n-l\
—
ist durch
(7)
(n«!"^-1)^)
n-1
'"^n
n
»
„_n
(«1-0"1)s
ral
v=m
«•*>
(v-m+1)
ff
n-1
/.
"
L°i(n_1)
(V -m+1)
n-2
"
"l
IV
(105)
Gleichung (90) gegeben.
Die Antwort auf die
Rampenfunktion
setzt sich wieder
aus
Teilfunktionen
zu¬
sammen.
Hl«
Diese lassen sich
aus
=
UH
+
U12
+
----
+Pm
+
(106)
--"
Gleichung (104) bzw. (102) und (103) berechnen.
Ujj folgt
aus
Gleichung (102/0)
p12 folgt
aus
Gleichung (102/0... 102/2)
Ujn folgt
aus
der Summation
und
von
Die ersten fünf Teilfunktionen
(102/1)
Gleichung (102/0... 102/n)
von
u,
(t)
wurden berechnet und in
Gleichung (106)
dargestellt:
(i
Hl
r0
(*=?)
«i
t
2
2lh
=
*
/>1<0
42-
h
-
-
'Vi
1
«t,
,
-«Vs (2dl-efx)
<2«r*i>
-
L°l
+ e
+ e
«i2
—
o^-oj
+
t,
E(t9)
IV
136
-
5
o
2
«j
rQ
2iJi
'°ra
1*1-1?
2;
z
+e
^
3
-o-jtgf«
(3ÄJ-2 0.)
S
2«1(«-<r)
+
:;
—
=
to
+
L^
-I3
£]
«1
2Vro3
C(1(3o(1-2«r1)
t<T
ö
2
-
Eft,)
J
c«12(4«1-3of1)
«l3
-cr^
3oli2(«1-<^1)
°'l2(4o(l"3al^
TT-t4+
+
II
+:
M'^P
(o(1-
o^)2(2cl1-nr1) t42 (cr^)3
0^2
29„
4
9
11
V
r0
t
4
>(**=£)
+
2.'
4al ("l^l'
-
°1*
2,»1
n-1
2n-l
r0
«i3(5«r4gi>
-
«l11-1
—T
.n-1
-"1*5 «j (5ol1-4or1)
<
-I5
2
2,
,2
(«i-o^nsflij'rfocjor^)
t5"
\2/0
tj-+
+ e
z
£(U
3.*
CTj
5
("rgi>4 *54
,„
tc
t43
_.
„
.
_
+
(dj-or^^taj+a^) t5J
5(ts)
t_"
n
«1
n-2
rn^-tn-ljo-j]
1
-
n-1
/t
m=0
\m!
m
n-1
+
v=m
+
137
-
n-l\
(v
Gibt
-m+
O
man
(o^- Oj)
IV
-
«g
<fAv-m+l)l
(107)
auf die mit dem Spannungsteilerersatz
dämpfte Leitung,
wie sie in Bild 5
sprung oder eine
Rampenfunktion,
dargestellt ist,
so
ist die
Z, belastete, homogene, ge¬
einen
Diracstoss, den Einheits¬
Antwortspannung u,(t) durch die Glei¬
chung (73), (92) bzw. (107) exakt gegeben. Diese setzt sich
mer
wieder
sammen,
Der
um
die durch Reflexionen
Von grosser
von
an
den
im¬
vielen,
Teilspannungen
zu¬
Leitungsenden entstehen (siehe Bild 7).
Wichtigkeit
in der
Stosspannungstechnik
neuerdings die Ueber-
ist
Keilwellen. Die Messfehler sind in diesem Fall wegen den hohen
übertragenden Frequenzen
Messteiler berechnet
eine
unendlich
Keilstoss
tragung
am
aus
die doppelte Laufzeit T der Leitung verschobenen
Keilspannung
uK(t)
uK(t)
besonders gross.
werden,
wenn man
Es soll daher die
auf die in Bild 5
zu
Antwortspannung
u,K(t)
dargestellte Schaltung
gibt (siehe Bild 9a).
=
u0
-L
[e(t) £(t-T0)]
(108)
-
UK(t)A
Der Keilstoss
u„(t)
Absc hneidez eitpunkt
Wert der
Spannung
im
Zeitpunkt
Tq
IV
Nach
Gleichung (5)
uK,
die Unterfunktion der
elementare Definition der
uK
=
Gjfo)
•
Keilspannung
j
=
F(t)
e_pt
F(t)
diese Werte für
/
=
erfolgter Substitution
e-*
t >
-°-
•
2
Tn
T0
und t < 0
t dt
=
u
so
1K
folgt:
(112)
ergibt:
j
p2
e-pt
.
pt
d(tp)
(113)
o
von
p
Ujf
(HO)
dt
Gleichung (110) ein,
in
Erweiterung des Integrals mit p
lässt sich
wir auf die
(111)
To
Nach
bestimmen, greifen
zu
zurück.
=<
F(p)
Eine
F(t)
0 < t <
für
für
man
<->K(t)
gilt für die Keilwelle:
t
Setzt
(109)
Laplacetransformation
F(p)
Nach Bild 9a
-
ist
u1K
Um
138
-
•
t
=
w
leicht berechnen.
uo
uk
=
—r
V
r
L 1-e
Top
1
(l+T0p)J
(114)
139
-
Die
Bestimmung
nungen u„i,
u„2
und
IV
-
der Oberfunktion dieser
Gleichung ergibt die drei Teilspan¬
die in Bild 9b
sind und deren Summe
Uj,o,
dargestellt
u„(t)
ergibt.
UK(t)A\.l)i
i
/uk1
/
/
U0
/
\
0
2|o
K
1
j "\
!
\
!
!
Xj
1
Uo
UK3
X
X
UK2
Bild 9 b
Zerlegung
Setzt
man
ïï„
aus
des Keilstosses
Gleichung (114)
stoss im Bildbereich durch die
uK(t)
in seine
(109) ein,
in
+
-
TnP
T0P
Dieser Ausdruck für
2
û"1K lässt
Gx(p)
U0
"
e
p
sich mit Hilfe der
Die Rücktransformation in den Zeitbereich
=
-ü-
+
"T0P
"ÎKW
ist die Antwort auf den Keil-
folgende Beziehung gegeben.
-V
Gj(p)
alK
so
Teilspannungen
ulR(t>
"
G^p)
Gleichungen (96)
-T0p
~
T0p
(115)
e
und
(98)
umfor-
(116)
ergibt:
«lR^
"
"lS^
(UV)
IV
140
-
wobei
tK
Da der Verlauf der
u,K(t),
-
Uig(t)
Spannungen
gegeben ist, lässt sich
t
=
ist.
Tq
und
-
UjR(t)
durch die
die Antwort auf den
Gleichungen (92) und (107)
Keilstoss,
aus
Gleichung (118)
berechnen.
Somit ist
lastete
es
möglich,
Serieschaltung
für die mit dem Ersatzmessteiler
Dämpfungswiderstandes R» den Uebertragungsfehler
Die
Berechnungen
Z, (siehe Bild 6) be¬
homogenen, verzerrungsfreien Leitung
einer
sind
für Keilwellen
jedoch kompliziert, sodass
einfachungen angenommen werden,
um
im
und eines
zu
bestimmen.
folgenden weitere Ver¬
übersichtlichere Resultate
zu
erhalten.
b) Uebertragungseigenschaften der mit der Impedanz Z, belasteten Serieschaltung
einer homogenen, verzerrungsfreien Leitung und eines
Dämpfungswiderstandes Rp=Z
Als erste
Rtj
=
Z
Vereinfachung wurde bei der
im Bild 5
dargestellten Schaltung
gesetzt. Dies ist möglich, da nach Gleichung (56) und (60)
scher Widerstand ist. Dadurch ändert sich der Reflektionsfaktor
Nach
Zw
rg(p)
ein ohm¬
der Leitung.
Gleichung (62) beträgt dieser:
1
"
r,(P)
1
Für R_
=
Zw
nimmt
^(p)
r2(p)
+
[k **] (Zw
+
"
^
|J-+ PC3j(Zw+RD)
folgenden
Wert an:
(118)
=
1
+
it^'
Dieser Ausdruck entspricht dem durch die
<Zw
+
RD>
Gleichung (68) berechneten.
Somit ist:
r,(p)
=
•
-
C3(Zw
+
RD)
——
p
+
CT1
(119)
141
-
Setzt
man
funktion
r2(p)
diesen Wert für
G2(p)
für den
Fall,
Um die im Abschnitt
b unterscheiden zu
Rj-.
=
Zw
folgt die Uebertragungs-
so
ist.
berechneten Grössen
a
können,
Gleichung (69) ein,
in
dass
IV
-
den Resultaten des Abschnittes
von
werden diese mit dem Index 2 versehen
(z.B.
G2(p),
g2W. y2(t)...).
G2(p)
G21(p)
=
G22(p)
+
...
mit
=
...
-T(p+oO
!
G21(p)
G^p)
+
e
-
C3 2Zw(p+a1)
-3T(p+ai)
_2
G22<P)
=
"7
e
T?
-(2n-l)T(p+c()
G2n(p)
Die Oberfunktion
von
mit
[^CaZ^p+Oj)]"
G2(p)
g2(t)
=
gpi^i)
^22^2^
11
(120)
^ e
=
Z
g23(t3)
23 3
lautet:
g21(t1)
g22(t2)
2r>l
+
~alH
•
•
g2n(t„)
•
+
...
UU)
e
=
2C3ZW
-2m
=
TT
(2C,ZJ2
'3 w
=
Jüi
_2
=
-^t2
l2l
£(*2^
e
l
5
t,2
3
(2CSZJ3
'3
•WV
2n n
+
w'
—
(2n-l)
—~
e"^3
2,
(n-1)
—
n
("2C3Zw)n
(n-1)!
£(t3)3
.
e
«V
n
<121>
IV
142
-
Für das auf Seite 166
den
Diracstoss)
R3
=
Es ist dabei nach Gl.
Rjj
=
soll die Funktion
(die
Antwort auf
=
352,5A
10 kA
5,9
(167... 169):
C3
=
L
=
R
=
0
G
=
=
i
T
=
U,
g2(t)
berechnet werden. Die Schaltung entspricht dem in Bild 5
darge¬
stellten Schema.
Zw
angegebene Beispiel
-
100 pF
uH
Belastung
l
'
J
0
16,75
homogene
Leitung
ns
Gleichung (65) folgt
Aus
ffj
Setzt
diese Grössen in
man
=
15,184
106 s"1
Gleichung (121) ein,
so
erhält
für
go(t)
g24(t4)
[s"1]
man
zu
den Zei¬
ten
t
die durch die
t[ns]
=
0, T,
2T
...
9T
folgende Tabelle gegebenen Werte.
B21<tl>
t8'1}
S22»2>
fs_1J
«Zlty
f8"1]
g2<4)
t8"1]
0
16,75
28,
33,50
21,998
50,25
17,058
67,00
13,
83,75
10,295
368
228
106
106
106
106
117,25
6,168
134,00
4,
783
106
106
106
106
150,
3,709
106
100,
Die
50
75
7,954
28,
-0,000
-5,230
-8,110
-9,415
-9, 780
-9,445
-8,790
grafische Darstellung
venverlauf.
106
106
106
106
106
106
106
der Funktion
368
21,998
17,058
0,000
0,621
1,925
3,360
4,
g2(t)
645
106
106
106
106
106
ergibt
7,
998
2,185
-0,840
-0,000
-0,049
-0,
305
106
106
106
-1,687
-1,351
-0,741
106
106
106
106
106
106
106
106
106
den in Bild 10a dargestellten Kur¬
143
-
üfe^
isl^lPllllgg^lg^-^^^^gi^
jiEpijpi iPB^^Iiiiffil^^^^^
^
*"*"
: :
";:
"=
-,
-
!
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I
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1
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t
t
i
—
i|i[|W; & f^ p pH tfjfcr '- M
In" JW^rèpi^ Eg ~j s
pp=.
^--t
IV
-
-|5fcS
I-J%lSî:n?î mgà^,^
I t -Sr[— %
tE.
ï j -^iJF; M Pi
'
^-
t"
-i
-
-
ins
:-^_
-
T^_
-_
-
-
-u
-—.-
I
9/
^
:^lL
:
.
L'_
l-i
"""
i
£-
1
'
:
L-2\-
~
-
J
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-
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W
K
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1
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"
^
*^^iùi^—-^--"•«p««
*
1
*
x"^
-—_:
_
Bild 10a
g,(t)
g21,...g24
berechnet
an
é(t),
=
Antwort auf den Diracstoss
=
Teilantworten auf den Diracstoss,
der ohmisch-kapazitiv belasteten
homogenen, verlustlosen Leitung mit
Dämpfungswiderstand.
Im Bild 10b ist für die
offene, homogene,
den Diracstoss dargestellt. Die Werte für
g(t)
verlustlose
Leitung
die Antwort auf
lassen sich in diesem Fall mit Glei¬
chung (142) berechnen.
Die Antwort auf die Schrittspannung
durch folgendes Integral gegeben:
u2s(t)
ist
analog
zu
Gleichung (77.. .82)
IV
144
u2S(t)
=
=
/
ü0
e2(T)
dr
u0-r2(t)
(122)
&(t)
2-1
1
7T
3T
o
5T
9T
t
-2-
Bild 10 b
Antwort auf den Diracstoss
bei einer
offenen, homogenen,
Somit
r2(t)
=
ergibt die Integration
-3—
2Z„
1
[i-e
ffl
von
X\
Leitung.
Gleichung (121) die Schrittantwort
liXj
+
'V
2Z_
1
verlustlosen
+
[l-e"*1'2^* Va}]
(t2)
JsW
145
-
ä*l
1
-
IV
-
£(t,)
e
2Z„
1
+
v4
2r,
1
-
1+0ït4+
e
2Z„
1
+—^~
~
£(t4)
+
R,
2n-l
!V
1
("£)
3
'
•«i'n
-
e
n-ll
1
Oi t
+
In
+.
+
.
.
+
(n-1):
„,
£(tn)
-I
(123)
Wie in
funktion
aus
Gleichung (93... 100) gezeigt wurde, folgt die Antwort auf die Rampen¬
der Integration dieses Resultates.
Mit Hilfe
von
Gleichung (101) erhält
To(1+!^)L
/
2Z
xL2
°(i+v:)
Jnf
*(*%)
*
*
a,
«r,
3
1
ji
man
für
u„(t):
J
1
12J.
e(t-
ui
/*lt3l3+2trt+(0it3)
t
—e
t3-—+
3+2^3+——
»,)
IV
146
-
21i
'o(^)
»m
'»(^)
1
4
V
4
—
+
—
15<5+4<r1V3
I
^
14
-AJ_
1 4
I
t,- —+ —e
b
c^
li{
"l*/
^lV
-ffl*4f 4+3cr1t,+2
e
ffj
ol
-
3!
2.'
(0f.ts)2
"
t
£(tj
+
(c^t,.)3 (o-,^)4'
15
+—5
3.'
2!
e(t.)
4
3
2n-l
5"1
n
t
("!fH
.
1
tt
•i
W
In
xn
* n
I
a.
2.'
°i
n-1
+
1
<"lV
(n-i):
Die n-te
+...+
1"/iw(n-l)(r,U(n-2)
e
--^-+-i-
n
e<g
bezogene Teilspannung kann umgeformt werden, indem
aus
(124)
der
eckigen
Klammer der Wert
herausgenommen wird. Es folgt somit:
i&ii~i;
(2n-l)
n
(—
1
1
H2n«
2z
r
2Z
-in
.
e
«r.
lS/_i
1
„\„
(o«t
ln -n)e
l
n
n
n+(n-l)<7,t+(n-2)
in
+
o t
-d+—-),
Ro
j
,n-ll
<"ltf
(n-i):
+
e
orltn
lässt sich in einer Reihe
*
somit ist:
<*i*/
W
"=(0^X1+0^+-^+...+
^n
«rltn-n)e
entwickeln,
(125)
£(g
+...)
147
-
3
'in
n + n
+... + n
1
+.
(n+1).'
n:
(<rA)a
n
(o-jt/
+ n
|WJV
wlV
+ n
("ïV
x"
+
(n+i):
~
^n
+..
n+1
t
^n
.+0 -^
a»
•><
n
t
~
x"
(n-3)
+.
•
n:
<*!**>
"
(cr.tr1
(°it)n
+... + n
2:
n+(n-l)oit +(n-2)
1
(n+1)
+
2.'
Oit„ + n
IV
-
(n+1).*
n*
n.'
n+2
<°iV
(126)
(n+2):
Die ersten n-Glieder
Klammer von
von
-2n(2n-1)
1
/»aiW
Gleichung (126) entsprechen denen der geschweiften
Gleichung (125). Daher vereinfacht sich diese Gleichung und
11
-<rt
1
=
«3
Vn
e
—
*
^lV
+
„
<gltn)
+
2
(n+i):
(n+2):
,
es
<°itn)
+.
3
(n+3):
folgt:
£(t„
(127)
n+1
Diese
Umformung gibt
Ausserdem
über die Grösse
von
gilt nach Gleichung (127):
n
ji2n Aufschluss,
lim
—»
u2n^
co
=
°
wenn
w
< 1 ist.
(n+1):
(128)
IV
148
-
c)
Die
-
Uebertragungseigenschaften der mit dem Spannungsteiler Z, belasteten
homogenen, verzerrungsfreien Leitung
l^'3
1,
A, B, C, D,
Ul
_
|>3-
u2= U3
7
I
V
I
Bild 11
Wie Bild
Den
Grunde
folgenden Berechnungen
gelegt.
In diesem ist der
5, aber
Rjj
=
wird das in Bild 11
0
dargestellte Schaltschema
Dämpfungswiderstand R_
Die im Abschnitt HI 3a berechneten Resultate behalten trotzdem ihre
sen
sich
jedoch vereinfachen,
«1 (für Rjj
ax (für
ist. Setzt
Rjj
lasteten
=
Gültigkeit,
las¬
Gleichung (64)
0)
(129)
&o
R3C3
ZwC3
Gleichung (65)
und nach
dass
da nach
zu
als Null angenommen.
=
man
0
Rjj
diese Werte in
ist,
die
=
0)
(130)
R3C3
ZwC3
Gleichung (73) ein,
Uebertragungsfunktion
gg(t)
so
homogenen, verzerrungsfreien Leitung. g(t)
dritte behandelte Fall ist.
folgt
unter
der mit dem
Berücksichtigung,
Spannungsteiler Z,
hat den Index
3,
da dies der
be¬
149
-
g3(t)
3 1
=
£(t,)
e
—
c,z
3
w
2ll
+
-»3*2
e
CQZ
3
w
2Hi<1
"
['-i^12]"12'
ff3l3
e
+
I
I
3
•
2
,
.
t,
-<r„t
3"-n
n-1
Die Schrittantwort dieser
cxj
aus
y
v
*
i.
v:
vv/\_2c3zw/
durch oc, ersetzt. Denn
j-jft)
u3S(t>
=
es
gilt
(für
man
R_
=
Rjj
=
0)
=
y3(t)
[,.,-^'K,
Zw
~°<3
L^3
'^2
-e
°*3
-+(o<3-<r)t2
1 °3
0 setzt, und
<T^
durch
a3
auch in diesem Fall
R3
2nx3
(131)
«U
Schaltung
Gleichung (92) berechnen, indem
211
2.'
w'
/n-1
r3(t)
lässt sich
'3
SÎ)(_L-)
V=0
C3Zw
£(t3)
(2C,ZJ2
"3
'3"w
w
2ni2n_1
1
^
+
1
2C,Zm
cz
bzw.
IV
-
r
JJ
£(ta)
(132)
IV
150
-
•
2ni(2n-l)
„<3(n-l)
(1+^)
(n-1)
+
e
-
n-1
-<r3tn
In
vn
n-1
I«
n-l\ («3-O3)
<tf
IV)
m=0
.
V=m
V-m
«U
,
(133)
Analog findet
man aus
Gleichung (107)
^ig(t),
die Antwort auf die
Rampenfunktion
(t)
Pl(t)
(für
RD=0)=fi3(t)
2«Ji
HS«3"
J3R
=
£(!,)
1
<r,
<r„
TnU+— )
2t,
3
r
*3f
—
T0(l+-i)
L
l2
2«3-*s
vi,
-^m
h
7~+
—+ e
V
°3
£(t2)
°3
R3
2V
o<3
Tn(1+^)L«-32
13"
-<r3t3 o<3(3«3-2o3)
ex3(3o(3-2o3)
+e
1
V
l
+
°32
°33
(«V*/ »S2!
ÎTll
(2n-l)
Tnd+ —)
"oC3("-1)
L°3
<*3(n~V3-(n-1)03>
(n-1)
2«3-2cr3)
+
£(t.
n-1
"^n
+ e
*3
i
m=0
m
\
m!
^1
V=m
/n-ll^S-^
°
V
*V
>'
(134)
-
d)
Die
151
IV
-
Uebertragungseigenschaften der
Kapazität belasteten
mit einer
homogenen, verzerrungsfreien Leitung
Die unter Abschnitt
Gültigkeit.
a
berechneten Formeln behalten auch in diesem Fall ihre
Sie können wieder vereinfacht
werden,
da nach
Gleichung (64) bzw. Glei¬
chung (65) für
Rjj
=
und
0
R3
=
od
(135)
ZwC3
bzw.
°i
g.(t) folgt
Die Stossantwort
gl(t)
=-=-
(für
Gleichung (73), denn
Rjj
=
0 und
R3
=
co)
=
g4(t)
tyl
"
2
g4(t)
ZwC3
aus
(136)
°4
=
41
Hie
£(tJ
°4
+
4rn18e"<r4t2[i-2«T4t2]g(t2)
4
2
„
5
"»4*3
'
2
n
2n-l
1
"Vn
-
4<r4t3
+
4o-4
2
l3
(t,)
n-1
£(tn)
Lv=0
(137)
IV
152
-
Die
Spannung
u4g(t)
=
y At)
•
-
als Antwort auf die
Uq
Schrittspannung folgt
aus
Gleichung (92)
ri(t)
^4(0
=
+
2^
(für
[+l-e a41J
2n13r-l
Rp
=
0 und
R3
2^°
+l-e
+
2
^l
-1
11
+1
+
e
*
ä
^4(t)
=
£(t2)
+
-^3
+
oo)
.(4)
42|l 2ff4t2JJ
+ e
=
l3
-^
s2
il
+
0
44|l
+
2<T4t4-4042
+
2{cr4f
£(t.
4
2.'
3.'
jj
£(t4)
4i
+
+
2
-
e
*°jl+0
+
8ff
2
-i--
24<r.
2!
n-l
2nQ»-» (-ir^"'4'"
/t
m
n-1
(V) <-»*
n
m-'
*
m=0
v=m
-i-
£(tn)
(138)
Aus
Gleichung (107) folgt die Antwort
mig ansteigende Spannung,
2^i
r.
1
wenn
-^1
R-.
=
u4R(t)
0 und
R,
=
=
/i4(t)
co
nfft,
^h*-^
+
2^
•
Uq
gesetzt
auf die
wird.
rampfenför-
153
-
2V
h-T
IV
-
}]
43|—+ 4t3 2o-4t32'
+ e
+
[-^v-^^jv^^2^2^^2^}]^
2"i
2IJ—
-5
2
"l
°4
I
+ 8tK + 4<r,t
4 5
5
<y
2+0 24o-.3
+
~^-
t(t5)
.,
*•
(2n-l)
fn_1
at
(l^t HiVi)1*«
4nC>
°4
«
y
tv-m+l)(nv){-2J
Die
4
4
+
e)
^3*
«r(="-l)
/
)m
(t
—
\
m-'
"-1
^>
^m"
(g
(139)
Uebertragungseigenschaften der mit einem ohmschen Widerstand
R3 belasteten homogenen, verzerrungsfreien Leitung
und
und
Da
R-
{Z=~
ist, folgt
nach
Gleichung (51) für
r2(p)
Gg(p)
den Wert
dieser
von
Schaltung:
r2
in
r2(p)
-
R3
=
1
man
0
den Reflektionsfaktor
1
Setzt
=
^
(140)
+
Gleichung (55) ein,
so
folgt
die
Uebertragungsfunktion
IV
154
-
-
Z
(1-=*_v
oo
-(2n+l)
R3
G5(P)
1
n=0
w
+
Vlc"
(p+<x)
(141)
(1+-Ï)
R.
J
3
Die Transformation dieser
Gleichung
21i
g5(t)
1
+
in den Zeitbereich
ergibt:
4(4)
-
1--=
2n,
1
S(U)
1
+
+
z
w
1
+
n-1
(-iy
R3
ZT^1
1
1+-
x3
Die Stossantwort setzt sich somit
T,
3T
...
(2n-l)T
Sekunden
...
"1 n-1
(142)
R3J
L
unendlich vielen Einzelstössen zusammen,
aus
vom
«g
die
Nullpunkt entfernt liegen und deren Amplituden
immer kleiner werden.
Gibt
man
die
ug(t)
Schrittspannung
Widerstand belasteten
Leitung,
so
auf den
Eingang
lässt sich die Antwort
u5s(t)
=
r5(t)
folgendermassen berechnen:
3S
Un
=
i
P
G5(p)
•
u0
der
homogenen
mit einem
-
155
IV
-
w
-(2n-l)
YlC(P+o<)
(144)
Z
n=0
1
+
R*
J
R,
Die Rücktransformation
ergibt:
2n
£(t,)
75<t)
<!
-=->
+
d-^)
2li
£(U)
(1+!Z) (1+fw}
^
R3
z
1
2n
w
(2n-l)
R3
Z
v
1
(1+-^)
Ro
Ug_(t)
für die
+
fw
«3
_
Durch entsprechende
1 n-1
-
(-I)""1
£(tn)
•
(145)
J
Ueberlegungen
wie für die Schrittfunktion
folgt die Antwort
rampenförmig ansteigende Spannung uR
U5R
U0
_
^R
G
(„J
U0
=
_J__
T0p
J5R
-°
p5(t)
2
G
(pj
5l
(146)
IV
156
-
Die Rücktransformation
2ni
J>5(t>
i
von
-
Gleichung (146) ergibt:
Eftj)
<!+-=)
Rq
(1
»V
£(t5)
(!+-=>
(1
R„
n-l
n-l
+
(2n-l)
21l
*V
(-iy
(l+-=)
1
+
J
R,
f) Uebertragungseigenschaften
zum
Bei den
Objekte
Folge hat, dass die Spannung
Uebertragungsfehler
zu
müssen die
nehmen,
66
am
Prüf Objekt
mit einem
am
Prüfling entspricht.
Spannungsverläufe
der
Spannungstei¬
Leitung verbunden, welche
Messteiler nicht der
geometrischen Abmessungen
mm
vom
Prüfling
am
sind durch eine
soll für verschiedene
dass diese 5m
messer von
der Zuleitung
Spannungsteiler
Stossprüfungen wird die Spannung
ler gemessen. Diese beiden
(147)
Leitung
ermittelt werden. Da¬
bekannt sein.
Wir wollen
lang sei, einen kreisförmigen Querschnitt mit
aufweise und sich 6
m
deren Kapazität und Induktivität durch die
2tt£
L
ln*L
zur
Dieser
über der Erde befinde. Nach
an¬
einem Durch¬
.
")
sm(j
folgenden Formeln gegeben:
>\>
=
—.
2t
4h
1
•
In
—
d
(148)
157
-
=
8,8859 pF/m
=
1, 256 uH/m
1
=
Länge
h
=
Höhe der Leitung über dem Boden
d
=
Durchmesser der
£Q
mit
u0
Für die beschriebene Leitung
C
Zur
folgt
und
somit
aus
Gleichung (56)
bzw.
0
=
Eine weitere
Leitung
(149)
5, 9 uH
=
Möglichkeit,
die
=
0
(150)
=
1
(151)
(72)
bzw.
mit den in diesem
untersuchen,
G
und
Uebertragungsfehler dieser homogenen
Spannungsverläufe
zu
L
soll der Widerstand R und der Querleitwert G
0
=
«
Der
Leitung (in Meter)
vernachlässigt werden.
R
Es
(in Meter)
beträgt:
47,5 pF
=
(in Meter)
der Leitung
Vereinfachung der Berechnungen
der Leitung
IV
-
rll
verlustlosen
Leitung
kann für
einige
Kapitel berechneten Formeln ermittelt werden.
Uebertragungseigenschaften
einer
homogenen
besteht in deren Nachbildung auf dem im Kapitel II beschrie¬
benen Stosskreismodell. Durch die im Modell vorgenommene Zeittransformation und
der damit verbundenen
Vergrösserung der Induktivitäten
Bau eines
Analogiemodelles
sich diese
jedoch
Kettenleiter,
umso
wie
er
im Bild 12
genauer, je grösser
Nach dem im Bild 12
aus
12,
halten,
die
die andere
wurden als
Spulen
eingebaut.
zur
der Leitung als Kontinuum
in einem bestimmten
aus
n
und
Kapazitäten wird der
13)
ersetzen. Die
dargestellt ist,
lässt
verunmöglicht. Nach
Frequenzbereich durch
einen
n-gliedrigen
Nachbildungen werden
ist.
angegebenen Schema
50 Gliedern bestehend.
bauten wir zwei
Modelleitungen, eine
Um deren Verluste
möglichst
klein
Kapazitäten verlustarme Glimmerkondensatoren verwendet,
Erhöhung der Induktivität und des Gütefaktors
in Ferroxcube
zu
und
Topfkerne
IV
158
-
n
-
mat
/
H
L
L
L
L
n
n
n
n
_c
-£
Ç.
-Ç.
"
~2n
~n
"n
n"
Rd
C
H-
_
n~
!
:
i
i
n
i
Bild 12
Uebertragungsglied
Ersatz der
einen
=
gesamte Leitungsinduktivität
C
=
gesamte Querkapazität der Leitung
n
Dämpfungswiderstand
m
Spannungsteilerersatz
Nach Kapitel
leitung
homogenen Leitung durch
L
durch die
II, Abschnitt 4,
(RjJ
ist der
Uebergang
der
von
Transformationsgleichungen festgelegt.
Kettenleiters wurde mit den durch
n-gliedrigen Kettenleiter
Gleichung (11/10)
und
Original-
Die Werte des
zur
Modell¬
12-gliedrigen
(n/11) gegebenen
Transfor-
mationsgrössen berechnet. Nach diesen Gleichungen ist
T=250
Die
mit den
m
=
25
n
Multiplikation der
aus
=
2500
und
r
=
10
Gleichung (149) folgenden Kapazität
zugehörigen Transformationsgrössen ergibt
die
(152)
und Induktivität
entsprechenden Werte der
Modellleitung:
C*
=
1187,
L*
5 pF
Diese ist aber nicht verlustlos.
=
14,
75 mH
Messungen ergaben den folgenden Leitungswider¬
stand:
R*
=
0,311
(153)
bzw.
R=—
=0,03 A
159
-
IV
-
Eine charakteristische Grösse des Kettenleiters ist die Grenzfrequenz f
aus
der Induktivität und der
Kapazität
,
die sich
Teilvierpols berechnen lässt (siehe
eines
12).
Bild
*
for
2TT
Nach
13)
(154)
=
||4i
B
•
§
kann die homogene Leitung solange durch einen Kettenleiter ersetzt
als die auftretenden
werden,
Frequenzen
f «
sind. Aus Gleichung
(149)
und
(154) folgt
(155)
ig
die
Grenzfrequenz
f.
der
12-gliedrigen
Vierpolkette:
f
Die bei Keilstössen auftretenden
dass durch eine
Konzentrierung
frequenz erhöht werden
Modelleitung
muss.
=
j
114 MHz
Frequenzen liegen in dieser Grössenordnung,
der
homogenen Leitung
Der Aufwand
ist schon beträchtlich.
Dren
zur
so¬
in 50 Elementen die Grenz¬
Herstellung
Grenzfrequenz
f
«
einer
50-gliedrigen
beträgt
nach
Gleichung
(154):
f
2
=
475 MHz
Bei der Wahl der Transformationsgrössen dieser
Ersatzleitung wurden folgende
Werte angenommen:
T=
Die resultierende
120
m
=
Modelleitung
42,43
im
Originalbereich
einem
=
339,4
ist nicht verlustlos.
R*
was
n
=
r
=
VF
Messungen ergaben
(156)
für
5il,
Leitungswiderstand
von
1, 77-fi. entspricht.
IV
160
-
ex) Uebertragung
Gibt
man
im Bild 11
der
die
Rampenfunktion
aus
Bild 8
folgende rampenförmig ansteigende Spannung auf die
dargestellte homogene verlustlose offene Leitung
R3
so ist
-
die resultierende
C3
können, müssen
zu
=
0
(157)
Gleichung (147) gegeben.
u, durch
Spannung
Um diese berechnen
und
co
=
Z
,
und
t
T0
bekannt sein.
Nach
Gleichung (60) und (149) ist
Zw
i-
=
w
tn folgt
aus
T ist die Laufzeit der
=
t
-
(2n-l)
=
VÛ7
(159)
T
homogenen Leitung.
T
der
(158)
Gleichung (73a):
tn
was
352,511
=
C
Nach
16,75
=
Gleichung (58) beträgt
(160)
ns
Fortpflanzungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen in Luft ent¬
spricht.
Die Bedeutung der Anstiegszeit
T0
Aus
Gleichung (147) folgt,
vielen
Teilspannungen
u3
Es wurde schon
den
Bild 8 entnehmen.
(161)
dass sich die resultierende
uT
+
u3T
+
Wir wählten:
(siehe
u5T
+
Bild
u7T
Spannung
u,
aus
unendlich
13).
(162)
+
gezeigt, dass diese Teilspannungen
durch die Reflexion
von u.
an
Leitungsenden entstehen.
Wie
suchten
aus
so
Bild 13 ersichtlich
Ausgangsspannung
Setzt
ein,
man
50 T
=
zusammensetzt
=
kann
Tq
man
erhält
nungswerte:
die durch
man
ist, genügt
die Kenntnis
von
zur
Ug
vollständigen Bestimmung
zu
den Zeiten
T, 3T, 5T,
Gleichung (157... 161) gegebenen Grössen
als Antwort auf die
in
der ge¬
...
(2n-l) T,
Gleichung (147)
Rampenfunktion die folgenden bezogenen Span¬
161
-
t
u3(t)
T
3T
5T
7T
0,00
0,08
0,08
0,16
9T
0,16
IV
11T
13T
15T
17T
19T
0,24
0,24
0,32
0,32
0,40
U0
Aus dieser Tabelle
folgt
der
im
Bild 14
dargestellte treppenformige Verlauf
von
ug.
Bild 13
Uebertragung
der Rampenfunktion über
Zerlegung
u,
Als
=
der
Antwortspannung
homogene unbelastete Leitung
eine
u,
ihre
in
Teilspannungen
Eingangsspannung
Vergleich geben
wir
auf den Eingang der unbelasteten
50-gliedngen
Modell¬
ierung dieselbe rampenformig ansteigende Spannung. Die resultierende Ausgangs¬
spannung ist
aus
Bild 15 ersichtlich.
Um die gemessene
können,
wurde das
im
Spannungskurve besser mit der berechneten vergleichen
Bild 15
fotografierte Gitter,
Modell vorgenommenen Zeittransformation
Ein Vergleich der beiden
Einzig der
durch den
am
(t*
Oszillogramme zeigt,
Modell resultierenden
Leitungswiderstand (R*
=
=
unter
120
t),
Berücksichtigung
im
Bild 14
der
eingezeichnet.
dass diese gut übereinstimmen.
treppenformigen Ausgangsspannung wurden
5A)
die Kanten
gerundet.
zu
am
IV
-
Belastet
die
man
162
homogene Leitung
-
bzw.
die
50-gliedrige Modelleitung
mit
einem ohmschen Widerstand
Bild 14
Uebertragung der rampenförmig ansteigenden Spannung
Resultate der
Berechnungen
an
der
homogenen unbelasteten Leitung (R,
=
oo)
1: Oszillogramm der bezogenen Eingangsspannung
Kurve
U0
2:
Kurve
Oszillogramm
der
bezogenen Antwortspannung
U0
3
:
T
:
U
Dieses Gitter
entspricht
strahloszillographen
Laufzeit der
=
0
u,(t
l
=
50
dem im Bild 15
homogenen Leitung
T)
fotografierten Gitter des Kathoden-
-
163
IV
-
Bild 15a
Uebertragung der rampenförmig ansteigenden Spannung
Messungen
an
Kurve
1:
Kurve
2:
U0*
t*
=
=
der
50-gliedrigen unbelasteten Modelleitung (R„*
Oszillogramm
der
bezogenen Eingangsspannung
Oszillogramm der bezogenen Antwortspannung
ux* (t*
=
50 T*
=
100,
5
us)
120 t
Bild 15b
Oszillogramm
der Antwort auf die
Kurve 2 des Bildes 15a
Rampenfunktion
=
u3*
oo)
IV
164
-
R3
(Siehe
7kA
=
12),
Bild 11 bzw.
Die
(147).
in diesem
man
der
der
Vereinfachung
=
0,
(=
kü
r
(163)
Rg)
ändern sich die durch Bild 14 und 15
so
Spannungen. Am
den im Bild 16
Fall,
u, am Ende der
Spannung
Zur
19,8
=
lässt aber R—
gegebenen Oszillogramme
erhält
R3*
bzw.
-
Ende der
50-gliedrigen Modelleitung
dargestellten Spannungsverlauf:
homogenen Leitung folgt wieder
Berechnungen
führen wir
aus
Gleichung
folgende Abkürzungen
ein:
u„(t)
oT
zl
und
~
-
-=—
Zw,
T°(1
=
(164)
u
U0
R
R3
R3
b
=
Z
(1
+
^)
R3
Dadurch sind die
durch
folgende
bezogenen Spannungen
Ausdrücke
fi(t
=
T)
=0
u(t
=
3T)
=
2a
2a(l-b)
p(t
=
5T)
=
p(t
=
7T)
=
u(t
=
9T)
=
Durch die Anwendung
u
(t
=
(2n-l)T)
zur
Zeit t
=
T, 3T, 5T
...
(2n-l)
T
...
2a(3-2b+b2)
2a(4-3b+2b2-b3)
Summationsformeln erhält
von
=
u
gegeben:
2a[(-b)n
+
nb
+
man
fi
zur
(n-l)]
Zeit t
=
(2n-l)T:
(165)
(1+b)2
Mit Hilfe der Gleichungen
(162, 161,
160 und
158)
lässt sich der
verlauf berechnen:
p (t
=
u
(t
=
u
(t
=
=
0
u
(t
=
3T)
=
0,076
5T)
=
0,084
u
(t
=
7T)
=
0,153
9T)
=
0,166
fi (t
=
11T)
=
0,
T)
230
gesuchte Spannungs¬
165
-
IV
-
Bild 16a
Uebertragung der rampfenförmig ansteigenden Spannung
Messungen
R,
à
an
der
7 kft bzw.
=
Kurve
1:
50-gliedrigen Modelleitung, bei ohmscher Belastung:
R*
=
*
19,8 VlSI
u*
Oszillogramm der bezogenen Eingangsspannung
U,
0
Kurve
J0*
t*
=
=
2:
uj*
Oszillogramm der bezogenen Antwortspannung
(t*
=
50 T*
=
100,5 us)
120 t
Bild 16b
Oszillogramm
Kurve 2
der Antwort auf die
des Bildes 16a
Rampenfunktion
IV
u
(t
=
13T)
0,
(t
=
15T)
=
0,
308
u
(t
=
18T)
=
0,
386
=
17T)
=
0,
330
21T)
=
0,
412
ergeben den
der
Gibt
man
im Bild 17
der unter
dargestellten Kurvenverlauf,
Zeittransformationsgrösse
Bild 16 ersichtlichen
A) Uebertragung
T
=
120
(t*
=
120t)
im
Prinzip
mit
Oszillogramm übereinstimmt.
des Keilstosses
den
aus
Bild 10 ersichtlichen Keilstoss auf den
dargestellten Schaltung,
den drei
u
=
Berücksichtigung
-
249
(t
Diese Werte
aus
=
p (t
u
dem
166
-
Spannungen
so setzt
sich
u2R(t), "or^k^
u2rW
+
analog
unc'
U2R<W
+
zu
Eingang
der im Bild 5
Gleichung (117) die Antwort
U2S^W
u„
aus
zusammen.
u2S(tK>
(166)
Es ist dabei
Unter der
U2R«
die Antwort auf
u,,,(t),
U2R(tK>
die Antwort auf
u^ft-,)
u^tff)
J2SV
die Antwort auf
"K3(t]ç)
K'
Annahme,
dass
RD
ist, folgt
u2R(t)
und
Siehe Bild 10
Uoi}(tK)
aus
Gleichung (123) berechnen lässt.
~
(167)
Zw
(124),
Gleichung
In diesen
während sich
Uog(tK)
mit Hilfe
von
Gleichungen sind folgende Grössen unbe¬
kannt:
R3, C3, Zw, T\v
T,
Oj undT0
Wir wählen
R,
=
10 kfl
und
Co
=
100 pF
(168)
167
-
iuM
I
t
1
1
r ;
l
i
r! 1
i
r
Hr'
L
ij-
1
i-
i
i
i
-
.^
*•>
i
-i|-
-
i
1 -Lp
i
i
V
j^f
T
T
^i2
1
m
.»^i
i
|
!
r1
*V
^2
P
J
'
j
-,
1
T
i
'-i
M
300
"
r
^
"Zl"
^
-----
-
^
4-
t
f| ^J£f-T
-
[
—
B
1
-I
1
"""l i
|2f0|
ST
-^ -t~
1
-
xkïjf
I
H C_J51r rr
-
i
-
T
1
Ï"
i
-
y*>",q
ft
i
-t-
11
]
1
K
r~
1+
1
-
1
.
—IV.
i
IV
-
I—I—
r-
—
1
-
I
1
i-
i
i
-
-^
i
Bild 17
Uebertragung
Resultate der
lastung (R,
=
der
rampenförmig ansteigenden Spannung
Berechnungen
7
an
der
homogenen Leitung,
bei ohmscher Be¬
kH)
Kurve
1:
Oszillogramm
der
bezogenen Eingangs Spannung
Kurve
2
Oszillogramm
der
bezogenen Antwortspannung
:
ul
—
Un
3:
Dieses Gitter entspricht dem
Da wieder die
über dem Boden
und
im
Bild 16
Uebertragungseigenschaften
befindet,
fotografierten.
der 5m
langen Leitung, die sich 6m
untersucht werden sollen, ist nach
Gleichung (149), (158)
(160)
Zw
*i
T
5 il
=
352,
=
»
=
16,75
(169)
ns
IV
168
-
CT, folgt
aus
Gleichung (65)
und
(168).
frei wählen. Der Einfachheit halber wurde
-
Abschneidezeitpunkt
Den
Tq
TQ
können wir
als ein ganzzahliges Vielfaches der
Laufzeit T angenommen:
T0
Mit den
mitteln. Die
den
aus
dieses
0,
=
Gleichungen (167
Berechnung
elektronischen
30 T
=
5025
(170)
us
170) folgenden
...
Spannungsverlaufes
Rechenmaschine,
Werten lässt sich
wurde
punktweise
der Bendix G 15 der Firma Omni
u«
er¬
auf einer
Ray AG, in Zürich,
durchgeführt.
Die
den Zeiten
zu
t
=
i,
0,
-T
T,
resultierenden
bezogenen Spannungswerte
Kolonne dieser Tabelle
ergibt
45 T
2
2
sind aus Tabelle 9 ersichtlich. Die letzte
die im Bild 18
dargestellte Antwort auf
den
Keilstoss,
die mit
U3H
U0
bezeichnet werden soll.
Ersetzt
man
in dem berechneten
Gleichung (168)) durch
Beispiel den Widerstand R,
einen 20 kXl bzw.
7 kiî.
wort auf den Keilstoss das im Bild 19 bzw.
20
Widerstand,
so
=
10 klî
(siehe
resultiert als Ant¬
dargestellte Oszillogramm. Diese
Kurven wurden ebenfalls mit der Bendix G 15 ermittelt.
Aus den drei letzten Bildern
Rg
in diesen
Grenzen, praktisch
geht hervor,
dass die
Aenderung
keinen Einfluss auf die Form der
des Widerstandes
Antwortspannung
hat.
dass
Die
aus
man
die
Bild 18 ersichtliche
3L
bezogene Spannung
homogene Leitung durch ihre
0
rechnet. Das entsprechende Schaltschema ist im Bild 21
wurde unter der
Annahme,
Induktivität ersetze,
be¬
dargestellt.
Dass diese oft vorgenommene Vereinfachung nicht immer zulässig ist, zeigt
Bild 18.
Bis
überein,
weichen aber nach
ximalwert
zu
zum
Abschneidezeitpunkt
Tq
Tq
stimmen die
Spannungen u, und u„L
voneinander ab. Während u,.
aufweist, wächst u,H weiter,
um
erst
zur
Zeit
Tq
zur
+
Zeit
T0
seinen Ma¬
T seinen Scheitelwert
erreichen.
Die
aus
Tabelle 9
folgende Spannung u,H lässt sich, wie die Antwort auf die
Rampenfunktion, experimentell
im Bild 22
dargestellt.
ermitteln. Die
entsprechende Modell Schaltung ist
-
169
-
Tabelle
t[ns]
u2rW
^3
U0
U0
.00
.0000
8.37
.0000
.0000
16.75
25.12
33.50
9
.0000
.0072
.0000
.0000
.0000
.0000
.0072
.0157
41.87
50.25
58.62
.0157
.0269
.0269
.0404
.0404
67.00
.0555
.0555
75.37
92.12
100.50
108.88
.0718
.0888
.1061
.1234
.1406
117.25
.1577
125.62
134.00
142.38
150.75
159.13
.1745
83.75
167.50
175.88
184.25
192.63
.0718
.0888
.1061
.1234
.1406
.2236
.1577
.1745
.1910
.2074
.2236
.2398
.2558
.2558
.2719
.2879
.2719
.2879
.1910
.2074
.2398
.3039
.3039
201.00
.3199
.3199
209.38
.3359
.3520
.3681
.3842
.3359
.3520
.3681
.3842
242.88
251.25
259.63
.4003
.4003
.4163
.4325
.4163
.4325
268.00
276.38
.4486
.4647
.4647
284.75
.4808
.4808
293.13
.4969
301.50
318.25
.5130
.5291
.5452
326.63
.5613
.5613
335.00
.5774
.5774
343.38
.5935
.5935
351.75
.6096
368.50
.6096
.6257
.6418
376.88
.6579
.6579
385.25
393.63
.6740
217.75
226.13
234. 50
309.88
360.13
.6901
.4486
.4969
.5130
.5291
.5452
.6257
.6418
.6740
.6901
IV
-
[t ns]
170
-
UZR®
u2S(tK>
u2R<tK)
U0
U0
U0
^L
U0
402.00
.7062
410.38
.7223
.7223
418.75
427.13
.7384
.7545
.7384
435.50
443.88
.7706
.7867
.7706
.7867
452.25
460.63
.8028
.8189
.8189
469.00
.8350
.8350
477.38
485.75
.8511
.8511
.8672
.7545
.8028
.8672
494.13
502. 50
.8994
510.88
.9155
519.25
.9316
.9477
527.63
.7062
.8833
.8833
.0000
.0000
.0000
.0000
.9155
.0000
.0000
.9316
.7246
-
.2231
.9638
-
.4195
.9799
-
552.75
.9959
-
561.12
569.50
1.0121
1.0282
577.87
1.0443
586.25
594. 62
1.0604
1.0765
603.00
536.00
544. 38
.5925
7448
.0000
-
-
-
.
8660
.8994
.0072
.5370
.0157
.0269
.3716
.2242
.1056
-
.0404
-
.9494
-
.0555
-
1.0023
-
.0718
-
.0298
-
.0888
-
.0592
-
.1061
-
.0700
.1234
-
.0684
.1406
-
.0596
1577
-
.0473
.1745
-
.0343
1910
-
.
.0222
2074
-
.
.0124
-
.0050
-
.
-
-
1.0308
1.0404
.0232
1.0926
-
1.0376
-
611.37
1.1087
-
1.0276
-
619.75
1.1248
-
1.0144
-
628.12
1.1409
-
1.0007
-
636. 50
1.1570
-
.9882
-
644.87
1.1731
-
.9781
-
653.25
1.1892
-
.9705
-
.2236
661.62
1.2053
-
.9653
-
.2398
.0001
670.00
1.2214
-
.9623
-
2558
.0032
678.37
1.2375
-
.9608
-
.2719
.0047
686.74
1.2536
-
.9605
-
.2879
.0051
695.12
1.2697
-
.9610
-
.3039
.0047
703.49
1.2858
-
.9618
-
711.87
720.24
728.62
1.3019
-
.9628
-
.3199
3359
.0040
.0030
1.3180
-
.9638
-
.3520
.0021
1.3341
-
9646
-
.
.3681
.0013
736.99
1.3502
-
.
.3842
.0007
745.37
753.74
1.3663
1.3824
.4003
.4163
.0003
.0000
762.12
1.3985
770.49
778.87
1.4146
1.4308
787.24
.
.
.
9653
-
-
.9657
-
-
.9661
-
-
-
.9662
.9663
-
-
-
.9663
-
1.4469
-
.9662
-
795.61
1.4630
-
.9662
-
.9661
-
9660
-
.9660
-
803.99
1.4791
-
812.36
1.4952
-
820.74
1.5113
-
.
.4325
.4486
-
-
-
.0001
.0002
.
4647
-
4808
-
.
.0001
4969
-
.
.0001
5130
-
.
.0000
.
5291
.0000
.
5452
.0000
.0002
Bild 18
Uebertragung des
Keilstosses
ul
U
(Kurve 1)
0
"3H
Kurve
2
=
-^i
=
Kurve
3
U3L
=
=
Uq
U0
T
=
=
uj (t
=
30
Antwort auf den Keilstoss bei der im Bild 5
Schaltung
U0
(Rp
=
R3
=
10
kil,
dargestellten
Cg
Antwort auf den Keilstoss bei der im Bild 21
Schaltung.
T)
Laufzeit der
352,511,
homogenen Leitung
=
100
pF)
dargestellten
Leer
-
Vide
-
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173
-
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1
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A
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-
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1
1
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'
i
1
IV
-
Bild 19
Uebertragung
'1
des Keilstosses
(Kurve 1)
über die
im
Un
Bild 5
Kurve
2:
1
1
!
Antwortspannung,
dargestellte Schaltung
Rp
wenn
=
352,51},
Rg
20
=
!
i
1
u
k
1
1
T"'
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Bild 19 aber
^
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HH
Bild 20
wie
t
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r
=
!
-
A»
Cg
--
—
—^
*-
kil,
R3
=
7 kfL
—f—
}—
-^
;
1
_H
: l Iî~ -•-J
100 pF
IV
-
174
-
Bild 21
Uebertragungsglied
I
:
Ersatz der
II
:
Dämpfungswiderstand
in
:
Spannungsteilerersatz
homogenen Leitung
durch ihre Induktivität L
R»
Bild 22
Das
Uebertragungsglied
im Modell
I
:
II
:
Modelldämpfungswiderstand
HI
:
Spannungsteilerersatz (Modellgrössen)
Modelleitung
Rp*
175
-
Für diese
Modellmessung
IV
-
ersetzen wir die
durch den 12-
homogene Leitung
gliedrigen Kettenleiter, deren Transformationsgrössen
nehmen kann. Somit lassen sich die Bildgrössen
Gleichung (152) ent¬
man
Rp.*, R3*
und Co* berechnen.
Nach
Gleichung (152, 168 und 169) ist:
Rp*
R3*
C3*
Rjj
=
r
.
=
r
•
=
m
R3
C3
•
=
10
•
=
10
•
25
=
352,5/5.
=
3525-fl
10 kA
=
100 kft
=
2500 pF
100 pF
•
Geben wir auf den Eingang dieser Schaltung die
u«*,
nung
so
erhält
man
(u,*),
als Antwort
das im
aus
Bild 23 ersichtliche
gleichen
Bild
Span¬
dargestellte
Oszillogramm.
Berücksichtigt man, dass u,* nicht linear, sondern nach einer e-Funktion
wächst,
so
entspricht
u3*
der berechneten
grafie (Bild 23c) sind zwei durch Modellversuche ermittelte Spannungsverläufe,
den im Bild 18
beiden Bilder
nung,
zeigt eine sehr gute Uebereinstimmung
beachtet,
von
R3*, C3*
und
so
Gleichung (152)
dass nach
für die im Bild 22
man
gliedrigen Kettenleiter,
mung
die
dargestellten Kurven entsprechen, festgehalten. Ein Vergleich der
wenn man
Wählt
an¬
Spannung Uotj. In einer weiteren Foto¬
sind die
von
t*
=
dargestellte Schaltung
Experiment
als
Transformationsgrössen,
Rq* benötigen,
durch
und Berech¬
250 t ist.
Modelleitung den 50die wir
zur
Bestim¬
Gleichung (156) gegeben. Mit
dieser
Schaltung soll bei einer festen Wahl des Dämpfungswiderstandes
rd
=
zw
für verschiedene
stoss
(ui *)
Bild 24
sen
man
I
Rp*
=
r
•
=
am
Rjj
C3*)
=
Y^Rq
352,
z.
513.
0,
=
998 kil
(u3*)
die Antwort
Modell gemessenen
auf den Keil-
Oszillogramme sind
Der Einfachheit halber wurden in diesem
Beträgt
nur
die
im
Originalgrös-
B.
,
R3
=
die gesuchte Antwort
Kreuzungsviereck
man
bzw.
Belastungskombinationen (Ro*,
dargestellt.
angegeben.
findet
I
511
ermittelt werden. Die
RD
so
352,
=
der Kolonne
in der vorher untersuchten
R3
30 kA
U3
=
und
auf die
30 kit
C3
=
200
pF,
keilförmige Spannung
mit der Zeile
Modellschaltung
V
=
°
C3
=
in der Foto im
200 pF.
Setzt
IV
-
176
-
Bild 23
Verformung
eines Keilstosses bei dessen
Uebertragung
über die
12-gliedrige
Leitung und über die durch ihre Induktivität ersetzte homogene Leitung
a)
Kurve
1:
ul*
—-
U
=
0
Oszillogramm
der
bezogenen Spannung
Leitungen
Bei Messungen an der 12-gliedrigen Modelleitung
(Schaltung entsprechend Bild 22,
RD*
rd
erhält
=
=
Zw*
zw
am
Eingang der
beiden untersuchten
=
3525-0.
R3*
=
352,
R3
5A
=
100 kSX
=
10 kXl
+
Dämpfungswiderstand
2500 pF
100
pF)
man:
Kurve
2:
Oszillogramm
der
bezogenen Spannung
ersatz.
V
=
t*
250 t
am
Spannungsteiler¬
-
b)
Kurve
2
c)
Ku
2
rve
vom
:
Bild 23
IV
-
a
Siehe Erklärung beim Bild 23a
Modellmessungen
Bei
177
an
der durch ihre Induktivität ersetzten
homogenen
Lei¬
tung (Schaltung entsprechend Bild 21,
Rjj*
=
Zw*
=
3525Ü
R3*
=
100 kil
Cg*
=
2500
pF)
erhält ni an:
Ku
rve
3 :
U3L*
V
Oszillogramm der bezogenen Spannung
ersatz
am
Spannungsteiler-
IV
d)
178
io*
=
Oszillogramm des Stromes durch den Spannungsteilerersatz R»*, Co*
(siehe Bild 22)
Gleiche
Messanordnung
und
Eingangsspannung
wie beim Bild 23a
Bild 24
Uebertragung
Messungen
ohmisch
Rr
an
der
des Keilstosses über eine
50-gliedrigen Modelleitung
kapazitiver Belastung (R,,
Zw
=
352,
5
Rg
=
uj
Oszillogramm der Eingangsspannung
ug
=
Oszillogramm
an
der
(RjJ
und
entsprechend Bild 22,
variabel)
variabel,
Spannung
mit Seriewiderstand
Cg)(Schaltung
=
der
gedämpfte Leitung
Belastung
Rg, Cg (Ersatzmessteiler)
179
-
und bestimmt für verschiedene
auf die
Belastungskombinationen
(uj*),
abgeschnittene Stosspannung
Oszillogramme. Auch in diesem
auf den Keilstoss eine
so
Bild wurden
Aus diesen Fotografien geht
keilförmige Spannung
IV
-
erhält
nur
die
(R3*, Co*)
ansteigt,
Der
am
die
anfänglich
Man erhält nämlich als Antwort
nicht rampen- sondern
geht,
treppenformig
sondern starke
aufweist.
Modell nach dem Abschneiden ermittelte Spannungsverlauf entspricht
in Form und Grösse nicht ganz der
Spannung,
(u,*)
dargestellten
Originalgrössen angegeben.
und die nach dem Abschneiden nicht auf Null zurück
Schwingungen
die Antwort
die im Bild 25
hervor, dass durch eine ungedämpfte Leitung eine
stark verfälscht werden kann.
Spannung,
man
da die
am
Ende der
50-gliedrige Modelleitung
homogenen Leitung
auftretenden
mit Verlusten behaftet ist und hohe
Frequenzen stark dämpft (siehe Gleichung (154)).
Mit der im Bild 25
angegebenen Schaltung
Eingangsspannung die Stromverläufe
lasteten Leitung
gestellt.
Die
am
Anfang
wurden bei derselben
und
am
keilförmigen
Ende einer verschieden be¬
fotografiert. Die resultierenden Oszillogramme sind
im Bild 26 dar¬
angegebenen Strommasstäbe gelten bei einem Scheitelwert der Spannung
von
U0
=
ux
=
95,5kV
IV
-
ÇJM
180
R,=co
-
R.=30kQ
Ro
=
10kQ
0
100
ea
200
700
IMMi
1600
Bild 25
Uebertragung
Messungen
Ro
u2
=
=
an
variabel
der
50-gliedrigen Modelleitung (Schaltung entsprechend
C, =variabel)
Oszillogramm
des Keilstosses
der
u,
=
Bild 5
Rn
=
0
Oszillogramm der Eingangsspannung (untere Kurve)
Antwortspannung (obere Kurve)
IV
-
R3=3kO
R3
=
181
-
1kû
R,= 352,5Ü
C3[PF]
0
mÊM wsammwMm
100
200
gRäMS
700
MB
1600
nasHHin
—a—a
182
IV
Bild 26
Stromverlauf
Gleiche
am
Eingang und Ausgang
Schaltung und Eingangsspannung
Originalmasstab angegeben.
wurde der
i,
=
Strom
am
Eingang
in
=
Strom
am
Ausgang der Leitung
der
Leitung
einer
Leitung bei Keilstössen
wie im Bild 25.
Auf den
Oszillogrammen
-
üH0l=Ed
£81
AI
-
u>ie=Ed
Mb
001
001
184
-
-
Kapitel
Um die komplizierten
ein
Modell,
nen.
V
ZUSAMMENFASSUNG
UND
SCHLUSSBETRACHTUNG
Berechnungen
an
Stossanlagen
dem die auftretenden Probleme
an
Durch eine Zeittransformation
wir die
bauten wir
untersucht werden kön¬
experimentell
verlangsamten
Dadurch Hess sich der Aufbau desselben sehr
umgehen,
zu
Stossvorgänge
im Modell.
und wir konnten die
vereinfachen,
Funkenstrecken durch Schalttransistoren ersetzen.
In den folgenden theoretischen
Aenderung
der Induktivität L
rakteristischen
Gleichung
von
von
Untersuchungen bestimmten
0...
Dreispeicherstosskreisen.
Ort
blieb,
während das
Ueberschwingen
von
5% verursacht,
berechnen. Ausserdem Hessen sich
an
mengehörige Wurzelwerte p«, p, und
ergaben.
Diagramme
zu
Induktivitätsänderungen
und die Induktivität
grafisch
bestimmen,
Po
denen
Leo?, die
Hand dieser Ortskurvenbetrachtungen
lösen. Es
zeichnen,
Kreis wanderte.
übrigen Stosskreisgrössen
gelang
man
den
ein
zu
zusam¬
1,2/50 Stosspannung
die eine
Mit diesen Wurzelwerten Hess sich ein in der
auftretendes Problem
kreise
(L^)
in Funktion der
bei der
dass die eine
konjugiert komplexe Wurzelpaar auf einem
die kritische Induktivität
Dadurch gelang es,
die,
fanden,
Wir
der drei Wurzeln für die in der Praxis auftretenden kleinen
am
wir
Wurzelortskurven der cha¬
resultierenden,
oo
Stosspannungstechnik häufig
für verschiedene
Dreispeicherstoss-
Zusammenhang zwischen den Stoss¬
kreisgrössen und den berechneten 1, 2/50 Stosspannungskurven entnehmen kann.
Ein weiteres
ist die
Problem, das
bei
Stosspannungsmessungen
immer wieder
Bestimmung des Uebertragungsfehlers, verursacht durch die Leitung
Prüfobjekt
zum
Spannungsteiler.
meistens durch ihre Induktivität
In früheren
ersetzt,
Untersuchungen
was vor
wurde diese
allem bei der
auftritt,
vom
Zuleitung
Uebertragung
von
Keilstössen kein genaues Bild über die Grösse der dadurch verursachten Messfehler
gibt. Wir berechneten daher für die homogene, gedämpfte und ungedämpfte Leitung,
bei ohmisch-kapazitiver
Belastung,
funktion. Diese setzt sich
zusammen,
sodass für
aus
die Antwort auf die
unendlich
vielen,
Schritt-, Rampen-
und Keil¬
zeitlich verschobenen Teilfunktionen
allgemeine Belastungsfälle die Antwort mit
einer elektroni¬
schen Rechenmaschine ermittelt wurde.
Weitere Untersuchungen
gedämpften Leitung
für die
zeigten,
dass die
Uebertragungsfehler
auch Modellversuchen entnommen werden
ungedämpfte homogene Leitung
der
homogenen
können, während
nicht immer möglich ist.
dies
185
-
-
LITERATURVERZEICHNIS
1)
R. Höf er,
2)
W.
Die Konstanten des Stossgenerators für eine gegebene Wellenform,
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Band
3)
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Ein allgemeines
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4)
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.
Schwartz
Asner,
Schwingungsfreie Stosschaltungen mit drei, vier oder fünf
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6)
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7)
G
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Zingales,
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H. F
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K. W.
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S.
e.V.Berlin-
impulso, L'Energia
560... 575.
Schwenkhagen, Allgemeine Wechselstromlehre, 2. Band, SpringerVerlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1959, S. 102.
Wagner,
Operatorenrechnung und Laplacesche Transformation, 2.ver¬
Auflage, Johann Ambrosius Barth-Verlag, Leipzig,
besserte
1950. S.192...201.
10)
Siehe
4\
S. 79
.11)
A.
.12)
Handbuch für
Ostrowski,
Vorlesungen über Differential und Integralrechnungen Band II,
Verlag Birkhäuser, Basel, 1951, S. 334.
Hochfrequenz
und
Elektrotechniker, dritte Auflage, Verlag für
GmbH, Berlin-Borsigwalde, 1952,
Radio-Foto-Kinotechnik
S.
.13)
Siehe-8',
S.
223.
236 und 247.
Lebenslauf
April 1933 wurde ich als Sohn des Amtsgerichtsrats Eduard Heyner und der
Am 24.
Magdalena, geb. Sidler,
in
Altenburg/Thiir (Deutschland) geboren.
1939...1943
Besuch der Volksschule in
Altenburg.
1943...1951
Besuch des Fridericianums und der Schweizerischen Alpinen Mittelschule in Davos
und Abschluss der
Schulbildung
mit der Maturität.
1951...1952
Absolvierung
der Vorstudienpraxis bei der Maschinenfabrik Oerlikon in Zürich.
1952. ..1956
Studium
schule
an
der
(ETH)
Abteilung für Elektrotechnik der Eidgenössischen Technischen Hoch¬
mit
Diplomabschluss (Richtung Starkstrom).
1956... 1958
Assistent
am
Institut für allgemeine Elektrotechnik der ETH
(Prof.
Seit 1958
Doktorand
am
Institut für
allgemeine Elektrotechnik der ETH.
Ed.
Gerecke).