Vorlesung: Prof. Dr. Gert Wanka Übung: Dr. Sorin

Mathematik I (für Informatiker, ET und IK)
Vorlesung: Prof. Dr. Gert Wanka
Übung: Dr. Sorin-Mihai Grad, André Heinrich, Sebastian Banert
2. Lineare Algebra
(Studienmaterial 4)
Grundbegriffe der Vektoralgebra (4b)
a) ~a = (1, 0, −3)τ , ~b = (6, 4, −3)τ ,
Berechne ~a · ~b und ~a × ~b.
b)~a = 2~ı + 3~,
(7) Es sei
~b = 3~ + 2~k.
(10) Berechne die Seitenlängen und die Winkel des Dreiecks A(4, 1), B(13, −11), C(29, 1).
−→
(15) a) Berechne die Richtungskosinus des Vektors P1 P2 : P1 (1, 1, 1), P2 (2, 3, 4).
(17) Berechne alle Skalarprodukte ~am · ~an (m, n = 1, 2, 3):
2
1
2
~a1 = ~ı − ~ + ~k,
~a3 = 23~ı + 23 ~ − 13 ~k.
~a2 = − 13~ı + 32 ~ + 23 ~k,
3
3
3
(23) a) Zerlege den Vektor ~b bezüglich ~a in eine Parallelkomponente ~b0 und eine Normalkom~b = ~ı − 2~ + 2~k.
ponente ~b00 :
~a = −~ı + ~,
(26) Berechne die Arbeit, die man aufwenden muss, um ein Gewicht von 20kN um 5m zu heben.
Man bewege es auf einer um 30◦ geneigten schiefen Ebene. Der Reibungskoeffizient sei
0.5.
(32) Die
Grundfläche
einer
dreiseitigen
Pyramide
habe
die
Eckpunkte
A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6). Der Punkt D(2, 3, 8) sei die Spitze der Pyramide.
Berechne
a)Inhalt der Grundfläche
b)Höhe der Pyramide
von D auf die Grundfläche und
d)Volumen der Pyramide.
c)Fußpunkt des Lotes
~ dass sich zwei parallele,
(77) Begründe über die Gleichung der Lorentz-Kraft F~ = I~l × B,
stromdurchflossene Leiter anziehen oder abstoßen.
Vektordarstellung von Gerade und Ebene (4b)
(20) Berechne alle Ortsvektoren, die auf ~a = (1, 1, 1)τ senkrecht stehen.
(21) Berechne alle Ortsvektoren, die auf ~a = (1, 1, 1)τ und ~b = (0, −1, 1)τ senkrecht stehen.
(34) g1 sei die Gerade durch den Ursprung und mit dem Richtungsvektor m
~ = (−4, 2)τ . g2
sei die Gerade durch die Punkte P1 (−2, −1) und P2 (−1, −2). g3 sei die Gerade durch den
Punkt P (1, −3) und parallel zur Geraden 2x − y = 3.
a)
b)
c)
e)
Gib Parametergleichungen und parameterfreie Gleichungen von g1 , g2 , g3 an.
Berechne den Schnittwinkel von g1 und g2 bzw. von g2 und g3 .
Berechne den Schnittpunkt von g2 und g3 .
Gib eine Parametergleichung der Geraden an, die durch P (2, 1) geht und
senkrecht auf g1 steht.
(46) Eine Ebene E sei durch die Punkte A(1, 4, 0), B(−1, 2, 3), C(1, 0, 0) gegeben. Berechne
a)
b)
eine Parametergleichung von E,
eine parameterfreie Gleichung von E,

f)



−2
1
den Schnittpunkt von E mit der Geraden g : ~r =  −4  + t  2 .
3
−1
Lagebeziehungen Punkt-Gerade-Ebene (4b)
(48) Gegeben seien die Ebenen E1 : x + y + z = 1, E2 : ~r = (1, −1, 0)τ + t(2, 0, 1)τ +
s(−1, −2, 2)τ . Berechne
a)
b)
c)
d)
die Schnittgerade g von E1 und E2 ,
die Ebene, die den Punkt P (1, 2, 3) enthält und parallel zur Ebene E1 verläuft,
die Ebene, die den Punkt P enthält und senkrecht auf der Schnittgeraden g steht,
den Abstand des Punktes P von der Ebene E2 .
(51) Eine Ebene E sei durch die Punkte A(1, 2, 0), B(1, −1, 1) und C(0, 2, −1) gegeben. Bestimme
a) den Abstand des Punktes P (6, −2, 0) von der Ebene E,
b) eine Gleichung des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E,
c) den Fußpunkt F dieses Lotes.
(56) b) Bestimme den Abstand d des Punktes P von der Geraden g und den Fußpunkt F des
Lotes von P auf g, wenn P (−2, −2, 3), g:Gerade durch P1 (1, −1, 2) und P2 (1, 1, 0).
(59) b) Bestimme den kürzesten Abstand der Geraden und die Fußpunkte des gemeinsamen
Lotes:
a)g1 : ~r = (12, −7, 3)τ + t(9, −8, 1)τ ,
b)g1 : ~r = (−7, 5, −1)τ + t(4, 0, −3)τ ,
g2 : ~r = (1, −2, −4)τ + t(−3, −2, 2)τ
g2 : ~r = (−1, 2, 7)τ + t(8, 1, −6)τ .
(81) Leite die Gleichung der Tangente her, die den Kreis x2 + y 2 = r2 im Punkt P (x0 , y0 )
berührt.
Matrizen (4a)
(10) Gegeben seien die Matrizen A =
1
4
2
5
3
6
a)Berechne 2B − A.
,
B=
b)Löse die Gleichung A + X


1 4
(11) Berechne b) (1 −1 1) ·  2 5 
3 6
 



1 0
1 0 0
1
f) a 1 0  ·  0 1
c) −1  · (1 2 −1)
0 b
1
0 0 1
0 1
1 2
−1
−1
= B.

0
0 .
1
(14) Stelle die Gleichungssysteme aus Aufgabe 9 in Matrizenschreibweise dar.
9a)
x− y=2
−2x + λy = 0
b)
x+ y+z=0
2x − y + z = 1
−x + 2y − z = 0
(15) Gegeben seien die Systeme
u1 = x1 − x2 + x3
x1 = y1 − y2 + y3
u2 = −x2
x2 = y2 − y3
u3 = −x3
x3 = y1 + y3
Bestimme
A mit der Eigenschaft

 die Matrix


u1
z1
 u2  = A ·  z2 
u3
z3
x+y+z= 4
c) 2x − y − z = 14
x−y+z= 7
y1 = z1 − z2
y2 = z1 + z2
y3 = z2 + z3
.
(51) Gib die Vierpol-Kettenmatrix an, die sich ergibt, wenn man die reellen Widerstände RK
durch entsprechende komplexe Widerstände Z K ersetzt in den Aufgaben 47c,d und 48a.
47) c) Eine der Leitungen enthält einen Ohmschen Widerstand
a R
I
I2
1
U1 ?
a
R
a
U2
a?
d) Zwischen beiden Leitungen liegt ein Ohmscher Widerstand R
a a
I2 U
U1 ?I1
2
R
a
a?
48) a)
a U1 ?I1
a
R1 R2
a
I2 U
2
a?
(52) Man beschreibe das Übertragungsverhalten des Vierpols in der T-Schaltung entsprechend
48b mit einem Kondensator (statt R1 ) und zwei Ohmschen Widerständen.
48) b) T - Schaltung
aU1 ?I1 R1
a
- a
I
R
U2
R3 2 2 ?
a
Determinanten (4a)
λ+1
(2) Für welche λ ist 3
3 = 0?
λ+1 (3) Berechne mit der Sarrusschen Regel:
a −1
1
1 4
6 a −2 .
c) 2
b) 2 −1 −7 3
−3
3
a 5 −2


1 2 3
(4) Es sei A =  4 5 6 .
7 8 9
b)Berechne |A| durch unmittelbare Anwendung des Entwicklungssatzes.
c)Forme A um zu einer Matrix mit gleicher Determinante, die in einer Reihe höchstens ein
von Null verschiedenes Element enthält. Berechne dann |A| mit dem Entwicklungssatz.
(5) Berechne
5 2
6 1
c)
4 4
7 2
die Determinanten:
3
0
1
2
3 4 −1
3
0
7
3 4 0
4
0
8
g)
2 1 0
1
0
9
1 3 1 −2 −5 −3
0
6
8
2
−4
.
z+j
(7) Für welche komplexen Zahlen gilt: 0
1
z−j
1
z−j
j
0
z+j
= 0?
(9) Löse folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen Regel:
a)
x− y=2
−2x+λy=0
x+y+z= 4
c) 2x−y−z=14 .
x−y+z= 7
(49) Man berechne den Strom i (über i) allgemein für u = Û cos ωt
a)mittels Ersatzwiderstand
a-i C
b)mittels Zweigstromanalyse
u
R
c)mittels Maschenstromanalyse
?
a
d)mittels Vierpol-Kettenmatrizen
....
.....
.....
....
L
Inverse Matrix und Rangbestimmung (4a)
(22) a) Löse folgende Gleichungssysteme mittels inverser Matrix:
3x + 2y + 2z = −2.



1
1 1 1
(23) Löse die Matrizengleichung AX = B mit A =  1 2 1 und B =  1
1
2 1 1
2x + 3y + 4z = 1
x + 2y + 3z = 0
(45) Bei der Schaltung
I
-1
E
+ 0
-I2
R1
I3

1
0 .
1
R2
R3
folgt aus den
für dieStrömeI1 , I2 ,
I3 die Gleichung AX = B,


 Kirchhoffschen Gesetzen
I1
0
1 −1
−1
0  , X =  I2  , B =  E0 ist.
wobei A =  R1 R2
0
0 R2 −R3
I3
Berechne die Stromstärken I1 , I2 , I3 .
cos ϕ − sin ϕ
(25) a) Ist folgende Matrix orthogonal?
sin ϕ
cos ϕ
(26) Bestimme den Rang

1 4
2 2
 0 1
2 1
d)
 3 8 −2 2
1 5
4 3
folgender Matrizen:


1
2
−1
 4
1

0 

 0
0
g)

−3 
 −1 −1
−1
1
1
1
0
2
0
0







ϕ 1
c) 0 1
1 0

0
µ 
1
Gaußscher Algorithmus (4a)
(22) a) Löse das folgende Gleichungsystem mittels inverser Matrix und Gaußschen Algorithmus:
2x + 3y + 4z = 1
x + 2y + 3z = 0
3x + 2y + 2z = −2
(32) Löse folgende inhomogene Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus:
x+ y+ z = 1
2x− y+ z = 0
d)
5x− y+3z = 1
x−2y
= −1
2x− y+ z = 3
c) 6x−4y−3z = 1
4x−3y−4z = 2
(30) d) Löse das folgende homogene Gleichungssystem mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus:
−2x + 4y + z = 0
3x + y − z = 0
x + 2z = 0

2
(31) Für welche Zahl λ hat das Gleichungssystem AX = 0 mit A =  −1
6
nichttriviale Lösungen? Gib diese Lösungen an.

−9
7
2 −2 
13
λ
(32) i) Löse folgende inhomogene Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus:
x+y− z = 1
x−y+2z = 2 .
3x−y+3z = λ
Matrizeneigenwertproblem (4b)
(64) Berechne von nachstehenden Matrizen sämtliche reellen Eigenwerte und ein linear unabhängiges System von Eigenvektoren:


2 −1
2
3 2
1 1
2 −2 .
b)
e)
f) −1
1 4
1 1
2 −2
5
(67) a) Bestimme zur Matrix A eine orthogonale Matrix B, so dass B τ AB eine Diagonalmatrix
1 12
wird, deren Diagonalelemente die Eigenwerte der Matrix A sind:
A=
.
12 8
(83) Von einem Verschleißteil ist bekannt, dass 10 % der Teile nach 2-jähriger Laufzeit zu
ersetzen sind, der Rest nach 3-jähriger Laufzeit.
a) Gibt es einen stationären Zustand bzgl. der Verschleißteil-Anteile mit einem Alter von
1, 2 bzw. 3 Jahren?
b) Ist die Entwicklung der altersmäßigen Verschleißteil-Anteile wesentlich vom Anfangszustand abhängig?
Kurven und Flächen 2. Ordnung (4b)
(84) Klassifiziere
x2
y2
−
= A für a) A = 1 im R2 und b) A = 2z im R3 .
a2
b2
(69) Welche Kurven 2. Ordnung werden durch folgende Gleichungen dargestellt?
d) 3x2 + y 2 − 4x − 4y − 12 = 0
a) 5x2 − 6xy + 5y 2 + 4x + 4y = 0.
(70) a) Welche Flächen 2. Ordnung werden durch die Gleichung 2(xy+xz+yz) = 0 dargestellt?