Quantenmechanik: Symmetrien - Greiner / Müller - Beck-Shop

Greiner - Theoretische Physik
Quantenmechanik: Symmetrien
Theoretische Physik: Band 5
von
Walter Greiner, Berndt Müller
4., überarb. u. erw. Auf.
Quantenmechanik: Symmetrien – Greiner / Müller
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Thematische Gliederung:
Theoretische Physik, Mathematische Physik
Harri Deutsch 2005
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 8171 1616 4
I
Symmetrien in der
Quantenmechanik
1
Symmetrien in der klassischen Physik
Symmetrien spielen in der Physik eine fundamentale Rolle. Die Kenntnis der
Symmetrien in gegebenen Problemen vereinfacht deren Lösung oft beträchtlich.
Wir verdeutlichen dies an drei wichtigen Beispielen aus der klassischen Physik.
Homogenität des Raumes
Wir nehmen an, dass der Raum homogen sei, d. h. an allen
Orten r die gleiche Struktur habe. Das ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass die Lösung eines gegebenen
physikalischen Problems invariant unter Translationen
ist, weil in diesem Fall die Umgebung eines beliebigen
Punktes durch eine Verschiebung einer ähnlichen Umgebung irgendeines anderen Punktes hervorgehen muss
(siehe Abb. 1.1).
Diese Translationsinvarianz impliziert nun die Erhaltung
des Impulses für ein abgeschlossenes System. Wir definieren hier die Homogenität des Raumes wie folgt, dass
sich die Lagrange-Funktion L(ri ,r˙ i , t) eines Teilchensystems nicht ändert, wenn die Teilchenkoordinatenri durch
ri + a bei willkürlichem konstantem a ersetzt werden.
(Ein allgemeineres Konzept der Homogenität des Raumes
würde nur die Invarianz der Bewegungsgleichungen unter
räumlichen Translationen erfordern. In diesem Fall kann
wiederum die Existenz einer Erhaltungsgröße gefolgert
werden, aber diese ist nicht notwendig gleich dem kanonischen Impuls. Eine ausführliche Diskussion dieses
Aspekts findet man in Beispiel 1.1 und Aufgabe 1.4.)
Daher muss
∂L
∂L
δL = ∑
· δri = a · ∑
=0
∂
r
∂
i
i
i ri
gelten. Weil a beliebig gewählt werden kann, folgt daraus
∂L
∂L
∂L
∂L
∑ ∂ri = 0 = ∑ ∂xi , ∑ ∂yi , ∑ ∂zi .
i
i
i
i
y
P
a1
a2
P1
x
P2
Abb. 1.1 Homogenität oder
Translationsinvarianz des Raumes
bedeutet, dass die Umgebung von P
aus der irgendeines anderen Punktes
(z. B. P1 , P2 , . . .) durch Verschiebungen (a1 , a2 , . . .) hervorgeht.
(1.1)
(1.2)
2
I Symmetrien in der Quantenmechanik
In diesen Gleichungen haben wir mit
∂L
∂L ∂L ∂L
=
, ,
∂ri
∂xi ∂yi ∂zi
den Gradienten von L bezüglich ri abgekürzt. Aus den Euler-Lagrange-Gleichungen
d ∂L
∂L
−
= 0, usw.
dt ∂ẋi ∂xi
folgt nun wegen (1.2) sofort
d
d
∂L
= Px = 0, daher Px = const.
dt ∑
∂
ẋ
dt
i
i
Hier haben wir die Relation ∂L/∂ẋi = Pxi für den kanonischen Impuls und
∑i Pxi = Px benutzt. Px ist die x-Komponente des Gesamtimpulses
∑ Pxi , ∑ Pyi , ∑ Pzi
P =
i
i
i
= ∑ Pi .
(1.3)
i
Das ist der Impulserhaltungssatz der klassischen Mechanik. In der nichtrelativistischen Physik ermöglicht er die Definition des Schwerpunkts, denn er muss in allen
Inertialsystemen gelten, weil in allen diesen der Raum gleichermaßen homogen
ist. Im System K sei P = ∑i mivi der Gesamtimpuls. Dann ist er im System K , das
sich mit der Geschwindigkeit v gegen K bewegt, gegeben durch
P = ∑ mivi = ∑ mi (vi − v) = P − v ∑ mi ,
i
i
i
vi
= vi − v gilt. Das Schwerpunktsystem ist
weil im nichtrelativistischen Fall
definiert durch die Bedingung, dass der Gesamtimpuls P verschwindet. Es bewegt
sich in K mit der Geschwindigkeit
P
vS =
= ∑ mivi
(1.4)
∑ mi
∑ mi
i
i
i
dri
= ∑ mi
dt
i
wobei
R =
∑
miri
∑ mi
i
i
d
=
dt
∑ miri
i
∑ mi
i
≡
dR
,
dt
∑ mi
(1.5)
i
die Koordinate des nichtrelativistischen Schwerpunkts ist.
Homogenität der Zeit
Der Homogenität des Raumes steht die Homogenität der Zeit an Bedeutung nicht
nach. Sie besagt, dass die Naturgesetze abgeschlossener Systeme in Bezug auf
Zeittranslationen, d. h. zur Zeit t + t0 die gleiche Form haben wie zur Zeit t. Dies
1 Symmetrien in der klassischen Physik
3
wird mathematisch dadurch ausgedrückt, dass die Lagrange-Funktion nicht explizit
von der Zeit abhängt, d. h.
L = L(qi , q̇i ).
(1.6)
Dann folgt
∂L
∂L
dL
q̇i + ∑
q̈i .
(1.7)
=∑
dt
∂
q
∂
q̇i
i
i
i
[Anmerkung: Falls L explizit von der Zeit t abhängt, so kommt auf der rechten
Seite von (1.7) noch der Term ∂L/∂t hinzu.] Unter Benutzung der Euler-LagrangeGleichungen
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂q̇i ∂qi
erhält man
dL
d ∂L
∂L
d
∂L
= ∑ q̇i
q̇i
,
+
q̈i = ∑
dt
dt ∂q̇i ∑
∂q̇i
i
i ∂q̇i
i dt
oder
d
dt
∂L
∑ q̇i ∂q̇i − L
= 0.
(1.8)
i
Das drückt die Erhaltung der Größe
∂L
E ≡ ∑ q̇i
− L = ∑ q̇i π i − L = H
∂
q̇i
i
i
(1.9)
aus, welche die Gesamtenergie (Hamilton-Funktion H) darstellt. Die Größen
π i = ∂L/∂q̇i sind die kanonischen Impulse. Da die Energie (1.9) linear in L ist, ist
sie additiv. Das heißt für zwei Systeme, die durch L1 bzw. L2 beschrieben werden,
ist die Energie E = E1 + E2 . Das gilt, solange keine Wechselwirkung L12 zwischen
beiden Systemen existiert, d. h. wenn L1 und L2 von unterschiedlichen dynamischen Variablen qi1 und qi2 abhängen. Der Energieerhaltungssatz gilt nicht nur
für abgeschlossene Systeme, sondern auch in einem beliebigen zeitunabhängigen
äußeren Feld, weil dann L immer noch unabhängig von der Zeit ist. Dies war
aber die einzige vorausgesetzte Eigenschaft von L, die zur Energieerhaltung (1.9)
führte. Solche Systeme, deren Gesamtenergie erhalten (konserviert) ist, werden als
konservative Systeme bezeichnet.
Isotropie des Raumes
Die Isotropie des Raumes bedeutet, dass der Raum in allen Richtungen gleich
beschaffen ist (siehe Abb. 1.2). Mit anderen Worten: Die mechanischen Eigenschaften eines abgeschlossenen Systems ändern sich nicht, wenn das gesamte
System beliebig im Raum gedreht wird. Das bedeutet, dass die Lagrange-Funktion
invariant unter Rotationen ist. Wir betrachten nun infinitesimale Rotationen (siehe
Abb. 1.3)
δ φ = {δ φ x ,δ φ y ,δ φ z }.
(1.10)
4
I Symmetrien in der Quantenmechanik
Der Betrag δ φ charakterisiert die Größe des Drehwinkels, und die Richtung δ φ /δ φ definiert die Drehachse.
Der Radiusvektorr ändert sich unter der Rotation δ φ um
δr. Es ist
z
δ r = |δr| = r sin θ δ φ ,
e
y
und die Richtung von δr ist senkrecht zu der von δ φ und
r aufgespannten Ebene. Daher gilt
δr = δ φ ×r.
(1.11)
x
Abb. 1.2 Der isotrope Raum ist
in jeder Richtung von e gleich
beschaffen.
Bei der Rotation des Systems ändern sich nicht nur die
Ortsvektoren ri , sondern auch die Teilchengeschwindigkeiten vi ; sie ändern ihre Richtung. Überhaupt ändern
sich dabei alle Vektoren in gleicher Weise. Die Geschwindigkeitsänderungen δ vi sind gegeben durch
δ vi = δ φ × vi .
df
df
(1.12)
Da sich unter der infinitesimalen Rotation die LagrangeFunktion nicht ändern soll, gilt
∂L
∂L
δL = ∑
· δri +
· δ vi = 0.
(1.13)
∂ri
∂vi
i
dr
(dA)
Die kanonischen Impulse sind
∂L
∂L ∂L ∂L
π i =
=
,
,
,
∂vi
∂vix ∂viy ∂viz
r
q
(A)
0
Abb. 1.3 Zur Beschreibung einer
infinitesimalen Rotation des Ortsvektors r und eines beliebigen
A.
Vektors und nach den Euler-Lagrange-Gleichungen gilt
d ∂L
∂L
π˙ i =
=
.
dt ∂vi
∂ri
Nach entsprechender Substitution dieser Größen unter Berücksichtigung von (1.11)
und (1.12) geht Gl. (1.13) über in
∑ π˙ i · (δ φ ×ri ) +π i · (δ φ × vi )
i
d
= δ φ · ∑ ri ×π˙ i + vi ×π i = δ φ ·
dt
i
∑ri ×π i
(1.14)
= 0.
i
Da
L = ∑ri ×π i
(1.15)
i
der klassische Drehimpuls ist und der infinitesimale Drehvektor δ φ beliebig ist,
folgt
dL
= 0,
dt
(1.16)
1 Symmetrien in der klassischen Physik
5
also
L = const.
Da sich die Summe in (1.15) über alle Teilchen erstreckt, ist der Drehimpuls –
wie der in (1.3) notierte Impuls – additiv, d. h. bei weiteren hinzukommenden
Teilchen addieren sich deren Beiträge zum Gesamtdrehimpuls entsprechend (1.15).
Das gilt unabhängig davon, ob diese hinzukommenden Teilchen mit den bereits
vorhandenen wechselwirken oder nicht.
Wir vertiefen das Gesagte durch die folgenden beiden Aufgaben:
Drehimpulse in unterschiedlichen Bezugssystemen
Aufgabe 1.1
Problemstellung:
a) Wie lautet die Beziehung zwischen den Drehimpulsen in zwei Bezugssystemen, die sich
zueinander in Ruhe befinden und deren Nullpunkte den Abstand a voneinander haben?
b) Wie lautet die Beziehung zwischen den Drehimpulsen in zwei Inertialsystemen K und
K , die sich mit der Geschwindigkeit V gegeneinander bewegen?
Lösung:
a) Wir betrachten ein System von Teilchen mit den Ortsvektoren ri in einem Koordinatensystem, und den Ortsvektoren ri in einem anderen System. Da die Ursprünge der
Koordinatensysteme um a gegeneinander verschoben sind, gilt:
ri = ri + a.
(1)
Der Gesamtdrehimpuls des Systems ist
L = ∑ri × pi .
(2)
i
Setzt man (1) in (2) ein, so folgt
L = ∑ri × pi = ∑ri × pi + a × ∑ pi .
i
i
(3)
i
Nun ist ∑iri × pi = L , da sich der Impuls eines Teilchens beim Übergang zwischen
relativ zueinander ruhenden Systemen nicht ändert, und ∑i pi = P ist der Gesamtimpuls
des Systems; also
L = L + a × P.
(4)
Der Gesamtdrehimpuls setzt sich zusammen aus dem inneren Gesamtdrehimpuls und
dem Drehimpuls des Systems als Ganzes um den Koordinatenursprung im Abstand |a|.
L = L gilt nur, wenn P parallel zu a (oder wenn P = 0) ist, d. h. wenn sich das System
als Ganzes in der Richtung der Translation bewegt. Dennoch ist auch im allgemeinen
Fall (4) der Drehimpuls des Systems eine Erhaltungsgröße, weil der lineare Impuls P
ebenfalls erhalten ist!
b) Wir betrachten K und K zu dem Zeitpunkt, in dem die Koordinatenursprünge zusammenfallen, d. h. ri = ri . Die Geschwindigkeiten sind vi = vi + V ; daher
L = ∑ miri × vi = ∑ miri × vi + ∑ miri × V .
i
i
i
(5)
6
I Symmetrien in der Quantenmechanik
Wegen ri = ri gilt L = ∑i miri × vi , und der Ortsvektor des Schwerpunkts ist
1
R = ∑ miri
∑ mi = M ∑ miri ,
i
i
i
wobei M die Gesamtmasse des Systems ist. Damit ergibt Gl. (5)
L = L + M(R × V ).
(6)
Ruht das Teilchensystem im Bezugssystem K , so ist V die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, und P = MV ist der Gesamtimpuls des Systems bezüglich K, d. h.
L = L + R × P = L +LS . Das bedeutet: der Drehimpuls setzt sich aus dem Drehimpuls
L im Ruhesystem und dem Drehimpuls des Schwerpunkts LS zusammen.
Aufgabe 1.1
Erhaltungsgrößen bestimmter Felder
Aufgabe 1.2
Problemstellung:
Welche Komponenten des Impulses P und des Drehimpulses L bleiben bei der Bewegung
in folgenden Feldern erhalten?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Feld einer unendlichen homogenen Ebene,
Feld eines unendlichen homogenen Kreiszylinders,
Feld eines unendlichen homogenen Prismas,
Feld von zwei Punkten,
Feld einer unendlichen homogenen Halbebene,
Feld eines homogenen Kegels,
Feld eines homogenen Kreisringes,
Feld einer unendlichen homogenen Schraubenlinie.
Lösung:
Die Projektionen des Impulses und des Drehimpulses auf eine Symmetrieachse des gegebenen Feldes bleiben erhalten, da die mechanischen Eigenschaften (Lagrange-Funktion
und Bewegungsgleichungen) bei einer Translation entlang dieser Achse bzw. einer Drehung
um die Achse nicht verändert werden. Für die Drehimpulskomponente gilt dies nur dann,
wenn der Drehimpuls in Bezug auf das Zentrum des Feldes definiert ist und nicht in
Bezug auf einen beliebigen Raumpunkt. Der Impuls bzw. eine Impulskomponente bleibt
im Sinne der Lagrange-Mechanik genau dann erhalten, wenn das Potential des Feldes von
der entsprechenden generalisierten Koordinate nicht abhängt.
a) Feld einer unendlichen homogenen Ebene. Wir wählen die xy-Ebene. Wegen der
Translationsinvarianz in der Ebene hängt das Potential nicht von x und y ab, so dass
px und py erhalten sind. Weiterhin ändert sich die Lagrange-Funktion nicht bei einer
Drehung um die z-Achse, d. h. Lz ist erhalten.
b) Feld eines unendlichen homogenen Kreiszylinders. Wegen der unendlichen Ausdehnung ändert sich das Potential nicht bei einer Translation entlang der Zylinderachse (zAchse); d. h. pz ist erhalten. Weiterhin besteht Rotationssymmetrie um die z-Achse, d. h.
Lz ist erhalten.
c) Feld eines unendlichen homogenen Prismas (Kanten parallel zur z-Achse). Wie in
Punkt b) ist pz erhalten. Es besteht aber keine Rotationssymmetrie um die z-Achse mehr,
d. h. Lz ist nicht erhalten.
1 Symmetrien in der klassischen Physik
7
d) Feld von zwei Punkten (Punkte auf der z-Achse). Hier besteht nur Rotationssymmetrie
um die z-Achse. Einzige Erhaltungsgröße ist Lz .
e) Unendliche homogene Halbebene. Wir wählen wieder die xy-Ebene, die nun durch Begrenzung durch die y-Achse zur Halbebene wird. Hier besteht nur Translationsinvarianz
entlang der y-Achse, d. h. py ist erhalten.
f) Homogener Kegel (z-Achse = Kegelachse). Rotationssymmetrie um die z-Achse: Lz ist
erhalten.
g) Homogener Kreisring (z-Achse = Achse des Kreisringes). Wiederum Rotationssymmetrie um die z-Achse; Lz ist erhalten.
h) Unendliche homogene Schraubenlinie (z-Achse = Achse der Schraubenlinie). Das
Potential (Lagrange-Funktion) ändert sich nicht bei einer Drehung um δ φ um die
z-Achse, wenn man sich gleichzeitig längs der z-Achse um δ z bewegt. Beträgt die
Ganghöhe der Schraubenlinie h (bei einer Drehung der Schraubenlinie um 2π ist die
Änderung in z-Richtung gleich h), dann erhält eine Translation um δ z = (h/2π )δ φ
bei gleichzeitiger Drehung um δ φ gerade die Symmetrie des Potentials; demzufolge
verschwindet die Änderung der Lagrange-Funktion:
δL = 0 =
∂L
∂L
δz+
δφ.
∂z
∂φ
(1)
Nun gilt
d
∂L
pz =
dt
∂z
und
d
∂L
Lz =
,
dt
∂φ
und damit:
d
h
pz
+ Lz δ φ = 0.
dt
2π
Für beliebige δ φ folgt damit
d
h
+ Lz = 0,
pz
dt
2π
und daher
pz
h
+ Lz
2π
= const.,
d. h. für die Schraubenlinie bleibt eine bestimmte Linearkombination von pz und Lz
erhalten.
Ebenso wie in der klassischen Mechanik spielen die Homogenität von Raum und
Zeit und die Isotropie des Raumes auch in der Quantenmechanik eine wichtige
Rolle. In quantenmechanischen Systemen existieren aber auch noch andere Symmetrien. Wir wollen daher eine einheitliche Betrachtung der Symmetrieeigenschaften entwickeln. Außerdem unterscheiden wir geometrische Symmetrien – die mit
der Invarianz des Systems gegen Translationen und Spiegelungen in Raum und Zeit
und unter Rotationen zusammenhängen – von dynamischen Symmetrien, die oft die
Ursache für unerwartete Entartungen von Energieniveaus (etwa des Wasserstoffatoms oder des isotropen harmonischen Oszillators) sind. Darüber hinaus müssen
wir noch andere Symmetrien in verschiedenen Disziplinen der Physik erwähnen
Aufgabe 1.2
8
I Symmetrien in der Quantenmechanik
(z. B. die Symmetrien der speziellen Relativitätstheorie 1) ). Wir behandeln meist
nur das Einteilchenproblem (oder das nichtrelativistische Zweiteilchenproblem
im Schwerpunktsystem, das dem Einteilchenproblem äquivalent ist). Die meisten Ergebnisse können jedoch ohne Schwierigkeiten auf das Problem mehrerer
wechselwirkender Teilchen übertragen werden, solange die zugrundeliegenden
Symmetrien für alle Teilchen gleichermaßen gelten.
Das Noether’sche Theorem (zur Vertiefung)
Beispiel 1.1
Das Noether’sche Theorem, das wir hier beweisen wollen, besagt Folgendes:
Noether, E.
(1882–1935) Wenn die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen invariant unter einer Koordinatentrans→ unten formation t, q → t (t), q (q, t) sind, so resultiert daraus die Existenz eines Integrals der
Bewegung, also einer Erhaltungsgröße.
˙ t) der Koordinaten q (i = 1, . . . , l) und der Zeit
Gegeben sei eine Lagrange-Funktion L(q,q,
i
t. Wir führen nun neue Koordinaten t , q ein durch die Definitionen
t := t (t), qi := qi (q, t).
(1)
Diese Transformation soll umkehrbar eindeutig sein. Wir können schreiben
t := t + δ t(t),
qi := qi + δ qi (q, t).
(2)
˙
˙
Die Funktionen δ t und δ qi sind zunächst beliebig. Die Geschwindigkeiten q,q sind
gegeben durch
d
d
q̇i := qi , q̇i := qi .
dt
dt
Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen ist
d
d dt
d
dt
q̇i = qi = qi = (qi + δ qi ) dt
dt dt
dt
dt
d
1
= q̇i + δ qi
δ t,
(3)
dt
1 + (d/dt)
wobei wir
1
dt
1
=
(3 )
= dt dt /dt
1 + (d/dt)δ t
benutzt haben. Für infinitesimale Transformationen wird das zu
d
d
δ q̇i := q̇i − q̇i = δ qi − q̇i δ t.
(4)
dt
dt
1)
Eine ausführliche Darstellung findet man bei Walter Greiner: Relativistische Quantenmechanik –
Wellengleichungen (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1987).
E MMY N OETHER
Erlangen 23.3.1882, † Bryn Mawr 14.4.1935. Emmy Noether studierte in Göttingen und Erlangen. In
Göttingen wurde sie 1922 a. o. Professor. Nach ihrer Emigration 1933 in die USA erhielt sie dort eine Gastprofessur am kleinen College von Bryn Mawr. Emmy Noether hat durch ihre Arbeiten die verschiedenen
Gebiete der Algebra zutiefst beeinflusst. Ihr ist es zuzuschreiben, dass das strukturtheoretische Denken zu
einem beherrschenden Zug der modernen Mathematik geworden ist.
1 Symmetrien in der klassischen Physik
9
Beispiel 1.1 Die Physik darf sich durch die Koordinatentransformation nicht ändern, d. h. die Wirkung
muss invariant bleiben:
t2
S(t1 , t2 ) :=
˙ t)dt = S (t ,t )
L(q(t),q(t),
1 2
t1
t (t2 )
L (q (t ),q˙ (t ), t ) dt .
:=
t (t1 )
Um dies zu erreichen, muss gelten:
˙ q ,q˙ , t ), t(t ) dt .
L (q ,q˙ , t ) := L q(q , t ), q(
(5)
dt Wenn die Bewegungsgleichungen unter dieser Koordinatentransformation forminvariant
sind, nennt man diese Transformation eine Symmetrietransformation. Im einfachsten Fall
bleibt die Lagrange-Funktion selbst invariant, d. h.
L (q ,q˙ , t ) = L(q ,q˙ , t ),
dies ist aber nicht notwendig. Es genügt, dass gilt
d
L (q ,q˙ , t ) = L(q ,q˙ , t ) + Ω (q , t ),
(6)
dt
mit anderen Worten, dass sich die beiden Lagrange-Funktionen nur um eine totale Zeitableitung voneinander unterscheiden. Es ist leicht zu zeigen, dass für L̄ = d[Ω (q, t)]/dt die
Bewegungsgleichungen
d ∂L̄
∂L̄
d ∂
∂Ω
∂Ω
∂
∂Ω
∂Ω
−
=
q̇ j +
−
∑ ∂q j q̇ j + ∂t
dt ∂q̇i
∂qi
dt ∂q̇i ∑
∂t
∂qi
j ∂q j
j
2
2
d ∂Ω
∂ Ω
∂ Ω
=
− ∑
q̇ j +
dt ∂qi
∂
q
∂
q
∂
t ∂qi
i
j
j
∂2 Ω
∂2 Ω
∂2 Ω
∂2 Ω
q̇ j +
− ∑
q̇ j +
=∑
∂t ∂qi
∂t ∂qi
j ∂qi ∂q j
j ∂qi ∂q j
= 0,
also identisch erfüllt sind. Durch Einsetzen von (5) in (6) erhalten wir
dt
d
L q(q , t ), . . . , t(t ) = L(q ,q˙ , t ) + Ω (q , t ),
dt
dt
und nach Rückkehr zu den alten Koordinaten
˙ t) = L(q (q, t), q˙ (q,q,
˙ t), t (t)) dt + d Ω (q (q, t), t (t)),
L(q,q,
dt
dt
was mit (2) bzw. (3 ) die Gleichung
˙ t) − L(q (q, t), . . . , t (t)) =L(q (q, t), . . .)
L(q,q,
+
d
δt
dt
d
Ω (q (q, t), t (t))
dt
(7)
10
I Symmetrien in der Quantenmechanik
ergibt. Ist die Transformation kontinuierlich, so genügt es, in (2) infinitesimale Transformationen zu betrachten. Dann kann (7) (in erster Ordnung) als
˙ t + δ t)
˙ t) − L(q + δ q, q˙ + δ q,
−δ L := L(q,q,
˙ t) d δ t + d Ω (q + δ q, t + δ t)
= L(q,q,
dt
dt
geschrieben werden. Wählen wir speziell δ q, δ t = 0, so ist q = q , t = t und wegen (6)
folgt dann, dass d[Ω (q, t)]/dt = 0. Wir können dies benutzen, um (−δ L) in
d
d
δt +
Ω (q + δ q, t + δ t) − Ω (q, t)
dt
dt
d
d
= L δ t + δ Ω (q, t).
dt
dt
−δ L = L
(8)
umzuschreiben. Setzt man nun
∂L
∂L
∂L
δ qi +
δ q̇i −
δt
−δ L = − ∑
∂
q
∂
q̇
∂t
i
i
i
(9)
in (8) ein, dann ist wegen (4)
∑
i
∂L
∂qi
=−
+
∂L d
∂q̇i dt
δ qi +
∂L
∂t
δt +
L−∑
∂L
i ∂q̇i
q̇i
d
δ Ω (q,t)
dt
d
δt
dt
(10)
für beliebige q, t die Bedingung dafür, dass ein durch L beschriebenes mechanisches System
unter der infinitesimalen Symmetrietransformation (2) invariant bleibt. Ist insbesondere
δ Ω = 0, d(δ t)/dt = 0, so ist δ L = 0, und die Lagrange-Funktion selbst ist invariant gegenüber der Transformation. Ist die Bedingung (10) erfüllt, so folgt unter Berücksichtigung
der Bewegungsgleichungen ∂L/∂qi = d(∂L/∂q̇i )/dt:
∂L
∂L
d
δ qi + L − ∑
q̇i δ t + δ Ω
dt ∑
i ∂q̇i
i ∂q̇i
∂L
∂L d
∂L
∂L
∂L
∂L
δ qi +
δ qi +
q̇i +
q̈i −
q̇i −
q̈i δ t
= ∑
∂qi
∂q̇i dt
∂qi
∂q̇i
∂qi
∂q̇i
i
∂L
∂L
d
d
+ δt + L − ∑
q̇i
δ t + δ Ω = 0,
∂t
∂
q̇
dt
dt
i
i
d. h. die Größe
∂L
∑ ∂q̇i δ qi +
i
L−∑
∂L
i ∂q̇i
q̇i
δ t + δ Ω = const.
ist ein Integral der Bewegung (eine Erhaltungsgröße).
Beispiel 1.1
(11)
1 Symmetrien in der klassischen Physik
11
Zeit-invariante Bewegungsgleichungen: Lagrange-Funktion und Erhaltungsgrößen
Aufgabe 1.3
Problemstellung:
˙ t) genügen und welche ErhaltungsWelcher Bedingung muss die Lagrange-Funktion L(q,q,
größen kann man finden, wenn die Bewegungsgleichungen gegen Zeittranslationen invariant
sind?
Lösung:
Eine Zeittranslation wird durch die Koordinatentransformation δ q = δ q̇ = 0, δ t(t) =
δ τ = const. parametrisiert, und die Bedingung [Beispiel 1.1, Gl. (10)] lautet
∂L
d
δΩ.
(1)
dt
Ist L nicht explizit zeitabhängig, so ist δ Ω = 0, und die Lagrange-Funktion selbst ist
zeittranslationsinvariant. Die zugehörige Erhaltungsgröße [Beispiel 1.1, Gl. (11)] ist die
Gesamtenergie,
∂L
q̇i .
(2)
E =L−∑
i ∂q̇i
∂t
δτ = −
Ist die kinetische Energie T in L = T − V explizit zeitunabhängig und ein zeitabhängiges
Potential V vorhanden, dann müsste ein δ Ω so gefunden werden, dass
∂V
∂t
=
1 d
δ τ dt
δΩ
(3)
gilt. Dies ist i. Allg. nicht möglich, weil ∂V /∂t ja keine totale Zeitableitung zu sein braucht.
Aufgabe 1.3
Bedingungen für Translations-, Rotations- und Galilei-Invarianz
Aufgabe 1.4
Problemstellung:
Gegeben sei die Lagrange-Funktion (in kartesischen Koordinaten)
1 ˙2
mr − V (r).
2
Untersuchen Sie die folgenden Transformationen:
L=
(1)
a) räumliche Translationen,
δ x1 = δ x2 = 0,
δ x3 = const.,
δ t = 0;
(2a)
b) räumliche Drehungen,
δ x1 = −δ φ x2 ,
δ t = 0,
δ x2 = +δ φ x1 ,
δ x3 = 0,
(δ φ = const.);
(2b)
c) Galilei-Transformationen,
δ x1 = δ x2 = 0,
δ x3 = δ v3 t,
δ t = 0,
(δ v3 = const.).
(2c)
Unter welchen Bedingungen handelt es sich um Symmetrietransformationen? Welche Erhaltungsgrößen gibt es?
12
I Symmetrien in der Quantenmechanik
Aufgabe 1.4
Lösung:
Für δ t = 0 lautet die Bedingungsgleichung für eine Symmetrietransformation (siehe Beispiel 1.1, Gl. (11))
d
∂L
∂L d
(3)
∑ ∂xi + ∂ẋi dt δ xi = − dt δ Ω (r, t).
i
Die linke Seite muss eine totale Zeitableitung sein. Wenn sich ein solches δ Ω finden lässt,
dann ist (nach dem Noether’schen Theorem – siehe Beispiel 1.1) die Größe
∂L
(4)
∑ ∂ẋi δ xi + δ Ω = const.
i
eine Erhaltungsgröße. In unseren Fällen ist stets
∂L
∂V
∂L
=− ,
= mẋi .
∂xi
∂xi
∂ẋi
a) Die Bedingung für Forminvarianz der Bewegungsgleichungen lautet hier
d
∂V
−
δ x3 = − δ Ω (r, t)
∂x3
dt
∂
∂
δ Ω (r, t)ẋi − δ Ω (r, t).
∂
x
∂
t
i
i
= −∑
(5)
(6)
Die linke Seite enthält kein ẋi ; also muss gelten
∂
∂xi
δ Ω (r, t) = 0
oder
Unsere Bedingung lautet daher
∂V
∂
δ x3 = δ Ω (t).
∂x3
∂t
δ Ω (r, t) = δ Ω (t).
(7)
(8)
Daraus folgt sofort, dass ∂V /∂x3 eine Konstante (unabhängig von x, t) sein muss, und
mit
∂V
δΩ =
δ x3 t
(9)
∂x3
ist die Bewegungsgleichung forminvariant. Nur in diesem Fall ist die Translation eine
Symmetrietransformation. Die Erhaltungsgröße ist dann (siehe (4), nach Kürzen durch
δ x3 )
∂V
mẋ3 +
t = const.
(10)
∂x3
Ist insbesondere die konstante Kraft in der x3 -Richtung gleich null,
∂V
= 0,
(11)
∂x3
so ist die Erhaltungsgröße der Impuls
∂L
p3 =
= mẋ3 .
(12)
∂ẋ3
Da nun δ Ω = 0, ist die Lagrange-Funktion selbst invariant.
Damit haben wir gezeigt, dass die Impulserhaltung aus der räumlichen Translationsinvarianz der Lagrange-Funktion folgt, aber nicht aus der Invarianz der Bewegungsgleichungen gegenüber räumlichen Translationen. In diesem (allgemeineren) Fall ist die
1 Symmetrien in der klassischen Physik
13
Aufgabe 1.4 Erhaltungsgröße
P˜ = p − F t = mr˙ − F t,
(10 )
d. h., der Impuls ist eine lineare Funktion der Zeit. F ist hierbei ein konstantes und homogenes Kraftfeld. Von einer höheren Warte aus gesehen veranschaulicht das konstante
Kraftfeld den Unterschied zwischen lokaler und globaler Homogenität des Raumes.
Der felderfüllte Raum ist lokal homogen, weil kein Punkt des Raumes durch lokale
Messungen von irgendeinem anderen Punkt unterschieden werden kann. Allerdings
muss das Kraftfeld von irgendeiner Quelle erzeugt werden, z. B. von einer entfernten
Masse für ein Gravitationsfeld, oder von weit entfernten Kondensatorplatten im Falle
eines konstanten elektrischen Feldes. Diese Quellenkonfiguration zerstört die globale
Homogenität des Raumes (siehe Abb. 1.4).
F = eE
a
r´
r
Abb. 1.4 Unterschied zwischen lokaler
und globaler Homogenität des Raumes.
Globale Homogenität impliziert Impulserhaltung, während in einem lokal
homogenen Feld der Impuls als eine
lineare Funktion der Zeit anwächst.
b) Hier haben wir
∂L
∂L
d
δ x1 +
δ x2 = − δ Ω (x, t) oder
∂x1
∂x2
dt
d
∂V
∂V
x2 −
x1 δ φ = − δ Ω (x, t).
∂x1
∂x2
dt
Die linke Seite ist im Wesentlichen das Drehmoment um die x3 -Achse,
d
(r × ∇V )3 δ φ = δ Ω (r, t).
dt
Mit dem gleichen Argument wie in Punkt a) schließen wir, dass nur für
(r × ∇V )3 = const.
(13)
(14)
(15)
(16)
die Euler-Lagrange-Gleichungen forminvariant sind. Man sollte sich klar machen: Wenn
(r × ∇V )3 = 0
d
erfüllt ist, dann gilt δ Ω = 0 und daher auch
dt
δ Ω = 0.
(17)
(18)
Die zugehörige Erhaltungsgröße ist
−mẋ1 x2 + mẋ2 x1 = const.
(19)
Das ist gerade die x3 -Komponente des Drehimpulses,
L3 = (r × p)3 = const.
(20)
14
I Symmetrien in der Quantenmechanik
Aus der räumlichen Drehinvarianz der Lagrange-Funktion folgt also die Drehimpulserhaltung.
c) Für Galilei-Transformationen wird Gl. (3) zu
∂L
∂L d
d
+
δ v3 t = − δ Ω oder
∂x3
∂ẋ3 dt
dt
∂V
d
∂δ Ω
∂
−
ẋi − δ Ω .
t + mẋ3 δ v3 = − δ Ω = − ∑
∂x3
dt
∂
x
∂
t
i
i
(21)
(22)
Es muss also gelten
∂
∂x1
δΩ =
∂
∂x2
δ Ω = 0,
∂
∂x3
δ Ω = −mδ v3 ,
und
∂
∂t
δΩ =
∂V
∂x3
δ v3 t.
(23)
Aus den ersten drei Gleichungen folgt
δ Ω = −mx3 δ v3 + f (t)
und aus der vierten schließlich
d f (t)
∂V
δ v3 t.
=
dt
∂x3
Also muss auch hier ∂V /∂x3 = const. gelten. Dann ist
1 ∂V 2
δ Ω = −mx3 +
t δ v3 .
2 ∂x3
(24)
(25)
(26)
Ist L außerdem translationsinvariant (∂V /∂x3 = 0), dann ist die zugehörige Erhaltungsgröße
mẋ3t − mx3 = const.
(27)
oder
P3
t = x3 (0) = const.
m
Das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
x3 − ẋ3 t = x3 −
(28)
Aufgabe 1.4
Erhaltungssätze in homogenen elektromagnetischen Feldern
Aufgabe 1.5
Problemstellung:
Leiten Sie die Erhaltungssätze bei Translationssymmetrie her für ein geladenes Teilchen in
a) einem homogenen elektrischen Feld E ,
b) einem homogenen magnetischen Feld B.
Lösung:
Die Lagrange-Funktion eines (nichtrelativistischen) Punktteilchens der Masse m und der
Ladung q in einem elektromagnetischen Feld, das durch das skalare Potential φ und das
1 Symmetrien in der klassischen Physik
15
Aufgabe 1.5 Vektorpotential A beschrieben wird, lautet: 1)
m 2 q
L = x˙ + A · x˙ − qφ .
2
c
Der kanonische Impuls ist
q
∂L
p = ˙ = mx˙ + A.
c
∂x
Die auf das Teilchen wirkende Kraft (Lorentz-Kraft) hat die Komponenten
q ∂A ˙
∂φ
· x − q .
∂xi
c ∂xi
∂xi
Daraus ergeben sich die Bewegungsgleichungen
d ∂L
∂L
−
0=
dt ∂ẋi
∂xi
q ∂Ai
∂Ai
∂A
∂φ
q
= mẍi +
+ ∑ ẋk
− ∑ k ẋk + q
c
∂t
∂
x
c
∂
x
∂
xi
i
k
k
k
1 ∂Ai
∂φ
q
∂Ai
∂A
+
= mẍi + q
+ ∑ ẋk
− k ,
c ∂t
∂xi
c k
∂xk
∂xi
∂L
=
(1)
(2)
(3)
(4)
oder in vektorieller Schreibweise
q
1˙
mx¨ = q − A − ∇φ + x˙ × (∇ × A)
c
c
(5)
q
= q
E + x˙ × B.
c
Wenn sich die verallgemeinerte Kraft ∂L/∂xi als totale Zeitableitung ∂L/∂xi = (d/dt)Gi
eines Vektors G schreiben lässt, so folgt aus den Euler-Lagrange-Gleichungen als Erhaltungssatz
d
d ∂L
∂L
d ∂L
−
=
− Gi = [Pi − Gi ].
(6)
0=
dt ∂ẋi
∂xi
dt ∂ẋi
dt
Hierbei ist Pi der kanonische Impuls.
a) Ein homogenes elektrisches Feld E kann entweder durch das Potential
φ = −
E · x, A = 0
(7a)
oder durch
φ = 0, A = −
E tc
(7b)
beschrieben werden. Die beiden Darstellungen entsprechen verschiedenen Eichungen.
Im ersten Fall können wir schreiben:
∂L
∂φ
d
d
= −q
= +qEi = (+qEi t) = Gi ,
(8a)
∂xi
∂xi
dt
dt
woraus wir den Erhaltungssatz
d
(p − q
E t) = 0
(9a)
dt
1) Siehe
Walter Greiner: Klassische Elektrodynamik (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2002) oder
J. D. Jackson, Klassische Elektrodynamik (De Gruyter, Berlin, 2002); J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley, New York, 1998).
16
I Symmetrien in der Quantenmechanik
ableiten. In dieser Eichung ist die Erhaltungsgröße nicht gleich dem kanonischen Impuls.
Im zweiten Fall jedoch gilt
∂L ∂xi
=0 → G = 0,
(8b)
und der kanonische Impuls ist erhalten:
d
p = 0.
(9b)
dt
Der scheinbare Widerspruch zwischen (9a) und (9b) kann dadurch erklärt werden, dass
(2) zwei unterschiedliche Ausdrücke für den kanonischen Impuls liefert. Im ersten Fall
ist
˙
p = mx,
(10a)
während im zweiten Fall gilt :
p = mx˙ − qE t.
In beiden Fällen findet man, dass die Größe
Et
mx˙ − q
(10b)
(11)
erhalten ist. Wir lernen daraus, dass die physikalische Bedeutung von Gesetzen, die den
kanonischen Impuls enthalten, bei Anwesenheit äußerer elektromagnetischer Felder von
der gewählten Eichung abhängen kann!
b) Ein homogenes magnetisches Feld B kann z. B. durch das Vektorpotential
A = 1 B × x, φ = 0
2
beschrieben werden. Hier erhalten wir
q
∂L
∂A
= ∑ ẋk k
∂xi
c k
∂xi
q
∂
=
ẋk
∑ ε klmBl xm
2c ∑
∂xi lm
k
=
q
2c
(12)
(13)
∑ ẋk ∑ ε kli Bl ,
k
l
oder in vektorieller Schreibweise
d q
d
∂L
q
x × B = G.
(14)
= x˙ × B =
∂x
2c
dt 2c
dt
Der Erhaltungssatz, welcher der Translationssymmetrie entspricht, lautet also
d q
p − x × B = 0.
(15)
dt
2c
Man beachte, dass in diesem Fall die Erhaltungsgrößen nicht mit den Komponenten des
kanonischen Impulses übereinstimmen. Wegen (2) ist der kanonische Impuls gegeben
durch
q
q
p = mx˙ + B × x = mx˙ − x × B.
(16)
2c
2c
Somit können wir die Erhaltungsgröße durch die Geschwindigkeit ausdrücken:
q
mx˙ − x × B.
(17)
c
Aufgabe 1.5