Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen

Technische Universität München
Technische Universität München
Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen
7.1 Baumstrukturen
• Bäume sind eine zentrale Datenstruktur:
Codebäume, Suchbäume, Syntaxbäume,
Entscheidungsbäume, Dateibäume ...
• Ein Baum ist eine verallgemeinerte Listenstruktur.
• Bäume bestehen aus Knoten unterschiedlichen Typs; die
Verbindung zwischen zwei Knoten wird als Kante
bezeichnet.
• Ein Element (Knoten) hat nicht nur einen Nachfolger (wie im
Fall der Liste), sondern eine begrenzte Anzahl von
Nachfolgern (Söhne).
• In der Informatik: idR Bäume mit oben liegender Wurzel
Motivation:
• Lineare Liste:
– Suchen eines Elements ist schnell O(log n)
– Einfügen eines Elements ist langsam O(n)
•
Verkettete Liste (nicht sortiert):
– Suchen eines Elements ist langsam O(n)
– Einfügen eines Elements ist schnell O(1)
Ziel: Effiziente Datenstrukturen zur Speichern von Elementen
– Schnelles Suchen von Elementen: O(log n)
– Schnelles Einfügen von Elementen: O(log n)
1
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
2
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
• „Oberster“ Knoten ist die Wurzel
des Baums (kein Vorgänger oder
Vater)
• Eine Folge p0...pk von Knoten, für
die gilt: pi+1 ist Sohn von pi,
0 ≤ i < k, heißt Pfad mit der
Länge k
Beispiel: Bäume zur Speicherung von Datenbank-Einträgen
Im Folgenden präzise
Definitionen
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
3
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
4
Technische Universität München
Technische Universität München
Definition
• Ein Graph ist ein Tupel G = (E, V) mit
– V: Menge von Knoten (Vertices)
– E: Menge von Kanten (Edges) (v, w), mit v, w ∈ V
• Ein Graph G = (E, V) heißt gerichtet, wenn seine Kanten
(v, w) gerichtete Kanten sind.
• Für (v, w) ∈ E heißt v Vorgänger von w, und w Nachfolger.
• Wenn (v, w) ∈ E eine gerichtete Kante ist, dann ist w
adjazent zu v.
Rekursive Definition eines Baumes
Gegeben sei eine endliche Menge V von n ≥ 0 Knoten.
• Ein speziell ausgezeichneter Knoten ist die Wurzel.
• Die übrige Knoten werden in m ≥ 0 disjunkte Mengen
V1, V2, ..., Vm aufgeteilt.
• Jedes Vk definiert ein Menge von Knoten eines Baums Tk =
(Ek, Vk)
• T1, T2, ..., Tm werden als die Unterbäume der Wurzel
bezeichnet.
Definition
• Ein Baum ist ein zusammenhängender, ungerichteter Graph,
der keinen Kreis/Zyklus enthält.
5
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Wald
• Ein Wald ist eine Menge von n ≥ 0 disjunkten Bäumen.
• Entfernen der Wurzel eines Baums erzeugt einen Wald.
T1
T2
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Definition
• Die Anzahl der Unterbäume eines Knoten v
definiert den Grad deg(v) des Knoten v.
• Ein Endknoten oder ein Blatt v ist ein Knoten ohne Nachfahren.
• Ein Knoten, der kein Endknoten ist , hat den Grad deg(v) > 0.
• Die Tiefe d(v) des Knoten v ist die Länge des Pfades von der
Wurzel zum Knoten v.
• Die Knoten gleicher Tiefen bilden ein Niveau.
• Die Höhe h(v) des Knoten v ist die Länge des längsten Pfades
von v zu einem Blatt.
• Die Höhe des Baumes T ist die Höhe der Wurzel h(T) = h(Root).
Wurzel
A
Unterbaum
6
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Tm
7
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
8
Technische Universität München
Technische Universität München
Beispiel 1
Baum mit 7 Knoten
• A ist die Wurzel und hat
Unterbäume
{ B } und { C,D,E,F,G }
• Der Baum { C,D,E,F,G } hat
den Knoten C als seine Wurzel.
• C hat die Unterbäume
{ D },{ E },{ F,G }
• C hat den Grad 3, deg(C) = 3
• Die Höhe von C, h(C) = 2
Beispiel 2
A
A
A
B
• { B }, { D }, { E } und { G } sind
Blätter
• F ist der einzige Knoten mit
Grad 1
• Der Baum hat die Höhe 3
• Knoten D hat Tiefe 2
C
D
D
E
F
F
B
B
C
C
D
D
E
E
G
G
G
9
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
10
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Definition
Gegeben sei ein Baum (E, V). Für jeden Knoten v ∈ V sei eine
Ordnung ≤ auf den Nachfolgerknoten von v definiert. Dann
heißt der Baum geordneter Baum.
Beispiele für Binärbäume
1
2
Definition
Ein Binärbaum ist ein geordneter Baum und für alle v ∈ V gilt,
deg(v) ≤ 2.
D.h. kein Knoten hat mehr als 2 Nachfolgerknoten.
Beim Binärbaum spricht man vom linken Sohn oder rechten
Sohn.
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
F
FF
3
6
4
7
5
11
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
8
9
10
12
Technische Universität München
Technische Universität München
Definition
Gegeben sei ein Binärbaum (E, V). Der Baum heißt vollständig
wenn jedes Niveau die maximale Anzahl an Knoten enthält.
D.h. Jeder Knoten hat einen linken und einen rechten Sohn,
oder er ist ein Endknoten
Sei T = (E, V) ein vollständiger Binärbaum der Höhe k.
Satz: T besitzt 2k+1 – 1 Knoten und 2k Blätter.
Beweis
Gegeben sei ein vollständiger, binärer Baum der Höhe k.
Ein solcher Baum hat:
• 2k+1 – 1 Knoten
• 2k Blätter
13
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
14
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
7.2 Repräsentation von Bäumen:
Darstellung eines Binärbaums mit einfach verketteten Listen:
• Attribut ‚Schlüssel‘: bezeichnet den Wert des Elements
Links Rechts
• Pro Knoten: Verweise auf linkes u. rechtes Kind
Beispiel: Vollständiger Binärbaum
Gegeben sei der unten abgebildete vollständige Baum mit
der Höhe k = 3.
Der Baum besitzt:
15
• 15 Knoten
• 8 Blätter
13
1
14
2
9
1
10
2
3
11
4
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
5
12
6
7
3
8
6
4
7
5
15
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
8
9
10
1
2
6
2
3
4
3
0
0
4
0
5
5
0
0
6
7
8
7
0
0
8
9
10
9
0
0
10
0
0
16
Technische Universität München
Graphische Repräsentation
wurzel
2
3
Zeiger auf die Wurzel
des Baums
Schlüssel
Links
1
Technische Universität München
Rechts
6
4
7
5
8
9
10
17
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Darstellung eines Baums mit doppelt verketteten Listen:
• Ein Knoten wird als Element einer Liste dargestellt
• Jedes Element wird durch Attribute beschrieben:
• Das Attribut ‚Schlüssel‘ beschreibt den Wert des Knoten
x, schlüssel[x], (z.B., Zahl, Name, Adresse, ...)
• Das Attribut wurzel[T] zeigt auf die Wurzel des Baumes
• Darstellung eines Binärbaums
• Das Attribut ‚p‘ ist ein Verweis auf den Vaterknoten
(Parent) im Baum,
falls gilt: p[x] = NIL, dann ist x die Wurzel des Baumes
• Das Attribut ‚links‘ verweist auf das linke Kind des Knoten
x, links[x]
• Das Attribut ‚rechts‘ verweist auf das rechte Kind, rechts[x]
18
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Beispiel:
Repräsentation in C
typedef struct bnode {
int key;
struct bnode* left;
struct bnode* right;
} bin_node;
if (root==NULL) return ;
inorder(root->left);
printf("%d ",root->key);
inorder(root->right);
}//end inorder
void insert(bin_node **root, int val){
bin_node *newnode;
newnode=(bin_node*)malloc(sizeof(bin_node));
newnode->right=NULL;
newnode->left=NULL;
if ((*root)==NULL) {
*root=newnode; (*root)->key=val; return;
}
if (val<(*root)->key)
insert((&root)->left,val);
else insert((&root)->right,val);
}//end
Vielfältige Varianten sind möglich:
Beispielsweise die Verwendung zusätzlicher Zeiger, um auf den
Bruder-Knoten (rechts oder links) zu verweisen.
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
void inorder(bin_node *root) {
19
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
20
Technische Universität München
Technische Universität München
7.3 Traversieren von Bäumen
Gegeben sei ein Baum (E,V). Eine wichtige Operation auf
Baumstrukturen ist das Traversieren des Baumes, d.h. das
systematische Durchlaufen der Knoten des Baumes.
• Es gibt verschiedene Traversierungsalgorithmen, um
systematisch alle Knoten eines Baumes zu besuchen.
• Ein vollständiger Durchlauf erzeugt eine lineare Anordnung
der Knoten.
Traversieren in In-Order Reihenfolge
• Gegeben sei ein Baum mit der Menge V und der Wurzel R
• die Nachfahren seien geordnet v1, v2, ..., vk, k ≥ 0
5
In-Order Reihenfolge:
3
• Durchlaufe den linken Unterbaum.
• Besuche Wurzel R.
1
4
6
• Durchlaufe den rechten Unterbaum.
2
Wir unterscheiden 3 Formen des Traversierens:
• Pre-Order Reihenfolge (Hauptreihenfolge, prefix-Form)
• Post-Order Reihenfolge (Nebenreihenfolge, postfix-Form)
• In-Order Reihenfolge
22
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Algorithmus für In-Order – Reihenfolge
Annahme:
• wurzel[T] ist Zeiger auf den Wurzelknoten des binären Baums,
• A ist eine Kellerdatenstruktur, mit push und pop-Operationen
Schritt 1 P = wurzel[T]
Schritt 2 IF P = NIL,
then goto Schritt 4.
Schritt 3 push(schlüssel[P])
P = links[P]
goto Schritt 2.
Schritt 4. if A = leer, then Halt
else schlüssel[P] = pop
Schritt 5. Print schlüssel[P]
P = rechts[P]
goto Schritt 2.
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
5
3
1
8
4
2
7
Eigenschaften
• alle Knoten im linken Unterbaum mit der Wurzel R haben eine
Nummer die kleiner als R ist,
• alle Knoten im rechten Teilbaum haben eine Nummer > R.
21
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
8
6
7
Beispiel
Gegeben sei der nebenstehende Baum
• Traversieren der Knoten des Baums
in In-Order Reihenfolge.
• Der Durchlauf erfolgt in der
B
Reihenfolge:
CDBEAGHF
C
D
23
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
A
F
E
G
H
24
Technische Universität München
Technische Universität München
Traversieren in Pre-Order Reihenfolge
Beispiel
• Gegeben sei ein Baum mit der Menge E und der Wurzel R
• die Nachfahren seien geordnet v1, v2, ..., vk , k ≥ 0 1
Pre-Order Reihenfolge:
• Besuche Wurzel R.
• Durchlaufe den linken Unterbaum. 3
• Durchlaufe den rechten Unterbaum.
2
6
5
7
4
Eigenschaften
• Alle Knoten in einem Unterbaum mit der Wurzel R haben eine
Nummer, die nicht kleiner als die Nummer der Wurzel R ist.
Gegeben sei der nebenstehende Baum
• Traversieren der Knoten des Baums
in Pre-Order Reihenfolge.
• Der Durchlauf erfolgt in der
B
Reihenfolge:
ABCDEFGH
C
G
H
26
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Traversieren in Post-Order Reihenfolge
Beispiel
• Gegeben sei ein Baum mit der Menge E und der Wurzel R
• die Nachfahren seien geordnet v1, v2, ..., vk , k ≥ 0
Gegeben sei der nebenstehende Baum
• Traversieren der Knoten des Baums
in Post-Order Reihenfolge.
B
• Der Durchlauf erfolgt in der
Reihenfolge:
DCEBHGFA
C
8
Post-Order Reihenfolge:
• Durchlaufe den linken Unterbaum.
• Durchlaufe den rechten Unterbaum. 4
• Besuche Wurzel R.
7
3
6
D
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
E
D
25
1
F
8
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
2
A
A
F
E
G
H
5
27
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
28
Technische Universität München
Technische Universität München
7.4 Datenstruktur: Hashtabelle
Ziel:
• Effiziente Datenstruktur für dynamische Mengen mit einfachen
Operationen: Insert, Search, Delete
Beispiel: Traversieren Algebraischer Ausdrücke
Pre-Order: * + a / b c – d * e f
In-Order:
(a + b / c) * (d – e * f)
Post-Order: a b c / + d e f * - *
*
Motivation:
+
a
–
/
b
d
c
*
e
f
29
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
30
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Definition:
Eine Hash-Tabelle H ist eine Datenstruktur zur Organisation von
Daten. Die Hashtabelle definiert eine Berechnungsvorschrift, wir
nennen das eine Hashfunktion h.
Die Hashfunktion h ordnet jedem Datum der Tabelle eindeutig
eine Speicheradresse zu. Als Basis dafür dient eine weitere
Hilfsfunktion, die jedem Datum einen Suchschlüssel-Wert k aus
einem definierten Bereich, dem Universum U an Schlüsselwerten,
zuordnet. Hashfunktion h: U
A, wobei A ein Adressraum ist.
Beispiel:
• H ist eine verallgemeinerte Feld-Struktur: z.B. Google-Search
• Suchen in Hashtabelle in Worst Case wie bei verketteten Listen
auch O(n), aber kann auf O(1) reduziert werden!
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
31
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
32
Technische Universität München
Technische Universität München
33
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
• ein Platz k in H verweist auf das Element mit dem Schlüssel k in U
• Hashfunktion: h: U → {0, … , m – 1} bildet jeden Schlüssel
eindeutig auf eine Indexposition in der Tabelle H ab.
h(k) wird als Hashwert des Schlüssels k bezeichnet.
• Eine solche Hashtabelle ermöglicht den direkten Zugriff.
Beispiel:
Schlüssel Element
H
7.4.1 Direkte Adressierung
• Szenario mit relativ kleiner Menge von Schlüsseln U, mit
U= {0, … , m – 1}, jeder Schlüssel k ∈ U identifiziert ein Element.
• Gegeben sei eine Hashtabelle H[0, … , m – 1] mit m Plätzen.
• Jeder Platz (auch Index genannt) in der Tabelle H entspricht
eindeutig einem Schlüssel k in der Menge U.
Beispiel:
34
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Repräsentation in C
Operationen auf Hashtabellen mit direkter Adressierung
• Aufgrund der Einfachheit der Datenstruktur ist die Implementierung der Operationen Insert, Search, Delete sehr einfach:
Direct-Address-Search(H, k)
return H[k]
typedef struct _node{
char *name;
char *desc;
struct _node *next;
}node;
Beispiel
#define HASHSIZE 101
static node* hashtab[HASHSIZE];
Direct-Address-Insert(H, x)
H[schlüssel(x)] = x
void inithashtab(){
int i;
for(i=0;i<HASHSIZE;i++)
hashtab[i]=NULL;
}
Direct-Address-Delete(H, x)
H[schlüssel(x)] = NULL
unsigned int hash(char *s){
unsigned int h=0;
for(;*s;s++)
h=*s+h*31;
return h%HASHSIZE;
}
node* lookup(char *n){
unsigned int hi=hash(n);
node* np=hashtab[hi];
for(;np!=NULL;np=np->next){
if(!strcmp(np->name,n))
return np;
}
return NULL;
}
Nachteil direkter Adressierung?
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
35
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
36
Technische Universität München
Technische Universität München
• Definition einer Hashfunktion h: U → {0, … , m – 1}
• Problem: Es kann zu Kollisionen kommen, d.h.
• es kann ki, kj ∈ U geben, für die gilt:
ki ≠ kj, aber h(ki) = h(kj)
Beispiel:
Erkenntnis:
• Die Anzahl der Schlüssel aus U, die tatsächlich benötigt und
gespeichert werden muss, kann sehr klein sein.
Konsequenz: In Hashtabelle mit direkter Adressierung würde
sehr viel Speicherplatz verschwendet werden.
Lösung: Hashing mit Verkettung
H
7.4.2 Hashing mit Verkettung
Idee:
• Die Menge U der Schlüssel sei groß: |U| = n
• Die Hashtabelle H sei wesentlich kleiner: H[0, …, m – 1], wobei gilt:
m << n (<< bedeutet „wesentlich kleiner als“)
37
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Notwendig: Techniken zum Umgang mit Kollisionen
• Ansätze:
• Kollisions-Vermeidung
• Kollisions-Erkennung und -Auflösung
• Vollständige Kollisionsvermeidung ist nicht möglich!
Denn: Hashfunktionen sind idR nicht injektiv.
• Aber:
• man kann Hashfunktionen so gestalten, dass sie einen
Hashwert pseudo-zufällig, aber deterministisch, berechnen.
• d.h. eine Kollision kann vorkommen, aber das gezielte
Herbeiführen einer Kollision ist sehr aufwändig und schwierig
• wofür nützlich?
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
38
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
39
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Idee:
• alle Elemente, die mit der Hashfunktion h auf den gleichen
Tabellenplatz abgebildet werden, werden in einer Liste verkettet.
• Tabellenplatz j enthält einen Zeiger auf den Kopf der Liste von
Elementen k, mit h(k) = j
H
Beispiel:
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
40
Technische Universität München
Technische Universität München
Operationen auf der Hashtabelle:
Chained-Hash-Insert(H,x)
füge x an den Kopf der
Liste H[h(schlüssel(x))] ein
Fazit:
• Einfügen: Laufzeit im Worst-Case nur O(1).
• Suchen: Worst-Case ist die Laufzeit O(n),
• n ist die Listenlänge.
• Eine gute Verteilung der Hashwerte auf die T-Plätze ist wichtig!
• Entfernen eines Elementes x bei doppelter Verkettung: O(1).
Chained-Hash-Search(H,k)
suche in der Liste H[h(k)] nach einem Element mit Schlüssel k
Frage: was ist ein Beispiel für eine ‚gute‘ Hashfunktion?
• Gute Verteilung der Suchschlüssel k auf den Indexbereich
(die Plätze) der Hashtabelle H.
• Ohne dass man Annahmen über eine zugrundeliegende
Wahrscheinlichkeitsverteilung machen muss.
Chained-Hash-delete(H,x)
entferne x aus der Liste H[h(schlüssel(x))]
41
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
42
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
Technische Universität München
Technische Universität München
Lösung:
• heuristische Ansätze oder
• Divisions- und Multiplikationsmethode
im Folgenden nur Divisionsmethode als Beispiel
Was ist bei Wahl von m zu beachten?
• Achtung: wenn m =2p ist, für eine natürliche Zahl p, dann gilt:
• h(k) sind die p-niederwertigen Bits der Binärdarstellung von k.
• Vorteil: sehr einfache ‚Berechnung‘ von h(k)
Das wird in der Praxis z.B. beim sehr schnellen
Suchen in schnellen Zwischenspeichern, bei
Direct Mapped Cache verwendet
• Nachteil: Sehr hohe Kollisions-Wahrscheinlichkeit, da der
Funktionswert h nicht von allen Bits von k abhängt.
Divisionsmethode
• Hashfunktion h ist definiert durch: h(k) = k mod m, wobei
m die Größe der Hashtabelle H ist.
Beispiel:
• Guter Kandidat für Wert von m:
• gute Kandidaten sind Primzahlen p, die nicht sehr nahe bei einer
2-er Potenz liegen.
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
43
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
44
Technische Universität München
Technische Universität München
Beispiel:
• Rahmenbedingungen
• Hashtabelle H soll n = 2000 Zeichenketten speichern
• pro Zeichen 8 Bit zur Repräsentation (z.B. ASCII Code)
• Kollisionen sollen mit Verkettung aufgelöst werden.
• Forderung: bei erfolgloser Suche sollen im Mittel nur drei
Elemente überprüft werden müssen.
• Wahl der Hashtabellengröße:
• Tabellengröße m sei gewählt mit: m= 701
• 701 ist Primzahl und der Wert ist nahe dem Wert 2000/3.
• 701 liegt nicht in der Nähe einer 2-er Potenz.
• Hashfunktion: h(k) = k mod 701, wobei k eine ganze Zahl ist.
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
45
Fazit: Hashing
• Verwaltung von Daten so, dass ein Kompromiss
aus Speicher- und Zeit-Komplexität erreicht wird.
• Wenn U groß ist: Platz sparen durch Anlegen einer
Hashtabelle, die wesentlich kleiner als U ist;
• dadurch können aber Kollisionen auftreten
• Verkettung in (kleinen) Listen zur Auflösung von Kollisionen
• Durch Wahl einer guten Hashfunktion:
• Kollisionswahrscheinlichkeit reduzieren, z.B. k mod p
• Operationen auf Hashtabellen:
• Schnelle Einfüge-, Entferne-Operationen: O(1)
• Mit guter Hashfunktion auch Suche effizient: O(1)
AuD, Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen, WS10/11, C. Eckert
46