Lineare Algebra 1 (Lehramt)

Freie Universität Berlin
FB Mathematik und Informatik
Sommersemester 2017
Prof. Dr. Ralf Borndörfer
Stephan Schwartz
Lineare Algebra 1 (Lehramt)
Übungsblatt 11
Abgabe: bis Mi, 05.07.2017, 12:00 Uhr
Aufgabe 11.1
5+3+2 Punkte
Betrachten Sie den R3 mit der Standardbasis E und die lineare Abbildung
f : R3 → R3 gegeben durch die darstellende Matrix


−5 8 6
−3 5 3 .
E ME (f ) =
0 0 1
a) Bestimmen Sie eine Basis B1 von ker(f −id) und eine Basis B2 von ker(f +id).
b) Zeigen Sie, dass B = B1 ∪ B2 eine Basis vom R3 ist.
c) Geben Sie die darstellende Matrix B MB (f ) an.
Aufgabe 11.2
3+5+2 Punkte
Berechnen Sie die Inversen der folgenden reellen Matrizen (C ∈ Rn×n ), wenn möglich:


(
1 1 1
−j 2 i = j,
2 −3
A=
, B = 0 1 1 , C = (cij ) mit cij =
−1 1
0
i 6= j.
0 0 1
Aufgabe 11.3
2+2+3+3 Punkte
Es sei R2×2 der R-Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen über R. Wir betrachten die
Abbildung Spur : R2×2 → R mit A = (aij ) 7→ a11 + a22 .
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung Spur linear ist.
b) Zeigen Sie: Spur(AB) = Spur(BA) ∀A, B ∈ R2×2 .
c) Geben Sie die darstellende Matrix der Abbildung bezüglich der Standardbasen
von R2×2 und R an.
d) Geben Sie eine Basis von ker(Spur) und im(Spur) an.
Aufgabe 11.4
10 Punkte
Sei f : V → W ein Homomorphismus zwischen R-Vektorräumen V und W und sei
A := C MB (f ) ∈ Rm×n die darstellende Matrix zu beliebigen Basen B von V und C
von W .
Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent zueinander?
Hinweis: Es sind drei Äquivalenzklassen.
• ker(f ) = {0}.
• m = n und det(A) 6= 0.
• m ≥ n und A hat vollen Zeilenrang.
• f ist surjektiv.
• Das Gleichungssystem Ax = 0 ist eindeutig lösbar.
• Die Bilder der Vektoren in B unter f sind linear unabhängig.
• f ist bijektiv.
• rang(f ) = n.
• Für b ∈ Rm hat Ax = b mindestens eine Lösung.
• f ist invertierbar und B MC (f −1 ) = A−1 .
• f ist injektiv.
• im(f ) = W .
• {f (b) : b ∈ B} ist ein Erzeugendensystem von W .
Bemerkung: In dieser Aufgabe werden fast alle zentralen Begriffe dieser Vorlesung
miteinander in Beziehung gesetzt. Versuchen Sie, die Aufgabe nicht durch Nachschlagen in der Vorlesungsmitschrift zu lösen, sondern über das Verständnis der
Bedeutung der Aussagen.