Übungen zum Vorkurs Basiswissen

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK,
Dipl.-Math. Natascha Scheibke
15.08.16 - 19.08.16
Übungen zum Vorkurs Basiswissen
Aufgabe
35: Lösen von Gleichungen bis 4. Grades
Lösen Sie die folgenden Gleichungen und schreiben Sie den Lösungsweg auf:
a) x2 − 11x + 20 = x − 15
b) x2 − 6x = 40
c) x3 = 5x − x2
d) x4 − 13x2 = −36
e) x2 + (3 − 3)x − 27 = 0
√
√
f) (x − 1)2 + x(x + 2) = 2(x − 1)(x + 2)
Aufgabe
36: Betragsgleichungen
Lösen Sie folgende Betragsleichungen:
a) |x + 1| =
x
+2
2
b) |x2 − 6x + 5| = 3
c) |8 − 2x2 | = 6
Aufgabe 37: Bruch(un-)gleichungen
Lösen Sie folgende Bruch(un-)gleichungen:
a)
3
2x
5x
+
=
−1
6
10
5
b)
4
3
=
11x − 65 5x
d)
7z + 5 5z − 9
>
10
15
e)
x
3x
>
x−1 x−1
c)
2
1
1
−
=
x x−1 x+2
Aufgabe
38: Wurzelgleichungen
Lösen Sie folgende Wurzelgleichungen:
√
a) 3 x − 7 = 11
d)
√
x−1−
1
5
=1
b)
√
3x − 5 + 4 = 5
√
√
e) x + 3 + 2x − 3 = 6
√
√
c) 7 3x − 1 = 5 3x + 5
Aufgabe 39: Logarithmische Gleichungen
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:
a) lg(5 − 2x) + lg(1 − x) = 2 − lg 5
b) ln(x − 2) + ln(x + 3) = ln(x2 + x − 6)
c) 2x−2 = 2x+1 − 14
d)
√
√
3x
33x+2 = 32x+3
2x
Bitte wenden!
Aufgabe 40: Lineare Gleichungssysteme lösen
Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme:
b)
a)
(I) x=3y−14
(II) y=3x−20
(I) 2x+3y=8
(II) 3x−6y= − 30
c) (I) 5(y + 2) − 3(x + 1) = 23
(II) 3(y − 2) = 19 − 5(x − 1)
d) (I) (x − 1)(2y + 5) = (y + 1)(2y − 1)
(II) 2(2y + 1)(x + 4) = (2x + 5)(2y + 3)
Aufgabe
H41: Gleichungen Lösen: Gemischtwaren
Lösen Sie die folgenden (Un-)Gleichungen:
(a) 17 + x = 25
(b) x2 − 11x + 20 = x − 15
(c) 5(x + 2) > 4(1 − x)
(d) x2 − 6x = 40
(e) x3 = 5x − x2
(f ) 3x + 7 > 5x
5
(g) x2 − 2x + 1 ≥ x − 1
2
5(x − 1)
x 6
(j) + =
6 x
4
(h) x +
1
=2
x
(k) x4 − 13x2 = −36
(i)
(l)
√
3x + 5 =
√
x
2x − 1 3x + 1
+
>4
2x + 1
x−2
Aufgabe
43: LGS
Ein Student holt sich zum Frühstück 2 Brötchen und einen Liter Milch. Dafür zahlt er 1,10 e.
Am nächsten Tag, denn jetzt hat er Besuch zum Frühstück, kauft er 5 Brötchen, zwei Liter Milch
und 6 Eier zum Preis von 3,35 e Cent. Tags darauf ändert der unter Beobachtung stehende
Student wieder seine Frühstückseinkäufe. Diesmal zahlt er 2,80 e für 4 Brötchen, 2 Liter Milch
und 4 Eier. Was kostet ein Brötchen, ein Liter Milch und ein Ei?
Aufgabe
44: Wie weit?
Die beiden Vororte X und Y einer Groÿstadt bilden mit deren Zentrum Z ein Dreieck. Von X
über Z nach Y beträgt die Entfernung 12 km, Y liegt 2 km weiter vom Zentrum entfernt als X.
Wie weit sind die beiden Vororte X und Y vom Stadtzentrum Z entfernt?
Aufgabe
45: Ähnliche Dreiecke
Die beiden Dreiecke sind ähnlich zueinander. Tragen Sie die Länge der Seite a0 ein.
Aufgabe 46: Strahlensatz
Tragen Sie die Streckenbuchstaben so ein, das gültige Verhältnisse entstehen.
a)
b
e
=
a b)
b
c
=
d
c)
c
=
f
d
d)
b
a
=
c e)
e =
c
d
Aufgabe
47: Umfang eines Rechtecks
Berechnen Sie den Umfang des Rechtecks.
Aufgabe 48: Höhe der Pyramide
Berechnen Sie die Höhe der Pyramide ein, wobei AC = 112 cm und AS = 106 cm.
Aufgabe 49: Grad und Bogenmaÿ
Rechnen Sie Grad in Bogenmaÿ bzw. umgekehrt um:
5
π
6
(a) 90◦
(b) − 72◦
(c)
(f ) 15◦
(g) 1
(h) 115◦
5
π
4
3
(i)
5
(d)
(e) 35◦
1
(j) − π
8
Bitte wenden!
Aufgabe 50: Satz von Thales
Geben Sie die gesuchten Winkel α und β an.
Aufgabe
51: Trigonometrische
Zusammenhänge
a) Von einem rechtwinkligen Dreieck 4(ABC) mit γ = rechter Winkel sind gegeben a =
33 cm und b = 56 cm. Bitte berechnen Sie die fehlenden Gröÿen: α, β, c, A, hc .
b) Von einem gleichschenkligen Dreieck 4(ABC) sind a = 41, 33 m und γ = 30, 30◦ gegeben.
Berechnen Sie α, c, hc und A.
Aufgabe
52: Eishockey
Zwischen zwei Eishockeyspielern A und B steht ein gegnerischer Spieler G , so dass A den Puck
über die Bande zu B spielt. Es ist a = 2, 5m und b = 6, 5m. Wie groÿ ist der Abstand d der
beiden Spieler A und B , wenn der Puck im Winkel von 42◦ auf die Bande trit?