Übungen zu Numerik I

Übungen zu Numerik I
WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen
Wintersemester 2012/2013
Übungsblatt 12
Aufgabe 1. Betrachtet werde das lineare Gleichungssystem Ax = b mit x, b ∈ R3 . Dabei sei die Matrix
gegeben durch


1 −2
2
A =  −1
1 −1 .
−2 −2
1
Zeigen Sie, dass das Jacobi-Verfahren, aber nicht das Gauß-Seidel-Verfahren, in diesem Fall konvergiert.
Aufgabe 2. Analysieren Sie die Konvergenzeigenschaften des Jacobi- und des Gauß-Seidel-Verfahrens
zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Systemmatrix


α 0 1
−10 2


, β ∈ R.
(a) Aα = 0 α 0 , α ∈ R, (b) A β =
β 5
1 0 α
Aufgabe 3. Wie viele Iterationen sind mit dem Jacobi- und dem Gauß-Seidel-Verfahren zur Lösung
des Systems
3 −1
x1
−1
=
−1
3
x2
1
erforderlich, um den Iterationsfehler k x (t) − x k2 um den Faktor 10−6 zu reduzieren?
Aufgabe 4. (Praktische Aufgabe)
Implementieren Sie Funktionen, mit deren Hilfe lineare Gleichungssysteme durch das Jacobi-, GaußSeidel- sowie das Gradienten-Verfahren gelöst werden können.
Testen und vergleichen Sie die drei Verfahren, indem Sie das lineare Modell-System
2x1 + x2 = 1
x1 + 3x2 = 0
lösen. Der Startvektor sei immer x (0) = (1, 0.5)T . Es soll in diesem Rahmen eine grafische Ausgabe
erzeugt werden, in der simultan für alle Verfahren in geeigneter Weise die relativen Residuen
E(k) := kr (k) k2 /kr (0) k2 , wobei r (k) := Ax (k) − b,
in Abhängigkeit der Iterationsschritte aufzutragen sind. Überlegen Sie sich sinnvolle Abbruchkriterien
für die Verfahren.
Aufgabe 5. (Zusatzaufgabe, Bearbeitung freiwillig)
Berechnen Sie für die Matrix


1 −1
0
A =  −1
1 −1
0 −1
1
den Spektralradius ρ( A) und die Normen k Ak1 , k Ak2 , k Ak∞ .
Hinweis: Abgabetermin ist der 24.01.13 vor der Vorlesung. Die Abgabe in 2er-Gruppen ist erwünscht.