Blatt Nr. 13 Prof. F. Merkl ¨Ubungen zur Stochastik WS 2007/08

Blatt Nr. 13
Prof. F. Merkl
Übungen zur Stochastik
WS 2007/08
Abgabe: Montag, den 28.1.2008, bis 12:30 Uhr
Aufgabe 1
(2 Punkte)
Eine Stichprobe X1 , . . . , Xn , n ≥ 2, von reellen Messwerten sei iid normalverteilt mit
unbekannter Erwartung µ und unbekannter Varianz σ 2 . Finden Sie Maximum-Likelihood
Schätzer für µ und σ 2 .
Aufgabe 2
(1+2+1+2 Punkte)
In einer Stadt gibt es eine unbekannte Zahl n von Autos, die die Nummern 1, 2, . . . , n auf
den Nummernschildern tragen. Als Besucher dieser Stadt blicken Sie eine Weile aus dem
Fenster und sehen die Autos Nr. ω1 , ω2 , . . . ωk vorbeifahren. Nehmen Sie an, dass diese ωi
unabhängig voneinander und gleichverteilt auf {1, 2, . . . , n} sind.
a) Modellieren Sie dies mit einem parametrischen statistischen Modell (Ωk , Ak , (Pn,k )n∈N ).
b) Finden Sie den Maximum-Likelihood Schätzer n̂k für die Zahl n.
c) Ist der Maximum-Likelihood Schätzer erwartungstreu?
d) Zeigen Sie, dass der Maximum-Likelihood Schätzer konsistent im folgenden Sinn
ist: Für alle n ∈ N konvergiert n̂k für k → ∞ in Wahrscheinlichkeit bezüglich Pn,k
gegen n.
Aufgabe 3
(2 Punkte)
Eine möglicherweise unfaire Münze (beschriftet mit “0” und “1” bei unbekannter Wahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] für “1”) wird n-mal unabhängig geworfen; man beobachtet eine
Folge ω ∈ {0, 1}n mit S(ω) Einsen. ZeigenpSie: Es gibt keinen erwartungstreuen Schätzer
für die unbekannte Standardabweichung np(1 − p) von S.
Aufgabe 4
(2+2 Punkte)
Die Münze aus der vorhergehenden Aufgabe wird nun so lange geworfen, bis zum k-ten
Mal die “1” auftritt. Man beobachtet die Folge ω der dabei auftretenden Nullen und
Einsen.
a) Finden Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer p̂ für den unbekannten Parameter p
der Münze. Zeigen Sie, dass dieser Schätzer nur von der Länge L(ω) von ω abhängt.
b) Zeigen Sie, dass die Folge der Maximum-Likelihood-Schätzer konsistent ist, also
für alle p ∈ [0, 1] für k → ∞ in Wahrscheinlichkeit zum Parameter p gegen p
konvergiert.
Bitte wenden.
Aufgabe 5
(2+1 Punkte)
Ein Bayessches Modell in der Auto-Haftpflichtversicherung. Ein Autofahrer verursacht in einem Jahr eine zufällige, poissonverteilte Anzahl N von Unfällen mit einem
unbekannten Parameter λ > 0. Der Parameter λ hängt vom Autofahrer ab (je kleiner λ,
desto besser der Fahrer). Eine Haftpflichtversicherung modelliert den Parameter λ eines
Neukunden im Sinne der Bayesschen Statistik als zufällig und “a priori” gammaverteilt
mit Parametern a > 0 und s > 0. Nach einem Jahr, nachdem der Kunde N = n Unfälle
verursacht hat, nimmt die Versicherung eine Risikoneubewertung des Kunden vor.
a) Berechnen Sie die a posteriori Verteilung von λ bedingt auf die Beobachtung N = n.
b) Berechnen Sie die Erwartung λ̂ von λ bedingt auf die Beobachtung N = n. Diese
bedingte Erwartung λ̂ heißt Bayes-Schätzer für λ.
Aufgabe 6
(2+2∗ +2∗ Punkte)
Ein Modellproblem zur Bayesschen Statistik. In einer Schachtel befinden sich n
Kugeln, davon sind eine unbekannte Anzahl K rot, die übrigen n − K sind grün. Wir
setzen an, dass K = k mit der “a–priori”–Wahrscheinlichkeit pk > 0 vorliegt, k = 0, . . . , n.
Nun werden m Kugeln aus der Schachtel zufällig mit Zurücklegen entnommen; darunter
sind L rote Kugeln. Das Wahrscheinlichkeitsmass Pm beschreibe dieses Zufallsexperiment.
L
Wir wollen die relative Häufigkeit Kn mit Hilfe der beobachteten relativen Häufigkeit m
schätzen:
a) Berechnen Sie die “a–posteriori”–Verteilung von K, d. h. Pm [K = k|L = l].
b) Zeigen Sie:
∃α > 0 ∃C > 0 ∀m ∈ N ∀l ∈ {0, . . . , m} : Pm
Hinweis: Es gelte
l
m
−
k
n
K
1 L
−
≥ L = l ≤ Ce−αm
m
n
n
≥ n1 . Bemerken Sie zunächst
pk
Pm [K = k|L = l] = Pm [K = k + 1|L = l]
f
pk+1
k k+1 l
,
,
n n m
m
,
wobei f (p, 1, 1) := p und
π 1−π
p
1−p
f (p, p , π) :=
p0
1 − p0
0
für 0 < p0 < 1.
Beweisen Sie dann f (p, p0 , π) ≤ f (p, p0 , p0 ) < 1 für 0 ≤ p < p0 ≤ π ≤ 1. Leiten Sie
hieraus eine in m exponentiell abfallende obere Schranke für Pm [K = k|L = l] her.
c) Folgern Sie:
L
K 1 ∃α > 0 ∃C > 0 ∀m ∈ N ∀l ∈ {0, . . . , m} : Pm − ≥ L = l ≤ Ce−αm
m
n
n
Hinweis: Verwenden Sie ein Symmetrieargument, das rote und grüne Kugeln vertauscht.