Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck
Modulprüfung BA 04 Mathematik:
Grundlagen der Mathematik C:
Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
11.02.2015
Name:
Vorname:
Matrikel-Nr.:
Studiengang:
Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen):
Herr Habeck (Di., 14-16)
Herr Habeck (Do., 10-12)
Frau Starck (Di., 12-14)
Frau Starck (Do., 10-12)
Herr Steinhauer (Di., 16-18)
keine Übungsgruppe
Aufgabe
Punkte
Erz. Punkte
1
2+3+2
2
2+3+3
Erreichte Punktzahl:
3
6+2+2
4
5
1+2+2+3 2+3+3
6
3+4+2
P
50
von max. 50 Punkten
Die Modulprüfung ist bestanden
ja / nein
Note:
Technische Hinweise:
1. Taschenrechner sind nicht zugelassen!
2. Handys bitte ausschalten.
3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt
am Ende der Arbeit oder die Rückseiten.
4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt
erforderlich.
5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der
Arbeit getrennt werden.
6. Nicht mit Bleistift schreiben!
Aufgabe 1:
a) Berechnen Sie ϕ(12 · 33) und ϕ(ϕ(43)).
Lösung:
ϕ(12 · 33) = ... = 120
ϕ(ϕ(43)) = ... = 12
b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass ϕ(4p) stets durch 4 teilbar ist.
Lösung:: Für ggT(4,p)=1 gilt
ϕ(4p) = ϕ(4) · ϕ(p) = 2(p − 1)
und da p-1 gerade ist, folgt die Behauptung.
Für ggT(4,p)6=1, also ggT(4,p)=2, errechnet man ϕ(4p) = ϕ(8) = 4.
c) Beweisen Sie: Sind n ∈ N und n + 2 nicht durch 3 teilbar, so ist die Differenz der
Quadrate dieser beiden Zahlen stets durch 3 teilbar.
Lösung: Man berechnet (n + 2)2 − n2 = 4(n + 1). Da von den drei aufeinander
folgenden Zahlen n, n + 1 und n + 2 genau eine durch 3 teilbar ist, folgt aus der
Voraussetzung die Behauptung.
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie ein x ∈ N mit 0 ≤ x ≤ 16 und 13x ≡ 3.
17
Lösung: x ≡ 12 mod 17
b) Verschlüsseln Sie mit dem RSA-Algorithmus (n = 15, s = 11) die Zahl a = 13.
Lösung: Die Verschlüsselung va von a = 13 ist va = 7
c) Bestimmen Sie den Rest von 117211 bei Division durch 7.
Lösung: Mit dem Satz von Fermat-Euler erhält man bei der Division von 117211
durch 7 ist einen Rest von 5.
Aufgabe 3:
Für alle x, y ∈ Z sei x ? y := −x · y 2 + x.
a) Beweisen oder widerlegen Sie:
(1) (Z, ?) ist assoziativ.
Die Aussage ist FALSCH
Gegenbeispiel:
a = b = c = 1 liefert (a ? b) ? c = (1 ? 1) ? 1 = 0, aber a ? (b ? c) = 1 ? (1 ? 1) = 1
2
(2) (Z, ?) besitzt mindestens ein linksneutrales Element.
Die Aussage ist FALSCH.
Beweis :
Angenommen, e ist linksneutral, d.h. e ? y = y für alle y ∈ R. Dann folgt für
y = 1 sofort 1 = y = e ? 1 = 0. Dies ist ein Widerspruch und daher existiert
kein linksneutrales Element.
(3) (Z, ?) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element.
Die Aussage ist WAHR
Beweis: Das Element eR = 0 ist rechtsneutral, denn für alle y ∈ Z gilt
x ? eR = x ? 0 = −x · 0 + x = x .
b) Definieren Sie für ein Verknüpfungsgebilde (M, ∗) die Eigenschaft regulär“ und ge”
ben Sie zudem ein Beispiel für ein Verknüpfungsgebilde, das NICHT regulär ist.
Lösung:
Ein Verknüpfungsgebilde (M, ?) heißt regulär, falls für alle a, b, c ∈ M gilt:
a∗b=a∗c
=⇒
b=c
b∗a=c∗a
=⇒
b=c
Beispiel für Verknüpfungsbgebilde, das nicht reglär ist: (R10 , ·).
c) Sei g : (Z, ·) → (Z, ·) eine Abbildung mit g(8) = 9. Beweisen Sie, dass g nicht
verknüpfungstreu ist.
Lösung:
Angenommen, g ist verknüpfungstreu, d.h. für alle a, b ∈ Z gilt g(a · b) = g(a) · g(b).
Dann folgt
9 = g(8) = g(2 · 4) = g(2) · g(4) = g(2) · g(2 · 2) = g(2)3 ,
√
/ Z. Dies ist aber ein Widerspruch.
und damit g(2) = 3 9 ∈
Aufgabe 4:
a) Definieren Sie den Begriff erzeugendes Element“ in einer Gruppe (G, ?).
”
Lösung:
Ein Element g ∈ G heißt erzeugendes Element von G, falls G = hgi.
1 2 3 4
b) Bestimmen Sie hgi für g =
in (S4 , ◦).
2 4 3 1
Lösung: hgi =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
,
,
.
2 4 3 1
4 1 3 2
1 2 3 4
3
c) Sei (G, ?) eine Gruppe der Ordnung |G| = 12. Bis zu welchem Exponent k ∈ N muss
man g k höchstens ausrechnen, um entscheiden zu können, ob das Element g ∈ G
erzeugendes Element ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung:
Nach dem Satz von Lagrange gilt für jedes g ∈ G stets |hgi| |12. Damit kommen für
ein jedes Element nur die Ordnung 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 in Frage. Gilt für ein Element
g ∈ G nun g l 6= e für l ∈ {1, . . . , 6}, so muss g die Ordnung 12 besitzten und somit
ein erzeugendes Element sein. Man muss also höchstens bis k = 6 die Potenzen g k
berechnen, um entscheiden zu können, ob g erzeugend ist oder nicht.
d) Sei (G, ?) eine kommutative Gruppe mit vier Elementen a, b, c, d. Zudem gilt a?c = b,
c ? c = d, d ? a = a und b ? b = c. Geben Sie das neutrale Element der Gruppe an und
berechnen Sie die Verknüpfungstafel von (G, ?).
Lösung: Das neutrale Element der Gruppe ist d
Verknüpfungstafel:
?
c b c d
a
c d b a
b
d c a b
c
b a d c
d
a b c d
Aufgabe 5:
a) Geben Sie die Matrix M an, die die Spiegelung σx an der x-Achse darstellt. Begründen
Sie Ihre Aussage.
1 0
Lösung: Die Matrix ist M =
0 −1
Begründung: Die Bilder der Einheitsvektoren sind die Spalten der gesuchten Matrix.
Dies liefert dien angegebene Matrix.
b) Seien A = (2, 2), B = (4, 1) und C = (0, 0) Punkte in der Ebene und g die Gerade
durch C und A. Konstruieren Sie die Bildpunkte A0 = f (A) und B 0 = f (B) für die
Kongruenzabbildung f = σg ◦ τCA . Geben Sie zudem die Koordinaten der Bildpunkte
A0 und B 0 an.
Lösung: Die Bildpunkt sind A0 = (4, 4) und B 0 = (3, 6).
c) Betrachten Sie die Abbildung f : C → C, f (z) = (z − i)2 + (5 + 2i)z + 14. Bestimmen
Sie (rechnerisch) alle Fixpunkte dieser Abbildung.
Lösung: Fixpunkte sind z1 = −2 + 3i und z2 = −2 + 3i.
Nebenrechnung: Man erhält die Gleichung z 2 + 4z + 13 = 0, die (z.B. durch die
p,q-Formel) gelöst wird.
4
Aufgabe 6:
a) Begründen Sie, dass (Dn , ◦) nicht zyklisch ist.
Lösung: Die Dn besteht aus n Drehungen und n Spiegelungen. Spiegelungen haben die Ordnung 2, können daher keine Drehungen erzeugen. Drehungen können als
orientierungserhaltende Kongruenzabbildungen nur orientierungserhaltende Kongruenzabbildungen erzeugen, Spiegelungen sind aber orientierungsumkehrende Kongruenzabbildungen.
b) Sei g eine Gerade und A ein Punkt im R2 . Geben Sie alle Kongruenzabbildungen
f ∈ K2 an, die die beiden Bedingungen f (g) = g und f (A) = A erfüllen. (Hinweis:
Beachten Sie, dass eine Fallunterscheidung bzgl. der Lage von A notwendig ist.)
Lösung:
Im Fall A ∈
/ g findet man als Kongruenzabbildungen nur
• Identität
• Spiegelung σh mit h⊥g, A ∈ h.
Im Fall A ∈ g findet man als Kongruenzabbildungen nur
• Identität
• Spiegelung σg und σh mit h⊥g, A ∈ h
• Drehung ρA,180◦
c) Gibt es im R2 eine spiegelsymmetrische Figur X mit endlicher Symmetriegruppe SX ,
für welche die Anzahl aller echten“ (d.h. von der Identität verschiedenen) Symme”
trien gerade ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung: Nein, es gibt keine solche Abbildung! Da X eine Spiegelsymmetrie σg besitzt, hat SX eine UG der Ordnung 2. Da die Symmetriegruppe SX endliche Ordnung
hat, liefert der Satz von Lagrange, dass |SX | gerade ist. Damit besitzt aber die Figur
X eine ungerade Anzahl echter“ Symmetrien.
”
5