Theoretische Physik II — Hausübung 5

05. Mai 2008
Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Schäfer
Theoretische Physik II — Hausübung 5
Abgabe: 19. Mai 2008
H14. Teilchen in stückweise konstantem Potential
Ein Teilchen bewege sich in einem stückweise konstanten Potential, das wie folgt gegeben
sei (siehe Grafik)

V3 = ∞ ,
x<0,



V1 > 0 , 0 ≤ x < a1 ,
V (x) =
V = 0 , a1 ≤ x < a2 ,


 0
V2 > V1 ,
x ≥ a2 .
V(x)
V2
V1
0
a1
a2
x
Das Verhalten der Eigenfunktionen φn (x) der stationären Schrödingergleichung zu diesem
Potential soll im folgenden qualitativ diskutiert werden.
i) Überlegen Sie sich für jeden der drei Energiebereiche, Vk < En < Vk+1 , 0 ≤ k ≤ 2, ob
die Eigenfunktion in den einzelnen Intervallen, I1 = [0, a1 ), I2 = [a1 , a2 ), I3 = [a2 , ∞),
eine oszillierende Funktion ist oder nicht. Fertigen Sie eine grobe Skizze des Realteils
der Eigenfunktion φn (x) an (2P).
ii) Eine Eigenfunktion φn (x) läßt sich entsprechend der drei Intervalle Il (l = 1, 2, 3) in
eine Summe von drei Teilwellenfunktionen, gegeben durch
φn (x) ,
x ∈ Il
(l)
φn (x) =
,
l = 1, 2, 3
0,
ansonsten
zerlegen. Geben Sie für einen der drei Energiebereiche Ihrer Wahl eine möglichst allgemeine Lösung für die drei Teilwellenfunktionen an (1P). Wieviel freie Parameter hat
diese Lösung, wenn man keinerlei Anschlussbedingungen (Stetigkeitsbedingungen und
Randbedingungen) an sie stellt? Wieviele Parameter werden durch die Anschlussbedingungen fixiert (1P)? Die resultierenden Gleichungen brauchen nicht gelöst zu werden.
iii) Treffen Sie in jedem der drei Energiebereiche eine Aussage darüber, ob das Spektrum
diskret oder kontinuierlich ist (2P).
H15. Kommutatorbeziehungen
~ˆ der Impuls– und Drehimpulsoperator. Berechnen Sie die Kommui) Es seien p~ˆ und L
tatoren
[p~ˆ, V (~r)]
(1P)
und
[L̂i , L̂j ] (1P) ,
wobei V (~r) ein beliebiges differenzierbares Potential sei.
ii) Welche Bedingung muss eine vektorwertige Funktion ~g (~r) erfüllen, damit aus
[p̂i , p̂j ] = 0
die Beziehung
[p̂i +gi (~r), p̂j +gj (~r)] = 0
folgt (1P) .
H16. Erwartungswerte von Impuls und Potential
Es sei |φi ein stationärer Eigenzustand des Hamiltonoperators H, d. h. es gelte
H|φi = E|φi .
Zeigen Sie, dass für die Erwartungswerte bezüglich |φi
D E
V (~r) ˆ 2
φ
φ ~p φ = m φ ~r ·
∂~r gilt (3P).