Mathe III - Tutorium

Mathe III - Tutorium
Probeklausur 08 / 2008
Insgesamt sind in dieser Klausur 43 Punkte zu erreichen, mit 21 Punkten ist sie bestanden! Präzise Argumentation hinsichtlich mathematischer Nachweise schlägt sich positiv in der Bewertung nieder.
Zugelassene Hilfsmittel: 5 beidseitig handschriftlich beschriebene Hilfsblätter, Hilfsblatt zur Fouriertransformation
Aufgabe 1)
Beantworten Sie folgende Fragen! Punkte nur bei Begründung !!!
a) Ist die Faltungs-Operation nach Vorlesung kommutativ?
b) Ist die Faltung eines n-dim. Signals mit einem m-dim. Signal möglich? (0 < n < m)
c) Wie viel Dimensionen besitzt das Resultat aus b), falls b) möglich ist?
d) Trifft eine negativ-definite Hesse-Matrix für einen stationären Punkt eine Aussage über lokale
Extrema an dieser Stelle?
e) Konvergieren Taylorreihen auch auf dem Rand ihres Konvergenzradius wenn Sie innerhalb des
selbigen konvergieren?
f ) Implizieren kausale Systeme kausale Signale?
P 1
P 1
g) Beweisen oder widerlegen Sie: Falls
in , n > 5 konvergent =>
in , n < 5 konvergent.
h) Können unstetige Funktionen exakt durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden, sofern überhaupt
möglich?
i) Ist S(f )(t) := U (7t − 4)f (t + 6) + f (t)/U (5t − 8) ein kausales System? Was ist der
Definitionsbereich von S(f )?
j) Sind Extrema einer Funktion unter Nebenbedingungen gleichzeitig auch Extrema der Funktion
ohne Nebenbedingungen?
(10 Punkte)
Aufgabe 2)
Gegeben ist ein Ellipsoid E und eine Ebene p, gegeben durch ihren Normalenvektor
P ∈ p, wie folgt:



 

1
 x

2
2
y
z
E :=  y  ∈ R3 x2 +
+
= 465 , ~v :=  4  , P = 


4
16
z
5
und einen Punkt

1
2 
3
(1)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange Methode diejenigen Punkte von E, die von p maximalen
Abstand haben.
Hinweis: zur Erinnerung an GMA2: der Abstand eines Punktes Q zu einer Ebene, die in Normalenform
0 = P~X · ~v gegeben ist, ist gegeben durch: d = |P~Q · ~v |/||~v||. Es ist einfacher, das Quadrat des Abstandes
zu minimieren. Damit die Zahlen schön übersichtlich bleiben, empfiehlt es sich (wie immer!), nicht
voreilig alle auftretenden Produkte auszurechnen, ebenso ist dies beim Ableiten nützlich.
(8 Punkte)
,→ bitte wenden
1
Aufgabe 3)
Gegeben ist
F~ (x, y) :=
sin(x) cos( y+2
3 )
x
y
(2)
Die Kurve γ sei definiert als die gerade Verbindungslinie von (1,1) nach (3,7). Berechnen Sie das
Arbeitsintegral von F~ entlang der Kurve γ.
(8 Punkte)
Aufgabe 4)
a) Leiten Sie die Entwicklung der Funktion P
f (x) := sin2 (x) in eine Potenzreihe um x0 = 0 her und
geben Sie die Koeffizienten ai in f (x) = ai xi explizit an (ai =... (in Abhängigkeit von i)).
Entscheiden Sie anhand der Potenzreihe, ob es sich bei f um eine gerade, und ungerade oder
weder gerade noch ungerade Funktion handelt (Begründung). Berechnen Sie mit Hilfe der Reihe
f (10) (0) (explizite Zahlenangabe).
Hinweis: es gilt für alle x : sin2 x = 0.5(1 − cos(2x))
b) Geben Sie das Taylorpolynom T4 (also vom Grad max. 4) um x0 = 0 zu f (x) = sin2 (x) an (es wird
erwartet, dass Sie alle auftretenden Brüche soweit wie möglich kürzen!).
Wie groß ist der absolute Fehler |f (x) − T4 (x)| höchstens für x ∈ [0, 12 ]?
Hinweis: die Berechnung von höheren Ableitungen von f wird einfach, wenn Sie den unter a)
angegebenen Hinweis benutzen.
(7 Punkte)
Aufgabe 5)
1
Sei S ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t) = U (t) 1+t
2 . Berechnen Sie die Antwort des Systems
auf das Eingangssignal f (t) = recta (t) (a > 0)
(5 Punkte)
Aufgabe 6)
Gegeben ist f (t) = | sin(2t)| für t ∈ R
a) Skizzieren Sie f .
b) Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten ci und die reellen Fourier-Koeffizienten ai und
bi von f . Dabei muss (!! - andere Wege sind nicht erlaubt) beim Integrieren die Formel
sin(t) = (ejt − e−jt )/(2j) benutzt werden.
c) Geben Sie für alle t ∈ R die Werte der Fourier-Reihe (nicht die Fourier-Reihe selbst) von f an der
Stelle t an.
d) Benutzen Sie die reelle Form der Fourier-Reihe von f an einer geeigneten Stelle t um
S :=
∞
X
k=1
(−1)k
(2k − 1)(2k + 1)
(3)
zu berechnen.
(5 Punkte)
2