3√ 1 - Michael Balke

Lösungsvorschlag
1.
Zunächst zwei Skizzen zur Verdeutlichung der Situation:
Links ist das Kügelchen mit der
Ladung q zu sehen.
Rechts ist die Kugel mit der Ladung
Q = 1 µC an die Stelle des
Kügelchens gebracht worden. Das
Kügelchen ist daraufhin
abgestoßen worden und befindet
sich in einem Abstand s von der
zweiten Kugel.
Was ist alles gegeben?
l=2m
q = 2 nC = 2 · 10-9 C
Q = 1 µC = 1 · 10-6 C
m = 0,5 g = 5 · 10-4 kg
Da es sich um die Kraftwirkung zwischen zwei Ladungen handt, können wir zunächst die Kraft
angeben, die die zweite Kugel auf die erste ausübt:
FC =
1
Qq
⋅ 2
4 π ϵ0 r
FC heißt, es handelt sich um die Coulomb-Kraft.
Aus der nebenstehenden Skizze lässt sich die Ähnlichkeit der
Dreiecke slh und FCFRFG erkennen. Wegen der Ähnlichkeit sind die
Verhältnisse der Seitenlängen gleich:
s FC
=
h FG
Wir machen keinen großen Fehler, wenn wir sagen: Ist s << l, dann
gilt h ≈ l. Damit können wir nach s umstellen:
F
s ≈ C ⋅l , und mit der Formel für die Coulomb-Kraft:
FG
s≈
1
Q⋅q⋅l
⋅ 2
4 π ϵ0 r ⋅m⋅g
Wenn wir jetzt noch näherungsweise den Abstand zwischen den
Kugelmittelpunkten, r, gleich der Auslenkung, s, setzen und
entsprechend umformen, erhalten wir:
s≈
1
Q⋅q⋅l
⋅ 2
4 π ϵ0 s ⋅m⋅g
→
s≈
√
3
1
Q⋅q⋅l
⋅
4 π ϵ 0 m⋅g
s≈
√
3
−6
−9
1
1⋅10 ⋅2⋅10 ⋅2
⋅
= 0,194
−12
−4
4 π⋅8,85⋅10
5⋅10 ⋅9,81
Welche Einheit? Kontrollieren wir:
√
√
√
2
2
1
[Q]⋅[q ]⋅[l ] 3 Vm⋅s ⋅C⋅C⋅m 3 V⋅s ⋅C⋅m
[s ] =
⋅
=
=
=
4 π[ϵ0 ] [m]⋅[g ]
C⋅kg⋅m
kg
3
Also lautet die Antwort:
√
3
2
√
2
2
J⋅s ⋅m 3 kg⋅m ⋅s ⋅m 3 3
=
= √m = m
2
kg
s ⋅kg
s = 0,194 m
Für den zweiten Teil verwenden wir die gleiche Formel:
s≈
√
3
1
Q⋅q⋅l
⋅
4 π ϵ 0 m⋅g
Wir ersetzen beide Ladungen durch die jeweilige Hälfte:
s≈
√
3
1
Q⋅q⋅l
⋅
4 π ϵ 0 2⋅2⋅m⋅g
Der einzige Punkt, in dem sich die beiden Formeln unterscheiden, ist der Faktor ¼ unter der dritten
3 1
Wurzel:
= 0,63
4
Der Abstand bei halbierten Ladungen beträgt also 63% des Abstands bei den ursprünglichen
Ladungen.
Durch Einsetzen der halbierten Ladungen kommt man auf einen Abstand von s = 0,122 m. Damit
0,122
= 0,63 , also auch 63%.
ergibt sich ebenfalls:
0,194
√
2.
Was ist bekannt?
Die Ionen sind zweifach positiv geladen, also:
Ionenmasse
Abstand zwischen den Blenden
Ablenkung in y-Richtung
Geschwindigkeit der Ionen
q = 2 · 1,602 · 10-19 C
m = 1,5·10-26 kg
l = 50 mm = 5 · 10-2 m
b = 12 mm = 1,2 · 10-2 m
v0 = 1,64·105 m/s
erster Teil:
Die Spannung, durch die die Ionen beschleunigt werden, hat nichts mit dem E-Feld zwischen den
Blenden zu tun. Die Ionen haben die Geschwindigkeit bereits, wenn sie in das Feld eintreten.
Mit der Geschwindigkeit haben die Ionen auch eine kinetische Energie. Diese Energie haben sie
durch die Spannung U bekommen. Es gilt: W = q · U.
Also, mit dem Energieerhaltungssatz:
1
q⋅U = ⋅m⋅v 2
2
2
−26
5
m⋅v 2 1,5⋅10 ⋅( 1,64⋅10 )
U=
=
= 629,6
2⋅q
2⋅2⋅1,602⋅10−19
Einheitenkontrolle:
2
()
m
kg⋅
2
s
[m]⋅[v ]
[U ] =
=
2⋅[q ]
C
Also:
=
N⋅m
J
= =V
C
C
U = 629,6 V
zweiter Teil:
Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung der Ionen. Die Beschleunigung fand vor den
Blenden statt und wegen der Unabhängigkeit von überlagerten Bewegungen können wir die
Geschwindigkeit, die in x-Richtung statt findet, isoliert betrachten.
Es gilt:
s
s
v=
→
t=
t
v
t=
Also:
5⋅10−2 m
= 3,049⋅10−7 s
m
1,64⋅10 5
s
t = 3,05 · 10-7 s
dritter Teil:
Das elektrische Feld beschleunigt die Ionen in y-Richtung. Damit die Ionen durch die Blende B 2
fliegen können, müssen sie die Strecke b in der Zeit t = 3,05 · 10-7 s zurücklegen. Mit der Formel für
die beschleunigte Bewegung erhalten wir:
1
s = a t2
2
→
2s
2⋅5⋅10−2 m
m
a= 2 =
= 1,075⋅1012 2
2
t
s
( 3,05⋅10−7 s )
Mit F = m · a erhalten wir die Kraft auf die Ionen:
F = 1,6125 · 10-14 N
Woher kommt die Kraft? Von dem elektrischen Feld! Und mit F = E · q, bzw. E = F / q folgt:
−14
E=
1,6125⋅10 N
N
= 50327,7
−19
C
2⋅1,602⋅10 C
Also:
E = 5 · 104 N/C
vierter Teil:
Mit dem folgenden Dreieck können die einzelnen Geschwindigkeiten dargestellt werden:
v0 ist gegeben, vE ist die Geschwindigkeit
aufgrund des E-Feldes, vR ist die
resultierende Geschwindigkeit, die die
Ionen beim Austritt aus B2 aufweisen.
Anmerkung: Die linke Spitze des Dreiecks bezeichnet den Austrittsort an der Blende B 2.
Aufgrund des Feldes besitzen die Ionen eine Geschwindigkeit in y-Richtung von
m
m
v E = a⋅t = 1,075⋅10 12 2⋅3,05⋅10−7 s = 3,279⋅105
s
s
Mit dem Satz des Pythagoras folgt für vR:
√
v R = v 2E + v 20 = 3,67⋅10 5
Der Geschwindigkeitsbetrag ist also:
vR = 3,67 · 105 m/s
Der Ablenkwinkel β lässt sich wie folgt bestimmen:
tan β =
β = tan−1
Der Ablenkwinkel beträgt
m
s
()
vE
v0
vE
= tan−1 ( 2 ) = 63,4 °
v0
β = 63,4°
3.
12 g Kohlenstoff (= ein Mol) haben 6,023 · 1023 Atome. Damit haben 12 mg Kohlenstoff insgesamt
6,023 · 1020 Atome.
Wenn also pro Atom sechs positive und sechs negative Ladungsträger vorhanden sind, dann haben
12 mg Kohlenstoff insgesamt 3,6132 · 1021 positive Ladungsträger und gleich viel negative.
Jeder Ladungsträger besitzt die Ladung 1,602 · 10-19 C. Damit folgt:
positive Ladung: 1,602 · 10-19 C · 3,6132 · 1021 = 578,8 C = Q
negative Ladung: - 1,602 · 10-19 C · 3,6132 · 1021 = - 578,8 C = q
Kraftwirkung zweier Ladungen aufeinander:
FC =
FC =
1
Qq
⋅ 2 , mit r = 1 m
4 π ϵ0 r
578,8⋅(−578,8 )
1
⋅
= 3⋅10 15 N
−12
1
4 π⋅8,85⋅10
Q
= ϵ 0 ⋅E folgt für das E-Feld zwischen den Kondensatorplatten:
A
Q
578,8 C
V
E=
=
= 6,54⋅10 14
ϵ 0⋅A
m
−12 C
2
8,85⋅10
⋅0,1 m
Vm
Und mit F = q · E folgt:
N
F = q⋅ E = 578,8 C⋅6,54⋅10 14 = 3,8⋅10 17 N
C
Mit σ =
Die Kapazität ist:
C=
ϵ 0⋅ A
d
C
⋅0,1 m2
Vm
= 8,85⋅10−11 F
0,01 m
8,85⋅10−12
=