¨Ubung Stochastik I

B. Schmalfuß
Paderborn, den 4.11.08
Übung Stochastik I
(3. Serie)
Maßtheorie: Meßbarkeit, Integrale
(I) Nach der in der Vorlesung vorgegebenen Methode konstruiere man zu der meßbaren Funktion
f (ω) = eω : ([0, ∞), B([0, ∞))) → ([0, ∞), B([0, ∞))),
die Treppenfunktion u4 . Wieviel verschiedene Werte hat diese Funktion und was
ist der Definitionsbereich?
(II) Es sei f eine integrierbare Funktion.
(a) Zeige:
Z
Z
f dµ ≤ |f |dµ.
(b) Es sei f eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige
Z
f dµ = 0
genau dann, wenn µ({f > 0}) = 0.
(III) Es seien f, g integrierbare Funktionen und
Z
Z
f dµ ≤
gdµ
A
A
für alle A ∈ F. Zeige dann gilt f ≤ g fast überall. Gilt in der Integralbeziehung
Gleichheit, so gilt f = g fast überall.
(1) Zeige das die Vervollständigung einer σ–Algebra wieder eine σ–Algebra ist.
(2) Man beweise die Hölder–Ungleichung für n Funktionen. Es seien
Pn f1 , . . . , fn
messbare Funktionen und zugehörige Zahlen p1 > 1, · · · pn > 1 und i=1 p−1
= 1.
i
Man zeige die Verallgemeinerung der Hölderschen Ungleichung
N1 (f1 · . . . · fn ) ≤ Np1 (f1 ) · . . . · Npn (fn ).
(3) Es sei Ω eine überabzählbare Menge und A die σ–Algebra aller Teilmengen
von Ω, für die entweder A oder Ac abzählbar ist. Man zeige dass eine Funktion
mit Werten in (R, B) genau dann messbar ist, wenn sie auf dem Komplement einer
abzählbaren Menge konstant ist. Es sei
0 : A abzählbar
µ(A) =
.
1 : Ac abzählbar.
Man berechne das Integral einer messbaren Funktion bezüglich dieses Maßes.
1
(4) Man beweise das Faktorisierungslemma:
Es sei T : Ω → Ω0 eine Abbildung einer Menge Ω in den messbaren Raum (Ω0 , F 0 ).
Genau dann ist f : Ω → R messbar bezüglich der von T erzeugten σ-Algebra
σ(T ) = T −1 (F 0 ) auf Ω, wenn es eine messbare Funktion g auf (Ω0 , F 0 ) gibt mit
f = g ◦ T.
(Hinweis: Man beweise den Satz zuerst für f, g ≥ 0 und für Treppenfunktionen.)
(5) Für jede Cauchy-Folge (fn ) ∈ Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞ ist die Folge (Np (fn )) beschränkt.
(6) Es sei (Ω, F, P) ein endlicher Maßraum und f eine messbare Funktion. Dann
gilt:
Nq (f ) ≤ Np (f )µ(Ω)1/q−1/p
für 1 < q ≤ p < ∞.
(7) Für 1 < p, q < ∞ konvergiere (fn ) in Lp (µ) gegen f und (gn ) in Lq (µ) gegen g,
wobei
1 1
+ = 1.
p q
Dann konvergiert (fn gn ) in L1 (µ) gegen f g.
(8) Es sei (fn ) eine Folge in Lp (µ) ∩ Lq (µ), 1 ≤ p, q ≤ ∞, wobei µ nicht notwendig
endlich sein muss. Konvergiert (fn ) in Lp (µ) gegen f und in Lq (µ) gegen g, dann
gilt f = g µ-fast überall.
(9) Für 0 < p ≤ 1 ist Lp (µ) versehen mit der Metrik
dp (f, g) := kf − gkpp
ein topologischer Vektorraum. Man weise speziell nach, dass dp eine Metrik ist.
Dazu zeige man, dass folgende Ungleichung gilt:
Np (f + g)p ≤ Np (f )p + Np (g)p .
gilt.
(10) Gegeben seien 0 < p < 1, und q : 1/p + 1/q = 1, also q < 0. Weiterhin seien
f, g positive messbare Funktionen. Dann gilt:
q1
Z
p1 Z
Z
g q dµ
.
f gdµ ≥
f p dµ
Hinweis: Man wende die Höldersche Ungleichung an auf u = (f g)p und v = g −p
mit p0 = 1/p.
Abgabe der Aufgaben bis zum Dienstag, 11.11.08, 16 Uhr im roten Kasten Nr.5