Einführung in die Theoretische Informatik Zusammenfassung der

Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Modus Ponens
A→B
B
Einführung in die Theoretische Informatik
A
MP
Definition
Christina Kohl
Alexander Maringele
Georg Moser
Michael Schaper
Manuel Schneckenreither
Axiome für die Aussagenlogik nach Frege und Lukasiewicz
Institut für Informatik @ UIBK
Wintersemester 2015
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Satz
Das Axiomensystem mit Inferenzregel MP ist korrekt und vollständig für
die Aussagenlogik: A1 , . . . , An |= B gdw. A1 , . . . , An ` B
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
65/1
Übersicht
Zusammenfassung
Konjunktive und Disjunktive Normalformen
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Logik
Definition
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive
und Disjunktive Normalformen
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
Einführung in die Algebra
Definition
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
1
Formel A ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn A eine
Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist
2
Formel A ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn A eine
Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie
Sprachen
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Folgerung
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Für jede Formel A existiert eine DNF D und eine KNF K , sodass
A ≡ D ≡ K gilt.
Einführung in die Programmverifikation
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
66/1
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
67/1
Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen
Definition
Seien A und B algebraische Ausdrücke
Definition (Algebra)
• A und B sind äquivalent, wenn ∀ Instanzen A0 und B 0 gilt: A0 = B 0
Eine Algebra A = hA1 , . . . , An ; ◦1 , . . . , ◦m i besteht aus
1 Träger (oder Trägermengen) A1 , . . . , An
2
• Wenn A äquivalent zu B ist, schreiben wir kurz A≈B
Operationen ◦1 , . . . , ◦m auf den Trägern
Definition
Wenn der Träger von A endlich ist, dann nennen wir A endlich
Nullstellige Operationen werden auch Konstanten genannt; wir fixieren
eine unendliche Menge von Variablen x1 , x2 , . . .
Beispiel
Definition (Algebraische Ausdrücke)
Wir definieren die algebraischen Ausdrücke einer Algebra A induktiv:
1
Konstanten und Variablen sind algebraische Ausdrücke.
2
Wenn A1 , . . . , An algebraische Ausdrücke, ◦ eine Operation, dann ist
◦(A1 , . . . , An ) ein algebraischer Ausdruck
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
68/1
Algebraische Strukturen
Sei A = {a, b, c, d} und ◦ durch folgende
◦ a b c
a a b c
b b c d
c c d a
d d a b
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Einführung in die Theoretische Informatik
69/1
Algebraische Strukturen
Nullelement, neutrales Element, Inverses
Halbgruppen, Monoide und Gruppen
Definition
Definition
Sei ◦ eine binäre Operation auf A
Eine Algebra A = hA; ◦i heißt
• Wenn 0 ∈ A existiert, sodass für alle a ∈ A
• Halbgruppe, wenn ◦ assoziativ
a◦0=0◦a=0
• Monoid, wenn A = hA; ◦, 1i eine Halbgruppe mit Einselement 1 für ◦
• Gruppe, wenn A ein Monoid ist und jedes Element ein Inverses hat
dann heißt 0 Nullelement für ◦
Eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe heißt kommutativ, wenn
◦ kommutativ ist
• Wenn 1 ∈ A existiert, sodass für alle a ∈ A
a◦1=1◦a=a
dann heißt 1 Einselement (neutrales Element) für ◦
Beispiel
• Sei 1 das neutrale Element für ◦ und für a ∈ A, existiert b ∈ A,
Die im vorigen Beispiel definierte Algebra A hat folgende Eigenschaften:
sodass
a◦b =b◦a=1
Dann heißt b das Inverse (Komplement) von a
GM (IFI)
Operationstabelle definiert:
d
d
a
c
c
Einführung in die Theoretische Informatik
70/1
1
a ist das neutrale Element von ◦
2
Jedes Element besitzt ein Inverses
3
◦ ist nicht kommutativ
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
71/1
Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen
Eigenschaft des neutralen Elements
Eigenschaft des Inversen
Lemma
Lemma
Jede binäre Operation hat maximal ein neutrales Element
Wenn A = hA; ◦, 1i ein Monoid ist, dann ist das Inverse eindeutig
Beweis.
Beweis.
1
Sei ◦ eine binäre Operation auf der Menge A
2
Angenommen e und u sind neutrale Elemente für ◦
3
Wir zeigen, dass e = u
e =e ◦u
=u
GM (IFI)
Sei a ∈ A und seien b, c Inverse von a. Wir zeigen b = c:
b =b◦1
1 ist neutrales Element
= b ◦ (a ◦ c)
c ist Komplement von a
da u Einselement
= (b ◦ a) ◦ c
Assoziativität von ◦
da e Einselement
=1◦c
b ist Komplement von a
=c
1 ist neutrales Element
Einführung in die Theoretische Informatik
72/1
Algebraische Strukturen
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
73/1
Boolesche Algebra
Ringe und Körper
Definition (Boolesche Algebra)
Eine Algebra B = hB; +, ·, ∼, 0, 1i heißt Boolesche Algebra wenn gilt:
Definition (Ring)
Eine Algebra A = hA; +, ·, 0, 1i heißt Ring, wenn
1
hA; +, 0i eine kommutative Gruppe
2
hA; ·, 1i ein Monoid
3
· distribuiert über + (von links und von rechts),
das heißt für alle a, b, c ∈ A gilt:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
1
hB; +, 0i und hB; ·, 1i sind kommutative Monoide
2
Die Operationen + und · distribuieren übereinander. Es gilt also für
alle a, b, c ∈ B:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
3
Für alle a ∈ B gilt
(b + c) · a = (b · a) + (c · a)
a + ∼(a) = 1
a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
a · ∼(a) = 0
Das Element ∼(a) heißt das Komplement oder die Negation von a
Definition (Körper)
Konventionen
Eine Algebra A = hA; +, ·, 0, 1i heißt Körper, wenn
1
Wenn A ein Ring ist
2
hA \ {0}; ·, 1i eine kommutative Gruppe
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
• Wir lassen · oft weg und schreiben ab statt a·b
• Wir verwenden die folgende Präzedenz: ∼ bindet stärker als + und ·
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GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
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Boolesche Algebra
Boolesche Algebra
Mengenalgebra
Definition (Boolescher Ausdruck)
Sei M eine Menge; P(M) bezeichnet die Potenzmenge von M, also
Sei eine unendliche Menge von Variablen x1 , x2 , . . . gegeben; diese
Variablen heißen Boolesche Variablen
P(M) := {N | N ⊆ M}
Wir definieren Boolesche Ausdrücke induktiv:
Definition
1
0, 1 und Variablen sind Boolesche Ausdrücke
2
Wenn E und F Boolesche Ausdrücke sind, dann sind
Wir betrachten die Algebra
hP(M); ∪, ∩, ∼, ∅, Mi
∼(E )
(E · F )
(E + F )
Boolesche Ausdrücke
Beispiel
1
∪ die Mengenvereinigung
2
∩ die Schnittmenge
3
∼ die Komplementärmenge
Diese Algebra nennt man Mengenalgebra.
Die folgenden Ausdrücke sind Boolesche Ausdrücke:
x1
x2
x1 + x2
x1 · x2
Lemma
x1 · (x1 + x2 ) x1 (x1 + x2 ) x1 ∼(x1 + x2 )
Die Mengenalgebra ist eine Boolesche Algebra
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Einführung in die Theoretische Informatik
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Boolesche Algebra
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
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Boolesche Algebra
Binäre Algebra
Sei Frm die Menge der aussagenlogischen Formeln
Definition
Sei B := {0, 1}, wobei 0, 1 ∈ N
Wir betrachten die Algebra Frm
Definition
hFrm; ∨, ∧, ¬, False, Truei
Wir betrachten die Algebra
Wobei die Zeichen wie in der Aussagenlogik interpretiert werden
hB; +, ·, ∼, 0, 1i
wobei die Operationen +, ·, ∼ wie folgt definiert:
· 1 0
1 1 0
0 0 0
+ 1 0
1 1 1
0 1 0
Lemma
∼
1 0
0 1
Die Algebra Frm ist eine Boolesche Algebra
Diese Algebra nennt man binäre Algebra
Lemma
Die binäre Algebra ist eine Boolesche Algebra
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