4./5. Juni 2007 ¨Ubungen Serie 10 Physik für Informatiker Abt. IIIC

4./5. Juni 2007
Übungen Serie 10
Physik für Informatiker
Abt. IIIC
SS 2007
Prof. Dr. A. Rubbia
1. Galileitransformation
In einem relativ zur Erde ruhenden Koordinatensystem befindet sich eine Masse m bei x
= 0 und y = H = 50 m in Ruhe. Zur Zeit t = 0 wird sie losgelassen und durch die
Erdanziehung beschleunigt. Ein zweites, achsenparalleles Koordinatensystem bewegt sich
mit konstanter Geschwindigkeit v = 10 m/s in positiver x-Richtung (s. Figur). Für die in
den zwei Bezugssystemen gemessenen Zeiten gilt t0 = t und zum Zeitpunkt t0 = t = 0 fallen
die zwei Systeme zusammen. Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2 .
a) Geben Sie die Galileitransformationen für die Koordinaten vom ruhenden ins bewegte
Koordinatensystem und für die inverse Transformation an.
b) Geben Sie die Bewegungsgleichungen x0 (t) und y 0 (t) der Masse im bewegten Koordinatensystem an.
c) Wann und wo trifft die Masse im bewegten System bei y 0 = 0 auf den Boden?
y '
y
m
H
O
v
O '
x
x '
2. Frei fallendes Bezugssystem
Wir betrachten zwei Bezugssysteme, eines das relativ zur Erde ruht und ein zweites (gestrichenes System), das frei fällt, d.h., es ist relativ zum ersten System mit konstanter Beschleunigung g = 9.81 m/s2 beschleunigt (siehe Figur). Die Achsen der beiden Koordinatensysteme
sein parallel, und für die in den zwei Systemen gemessenen Zeiten gelte t0 = t; zum Zeitpunkt
t = t0 = 0 fallen die Nullpunkte O und O0 der beiden Systeme zusammen. Zur Zeit t = t0 = 0
wird im Ursprung eine Kugel mit der Geschwindigkeit ~v0 abgefeuert.
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a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen x(t) und y(t) der Kugel im (relativ zur Erde)
ruhenden System an (Luftwiderstand wird vernachlässigt).
b) Geben sie die Transformationsgleichungen vom gestrichenen ins ungestrichene System
und für die inverse Transformation an.
c) Wie lauten die Bewegungsgleichungen x0 (t) und y 0 (t) der Kugel im frei fallenden System?
y
v
0
O
x
y '
O '
x '
v (t) = g t
3. Lorentz-Transformation
Im Ursprung O eines Bezugssystems mit den räumlichen Koordinaten x und y befindet sich
eine Quelle, die isotrop Lichtpulse aussendet. Bei x = L und y = L befinden sich senkrecht
zu den Achsen zwei Spiegel S1 und S2 (s. Figur). Ein zweites, achsenparalleles Bezugssystem
mit dem Ursprung O’ und den Koordinatenachsen x’ und y’ bewege sich mit der konstanten
Geschwindigkeit v in positiver x-Richtung (siehe Figur). Zur Zeit t = 0 fallen die beiden
Ursprünge O und O’ zusammen und die Uhren der beiden Beobachter werden synchronisiert,
so dass t = t0 = 0 gilt.
Zur Zeit t0 = 0 werde von der Quelle ein Puls emittiert. Wir definieren die folgenden fünf
Ereignisse durch ihre Koordinaten im ungestrichenen System:
E0:
E1:
E2:
E3:
E4:
xµ0
xµ1
xµ2
xµ3
xµ4
= (0, 0, 0, 0) Lichtpuls wird im Ursprung ausgesendet,
= (ct1 , L, 0, 0) Lichtpuls erreicht den Spiegel S1 ,
= (ct2 , 0, L, 0) Lichtpuls erreicht den Spiegel S2 ,
= (ct3 , 0, 0, 0) Vom Spiegel S1 reflektierter Puls kommt wieder bei der Quelle an,
= (ct4 , 0, 0, 0) Vom Spiegel S2 reflektierter Puls kommt wieder bei der Quelle an.
Für einen im System der Quelle und der Spiegel ruhenden Beobachter kommt der Puls
gleichzeitig bei den zwei Spiegeln an, d.h., ct1 = ct2 = L, und die reflektierten Pulse kommen
auch gleichzeitig wieder bei der Quelle an, d.h., ct3 = ct4 = 2L .
a) Berechnen Sie mit den Lorentz-Transformationen die Zeiten t01 , t02 , t03 und t04 , der vier
Ereignisse im bewegten (gestrichenen) System.
b) Berechnen Sie im bewegten System die räumliche Distanz zwischen E0 und E1, resp.
E0 und E2.
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c) Berechnen Sie die invarianten Raum-Zeitintervalle zwischen dem Ereignis E0 und den
Ereignissen E1, E2, E3 und E4.
y
L
y '
O
S
2
v
S
1
O '
x
L
x '
4. Relativistisches Teilchen
Ein Teilchen mit einer Ruhemasse m = 1.67 · 10−27 kg werde im Laborsystem zur Zeit t = 0
mit einer Geschwindigkeit v = β c = 0.7 c (c = 3 ·108 m/s) vom Ursprung des Laborsystems
unter einem Winkel α = 300 zur x-Achse abgeschossen. Bei x = L = 100 m befindet sich eine
senkrecht zur x-Achse stehende Wand. Das Abschiessen des Teilchens und das Auftreffen
des Teilchens auf der Wand definieren zwei Ereignisse.
a) Berechnen Sie die totale Energie E und den Lorentzfaktor γ des Teilchens vom Laborsystem aus gesehen.
b) Berechnen Sie das Zeitintervall zwischen den zwei Ereignissen für einen Beobachter im
Labor (∆t), für einen Beobachter, der sich (vom Labor aus gesehen) mit konstanter
Geschwindigkeit V = 0.5 c in positiver x-Richtung bewegt (∆t0 ) und im Ruhesystem
des Teilchens (Eigenzeitintervall ∆τ ).
y
a
L
3
x