Basale Kompetenzen in Mathematik – Skript Sek I - pythagoras-club

Basale Kompetenzen Mathematik Sek I
1
Basale Kompetenzen in Mathematik – Skript Sek I
1 Terme und Termumformungen
Lernziele
-
Sie kennen die Begriffe Term, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, gleichwertig
(äquivalent) und wenden diese korrekt an.
Sie erkennen, ob ein gegebener Term eine Summe (oder Differenz), ein Produkt (oder Quotient), eine
Potenz oder nichts davon darstellt.
Sie erkennen, wann sich Terme zusammenfassen lassen und führen das Zusammenfassen korrekt
durch.
Sie wenden die Kommutativ- und Assoziativgesetze korrekt und passend an.
Sie beherrschen das Distributivgesetz in beiden Richtungen, d.h. Sie klammern aus und multiplizieren
aus.
Sie erkennen, ob ein Term bereits (vollständig) faktorisiert ist oder faktorisieren ihn.
Sie wenden die Binomischen Formeln (auch mit unterschiedlichen Bezeichnungen) in beide
Richtungen passend an.
Sie erkennen und begründen, ob zwei gegebene Terme gleichwertig sind oder nicht.
Definitionen
Terme sind die Grundbausteine von Gleichungen. Sie erlauben, Rechenvorschriften kurz und in höchster
Präzision zu beschreiben:
Rechenvorschrift in Worten
entsprechender Term
Multipliziere den um 9 verminderten dritten Teil einer Zahl x mit dem
Vierfachen einer anderen Zahl y.
� − 9� ∙ 4y
Länge der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlängen 𝑎𝑎
und 𝑏𝑏
x
3
√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2
Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, welcher Zahlen, Variablen, Rechenoperationen, Klammern und
Funktionen enthalten kann. Sinnvoll bedeutet, dass dessen Wert berechnet werden kann, wenn für sämtliche
Variablen zulässige Zahlen eingesetzt wurden. Bei der Berechnung eines Terms arbeitet man sich vom
innersten Klammernpaar nach aussen. Dabei gilt jeweils die Reihenfolge: Potenz vor Punkt (Multiplikation
oder Division) vor Strich (Addition oder Subtraktion). Die in der Berechnung eines Terms zuletzt
angewendete Rechenoperation entscheidet, ob es sich beim Term um eine Summe (letzte Operation ist eine
Addition), ein Produkt (zuletzt wird multipliziert), eine Potenz etc. handelt:
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2
Beispiel 1: Termstrukturen
a)
b)
c)
d)
3𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏
ist eine Summe
2 · (3𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏)– 2𝑎𝑎
ist eine Differenz
2 · (3𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏)
ist ein Produkt
(3𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏)3
ist eine Potenz
Ein Term soll dann als weitestgehend vereinfacht gelten, wenn er unter Einhaltung gewisser Abmachungen
möglichst tintensparend aufgeschrieben ist. Dabei sind teilweise mehrere Möglichkeiten denkbar.
Zwei Terme sind genau dann gleichwertig, wenn Sie bei sämtlichen Ersetzungen von Variablen durch
zulässige Zahlen den selben Wert aufweisen.
Rechenregeln
Unter der Anwendung der folgenden Rechenregeln ändert sich der Wert eines Terms nicht:
Kommutativgesetze:
Assoziativgesetze:
Distributivgesetz:
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎
𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐
𝑎𝑎 · (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 · 𝑐𝑐
und
und
𝑎𝑎 · 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 · 𝑎𝑎
𝑎𝑎 · (𝑏𝑏 · 𝑐𝑐) = (𝑎𝑎 · 𝑏𝑏) · 𝑐𝑐
Vereinfachen von Termen
Es ist empfehlenswert, nach jedem Rechenschritt die Terme auf Vereinfachungsmöglichkeiten zu
untersuchen.
In Summen und Differenzen lassen sich Terme zusammenfassen, welche in allen Variablen samt ihren
Exponenten übereinstimmen:
Beispiel 2: Vereinfachung von Summen und Differenzen
8𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦– 8𝑥𝑥𝑥𝑥 + 0.4𝑦𝑦 = 8𝑥𝑥– 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 7.4𝑦𝑦
In Produkten kann man gleiche Variablen zu Potenzen zusammenfassen:
Beispiel 3: Vereinfachung von Produkten
𝑥𝑥 · 4𝑥𝑥 · 5𝑥𝑥 = 20𝑥𝑥 3
Bei beiden Vereinfachungsmöglichkeiten ändert sich der Wert eines Terms nicht.
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3
Faktorisieren und Ausmultiplizieren von Termen
Das Distributivgesetz definiert, wie man ausmultipliziert resp. faktorisiert.
ausmultiplizieren
Produkt
Summe
faktorisieren
Um eine Summe (oder Differenz) zu faktorisieren empfehlen sich folgende Versuche:
1.
Ausklammern eines gemeinsamen Faktors:
Beispiel 4: Ausklammern
3𝑥𝑥 2 – 6𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 · 𝑥𝑥– 3𝑥𝑥 · 2 = 3𝑥𝑥 (𝑥𝑥– 2)
2. Anwendung der Binomischen Formeln:
𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2
und
𝑎𝑎2 – 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎– 𝑏𝑏)2
und
3. Zweiklammeransatz (Kontrolle durch Ausmultiplizieren!):
𝑎𝑎2 – 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (𝑎𝑎– 𝑏𝑏)
Beispiel 5: Zweiklammeransatz
a)
b)
c)
d)
𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 12 = (𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 + 6)
𝑥𝑥 2 – 8𝑥𝑥 + 12 = (𝑥𝑥– 2) (𝑥𝑥– 6)
𝑥𝑥 2 – 4𝑥𝑥– 12 = (𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥– 6)
𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥– 12 = (𝑥𝑥– 2) (𝑥𝑥 + 6)
4. Ausklammern in Teilsummen:
Beispiel 6: Ausklammern in Teilsummen
3𝑟𝑟𝑥𝑥– 6𝑟𝑟𝑦𝑦 + 𝑡𝑡𝑥𝑥– 2𝑡𝑡𝑦𝑦 = 3𝑟𝑟 · (𝑥𝑥– 2𝑦𝑦) + 𝑡𝑡 · (𝑥𝑥– 2𝑦𝑦) = (3𝑟𝑟 + 𝑡𝑡) (𝑥𝑥– 2𝑦𝑦)
Es lässt sich jedoch nicht jede Summe sinnvoll faktorisieren, z. B. 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 oder 𝑥𝑥 2 + 1
Beim Ausmultiplizieren können das Kommutativgesetz (Reihenfolge der Faktoren ändern) und die
Binomischen Formeln hilfreich sein:
Beispiel 7: Ausmultiplizieren
a)
b)
(𝑟𝑟 + 3) (𝑟𝑟– 2) (𝑟𝑟– 3) (𝑟𝑟 + 2) = (𝑟𝑟 2 – 9) (𝑟𝑟 2 – 4) = 𝑟𝑟 4 – 13𝑟𝑟 2 + 36
(−9𝑝𝑝2 + 4𝑞𝑞 2 )2 = 81𝑝𝑝4 – 72𝑝𝑝2 𝑞𝑞2 + 16𝑞𝑞 4
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4
Bruchrechnen
Lernziele
-
Sie kennen die Begriffe Bruch, Kehrwert (reziproker Wert), Zähler, Nenner, kürzen, erweitern und
wenden diese korrekt an
Sie führen mit Brüchen die vier Grundrechenarten (auch ohne Taschenrechner) korrekt aus und
geben die Ergebnisse weitestgehend vereinfacht an
Sie vereinfachen Doppelbrüche
Sie ordnen Brüche nach ihrer Grösse
Schreibweise
Brüche sind nützlich, um rationale Zahlen zu beschreiben:
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵ℎ =
der Nenner eine natürliche Zahl (also verschieden von Null) sein soll.
𝑍𝑍äℎ𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
wobei der Zähler eine ganze,
Im Fall eines negativen Bruchs kann das Vorzeichen auch vor dem Bruchstrich geschrieben werden.
Den Wert eines Bruchs
𝑎𝑎
𝑏𝑏
erhält man, indem man die Division 𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏 ausführt. Spezialfall: 5 =
5
1
Den Kehrwert (reziproken Wert) eines Bruches (mit Zähler ungleich Null) erhält man, indem man Zähler und
Nenner vertauscht.
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert:
Beispiel 8: Multiplizieren von Brüchen
a)
b)
c)
2
∙
9
3 14
7 2
18
7∙2
14
∙ = 2∙7 = 14
2 7
3 −4
1
2∙9
= 3∙14 = 42
∙
5
=
3∙(−4)
1∙5
=
−12
5
=−
12
5
Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem man den Bruch mit dem Kehrwert des zweiten
Bruchs multipliziert.
Beispiel 9: Dividieren von Brüchen
a)
b)
c)
2
3
1
3
7
9
2 14
÷ 14 = 3 ∙
2
1 1
9
1
÷1=3∙2=6
7
7 8
28
= 27
56
÷ 8 = 8 ∙ 7 = 56
8
Basale Kompetenzen Mathematik Sek I
5
Erweitern eines Bruchs
Einen Bruch erweitern heisst, Zähler und Nenner mit demselben Faktor (ungleich Null) multiplizieren. Beim
Erweitern ändert sich der Wert eines Bruchs nicht:
Beispiel 10: Erweitern von Brüchen
a)
b)
2
7
=
3
−4
18
c)
12
2∙6
7∙6
=
12
42
3∙(−1)
= (−4)∙(−1) =
18∙0.5
9
= 12∙0.5 = 6
−3
4
Um zwei Brüche gleichnamig zu machen, müssen Sie so erweitert werden, dass Sie den selben Nenner
haben. Die sparsamste Methode peilt dabei als gemeinsamen Nenner das kgV der einzelnen Nenner an:
Beispiel 11: Gleichnamig machen
1
6
und
2
5
→
15
30
4
und
weil kgV (6, 15) = 30
30
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Zwei gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den
gemeinsamen Nenner belässt:
Beispiel 12: Addieren und Subtrahieren von Brüchen
a)
b)
c)
1
+ 15 = 30 + 30 =
6
2
5+4
1
2−1
1
5
26
4
1
2 − 13 = 13 − 13 =
4
+
−1
8
2
=8+
−1
8
=
30
26−1
13
8
9
= 30
25
= 13
1
=8
Basale Kompetenzen Mathematik Sek I
6
Kürzen eines Bruchs
Einen Bruch kürzt man, indem man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor dividiert. Beim
Kürzen ändert sich der Wert eines Bruchs nicht:
Beispiel 13: Kürzen von Brüchen
a)
b)
15
10
=
18
=
99
15÷5
10÷5
=
18÷3
3
2
6
2
= 33 = 11
99÷3
Ein Bruch ist dann vollständig gekürzt (und somit vereinfacht), wenn der ggT von Zähler und Nenner gleich
Eins ist, d.h. Zähler und Nenner sind teilerfremd. Es lohnt sich oft, bereits Zwischenresultate zu kürzen.
Vereinfachen von Doppelbrüchen
Bei Doppelbrüchen ist darauf zu achten, dass der Hauptbruchstrich klar erkennbar ist.
Doppelbrüche können vereinfacht werden, beispielsweise indem man sie mit dem kgV der Nebennenner
erweitert oder die durch den Hauptbruchstrich angedeutete Division durchführt:
Beispiel 14: Vereinfachen von Doppelbrüchen
a)
2
3
1
4
=
6
=
3
4
b)
2
∙12
3
1
∙12
4
3
∙4
4
6∙4
=
=
8
3
3
24
=
1
oder
8
3
4
6
3
6
= ÷ =
4
1
3∙1
4∙6
=
3
24
=
1
8
Ordnen und Vergleichen von Brüchen
Von zwei gleichnamigen Brüchen ist derjenige grösser, welcher den grösseren Zähler hat. Von zwei Brüchen
mit gleichem, positivem Zähler ist derjenige grösser, welcher den kleineren Nenner hat.
Beispiel 15: Grössenvergleich von Brüchen
a)
b)
c)
5
2
4
>4
5
5
−9
8
>
>4
3
−1
8
aber: −
99
7
>−
99
4
und
−103
75
>
−103
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Basale Kompetenzen Mathematik Sek I
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7
𝒚𝒚 = 𝒌𝒌 ∙ 𝒙𝒙
Proportionalität:
für jeden Wert von 𝒙𝒙; und 𝒌𝒌 ist konstant
Wenn eine 2. Grösse proportional zu einer 1. Grösse ist, dann erhält man die 2. Grösse, indem man die 1.
Grösse mit einer konstanten Zahl multipliziert.
Proportionalität finden man überall im Alltag, z.B. zwischen Preis und Menge: Der Preis von Orangen in der
Migros ist proportional zur gekauften Menge. Die konstante Zahl ist der Kilopreis, sie ist in der Waage
programmiert. Will man statt Orangen z.B. Tomaten abwägen, muss man eine andere Taste drücken, nämlich
diejenige Taste, auf der der Kilopreis für Tomaten programmiert ist.
Beispiel 16: Proportionalität:
a)
3.6 kg Orangen kosten 6.30 CHF. Wie hoch ist der Kilopreis?
6.30
3.6
1.0 kg kostet 3.6 mal weniger, also:
b)
= 1.75 CHF
Eine Röhre liefert in 15 Minuten 9‘750 Liter Wasser. Wie lange dauert es, bis ein Reservoir mit
einem Inhalt von 25‘350 Liter Wasser gefüllt ist?
In 1 Min. liefert die Röhre 15 mal weniger, also:
9750
15
= 650 Liter
In 𝑥𝑥 Min. liefert die Röhre 𝑥𝑥 mal so viel, also: 𝑥𝑥 ∙ 650 Liter
Andererseits wissen wir, dass diese 𝑥𝑥 ∙ 650 Liter gleich 25‘350 Liter ist, also 𝑥𝑥 ∙ 650 = 25350
→ 𝑥𝑥 =
25350
650
= 39 Minuten
Prozentrechnung:
Nur eine spezielle Form von Proportionalität
„Prozent“ heisst wörtlich „von Hundert“, also Hundertstel. „Der Rabatt ist 15%“ heisst:
Der Rabatt ist proportional zum Preis, und die Konstante ist
Beispiel 17: Prozentrechnung:
a)
15
100
= 0.15
Wie viele ist 14% von 58?
58
= 0.58
100
58
14 ∙
= 8.12
100
1% ist 1 Hundertstel von 58, also:
14% ist das 14 mal so viel, also:
b)
Wie viele % sind 170 von 625?
100
%
625
100
= 27.2%
625
1 ist der 625-te Teil von 100%, also:
c)
170 ist 170 mal so viel, also: 170 ∙
Bei einem Rabatt von 12.5% spart man 17.50 CHF. Wie hoch war der Originalpreis?
1% ist der 12.5-te Teil von 17.50 CHF, also:
100% ist 100 mal so viel, als: 100 ∙
17.50
12.50
17.50
12.50
CHF
= 140 CHF
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Dreisatz:
8
Nur eine Methode, mit proportionalen Grössen zu rechnen
Wenn Sie wissen, dass1 Ananas 4.50 CHF kostet, dann ist es leicht zu rechnen, dass 5 Ananas
5 ∙ 4.50 CHF = 22.50 CHF kosten. Was aber, wenn Sie nicht den Preis für 1 Stück kennen, sondern für
irgend eine andere Stückzahl, z.B.: 3 Ananas kosten 13.50 CHF, wie viel kosten 5 Ananas?
In diesem Fall dividieren Sie die 13.50 CHF durch 3 und erhalten so die Kosten für 1 Stück. Dann
multiplizieren Sie mit 5 und erhalten so die Kosten für 5 Stück.
Beispiel 18: Dreisatz:
3
4
einer Zahl sind 24, wie viel sind
3
4
1
4
sind 24
2
3
?
Hier müssen Sie den Dreisatz zweimal anwenden:
ist der 3-te Teil davon, also:
24
3
=8
Das Ganze ist 4 mal so viel, also: 4 ∙ 8 = 32
Das Ganze ist also 32
1
3
2
3
PS:
ist der 3-te Teil davon, also:
ist 2 mal so viel, also: 2 ∙
32
3
32
3
= 21. 3
Haben Sie bemerkt, dass Sie zum Lösen der Bespiele zur Prozentrechnung die Methode des Dreisatzes
schon verwendet haben?
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𝒚𝒚 = 𝒌𝒌 ∙
Umgekehrte Proportionalität:
𝟏𝟏
𝒙𝒙
(𝒌𝒌 ist konstant)
Im Alltag findet man auch oft die umgekehrte Proportionalität. Eine geeignete Arbeit kann man auf mehrere
Leute aufteilen. Je mehr mithelfen, desto kürzer dauert es dann. Eine Arbeit für die Sie alleine 8 Stunden
benötigen, dauert nur noch 2 Stunden, wenn Sie sie im 4er-Team ausführen: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 8 ∙
Statt 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 ∙
1
𝑥𝑥
1
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇ö𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
kann man auch schreiben: 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘. Das Produkt der beiden Grössen ist also immer
konstant. Im Beispiel oben: „Dauer mal Teamgrösse“ ist immer gleich 8.
Beispiel 19: Umgekehrte Proportionalität:
a)
Ein Fussballfeld muss vom Schnee befreit werden. Zu viert dauert das 3 Stunden. Wie lange
dauert es alleine? Wie gross muss das Räumungsteam sein, damit es in 2 Stunden fertig ist?
Alleine dauert es 4-mal so lange wie zu viert, also: 4 ∙ 3 = 12 Stunden.
Im Räumungsteam seien 𝑥𝑥 Personen. Dann dauert es mit dem Team also ein 𝑥𝑥-tel der 12 Std.,
und das sind – wie wir wissen – 2 Stunden. Also:
Es müssen also 6 Personen im Team sein.
b)
1
𝑥𝑥
∙ 12 = 2 → 12 = 2𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 = 6.
Ein Bagger kann die Baugrube in 18 Tagen ausheben. Wie lange benötigen 2 Bagger? Wie lange
dauert es, wenn der 2. Bagger erst nach 5 Tagen mit der Arbeit beginnt?
Der Bagger 1 benötigt für die ganze Arbeit 18 Tage. In 1 Tag erledigt er also
5 Tagen erledigt
5
er
18
der Arbeit. Für die gemeinsam Arbeit bleiben also
Zusammen arbeiten die Bagger 𝑥𝑥 Tage lang. Jeden Tag erledigen sie
sind also 𝑥𝑥 ∙
𝑥𝑥 ∙
2
18
=
13
18
2
18
erledigt, und das sind – wie wir wissen -
→
𝑥𝑥 ∙ 2 = 13
→
𝑥𝑥 = 6.5
Es dauert also 5 + 6.5 = 11.5 Tage.
13
.
18
D.h.:
2
18
1
18
der Arbeit, d.h. in
13
noch .
18
der Arbeit. Nach 𝑥𝑥 Tagen
Basale Kompetenzen Mathematik Sek I
4
10
𝐜𝐜 𝟐𝟐 = 𝐚𝐚𝟐𝟐 + 𝐛𝐛𝟐𝟐
Satz von Pythagoras:
Die Fläche des Quadrat der Hypotenuse (𝑐𝑐 2 ) ist gleich der Summe der
Flächen der Quadrate der beiden Katheten (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ).
Hypotenuse:
Kathete:
Seite 𝑐𝑐, gegenüber dem rechten Winkel (𝛾𝛾 = 90°)
Eine andere Seite als die Hypotenuse, d.h. 𝑎𝑎 oder 𝑏𝑏
Beispiel 20: Satz von Pythagoras:
a)
b)
Wie lang ist die dritte Seite im rechtwinkligen Dreiecken (𝛾𝛾 = 90°) mit 𝑐𝑐 = 29, 𝑏𝑏 = 20?
𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2
→
𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2
→
a = √𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 = 21
Wie lang ist die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge 1?
Wir zeichnen die Diagonale in ein Quadrat ein. Wir haben nun ein
rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 1 und der Diagonale d.
c)
→
𝑑𝑑 2 = 12 + 12 = 2
→
𝑑𝑑 = √2
Wie lang ist die Höhe ℎ im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 1?
1
2
Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit 𝑎𝑎 = , 𝑏𝑏 = ℎ und 𝑐𝑐 = 1.
→
1 2
3
ℎ2 = 12 − �2� = 4
→
3
ℎ = �4 =
√3
√4
=
√3
2
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11
Lineare Gleichungen mit 1 Variablen:
𝐚𝐚 ∙ 𝐱𝐱 = 𝐛𝐛
Eine lineare Gleichung mit 1 Variablen 𝑥𝑥 kann immer in die Form gebracht werden: 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏.
𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 heissen Parameter (Betonung auf Silbe „ra“, nicht „me“). Darunter stellen wir uns einfach Zahlen
vor, aber damit unsere Überlegungen allgemein gültig bleiben, geben wir nicht konkrete Zahlen an.
Lineare Gleichungen enthalten die Variable nach geeigneter Umformung nur in der 1. Potenz („als 𝑥𝑥“). Es
1
𝑥𝑥
kommen z.B. keine √𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 oder vor.
Lineare Gleichungen lösen wir in 3 Schritten:
1) Sortieren:
Alle Summanden mit 𝑥𝑥 auf eine Seite - alle Summanden ohne 𝑥𝑥 auf die andere Seite
2) Zusammenfassen: Alle 𝑥𝑥-Terme und alle Zahlen zusammenfassen
3) Dividieren:
Die Gleichung durch den Faktor vor dem 𝑥𝑥-Term dividieren
Das Sortieren im Schritt 1 verlangt oft, dass Sie Ausmultiplizieren (Klammern auflösen) oder Bruchrechnen. Es
kann auch sein, dass die Originalgleichung noch Summanden mit z.B. 𝑥𝑥 2 enthält und diese erst bei der
Umformung wegfallen.
Beispiel 21: Lineare Gleichungen mit 1 Variablen:
a)
Lösen Sie die Gleichung nach 𝑥𝑥 auf: 67 − 2(3𝑥𝑥 + 13) = 47 − 3(5𝑥𝑥 − 4)
sortieren:
zusammenfassen:
dividieren:
b)
67 − 6𝑥𝑥 − 26 = 47 − 15𝑥𝑥 + 12
−6𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 = 47 + 12 − 67 + 26
9𝑥𝑥 = 18
𝑥𝑥 = 2
x−15
3𝑥𝑥−4
+
5
4
x−15
3𝑥𝑥−4
+
=
5
4
Lösen Sie die Gleichung nach 𝑥𝑥 auf:
sortieren:
= 15
15
4(𝑥𝑥 − 15) + 5(3𝑥𝑥 − 4) = 300
zusammenfassen:
dividieren:
4𝑥𝑥 − 60 + 15𝑥𝑥 − 20 = 300
4𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 = 300 + 60 + 20
19𝑥𝑥 = 380
𝑥𝑥 = 20
⃒ +15𝑥𝑥; −67; +26
⃒ ∙ 20
⃒ +60; +20
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Lineare Textgleichungen:
12
Aufgabe muss zuerst mathematisiert werden
Im wissenschaftlichen Alltag werden Sie sich nicht fertig formulierte Gleichungen befassen, sondern Sie
werden vor einem Problem stehen, das man mit einer Gleichung lösen kann. Das Problem können Sie mit
präzisem deutschem Text beschreiben. Darum ist wichtig, dass Sie das Lösen von Textgleichungen üben.
Zum Lösen von Textgleichungen benötigen Sie beides, Fantasie und präzise Denkarbeit. Es gibt kein
allgemeingültiges Rezept. Meist eignet sich aber folgendes Vorgehen:
1)
2)
3)
Finden Sie im Text folgende 2 Elemente:
a) Was können Sie anpassen, d.h. was ist die Unbekannte?
Wählen Sie 𝑥𝑥 für diese Grösse und schreiben Sie ganz präzise auf, was 𝑥𝑥 ist.
b) Welche Grösse können Sie auf 2 Arten berechnen?
Schreiben Sie die beiden Berechnungsarten dieser Grösse auf, und setzen Sie ein „=“ dazwischen.
Nun haben Sie die fertig formulierte Gleichung und fahren mit den 3 üblichen Schritten weiter:
sortieren, ausklammern, dividieren.
Beispiel 22: Lineare Textgleichungen:
Eine Treppe hat 22 Stufen. Würde jede Stufe um 1.6 cm höher gebaut, könnten zwei Stufen
eingespart werden. Wie hoch ist eine Stufe?
Was können Sie anpassen, was ist die Unbekannte? → Stufenhöhe
𝑥𝑥: Originalhöhe einer Stufe in cm (präzise Angabe!)
Was können Sie auf 2 Arten berechnen? → Treppenhöhe
Treppenhöhe ist einerseits (22 ∙ 𝑥𝑥) und andererseits (22 − 2) ∙ (𝑥𝑥 + 1.6)
(22 ∙ 𝑥𝑥) = (22 − 2) ∙ (𝑥𝑥 + 1.6)
(jetzt ist die Aufgabe mathematisiert)
Nun lösen Sie die Gleichung mit den 3 üblichen Schritten sortieren, zusammenfassen, dividieren.