Übung zur Vorlesung „Grundlagen der Photonik“

Übung zur Vorlesung
„Grundlagen der Photonik“
Wintersemester 2010/2011
Tag der Übung: 09.11.2010
3 Interferenzeffekte, Gauß’sche Optik
Themen: Interferenz, Michelson-Interferometer, Gauß-Strahl, q-Parameter, Computeralgebra
3.1 Michelson-Interferometer
In einem Michelson-Interferometer wird der bewegliche Spiegel um eine Strecke ∆x =
0, 73 mm verschoben. Dabei werden 300 Hell-Dunkel-Zyklen durchlaufen.
a) Welche Wellenlänge λ hat das verwendete Licht?
b) Wie viele Zyklen werden durchlaufen, wenn ein Glasplättchen der Dicke d = 5 µm
und dem Brechungsindex n = 1, 35 in einen der beiden Arme eingebracht wird?.
Wie groß ist die Ausgangsintensität, wenn sie vor Einbringung des Plättchens
maximal war?
c) Die Länge beider Arme wird so fixiert, dass das Ausgangssignal maximal ist. Wie
stark muss die Wellenlänge verändert werden, damit am Ausgang nur noch die
halbe Intensität gemessen wird?
3.2 Luftkeil
Zwei übereinander liegende Glasscheiben der Länge l = 120 mm berühren einander an
einer Kante. An der anderen Kante ist ein Draht der Dicke d eingeklemmt. Hierdurch
entsteht zwischen den Glasscheiben ein dünner Luftkeil. Ein breites Strahlbündel fällt
senkrecht auf die obere Scheibe. Im reflektierten Licht erkennt ein Beobachter Interferenzstreifen.
1
a) Beginnt das Interferenzmuster an der Berührungsstelle mit einem hellen oder
dunklen Streifen?
b) Von diesem Rand aus folgen Interferenzminima. Die Lage der Interferenzminima
hängt hierbei von der Wellenlänge des verwendeten Lichts ab. Liegt das Minimum
für rotes oder für blaues Licht näher an diesem Rand?
c) Der Beobachter sieht bei einer Wellenlänge von λ = 600 nm insgesamt 10 HellDunkel-Zyklen. Welche Dicke d hat der eingeklemmte Draht?
3.3 Knife-Edge Scan
Mit Hilfe mehrerer „Knife-Edge Scans“ ist es möglich die Strahlparameter eines gaußschen Strahls zu bestimmen. Bei einem „Knife-Edge Scan“ verdeckt eine scharfe Rasierklinge den Strahl. Nun zieht man diese langsam heraus und misst die Intensität hinter der
Klinge in Abhängigkeit von der Klingenposition. Bei einem gauß’schen Strahl ( 1e -Breite
σ) entspricht der Intensitätsverlauf
x
.
σ
I(x) ∝ erf
(1)
Hierbei ist erf(x) die sogenannten Fehlerfunktion (englisch: error function).
In der beiliegenden ZIP-Datei sind Datensätze von fünf Scans eines fokussierten Laserstrahls (Wellenlänge λ = 633 nm) enthalten. In jedem Datensatz ist die erste Spalte die
x-Position (in mm) und die zweite Spalte die gemessene Intensität I(x) (normiert auf
die maximale Intensität der Messung). Es wurde hierbei bei einer beliebigen Position
z = 0 (knifeedge00.dat) des Strahls begonnen. Die Messungen erfolgten im Abstand
∆z = 5 mm entlang der Ausbreitungsrichtung des Strahls.
a) Bestimmen Sie die Größe und Lage (relativ zu z = 0) der Strahltaille, sowie die
Rayleigh-Länge des Strahls.
b) Bestimmen Sie die Position (relativ zu z = 0) und die Brennweite der verwendeten
Linse, wenn der Strahl vor der Linse kollimiert ist und einen Strahldurchmesser
von 12 mm aufweist.
3.4 Wellenfront-Analyse
Mit Hilfe einer Lochblende ist es möglich den Krümmungsradius eines Gauß-Strahls
direkt zu messen. Hierbei nutzt man aus, dass der durch das Loch transmittierte Strahl
sich entlang der Oberflächennormalen der Wellenfront ausbreitet.
2
L Schirm
d
Lochblende
Vergleicht man den Auftreffpunkt des transmittierten Strahls (schwarz), auf einem Detektor der im Abstand L hinter der Lochblende angebracht ist, mit dem Auftreffpunkt
einer ebenen Welle (rot), so kann man die Krümmung des Strahls am Ort der Blende bestimmen. Durch eine geschickte Wahl des Lochs, kann Beugung am Loch vernachlässigt
werden.
Der Detektor wird nun L = 5 mm hinter der Lochblende angebracht, wobei das Loch
einen Abstand von d = 3 mm vom Strahlmittelpunkt besitzt. Nun wird ein gauß’scher
Laserstrahl mit der Wellenlänge λ = 532 nm vermessen. Im Vergleich zu einer ebenen
Welle misst der Detektor nun eine Verschiebung um ∆x = 7, 8 µm und ∆y = 12, 8 µm.
a) Bestimmen Sie den Krümmungsradius des Strahls am Ort der Blende.
b) Aus einem vorangegangenem Knife-Edge-Scan weiß man, dass der Strahl am Ort
der Blende einen Strahldurchmesser von σ = 33, 9 mm besitzt. Bestimmen Sie die
Lage und Größe der Strahltaille des Strahls, sowie seine Rayleigh-Länge.
3
Hinweise
Computeralgebra
Sollte kein geeignetes Programm zum Anpassen (Fitten) der Daten verfügbar sein (Excel/OpenOfficeCalc ist leider nicht ausreichend), so kann das freie Programm GNUplot
verwendet werden.
Handbuch, Hinweise und Downloads von GNUplot finden Sie unter
http://www.gnuplot.info/.
Ein möglicher Fit in GNUplot könnte zum Beispiel so aussehen:
# Funktion definieren (Variable x, Parameter s)
f(x) = erf(x/s)
# Startparameter setzen
s = 0.5;
# Fit ausführen
fit f(x) ’knifeedge00.dat’ via s
Beachten Sie, dass die obige Funktion evtl. noch um weitere Parameter erweitert werden
muss.
Fehlerfunktion
Sollte das Computer-Programm ihrer Wahl keine Fehlerfunktion kennen, so kann die
Näherung
erf(x) ≈
v
u
u
sgn(x) t1 − exp
4
−x2 π
+ ax2
1 + ax2
!
(2)
mit
a=
8 (π − 3)
3π (4 − π)
(3)
verwendet werden.
4