PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Vorlesung nach
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PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm [email protected] Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2003-2004/ueb/ue# 14. Januar 2004 Universität Ulm, Experimentelle Physik http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und rechts:im Bezugssystem S 0, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S im Bezugssystem S 0 ist. Die Ladung ist jedoch invariant. Universität Ulm, Experimentelle Physik 1 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung II Den Strom I modellieren wir mit zwei Ketten aus Ladungsträgern, je eine positiv und negativ geladen. Ihre Linienladungsdichte soll so sein, dass die beiden Ketten neutral sind. Im Ruhesystem S + der positiven Ladungen ist Q λ0 = (1) L0 Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz Q λ= L Universität Ulm, Experimentelle Physik (2) 2 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung III Wegen der Längenkontraktion gilt L0 L= = L0 γ0 r v02 1− 2 c (3) Zusammengenommen erhalten wir λ0 = Universität Ulm, Experimentelle Physik λ γ0 (4) 3 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung IV Die gleiche Beziehung kann für die negativen Ladungen abgeleitet werden. Das heisst, wenn in S die Linienladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich sind, dann auch in den jeweiligen Ruhesystemen. In den Ruhesystemen ist die Linienladungsdichte geringer als in bewegten Bezugssystemen. Da die beiden bewegten Ladungsketten die gleiche ~ = 0. Linienladungsdichte im System S haben, ist E Universität Ulm, Experimentelle Physik 4 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung V Im Ruhesystem S 0, in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch neutral. Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in S 0 die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen1. Die beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ ~ 0-Feld in die geladen. Deshalb wird q angezogen, wenn q > 0 ist. Das E z 0-Richtung erzeugt in S 0 die Kraft Fz0 = q · E 0 1 (5) In S sind die Ladungsdichten der positiven und negativen Ladungen. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Felder ~ Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch invariant! Universität Ulm, Experimentelle Physik 6 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung II Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist E(r) = λ 2π²0 · r (6) 0 0 ~ 0 berechnen wir die Geschwindigkeiten v+ Um das elektrische Feld E und v− in S 0. 0 v+ = 0 v− = Universität Ulm, Experimentelle Physik v − v0 0 1 − v·v 2 c v + v0 0 1 + v·v 2 c (7) 7 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung III Mit den üblichen Abkürzungen β ≡ v c γ = 1 p 1 − β2 (8) bekommen wir 0 β+ = 0 β− = Universität Ulm, Experimentelle Physik β0 − β 1 − β0β β0 + β 1 + β0β (9) 8 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung IV 0 0 0 0 0 Mit γ+ ≡ γ(v+ ) und γ− ≡ γ(v− ) und mit λ0 = λ0+/γ+ erhalten wir µ λ0+ = 0 γ+ µ 0 λ0− = γ− λ γ0 λ γ0 ¶ (10) ¶ Die Netto-Linienladung in S 0 ist dann 0 λ = λ0+ Universität Ulm, Experimentelle Physik − λ0− ¢ λ ¡ 0 0 = γ+ − γ− γ0 (11) 9 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung V Weiter erhalten wir q = r 1 0 0 − γ− = γ+ 2 1 − β+ −q 1 ³ β0 −β 1−β0 β 1− 1 2 1 − β− p = p 1− (1 − β02) (1 − β 2) −2β0β (1 − Universität Ulm, Experimentelle Physik β02) (1 1 ³ ´2 − r 1 − β0β = (12) − β 2) −p β0 +β 1+β0 β ´2 1 + β0 β (1 − β02) (1 − β 2) = −2β0βγ0γ 10 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung VI Also ist λ0 = −2λββ0γ = Das elektrische Feld wird also Er0 −2λvv0 γ 2 c λ0 = 2π²0r 2λv0vγ(v) 1 = − · 2 2π²0c r (13) (14) Die Kraft im Ruhesystem S 0 des Teilchens ist also Fz0 = −q · Universität Ulm, Experimentelle Physik Er0 2qλv0vγ(v) 1 = · 2π²0c2 r (15) 11 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung VI Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse p0x = px µ p0y = γ(v) py − v p0z = pz E c2 ¶ (16) E 0 = γ(v) (E − v · py ) Der Vierervektor (px, py , pz , cE2 ) transformiert sich wie der Vierervektor (x, y, z, t). Universität Ulm, Experimentelle Physik 12 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung VII Die Kraft transformiert sich also wie Fz0 dp0z dpz = 0 =p = γ(v)Fz 2 dt 1 − β · dt (17) Der Strom in S ist I = 2λv0 (18) Damit bekommen wir q·v·I 1 Fz (r) = · 2 2π²0 · c r Universität Ulm, Experimentelle Physik (19) 13 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Relativistische Rechnung VIII Multipliziert man Gleichung (??) mit der Dichte der Ladungsträger, so erhält man die zu I2 proportionale Kraft. Die magnetische Kraft Fm im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S 0. Die magnetische Kraft kann als relativistische Korrektur zur elektrostatischen Kraft verstanden werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 14 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Lorentz-Kraft ~ F~L = q · ~v × B (20) Durch den Vergleich von Gleichung (??) und Gleichung (??) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben I 1 B(r) = · (21) 2π²0c2 r Universität Ulm, Experimentelle Physik 15 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Induktionskonstante Die Induktionskonstante 1 µ0 = ²0c2 (22) ermöglicht es zu schreiben µ0 I · 2π r (23) µ0 −7 N = 10 4π A2 (24) B(r) = Universität Ulm, Experimentelle Physik 16 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Magnetisches Feld um einen Leiter Universität Ulm, Experimentelle Physik 17 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Magnetisches Feld um einen Leiter II ~ bildet eine Rechtsschraube um Die magnetische Induktion B den Strom I (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion). Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom. Universität Ulm, Experimentelle Physik 18 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Einheit der magnetischen Induktion [B] = T esla = T = Universität Ulm, Experimentelle Physik N ·s N V ·s = = C · m Am m2 (25) 19 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Magnetische Kraft Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit ~ 1(r) F~L = q2 · ~v2 × B (26) wobei q2 eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit n2 der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, ` die betrachtete Länge, A2 der Querschnitt des Leiters und hv2i = |~v2|, bekommt man FM = q2 · hv2i · B1(r) · n2 · ` · A2 (27) Der Strom im Leiter 2 ist nun aber I2 = hv2i · n2` · A2 Universität Ulm, Experimentelle Physik (28) 20 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Magnetische Kraft II Damit ist FM = I2 · B1(r) · ` (29) Wenn wir Gleichung (??) einsetzen, bekommen wir FM = Universität Ulm, Experimentelle Physik µ0 2` · I1 · I2 4π r (30) 21 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Biot-Savart-Kraft Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement. Universität Ulm, Experimentelle Physik 22 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Biot-Savart-Kraft → − ~ Der Betrag des Vektors dF , der senkrecht auf d ` und senkrecht auf ~ steht, ist dB (31) dF = q · hvi · sin φ · B · n · d` · A ~ und wobei n die Dichte der Ladungsträger und φ der Winkel zwischen B − → d ` ist. Mit der Stromdichte ~i = n · hvi · q erhalten wir dF = i · A · d` · sin φ · B = I · d` · sin φ · B (32) Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach ~ dF~ = I · d~` × B Universität Ulm, Experimentelle Physik (33) 23 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Beispiele Biot-Savart-Kraft Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ist µI I F~ = ~ =I· I · d~` × B ¶ ~ d~` × B (34) H ~ über eine geschlossene Schleife null ist (die Da das Linienintegral d~` × B positiven und die negativen Anteile heben sich auf) ist F~ = 0. Universität Ulm, Experimentelle Physik 24 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Beispiele Biot-Savart-Kraft II Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden. Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 25 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Beispiele Biot-Savart-Kraft III Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment ~ dM = (~r1 + ~r3) × dF~1 + (~r1 + ~r4) × dF~1 + (~r2 + ~r3) × dF~2 + (~r2 + ~r4) × dF~2 (35) = 2 · ~r1 × dF~1 + 2 · ~r2 × dF~2 Das gesamte Drehmoment ist ~ = ~r1 × F~1 + ~r2 × F~2 = 2 · ~r1 × F~1 M Universität Ulm, Experimentelle Physik (36) 26 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Beispiele Biot-Savart-Kraft IV ~ liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn φ der Das Drehmoment M ~ ist, Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und B gilt mit F1 = a · I · B: b M = 2 sin φ · F1 = a · b · I · sin φ · B 2 (37) Wir definieren das magnetische Moment m ~ so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass |m| ~ = Fläche · Strom = a · b · I ist. Damit ist ~ =m ~ M ~ ×B (38) Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet. Universität Ulm, Experimentelle Physik 27 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Beispiele Biot-Savart-Kraft V Die potentielle Energie einer um den Winkel φ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von φ = 0 ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel φ dreht. Die Arbeit, um von φ0 nach φ0 + dφ0 zu drehen ist b dU = 2 · F1 sin φ · · dφ0 = a · b · I · B · sin φ0 · dφ0 2 0 (39) Zφ sin φ0 · dφ0 = −a · b · I · B · (cos φ − 1) U (φ) = a · b · I · B · (40) 0 Wenn wir U (φ = π/2) = 0 wählen haben wir ~ U = −m ~ ·B Universität Ulm, Experimentelle Physik (41) 28 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz I ~ · d~s = µ0I B 2πr S I rdφ = µ0I S Ampèresches Durchflutungsgesetz ZZ I ~ · d~s = µ0 ~i · d~a B S Universität Ulm, Experimentelle Physik (42) (43) A(S) 29 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz II Universität Ulm, Experimentelle Physik 30 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz III 0 → Eine beliebige Kurve S um einen geraden Leiter d− s ist die Projekti→ on des Weglängenelementes d− s auf der Kurve S auf die in der xy-Ebene liegende Projektion der Kurve S 0. Es ist 0 − ~ · d~s = B ~ · d→ B s = B(r) · cos αds0 = B(r) · r · dφ ~ da B(r) keine Komponente in die z-Richtung hat. Es ist ~ · d~s = µ0 I · dφ B 2π und damit I µ0I ~ B · d~s = 2π S Universität Ulm, Experimentelle Physik Z2π dφ = µ0I 0 31 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz IV Eine beliebige Kurve S 00, die den Leiter nicht umschliesst Es ist I ZB ~ · d~s = B S0 ZA ~ · d~s + B A B µ0 I ~ B · d~s = 2π ZB A µ0 I dφ + 2π ZA dφ B µ0I µ0 I (φB − φA) + (φA − φB ) = 0 2π 2π Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg S umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben. = Universität Ulm, Experimentelle Physik 32 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz V Eine beliebige Kurve S um eine beliebige Stromverteilung Wir betrachten viele Ströme Ik , die von der Integrationskurve S umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt I = µ0 S X Ik k wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von S eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 33 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz. Differentialform Mit dem Stokeschen Satz kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben I ZZ ZZ ~ · d~s = ~ · d~a = µ0 ~i · d~a B rot B (44) S A(S) A(S) Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen A(S) gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten ~ = µ0~i rot B Universität Ulm, Experimentelle Physik (45) 34 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten. Universität Ulm, Experimentelle Physik 35 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme II I(∆y) . ∆y→0 ∆y Wir definieren eine lineare Stromdichte j = lim Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass ~z ≡ 0 B (46) Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche ~ Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von B parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null. Universität Ulm, Experimentelle Physik 36 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme III ~ x(x) und B ~ y (x) im Abstand x von der Wir betrachten weiter das Feld B Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an: • Wir drehen die Platte um π um die z-Achse. Die neue Situation (Ströme) ~ ~ ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss B(x) = −B(−x) sein. • Wir drehen die Platte um π um die y-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um j → −j. Die Endsituation ist unun~ x(−x) = B ~ x(x) und terscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch B By (−x) = −By (x). Universität Ulm, Experimentelle Physik 37 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme IV Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt: ~ x(x) ≡ 0 B (47) ~ y zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S Um B symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt I ZZ ~ · d~s = 2By (x) · b + 2 · 0 = µ0 B ~idf~ = µ0 · j · b C Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Universität Ulm, Experimentelle Physik 38 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme V Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung oben Mitte). By = µ0 j 2 (48) Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt. B = µ0 j (49) Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel Universität Ulm, Experimentelle Physik 39 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes Universität Ulm, Experimentelle Physik 40 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit Ia ~ · d~a = 0, ist Da überall auf der Integrationsfläche A gilt: B ZZ ~ · d~a = 0 B (50) A Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass ZZ ZZ ~ · d~a = ~ · d~a B B A M antel ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 41 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit II Integration über die Mantelfläche. Universität Ulm, Experimentelle Physik 42 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit III An der Mantelfläche gilt mit da = h · ds ³ ´ π ~ · d~a = B(r) cos α + B h · ds = −B(r) sin (α) h · ds 2 = −B(r) · dr · h = −B(r) · dr dφ · h = −B(r) · r0(φ) · dφ · h dφ und damit ZZ ~ · d~a = − µ0Ih B 2π M antel Universität Ulm, Experimentelle Physik Z2π 0 ¯2π ¯ r (φ) µ0Ih dφ = − ln (r(φ))¯¯ = 0 r(φ) 2π 0 0 43 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit IV Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen ZZ ~ · d~a = 0 B A Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz zeigt man Universität Ulm, Experimentelle Physik 44 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit V ZZ ZZ Z ~ · d~s = B A ~ dV div B (51) V (A) oder in differentieller Form ~ =0 div B (52) Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 45 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential − → − → Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot B = µ0 i und die ~ = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung soll auch für Quellenfreiheit div B das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Mit dem Vektorpotential ~ (x; y; z) = rot A ~ (x; y; z) B (53) werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität ³ ´ ~ =0 div rot A (54) ~ garantiert. ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A Universität Ulm, Experimentelle Physik 46 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential II ³ ~ Mit der zweiten Vektoridentität rot rot A bekommen wir aus dem Ampèrschen Gesetz ´ ´ ~ − ∆A ~ = grad div A ´ ~ − grad div A ~ = −µ0~i ∆A ³ ³ (55) ~ kann immer so gewählt werden, dass div A ~=0 Das Vektorpotential A gilt. Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ~ = f 6= 0 existiert. ein Vektorpotential mit div A Universität Ulm, Experimentelle Physik 47 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential III ~ mit Dann existiert auch ein Vektorfeld V ~ div V ~ rot V = f (56) = 0 mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren Ein Vektorpotential ~0 = A ~−V ~ A Wegen Gleichung (16) gilt dann ~ 0 = rot A ~ − rot V ~ = rot A ~ rot A Universität Ulm, Experimentelle Physik 48 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential IV ~ Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (16) gilt auch ~ 0 = div A ~ − div V ~ =f −f =0 div A ~ kann ein Vektorpotential Zu jedem Vektorpotential A ~ 0 gefunden werden, so dass div A ~ = 0 ist. A Universität Ulm, Experimentelle Physik 49 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential V Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende ~ ist nicht eindeutig bestimmt. Die Vektorpotential A ~ gehörenden Wahl eines der zur gleichen Lösung von B Potentiale nennt man Eichung In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. Universität Ulm, Experimentelle Physik 50 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential VI Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung ~ y; z) = −µ0~i(x; y, z) ∆A(x; (57) kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik, ZZZ ~ µ i (~r) 0 0 ~ dV A (~r) = (58) 4π |~r − ~r0| Universität Ulm, Experimentelle Physik 51 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential VII Wenn wir mit ρ ~ = ~r − ~r0 den Abstand von einem Beobachtungspunkt ~r zu einem Punkt ~r0 mit der Stromdichte ~i(~r0) eines linearen Leiterstückes − → d ` bezeichnen und ρ ~ = ~r − ~r0 setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld ~` × ρ µ I d ~ 0 ~ = dB · (59) 3 4π ρ Universität Ulm, Experimentelle Physik 52 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential VIII Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes von Biot-Savart bekommt man µ0 I ~ B(~r) = 4π I d~` × ρ ~ ρ3 (60) Leiter Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über das Vektorpotential berechnet. Universität Ulm, Experimentelle Physik 53 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt Universität Ulm, Experimentelle Physik 54 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt II Wenn Elektronen mit der Geschwindigkeit ~v durch ein Metall in einem ~ fliessen (in einer Geometrie Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B wie im obigen Bild), werden sie von der Lorentzkraft ~ F~L = −e · ~v × B nach unten abgelenkt. Man kann sich dies klar machen, indem man annimmt, der gesamte Metallstreifen werde mit der Geschwindigkeit ~v nach rechts bewegt. Da der Leiter eine begrenzte Ausdehnung hat, laden sich die ~ nach oben auf Grenzflächen auf. Das elektrische Feld bewirkt eine Kraft eE die Elektronen. Im Gleichgewicht gilt −e · v · B = −e · E Universität Ulm, Experimentelle Physik (61) 55 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt III Eine Einheitsladung, die langsam von A nach B herumgeführt wird, erfährt vom elektrischen Feld eine Arbeit h · E, so dass diese elektromotorische Kraft als Spannung am Voltmeter abgelesen werden kann. Durch Kombination mit der Gleichung (20) bekommt man für die Hallspannung UHall = h · v · B (62) Diese Hallspannung ist unabhängig vom Material. Die Geschwindigkeit der Ladungsträger ist die Driftgeschwindigkeit < v >, die über I = q · n · h · b· < v > mit der Driftgeschwindigkeit zusammen hängt. b ist hier die Dicke des Leiters. Universität Ulm, Experimentelle Physik 56 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt IV Die Hallspannung hängt dann wie UHall I ·B = e·b·n (63) von Strom und Spannung ab. Universität Ulm, Experimentelle Physik 57 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Lorentztransformation der Felder I Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder. Universität Ulm, Experimentelle Physik 58 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist σ Ez = ²0 (64) wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist Bx = µ0 · j = µ0 · σ · v0 = v0 · σ ²0 · c2 (65) Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S 0 müssen nun berechnet werden. Auch in S 0 sind die Platten homogen geladen. Also haben wir 0 σ Ez0 = ²0 Universität Ulm, Experimentelle Physik (66) 59 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 und Bx0 14. Januar 2004 v00 · σ 0 = ²0 · c2 (67) Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ 0 und v0 v00 = σ0 = σ0 = v0 − v 0 1 − v·v 2 c σ γ0 σ0 γ00 (68) ³ ´−1/2 v02 wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = 1 − c2 ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 60 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Wir bekommen γ00 σ =σ· =σ γ0 s 0 1 − v02/c2 1 − v002/c2 (69) und damit σ 0 v u = σu u t 1 − v02/c2 µ ¶2 1− c p = σ q¡ Universität Ulm, Experimentelle Physik v0 −v v·v 1− 20 1− 1− v02/c2 ¢ v·v0 2 c2 (70) /c2 ¡ 1− v·v0 c2 ¢ − (v0 − v)2/c2 61 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 = = = = 14. Januar 2004 p ¢ ¡ v·v0 2 2 1 − v0 /c 1 − c2 σ q¡ ¢ v·v0 2 1 − c2 − (v0 − v)2/c2 p ¡ ¢ v·v0 2 2 1 − v0 /c 1 − c2 q σ v 2 ·v02 v·v0 1 − 2 c2 + c4 − v02/c2 − v 2/c2 + 2vv0/c4 p ¡ ¢ v·v0 2 2 1 − v0 /c 1 − c2 p σp 2 2 1 − v0 /v · 1 − v 2/c2 ³ v · v0 ´ σ·γ· 1− 2 c und damit σ 0 · v00 = σγ (v0 − v) Universität Ulm, Experimentelle Physik (71) 62 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Damit ist 0 σ Ez0 = =γ ²0 und µ σ σv · v0 − ²0 ²0c2 ¶ µ = γ (Ez − v · Bx) (72) ¶ ´ ³ · σ σ · v σ · v v 0 =γ − Bx0 = = γ Bx − 2 Ez (73) 2 2 2 ²0 · c ²0 c ²0c c Damit sind die transversalen Felder Bx0 und Ez0 in S 0 Linearkombinationen der Felder Bx und Ez in S. v00 0 Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem man die obige Anordnung um π/2 um die y-Achse dreht. Dann gehen Ez → Ex (74) Bx → −Bz (75) Universität Ulm, Experimentelle Physik 63 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 über. Die Transformationsgleichungen sind dann Ex0 = γ (Ex + v · Bz ) ³ ´ v Bz0 = γ Bz + 2 Ex c (76) (77) Universität Ulm, Experimentelle Physik 64 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 ~ Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des ~ B-Feldes (rechts). Universität Ulm, Experimentelle Physik 65 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 ~ Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators2 nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist Ey Ey0 σ Also ist auch σ = ²0 σ0 = ²0 = σ0 Ey0 = Ey (78) (79) Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in 2 oder jeder anderen Anordnung von zwei parallelen, homogenen Flächenladungen Universität Ulm, Experimentelle Physik 66 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist I ·N By = µ0 L (80) wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = Q̇ ist N dQ By = µ0 (81) L dt Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann By0 Universität Ulm, Experimentelle Physik N dQ = µ0 0 0 L dt (82) 67 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Mit der Längenkontraktion L0 = γL und der Zeitdilatation dt0 = dt/γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit By0 = By (83) ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 68 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Bewegung in die y-Richtung mit ~v = (0; vy ; 0) (γ = p 1 − v 2/c2) Ex0 = γ (Ex + v · Bz ) (84) Ey0 = Ey Ez0 = γ (Ez − v · B − x) ³ ´ v Bx0 = γ Bx − 2 Ez c By0 = By ´ ³ v Bz0 = γ Bz + 2 Ez c Universität Ulm, Experimentelle Physik 69 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Leiterschleife bewegt Induktion eines Stromes in einer in einem inhomogenen Magnetfeld bewegten Leiterschlaufe. Universität Ulm, Experimentelle Physik 70 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Stabmagnet und Spule Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. Universität Ulm, Experimentelle Physik 71 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Induzierte Spannung Induzierte Spannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 72 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Selbstinduktion Selbstinduktion Universität Ulm, Experimentelle Physik 73