¨Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨Ubungsblatt 6 / WS

Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I
Übungsblatt 6 / WS 2012/13
Ausgabe: Mo 26. November, Besprechung: Fr 30. November
1. Tunneleffekt
Betrachten Sie ein eindimensionales Teilchen der Masse m, das von links auf eine
endlich hohe Potentialbarriere der Breite L zuläuft. Das Potential lautet wie folgt:


für x < 0 (Bereich I) ,
0
V (x) = V0 für 0 ≤ x ≤ L (Bereich II) ,


0
für x > L (Bereich III) .
In diesem Fall kann das Teilchen die Barriere überwinden, selbst wenn seine Energie
E kleiner als die Barrierenhöhe V0 ist (Tunneleffekt).
(a) Geben Sie die Schrödingergleichung für die drei oben definierten Bereiche an.
(b) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktionen

ikx
−ikx

ψI (x) = AI e + BI e
Ψ(x) = ψII (x) = AII eκx + BII e−κx


ψIII (x) = AIII eikx + BIII e−ikx
für x < 0 ,
für 0 ≤ x ≤ L ,
für x > L
allgemeine
Lösungen
der
Schrödingergleichung
p
√
k = 2mE/~ und κ = 2m(V0 − E)/~.
sind,
wobei
(c) In unserem Fall ist BIII = 0. Warum?
(d) Bestimmen Sie die Koeffizienten AII und BII in Abhängigkeit von c := AIII eikL .
Anleitung: Die Wellenfunktion Ψ(x) muss im Punkt x = L stetig und stetig
d
d
differenzierbar sein, d.h. es muss ψII (L) = ψIII (L) und dx
ψII (L) = dx
ψIII (L)
gelten. Aus diesen Bedingungen erhalten Sie zwei Gleichungen für AII , BII und
c, die Sie nach AII bzw. BII auflösen können.
k
c
k
c
Ergebnis: AII = (1 + i )e−κL und BII = (1 − i )eκL
2
κ
2
κ
(e) Bestimmen Sie die Koeffizienten AI und BI in Abhängigkeit von AII und BII .
Anleitung: Die Wellenfunktion Ψ(x) muss im Punkt x = 0 stetig und stetig
d
d
differenzierbar sein, d.h. es muss ψI (0) = ψII (0) und dx
ψI (0) = dx
ψII (0) gelten.
Aus diesen Bedingungen erhalten Sie zwei Gleichungen für AI , BI und AII , BII ,
die Sie nach AI bzw. BI auflösen können.
(f) Setzten Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe (d) in das aus Teilaufgabe (e) ein, um
die Koeffizienten AI und BI in Abhängigkeit von c zu erhalten. Benutzen Sie
sinh(x) = 21 (ex − e−x ) und cosh(x) = 12 (ex + e−x ), um Ihr Ergebnis in die Form
k 2 − κ2
k 2 + κ2
AI = cosh(κL) − i
sinh(κL) c ,
BI = −i
sinh(κL)c
2κk
2κk
1
umzuschreiben.
2
(g) Der Transmissionskoeffizient T = AAIII
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass
I
das Teilchen die Barriere überwindet. Bestimmen Sie T .
Anleitung: Benutzen Sie zuerst |AIII | = |c| und cosh2 (x) = 1 + sinh2 (x), um
h
i−1
2
2 )2
T = 1 + (κ4κ+k
sinh2 (κL)
zu erhalten. Einsetzten von κ und k liefert dann
2 k2
das Endergebnis
1
T =
1+
V02
4E(V0 −E)
2
√
2
sinh (
2m(V0 −E)
L)
~
.