P(B) = P(C)
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Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
◮ Stochastik | Kombinatorische Zählprobleme | Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
1. ◮ Binomialkoeffizienten berechnen
10
10!
=
= 210
(
10
−
4)! · 4!
4
25
25!
=
= 25
(25 − 1)! · 1!
1
30
12
66
66
Lösungsblatt (ausführlich)
=
30!
= 86493225
(30 − 12)! · 12!
=
66!
= 1 (Beachte: 0! := 1)
(66 − 66)! · 66!
2. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die
Anzahl
aller möglichen Ausfälle, wenn von 20 Kugeln 4 gezogen werden, ist:
20
= 4845
4
a) Wenn alle Zahlen durch 2 teilbar sein sollen, dann gibt es 10 mögliche Zahlen (2, 4, 6, ..., 18, 20).
Es gibt damit insgesamt
10
günstige Fälle. Damit ist:
4
10
4
210
=
≈ 0, 0433 =
b 4, 33%
P( A) =
4845
20
4
b) Wenn alle Zahlen durch 5 teilbar sein sollen, dann gibt es dafür 4 mögliche Zahlen (5, 10, 15, 20).
Es gibt damit insgesamt
4
= 1 günstigen Fall. Damit ist:
4
P( B) =
1
4845
c) Wenn die Summe der Zahlen kleiner als 13 sein soll, gibt es dafür 3 günstige Ausfälle, also
C={(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 3, 6), (1, 2, 4, 5)}. Damit ist:
P(C ) =
4
4845
d) Das Produkt kann nie genau gleich 20 sein, da schon 1 · 2 · 3 · 4 = 24 ergibt. Damit ist:
P( D ) = 0
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Lösungsblatt (ausführlich)
3. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wenn von 18 Kugeln 3 gezogen werden, ist die Anzahl aller möglichen Ausfälle
a) Werden von 6 roten Kugeln 3 gezogen, ergibt das
P( A) =
6
3
18
3
6
=
3
= 816.
= 20 günstige Ausfälle. Damit ist:
3
18
20
≈ 0, 0245 =
b 2, 45%
816
8
b) Werden von 8 schwarzen (s) Kugeln 3 gezogen, ergibt das
6
Werden von 6 roten (r) Kugeln 3 gezogen, ergibt das
3
Werden von 4 gelben (g) Kugeln 3 gezogen, ergibt das
3
= 56 günstige Ausfälle.
= 20 günstige Ausfälle.
4
3
= 4 günstige Ausfälle.
Damit ist:
P( B) = P(sss) + P(rrr) + P(ggg) =
=
8
3
18
3
+
6
3
18
3
+
56
20
4
80
+
+
=
≈ 0, 098 =
b 9, 8%
816 816 816
816
c) Werden von 8 schwarzen Kugeln 2 gezogen, ergibt das
gelben Kugeln 1 Kugel zu ziehen ergibt
8
2
·
4
1
4
1
4
8
2
3
18
3
= 28 günstige Ausfälle, von 4
= 4 günstige Ausfälle. Insgesamt damit
= 112 günstige Ausfälle.
Damit ist: P(C ) =
112
≈ 0, 1373 ≈ 13, 73%
816
d) Es gibt insgesamt
10 nicht-schwarze Kugeln, von denen 3 gezogen werden müssen. Es ergeben
sich also
10
3
= 120 günstige Ausfälle.
Damit ist: P( D ) =
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10
3
18
3
=
120
≈ 0, 1471 ≈ 14, 71%
816
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e) Das
von E ist E : keine gelbe Kugel wird gezogen“. Es bleiben damit noch
Gegenereignis
”
14
= 364 günstige Ausfälle des Zufallsexperiments. Damit ist:
3
14
3
364
= 1−
≈ 1 − 0, 4461 = 0, 5539 =
b 55, 39%
P( E) = 1 − P( E) = 1 −
816
18
3
4
6
8
= 8 · 6 · 4 = 192 günstige
·
·
f) Ähnlich wie bei Ereignis C gibt es nun
1
1
1
Ausfälle.
192
Damit ist: P( F ) =
≈ 0, 2353 =
b 23, 53%
816
4. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wenn
von 25 Weingläsern 3 aus dem Karton herausgenommen werden, dann gibt es insgesamt
25
= 2300 mögliche Ausfälle des Zufallsexperiments.
3
a) Es gibt 25 − 5 = 20 Weingläser,
in Ordnung sind. Von 20 Weingläsern, die in Ordnung sind,
die
3 herauszunehmen, ergibt
Damit ist: P( A) =
20
3
25
3
20
3
=
= 1140 günstige Ausfälle.
1140
≈ 0, 4957 =
b 49, 57%
2300
b) Aus 20 ganzen Weingläsern 2 herauszunehmen, ergibt
Aus 5 kaputten Weingläsern 1 herauszunehmen ergibt
Insgesamt also
Damit ist: P( B) =
20
2
·
5
1
20
2
5
1
= 190 günstige Ausfälle.
= 5 günstige Ausfälle.
= 950.
950
≈ 0, 413 =
b 41, 3%
2300
c) Aus 20 Weingläsern, die in Ordnung sind, 1 herauszunehmen ergibt
20
1
= 20 günstige
Ausfälle.
Aus 5 kaputten Weingläsern 2 herauszunehmen ergibt
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5
2
= 10 günstige Ausfälle.
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◮ Stochastik | Kombinatorische Zählprobleme | Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
Insgesamt also
Damit ist: P(C ) =
20
1
·
5
2
Lösungsblatt (ausführlich)
= 200.
200
≈ 0, 087 =
b 8, 7%
2300
5. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, zufällig das Haus/ die Wohnung von Anja zu erwischen, ist
1
P( Anjas Haus“ ) =
.
”
3 300 000
49
= 13 983 816 mögliche Ausfälle des ZufallsexperiBeim Lotto 6 aus 49 gibt es insgesamt
6
ments. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist dann
1
.
P( 6 Richtige“ ) =
”
13 983 816
Damit hat Fabian mit seiner Aussage recht, denn:
1
1
>
= P( 6 Richtige“ )
P( Anjas Haus“ ) =
”
”
3 300 000
13 983 816
Für 5 Richtige,
getippten Zahlen richtig sein, die anderen sind beliebig. Damit gibt es
5 der
müssen
insgesamt
6
5
·
Es ist:
P( 5 Richtige“ ) =
”
43
1
6
5
= 258 günstige Fälle.
·
49
6
43
1
=
43
.
2330636
Damit ist: P( 5 Richtige“ ) > P( Anjas Haus“ ) > P( 6 Richtige“ ).
”
”
”
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6. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Mannschaften sollen gleich groß sein, also aus je 5 Spielern bestehen. Gesucht ist die Anzahl
der verschiedenen Mannschaften. Betrachte dazu: Wie viele Möglichkeiten gibt es, zufällig 5 aus 20
Spielern auszuwählen:
20
= 15504 verschiedene Mannschaften sind denkbar.
5
Wenn Simon, Alex und Sven in der Mannschaft sein sollen, gibt es dafür
Ausfall. Für die 2 weiteren Spieler der Mannschaft gibt es noch
17
2
3
3
= 1 günstigen
= 136 günstige Ausfälle.
Damit ergeben sich insgesamt
17
3
= 136 günstige Ausfälle.
·
2
3
Das Ereignis, dass Simon, Alex und Sven in einer Mannschaft sind, sei A. Dann ist:
17
3
·
2
3
136
P( A) =
=
≈ 0, 0088
15504
20
5
7. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
12
= 792 Möglichkeiten sich die Themen zusammenzustellen.
Es gibt
5
Aus den 12 Themen gibt es 8 einfache Themen und 4 schwere. Die Wahrscheinlichkeit genau 3
schwere Themen auszuwählen sei A.
4
8
= 4 günstige Ausfälle, die schweren Themen auszuwählen und
= 28
Es gibt
3
2
günstige Ausfälle für die leichteren Themen.
8
4
= 112 günstige Ausfälle für A. Damit ist:
·
Insgesamt also
2
3
4
8
·
3
2
112
=
≈ 0, 1414 =
b 14, 14%
P( A) =
792
12
5
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◮ Stochastik | Kombinatorische Zählprobleme | Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
Lösungsblatt (ausführlich)
Das Ereignis, dass keines der schweren Themen ausgewählt wird sei B. Für B gibt es
8
5
= 56
günstige Ausfälle. Damit ist:
8
5
56
=
P( B) =
≈ 0, 0707 =
b 7, 07%
792
12
5
8. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
20
= 184 756 Möglichkeiten die Unternehmen auszuwählen.
Es gibt insgesamt
10
Es gibt 20 − 7 = 13 Unternehmen,die keine Speditionen sind. A sei das Ereignis, dass keine Spedition in der Auswahl ist.
13
= 286 günstige Ausfälle. Damit ist:
Für A gibt es
10
13
10
286
=
P( A) =
≈ 0, 0015
184756
20
10
9. ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Trainer wählt 4 der 8 Abwehrspieler, 3 der 6 Mittelfeldspieler, 3 der 5 Angriffsspieler und einen
der 3 Torhüter aus.
8
6
5
3
·
·
·
= 42000 verschiedene Möglichkeiten der
Es gibt
4
3
3
1
Mannschaftsverteilung.
A: Wenn Simon und Freddy auf
Spielfeld sind, bleiben dem Trainer für die weiteren
dem
2 Abwehrspieler nur noch
6
2
= 15 günstige Ausfälle.
Damit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von:
6
6
5
3
·
·
·
2
3
3
1
9000
=
≈ 0, 2143 =
b 21, 43%
P( A) =
42000
3
5
6
8
·
·
·
1
3
3
4
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B: Wenn weder Martin noch Matthias im Tor stehen, bleibt nur noch 1 Torwart übrig. Damit ergibt
sich:
1
5
6
8
·
·
·
·
1
3
3
4
14000
=
≈ 0, 3333 =
b 33, 33%
P( B) =
42000
8
6
5
3
·
·
·
4
3
3
1
C: Wenn Simon und Freddy (Abwehrspieler) und Alex und Hakan (Angriffspieler) auf dem Feld
stehen sollen, gibt es für die Verteilung der anderen 3 Angriffsspieler nur noch
3
= 3 günstige Ausfälle. Damit ist:
1
6
6
3
3
·
·
·
2
3
1
1
27000
=
P(C ) =
≈ 0, 0643 =
b 6, 43%
42000
8
6
5
3
·
·
·
4
3
3
1
10. ◮ Kombinationen berechnen
a) Die 12 Teilnehmer des Austausches werden aus 20 Kursmitgliedern ausgewählt. Da Dreiviertel
männlich sind, gibt es also 15 Jungen und 5 Mädchen.
Also müssen 15 Jungen auf 8 Gastfamilien und 5 Mädchen
auf
4 Gastfamilien
verteilt werden.
Für die Zusammenstellung der Gruppe gibt es also
15
8
·
5
4
= 32175 Möglichkeiten
die 12er-Gruppe zusammenzustellen.
b) Da es 8 Familien gibt, die einen Jungen aufnehmen würden, können alle 8 Jungen in der 12erGruppe zwischen den 8 Familien “permutieren“. Es ergeben sich für die Familien mit Jungen
8! = 40320 Möglichkeiten.
Da es 4 Familien gibt, die ein Mädchen aufnehmen würden, können auch hier alle 4 Mädchen in
der 12er-Gruppe zwischen den 4 Familien “permutieren“. Es ergeben sich für die Familien mit
Mädchen 4! = 24 Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es also 8! · 4! = 40320 · 24 = 967680 Möglichkeiten der Verteilung.
c) Da eine Familie abspringt, gibt es jetzt nur noch 7 Familien für 8 Jungen. Allerdings sind nur 2
der Familien bereit, einen weiteren Jungen aufzunehmen. Dafür gibt es also 2 Möglichkeiten.
8
= 28 Möglichkeiten 2 Jungen aus den 8 auszuwählen, die zusammen
Es gibt außerdem
2
in eine Familie gehen.
Die restlichen 6 Jungen können dann noch nach Lust und Laune zwischen den restlichen 6 Familien “permutieren“. Also nochmal 6! Möglichkeiten.
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Lösungsblatt (ausführlich)
Insgesamt gibt es
2·
8
2
· 6! = 40320
Möglichkeiten für die Aufteilung der 8 männlichen Gruppenteilnehmer auf die verbleibenden 7
Gastfamilien.
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