Statistik, Sommersemester 2012

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Sommersemester 2012 - Statistik
Teil B:
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dr. Matthias Arnold
157
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Kapitel 7: Zufällige Ereignisse und ihre
Wahrscheinlichkeiten
Motivation
Bisher:
Beschreibung/Komprimierung/Vereinfachung von
Datensätzen (beobachteten Merkmalsausprägungen) durch
• Grafiken
• Tabellen
• Kennzahlen
Jetzt:
Treffe auf Basis beobachteter Merkmalsausprägungen
Aussagen über zukünftige, unsichere“ Beobachtungen
”
Dr. Matthias Arnold
158
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Die Theorie der Wahrscheinlichkeit ist ein System,
”
das uns beim Raten hilft.“
R. Feynman, US-amerikanischer Physiker und Nobelpreisträger
(1918 – 1988)
Dr. Matthias Arnold
159
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Beispiel 7.1
Ein Investitionsprojekt ist in Gefahr, wenn es während der
Bauphase zu viel regnet oder der Dollarkurs steigt. Bekannt sei:
Regenwahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit dass Dollar steigt
=
=
10%
40%
→ wie wahrscheinlich ist Gefährdung des Investitionsprojekts?
Dr. Matthias Arnold
160
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Definition 7.1
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang,
der mehrere, sich gegenseitig ausschließende mögliche
Ausgänge besitzt
dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden
kann → Zufall“
”
der unter identischen Rahmenbedingungen beliebig oft
wiederholbar ist → Experiment“
”
Dr. Matthias Arnold
161
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Definition 7.1 (Fortsetzung)
Die n möglichen Ausgänge ω1 , ω2 , . . . , ωn eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse
Die Menge
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }
aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge
Teilmengen A, B ⊆ Ω der Ergebnismenge heißen Ereignisse
Dr. Matthias Arnold
162
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Beispiel 7.2
a) Einmaliges Würfeln entspricht Zufallsexperiment mit
Ausgängen 1,...,6
Ergebnismenge Ω
Elementarereignisse
Ereignis A : gerade Zahl“
”
Ereignis B : ungerade Zahl“
”
Ereignis C : Primzahl“
”
Ereignis D : Zahl größer 3“
”
Dr. Matthias Arnold
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
{2, 4, 6}
{1, 3, 5}
{2, 3, 5}
{4, 5, 6}
163
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Beispiel 7.2 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln → Elementarereignisse jetzt
Zahlenpaare, die sich aus {1, ..., 6} zusammensetzen
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3),
(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊗ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(⊗ =Kartesisches Produkt=Menge aller geordneten Paare (a, b)
mit a ∈ A, b ∈ B)
Dr. Matthias Arnold
164
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Beispiel 7.2 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung)
Ergebnismenge Ω
Elementarereignisse
Ereignis A : Augensumme=10“
”
B : nur ungerade Zahlen“
”
C : gerade Zahl in Wurf 1“
”
Dr. Matthias Arnold
{(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6),
(2, 1), ..., (6, 5), (6, 6)}
{(1, 1)}, ..., {(6, 6)}
{(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
{(1, 1), (1, 3), (1, 5),
(3, 1), ..., (5, 3), (5, 5)}
{(2, 1), (2, 2), ..., (2, 6),
(4, 1), ..., (6, 5), (6, 6)}
165
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Definition 7.2
Betrachte Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und Ereignisse
A, B ⊆ Ω. Die Menge derjenigen Elementarereignisse ωi , die
a) sowohl in A als auch in B liegen, heißt Schnittmenge von A
und B (kurz: A ∩ B)
b) in A oder in B liegen, heißt Vereinigungsmenge von A und B
(kurz: A ∪ B)
c) in A aber nicht in B liegen, heißt Differenzmenge von A und
B (kurz: A \ B)
d) nicht in A liegen, heißt Komplementärmenge zu A (kurz: Ā);
Weiterhin heißen A und B disjunkt, falls ihre Schnittmenge die
leere Menge ist (A ∩ B = ∅)
Dr. Matthias Arnold
166
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Schnittmenge
a) Venn-Diagramm: A ∩ B, vgl. Definition 7.2 a)
Dr. Matthias Arnold
167
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Vereinigungsmenge
b) Venn-Diagramm: A ∪ B, vgl. Definition 7.2 b)
Dr. Matthias Arnold
168
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Differenzmenge
c) Venn-Diagramm: A \ B, vgl. Definition 7.2 c)
Dr. Matthias Arnold
169
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Komplementärmenge
d) Venn-Diagramm: Ā, vgl. Definition 7.2 d)
Dr. Matthias Arnold
170
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Disjunkte Mengen
e) Venn-Diagramm: A und B disjunkt, vgl. Definition 7.2
Dr. Matthias Arnold
171
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Beispiel 7.3
a) Einmaliges Würfeln, vgl. Beispiel 7.2 a);
Für die betrachteten Ereignisse ergibt sich:
A ∩ B = gerade und ungerade Zahl
= ∅
A ∩ C = gerade Zahl und Primahl
= {2}
B ∪ D = ungerade Zahl oder Zahl größer als 3 = {1, 3, 4, 5, 6}
C \ D = Primzahl, die nicht größer als 3 ist
Ā = ungerade Zahl
Dr. Matthias Arnold
= {2, 3}
= B
172
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Beispiel 7.3 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln, vgl. Beispiel 7.2 b);
Für die betrachteten Ereignisse ergibt sich:
A ∩ B = Augensumme=10
+nur ungerade Zahlen
= {(5, 5)}
A ∩ C = Augensumme=10
+gerade Zahl in Wurf 1
= {(4, 6), (6, 4)}
B ∩ C = nur ungerade Zahlen
+gerade Zahl in Wurf 1
= ∅
A ∪ C = Augensumme=10
oder gerade Zahl in Wurf 1
= {C, (5, 5)}
A \ B = Augensumme=10
+mindestens eine gerade Zahl = {(4, 6), (6, 4)}
Dr. Matthias Arnold
173
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Bemerkung
a) Wiederhole Zufallsexperiment mit K Elementarereignissen
n-mal → das zusammengesetzte Zufallsexperiment besitzt K n
Elementarereignisse
Betrachte etwa Beispiel 7.2 b), n = 2maliges Würfeln (K = 6)
→ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊗ {1, 2, 3, 4, 5, 6} Elementarereignisse:
(1, 1), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), ..., (6, 1), ..., (6, 6)
6 Ereignisse
6 Ereignisse
6 Ereignisse
=6×6=62 =K n Elementarereignisse
→ Ω enthält 36 Elementarereignisse
Dr. Matthias Arnold
Bezeichnung: | Ω | = 36
174
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Bemerkung (Fortsetzung)
b) Bisher: Definition von Ereignissen, Mengen, Vereinigungen,
Schnitten,...
→ Jetzt von Interesse: Wie wahrscheinlich ist Eintritt eines
bestimmten Ereignisses?
Dr. Matthias Arnold
Beispiel 7.2 b), zweimaliges Würfeln: Wahrscheinlichkeit des
Eintritts von Ereignis A (Augensumme 10), B (nur ungerade
Zahlen), A ∪ B,...?
175
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Definition 7.3
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse mit
gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, heißt Laplace-Experiment. In
einem solchen Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten eines Ereignisses A ⊆ Ω gegeben durch
P (A) =
=
Dr. Matthias Arnold
|A|
|Ω|
Anzahl der in A enthaltenen Elementarereignisse
Anzahl aller möglichen Elementarereignisse
176
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Beispiel 7.4
Zweimaliges Würfeln wie in Beispiel 7.2 b) entspricht einem Laplace-Experiment, da jedes Elementarereignis mit Wahrscheinlichkeit 1/36 eintritt
Ereignis
|·|
3
P (·)
3/36
{(1, 1), ..., (5, 5)}
9
9/36
{(2, 1), ..., (6, 6)}
18
18/36
verbal
A : Augensumme=10 “
”
mengentheoretisch
{(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
B : nur ungerade Zahlen “
”
C : gerade Zahl in Wurf 1 “
”
Einmaliges Würfeln, vgl. Beispiel 7.2 a): Analog
Dr. Matthias Arnold
177
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Bemerkung
Problem: Nicht immer liegt Laplace-Experiment vor
Beispiel: Gezinkter Würfel mit
P(Augenzahl=6) = 1/3 und
P(Augenzahl=i) =
2/3
= 2/15, i = 1, ..., 5
5
→ allgemeinerer Wahrscheinlichkeitsbegriff notwendig
Dr. Matthias Arnold
178
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Definition 7.4
Eine Abbildung P, die allen Ereignissen A ⊆ Ω eines
Zufallsexperiments eine Zahl P (A) zuordnet und die
Kolmogoroff’schen Axiome
0 ≤ P (A) ≤ 1 für alle A ⊆ Ω
P (Ω) = 1
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für alle A, B ⊆ Ω mit A ∩ B = ∅
erfüllt, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß.
Dr. Matthias Arnold
179
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Bemerkung
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten (ergeben sich aus
Kolmogoroff’schen Axiomen)
P (∅)
= 0
P (Ā)
= 1 − P (A)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A)
Dr. Matthias Arnold
=
ωi ∈A
P ({ωi })
180
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Beispiel 7.5
Landtag NRW (Zusammensetzung nach Partei und Geschlecht)
CDU SPD Grüne FDP Linke
männlich
57
48
11
11
5
132
weiblich
10
19
12
2
6
49
67
67
23
13
11
181
zufällige Auswahl eines Landtagsmitglieds → LaplaceExperiment, jedes Elementarereignis (=Landtagsmitglied)
kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden
Ω = Alle Mitglieder des Landtags“ → |Ω| = 181
”
Dr. Matthias Arnold
181
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Beispiel 7.5 (Fortsetzung)
Definiere nun Ereignisse
• A = weibliche Person“
”
• B = SPD-zugehörig“
”
P (B) = 67/181 ≈ 0, 37
P (A ∪ B) = 97/181 ≈ 0, 54
P (A ∩ B) = 19/181 ≈ 0, 1
Dr. Matthias Arnold
182
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bedingte Wahrscheinlichkeiten
andere Frage: Wie wahrscheinlich ist SPD-Zugehörigkeit bei
weiblichen Landtagsmitgliedern?
Formell: → P (B gegeben A) bzw. P (B | A)
→ bedingte Wahrscheinlichkeit: Beschränkung der möglichen
Ereignisse auf eine Teilmenge von Ω (hier: A)
Dr. Matthias Arnold
183
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Beispiel 7.5 (Fortsetzung)
Venn-Diagramm: Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Hellgrau: Reduzierte Ergebnismenge (hier: weibliche Personen)
• Dunkelgrau: Teilmenge der reduzierten Ergebnismenge, dessen
Eintrittswahrscheinlichkeit gesucht wird (hier: SPD-Mitgl., w.)
• Rest (weißer Bereich): Uninteressant
Dr. Matthias Arnold
184
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Definition 7.5
Sei P (A) > 0. Dann heißt
P (B | A) =
P (A ∩ B)
P (A)
bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A.
Beispiel 7.6
(Landtag NRW, vgl. Beispiel 7.5)
P (SPD | weiblich) = P (B | A) =
=
Dr. Matthias Arnold
19
= 0, 388
49
P (A ∩ B)
19/181
=
P (A)
49/181
185
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Beispiel 7.7
a) Dreimaliger Münzwurf : Kopf (K) oder Zahl (Z)
Ω = {(Z, Z, Z), (Z, Z, K), (Z, K, Z), (K, Z, Z), (K, K, K),
(K, K, Z), (K, Z, K), (Z, K, K)}
Ereignis A : Mindestens 1× Zahl
Ereignis B : Mindestens 2× Kopf
Gesucht: P (B | A) → reduzierte Ergebnismenge A
A = {(Z, Z, Z), (Z, Z, K), (Z, K, Z), (K, Z, Z),
(K, K, Z), (K, Z, K), (Z, K, K)}
Ereignisse mit 2× Kopf
→ P (B | A) = 3/7 (da |A| = 7)
Dr. Matthias Arnold
186
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Beispiel 7.7 (Fortsetzung)
a) Dreimaliger Münzwurf (Fortsetzung)
Alternative Berechnung von P (B | A) mit Def. 7.5
• |Ω| = 8
• P (A) = 7/8
• A ∩ B = {(K, K, Z), (K, Z, K), (Z, K, K)}
→ P (A ∩ B) = 3/8
→ P (B | A) =
Dr. Matthias Arnold
3/8
3
=
7/8
7
187
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Beispiel 7.7 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln, vergleiche Beispiel 7.2 b)
Neben Ereignissen A − C definiere
D = ungerade Zahl in Wurf 2“
”
Zur Erinnerung: C = gerade Zahl in Wurf 1“
”
C
=
{(2, 1), ..., (2, 6), (4, 1), ..., (6, 6)}
→ |C| = 18 → P(C) = 1/2 (|Ω| = 36)
D
=
{(1, 1), ..., (1, 5), (2, 1), ..., (6, 5)}
→ |D| = 18 → P(D) = 1/2
C ∩D
=
{(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), ..., (6, 5)}
→ |C ∩ D| = 9 → P(C ∩ D) = 1/4
Dr. Matthias Arnold
188
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Beispiel 7.7 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung)
Gesucht: P( Wurf 2 ungerade“| Wurf 1 gerade“) :
”
”
P (D | C) =
P (D ∩ C)
1/4
1
=
= = P (D)
P (C)
1/2
2
→ Ereignis C hat keinen Einfluss auf Ereignis D, beide
Ereignisse hängen nicht voneinander ab
Dr. Matthias Arnold
189
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Definition 7.6
Gilt für zwei Ereignisse A und B mit P (A) > 0 und P (B) > 0
P (A | B) = P (A)
und
P (B | A) = P (B),
so heißen diese stochastisch unabhängig.
Bemerkung
Die Aussage A und B stochastisch unabhängig“ ist äquivalent zu
”
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Dr. Matthias Arnold
190
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Beispiel 7.8
(Investitionsprojekt, vergleiche Beispiel 7.1)
A = zuviel Regen“ mit P (A) = 0, 1
”
B = Dollarkurs steigt“ mit P (B) = 0, 4
”
→ P (Investitionsprojekt in Gefahr) = P (A ∪ B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
= P (A) + P (B) − P (A) · P (B)
= 0, 1 + 0, 4 − 0, 1 · 0, 4
= 0, 46
Zu : Siehe Bemerkung nach Definition 7.4
Zu : A und B stochastisch unabhängig (plausible
Annahme) → wende Bemerkung nach Definition 7.6 an
Dr. Matthias Arnold
191
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Beispiel 7.9
a) Stochastische Unabhängigkeit in der Öffentlichkeit: Mann für
Millionen (Westdeutsche Allgemeine Zeitung, 30.09.2010)
Bereits zum zweiten Mal in diesem Jahr hat ein Mann aus
”
dem US-Staat Missouri einen Millionengewinn mit
Rubbellosen einkassiert. Im Juni hatte der 57-Jährige beim
’100 Million Dollar Blockbuster’ eine Million gewonnen. Nun
gelang ihm die Sensation erneut, diesmal waren es gleich zwei
Millionen, die er beim ’Mega Monopoly’ gewann. Die
Chancen, bei einem der beiden Spiele den Höchstbetrag zu
gewinnen, lägen bei 1:2,28 Millionen, heißt es. Die Chancen,
gleich bei beiden Spielen abzusahnen, seien kaum zu
berechnen, da sie unabhängig voneinander seien.“
Dr. Matthias Arnold
192
Universität Erfurt
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Beispiel 7.9 (Fortsetzung)
a) Mann für Millionen (Fortsetzung)
Definiere
A = Gewinn beim 100 Million Dollar Blockbuster“
”
B = Gewinn beim Mega Monopoly“
”
Bekannt: P (A) = P (B) = 1 : 2, 28 Mio. und A und B
unabhängig
→ P (Gewinn bei beiden Spielen) = P (A ∩ B)
= P (A) · P (B)
≈ 1 : 5, 2 Billionen
Dr. Matthias Arnold
193
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Beispiel 7.9 (Fortsetzung)
b) Bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Öffentlichkeit 1:
Prozess gegen O. J. Simpson (1995)
• M. Dershowitz (Strafverteidiger): ...an infinitesimal
”
percentage - certainly fewer than 1 out of 2.500 - of men who
slap or beat their domestic partners go on to murder them“:
→ P (M |S) < 1/2.500
(M= Mann ermordet Ehefrau“, S= Mann schlägt Ehefrau“)
”
”
• Prozessurteil: Freispruch
Dr. Matthias Arnold
194
Universität Erfurt
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Beispiel 7.9 (Fortsetzung)
• Aber: Definiere zusätzlich m= Ehefrau wird ermordet“
”
→ P (M |{S ∩ m}) ≈ 0, 9 (vgl. Good, 1996)
• In Worten: Nur wenige schlagende Ehemänner bringen ihre
Frau um, aber wenn eine ermordete Frau von ihrem Mann
geschlagen wurde, dann ist der Mann mit hoher
Wahrscheinlichkeit auch der Täter
• Details:
Dershowitz (1996), Reasonable Doubts: The O.J. Simpson
Case and the Criminal Justice System, New York, 1996;
Good (1996), When batterer becomes murderer, Nature 381
Dr. Matthias Arnold
195
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Beispiel 7.9 (Fortsetzung)
c) Bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Öffentlichkeit 2:
Schäferhund besonders bissig (US-Studie)
Vorsicht, Schäferhund-Besitzer! Eine US-Studie fand heraus:
”
Am häufigsten werden Schäferhund-Herrchen von ihren Tieren
gebissen. Dann folgen Chow-Chows und Collies. Die
friedlichsten Hunde sind Pudel und Golden Retriever. Hunde,
die in einem Haushalt mit Kindern leben, beißen eher zu als
Hunde von Singles.“
→ Aussage:
P ( Schäferhund“| Biss“) > P ( Chow-Chow (etc.)“| Biss“)
”
”
”
”
Eigentlich jedoch von Interesse:
P ( Biss“| Schäferhund“) > P ( Biss“| Chow-Chow (etc.)“)
”
”
”
”
Dr. Matthias Arnold
196
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Bemerkung
Fazit/Zusammenfassung Kapitel 7
Zufallsexperiment, Ergebnismenge, Ereignisse
klassischer (Laplace) und axiomatischer (Kolmogoroff)
Wahrscheinlichkeitsbegriff
bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische
Unabhängigkeit
Vorsicht bei der Interpretation bedingter Wahrscheinlichkeiten
Dr. Matthias Arnold
197
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Kapitel 8: Zufallsvariablen
Kapitel 7: Betrachtung von Ereignissen ωi , ωj , A, B, ... ⊂ Ω
Jetzt: Ordne Ereignissen Zahlen zu
Dr. Matthias Arnold
198
Universität Erfurt
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Definition 8.1
Eine Abbildung X, deren mögliche Werte vom Ausgang eines
Zufallsexperiments abhängen, heißt Zufallsvariable. Formell:
X:Ω→R
X ordnet somit jedem Elementarereignis eine reelle Zahl zu. Die
möglichen Werte ω → X(ω) einer Zufallsvariablen nennt man
Realisationen. Weiterhin heißt X
diskrete Zufallsvariable, falls sie nur endlich viele oder
abzählbar viele Werte annehmen kann
stetige Zufallsvariable, wenn sie - eventuell innerhalb gewisser
Grenzen - alle möglichen reellen Zahlen als Werte annehmen
kann
Dr. Matthias Arnold
199
Universität Erfurt
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Beispiel 8.1
a) Zweimaliger Münzwurf
→ Ω = {(Z, K), (K, Z), (K, K), (Z, Z)}
Definiere Zufallsvariable X = Anzahl Würfe mit Kopf“
”
→ X(Z, K) = X(K, Z) = 1, X(K, K) = 2, X(Z, Z) = 0
→ X ∈ {0, 1, 2} diskrete Zufallsvariable
Dr. Matthias Arnold
200
Universität Erfurt
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Beispiel 8.1 (Fortsetzung)
b) Verschiedene Zufallsvariablen+Typ (stetig/diskret)
Zufallsvariable
Augensumme zweimaliges Würfeln
Wertebereich
{2, 3, 4, . . . , 12}
Typ
diskret
Lebensdauer eines Prozessors
[0, ∞)
stetig
Anzahl erfolgloser Lottotipps bis
zum ersten Hauptgewinn
{0, 1, 2, 3, . . .}
diskret
Logarithmierte Aktienrendite
an einem Börsentag
(−∞, ∞)
stetig
Dr. Matthias Arnold
201
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Bemerkung
a) Funktionen von Zufallsvariablen sind wieder Zufallsvariablen.
Betrachte etwa zweimaligen Würfelwurf (vgl. Beispiel 7.2 b)) und
definiere Zufallsvariablen: X1 = Augenzahl Wurf 1“;
”
X2 = Augenzahl Wurf 2“. Dann sind
”
Z1 = min {X1 , X2 }
Z2 = max {X1 , X2 }
Z 3 = X1 + X2
ebenfalls Zufallsvariablen.
b) Im Folgenden von Interesse: Wie lassen sich Wahrscheinlichkeiten angeben, dass Zufallsvariable X Wert xi annimmt?
Zunächst lediglich Betrachtung diskreter Zufallsvariablen.
Dr. Matthias Arnold
202
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Definition 8.2
Sei X diskrete Zufallsvariable mit möglichen Realisationen
x1 , x2 , ..., xk . Dann heißt die Funktion f (·), die angibt, mit welcher
Wahrscheinlichkeit X die Realisation xi annimmt,
f (xi ) = P (X = xi ),
i = 1, . . . , k,
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
Dr. Matthias Arnold
203
Universität Erfurt
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Beispiel 8.2
(Zweimaliges Würfeln, vgl. Beispiel 7.2 b))
Definiere X =Augensumme beider Würfe
7.2 b) bzw. 7.4: Zweimaliges Würfeln entspricht Laplace
Experiment mit |Ω| = 36
X(ω) = xi
X=2
X=3
X=4
..
.
X = 12
Dr. Matthias Arnold
{zugehörige ω}
{(1, 1)}
{(1, 2), (2, 1)}
{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
..
.
⇒
⇒
⇒
⇒
P (X
P (X
P (X
P (X
..
.
= xi )
= 2) = 1/36
= 3) = 2/36
= 4) = 3/36
{(6, 6)}
⇒ P (X = 12) = 1/36
204
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Beispiel 8.2 (Fortsetzung)
Realisation xi
P (X = xi )
2
1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
Realisation xi
P (X = xi )
8
5/36
9
4/36
10
3/36
11
2/36
12
1/36
⇒
i
7
6/36
P (X = xi ) = 1
(klar, da sich eine Augensumme zwischen 2 und 12
auf jeden Fall realisieren wird!)
Dr. Matthias Arnold
205
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
0
1/36
2/36
3/36
P(X = xi)
4/36
5/36
6/36
Beispiel 8.2 (Fortsetzung)
2
Dr. Matthias Arnold
3
4
5
6
7
xi
8
9
10
11
12
206
Universität Erfurt
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Beispiel 8.2 (Fortsetzung)
Frage: Wie wahrscheinlich überschreitet die Zufallsvariable
einen bestimmten Wert nicht?
Hier etwa: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die
Augensumme kleiner oder gleich Drei?
P(X ≤ 3) = P(X = 2) + P(X = 3)
= P({(1, 1)}) + P({(1, 2), (2, 1)})
Dr. Matthias Arnold
=
1
2
+
36 36
=
3
1
=
36
12
207
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Definition 8.3
Für eine Zufallsvariable X heißt die Funktion F (·), die angibt, mit
welcher Wahrscheinlichkeit X einen Wert x nicht überschreitet,
F (x) = P (X ≤ x),
x ∈ R,
Verteilungsfunktion von X.
Bemerkung
Für eine diskrete Zufallsvariable X gilt
f (xi ), x ∈ R
F (x) =
xi ≤x
(vergleiche Definition 2.2: F (x) theoretisches Gegenstück“ zu
”
empirischer Verteilungsfunktion Fn (x))
Dr. Matthias Arnold
208
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Beispiel 8.3
(Zweimaliges Würfeln, vgl. Beispiel 8.2)
Weiterhin sei X =Augensumme beider Würfe
In Bsp. 8.2 berechnet: F (3) = P(X = 2) + P(X = 3) =
3
36
Bem. nach Def. 8.3:
6
,
F (4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 36
F (5) = P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)+P(X = 5) =
10
36 , ...
x∈
F (x)
(−∞, 2)
0
[2, 3)
1/36
[3, 4)
3/36
[4, 5)
6/36
[5, 6)
10/36
[6, 7)
15/36
x∈
F (x)
[7, 8)
21/36
[8, 9)
26/36
[9, 10)
30/36
[10, 11)
33/36
[11, 12)
35/36
[12, ∞)
1
Dr. Matthias Arnold
209
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1
Beispiel 8.3 (Fortsetzung)
●
●
●
5/6
●
2/3
●
1/2
P(X ≤ x)
●
1/3
●
●
1/6
●
0
●
−1
0
1
2
●
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
→ F (x) Treppenfunktion; Sprungstellen x = 2, 3, ..., 12, Sprunghöhen den Werten der Wahrscheinlichkeitsfunktion entsprechend
(1/36, 2/36, 3/36, ..., 1/36)
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210
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Verteilungsfunktion
Vergleich mit empirischer Verteilungsfunktion Fn (x) aus
Definition 2.2:
• Formal starke Ähnlichkeit, inhaltlicher Unterschied:
• Fn (x) beschreibt n Zahlen, Sprunghöhen entsprechen den
relativen Häufigkeiten h(ai )
• F (x) beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die
Sprunghöhen entsprechen den Wahrscheinlichkeiten
Dr. Matthias Arnold
211
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Bemerkung
Betrachte nun stetige Zufallsvariable X; Hier Definition der
Wahrscheinlichkeitsfunktion durch f (xi ) = P(X = xi ) analog zu
Definition 8.2 nicht sinnvoll
Grund: X stetig → Sämtliche xi ∈ R können sich realisieren
(zumindest auf Intervall, vergleiche Definition 8.1)
Stetigkeit in Praxis jedoch Idealisierung, da Messungen
diskret
Sei etwa X = Körpergewicht (in kg) einer zufällig
ausgewählten Person i → P(X = 82, 514367842312) ???
→ deswegen (und aufgrund weiterer, technischer Aspekte)
P(X = x) = 0 für alle x ∈ R
Dr. Matthias Arnold
212
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Definition 8.4
Sei X stetige Zufallsvariable mit möglichen Realisationen im
Intervall (a, b), a = −∞ und/oder b = ∞ erlaubt, und
differenzierbarer Verteilungsfunktion F (x) = P(X ≤ x). Dann
heißt die erste Ableitung
f (x) = F (x),
x ∈ R,
Dichtefunktion (kurz Dichte) von X.
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213
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Bemerkung 1
a) Zusammenhang zwischen Verteilungs- und Dichtefunktion
x
f (t) dt
f (x) = F (x) (vgl. Def. 8.4) und F (x) =
−∞
b) Interpretation der Dichtefunktion
schraffiert:
a
−∞
f (t) dt = F (a) = P(X ≤ a)
→ gesamter Flächeninhalt unter der Dichte=1
Dr. Matthias Arnold
214
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Bemerkung 2
a) Eigenschaften der Verteilungsfunktion ( Gegenstück“ zur
”
Bemerkung nach Beispiel 2.3): Sei X beliebige Zufallsvariable
mit Verteilungsfunktion F (x). Dann gilt
F (x) ist monoton nicht fallend
0 ≤ F (x) ≤ 1 für alle x ∈ R
Dr. Matthias Arnold
lim F (x) = 0 und
x→−∞
lim F (x) = 1
x→∞
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
215
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Bemerkung 2 (Fortsetzung)
b) Eigenschaften der Wahrscheinlichkeits-/Dichtefunktion:
Sei f (x) die der Zufallsvariablen X aus a) zugehörige
Wahrscheinlichkeits-/Dichtefunktion. Dann gilt
f (x) ≥ 0
i
f (xi ) = 1,
∞
−∞
Dr. Matthias Arnold
falls X diskret
f (x) dx = 1,
F (b) − F (a) =
b
a
falls X stetig
f (x) dx,
falls X stetig
216
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Beispiel 8.4
a) Gleich-/Rechteckverteilung (einfachste stetige Verteilung)
X gleichverteilt auf Intervall [a, b] →
1
x ∈ [a, b]
b−a
f (x) =
0
sonst
→ Werte auf Intervall gleichmäßig“ verteilt
”
Dr. Matthias Arnold
217
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Beispiel 8.4 (Fortsetzung)
0.00
0.01
0.02
f(x)
0.03
0.04
0.05
b) Sei X = Verspätung der S-Bahn an der Haltestelle Universität
”
Dortmund“; Annahme: X auf Intervall [0, 20] gleichverteilt
1
x ∈ [0, 20]
20
→ f (x) =
0 sonst
−5
0
5
10
15
20
25
Verspätung x in Minuten
Dr. Matthias Arnold
218
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Beispiel 8.4 (Fortsetzung)
b) (Fortsetzung)
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Verspätung
zwischen fünf und zehn Minuten?
P (5 < X ≤ 10) = F (10) − F (5)
(vgl. Bem. 2 a) nach Def. 8.4) → Berechnung von F (x) :
x
F (x)
=
x
f (t) dt =
0
→ Insgesamt: F (x)
Dr. Matthias Arnold
=
0
⎧
⎪
⎨0,
x
20
⎪
⎩
1,
,
x
1
1 x
dt =
t =
20
20 0
20
x<0
0 ≤ x ≤ 20
x > 20
219
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Beispiel 8.4 (Fortsetzung)
b) (Fortsetzung)
P (5 < X ≤ 10) = F (10) − F (5) =
10
20
−
5
20
= 0, 25
F(x)
0
0.25=F(5)
0.5=F(10)
0.75
1
→ P(fünf bis zehn Minuten zu spät)=25 %
−5
0
5
10
15
20
25
Verspätung x in Minuten
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220
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Definition 8.5
Gilt für zwei Zufallsvariablen X und Y und alle x, y ∈ R
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x) · P (Y ≤ y) = FX (x) · FY (y),
so heißen X und Y stochastisch unabhängig.
Beispiel 8.5
(zweimaliges Würfeln, vgl. u.a. Beispiel 8.2)
X =Augenzahl erster Wurf
Y =Augenzahl zweiter Wurf
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221
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Beispiel 8.5 (Fortsetzung)
P (X ≤ 3, Y ≤ 5) = P (X ≤ 3 und Y ≤ 5)
= P ( {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (3, 6)}
A mit |A|=18
und {(1, 1), ..., (1, 5), (2, 1), ..., (6, 5)} )
B mit |B|=30
= P (A ∩ B)
= P ({(1, 1), (1, 2), ..., (1, 5), (2, 1), ..., (3, 5)})
C mit |C|=15
=
Dr. Matthias Arnold
15
5
=
36
12
222
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Beispiel 8.5 (Fortsetzung)
Außerdem gilt:
P (X ≤ 3) = P (A) =
18
1
=
36
2
P (Y ≤ 5) = P(B) =
30
5
=
36
6
Und somit
P (X ≤ 3) · P (Y ≤ 5) =
1 5
5
· =
= P (X ≤ 3, Y ≤ 5)
2 6
12
Für alle (x, y) ∈ Ω nachweisbar → X und Y stochastisch
unabhängig
Dr. Matthias Arnold
223
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Bemerkung
Fazit/Zusammenfassung Kapitel 8
Zufallsvariablen zur vereinfachten Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten; Quantifizierung von Ereignissen
Diskrete Zufallsvariablen besitzen Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion
stetige Zufallsvariablen besitzen Dichte und
Verteilungsfunktion
Dr. Matthias Arnold
224