Hausaufgabe 08

RINKENS/MARX
ELEMENTE DER STOCHASTIK
SOSE 08
Hausaufgabe 08
Lösungshinweise
Aufgabe 1: Quickies
In der Tabelle findest du drei Behauptungen. Kreuze in der rechten Spalte an, ob die Behauptungen
richtig oder falsch sind.
Behauptung:
richtig?
1 Die Wahrscheinlichkeit bei fortwährendem Würfeln nie eine 6 zu würfeln ist null.
Ja
2 Die Wahrscheinlichkeit bei 1000-maligem Würfeln nie eine 6 zu würfeln ist null.
Nein
3
Die Wahrscheinlichkeit bei fortwährendem Würfeln mindestens eine 6 zu würfeln
ist 1.
Zu 1):
Zu 2):
Zu 3)
Ja
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit unendlich vielen Stufen. Auf jeder Stufe kann entschieden werden, ob eine 6
gewürfelt wurde oder nicht.
Der Baum hätte damit ebenfalls unendliche viele Ebenen und bei jeder Verzweigung gibt es die Entscheidung 6 oder nicht
6. Insgesamt gibt es also unendliche viele verschiedene Pfade durch den Baum.
Randbemerkung: Ein Pfad geht ja von „ganz oben bis ganz unten“. Wo ist aber ganz unten, wenn es unendlich viele
Ebenen gibt? Jedes Ergebnis hat die Form (Ergebnis beim ersten Wurf, Ergebnis beim zweiten Wurf,
...). Ein solches Objekt nennt man Folge. Wie mit diesen Folgen umzugehen ist wird in der Analysis
behandelt.)
Das beschriebene Ereignis ist nun die Menge der Ergebnisse, die keine 6 beinhalten. Davon gibt es aber nur ein einziges
Ergebnis (6 , 6, 6, ...) oder in der Pfadwelt: Nur ein Pfad führt nur über 6 und damit zu dem gewünschten Ergebnis (6 , 6,
6, ...). Wir suchen also die Wahrscheinlichkeit für das Elementarereignis {(6 , 6, 6, ...)}. Nach der PfadMultiplikationsregel lautet diese · · · …=0.
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit 1000 Stufen. Auf jeder Stufe kann entschieden werden, ob eine 6 gewürfelt
wurde oder nicht.
Der Baum hätte damit ebenfalls 1000 Ebenen und bei jeder Verzweigung gibt es die Entscheidung 6 oder nicht 6. Insgesamt gibt es also 21000 verschiedene Pfade durch den Baum.
Ein Ergebnis hätte die Form: (Ergebnis beim ersten Wurf, Ergebnis beim zweiten Wurf, ..., Ergebnis beim 1000ten Wurf).
Das beschriebene Ereignis ist nun die Menge der Ergebnisse, die keine 6 beinhalten. Davon gibt es aber nur ein einziges
Ergebnis (6 , 6, 6, ..., 6) oder in der Pfadwelt: Nur ein Pfad führt nur über 6 und damit zu dem gewünschten Ergebnis (6 ,
6, 6, ..., 6). Wir suchen also die Wahrscheinlichkeit für das Elementarereignis {(6 , 6, 6, ..., 6)}. Nach der PfadMultiplikationsregel lautet diese · · · … · =
0.
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit unendlich vielen Stufen. Auf jeder Stufe kann entschieden werden, ob eine 6
gewürfelt wurde oder nicht.
Der Baum hätte damit ebenfalls unendliche viele Ebenen und bei jeder Verzweigung gibt es die Entscheidung 6 oder nicht
6. Insgesamt gibt es also unendliche viele verschiedene Pfade durch den Baum.
Randbemerkung: Ein Pfad geht ja von „ganz oben bis ganz unten“. Wo ist aber ganz unten, wenn es unendlich viele
Ebenen gibt? Jedes Ergebnis hat die Form (Ergebnis beim ersten Wurf, Ergebnis beim zweiten Wurf,
...). Ein solches Objekt nennt man Folge. Wie mit diesen Folgen umzugehen ist wird in der Analysis
behandelt.)
Das beschriebene Ereignis E ist nun die Menge der Ergebnisse, die mindestens eine 6 beinhalten, also diejenigen, die eine
6 beinhalten, diejenigen, die zwei 6en beinhalten, usw.. Das sind im Prinzip alle Ergebnisse außer, das in Teil 1) beschriebene Ergebnis (6 , 6, 6, ...), in Mengendarstellung Ω\{(6 , 6, 6, ...)} oder E∪{(6 , 6, 6, ...)} = Ω. Also gilt für die Wahrscheinlichkeiten P(E) + P({(6 , 6, 6, ...)} = P(Ω) = 1. Also muss P(E) gleich 1 sein.
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Aufgabe 2: „Ziehen bis zur ersten weißen Kugel“
a. In einem Sack sind 50 Kugeln, von denen eine weiß und 49 schwarz sind. Zuerst Armin und dann
Beate ziehen abwechselnd eine Kugel aus dem Sack und legen sie anschließend wieder zurück.
Wer zuerst die weiße Kugel zieht, hat gewonnen. Hat jeder dieselbe Chance?
i.
Gib den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) an.
Es handelt sich um einen Zufallsversuch mit unendlich vielen Stufen, die Ergebnisse haben also die Form (1. Zug, 2.
Zug, 3. Zug, ...) = (1. Zug Armin, 1. Zug Beate, 2. Zug Armin, 2. Zug Beate, ...).
Der zugehörige Baum hätte also ebenfalls unendlich viele Ebenen. An jeder Verzweigung muss entschieden werden,
ob eine weiße oder eine schwarze Kugel gezogen wurde. Jeder Pfad steht für ein Ergebnis der Form (1. Zug, 2. Zug,
3. Zug, ...).
Ω ={alle denkbaren Ergebnisse der Form (1. Zug, 2. Zug, 3. Zug, ...)}
Jedes der Elementarereignisse {(w,s,w,s,w,...)} oder {(s,s,s,s,...)} oder, oder hat die Wahrscheinlichkeit 0, weil nach
der Pfadmultiplikationsregel „unendlich mal“ mit einer Zahl kleiner 1 (entweder oder ) multipliziert werden
muss.
ii.
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „Armin gewinnt“ und „Beate
gewinnt“.
Welches Ereignis gehört nun zu „Armin gewinnt“ und welches zu „Beate gewinnt“?
Armin gewinnt:
A={(w, ...), (s,s,w,...), (s,s,s,s,w,…), (s,s,s,s,s,s,w,…), …}
Beate gewinnt:
B={(s,w,…), (s,s,s,w,…), (s,s,s,s,s,w), (s,s,s,s,s,s,s,w,…), …}
P(A)=
·
P(B)=
·
·
·
·
·
P(A) und P(B) sind “unendliche Summen” (man nennt „unendliche Summen“ in der Analysis “Reihen”). Es geht also
darum den Grenzwert dieser Reihen zu bestimmen:
P(A)=
·
·
· 1
·
· 1
In der großen Klammer steht nun eine geometrische Reihe mit q=
. Der Grenzwert lautet also:
P(A)= ·
P(B) kann man nun auf verschiedenen Wegen bestimmen: Entweder wie P(A) mit dem Grenzwert einer Reihe oder
mit der Laplace-Regel oder mit dem Gegenereignis oder...
Ich wähle den Weg über das Gegenereignis:
Offensichtlich sind die beiden Ereignisse A und B genau Komplementärmengen, d.h. A ∪ B = Ω, wobei A und B disjunkt sind (d.h. kein gemeinsames Ergebnis beinhalten). Also muss P(A) + P(B) = P(Ω) sein.
Damit ist P(B) = 1 -
1
50
1
·
1
49 2
50
b. Versuchsänderung: Nun legen Armin und Beate die Kugel nach jedem Ziehen nicht wieder zurück
in den Sack. Hat jeder dieselbe Chance?
i.
Gib den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) an.
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Es handelt sich um einen Zufallsversuch mit 50 Stufen, die Ergebnisse haben also die Form (1. Zug, 2. Zug, 3. Zug, ...,
50. Zug)) = (1. Zug Armin, 1. Zug Beate, 2. Zug Armin, 2. Zug Beate, ..., 25. Zug Beate).
Der zugehörige Baum hätte also ebenfalls 50 Ebenen. An jeder Verzweigung muss entschieden werden, ob eine weiße oder eine schwarze Kugel gezogen wurde. Jeder Pfad steht für ein Ergebnis der Form (1. Zug, 2. Zug, 3. Zug, ...,
50. Zug).
Ω ={alle denkbaren Ergebnisse der Form (1. Zug, 2. Zug, 3. Zug, ..., 50. Zug)} = {(w,s,s,s,s,..., s), …, (s,s,s,s,..., w)},
Die Elementarereignisse {(w,s,s,s,s,..., s)}, …, {(s,s,s,s,..., w)} sind alle gleichwahrscheinlich (d.h. der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) ist ein Laplace-Raum). Da es 50 verschiedene Elementarereignisse gibt und die Summe ihrer
Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit .
ii.
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „Armin gewinnt“ und „Beate
gewinnt“.
Welches Ereignis gehört nun zu „Armin gewinnt“ und welches zu „Beate gewinnt“?
Armin gewinnt:
A={(w,s,s,...,s), (s,s,w,s,,...s), (s,s,s,s,w,s,…s), …, (s,…,s,w,s)}
Beate gewinnt:
B={(s,w,s,…,s), (s,s,s,w,s,…,s), …, (s,…,s,w)}
P(A)=25 ·
P(B)= 25 ·
Aufgabe 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit
(Achtung: Diese Aufgabe ist erst zu bearbeiten, wenn das Thema „bedingte Wahrscheinlichkeit“ in der
Vorlesung besprochen wurde. Die Abgabe ist dementsprechend in der nächsten oder übernächsten
Woche möglich.)
Man weiß aus statistischen Erhebungen: 20% aller Autos haben einen Defekt. Zudem ist bekannt: Bei
einer Verkehrskontrolle werden 90% der tatsächlich defekten Autos als solche erkannt, und 5% der
kontrollierten Autos erhalten fälschlicherweise einen Mängelbescheid.
a. Erstelle einen vollständigen Wahrscheinlichkeitsbaum zu dieser Situation.
Es handelt sich um einen zweistufigen Zufallsversuch: Auf der 1. Stufe geht es darum, ob die Autos einen Defekt haben und auf
der 2. Stufe geht es darum, ob die Autos eine Mängelkarte bekommen.
Die Ergebnismenge lautet also Ω={(D,M), (D,M), (D, M), (D, M)}.
Dabei bedeutet D: Auto hat einen Defekt, D: Auto hat keinen Defekt, M: Auto erhält Mängelkarte, M: Auto erhält keine Mängelkarte.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet:
{(D,M)}
{(D,M)}
{(D, M)}
{(D, M)}
0,2 · 0,9
0,2 · 0,1
0,8 · 0,05
0,8 · 0,95
Der Baum liefert dieselben Informationen.
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b. Ein Auto wird zur Verkehrskontrolle angehalten und für defekt befunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es tatsächlich defekt?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit wirft einen etwas anderen Blick auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an der Wahrscheinlichkeit der Grundmenge. Weil die bisher immer die Ergebnismenge Ω war und deren Wahrscheinlichkeit 1 beträgt, konnte man dieses immer
vernachlässigen.
Das wird nun anders:
Es ist bekannt, dass ein Auto eine Mängelkarte bekommen hat. Das heißt: Es werden nur noch die Elementarereignisse {(D,M)}
und {(D, M)} betrachtet, die Grundmenge wird also nun kleiner. Oder anders ausgedrückt: das Ereignis A={(D,M), (D, M)} ist
eingetreten. Dieses hat die Wahrscheinlichkeit P(A) = 0,2 · 0,9 + 0,8 · 0,05.
Das interessante Ereignis ist {(D,M)} = {(D,M), (D,M)} ∩ {(D,M), (D, M)} = B ∩ A. Dieses hat die Wahrscheinlichkeit P({(D,M)})
= 0,2 · 0,9.
Wie groß ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit P({(D,M)}) an der Wahrscheinlichkeit P(A)? Oder anders ausgedrückt: Welchen
Wahrscheinlichkeitsanteil trägt das Ereignis {(D,M)} zu der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A={(D,M), (D, M)} bei?
Also P(B|A) =
, · ,
, · ,
, · ,
P
D,M
P A
D,M , D,M
∩
P A
D,M , D,M
P B∩A
P A
.