apl. Prof. Dr. D. Horstmann WS 2011/2012 Dipl.

apl. Prof. Dr. D. Horstmann
Dipl.-Math.oec. T. Kleefisch
WS 2011/2012
9. Übung zur Vorlesung
“Mathematik I für Studierende der Biologie und der Chemie”
Abgabe der schriftlichen Aufgaben am Donnerstag, dem 15.12.11, bzw. am Freitag,
dem 16.12.11, jeweils in den Übungen!
Am Mittwoch, dem 21.12.2011, findet die Weihnachtsvorlesung der Fachgruppe Chemie
statt. Da diese Vorlesung eine gewisse Vorbereitungszeit braucht, entfällt an diesem Tag die
Mathematikvorlesung!
1. Aufgabe (schriftlich): Berechnen Sie alle Lösungen der nachfolgenden Gleichungen:

 
 
1 0 1
x
x
8 5
x
x
a)
=7
b)  0 1 0   y  = 1  y 
−1 2
y
y
0 0 1
z
z
Was genau haben Sie in dieser Aufgabe eigentlich berechnet?
5 Punkte
2. Aufgabe (schriftlich): Ermitteln Sie jeweils
der nachfolgenden Matrizen:

2
2 1

1
b)
a)
0 −5
1
die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren

2 −2
2 0 
1 1

0 1 1
c)  1 0 1 
1 1 0

10 Punkte
3. Aufgabe (schriftlich): Ein Maikäferweibchen legt 80 Eier. Von den Larven überleben das erste Jahr
nur 25%. Auch im zweiten Jahr überleben nur 25%. Von den im dritten Jahr sich verpuppenden Larven
werden 20% zu Maikäferweibchen, die wieder je 80 Eier legen.
Stellen sie die Leslie Matrix L auf, die die Populationsentwicklung der Larven beschreibt.
5 Punkte
Die folgenden Aufgaben sind mündlich zu bearbeiten und werden in den an die
jeweiligen Übungen anschließenden Tutorien besprochen!
4. Aufgabe (mündlich): Ermitteln Sie die komplexen Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren
der Matrix
2 −3
A=
.
3 2
5. Aufgabe (mündlich): Schreiben Sie die nachfolgenden komplexen Zahlen in der Form Realteil+
”
i· Imaginärteil”:
a)
2
,
−3 + 7i
b)
1
2 − 8i
1
c) −
1 − 5i
.
−3 + 2i
6. Aufgabe (mündlich): Geben Sie jeweils an, ob die aufgeführten Folgen konvergieren (wenn ja, wogegen?) oder divergieren und begründen Sie gegebenenfalls mit Hilfe der Konvergenzrechenregeln aus
der Vorlesung.
(a) (an )n∈IN mit an :=
n3 +n2 −2n
,
2n3 +n2 −9
(b) (an )n∈IN mit an :=
3n4 −2n2 −7
.
−n3 −4n
(c) (an )n∈IN mit an :=
−3n2 −2n+3
.
3n5 −2n2 +3n
√
√
(d) (an )n∈IN mit an := n − 1 − n.
√
√
Tipp: Erweitern Sie jedes der an mit n − 1 + n.
(e) (an )n∈IN mit an := nn − (−n)n .
n
(f) (an )n∈IN mit an := n(−1)
.
n2 +n
Tipp: Konvergiert die Folge (|an |)n∈IN ? Wenn ja, wogegen?
7. Aufgabe (mündlich): Es seien die folgenden Funktionen gegeben:
(a) f : IR −→ IR, x 7−→ 41 x3 − 7,
2
x , für
(b) g : IR −→ IR, x 7−→
x3 , für
2
x ,
(c) h : IR −→ IR, x 7−→
x3 + 2,
x < 0,
x ≥ 0,
für x < 0,
für x ≥ 0.
Prüfen Sie mit dem Kriterium aus der Vorlesung, ob die Funktionen jeweils stetig im Punkt x0 = 0
sind. Geben Sie hierzu das Kriterium zunächst explizit an!
2